Behörde für Schule und Berufsbildung 4. Februar 2013 Schriftliche Überprüfung 2013 Mathematik Name: Klasse: Gruppe A

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1 SKA 20/12205 Freie und Hansestadt Hamburg Name: Klasse: Gruppe A Aufgabe I (34P) 1. Von den jeweils angebotenen Lösungen ist immer genau eine richtig. Überlege und schreibe den zugehörigen Buchstaben A, B, C oder D in die Spalte Lösung. Eine Begründung wird nicht verlangt. (14P) Aufgabe A B C D Lösung a) 4 0,9 =... 0,36 3, b) 2 8 : = c) 1,56 kg = 15,6 g 156 g 1560 g g d) ( 1) 3 =... Nicht definiert und 1 e) 0, = f) In folgender Darstellung gilt: g h a d = b c a + b a a = = g h g a+ b c a c = b h Welche Aussage ist richtig? g) Eine Kugel Eis verteuert sich von 0,80 auf 1,00. Um wie viel Prozent ist der Preis gestiegen? h) Zwei Eiskugeln haben einen Energiegehalt von 150 kcal. Welchen Energiegehalt haben 7 Kugeln? 15 % 20 % 25 % 30 % 275 kcal 525 kcal 675 kcal 750 kcal sue1-ma-i-a.doc Seite 1 von 4 Seiten

2 Gruppe A Aufgabe A B C D Lösung i) Ein Zahlenschloss hat drei Ringe jeweils mit den Zahlen von 1 bis 5. Wie viele verschiedene Zahlenkombinationen gibt es? j) Ritter Paul wählt seine Turnierausrüstung aus 5 Rüstungen, 3 Schilden und 6 Schwertern. Wie viele Kombinationsmöglichkeiten hat er? k) 54 cm² 108 cm² 121 cm² 216 cm² Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks. l) Bestimme die Länge der Hypotenuse des Dreiecks aus k). 13 cm 15 cm 17 cm 19 cm m) Ergänze so, dass eine Seite einer binomischen Formel entsteht a b a b a b a b 4 6 9a b n) Die Anzahl von Bakterien eines bestimmten Bakteriums verdoppelt sich alle 60 Minuten. Anfangs wird eine Bakterie auf eine Nährlösung gegeben. Nach wie vielen vollen Stunden hat man mehr als 100 Bakterien? sue1-ma-i-a.doc Seite 2 von 4 Seiten

3 Gruppe A 2. Gleichungen Bestimme alle Lösungen folgender Gleichungen. a) x x x 2 ( 2) ( + 25) ( + 4) = 0 (3P) b) x x+ = (4P) c) x 3 = 75 5 (3P) sue1-ma-i-a.doc Seite 3 von 4 Seiten

4 Gruppe A 3. Umfang einer Figur Die Figur besteht aus einem Quadrat und einem Halbkreis mit dem Radius r. Entscheide begründet, ob der Umfang der Figur kleiner als 10r ist. 4. Würfeln mit 2 Würfeln a) Zeige, dass die Wahrscheinlichkeit, mit zwei Würfeln die Augensumme 7 zu würfeln, 1 6 beträgt. b) Gib eine mögliche Augensumme kleiner als 6 an, für die folgende Aussage gilt: Die Wahrscheinlichkeit, die gesuchte Augensumme zu würfeln, ist genauso groß wie die Wahrscheinlichkeit, zweimal hintereinander die Augensumme 7 zu würfeln. Begründe deine Antwort. sue1-ma-i-a.doc Seite 4 von 4 Seiten

