Ihlenburg Speth Waltermann Ott Bohner. Wirtschaftsmathematik mit Algebra

Transkript

1 Ihlenburg Speth Waltermann Ott Bohner Wirtschaftsmathematik mit Algebra

2

3 Ihlenburg Speth Waltermann Ott Bohner Wirtschaftsmathematik mit Algebra Merkur Verlag Rinteln

4 Wirtschaftswissenschaftliche Bücherei für Schule und Praxis Begründet von Handelsschul-Direktor Dipl.-Hdl. Friedrich Hutkap Verfasser: Dr. Peter Ihlenburg, Dipl.-Phys. Dr. Hermann Speth, Dipl.-Hdl. Aloys Waltermann, Dipl.-Kfm., Dipl.-Hdl. Roland Ott, Oberstudienrat Kurt Bohner, Oberstudienrat Fast alle in diesem Buch erwähnten Hard- und Softwarebezeichnungen sind eingetragene Warenzeichen. Das Werk und seine Teile sind urheberrechtlich geschützt. Jede Nutzung in anderen als den gesetzlich zugelassenen Fällen bedarf der vorherigen schriftlichen Einwilligung des Verlages. Hinweis zu 52 a UrhG: Weder das Werk noch seine Teile dürfen ohne eine solche Einwilligung eingescannt und in ein Netzwerk eingestellt werden. Dies gilt auch für Intranets von Schulen und sonstigen Bildungseinrichtungen. * * * * * 4. Auflage by MERKUR VERLAG RINTELN Gesamtherstellung: Merkur Verlag Rinteln Hutkap GmbH & Co. KG, Rinteln info@merkur-verlag.de lehrer-service@merkur-verlag.de Internet: ISBN

5 Vorwort Das vorliegende Lehr-und Arbeitsbuch richtet sich am Niveau der Berufsfachschule (Handelsschule) aus und umfasst die in dieser Schulart zu unterrichtenden Stoffgebiete. In die verschiedenen Themengebiete der Wirtschaftsmathematik wird jeweils mit einem grundlegenden Beispiel eingeführt. Die Einführung erfolgt in dem Dreischritt: Beispiel, Aufgabenstellung und Lösung und bildet die Möglichkeit für einen interaktiven Lernprozess. Das Spektrum der Übungsaufgaben ist so ausgewählt, dass die Schüler ihre erworbenen mathematischen Kenntnisse und Fähigkeiten an einer Vielzahl von wirtschaftlichen Tat beständen anwenden können. Die wirtschaftsmathematischen Kenntnisse werden dadurch zur Basis für die Arbeit in den anderen kaufmännischen Fächern. Das Lehr-und Arbeitsbuch ist so angelegt, dass zum einen dem Lehrer ein großer methodischer Spielraum bleibt und dass zum anderen die Schüler die Möglichkeit haben, die Aufgaben selbstständig zu lösen. Wir wünschen uns eine gute Zusammenarbeit mit allen Benutzern dieses Buches und sind dankbar für jede Art von Anregungen und Verbesserungsvorschlägen. Die Verfasser

6

7 Inhaltsverzeichnis Teil A: Kaufmännisches Rechnen 1 Grundlegende kaufmännische Rechenverfahren Einfacher Dreisatz mit direktem und indirektem Verhältnis Einfacher Dreisatz mit direktem Verhältnis Einfacher Dreisatz mit indirektem Verhältnis Dreisatzaufgabe mit direktem und indirektem Verhältnis Währungsrechnen Einführung Grundbegriffe zum Währungsrechnen Sortenhandel und Sortenkurse Devisenhandel und Devisenkurse Durchschnittsrechnen Einfacher Durchschnitt Gewogener Durchschnitt Verteilungsrechnen Verteilung nach ganzen Anteilen und nach Bruchteilen Verteilung mit Vorleistungen Prozentrechnen Einführung in das Prozentrechnen Prozentrechnen vom Hundert Berechnung des Prozentwertes Berechnung des Prozentsatzes Berechnung des Grundwertes Prozentrechnen mit dem verminderten und dem vermehrten Grundwert Prozentrechnen im Hundert (verminderter Grundwert) Prozentrechnen auf Hundert (vermehrter Grundwert) Verschiedene Aufgaben zum Prozentrechnen Handelskalkulation Problemstellung Aufbau der Handelskalkulation (Vorwärtskalkulation) Einkaufs- und Bezugskalkulation Hinführung Bezugskalkulation ohne Berücksichtigung des Verpackungsgewichts Bezugskalkulation unter Berücksichtigung des Verpackungsgewichts Bezugskostenverteilung nach Mengen und Werten Kalkulation der Selbstkosten Verkaufskalkulation Berechnung des Barverkaufspreises Berechnung des Listenverkaufspreises (Nettoverkaufspreis) unter Berücksichtigung von Kundenskonto, Kundenrabatt, Vertreterprovision und Umsatzsteuer

8 3.2.4 Zusammenhängende Darstellung des Kalkulationsschemas Kalkulatorische Rückrechnung (retrograde Kalkulation) Differenzkalkulation Verschiedene Aufgaben zur Handelskalkulation Industriekalkulation Grundlagen Anwendung der Zuschlagskalkulation als Angebotskalkulation (Vorkalkulation) Vorwärtskalkulation Rückwärtskalkulation (retrograde Kalkulation) Differenzkalkulation Anwendung der Zuschlagskalkulation als Nachkalkulation Zinsrechnen Einführung in das Zinsrechnen Berechnung der Jahres-, Monats- und Tageszinsen nach der allgemeinen Zinsformel Berechnung der Jahreszinsen Berechnung der Monatszinsen Berechnung der Tageszinsen Berechnung der Größen Kapital, Zinssatz und Zeit nach der allgemeinen Zinsformel Berechnung des Kapitals Berechnung der Zeit Berechnung des Zinssatzes (Nominalzinssatzes) Verschiedene Aufgaben zum Zinsrechnen Berechnung des Effektivzinssatzes Berechnung des Effektivzinssatzes am Beispiel von Kreditkosten Berechnung des Effektivzinssatzes am Beispiel des Skontosatzes Verschiedene Aufgaben zur Berechnung des Effektivzinssatzes Teil B: Algebra und Funktionen 1 Aussagen und Aussageformen Aussageformen Grundmenge und Lösungsmenge Mengen Begriff der Menge Darstellungen von Mengen Eigenschaften von Mengen Verknüpfungen von Mengen Zahlenmengen Die natürlichen Zahlen Die ganzen Zahlen Die rationalen Zahlen

9 3 Gleichungen und Ungleichungen Gleichungen Lineare Gleichungen Lineare Ungleichungen Verhältnisgleichungen Lineare Gleichungssysteme Gleichsetzungsverfahren Einsetzungsverfahren Additionsverfahren Lineare Gleichungssysteme mit unendlich vielen Lösungen Potenzrechnung Definition der Potenz Addition und Subtraktion von Potenzen Multiplikation von Potenzen Division von Potenzen Potenzieren von Potenzen Potenzen mit negativen ganzen Hochzahlen Die Binomischen Formeln Multiplikation von Summen Binomische Formeln Zerlegung von Summen in Faktoren Relationen und Funktionen Relationen Funktionen Lineare Funktionen Einführung Ursprungsgeraden Anwendungsbeispiele Geraden mit der Gleichung y = mx + b Schnittpunkte von Gerade und Koordinatenachsen Anwendungsbeispiele Schnittpunkt von zwei Geraden Graphisches Verfahren zur Lösung eines LGS Anwendungsbeispiele Quadratische Gleichungen Quadratwurzel Irrationale Zahlen Quadratische Gleichungen Reinquadratische Gleichungen Gemischtquadratische Gleichungen

10 9 Quadratische Funktionen Einführung Normalparabel Parabeln mit der Gleichung y = ax Verschiebungen Verschiebung nach oben bzw. unten Verschiebung nach rechts bzw. links Scheitelform Graphische Lösung quadratischer Gleichungen Bearbeitung mathematischer Probleme mit einem Tabellenkalkulationsprogramm Graphische Darstellung von Funktionen Graphische Schnittpunktbestimmung

11 Teil A: Kaufmännisches Rechnen 1 Grundlegende kaufmännische Rechenverfahren 1.1 Einfacher Dreisatz mit direktem und indirektem Verhältnis Einfacher Dreisatz mit direktem Verhältnis Beispiel: In einem Schreibwarengeschäft beträgt der Preis für 10 Farbstifte 4,00 EUR. Aufgabe: Über welchen Betrag wird die Rechnung ausgeschrieben, wenn an eine Schule 50 Farbstifte geliefert werden? Gegeben: 10 Farbstifte kosten 4,00 EUR Bedingungssatz Gesucht: 50 Farbstifte kosten x EUR Fragesatz x = Bruchsatz x = 20,00 EUR Ergebnis: Die Rechnung ist über 20,00 EUR auszustellen. Allgemeiner Lösungsweg 1. Schreiben Sie den Bedingungssatz so auf, dass die gefragte Größe am Ende des Satzes steht. 2. Schreiben Sie den Fragesatz darunter. Achten Sie darauf, dass gleiche Bezeichnungen (z. B. kg, EUR, m usw.) immer untereinander stehen. 3. Bei der Erstellung des Bruchsatzes ist von dem gegebenen Wert (Preis für 10 Farbstifte) auszugehen. Er ist dann immer auf den Wert einer Einheit zurückzuführen (Preis für 1 Farbstift) und anschließend ist der Wert für die gesuchte Mehrheit zu berechnen (Preis für 50 Farbstifte). Die Erstellung des Bruchsatzes erfolgt über die folgenden drei Sätze: 1. Satz: 10 Farbstifte kosten 4,00 EUR je weniger, desto weniger 2. Satz: 1 Farbstift kostet 4 10 EUR 3. Satz: 50 Farbstifte kosten EUR Beachten Sie: je mehr, desto mehr Beim 2. Satz gilt im Verhältnis zum 1. Satz: Je weniger, desto weniger. (Je weniger verkauft wird, desto niedriger ist der Erlös.) Es handelt sich um ein direktes Verhältnis. Beim 3. Satz gilt im Verhältnis zum 2. Satz: Je mehr, desto mehr. (Je mehr verkauft wird, desto höher ist der Erlös.) Es handelt sich um ein direktes Verhältnis. 11

12 Übungsaufgabe 1 1. Die Kosten für die Reinigung der Büroräume belaufen sich im Monat Januar bei 25 Arbeitstagen auf insgesamt 1 420,00 EUR. Wie viel EUR betragen jeweils die Reinigungs kosten 1.1 im Monat Februar (20 Arbeitstage) und 1.2 im März (24 Arbeitstage)? 2. Ein Kaufhaus bezieht eine Wagenladung Orangen mit einem Gesamtnettogewicht von kg zu 879,20 EUR. Wie viel EUR kostet ein Netz Orangen mit 2,5 kg Nettoinhalt? 3. Bei der Herstellung von 117 m 2 Tapeten beträgt der Abfall 6,75 m 2. Wie viel m 2 beträgt der Abfall bei einer Herstellung von 490,50 m 2 Tapeten? 4. Ein Schüler erhält für seine Ferienarbeit von 24 Arbeitsstunden einen Bruttolohn von 283,20 EUR. Berechnen Sie den Bruttolohn, wenn der Schüler in der 2. Woche 34 Arbeitsstunden beschäftigt ist! 5. Der Heizölvorrat von Litern reicht bei normalem Verbrauch 145 Tage. Wie viel Tage reicht ein Vorrat von Litern? 6. Nr. Menge der eingekauften Waren gesamte Kosten Wie viel kosten m Stück 62 kg 310 Liter 48 Säcke 1 470,20 EUR 470,60 EUR 155,20 EUR 2 720,00 EUR 245,00 EUR 18 m Stück 78 kg 158 Liter 112 Säcke 7. Ein Unternehmen hat Fertigteile am Lager. Wie viel Tage reicht der Vorrat, wenn wöchentlich (6 Tage) im Durchschnitt 480 Fertigteile in der Produktion Verwendung finden? 8. Ein Großhändler beliefert in regelmäßigen Abständen seine 5 Filialen. Er legt hierbei eine Strecke von 200 km zurück. Seine Durchschnittsgeschwindigkeit beträgt 50 km. Aufgrund einer Umleitung muss er einen Umweg von 30 km fahren. Wie viel Minuten muss er früher abfahren, wenn er seine ursprüngliche Durchschnittsgeschwindigkeit beibehalten möchte? 9. Für eine Sendung verschiedener Waren im Gegenwert von ,00 EUR wurden Frachtkosten in Höhe von 1 430,00 EUR gezahlt. Wie viel EUR beträgt der Frachtanteil für eine Lieferung im Werte von 9 000,00 EUR? 10. Ein Lebensmittelgeschäft hat 192 Gläser Senf auf Lager. Wie viel Tage reicht der Vorrat, wenn wöchentlich (6 Tage) im Durchschnitt 48 Gläser verkauft werden? 12

13 1.1.2 Einfacher Dreisatz mit indirektem Verhältnis Beispiel: Zum Beladen eines Lkws werden 6 Mitarbeiter für 2 Stunden abgestellt. Aufgabe: Nach wie viel Stunden ist der Lkw beladen, wenn der Fahrer und der Beifahrer mithelfen? Gegeben: 6 Arbeiter benötigen 2 Stunden Bedingungssatz Gesucht: 8 Arbeiter benötigen x Stunden Fragesatz x = Bruchsatz x = 1 1 / 2 Stunden = 90 Minuten Ergebnis: Der Lkw ist in 90 Minuten beladen. Erläuterungen zum Bruchsatz: 1. Satz: 6 Arbeiter benötigen 2 Stunden je weniger, desto mehr 2. Satz: 1 Arbeiter benötigt 2 6 Stunden 3. Satz: 8 Arbeiter benötigen Stunden je mehr, desto weniger Allgemeiner Lösungsweg Für die Aufstellung der 3 Sätze gilt die gleiche Vorgehensweise wie beim Dreisatz mit geradem Verhältnis. Beachten Sie: Beim 2. Satz gilt im Verhältnis zum 1. Satz: Je weniger, desto mehr. (Je weniger Personen beim Beladen helfen, um so längere Zeit wird zum Beladen benötigt. Es handelt sich um ein indirektes Verhältnis.) Beim 3. Satz gilt im Verhältnis zum 2. Satz: Je mehr, desto weniger. (Je mehr Personen beim Bela den helfen, um so kürzer ist die benötigte Beladezeit. Es handelt sich um ein indirektes Verhältnis.) Übungsaufgabe 2 1. Um bei einem Straßenbau den Teerbelag aufzubringen, benötigen 20 Arbeiter 15 Tage zu je 8 Stunden. Wie viel Arbeiter müssten noch hinzugezogen werden, wenn die Straßenbauarbeiten in 10 Tagen fertig sein sollen, die tägliche Arbeitszeit jedoch nicht erhöht werden kann? 2. Einem Handelsvertreter reicht die monatliche Spesenpauschale für 26 Tage, wenn er täglich 36,00 EUR ausgibt. Wie viel Tage reichen die Spesen, wenn er täglich nur 30,00 EUR ausgibt? 3. In einem SB-Laden reicht der Vorrat an Gemüsedosen bei einem täglichen Verkauf von 72 Stück 36 Tage. Wie viel Tage reicht der gleiche Vorrat, wenn aufgrund einer Werbeaktion der tägliche Verkauf auf 108 Stück ansteigt? 13