5 Name: Klasse: Gruppe A Aufgabe II Elbtunnel (22P) Aufgrund des zu hohen Verkehrsaufkommens im Elbtunnel ist der Bau eines neuen Elbtunnels geplant. Die Skizze in der Anlage zeigt vereinfacht eine mögliche Umsetzung der Planung. Betrachte die Straße im neuen Elbtunnel zusammengesetzt aus zwei Geraden. Die Koordinateneinheiten sind in Metern angegeben. a) Berechne die kürzeste Entfernung d ( Luftlinie ) zwischen der Tunneleinfahrt E und der Tunnelausfahrt A. [Zur Kontrolle: d 1570,01m ] Der durch das zuständige Architekturbüro festgelegte Neigungswinkel des Straßenabschnittes s 1 am linken Elbufer beträgt α = 2,7. Die beiden Straßenabschnitte s 1 und s 2 treffen sich unterhalb der Elbe. b) Berechne die Größe des Winkels γ und zeige damit, dass die Größe des Winkels β etwa 2,48 beträgt. Am rechten Elbufer beträgt nach der Planung des Architekturbüros die Größe des Winkels δ = 1,8. c) Bestimme die Länge des Straßenabschnittes s 1 im Elbtunnel. (7P) [Zur Kontrolle: s1 661m ] d) Bestimme, in welcher Tiefe unterhalb des in der Skizze eingezeichneten Wasserspiegels die beiden Straßenabschnitte aufeinandertreffen. sue1-ma-ii-a.doc Seite 1 von 2 Seiten

6 Gruppe A Anlage zur Aufgabe Elbtunnel Skizze ist nicht maßstabsgerecht. sue1-ma-ii-a.doc Seite 2 von 2 Seiten

7 Name: Klasse: Gruppe A Aufgabe III Becher (22P) An Lisas Kindergeburtstag soll ein Picknick mit Kuchen und Kakao stattfinden. Lisas Vater kauft dazu extra neue Becher, auf deren Seitenfläche er ein Foto von Lisa drucken lassen möchte. Die Becher sind zylinderförmig und haben folgende Maße: Radius außen Radius innen Höhe außen Höhe innen 4,1 cm 3,8 cm 9,5 cm 8,9 cm a) Berechne den Inhalt der äußeren Seitenfläche des Bechers (Zylindermantel), wenn der Becher keinen Henkel hätte. (4P) Aus technischen Gründen kann nicht die gesamte Seitenfläche bedruckt werden. Am oberen und unteren Rand bleibt jeweils ein 3 mm breiter Streifen unbedruckt. Wegen des Henkels muss außerdem die Außenfläche eines Zylindersektors von 40 frei bleiben (siehe Abbildung). b) Berechne den Inhalt der Fläche, die insgesamt bedruckt werden kann. (6P) Der Kakao soll in 1,6-l -Thermoskannen zum Picknick gebracht werden. Lisas Vater geht davon aus, dass insgesamt 60 volle Becher Kakao getrunken werden. c) Bestimme, wie viele Thermoskannen demnach zum Picknick mitgenommen werden sollten. (7P) Die Thermoskannen sind zylinderförmig (ohne Henkel) und haben einen Außendurchmesser von 10 cm. Lisas Vater möchte zehn Thermoskannen auf einem Tablett transportieren (siehe Skizze in der Anlage). Er steht im Laden und fragt sich, ob ein Tablett mit den Abmessungen 40 cm x 28 cm dafür ausreichend ist. d) Zeige durch Rechnung, dass genau zehn Thermoskannen in der in der Anlage dargestellten Weise auf das Tablett passen. sue1-ma-iii-a.doc Seite 1 von 2 Seiten

8 Gruppe A Anlage zur Aufgabe Becher, Teilaufgabe d) sue1-ma-iii-a.doc Seite 2 von 2 Seiten

9 Name: Klasse: Gruppe A Aufgabe IV Bachforellen (22P) In einem neu angelegten See werden 200 Bachforellen ausgesetzt. In den ersten fünf Jahren danach beobachtet man, dass sich die Anzahl der Forellen jährlich um 35 % erhöht. a) Vervollständige die Tabelle in der Anlage für die Bestände der Bachforellen in den ersten fünf Jahren und zeichne die Daten in das Koordinatensystem in der Anlage ein. b) Gib die Funktionsvorschrift an, die die Anzahl der Forellen in den ersten fünf Jahren nach dem Aussetzen der Forellen beschreibt, und begründe den Ausdruck. Die Anzahl der Forellen entwickelt sich ab dem sechsten Jahr anders als in den ersten fünf Jahren. Die Werte sind bereits im Koordinatensystem eingetragen. c) Beschreibe die Entwicklung der Anzahl der Forellen ab dem sechsten Jahr und begründe, dass diese Entwicklung der realen Situation angemessen ist. (4P) Die im Koordinatensystem eingetragenen Werte für die Anzahl der Forellen ab dem sechsten Jahr ( 6) können mit der Funktion A( t) ,35 t = berechnet werden (t in Jahren). d) Interpretiere die Bedeutung der Zahl 2400 in dem Funktionsterm im Sachkontext. Begründe deine Interpretation mit Hilfe des Funktionsterms. e) Berechne den Zeitpunkt, zu dem nach der Funktion A( t ) insgesamt 2350 Forellen vorhanden sind. (4P) (4P) sue1-ma-iv-a.doc Seite 1 von 2 Seiten

10 Gruppe A Anlage zur Aufgabe Bachforellen Zeit in Jahren Anzahl Forellen Anzahl Forellen Zeit in Jahren sue1-ma-iv-a.doc Seite 2 von 2 Seiten

11 Name: Klasse: Gruppe A Aufgabe V Basketball (22P) Beim Basketball erhält man für einen Korbtreffer 2 Punkte, wenn man von innerhalb der 2-Punkte- Zone geworfen hat, und 3 Punkte, wenn man von außerhalb dieser Zone geworfen hat. Eine Basketball-Bundesliga-Mannschaft hatte während der Saison 2011/2012 folgende Wurfstatistik: 2-Punkte- Versuch 3-Punkte- Versuch Gesamt Treffer Fehlwurf Gesamt Für die folgenden Aufgaben werden die relativen Häufigkeiten als Wahrscheinlichkeiten betrachtet. a) Vervollständige das Baumdiagramm in der Anlage mit den entsprechenden Wahrscheinlichkeiten. b) Berechne, mit welcher Wahrscheinlichkeit (Angabe in Prozent) - ein zufällig ausgewählter Wurf ein 3-Punkte-Fehlwurf ist. - es sich um einen Wurf aus der 2-Punkte-Zone handelt, wenn es ein Fehlwurf ist. - vier Würfe aus der 2-Punkte-Zone in Folge erfolgreich sind also zu 8 erzielten Punkten führen. - vier Würfe aus der 2-Punkte-Zone in Folge zu weniger als 8 Punkten führen. (10P) c) Bestimme die durchschnittliche Punktezahl pro Wurf. (3P) Der Trainer möchte vor dem letzten Saisonspiel die Mannschaft so trainieren, dass sie möglichst viele Punkte erzielt. Er hat zwei Trainingsprogramme zur Auswahl: Bei Programm A erhöht sich die Zwei-Punkte-Trefferquote auf 60 Prozent, die Drei-Punkte- Trefferquote bleibt im Vergleich zu vorher gleich. Bei Programm B erhöht sich die Drei-Punkte-Trefferquote auf 40 Prozent, die Zwei-Punkte- Trefferquote bleibt im Vergleich zu vorher gleich. Die Verteilung der 2- und 3-Punkte-Versuche bleibt in beiden Fällen gleich. d) Beurteile, welches der beiden Trainingsprogramme besser geeignet ist. (4P) sue1-ma-v-a.doc Seite 1 von 2 Seiten

12 Gruppe A Anlage zur Aufgabe Basketball, Aufgabenteil a) Baumdiagramm 0,532 Treffer 0,347 0, Punkte- Versuch 0,467 Fehlwurf 0,297 0,346 0,376 Treffer 0,131 3-Punkte- Versuch 0,623 Fehlwurf 0,221 sue1-ma-v-a.doc Seite 2 von 2 Seiten