14 4. Zum Belegen der Geschäftsräume mit Teppichboden benötigen wir 32 Rollen mit einer Breite von 1,20 m. Wie viel Rollen braucht man, wenn die Breite 1,80 m beträgt? 5. Bei einem täglichen Bedarf von 140 Blatt reicht das Fotokopierpapier noch 66 Tage. Wie viel Tage reicht der Vorrat, wenn der Tagesbedarf auf 180 Blatt ansteigt? 6. Zum Auffüllen eines Ladenregals benötigen 4 Angestellte 6 Stunden. Wie viel Zeit wird benötigt, wenn nur 3 Angestellte für die Arbeit zur Verfügung stehen? Einzelhändler eines Einkaufszentrums starten eine gemeinsame Werbeaktion, wobei jeder anteilige Kosten in Höhe von 362,40 EUR zu tragen hat. Wie viel EUR beträgt der Kostenanteil, wenn alle 24 Einzelhandelsgeschäfte des Einkaufszentrums die Aktion mittragen würden? 8. Der Heizölvorrat von Litern reicht bei gewöhnlichem Verbrauch 210 Tage. Wie viel Tage reicht der Vorrat, wenn durch den Einbau eines neuen Kessels täglich 10 Liter gespart werden könnten? Den Unterschied zwischen dem Dreisatz mit direktem Verhältnis und dem Dreisatz mit indirektem Verhältnis zeigt die folgende Gegenüberstellung auf: Direktes Verhältnis Beispiel: 20 kg Zucker kosten 24,00 EUR 5 kg Zucker kosten 6,00 EUR Indirektes Verhältnis Beispiel: 10 Arbeiter benötigen 8 Tage 4 Arbeiter benötigen 20 Tage Allgemein: Weniger Zucker Mehr Zucker weniger Geld mehr Geld Allgemein: Weniger Arbeiter Mehr Arbeiter mehr Tage weniger Tage Die Größen (Zucker und Geld) verändern sich gleichgerichtet. Das Zurückführen auf eine Einheit (1 kg Zucker) erfordert eine Division. Das Schließen von der Einheit auf die gesuchte Mehrheit erfordert eine Multiplikation. Die Größen (Arbeiter und Tage) verändern sich entgegengerichtet. Das Zurückführen auf eine Einheit (1 Arbeiter) erfordert eine Multiplikation. Das Schließen von der Einheit auf die gesuchte Mehrheit erfordert eine Division Dreisatzaufgabe mit direktem und indirektem Verhältnis 3 1. Die Lederwaren Kuhn OHG bezahlte für ihre Geschäftsräume bei einem Mietpreis von 13,50 EUR je m 2 bisher monatlich 2 767,50 EUR. Wie viel EUR beträgt die künftige Monatsmiete, wenn der Hauseigentümer die Miete um 0,80 EUR je m 2 erhöht? Die Glasversicherung für die Schaufensterscheiben der Fritz Weber OHG wird nach m 2 berechnet. Bei einer Glasfläche von 18 m 2 beträgt sie 225,00 EUR jährlich. Durch den Ladenausbau erweitert sich die Glasfläche um 4 1 / 2 m 2. Wie viel EUR beträgt die jährliche Versicherungsprämie?

15 3. Die Farbengroßhandlung Franz Bunt e. Kfm. füllt 400 Liter Farbe in 2-Liter-Dosen ab und erhält somit 200 Dosen. Wie viel Dosen können abgefüllt werden, wenn der Doseninhalt 1 / 2 Liter beträgt? 4. Der Weinvorrat einer Weingroßhandlung reicht bei einem täglichen Verkauf von 45 Litern 60 Tage. In wie viel Tagen ist der Vorrat erschöpft, wenn der Tagesverkauf auf 50 Liter ansteigt? 5. Die Kosten für eine gemeinsame Anzeigenwerbung in der Tageszeitung betragen 640,30 EUR je Einzelhandelsgeschäft. An der Aktion wollten sich 12 Geschäfte beteiligen. Wie viel EUR muss ein Einzelhändler aufbringen, wenn sich schließlich nur 8 Geschäfte an der Aktion beteiligen? 6. Eine Großhandlung röstet den Kaffee selbst. Aus 88 kg Rohkaffee gewinnt man 72 kg Röstkaffee. 6.1 Wie viel kg Rohkaffee sind erforderlich, um 58 kg Röstkaffee zu erhalten? 6.2 Wie viel kg Röstkaffee erhält man aus 46 kg Rohkaffee? 7. Ein Mitarbeiter im Außendienst erhält für den Verkauf von 180 Stück eine Provision von 992,00 EUR. Wie viel EUR beträgt seine Provision bei einem Verkauf von 315 Stück? 8. Zur Fertigstellung eines Auftrages beschäftigt ein Unternehmen 4 Aushilfskräfte 9 Tage lang. Wie viel Tage würde es dauern, wenn der Geschäftsinhaber zusätzlich noch 2 Aushilfskräfte für diesen Auftrag zur Aushilfe einstellen würde? 9. Ein Großmarkt bezieht eine Wagenladung Äpfel mit einem Gesamtnettogewicht von 620 kg zu 508,40 EUR. Wie viel EUR kostet ein Beutel Äpfel mit 2,5 kg Nettogewicht? 10. Das Lederwarenhaus Heinz Schöne e. Kfm. hat bei einem Lieferer 25 Lederjacken zu je 270,80 EUR bestellt. Wegen schlechter Verarbeitung schickt er sie an den Lieferer zurück. Der Lieferer hat lediglich noch höherwertigere Lederjacken am Lager, und zwar zum Stückpreis von 310,60 EUR. Wie viel Stück kann das Lederwarenhaus beziehen, wenn Heinz Schöne nicht mehr Geld als den ursprünglichen Rechnungsbetrag ausgeben will? 11. Ein Unternehmen bestellt Werbezettel und erhält hierfür eine Rechnung über 109,35 EUR. Zum gleichen Einzelpreis werden Werbezettel nachbestellt. Über wie viel EUR lautet die Rechnung für die Nachbestellung? 12. Zur Dekoration des Ausstellungsraumes benötigen wir 36 m Gardinenstoff, falls dieser 150 cm breit ist. Wie viel m brauchen wir, wenn der Stoff nur 120 cm breit ist? 13. Einer unserer Lkw verbraucht auf 100 km durchschnittlich 12,8 Liter Dieselkraftstoff. Wie viel Liter verbraucht er für eine Strecke von 420 km? 15

16 14. Eine Großhandlung bezieht eine Wagenladung Kartoffeln mit einem Gesamtnettogewicht von 785 kg zu 439,60 EUR. Wie viel EUR kostet ein Beutel mit 2,5 kg Nettogewicht? 15. Ein Mitarbeiter im Außendienst erhält für den Verkauf von 180 Stück eine Provision von 992,00 EUR. Wie viel EUR beträgt seine Provision bei einem Verkauf von 315 Stück? 16. Der Vorrat an Gemüsedosen reicht bei einem täglichen Verkauf von 48 Stück 24 Tage. Wie viel Tage reicht der gleiche Vorrat, wenn aufgrund einer Werbeaktion der tägliche Verkauf auf 72 Stück ansteigt? Arbeiter brauchen für einen bestimmten Auftrag 15 Tage zu je 8 Stunden. Wie viel Arbeiter müssten noch hinzugezogen werden, wenn der Auftrag in 10 Tagen fertig sein soll, die tägliche Arbeitszeit jedoch nicht erhöht werden kann? 18. Eine Aushilfskraft erhält für 26 Arbeitsstunden einen Bruttolohn von 364,00 EUR. Wie viel EUR beträgt der Bruttolohn, wenn die Arbeitszeit 34 Stunden beträgt? 19. Bei der Herstellung von 78 m 2 Teppichfliesen beträgt der Abfall 4,5 m 2. Wie viel m 2 Abfall fallen an, wenn 273 m 2 Teppichfliesen hergestellt werden? 20. Die monatliche Spesenpauschale für einen Mitarbeiter reicht für 26 Tage, wenn er täglich 24,00 EUR ausgibt. Wie viel Tage reichen die Spesen, wenn er täglich nur 20,00 EUR ausgibt? 21. Zum Belegen der Lagerräume mit Folie benötigen wir 48 Rollen mit einer Breite von 1,80 m. Wie viel Rollen braucht man, wenn die Breite 2,70 m beträgt? 22. Ein Übersetzungsbüro berechnet einem Unternehmen für die Übersetzung eines Textes von 96 Seiten 840,00 EUR. Wie viel EUR kostet die Übersetzung einer Arbeit, die 120 Seiten umfasst? 23. Die Kosten für die Reinigung der Geschäftsräume belaufen sich im Monat März bei 24 Arbeitstagen auf insgesamt 620,00 EUR. Wie viel EUR betragen die Reinigungskosten 23.1 im Mai (22 Arbeitstage) und 23.2 im Juli (18 Arbeitstage wegen Betriebsferien)? 24. Bei einem täglichen Verkauf von 70 Stück eines Artikels reicht der Vorrat noch 33 Tage. Wie viel Tage reicht der Vorrat, wenn der Tagesverkauf auf 90 Stück ansteigt? 25. Zum Auffüllen eines Lagerregals benötigen 3 Angestellte 5 Stunden. In welcher Zeit könnte die Arbeit von 2 Angestellten erledigt werden? 16

17 1.2 Währungsrechnen Einführung Am 1. Januar 1999 wurde in elf europäischen Ländern der Euro als gemeinsame Währung eingeführt. Dadurch bilden diese elf Länder in währungspolitischer Hinsicht ein einheitliches Gebiet, die sogenannte Europäische Währungsunion (EWU) oder auch als Europäische Wirtschafts- und Währungsunion (EWWU) bezeichnet. Auch die Bezeichnung Euroland ist üblich. Sofern die Konvergenzkritierien (Aufnahmebedingungen) erfüllt werden, können auch weitere europäische Länder dieser Währungsunion beitreten. Diesen Schritt haben inzwischen Griechenland, Slowenien, Malta, Zypern (griechischer Landesteil), die Slowakei und Estland vollzogen, sodass sich die ursprüngliche Zahl von elf auf siebzehn Mitgliedstaaten erhöht hat. 1 Mit der Schaffung einer einheitlichen gemeinsamen Währung in diesen Staaten ist ein großer Schritt in Richtung einer europäischen Vereinigung getan. Dieser Schritt bedeutet für die Mitgliedstaaten die Übertragung der geld- und währungspolitischen Maßnahmen an eine unabhängige supranationale Institution, die Europäische Zentralbank (EZB). Damit stellt das Gebiet dieser siebzehn Länder in währungspolitischer Hinsicht Inland dar. Dem Euro als Inlandswährung (Binnenwährung) dieser siebzehn Länder stehen die Währungen der übrigen Länder, die nicht diesem Währungsverbund angehören, als Fremdwährungen gegenüber. EWU Binnenwährung (Euro) andere Länder (Nicht-EWU-Länder) Fremdwährung (z. B. US-Dollar, Schweizer Franken) Grundbegriffe zum Währungsrechnen (1) Währung Unter der Währung versteht man das gesetzliche Zahlungsmittel eines Staates bzw. einer Staatengemeinschaft. Beispiele: Staat/Staatengemeinschaft Dänemark Großbritannien USA Europäische Wirtschafts- und Währungsunion Währung Kronen Pfund Dollar Euro (2) Wechselkurs Unter dem Wechselkurs versteht man das Austauschverhältnis zwischen verschiedenen Währungen. Die Mengennotierung ist die heute übliche Notierungsform in der Praxis der Kursnotierungen. Bei der Mengennotierung geht man jeweils von einem Euro aus. Die Frage lautet daher, welchem Wert ein Euro in der Fremdwährung entspricht. 1 Die siebzehn Länder der Europäischen Währungsunion sind: Belgien, Deutschland, Estland, Finnland, Frankreich, Griechenland, Irland, Italien, Luxemburg, Malta, Niederlande, Österreich, Portugal, Slowakei, Slowenien, Spanien und Zypern (griechischer Landesteil). 17

18 Beispiele: Einheit EWU-Länder Währung Nicht-EWU-Länder Währung Kurs 1 1 Euro Euro USA Dänemark USD DKK 1,3145 7,7754 Die Beispiele sagen aus, dass z. B. am Devisenmarkt ein Euro dem Wert von 1,3145 USD entspricht. Oder kurz: Kurs für 1 Euro 1,3145 Dollar, Kurs für 1 Euro 7,7754 DKK (3) Ankaufskurs (Geldkurs), Verkaufskurs (Briefkurs) 1 Die Bezeichnungen verstehen sich aus der Sicht einer im eigenen Währungsgebiet ansässigen Bank. Da die Bank genauso wie ein Warenhändler an dem Handel mit Fremdwährungen verdienen möchte, ist der Verkaufskurs höher als der Ankaufskurs. Der Betrag, der sich aus der Differenz beider Kurse ergibt (Kursspanne), ist der Ertrag (Rohgewinn) der Bank aus dem Handel mit Fremdwährungen. Will z. B. ein Deutscher bei seiner Bank eine bestimmtemenge einer Fremdwährung gegen Euro kaufen, so berechnet ihm die Bank den niedrigeren Ankaufskurs (Geldkurs), denn die Bank kauft Euro an. Will der Deutsche einen bestimmten Betrag einer Fremdwährung gegen Inlandswährung eintauschen, dann legt die Bank den höheren Verkaufskurs (Briefkurs) zugrunde, denn die Bank verkauft Euro. Beispiel: Einheit EWU-Länder Währung Nicht-EWU-Länder Währung Ankauf Verkauf 1 Euro USA USD 1,3245 1,3372 Das Beispiel besagt, dass der Ankauf von einem Euro 1,3245 USD kostet und der Verkauf von einem Euro 1,3372 USD kostet. Wenn die Bank USD verkauft, kauft sie Euro an. Daher gilt der Ankaufskurs. Ankauf von Fremdwährung Verkauf von Euro daher Briefkurs B a n k Verkauf von Fremdwährung Ankauf von Euro daher Geldkurs (4) Sorten und Devisen Sorten Als Sorten bezeichnet man Banknoten und Münzen einer Fremdwährung. Sorten werden von den Banken für den privaten und geschäftlichen Reiseverkehr in Fremdwährungsgebiete bereitgestellt. 1 Im Sortenhandel werden in der Regel die Begriffe Ankauf und Verkauf verwendet, im Devisenhandel die Begriffe Geld und Brief. 18

19 Devisen Unter Devisen versteht man fremde Zahlungsmittel in Form von Buchgeld (z. B. Schecks, Wechsel, Zahlungsanweisungen). Devisen spielen insbesondere im Import- und Exportgeschäft mit Fremdwährungsländern eine Rolle. Die Kursbildung auf den Devisenmärkten vollzieht sich nach den gleichen Grundsätzen, wie die Preisbildung auf den Gütermärkten. Die täglich in den Wirtschaftsteilen der Zeitungen veröffentlichten Wechselkurse sind Referenzkurse, d. h., vom EZB empfohlene Kurse. Die von den privaten Banken aufgrund des Devisenangebots und der Devisennachfrage ermittelten Orientierungspreise weichen nicht wesentlich von den Referenzkursen ab Sortenhandel und Sortenkurse Die Mengennotierung führt zu der folgenden Sortenkursnotierung, wie sie auszugsweise aus einer Sortenkurstabelle einer Bank dargestellt wird. Ausschnitt aus einer Sortenkurstabelle 1 Euro Land Währung Ankauf Verkauf USA Kanada Großbritannien Schweiz Dänemark Norwegen Australien Japan USD CAD GBP CHF DKK NOK AUD JPY 1,2220 1,2860 0,7810 1,3610 7,1200 7,3100 1, ,3000 1,3450 1,3360 0,8310 1,4210 7,7700 8,2100 1, ,1700 Beispiel: Herr Reiter, Geschäftsführer der Josef Reiter GmbH, tauscht bei seiner deutschen Bank für eine Geschäftsreise in die Schweiz zu einer Verkaufsmesse 1 250,00 EUR um. Aufgabe: Wie viel Schweizer Franken bekommt Herr Reiter lt. obiger Sortenkurstabelle ausbezahlt? 1,00 EUR 1,3610 CHF 1 250,00 EUR x CHF x = 1, ,00 x = 1 701,25 CHF Ergebnis: Für seine 1 250,00 EUR erhält Herr Reiter 1 701,25 CHF. Wir merken uns: Die Kursangabe in der heute üblichen Mengennotierung bezieht sich auf einen Euro. Die Frage nach dem Kurs (Ankaufskurs oder Verkaufskurs) kann nur aus der Sicht des Euro entschieden werden. 19

20 Kauft die Bank eine Fremdwährung an, (zahlt sie) verkauft sie Euro. Daher ist der Verkaufskurs zugrunde gelegt. Verkauft die Bank eine Fremdwährung (erhält sie) kauft sie Euro. Daher ist der Ankaufskurs zugrunde zu legen. Übungsaufgaben 4 1. Ein kanadischer Geschäftsmann befindet sich auf seiner Europareise in Deutschland. Sein nächstes Reiseziel ist die Schweiz. Vor Antritt seiner Reise in die Schweiz tauscht er bei einer deutschen Bank 1 000,00 kanadische Dollar in Schweizer Franken um. Die Notierungen lauten wie folgt: 1 Euro Land Währung Ankauf Verkauf Kanada Schweiz CAD CHF 1,3980 1,5810 1,4010 1,5940 Wie viel CHF erhält der kanadische Geschäftsmann ausbezahlt? 2. Herr Krause tauscht vor seiner Geschäftsreise nach Norwegen bei seiner Bank 3 250,00 EUR in norwegische Kronen um. Es gilt folgender Kurs: NOK, Ankauf: 7,9562, Verkauf: 8, Wie viel NOK erhält Herr Krause? 2.2 Bei seiner Rückkehr nach Deutschland hat Herr Krause noch 875,00 NOK, die er bei seiner Bank bei folgenden Kursen zurücktauscht: NOK, Ankauf: 7,9134, Verkauf: 8,0140 Wie viel EUR erhält er? 5 1. Berechnen Sie aufgrund der auf Seite 19 angegebenen Kurstabelle die Eurowerte, die ein deutscher Tourist beim Ankauf folgender Fremdwährungen bei seiner Bank bezahlen muss! Nr. Land Währung Betrag USA Japan England Schweiz USD JPY GBP CHF 1 500, , , ,00 2. Berechnen Sie aufgrund der auf Seite 19 angegebenen Kurstabelle die Eurowerte, die ein deutscher Tourist nach seiner Rückreise beim Umtausch folgender Restposten an nicht verbrauchten Fremdwährungen von seiner Bank erhält! Nr. Land Währung Betrag Kanada Australien Norwegen Dänemark CAD AUD NOK DKK 750,00 520, , ,00 20

21 Vor seiner Abreise nach Australien tauscht ein Mitarbeiter der Ummenhofer GmbH 3500,00 EUR in AUD um. Kurs: AUD Ankauf 1,2790 Verkauf 1,6580 Wie viel AUD erhält Herr Krause? 1.2 Nach seiner Rückkehr nach Deutschland hat der Mitarbeiter noch 1540,00 AUD, die er bei seiner Bank in EUR zurücktauscht. Kurs: AUD Ankauf 1,2630 Verkauf 1,6260 Wie viel EUR erhält er? 2. Herr Fröhlich, Geschäftsführer der Fröhlich GmbH beabsichtigt eine Geschäftsreise nach Skandinavien zu unternehmen. Vor seiner Abreise deckt er sich über seine Bank mit den entsprechenden Währungen dieser Länder ein. Es liegen die folgenden Kursnotierungen vor: 1 Euro Land Kurs Ankauf Verkauf Norwegen Schweden NOK SEK 7,8165 8,4907 8,7465 9,3907 Erstellen Sie für Herrn Fröhlich die Abrechnung der Bank! 3. Nach ihrer Rückkehr aus den USA tauscht Frau Becker bei ihrer Bank 2150,00 USD in EUR um. Es gilt folgender Kurs: USD, Ankauf 1,2360 Verkauf 1,3260. Wie viel EUR erhält sie? Devisenhandel und Devisenkurse (1) Allgemeines Im geschäftlichen Verkehr mit dem Ausland werden keine Sorten, sondern Devisen gehandelt. Dementsprechend werden auch bei der Zahlungsabwicklung von Export- und Importgeschäften die entsprechenden Devisenkurse zugrunde gelegt. Bei den Devisenkursen gibt es für die eingeführte Mengennotierung nur eine Sichtweise. Der Euro ist die gehandelte Währung. Daher wird jedes Devisengeschäft aus der Sicht des An- und Verkaufs von Euro betrachtet.wie jeder Kaufmann verkauft auch die Bank die gehandelte Ware (EUR) zu einem höheren Wert (Kurs) als sie diese einkauft. Daher ist der Verkaufskurs (Briefkurs) für den Euro höher als der Ankaufskurs (Geldkurs). Man muss sich daher immer klarmachen, dass die Bank beim Verkauf der Fremdwährung Euro ankauft und beim Ankauf einer Fremdwährung Euro verkauft. Ausschnitt aus einer Devisenkursnotierung 1 Euro Währung Geld Brief USD 1,2472 1,2488 Erläuterung: Die Kursnotierung bedeutet, dass beim Ankauf von einem Euro der niedrige Geldkurs von 1,2472 USD und beim Verkauf von einem Euro der höhere Briefkurs von 1,2488 USD zugrunde gelegt wird. 21

22 (2) Umrechnung von ausländischen Währungen in Euro auf der Grundlage der Devisenkurse Land USA Japan England Schweiz Kanada Schweden Norwegen Dänemark Ausschnitt aus einer Notierung von Devisenkursen Währung USD JPY GBP CHF CAD SEK NOK DKK Geld 1, ,7600 0,8308 1,3889 1,2621 9,5928 7,9890 7, Euro Brief 1, ,8100 0,8312 1,3893 1,2634 9,5978 8, , Beispiel 1: Export nach USA Ein deutscher Maschinengroßhändler liefert eine Maschine in die USA. Vereinbarungsgemäß erfolgt die Fakturierung in USD. Der Preis für die Maschine beträgt ,00 USD. Aufgabe: Welchen Eurobetrag schreibt die Bank (ohne Berücksichtigung von Bankgebühren) ihrem Kunden für den Ankauf der ,00 Dollar gut? In diesem Beispiel verkauft die Bank EUR. Daher legt sie den höheren Briefkurs zugrunde. 1,2392 USD 1,00 EUR ,00 USD x EUR x = : 1,2392 = ,75 EUR Ergebnis: Die Bank schreibt dem Kunden ,75 EUR gut. Beispiel 2: Import aus USA Ein deutscher Importeur bezieht aus USA einen Spezialbagger. Der vereinbarte Preis beträgt ,00 USD. Aufgabe: Mit welchem Eurobetrag belastet die Bank ihren Kunden. Von Nebenkosten wird abgesehen. In diesem Fall kauft die Bank EUR an. Daher legt sie den niedrigeren Geldkurs zugrunde. 1,2367 USD 1,00 EUR ,00 USD x EUR x = : 1,2367 = ,16 EUR Ergebnis: Die Bank belastet den Kunden mit ,16 EUR. Zusammenfassende Erkenntnis aus beiden Beispielen: Beim Ankauf von ,00 USD (Verkauf von Euro) schreibt die Bank dem Kunden aufgrund des geltenden Briefkurses ,75 EUR gut. Beim Verkauf des gleichen Betrages belastet die Bank den Kunden aufgrund des notierten Geldkurses mit ,16 EUR. Da die Bank dem Kunden einen höheren Betrag belastet als sie ihm gutschreibt, hat die Bank aus dem An- und Verkauf von Euro einen Ertrag (Rohgewinn) in Höhe der Differenz beider Beträge erzielt (73,41 EUR).

23 Wir merken uns: Beim Ankauf von Fremdwährung in Form von Devisen durch die Bank verkauft die Bank EUR. Daher erfolgt die Gutschrift auf dem Kundenkonto zum Briefkurs. Beim Verkauf von Fremdwährung in Form von Devisen kauft die Bank EUR. Daher erfolgt die Lastschrift auf dem Kundenkonto zum Geldkurs. Die Lastschrift aufgrund des Geldkurses ist immer höher als die Gutschrift aufgrund des Briefkurses. Übungsaufgaben 7 1. Berechnen Sie aufgrund der vorliegenden Kurse von Seite 22 für einen deutschen Exporteur die Bankgutschriften für die folgenden in der jeweiligen Auslandswährung ausgestellten Rechnungsbeträge: ,00 USD ,00 CHF 2. Berechnen Sie aufgrund der Devisenkurse von Seite 22 für einen deutschen Importeur die einzelnen Banklastschriften für die folgenden in der jeweiligen Auslandswährung vorliegenden Rechnungsbeträge: ,00 CAD ,00 GBP ,00 DKK 3. Eine deutsche Möbelgroßhandlung bezieht aus der Schweiz 150 Bürostühle zu je 420,00 CHF. Vereinbarungsgemäß wird die Rechnung in CHF ausgestellt. Mit welchem Betrag wird die Möbelgroßhandlung aufgrund der vorliegenden Devisenkursnotierungen von Seite 22 auf ihrem Bankkonto belastet? 4. Wir haben an einen kanadischen Kunden eine Spezialmaschine verkauft und erhalten vereinbarungsgemäß einen Scheck über ,00 CAD. Welchen EUR-Betrag schreibt uns die Bank aufgrund der vorliegenden Devisenkurse von Seite 22 gut? 5. Auf der Messe wurden Waren an einen Messebesucher aus der Schweiz und an einen aus England verkauft. Die Preise wurden jeweils in der ausländischen Währung vereinbart. Der Schweizer hat 9 800,00 CHF und der Engländer ,00 GBP zu zahlen. Welcher EUR-Betrag wird unserem Bankkonto aufgrund der vorliegenden Kursnotierungen von Seite 22 gutgeschrieben? 6. Ein deutscher Textilgroßhändler bezieht Seide aus Japan. Als Rechnungspreis wurde ein Betrag von ,00 JPY vereinbart. Mit welchem Betrag wird unter Zugrundelegung der Devisenkurse von Seite 22 der Großhändler von seiner Bank belastet? 7. Für einen gleichwertigen Artikel liegen einem Großhandelskaufmann zwei Angebote vor. Der Artikel kann bezogen werden aus Großbritannien für 392,00 GBP je Stück und aus Norwegen für 3 957,75 NOK je Stück. Welches Angebot ist unter Berücksichtigung der vorliegenden Devisenkurse von Seite 22 günstiger? 23

24 8. G Y S I N ZAHNRÄDER UND GETRIEBE Kern GmbH Elektromotoren Gutenbergstrasse 1 D FRIEDRICHSHAFEN 1 RECHNUNG NR CH 4452 Itingen, Kunden-Nr Unser Ref.: Fritz Sutter/tf MWST-Nr.: Ihre Bestellung Nr vom I/Ref. A. Bucher Lieferkonditionen EXW ab Werk CH 4452 Itingen, unverpackt, unverzollt Zahlungskonditionen 30 Tage netto/15 Tage 2 % Skonto POS. BEZEICHNUNG MENGE PREIS % BETRAG CHF 10 GYSIN-Planetengetriebe PLC 42-1 Untersetzung 3.5:1, einstufig Art. Nr. 300a-906 Standard-Ausführung mit spez. Abgangswelle PLC-Ausführung Sonderflansch passend an Motor Typ BLSM 40 Lieferfrist Stk. 493,00 15,00 419,05 TOTALBETRAG BESTÄTIGUNG CHF 419,05 GYSIN AG CH-4452 ITINGEN ZELGLIWEG TEL FAX INFO@GYSIN.COM Mit wie viel EUR wird die Kern GmbH von der Bank belastet, wenn sie den Rechnungsbetrag unter Abzug von 2% Skonto begleicht und die Bank 4,80 EUR Gebühren berechnet? Legen Sie der Berechnung den Devisenkurs von Seite 22 zugrunde! 24

25 8 1. Ein international tätiges deutsches Handelsunternehmen kauft in Norwegen Spezialbohrer zum Preis von ,00 NOK je Stück. Währung: NOK, Geld: 8,1683, Brief: 8,1763 Anschließend werden 10 Bohrer mit einem Preisaufschlag von 15 % nach Singapur verkauft. Die Rechnung wird vereinbarungsgemäß in Singapur-Dollar ausgestellt. Währung: SGD, Geld: 1,7179, Brief: 1, Über welchen Betrag lautet die Rechnung an den Abnehmer in Singapur? 1.2 Wie viel verdient das Handelsunternehmen, wenn die Bank für die Abwicklung der Zahlung 12,68 EUR berechnet? 2. Eine Maschinengroßhandlung in Dresden hat an einem Tag folgende Zahlungseingänge: aus Kanada ,00 CAD, aus Japan ,00 JPY, aus der Schweiz ,00 CHF. Berechnen Sie aufgrund der Devisenkurse von Seite 22 die Bankgutschriften in EUR! 3. Welche Bankbelastung ergibt sich für eine Überweisung in die USA in Höhe von ,00 USD bei folgender Devisenkursnotierung: Währung: USD, Geld: 1,2711, Brief: 1, Ein englisches Unternehmen hat am 8. Januar des Jahres bei der Bamberger Maschinen AG eine Webmaschine bestellt. Als Rechnungspreis wurden ,00 GBP vereinbart, zahlbar bei Lieferung. Die Lieferung erfolgte am 28. Januar des Jahres. Am 28. Januar ergab sich folgende Devisenkursnotierung: Währung: GBP, Geld: 0,8882, Brief: 0, Welcher Eurobetrag wird der Bamberger Maschinen AG von ihrer Bank gutgeschrieben? 2. Welcher Gutschriftsbetrag würde sich ergeben, wenn vereinbart worden wäre, die Zahlung am Tag der Bestellung zu leisten, an dem sich folgende Notierung ergab: Währung: GBP, Geld: 0,9142, Brief: 0,

26 1.3 Durchschnittsrechnen Einfacher Durchschnitt Beispiel: Ein Kaufmann möchte am 30. Juni den durchschnittlichen Lagerbestand einer Warenart zu Einstandspreisen für die vergangenen 6 Monate ermitteln. Für die einzelnen Monate waren folgende Werte festgehalten worden: 30. Jan ,00 EUR 30. April ,00 EUR 28. Febr ,00 EUR 31. Mai ,00 EUR 31. März ,00 EUR 30. Juni ,00 EUR Aufgabe: Wie viel EUR beträgt der durchschnittliche Lagerbestand? ø Lagerbestand = = ,00 EUR 6 Ergebnis: Der durchschnittliche Lagerbestand beträgt ,00 EUR. Allgemeiner Lösungsweg 1. In einem ersten Schritt werden die einzelnen Werte addiert. 2. In einem zweiten Schritt wird die Summe der Werte durch die Anzahl derwerte geteilt. Summe der Werte Einfacher Durchschnitt = Anzahl der Werte Übungsaufgabe Der Lagerbestand einer Ware beträgt im zweiten Halbjahr: Monat Anzahl Wert Juli August September Oktober November Dezember ,00 EUR 2 020,00 EUR 1 590,00 EUR 4 010,00 EUR 2 110,00 EUR 1 620,00 EUR 1.1 Welche durchschnittliche Anzahl an Waren war am Lager? 1.2 Wie viel EUR betrug der durchschnittliche Lagerbestand? 26