13 Name: Klasse: Gruppe B Aufgabe I (34P) 1. Von den jeweils angebotenen Lösungen ist immer genau eine richtig. Überlege und schreibe den zugehörigen Buchstaben A, B, C oder D in die Spalte Lösung. Eine Begründung wird nicht verlangt. (14P) Aufgabe A B C D Lösung a) 4 0,9 = ,6 0,36 b) 2 8 : = c) 1,56 kg = g 1560 g 156 g 15,6 g d) ( 1) 3 =... 1 und Nicht definiert e) 0, = f) In folgender Darstellung gilt: g h a c = b h a g = a+ b c a + b a a = = d h g b c Welche Aussage ist richtig? g) Eine Kugel Eis verteuert sich von 0,80 auf 1,00. Um wie viel Prozent ist der Preis gestiegen? h) Zwei Eiskugeln haben einen Energiegehalt von 150 kcal. Welchen Energiegehalt haben 7 Kugeln? 30 % 25 % 20 % 15 % 750 kcal 675 kcal 525 kcal 275 kcal sue1-ma-i-b.doc Seite 1 von 4 Seiten

14 Gruppe B Aufgabe A B C D Lösung i) Ein Zahlenschloss hat drei Ringe jeweils mit den Zahlen von 1 bis 5. Wie viele verschiedene Zahlenkombinationen gibt es? j) Ritter Paul wählt seine Turnierausrüstung aus 5 Rüstungen, 3 Schilden und 6 Schwertern. Wie viele Kombinationsmöglichkeiten hat er? k) 216 cm² 121 cm² 108 cm² 54 cm² Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks. l) Bestimme die Länge der Hypotenuse des Dreiecks aus k). 19 cm 17 cm 15 cm 13 cm m) Ergänze so, dass eine Seite einer binomischen Formel entsteht a b a b a b a b 4 6 9a b n) Die Anzahl von Bakterien eines bestimmten Bakteriums verdoppelt sich alle 60 Minuten. Anfangs wird eine Bakterie auf eine Nährlösung gegeben. Nach wie vielen vollen Stunden hat man mehr als 100 Bakterien? sue1-ma-i-b.doc Seite 2 von 4 Seiten

15 Gruppe B 2. Gleichungen Bestimme alle Lösungen folgender Gleichungen. a) 2 ( x 2) ( x 9) ( x 4) = (3P) b) + = 2 3x 6x 72 0 (4P) c) x 3 = 64 4 (3P) sue1-ma-i-b.doc Seite 3 von 4 Seiten

16 Gruppe B 3. Umfang einer Figur Die Figur besteht aus einem Quadrat, aus dem ein Halbkreis mit dem Radius r ausgeschnitten wurde. Entscheide begründet, ob der Umfang der Figur größer als 9r ist. 4. Würfeln mit 2 Würfeln a) Zeige, dass die Wahrscheinlichkeit, mit zwei Würfeln die Augensumme 7 zu würfeln, 1 6 beträgt. b) Gib eine mögliche Augensumme größer als 8 an, für die folgende Aussage gilt: Die Wahrscheinlichkeit, die gesuchte Augensumme zu würfeln, ist genauso groß wie die Wahrscheinlichkeit, zweimal hintereinander die Augensumme 7 zu würfeln. Begründe deine Antwort. sue1-ma-i-b.doc Seite 4 von 4 Seiten