27 2. Ein Einzelhandelsgeschäft ermittelte in der vergangenen Woche die Kundenzahlen, um den durchschnittlichen Umsatz je Kunde zu errechnen. Tag Kundenzahl Tageslosung Montag Dienstag Mittwoch Donnerstag Freitag Samstag ,40 EUR 1 770,80 EUR 5 160,00 EUR 940,20 EUR 4 320,00 EUR 8 220,60 EUR 2.1 Wie viel EUR betrug der Durchschnittsumsatz je Tag? 2.2 Berechnen Sie die durchschnittliche Kundenzahl je Tag! 2.3 Wie viel EUR betrug der Durchschnittsumsatz je Kunde in der vergangenen Woche? 3. Eine Winzergenossenschaft stellt fest, dass für ihren Hauswein Das Weinreberl in den letzten 5 Jahren folgende Preise erzielt wurden: 1. Jahr: 7,10 EUR; 2. Jahr: 6,60 EUR; 3. Jahr: 7,90 EUR; 4. Jahr: 8,20 EUR; 5. Jahr: 6,30 EUR. Welchen Durchschnittspreis erzielte die Winzergenossenschaft für den Wein in den vergangenen 5 Jahren? 4. Ein Unternehmen hatte im vergangenen Geschäftsjahr folgende Monatsumsätze: Monat Umsatz Monat Umsatz Monat Umsatz Januar Februar März April ,00 EUR ,00 EUR ,00 EUR ,00 EUR Mai Juni Juli August ,00 EUR ,00 EUR ,00 EUR ,00 EUR September Oktober November Dezember ,00 EUR ,00 EUR ,00 EUR ,00 EUR 4.1 Wie viel EUR betrug der Jahresumsatz? 4.2 Wie viel EUR betrug der durchschnittliche Monatsumsatz? 4.3 Wie viel EUR betrug der durchschnittliche Tagesumsatz bei 295 Verkaufstagen? 4.4 Wie viel EUR betrug der Jahresumsatz je Mitarbeiter, wenn das Geschäft 3 Mitarbeiter beschäftigt? 5. Ein Mitarbeiter im Außendienst legte in der Woche vom 2. April 6. April mit dem Pkw folgende Tagesstrecken für Kundenbesuche zurück: 2. April 3. April 280 km 125 km 4. April 5. April 364 km 212 km 6. April 304 km Wie viele km ist er am Tag durchschnittlich gefahren? 6. Um sich ein Urteil über die Preisentwicklung auf dem Markt für Südfrüchte bilden zu können, notiert sich der Inhaber einer Früchtehandlung eine Woche lang die Preise für ein 5-kg-Netz Orangen auf dem Großmarkt. Die Preise an den verschiedenen Wochentagen betrugen: Montag 10,50 EUR Donnerstag 9,70 EUR Dienstag 11,20 EUR Freitag 10,80 EUR Mittwoch 9,80 EUR Samstag 12,40 EUR Wie viel EUR betrug der durchschnittliche Großmarktpreis für 5 kg Orangen? 27

28 1.3.2 Gewogener Durchschnitt Beispiel: Ein Einzelhandelsgeschäft möchte am Eingang des Ladens einen großen Korb mit Sonderangeboten aufstellen. Die im Korb angebotenen Waren sollen zu einem Einheitspreis verkauft werden. Vorhanden sind: Anzahl bisheriger Verkaufspreis je Einheit 12,60 EUR 27,80 EUR 26,10 EUR 16,40 EUR Aufgabe: Mit welchem Durchschnittspreis muss der Einzelhändler die Waren auszeichnen, wenn der gesamte Verkaufserlös unverändert bleiben soll? Einzel- Preis je Gesamtwert je menge Einheit Einzelmenge 6 12,60 EUR = 75,60 EUR 12 27,80 EUR = 333,60 EUR 8 26,10 EUR = 208,80 EUR 20 16,40 EUR = 328,00 EUR Gesamtmenge 46 Gesamtwert 946,00 EUR 1 x EUR Probe: 46 20, EUR ergibt einen Gesamterlös von 946,00 EUR. x = = 20,57 EUR (genau: 20,565217) 46 Ergebnis: Die Ware muss mit einem Preis von 20,57 EUR ausgezeichnet werden. Erläuterungen zur Aufgabe Die Preise für die einzelnen Waren dürfen nicht wie beim einfachen Durchschnitt nur zusammengezählt und dann durch die Anzahl der Sorten (in unserem Beispiel 4) geteilt werden. Begründung: Da von der Ware zu 27,80 EUR noch 12 Stück vorhanden sind, fallen diese stärker ins Gewicht als etwa die 6 Stück zu 12,60 EUR, d. h., unterschiedliche Einzelmengen müssen bei der Berechnung eines Durchschnittspreises berücksichtigt (gewichtet) werden. Es ist der Gesamtwert der jeweiligen Warenart zu ermitteln (Einzelmenge x Preis je Einheit, z. B. 6 x 12,60 EUR = 75,60 EUR). Die Summe der Gesamtwerte ist dann durch die Gesamtmenge zu dividieren. Allgemeiner Lösungsweg 1. Die Einzelmengen und der jeweilige Preis je Einheit sind im Lösungsschema festzuhalten. 2. Die Multiplikation von Einzelmenge x Preis je Einheit ergibt den Gesamtwert je Einzelmenge. 28

29 3. Durch Addition der Einzelmengen und der Gesamtwerte je Einzelmenge sind die Gesamtmenge und der Gesamtwert zu errechnen. 4. Der gewogene Durchschnittspreis je Einheit wird ermittelt durch Division des Gesamtwertes durch die Gesamtmenge. 5. Die Proberechnung: Gesamtmenge x Durchschnittspreis ergibt wiederum den Gesamtwert. Übungsaufgaben Ein Einzelhändler stellt einen Wühlkorb aus drei Warenarten zusammen, die zu einem Durchschnittspreis als Sonderangebot verkauft werden sollen. 12 Stück zum bisherigen Preis von 3,18 EUR je Stück 8 Stück zum bisherigen Preis von 3,40 EUR je Stück 20 Stück zum bisherigen Preis von 2,71 EUR je Stück Zu welchem EUR-Betrag je Stück wird der Wühlkorb ausgezeichnet? 2. Eine Großhandlung mischt ihre beliebte Mischung Hustenbonbons. Dazu verwendet die Großhandlung fünf Sorten von Bonbons: Salbeigeschmack: 5 kg Preis je kg 13,10 EUR Malzgeschmack: 8 kg Preis je kg 12,40 EUR Huflattichgeschmack: 2 kg Preis je kg 14,10 EUR Kamillengeschmack: 10 kg Preis je kg 11,90 EUR Honiggeschmack: 12 kg Preis je kg 11,85 EUR Wie viel EUR beträgt der Verkaufspreis für einen 125-g-Beutel? 3. Eine Textilfabrik hat einen Sonderposten Mäntel wie folgt verkauft: 120 Stück zum regulären Preis von 99,80 EUR, 65 Stück zu einem Sonderpreis von 79,90 EUR und den Rest von 30 Stück im Winterschlussverkauf zu 59,90 EUR. Welchen Durchschnittspreis je Mantel erzielte die Textilfabrik? 4. Eine Kaffeerösterei mischt drei Sorten Kaffee: Sorte I: 16 kg zu je 18,40 EUR Sorte II: 24 kg zu je 16,20 EUR Sorte III: 12 kg zu je 13,80 EUR Beim Rösten entsteht ein Gewichtsverlust von 8,32 kg. Wie viel EUR kostet 1 / 4 kg der Mischung, wenn für Arbeitslohn 26,80 EUR einkalkuliert werden? 5. Drei Getreidesorten sollen zu einer Müsli-Mischung gemischt werden. Dafür vorgesehen sind 6 kg Roggen zu 1,90 EUR/kg, 10 kg Weizen zu 2,60 EUR/kg und 4 kg Hafer zu 1,60 EUR/kg. Wie viel EUR kosten 500 g dieser Mischung? 29

30 6. Ein Kaufhaus will am Ladeneingang Schüttkörbe mit Pralinenmischungen von Packungen zu jeweils 125 g aufstellen. Folgende Mengen an Pralinen werden hierzu verwendet: 30 kg je 5,60 EUR für 1/2 kg; 16 kg je 13,20 EUR für 1 kg; 14 kg je 7,80 EUR für 1 / 2 kg Für wie viel EUR kann die 125-g-Packung angeboten werden, wenn an Verpackungsmaterial insgesamt 14,40 EUR anfallen? 7. Ein Teppichhaus hat 6 Rollen Teppichboden mit je 45 m Länge verkauft. Zum regulären Preis von 24,80 EUR je m wurden 148 m verkauft. 65 m wurden mit einem Nachlass von 5 % und 49 m wegen eines kleinen Webfehlers zu 16,10 EUR je m abgesetzt. Der Rest wurde als Resteverkauf zum Sonderpreis von 20,00 EUR verkauft. Wie viel EUR hat der durchschnittliche Verkaufspreis betragen? Das Textilhaus Fritz Wolle e. Kfm. stellt am Ladeneingang einen Wühltisch mit Hemden, Blusen, Schürzen und Röcken auf. Alles soll zu einem Einheitspreis verkauft werden. Vorhanden sind: 15 Hemden zu 21,90 EUR 18 Schürzen zu 12,80 EUR 11 Blusen zu 15,40 EUR 24 Röcke zu 28,50 EUR Welchen Durchschnittspreis muss Fritz Wolle verlangen, damit der gesamte Verkaufserlös unverändert bleibt? 2. Ein Süßwarenhaus will für das Weihnachtsgeschäft am Ladeneingang Schüttkörbe mit Pralinenmischungen von Packungen zu jeweils 125 g aufstellen. Folgende Mengen an Pralinen werden hierzu verwendet: 15 kg je 2,80 EUR für 1/2 kg; 8 kg je 6,60 EUR für 1 kg; 7 kg je 3,90 EUR für 1 / 2 kg Für wie viel EUR kann die 125-g-Packung angeboten werden, wenn an Verpackungsmaterial insgesamt 14,40 EUR anfallen? 3. Ein Sportgeschäft hat 1000 Packungen Tennisbälle zu je 6 Stück am Lager Bälle werden zu 1,40 EUR je Ball und Bälle werden zu 0,90 EUR je Ball verkauft. Der Rest ist wegen zu langer Lagerung nicht verkäuflich. Welchen Durchschnittserlös erzielte das Sportgeschäft pro Packung? 4. Der Inhaber eines Reformgeschäftes will eine spezielle Hausteemischung herstellen. Dazu verwendet er 14 kg Pfefferminze zu 22,00 EUR je kg, 12 kg Hagebutte zu 25,00 EUR je kg und 16 kg Melisse zu 27,00 EUR je kg. Die Hausteemischung wird in 50-g-Beuteln verkauft. Wie viel EUR kostet ein Beutel der Hausteemischung? 5. Eine Saline hatte folgende Kosten für eine Monatsproduktion verkaufsfertigen Speisesalzes: Verbrauch von Betriebsstoffen ,00 EUR Löhne und Gehälter ,00 EUR Sonstige Kosten ,00 EUR Lagerbestand am Monatsanfang 27,8 t Verkaufte Menge 492,1 t Lagerbestand am Monatsende 43,6 t 5.1 Wie viel t betrug die Monatsproduktion? 5.2 Wie viel EUR betragen die Kosten je t? 5.3 Der Nettoverkaufspreis (ohne Umsatzsteuer) für 1 / 2 kg abgepacktes Salz beträgt 0,51 EUR Welcher Gewinn in EUR wurde je kg erzielt? Wie viel EUR betrug der Gesamtgewinn der verkauften Menge? 30

31 1.4 Verteilungsrechnen Im kaufmännischen Bereich spielt das Verteilungsrechnen eine wichtige Rolle, gilt es doch beispielsweise, Kosten auf die verschiedenen Produkte, Gewinne auf die einzelnen Gesellschafter oder Lohnprämien auf die Anzahl der Mitarbeiter aufzuteilen. Das Grundanliegen des Verteilungsrechnens ist immer das gleiche: Eine Gesamtmenge wird mithilfe eines Verteilungsschlüssels in einzelne Anteile aufgeteilt Verteilung nach ganzen Anteilen und nach Bruchteilen Beispiel 1: In einem Geschäftszentrum sind 4 kleinere Unternehmen untergebracht. An Heizkosten fallen monatlich 2 016,00 EUR an. Sie werden nach den beanspruchten m 2 umgelegt. Es wurde folgender Schlüssel vereinbart: Unternehmen I: 240 m 2, Unternehmen II: 168m 2, Unternehmen III: 144 m 2 und Unternehmen IV: 216 m 2. Aufgabe: Welcher Heizkostenanteil entfällt auf die einzelnen Unternehmen? Aufteilungsgrund Verteilungsschlüssel Teile Anteile Unternehmen I II III IV Größe in m 2 gekürzte Anteile Kostenanteile 630,00 EUR 441,00 EUR 378,00 EUR 567,00 EUR Summe der Teile: 32 Teile 2 016,00 EUR Heizkosten (Gesamtwert) 1 Teile 2 016,00 EUR : 32 = 63,00 EUR Ergebnis: Die verschiedenen Unternehmen werden durch die Heizkosten wie folgt belastet: Unternehmen I: mit 630,00 EUR, Unternehmen II: mit 441,00 EUR, Unternehmen III: mit 378,00 EUR, Unternehmen IV: mit 567,00 EUR. Probe: Die Addition der Kostenanteile ergibt wiederum die gesamten Heizkosten: 630,00 EUR + 441,00 EUR + 378,00 EUR + 567,00 EUR = 2016,00 EUR. Allgemeiner Lösungsweg 1. Es ist zu überprüfen, ob sich der Verteilungsschlüssel durch Kürzen vereinfachen lässt. 2. Addition der Teile. 3. Über die Division des Gesamtwertes durch die Summe der Teile erhält man den Wert eines Teils. 4. Durch die Multiplikation der einzelnen Teile mit dem Wert eines Teiles erhält man den Wert für die Anteile. Probe: Die Addition der einzelnen Anteile muss wiederum den Gesamtwert ergeben. 31

32 Beispiel 2: Aufgrund der guten Geschäftslage und der verstärkten Mitarbeit der 3 Angestellten verteilt der Geschäftsinhaber eine Prämie an seine Mitarbeiter. Adelheid erhält 1 / 5, Berta 1 / 4 und Cäcilie den Rest. Dieser entspricht 880,00 EUR. Aufgabe: Wie viel EUR Prämie erhalten die einzelnen Angestellten und welchen Gesamtbetrag schüttet der Inhaber aus? Angestellte Adelheid Berta Cäcilie Verteilungsschlüssel 1/5 1/4 Rest Teile 4/20 = 4 5/20 = 5 11/20 = 11 Summe der Teile : Teile 1 Teile Anteile 320,00 EUR 400,00 EUR 880,00 EUR ,00 EUR ,00 EUR 880,00 EUR : 11 = 80,00 EUR Ergebnis: Die Angestellten erhalten folgende Prämien: Adelheid 320,00 EUR, Berta 400,00 EUR und Cäcilie 880,00 EUR. Die gesamte Ausschüttungssumme beträgt 1 600,00 EUR. Probe: Die Summe der Anteile ergibt wiederum die Gesamtprämie: 320,00 EUR + 400,00 EUR + 880,00 EUR = 1 600,00 EUR. Erläuterungen zur Aufgabe: 1. Da der Verteilungsschlüssel in ungleichnamigen Brüchen angegeben ist, muss zunächst der Hauptnenner gesucht werden. Er beträgt 20. Die Brüche werden auf den Hauptnenner 20 erweitert. Der Bruchanteil für Cäcilie (Restanteil) ergibt sich durch Subtraktion der einzelnen Teile von dem Ganzen (20/20). Da es hier nur um das Verhältnis der einzelnen Teile geht, kann der gemeinsame Nenner weggelassen werden. 2. Der Anteil für Cäcilie beträgt 880,00 EUR, was 11 Teilen entspricht. Durch Division erhält man den Wert eines Teils (880,00 : 11 Teile = 80,00 EUR). Durch Multiplikation mit den jeweiligen Teilen können nun die einzelnen Anteile errechnet werden. Die Summe der Anteile ergibt den Gesamtbetrag. Übungsaufgabe Verteilen Sie die folgenden Kapitalien im angegebenen Verhältnis! ,00 EUR Kapital im Verhältnis 3 : 4 : ,00 EUR Kapital im Verhältnis 2 : 5 : 7 : ,00 EUR Kapital im Verhältnis 3 : 2 : 9 : ,00 EUR Kapital im Verhältnis 3 : 4 : 5 32

33 2. Ein Lebensmittelgroßmarkt hat neben seinem Hauptgeschäft noch 2 Filialen. Im laufenden Geschäftsjahr wurden ,00 EUR für Werbeaktionen ausgegeben. Aus kostenrechnerischen Gründen sind diese Ausgaben auf die 3 Geschäfte zu verteilen. Verteilungsgrundlage sind die Jahresumsätze. Hauptgeschäft: ,00 EUR Filiale I: ,00 EUR Filiale II: ,00 EUR Wie viel EUR Werbekosten entfallen auf jedes Geschäft? 3. Vier Unternehmen bauten gemeinsam ein Parkhaus. Das Kaufhaus Abel war mit ,00 EUR beteiligt. Die übrigen 3 Betriebe trugen folgende Anteile an den Kosten: Textilhaus Bauer 1 / 6, Sporthaus Canz 1 / 8, Uhren-Diehm 1 / Wie viel EUR mussten Bauer, Canz und Diehm jeweils an Baukosten aufbringen? 3.2 Wie viel EUR betrugen die gesamten Baukosten des Parkhauses? 4. Drei Kaufleute gründen eine Großhandlung. A bringt ,00 EUR, B 1 / 4 und C 1 / 3 des Gesamtkapitals auf. 4.1 Wie viel EUR betragen die Einlagen von B und C? 4.2 Wie viel EUR erhält jeder Kaufmann, wenn der Reingewinn in Höhe von ,00 EUR im Verhältnis der Kapitalanteile verteilt wird? 5. Drei Spielwarengeschäfte stellen gemeinsam auf der Frühjahrsmesse aus. Dabei wird ein Umsatz von ,00 EUR erzielt. Der Einstandspreis der Spielwaren betrug 8 100,00 EUR. An Kosten fielen 3 100,00 EUR an. Der Reingewinn wird folgendermaßen verteilt: 300,00 EUR sollen dem Roten Kreuz gespendet werden, der Rest wird entsprechend der Arbeitsleistung am Messestand verteilt (A: 80 Stunden, B: 96 Stunden, C: 64 Stunden). 5.1 Wie viel EUR beträgt der Reingewinn und wie viel EUR der gespendete Betrag? 5.2 Berechnen Sie die Gewinnanteile von A, B, und C! 6. Nach Abschluss des Weihnachtsgeschäftes verteilt der Geschäftsinhaber an die fest angestellten Verkäuferinnen und 2 Aushilfskräfte eine Prämie in Höhe von 1 585,50 EUR. Die Aufteilung erfolgt nach den geleisteten Überstunden. Die Mitarbeiter haben folgende Überstunden geleistet: Maria: 42 Paula: 32 Olga: 28 Nora: 35 Agnes: 14 Welchen EUR-Betrag erhält jede Mitarbeiterin ausbezahlt? 7. Die Brüder Franz, Fritz und Fabian Schlau sind die Gesellschafter der Schlau GmbH. Franz ist mit 1 / 5, Fritz mit 1 / 7 und Fabian mit ,00 EUR beteiligt. Wie viel EUR betragen die Anteile der Gesellschafter Franz und Fritz? 8. Ein Großhandelshaus wird von drei Personen gegründet. A bringt eine Kapitaleinlage von ,00 EUR auf. B übernimmt 1 / 3 und C 1 / 5 des Gesamtkapitals. 8.1 Wie viel EUR beträgt jeweils die Kapitaleinlage von B und C? 8.2 Im ersten Geschäftsjahr erzielen sie zusammen einen Gewinn von ,00 EUR. Wie viel Gewinn erhält jeder, wenn die Gewinnverteilung nach der Einlage erfolgen soll? 9. Aus Anlass des 25-jährigen Geschäftsjubiläums zahlt der Geschäftsinhaber an seine Mitarbeiter 8400,00 EUR. Der Betrag wird nach der Betriebszugehörigkeit der Mitarbeiter gezahlt. Mitarbeiter A arbeitet seit 25 Jahren, B seit 20 Jahren, C seit 9 Jahren und D seit 2 Jahren im Geschäft. Wie viel EUR erhalten die einzelnen Mitarbeiter? 33

34 1.4.2 Verteilung mit Vorleistungen Beispiel: Bei der Liquidation (Auflösung) eines Unternehmens wird das Vermögen im Wert von ,00 EUR aufgeteilt. Jeder der drei Gesellschafter A, B und C soll gleich viel erhalten. Der Gesellschafter B hat jedoch für eine private Investition schon ,00 EUR entnommen. Gleiches gilt für C, der für den Kauf eines Grundstücks ,00 EUR entnommen hatte. Aufgabe: Wie viel EUR erhält jeder Gesellschafter ausbezahlt? Gesellschafter Teile Vorleistungen Auszahlungsbetrag A B C ,00 EUR ,00 EUR ,00 EUR ,00 EUR ,00 EUR EUR EUR EUR EUR EUR ,00 EUR 3 Teile 1 Teile ,00 EUR ,00 EUR ,00 EUR Erläuterungen zur Aufgabe Bei dieser Aufgabe haben 2 Gesellschafter schon vor der Liquidation Gelder (Anteile ihres Ver mögens) erhalten. Diese Vorauszahlungen sind selbstverständlich zu dem zu verteilenden Vermögen zunächst hinzuzurechnen. Wären nämlich die Zahlungen nicht erfolgt, wäre das Vermögen größer, d. h., ohne Hinzurechnung der schon gezahlten Beträge würden diese gar nicht zur Verteilung kommen. Bei der Berechnung der einzelnen Auszahlungsbeträge sind die bisherigen Zahlungen dann abzuziehen, da der Gesellschafter diesen Teil des ihm zustehenden Betrages ja schon erhalten hat. Übungsaufgaben Eine Handelsvertretung hat vier Mitarbeiter beschäftigt. Ihr Jahresumsatz beträgt gerundet ,00 EUR. Der Inhaber will 1 % Umsatzprämie an seine Mitarbeiter austeilen. Verteilungsschlüssel ist der Verkaufserfolg der Mitarbeiter. A: Umsatz ,00 EUR B: Umsatz ,00 EUR C: Umsatz ,00 EUR D: Rest C erhält für besondere Leistungen vorweg 1 500,00 EUR gutgeschrieben. Wie viel EUR Umsatzprämie erhält jeder Mitarbeiter? 34

35 2. Bei einer Erbauseinandersetzung wird das Vermögen im Wert von ,00 EUR verteilt. Die drei Kinder sollen gleichgestellt werden. Die Tochter hat für ein Studium schon ,00 EUR erhalten, der jüngere Sohn wurde beim Bau seines Hauses mit ,00 EUR bedacht. Wie viel EUR erhält jedes der Kinder aus der Erbschaft? 3. Agnes, Birgit und Manuela betreiben gemeinsam eine Boutique für junge Mode. Den erwirtschafteten Gewinn in Höhe von ,00 EUR wollen sie wie folgt aufteilen: Agnes erhält 2 / 7, Birgit 1 / 3 und Manuela den Rest, wobei Agnes vorweg vom Reingewinn für die Erledigung der Verwaltungsaufgaben monatlich 250,00 EUR erhält. Welchen EUR-Betrag erhalten die 3 Damen jeweils ausbezahlt? 4. Aus den Betriebsunterlagen eines Lebensmittel-Supermarktes gehen folgende Beteiligungen hervor: Franz Abt ist mit ,00 EUR, Holger Bär mit ,00 EUR und Fritz Ceh mit ,00 EUR beteiligt. Ceh ist Geschäftsführer und erhält von dem auszuschüttenden Gewinn eine Zusatzleistung von 4 200,00 EUR. Da Bär einen Großverkauf vermittelt hat, erhält er eine Zusatzprämie von 2 500,00 EUR. Der Bilanzgewinn beläuft sich auf ,00 EUR. Verteilungsgrundlage sind die Kapitalanteile. Welchen Gewinnanteil erhält jeder Gesellschafter gutgeschrieben? Die leitenden Mitarbeiter Manfred, Heinz, Markus und Fritz übernehmen gemeinsam vom bisherigen Eigentümer das Unternehmen zum Preis von ,00 EUR. Manfred beteiligt sich mit 1 / 6 von Fritz, Heinz mit doppelt so viel wie Fritz zuzüglich ,00 EUR, während Markus so viel wie Manfred abzüglich ,00 EUR übernimmt. Mit welchem EUR-Betrag sind die Mitarbeiter an dem Unternehmen beteiligt? 2. Die Fritz Wolter OHG weist einen Jahresgewinn von ,00 EUR aus. Arnegger ist mit ,00 EUR, Eberhardter mit ,00 EUR und Dietmer mit ,00 EUR am Eigenkapital beteiligt. Arnegger und Eberhardter arbeiten in der Geschäftsleitung mit und erhalten dafür je ,00 EUR vorweg. Aufgrund des Gesellschaftsvertrags wird der Restgewinn im Verhältnis 6 : 5 : 2 verteilt. Welchen Gewinnanteil erhält jeder Gesellschafter? 3. Frener, Gemeinder und Bührer haben ein Softwareunternehmen gegründet. Frener bringt 3 / 8, Gemeinder 4 / 9 und Bührer den Rest des Kapitals in Höhe von ,00 EUR auf. 3.1 Ermitteln Sie die Kapitaleinlage von Frener und Gemeinder! 3.2 Der Gesellschaftsvertrag sieht folgende Gewinnverteilung vor: Frener erhält als Geschäftsführer ,00 EUR vorweg. Der Restgewinn wird nach der Höhe der Kapitalanteile aufgeteilt. Berechnen Sie den Gewinnanteil je Gesellschafter, wenn der Gesamtgewinn ,00 EUR beträgt! 35

36 2 Prozentrechnen 2.1 Einführung in das Prozentrechnen Das Prozentrechnen ist dazu geeignet, Zahlenverhältnisse besser zu durchschauen und vergleichen zu können. Zum Vergleich benötigt man einen einheitlichen Vergleichsmaßstab. Beim Prozentrechnen ist es die Zahl 100. Prozent bedeutet stets: bezogen auf 100 pro für centum 100 Beispiel: Einem Kaufmann liegen 2 Rechnungen zur Zahlung vor: Rechnung 1: Rechnungspreis 480,00 EUR Rechnung 2: Rechnungspreis 1 440,00 EUR Auf jede Rechnung wird ein Rabatt von 144,00 EUR gewährt. Obwohl der Rabatt betragsmäßig in beiden Fällen gleich hoch ist, ist der Rabatt auf der ersten Rechnung im Verhältnis zur zweiten Rechnung wesentlich höher. Aufgabe: Weisen Sie die Richtigkeit dieser Aussage nach! Das Verhältnis Rechnungsbetrag zu Rabatt bei den beiden Rechnungen ist direkt nicht vergleichbar, da die Rechnungsbeträge unterschiedlich hoch sind. Ein Vergleich ist erst möglich, wenn der Rabatt auf einen gleich großen Betrag (Vergleichszahl) bezogen wird. Als Vergleichszahl wird zweckmäßigerweise die Zahl 100 genommen. Daher ergibt sich folgende Fragestellung: Wie viel EUR beträgt der Rabatt bezogen auf 100,00 EUR? Die Lösung der Fragestellung erfolgt mithilfe des Dreisatzes: Rechnung 1: Rechnung 2: Bei 480,00 EUR R.-Betrag 144,00 EUR Rabatt Bei 1 440,00 EUR R.-Betrag 144,00 EUR Rabatt Bei 100,00 EUR R.-Betrag x EUR Rabatt Bei 100,00 EUR R.-Betrag x EUR Rabatt x = = 30,00 EUR Rabatt x = = 10,00 EUR Rabatt Der Rabatt beträgt Der Rabatt beträgt 30,00 EUR je 100,00 EUR Rech.-Betrag 10,00 EUR je 100,00 EUR Rech.-Betrag entspricht: 30 vom Hundert (pro centum) 10 vom Hundert (pro centum) kürzer: 30 v. H. 30 Prozent 30 % 10 v. H. 10 Prozent 10 % Ergebnis: Verglichen mit einem Rechnungsbetrag von 100,00 EUR sind die beiden Rechnungsnachlässe verschieden hoch. Der Rabatt bei Rechnung 1 beträgt 30%, bei Rechnung 2 nur 10 %. 36

37 Der Prozentsatz gibt an, wie hoch ein Wert ist, wenn man die Zahl 100 als Bezugsgrundlage wählt. Die Prozentrechnung ist damit eine Vergleichsrechnung. Verschiedene Werte (EUR-Beträge, kg, Liter, cm usw.) werden vergleichbar gemacht, indem man sie auf die Vergleichszahl 100 bezieht. Die Prozentrechnung ist eine angewandte Dreisatzrechnung. Wir unterscheiden drei Begriffe: Rechnungsbetrag 480,00 EUR 30 % Rabatt 144,00 EUR Grundwert Prozentsatz Prozentwert ist der Ausgangswert, der gibt an, wie viel Teile ist der wertmäßige (absodas Ganze betrifft. In Prozenten vergleichsweise auf 100 lute) Betrag (EUR, kg, ausgedrückt, muss entfallen (Anzahl der Liter usw.), der dem er immer 100% betragen. Hundertstel). Prozentsatz entspricht. Von den drei Größen Prozentwert, Grundwert und Prozentsatz müssen stets zwei Größen in der Aufgabe gegeben sein, um die dritte Größe mithilfe des Dreisatzes errechnen zu können. 2.2 Prozentrechnen vom Hundert Berechnung des Prozentwertes Beispiel: Auf eine Lieferantenrechnung über 1 450,00 EUR erhält ein Großhandelsbetrieb 3 % Skonto. Aufgabe: Wie viel EUR beträgt der Skontobetrag? Gegeben: Grundwert: 1 450,00 EUR Prozentsatz: 3 % Gesucht: Prozentwert:? Bedingungssatz 100 % 1 450,00 EUR Berechnung des Prozentwertes mithilfe Fragesatz 3 % x EUR der Formel: Bruchsatz x = x = 43,50 EUR Ergebnis: Der Skonto beträgt 43,50 EUR. Prozentwert = Grundwert 100 Grundwert Prozentsatz 100 = 1 % des Grundwertes Prozentwert = 1 % des Grundwertes Prozentsatz 37