17 Name: Klasse: Gruppe B Aufgabe II Elbtunnel (22P) Aufgrund des zu hohen Verkehrsaufkommens im Elbtunnel ist der Bau eines neuen Elbtunnels geplant. Die Skizze in der Anlage zeigt vereinfacht eine mögliche Umsetzung der Planung. Betrachte die Straße im neuen Elbtunnel zusammengesetzt aus zwei Geraden. Die Koordinateneinheiten sind in Metern angegeben. a) Berechne die kürzeste Entfernung d ( Luftlinie ) zwischen der Tunneleinfahrt E und der Tunnelausfahrt A. [Zur Kontrolle: d 1580,02m ] Der durch das zuständige Architekturbüro festgelegte Neigungswinkel des Straßenabschnittes s 1 am linken Elbufer beträgt α = 2,6. Die beiden Straßenabschnitte s 1 und s 2 treffen sich unterhalb der Elbe. b) Berechne die Größe des Winkels γ und zeige damit, dass die Größe des Winkels β etwa 2,31 beträgt. Am rechten Elbufer beträgt nach der Planung des Architekturbüros die Größe des Winkels δ = 1,6. c) Bestimme die Länge des Straßenabschnittes s 1 im Elbtunnel. (7P) [Zur Kontrolle: s1 647m ] d) Bestimme, in welcher Tiefe unterhalb des in der Skizze eingezeichneten Wasserspiegels die beiden Straßenabschnitte aufeinandertreffen. sue1-ma-ii-b.doc Seite 1 von 2 Seiten

18 Gruppe B Anlage zur Aufgabe Elbtunnel Skizze ist nicht maßstabsgerecht. sue1-ma-ii-b.doc Seite 2 von 2 Seiten

19 Name: Klasse: Gruppe B Aufgabe III Becher (22P) An Lisas Kindergeburtstag soll ein Picknick mit Kuchen und Kakao stattfinden. Lisas Vater kauft dazu extra neue Becher, auf deren Seitenfläche er ein Foto von Lisa drucken lassen möchte. Die Becher sind zylinderförmig und haben folgende Maße: Radius außen Radius innen Höhe außen Höhe innen 4,5 cm 4,2 cm 9,8 cm 9,1 cm a) Berechne den Inhalt der äußeren Seitenfläche des Bechers (Zylindermantel), wenn der Becher keinen Henkel hätte. (4P) Aus technischen Gründen kann nicht die gesamte Seitenfläche bedruckt werden. Am oberen und unteren Rand bleibt jeweils ein 4 mm breiter Streifen unbedruckt. Wegen des Henkels muss außerdem die Außenfläche eines Zylindersektors von 30 frei bleiben (siehe Abbildung). b) Berechne den Inhalt der Fläche, die insgesamt bedruckt werden kann. (6P) Der Kakao soll in 1,6-l -Thermoskannen zum Picknick gebracht werden. Lisas Vater geht davon aus, dass insgesamt 70 volle Becher Kakao getrunken werden. c) Bestimme, wie viele Thermoskannen demnach zum Picknick mitgenommen werden sollten. (7P) Die Thermoskannen sind zylinderförmig (ohne Henkel) und haben einen Außendurchmesser von 10 cm. Lisas Vater möchte acht Thermoskannen auf einem Tablett transportieren (siehe Skizze in der Anlage). Er steht im Laden und fragt sich, ob ein Tablett mit den Abmessungen 30 cm x 28 cm dafür ausreichend ist. d) Zeige durch Rechnung, dass genau acht Thermoskannen in der in der Anlage dargestellten Weise auf das Tablett passen. sue1-ma-iii-b.doc Seite 1 von 2 Seiten