38 Rechenvorteil Bequeme Teiler Die Wahl der Zahl 100 als Vergleichsmaßstab hat unter anderem den Vorteil, dass es eine Reihe von Zahlen gibt, die in 100 glatt aufgehen, die also ganze Teile von 100 sind. Beispiele: (1) 20 % von 160,00 EUR 20 %; 100 = 5 (bequemer Teiler) 20 Daher: 160 : 5 = 32,00 EUR (2) 8 1 / 3 % von 240,00 EUR 8 1 / 3 % = 25 ; 100 : = = Daher: 240 : 12 = 20,00 EUR Der Prozentsatz ist ein glatter Teil von 100 Wir stellen fest, wie oft der Prozentsatz in 100 enthalten ist (z. B.: 20 ist 5-mal in 100 enthalten). Diese Zahl benutzen wir als Teiler. Rechenvorgang: Grundwert : Teiler = Prozentwert Wichtige bequeme Prozentsätze sind der folgenden Tabelle zu entnehmen: Prozentsatz Teiler 1 1 / 4 % / 3 % / 3 % / 3 % / 2 % / 3 % / 3 % / 6 % / 3 % / 4 % / 3 % / 3 % / 3 % / 9 % / 2 % / 3 % / 3 % / 3 % / 3 % / 3 % 2 Übungsaufgabe Lösen Sie die folgenden Aufgaben durch Kopfrechnen! % von 31,80 EUR 27,00 EUR 106,60 EUR / 3 % von 41,10 EUR 39,30 EUR 122,40 EUR / 2 % von 8 400,00 EUR 1 240,00 EUR 24,80 EUR / 3 % von 249,00 EUR 22,20 EUR 2 775,00 EUR / 4 % von 840,00 EUR 126,80 EUR 1 640,00 EUR 2. Lösen Sie die folgenden Aufgaben durch Kopfrechnen! / 4 % von 20,80 EUR 897,60 EUR 72,32 EUR / 3 % von 54,00 EUR 18,72 EUR 147,60 EUR / 3 % von 95,40 EUR 2 910,00 EUR 151,80 EUR / 3 % von 435,00 EUR 46,95 EUR 76,50 EUR / 3 % von 3 480,00 EUR 3 180,00 EUR 2 730,00 EUR 3. Ein Fernsehgerät ist mit 999,00 EUR ausgezeichnet. Bei Barzahlung werden 2 % Skonto gewährt. Um wie viel EUR ist der Ratenkauf teurer, wenn der Händler 225,00 EUR Anzahlung und 8 Monatsraten zu 100,00 EUR verlangt? 38

39 4. Das Bruttogehalt eines Angestellten betrug 1 680,00 EUR. Durch Tarifänderungen hat sich das Gehalt innerhalb eines Jahres zunächst um 3 1 / 2 % und dann nochmals um 1 3 / 4 % erhöht. Am Ende des Geschäftsjahres erhielt der Angestellte noch eine hausinterne Leistungszulage von 1 1 / 2 %. Auf welchen Betrag lautet der Bruttolohn nach diesen Erhöhungen? 5. Wir schulden einem österreichischen Lieferanten einen Rechnungsbetrag von 4 198,70 EUR. Vom Rechnungsbetrag dürfen 3 % Skonto abgezogen werden. Auf welchen Betrag lautet die Belastung der Bank? 6. Ein Mitarbeiter im Außendienst erhält ein monatliches Fixum (Festgehalt) von 1 065,00 EUR. Außerdem erhält er eine Umsatzprovision in Höhe von 3,2 %. Im Monat Dezember betrug sein Umsatz ,00 EUR. Als Anerkennung für besondere Leistungen erhält er zudem eine Sonderprämie von 3 1 / 2 % auf seinen Jahresumsatz in Höhe von ,00 EUR. Wie viel EUR verdiente der Reisende insgesamt im Monat Dezember? 7. Ein Zulieferer hat den Einstandspreis für Motoren ab 1. Juli um 4 2 / 3 % angehoben. Am 15. Juni haben wir noch 75 Stück zum alten Preis in Höhe von 356,20 EUR je Stück bezogen. Wie viel EUR haben wir durch die Bestellung gespart? Berechnung des Prozentsatzes Beispiel: Auf den Listenverkaufspreis einer Maschine im Werte von 1 950,00 EUR erhält der Käufer 234,00 EUR Rabatt. Aufgabe: Welchem Rabattsatz entspricht dies? Gegeben: Grundwert: 1 950,00 EUR Prozentwert: 234,00 EUR Gesucht: Prozentsatz:? Bedingungssatz 1 950,00 EUR 100 % Berechnung des Prozentsatzes Fragesatz 234,00 EUR x % mithilfe der Formel: Bruchsatz x = = 12 % Prozentsatz = 100 Prozentwert Grundwert oder verkürzt: Ergebnis: Der Rabattsatz beträgt 12 %. Prozentsatz = Prozentwert : 1 % des Grundwertes 39

40 Übungsaufgabe Welchen Rabattsatz hat der Lieferer bei den nachfolgenden Wareneinkäufen gewährt? Nr. Einkaufsbetrag Rabatt Nr. Einkaufsbetrag Rabatt ,00 EUR 631,00 EUR 800,00 EUR 429,76 EUR 44,17 EUR 113,60 EUR ,00 EUR 4 186,00 EUR 742,00 EUR 58,80 EUR 376,74 EUR 185,50 EUR 2. Ein Handelsvertreter erhält die nachfolgenden Provisionen ausbezahlt. Nr. Umsatz Provision Nr. Umsatz Provision ,00 EUR ,00 EUR ,00 EUR 2 734,00 EUR 2 134,50 EUR 1 914,50 EUR ,00 EUR ,00 EUR ,00 EUR 7 930,00 EUR 2 635,00 EUR 8 304,00 EUR Wie viel Prozent vom Umsatz waren vereinbart? 3. Ein Lebensmittelgroßhändler schreibt seine Kühlanlagen mit einem Wert von ,00 EUR jährlich mit ,00 EUR ab. Wie viel Prozent beträgt der Abschreibungssatz? 4. Beim Abfüllen von 310 Liter Wein in Literflaschen beträgt der Abfüllverlust (Leckage) 7,75 Liter. Wie viel Prozent beträgt der Abfüllverlust? 5. Ein Lebensmittelgeschäft bietet als Kundendienst die kostenlose Zustellung der gekauften Waren ab einem Warenwert von 100,00 EUR zum Kunden an. Der hierzu benötigte Lieferwagen verursacht folgende Kosten: Abschreibungen 3 750,00 EUR im Jahr, ferner jeweils monatlich laufende Kfz-Unterhaltskosten 650,00 EUR, Kosten für den Fahrer 1 950,50 EUR und 120,00 EUR Verwaltungskosten. Die Kosten für die Warenzustellung sind selbstverständlich in der Kalkulation zu berücksichtigen. Welcher Zuschlagssatz ist für die Warenzustellung kostendeckend, wenn monatlich im Durchschnitt Waren im Werte von ,00 EUR zugestellt werden? 6. Die Stromkosten eines Geschäftes für die Schaufensterbeleuchtung betragen monatlich 246,20 EUR. Durch Kürzung der Beleuchtungszeit um täglich eine halbe Stunde konnten die Kosten auf 230,60 EUR gesenkt werden. 6.1 Wie viel Prozent beträgt die Ersparnis? 6.2 Wie viel EUR der verminderten Stromkosten entfallen auf die einzelnen Schaufenster? Schaufenster I: 76 m 2 Ausstellungsfläche Schaufenster II: 42 m 2 Ausstellungsfläche Schaufenster III: 108 m 2 Ausstellungsfläche 7. Das Monatseinkommen eines Reisenden setzt sich aus einem Festgehalt (Fixum) von 880,00 EUR und einer Umsatzprovision zusammen. Wie viel Prozent vom Umsatz erhält er, wenn er bei einem durchschnittlichen Umsatz von ,00 EUR ein durchschnittliches Monatseinkommen von insgesamt 6 000,00 EUR erzielt? 40

41 8. Bei einer Warenzustellung wird unser Lieferwagen in einen Unfall verwickelt. Die mitgeführte Ware ist verdorben. Die Versicherung kommt teilweise für den Schaden auf. Der Schaden beläuft sich auf 388,00 EUR. Als Entschädigung erhalten wir 318,16 EUR. Wie viel Prozent hat die Versicherung ersetzt? 9. Von verschiedenen Unternehmen erhalten wir folgende Nachlässe: Nr. Rechnungsbetrag Rabatt ,00 USD 648,50 GBP 9 470,00 DKK 2 860,10 USD 51,88 GBP 1 894,00 DKK Welchem Rabattsatz entspricht dies jeweils? Berechnung des Grundwertes Beispiel: Ein Unternehmen hat für die Versicherung des Warenlagers 1 692,60 EUR Prämie zu zahlen. Das sind 2 1 / 3 % der Versicherungssumme. Aufgabe: Wie viel EUR beträgt die Versicherungssumme? Gegeben: Prozentsatz: 2 1 / 3 % Prozentwert: 1 692,60 EUR Gesucht: Grundwert:? Bedingungssatz 2 1 / 3 % 1 692,60 EUR Berechnung des Grundwertes mit- Fragesatz 100 % x EUR hilfe der Formel: 1 692, Bruchsatz x = Grundwert = Prozentwert / 3 Prozentsatz 1 692, x = 7 x = ,00 EUR Ergebnis: Die Versicherungssumme des Lagers beträgt ,00 EUR. 41

42 Übungsaufgabe Bei einem Sonderverkauf wurden die nachfolgenden Nachlässe festgesetzt. Nr. Nachlass in % Nachlass in EUR Nr. Nachlass in % Nachlass in EUR , % 11,5 % 8, % 209,25 EUR 402,50 EUR 1 081,60 EUR ,5 % 3, % 18, % 105,00 EUR 81,00 EUR 2 214,00 EUR Berechnen Sie den ursprünglichen Verkaufspreis! 2. Wie viel EUR beträgt der ursprüngliche Preis, wenn die folgenden Teuerungszuschläge 1 berechnet werden? Nr. Teuerungszuschlag in % Teuerung in EUR Nr. Teuerungszuschlag in % Teuerung in EUR / 2 % 3 1 / 4 % 1 1 / 3 % 134,20 EUR 100,75 EUR 301,70 EUR / 4 % 3 1 / 2 % 3 1 / 2 % 178,75 EUR 93,00 EUR 248,50 EUR 3. Eine Unternehmung hat in der GuV-Rechnung folgende Abschreibungsbeträge ausgewiesen: Gegenstand Gebäude Büroeinrichtung Lagereinrichtung Ladeneinrichtung Abschreibungssatz (bei linearer 1 Abschreibung) 2,5 % 7,69 % 7,14 % 12,5 % Abschreibung in EUR 6 250,00 EUR 2 829,92 EUR 3 916,29 EUR ,50 EUR 42 Wie viel EUR betragen die Anschaffungskosten 2 der einzelnen Anlagegüter? 4 Die veranschlagten Kosten für Renovierungsarbeiten der Büroräume wurden um 1 092,25 EUR überschritten. Das sind 8 1 / 2 % über dem Kostenvoranschlag. 4.1 Berechnen Sie den ursprünglichen Kostenvoranschlag! 4.2 Wie viel EUR kosteten die Renovierungsarbeiten tatsächlich? 5. Ein Kaufmann hat den Preis für eine Ware um 533,60 EUR oder 2,32 % abgesenkt. Wie viel EUR betrug der ursprüngliche Preis? 6. Ein Kaufmann konnte im Monat August den Umsatz um 4 1 / 2 % oder 6 221,25 EUR steigern. Wie viel EUR betrug sein Umsatz im Juli? 7. Auf der Eingangsrechnung E 61 ist ein Umsatzsteueranteil von 19 % ausgewiesen. Das sind 419,52 EUR. Wie viel EUR beträgt der Nettoeinkaufspreis? 8. Ein Vertreter erhält für den Abschluss eines Auftrages eine Provision von 5 1 / 2 %. Das sind 194,70 EUR. Über welche Summe lautet der von ihm vermittelte Auftrag? 9. Unser französischer Lieferer hat uns eine Gutschrift wegen Falschlieferung von 1 680,00 EUR gewährt. Das sind 12 % der Rechnungssumme. Berechnen Sie den Rechnungsbetrag! 1 Linear (lat.): geradlinig. Bei der linearen Abschreibung wird ein gleichbleibender Betrag von den Anschaffungskosten des Anlagegutes abgeschrieben. 2 Durch die Abschreibung werden die Anschaffungskosten (aufgrund der geschätzten jährlichen Wertminderung) auf die Jahre der Nutzung als Aufwand verteilt.

43 2.3 Prozentrechnen mit dem verminderten und dem vermehrten Grundwert Prozentrechnen im Hundert (verminderter Grundwert) Beispiel: Wegen kleiner Fehler wird eine Ware mit einem Nachlass von 15 % zum Sonderpreis von 104,55 EUR verkauft. Aufgaben: 1. Wie viel EUR betrug der reguläre Preis? 2. Wie viel EUR beträgt die Preissenkung? Problemstellung Die Preissenkung von 15 % bezieht sich auf den ursprünglichen (regulären) Preis (wir sprechen hier vom reinen Grundwert). Der reine Grundwert entspricht 100 %. Der herabgesetzte Preis entspricht daher in Prozenten ausgedrückt 85 % (verminderter Grundwert). Da der gegebene Betrag unter (und damit innerhalb) 100 % liegt, spricht man auch von Prozentrechnung im Hundert. Sonderpreis 85 % Preissenkung 15 % regulärer Preis 100 % verminderter Grundwert + Prozentsatz = reiner Grundwert Die Lösung erfolgt mithilfe des Dreisatzes. Gegeben: Prozentsatz: 15 % Verminderter Grundwert in Prozent: 85 % Verminderter Grundwert in EUR: 104,55 EUR Gesucht: Grundwert:? verminderter Grundwert 85 % Sonderpreis 104,55 EUR Prozentsatz 15 % Preissenkung 18,45 EUR Grundwert 100 % regulärer Preis 123,00 EUR Nebenrechnung: 85 % 104,55 EUR 100 % x EUR 104, x = = 123,00 EUR 85 Ergebnisse: 1. Der reguläre Preis betrug 123,00 EUR. 2. Die Preissenkung beträgt 18,45 EUR. Rechenweg Anmerkung: Es ist auch möglich, zuerst die Preissenkung von 15 % in EUR zu errechnen. Allerdings wäre es ein Umweg. Man steuert vielmehr im Ansatz direkt auf die gefragte Größe zu. Das ist der reguläre Preis, anders ausgedrückt: der reine Grundwert. Dieser entspricht 100 % (Fragesatz). Allgemeiner Lösungsweg 1. Beginnen Sie den Rechenansatz mit dem verminderten Grundwert, für den ja der Prozentsatz (unter 100 %) und der absolute Betrag bekannt sind. 2. Berechnen Sie den Grundwert (bzw. den Prozentwert) mithilfe des Dreisatzes. 43

44 Übungsaufgabe Nach einem Brand werden verschiedene Waren mit kleinen Rauchschäden zu folgenden Auszeichnungspreisen angeboten: Nr. Sonderpreis Preisnachlass ,90 EUR 158,76 EUR 152,75 EUR 18 % 16 % 35 % Wie viel EUR betragen die ursprünglichen Verkaufspreise, wenn die angegebenen Preisnachlässe gewährt wurden? 2. Bei verschiedenen Zahlungen an den Lieferer wurden uns Skontoabzüge eingeräumt: Nr. Skonto Zahlung / 2 % 3 % 1 1 / 2 % ,75 EUR 402,55 EUR 187,15 EUR Wie viel EUR betrugen die Rechnungsbeträge? Eine Mitarbeiterin bekommt vom Geschäft einen Personalrabatt von 12 1 / 2 %. Mit wie viel EUR war ein Artikel ausgezeichnet, wenn sie ihn für 112,00 EUR kaufte? 4. Wir beziehen von einem Importeur 170,55 kg Heringe netto. Die Tara 1 beträgt 5 1 / 4 %. Wie viel kg beträgt das Bruttogewicht 2 der Warensendung? 5. Ein Paar Damenschuhe ist am vorletzten Tag des Winterschlussverkaufs mit 57,00 EUR ausgezeichnet. Der ursprüngliche Verkaufspreis wurde um 16 2 / 3 % und dieser dann um 5 % ermäßigt. Wie viel EUR kosteten die Schuhe zu Beginn des Schlussverkaufs? 6. Die Textilgroßhandlung Franz Nadi e. Kfm. verkauft von 200 Anzügen zunächst 60 Stück. Nachdem der Preis um 16 2 / 3 % herabgesetzt wurde, konnten weitere 40 Anzüge verkauft werden. Um den Restbestand veräußern zu können, musste dieser Preis nochmals um 20 % gesenkt werden, sodass der Verkaufspreis noch 180,00 EUR betrug. 6.1 Berechnen Sie den ursprünglichen Auszeichnungspreis! 6.2 Berechnen Sie den Gesamterlös! 6.3 Wie viel EUR Umsatzeinbuße musste die Textilgroßhandlung hinnehmen? 7. Wie viel kg Rohkaffee sind geröstet worden, wenn bei 16 2 / 3 % Röstverlust 1 403,5 kg Röstkaffee übrig bleiben? 8. Ein Sportfachgeschäft soll umgebaut werden. Der Inhaber führt deshalb einen Räumungsverkauf durch und senkt die Preise für alle Waren um 12 1 / 2 %. Drei Wochen später werden die Preise in einer Sonderaktion nochmals um 15 % gesenkt. Zu welchem Preis wurde ein Trimmgerät ursprünglich verkauft, wenn der jetzige Auszeichnungspreis 431,37 EUR beträgt? 9. Der Preis eines Liegestuhls war um 20 % ermäßigt worden. Da der Liegestuhl immer noch nicht verkauft werden konnte, wurde dieser Preis nochmals um 30 % gesenkt. Er kostet jetzt 24,50 EUR. 9.1 Wie viel EUR betrug der ursprüngliche Preis? 9.2 Um wie viel Prozent wurde der Liegestuhl insgesamt billiger? 1 Tara (arab.-ital.): das Gewicht der Verpackung einer Ware. 2 Bruttogewicht = Nettogewicht + Verpackungsgewicht.

45 2.3.2 Prozentrechnen auf Hundert (vermehrter Grundwert) Beispiel: Der Umsatz eines Unternehmens stieg gegenüber dem Vorjahr um 8 1 / 3 % auf ,00 EUR an. Aufgaben: 1. Berechnen Sie den Umsatz des vergangenen Jahres! 2. Wie viel EUR beträgt die Umsatzsteigerung? Problemstellung Die Umsatzsteigerung von 8 1 / 3 % bezieht sich auf den Umsatz des vergangenen Jahres (reiner Grundwert und damit 100 %). Der diesjährige Umsatz ist daher um 8 1 / 3 % höher (vermehrter Grundwert). In Prozenten ausgedrückt beträgt er / 3 %. Da der gegebene Betrag über 100 % liegt, spricht man auch von der Prozentrechnung auf Hundert. Umsatzsteigerung 8 1 / 3 % Umsatz in diesem Jahr / 3 % Umsatz im vergangenen Jahr 100 % vermehrter Grundwert Prozentsatz = reiner Grundwert Die Lösung erfolgt mithilfe des Dreisatzes. Gegeben: Prozentsatz: 8 1 / 3 % vermehrter Grundwert in Prozent: / 3 % vermehrter Grundwert in EUR: ,00 EUR Gesucht: Grundwert:? vermehrter Grundwert / 3 % Umsatz dieses Jahres ,00 EUR Prozentsatz 8 1 / 3 % Steigerung ,00 EUR Grundwert 100 % Umsatz vergangenes Jahr ,00 EUR Nebenrechnung: / 3 % ,00 EUR 100 % x EUR x = = ,00 EUR / 3 Ergebnisse: 1. Der Umsatz des vergangenen Jahres belief sich auf ,00 EUR. 2. Die Umsatzsteigerung beträgt ,00 EUR. Rechenweg Beachten Sie: Die rechnerische Vorgehensweise entspricht dem allgemeinen Lösungsweg, der beim Rechnen mit dem verminderten Grundwert aufgezeigt wurde. Ausgangspunkt ist hier der vermehrte Grundwert, für den der Prozentsatz (über 100 %) und der absolute Wert bekannt sind. 45

46 Übungsaufgabe Verschiedene Waren wurden neu ausgezeichnet. Nr. Auszeichnungspreis Preiserhöhung ,28 EUR 33,15 EUR 297,00 EUR 419,75 EUR 4 1 / 2 % 2 % 12 1 / 2 % 15 % Berechnen Sie den bisherigen Verkaufspreis vor den angegebenen Preiserhöhungen! 2. Ein Importeur bezieht Waren aus Schweden. Einschließlich der Zölle werden die nachfolgenden Beträge gezahlt. Nr. Einstandspreise einschl. Zoll Zollsatz ,04 EUR ,56 EUR 1 432,20 EUR 969,42 EUR 12 % 17 % 5 % 7 % 46 Berechnen Sie den Listenpreis des schwedischen Exporteurs! 3. Die Monatsmiete für unsere Geschäftsräume hat sich um 6 1 / 4 % erhöht. Sie beträgt nun 2316,25 EUR. Um wie viel EUR ist die Miete angestiegen? 4. Der Rechnungsbetrag für einen Wareneinkauf beträgt einschließlich 19 % Umsatzsteuer 4 630,29 EUR. Berechnen Sie den Nettowarenwert und die Umsatzsteuer! 5. Nach einer Werbeaktion für französischen Käse konnte ein Supermarkt in der Käseabteilung gegenüber dem Vormonat eine Umsatzsteigerung für den Monat Juli um 8 1 / 4 % auf 6 087,98 EUR erzielen. Wie viel EUR beträgt die Umsatzsteigerung? 6. Eine Großhandlung hat den Listenverkaufspreis eines Artikels mit netto 22,08 EUR neu ausgezeichnet, nachdem der bisherige Listenverkaufspreis 1 um einen Teuerungszuschlag von 5 % angehoben wurde. Wie viel EUR betrug der Listenverkaufspreis vor der Preiserhöhung? 7. Der Mitarbeiter Franz Helm erhält in diesem Jahr eine Gehaltserhöhung von 2 1 / 2 %. Das sind 65,00 EUR. Letztes Jahr betrug die Gehaltserhöhung 3,2 %. 7.1 Wie viel EUR verdient er jetzt? 7.2 Wie viel EUR betrug die Gehaltserhöhung letztes Jahr und wie hoch war sein ursprüngliches Gehalt? 8. Nach 2 Unfällen wurde unser Geschäftswagen in der Haftpflichtversicherung aus der Schadensfreiheitsklasse SF4 (45 % des Beitragssatzes) in SF3 zurückgestuft (90 % des Beitragssatzes). Die neue Prämie für die Kfz-Haftpflichtversicherung beläuft sich jetzt auf 741,30 EUR. Wie viel EUR betrug die Prämie in der Schadensfreiheitsklasse SF4? 1 Der Listenverkaufspreis ist der Preis, zu dem die Ware einem Käufer (lt. Preisliste) angeboten wird. Vgl. Kapitel

47 2.4 Verschiedene Aufgaben zum Prozentrechnen Ein Handelsvertreter hat aufgrund eines Teuerungszuschlags des Herstellers den Preis für ein PC-Gerät um 12 1 / 2 % angehoben. Aus Konkurrenzgründen muss er jedoch einen Monat später den Preis um 4% und diesen nochmals um 16 2 / 3 % herabsetzen. Das PC-Gerät wird jetzt für 1 080,00 EUR verkauft. Berechnen Sie den ursprünglichen Preis! 2. Nach einer Gehaltserhöhung von 3,8 % verdient eine kaufmännische Angestellte monatlich 2 242,08 EUR. Für Lohnsteuer, Solidaritätszuschlag und Kirchensteuer werden 418,61 EUR, für Sozialversicherung 462,97 EUR einbehalten. 2.1 Wie viel Prozent des Bruttolohnes betragen die Abzüge insgesamt? 2.2 Wie viel EUR betrug der Jahresbruttoverdienst der Angestellten vor der Gehaltserhöhung? 3. Die für das 1. Quartal ermittelte Umsatzsteuer (Steuersatz 19 %) beträgt ,75 EUR. Wie viel EUR betrugen die Umsatzerlöse einschließlich Umsatzsteuer? 4. Die Zahl der Mitarbeiter in einer Filialkette verringerte sich von 851 Mitarbeitern im vergangenen Jahr auf 796 in diesem Jahr. Im gleichen Zeitraum stiegen die gesamten Personalkosten von ,00 EUR auf ,00 EUR an. Um wie viel Prozent stiegen die Personalkosten je Arbeitnehmer an? 5. Das Umlaufvermögen stellt mit ,00 EUR 64 % des Gesamtvermögens dar. Wie viel EUR beträgt das Fremdkapital, wenn es 28 % des Gesamtkapitals ausmacht? 6. Ein Unternehmen weist im 1. Halbjahr folgende Umsätze auf: Januar: ,00 EUR April: ,00 EUR Februar: ,00 EUR Mai: ,00 EUR März: ,00 EUR Juni: ,00 EUR Im Juli beträgt der Umsatz ,50 EUR. Um wie viel Prozent übersteigt der Juliumsatz den Durchschnittsumsatz des 1. Halbjahres? 7. Eine Großhandlung hat einen durchschnittlichen Lagerbestand von ,00 EUR. Um Versicherungskosten zu sparen wird das Warenlager nur mit 62,5 % versichert. 7.1 Mit wie viel EUR ist das Warenlager versichert? 7.2 Nach einem Rohrbruch wird ein Wasserschaden von ,00 EUR festgestellt. Wie viel EUR ersetzt die Versicherung? 8. Eine Maschinenfabrik hatte im Geschäftsjahr insgesamt 9,6 Mio. EUR umgesetzt. Das waren 12 1 / 2 % mehr als im Geschäftsjahr zuvor. Darin waren 2,6 Mio. EUR Umsätze mit dem Ausland enthalten. 8.1 Wie viel Mio. EUR betrug der Gesamtumsatz des Vorjahres? 8.2 Wie viel Prozent betrug der Anteil der Auslandsgeschäfte im Geschäftsjahr? 9. Durch die Anstellung eines neuen Mitarbeiters im Außendienst stieg der Umsatz von ,00 EUR auf ,00 EUR an. Gleichzeitig stiegen die Personalkosten von ,00 EUR auf ,80 EUR an. Vergleichen Sie die Steigerung des Umsatzes mit dem Anstieg der Personalkosten! 47

48 10. Das Gehalt eines Mitarbeiters wird um 4,5 % erhöht. Das sind 85,50 EUR. Wie viel EUR beträgt das Gehalt nach der Erhöhung? 11. Berechnen Sie für die Textilgroßhandlung Weber Markt OHG den Nachlassbetrag, den Skontobetrag und den Rechnungsbetrag! Commerzbank Erlangen Lener-Service Handelsgesellschaft Pfungstadt Städtische Sparkasse Pfungstadt 453,35 Rechnung vom Abzüge: 18 % Nachlass wegen Mängelrüge, 3 % Skonto Weber Markt OHG, Huberweg 8, Erlangen Der Vermieter verlangt für die gemieteten Geschäftsräume auch in diesem, dem dritten Jahr, eine Mieterhöhung. Der Geschäftsinhaber stellt fest, dass er für das zweite Geschäftsjahr eine um 8% höhere Miete als im ersten Geschäftsjahr bezahlen musste und dass die Miete für das dritte Geschäftsjahr nun um 6 2 / 3 % höher ist als für das zweite Geschäftsjahr. Im dritten Geschäftsjahr beträgt die Miete 748,80 EUR monatlich. Wie viel EUR Miete musste der Geschäftsinhaber im ersten Geschäftsjahr für die Geschäftsräume monatlich bezahlen? 2. Wie viel EUR betrug der Sonderrabatt, der beim Räumungsverkauf eingeräumt wurde? Nessensohn e. K. Werkverkauf Lindauer Straße Frau Marlene Bucher Martinstr Wangen Jacke 150, Pulli 79, Rock 49, 278, Eingeräumter Sonderrabatt wegen Räumungsverkauf 25 % 48

49 3 Handelskalkulation 3.1 Problemstellung Jeder Handelsbetrieb ist bestrebt, Gewinn zu erzielen. Der Verkaufspreis muss daher alle Kosten und einen angemessenen Gewinnaufschlag enthalten. Die Berechnung des Verkaufspreises nennen wir Kalkulation. Kalkulieren heißt also: Berechnen von Kosten und Preisen. Grundlage der Kalkulation ist die geordnete Erfassung aller Kosten, die die Waren vom Einkauf über die Lagerung einschließlich der Verwaltung bis hin zum Vertrieb verursachen. Das Sammeln der Kosten erfolgt in der Kosten- und Leistungsrechnung. In der Handelskalkulation hat die Kosten- und Leistungsrechnung folgende Kosten zu erfassen: Lieferer (Hersteller) Bezug der Ware Handelsbetrieb Vertrieb der Ware Kunde (Einzelhandel) z. B. Einkaufspreis (evtl. abzüglich Rabatt u. Skonto) Fracht Versicherung Verpackung Einkaufs- und Bezugskalkulation z. B. Wareneinsatz (Einstandspreis) Zustellkosten Löhne, Gehälter Aufwend. für bezogene Leistungen Aufwend. für Kommunikation Vertriebsprovisionen Abschreibungen Kalkulation der Selbstkosten Selbstkosten + Gewinn Kalkulation des Verkaufspreises Die Kalkulation rechnet schrittweise alle Kosten ein, die die Ware vom Einkauf (Ausgangspunkt: Einkaufspreis) bis zur Endstation Kunde verursacht. Auf die Selbstkosten wird unter Berücksichtigung der Konkurrenzangebote ein angemessener Gewinn aufgeschlagen. Zur Berechnung des Verkaufspreises hat der Kaufmann ein Kalkulationsschema entwickelt, das wichtige Kostengruppen zusammenfasst. Es wird in den folgenden Kapiteln vorgestellt. 3.2 Aufbau der Handelskalkulation (Vorwärtskalkulation) Einkaufs- und Bezugskalkulation Hinführung Ziel der Einkaufs- und Bezugskalkulation ist es, den Einstandspreis der eingekauften Ware zu ermitteln. Er enthält sämtliche Kosten, die dem Kaufmann entstanden sind, bis die Ware im Lager eintrifft. Im Einzelnen unterscheiden wir: (1) Warenkosten Hierunter verstehen wir die reinen Warenkosten (Listeneinkaufspreis). 49

50 (2) Preisabzüge Vom Einkaufspreis gewährt der Anbieter oft noch Preisabzüge. Rabatt Der Rabatt ist ein Preisnachlass, der unabhängig von der Zahlungsfrist gewährt wird. Zweck: z. B. Anreiz für den Kunden, mehr (größere Mengen) zu kaufen. Es handelt sich dabei um Mengenrabatt. Listeneinkaufspreis Liefererrabatt = Zieleinkaufspreis Skonto Hierunter versteht man einen Preisnachlass, der dann gewährt wird, wenn der Schuldner innerhalb einer bestimmten Frist bezahlt. Die Klausel lautet z. B.: 3 % Skonto innerhalb von 10 Tagen, 30 Tage netto ab Rechnungsdatum. Zweck: Anreiz für den Kunden, früher zu zahlen, d. h. in diesem Fall innerhalb der Skontofrist von 10 Tagen. Zieleinkaufspreis Liefererskonto = Bareinkaufspreis Wurden im Kaufvertrag sowohl Rabatt als auch Skonto vereinbart, wird zuerst der Rabatt und dann der Skonto abgesetzt, denn der Skonto als Abzug für vorzeitige Zahlung kann nur von dem tatsächlich geschuldeten Betrag vorgenommen werden. (3) Bezugskosten Sie umfassen alle Nebenkosten, die mit der Beschaffung der eingekauften Ware zusammenhängen, wie z. B. Fracht, Versicherung, Zölle, Einkaufsverpackung, Anfuhr- und Abfuhrkosten usw. Bareinkaufspreis + Bezugskosten = Bezugspreis (Einstandspreis) Zum Bezugspreis (Einstandspreis) der Ware gelangt man also, wenn man vom Listeneinkaufspreis ausgehend die Preisnachlässe (Rabatt und Skonto) abzieht und die Bezugskosten auf die Zwischensumme aufschlägt Bezugskalkulation ohne Berücksichtigung des Verpackungsgewichts 50 Beispiel: Das Handelshaus Clemens Alten OHG bestellt Waren zu folgenden Bedingungen: Listeneinkaufspreis 1 800,00 EUR zuzüglich 19 % USt, 20 % Wiederverkäuferrabatt, 2 % Skonto, Kosten für Verpackung, Fracht, Anfuhr und Transportversicherung pauschal 58,00 EUR zuzüglich 19 % Umsatzsteuer. Aufgabe: Wie viel EUR beträgt der Einstandspreis?