20 Gruppe B Anlage zur Aufgabe Becher, Teilaufgabe d) sue1-ma-iii-b.doc Seite 2 von 2 Seiten

21 Name: Klasse: Gruppe B Aufgabe IV Bachforellen (22P) In einem neu angelegten See werden 400 Bachforellen ausgesetzt. In den ersten fünf Jahren danach beobachtet man, dass sich die Anzahl der Forellen jährlich um 35 % erhöht. a) Vervollständige die Tabelle in der Anlage für die Bestände der Bachforellen in den ersten fünf Jahren und zeichne die Daten in das Koordinatensystem in der Anlage ein. b) Gib die Funktionsvorschrift an, die die Anzahl der Forellen in den ersten fünf Jahren nach dem Aussetzen der Forellen beschreibt, und begründe den Ausdruck. Die Anzahl der Forellen entwickelt sich ab dem sechsten Jahr anders als in den ersten fünf Jahren. Die Werte sind bereits im Koordinatensystem eingetragen. c) Beschreibe die Entwicklung der Anzahl der Forellen ab dem sechsten Jahr und begründe, dass diese Entwicklung der realen Situation angemessen ist. (4P) Die im Koordinatensystem eingetragenen Werte für die Anzahl der Forellen ab dem sechsten Jahr ( 6) kann mit der Funktion A( t) ,35 t = berechnet werden (t in Jahren). d) Interpretiere die Zahl 4800 in dem Funktionsterm im Sachkontext. Begründe deine Interpretation mit Hilfe des Funktionsterms. e) Berechne den Zeitpunkt, zu dem nach der Funktion A( t ) insgesamt 4700 Forellen vorhanden sind. (4P) (4P) sue1-ma-iv-b.doc Seite 1 von 2 Seiten

22 Gruppe B Anlage zur Aufgabe Bachforellen Zeit in Jahren Anzahl Forellen Anzahl Forellen Zeit in Jahren sue1-ma-iv-b.doc Seite 2 von 2 Seiten

23 Name: Klasse: Gruppe B Aufgabe V Basketball (22P) Beim Basketball erhält man für einen Korbtreffer 2 Punkte, wenn man von innerhalb der 2-Punkte- Zone geworfen hat, und 3 Punkte, wenn man von außerhalb dieser Zone geworfen hat. Eine Basketball-Bundesliga-Mannschaft hatte während der Saison 2011/2012 folgende Wurfstatistik: 2-Punkte- Versuch 3-Punkte- Versuch Gesamt Treffer Fehlwurf Gesamt Für die folgenden Aufgaben werden die relativen Häufigkeiten als Wahrscheinlichkeiten betrachtet. a) Vervollständige das Baumdiagramm in der Anlage mit den entsprechenden Wahrscheinlichkeiten. b) Berechne, mit welcher Wahrscheinlichkeit (Angabe in Prozent) - ein zufällig ausgewählter Wurf ein 3-Punkte-Fehlwurf ist. - es sich um einen Wurf aus der 2-Punkte-Zone handelt, wenn es ein Fehlwurf ist. - vier Würfe aus der 2-Punkte-Zone in Folge erfolgreich sind also zu 8 erzielten Punkten führen. - vier Würfe aus der 2-Punkte-Zone in Folge zu weniger als 8 Punkten führen. (10P) c) Bestimme die durchschnittliche Punktezahl pro Wurf. (3P) Der Trainer möchte vor dem letzten Saisonspiel die Mannschaft so trainieren, dass sie möglichst viele Punkte erzielt. Er hat zwei Trainingsprogramme zur Auswahl: Bei Programm A erhöht sich die Zwei-Punkte-Trefferquote auf 60 Prozent, die Drei-Punkte- Trefferquote bleibt im Vergleich zu vorher gleich. Bei Programm B erhöht sich die Drei-Punkte-Trefferquote auf 40 Prozent, die Zwei-Punkte- Trefferquote bleibt im Vergleich zu vorher gleich. Die Verteilung der 2- und 3-Punkte-Versuche bleibt in beiden Fällen gleich. d) Beurteile, welches der beiden Trainingsprogramme besser geeignet ist. (4P) sue1-ma-v-b.doc Seite 1 von 2 Seiten

24 Gruppe B Anlage zur Aufgabe Basketball, Aufgabenteil a) Baumdiagramm 0,532 Treffer 0,347 0, Punkte- Versuch 0,467 Fehlwurf 0,300 0,346 0,390 Treffer 0,131 3-Punkte- Versuch 0,609 Fehlwurf 0,217 sue1-ma-v-b.doc Seite 2 von 2 Seiten