51 100 % 20 % Listeneinkaufspreis netto ,00 EUR Liefererrabatt 2 360,00 EUR 100 % 2 % Zieleinkaufspreis 1 440,00 EUR Liefererskonto 3 28,80 EUR Bareinkaufspreis 1 411,20 EUR + Bezugskosten 4 58,00 EUR Einstandspreis (Bezugspreis) 1 469,20 EUR Allgemeiner Lösungsweg 1 Die Umsatzsteuer ist nicht einzukalkulieren, da das Handelshaus diese als Vorsteuer wieder erstattet erhält. Die Umsatzsteuer hat damit keinen Kostencharakter. 2 Vom gegebenen Einkaufspreis ist zunächst der Rabatt zu berechnen. 3 Der Skonto wird von dem Betrag gerechnet, der tatsächlich zu zahlen ist, also von dem um den Rabatt verminderten Betrag. Der Zieleinkaufspreis ist daher der Ausgangspunkt (Grundwert) und somit 100 % für die Skontoberechnung. Wichtig: Rabatt und Skonto dürfen nicht zu einem gemeinsamen Abzug zusammengefasst werden! 4 Alle Nebenkosten, die mit der Beschaffung der Waren zusammenhängen, fassen wir unter dem Begriff Bezugskosten zusammen. Als Kosten sind sie zum Bareinkaufspreis hinzuzurechnen. Übungsaufgaben Eine Waschmaschine wird uns mit 960,00 EUR abzüglich 22 % Wiederverkäuferrabatt angeboten. Bei Zahlung innerhalb von 14 Tagen dürfen 3% Skonto abgezogen werden. Wie viel EUR beträgt der Bareinkaufspreis? 2. Bei der Kalkulation einer Ware fallen folgende Werte an: Liefererrabatt 15 %, Liefererskonto 2 1 / 2 %, Fracht 12,20 EUR, Frachtversicherung 4,30 EUR, Hausfracht 3,50 EUR. Wie viel EUR beträgt der Bezugspreis, wenn der Listeneinkaufspreis 245,80 EUR beträgt? 3. Einem Großhändler liegen zwei Angebote eines Artikels vor: Angebot Lieferer A Lieferer B Listeneinkaufspreis je Stück Rabatt Skonto Bezugskosten je Stück 5,20 EUR 25 % 3 % 0,09 EUR 126,75 EUR je 25 Stück 24 % 2 % 3,50 EUR je 50 Stück Bei welchem Lieferer ist der Bezugspreis je Stück am niedrigsten? 51

52 4. Ein Lieferer bietet uns eine Ware zu 78,40 EUR je Stück an. Er gewährt uns 15 % Rabatt und 2 % Skonto bei Zahlung innerhalb von 10 Tagen. An Transportkosten fallen für jeweils angefangene 20 Stück 52,80 EUR an, die der Lieferer und wir je zur Hälfte tragen. Wie viel EUR beträgt der Bezugspreis der Warensendung, wenn 75 Stück bestellt werden? 5. Der Listeneinkaufspreis einer Ware beträgt 99,88 EUR je Stück. Wie viel EUR beträgt der Bezugspreis je Stück, wenn beim Bezug eines Pakets mit 35 Stück 63,00 EUR an Frachtkosten anfallen und der Lieferer uns 15 % Rabatt und 2 % Skonto gewährt? Einem Einzelhändler liegen 2 Angebote vor: 1. Angebot: Stückpreis 217,30 EUR, 20 % Liefererrabatt, frachtfrei, 3 % Skonto bei Zahlung innerhalb 14 Tagen. 2. Angebot: Stückpreis 198,40 EUR, 15 % Rabatt, Frachtkosten 8,70 EUR je Stück, Zahlung innerhalb 30 Tagen ohne Abzug. Wie viel EUR spart der Einzelhändler, wenn er das günstigere Angebot annimmt und 30 Stück bestellt? 2. Ein Verbrauchermarkt erhält für 100 Badehosen derselben Qualität zwei verschiedene Angebote. 1. Angebot: Gesamtpreis 1 570,00 EUR, 10 % Wiederverkäuferrabatt, Zahlung innerhalb 8 Tagen 2 % Skonto, Lieferung frei Haus. 2. Angebot: Gesamtpreis 1 660,00 EUR, 20 % Treuerabatt, Zahlung innerhalb 30 Tagen netto, Versandkosten 9,80 EUR. Wie viel EUR betragen die Einstandspreise dieser Angebote je Badehose und welches ist das preisgünstigere Angebot? 3. Wir kaufen 20 Damenkostüme zu folgenden Bedingungen: Rechnungspreis (Listeneinkaufspreis) 102,00 EUR je Kostüm, 5 % Mengenrabatt, 3 % Liefererskonto, Bezugskosten je Kostüm 4,00 EUR. Wie viel EUR beträgt der Einstandspreis der Sendung? 4. Einem Kaufhaus liegen zwei Angebote über ein Kaffeeservice derselben Qualität vor: 1. Angebot: Listeneinkaufspreis je Service 128,00 EUR, Wiederverkäuferrabatt: 25 %, Zahlung innerhalb 8 Tagen 3 % Skonto, Fracht: 27,30 EUR je Service. 2. Angebot: Listeneinkaufspreis je Service 118,00 EUR, Treuerabatt: 10 %, Zahlung innerhalb 30 Tagen netto, Lieferung frei Haus. Wie viel EUR betragen die Einstandspreise dieser Angebote je Kaffeeservice und welches ist das preisgünstigere Angebot? Bezugskalkulation unter Berücksichtigung des Verpackungsgewichts Bei Waren, deren Preise nach Gewicht berechnet werden, taucht das Problem der Preisberechnung für die Versandverpackung auf. Wir unterscheiden folgende handelsübliche Vereinbarungen: 52

53 (1) Die Verpackung wird wie die Ware berechnet (brutto für netto, abgekürzt bfn). Beispiel: Listeneinkaufspreis netto 6,00 EUR je kg (bfn). Lieferung: Nettogewicht 95,00 kg + Verpackungsgewicht (Tara) 5,00 kg Bruttogewicht 100,00 kg Listeneinkaufspreis insgesamt: 100 kg 6,00 EUR = 600,00 EUR (2) Der Preis bezieht sich auf das Nettogewicht, wobei die Verpackung gesondert berechnet wird (Nettopreis ausschließlich Verpackung). Beispiel: Listeneinkaufspreis 6,00 EUR netto ausschließlich Verpackung. Verpackungskosten pauschal 20,00 EUR. Lieferung: Ware 95,00 kg Nettogewicht Listeneinkaufspreis insgesamt: 95,00 kg 6,00 EUR = 570,00 EUR + Verpackung 20,00 EUR Bezugspreis 1 590,00 EUR (3) Der Preis bezieht sich auf das Nettogewicht. Für Verpackung wird nichts berechnet. Beispiel: Bruttogewicht 100 kg; Tara 5 %; Listeneinkaufspreis 6,00 EUR. Lieferung: Bruttogewicht 100,00 kg 5 % Tara 5,00 kg Nettogewicht 95,00 kg Listeneinkaufspreis insgesamt: 95,00 kg 6,00 EUR = 570,00 EUR Beispiel: Ein Kaufmann bezieht Waren mit einem Bruttogewicht von 588,00 kg zum Listeneinkaufspreis von 8,60 EUR je kg ausschließlich Verpackung. Die Tara beträgt 1 1 / 2 %. Der Lieferer gewährt 15 % Mengenrabatt und 3 % Skonto. An Bezugskosten fallen an: Verpackungskosten 160,86 EUR, 6 % Zoll vom Bareinkaufspreis, Transportversicherung 104,00 EUR, Frachtkosten 231,00 EUR, Aus laden und Ans-Lager-Bringen 45,00 EUR. Aufgabe: Wie viel EUR beträgt der Bezugspreis für ein kg dieser Ware? Bruttogewicht 588,00 kg 1 1 / 2 % Tara 1 8,82 kg = Nettogewicht 579,18 kg 1 In diesem Fall ist davon auszugehen, dass der Lieferer weder Rabatt noch Skonto gewährt hat. 53

54 100 % 15 % Listeneinkaufspreis (579,18 kg 8,60 EUR) 4 980,95 EUR Mengenrabatt 747,14 EUR 100 % 3 % Zieleinkaufspreis 4 233,81 EUR Liefererskonto 127,01 EUR Bareinkaufspreis 4 106,80 EUR + Bezugskosten: Verpackungskosten 160,86 EUR Zoll 6 % von 4 106,80 EUR = 246,41 EUR Transportversicherung 104,00 EUR Frachtkosten 231,00 EUR Ausladen 45,00 EUR 787,27 EUR Bezugspreis (Einstandspreis) 4 894,07 EUR 2 Preis je kg: 4 894,07 EUR : 579,18 kg = 8,45 EUR Ergebnis: Der Bezugspreis für ein kg der Ware beträgt 8,45 EUR. Erläuterungen zur Aufgabe 1 Die Tara wird vom Bruttogewicht berechnet. Das ermittelte Nettogewicht ist die Grundlage für die Berechnung des Einkaufspreises. 2 Der gesamte Bezugspreis wird durch das Nettogewicht dividiert und damit der Kilogrammpreis berechnet. Übungsaufgabe Berechnen Sie den Bezugspreis verschiedener Wareneingänge im Lager! Warenart Bruttomenge Tara Preis je Einheit/netto A B C kg 60 Kisten zu je 25 kg 300 Dosen zu je 350 g 2 % 500 g je Kiste bfn 7,20 EUR je kg 14,30 EUR je 100 kg 6,40 EUR je kg 2. Ein Einzelhändler kauft 5 Pakete einer Ware mit einem Bruttogewicht von 480 kg. Der Listeneinkaufspreis für 30 kg beträgt 270,00 EUR. Die Tara beträgt 4,5 %. Bei Barzahlung gewährt uns der Lieferer 3 % Skonto. Wie viel EUR beträgt der Bareinkaufspreis für die Sendung? 3. Ein Großhändler bezieht Waren mit einem Nettogewicht von 68 kg, je 5 kg zu 42,00 EUR bfn. Die Tara beträgt 3,06 kg. Vom Lieferer erhalten wir 3 % Skonto. Wie viel EUR beträgt der Bareinkaufspreis für die Lieferung? 4. Ein Kaufmann bezieht Waren mit einem Nettogewicht von 205 kg zum Listeneinkaufspreis netto ausschließlich Verpackung von 13,40 EUR je kg. An Verpackungskosten fallen 71,75 EUR an. Es werden 54,80 EUR Bahnfracht, 38,70 EUR Zoll und 10,50 EUR Anfuhrkosten berechnet. Der Lieferer gewährt 25 % Rabatt auf den Listeneinkaufspreis und 2 1 / 2 % Skonto auf den Zieleinkaufspreis. Wie viel EUR beträgt der Bezugspreis? 54

55 5. Ein Lebensmittelgeschäft kauft Speisekartoffeln ein mit einem Nettogewicht von 450 kg zum Listeneinkaufspreis von 0,35 EUR je kg bfn. Die Tara beträgt 11,25 kg. Der Lieferer gewährt 3 % Skonto. An Bezugskosten fallen an: Fracht je 100 kg 14,20 EUR, Anfuhrkosten je 50 kg 8,60 EUR. Wie viel EUR beträgt der Bezugspreis für einen Beutel von 5 kg Speisekartoffeln? 6. Während des Transports verdarben 46 kg einer Ware. Das waren 8 % der gesamten Sendung. Die Bezugskosten betrugen 5 % des Bareinkaufspreises. Der Bareinkaufspreis beläuft sich auf 8 165,00 EUR. 6.1 Wie viel kg wog die Warensendung? 6.2 Wie viel EUR betrug der Verlust einschließlich Bezugskosten? 7. Wir kaufen Waren mit einem Bruttogewicht von 140 kg. Die Tara beträgt 3 3 / 4 %. Der Listen einkaufspreis je kg Nettogewicht beträgt 4,20 EUR ausschließlich Verpackung. Die Ver packungskosten betragen 64,05 EUR. Der Lieferer gewährt uns 33 1 / 3 % Rabatt und 2 % Skonto. An Bezugskosten fallen 65,70 EUR an. Wie viel EUR kostet der Bezug von einem kg der Ware? 8. Ein Weingroßhändler importiert aus der Schweiz 12 Fass Weißwein mit je 150 Liter zu 1 125,00 CHF je Fass. Bei Zahlung innerhalb 10 Tagen erhält der Weingroßhändler 3 % Skonto. Es fallen an: Fracht zur deutschen Grenze 214,00 CHF; Fracht in Deutschland 185,00 EUR; Kosten für die Rücksendung des Leergutes 95,21 EUR. Der Weingroßhändler zahlt innerhalb der Skontofrist. Am Zahlungstermin liegen für den Schweizer Franken folgende Kurse vor: Geld 1,5503, Brief 1,5812. Berechnen Sie den Bezugspreis für einen Liter Wein! Bezugskostenverteilung nach Mengen und Werten Werden mehrere Warenarten in einer Lieferung bezogen und fallen hierbei gemeinsame Bezugskosten an, müssen diese, um eine genaue Kalkulation der einzelnen Waren zu ermöglichen, aufgeteilt werden. Dies geschieht entweder nach dem Wert der einzelnen Waren oder nach dem Gewicht der einzelnen Waren. Daher unterscheidet man: Gewichtsspesen Sie werden nach dem Bruttogewicht der einzelnen Waren aufgeteilt. Beispiele: Fracht, Anfuhrkosten, Gewichtszoll, Auslade- und Wiegekosten, Hausfracht. Wertspesen Sie werden nach dem Einkaufspreis der einzelnen Waren aufgeteilt. Beispiele: Verpackungskosten, Wertzoll, Transportversicherung, Provisionen. Vom rechnerischen Ablauf her ist die Kostenverteilung nach Mengen und Werten eine Verteilungsrechnung. 55

56 Beispiel: Ein Unternehmen bezieht zwei Warensorten in einer Lieferung. Ware I: 610 kg zu 5,10 EUR je kg zuzüglich 19 % USt und Ware II: 450 kg zu 1,40 EUR je kg zuzüglich 19 % USt. An Fracht und Kosten der Zufuhr (Gewichtsspesen) fallen 196,10 EUR zuzüglich 19 % USt und an Verpackungsund Versicherungskosten (Wertspesen) 187,05 EUR zuzüglich 19 % USt an. Aufgabe: Verteilen Sie die Gewichts- und Wertspesen anteilig auf die Warenarten! (1) Verteilung der Gewichtsspesen Gewicht je Warenart Ware I 610 kg 112,85 EUR Ware II 450 kg 83,25 EUR Gewichtsspesen je Warenart 610 0, ,185 Gesamtgewicht 1060 kg 196,10 EUR 196,10 EUR : 1060 = 0,185 EUR Gewichtsspesenanteil je kg (2) Verteilung der Wertspesen Gewicht Einzel- Gesamtpreis Wertspesen je Warenart preis je Warenart je Einheit Ware I 610 kg 5,10 EUR = 3 111,00 EUR 155,55 EUR Ware II 450 kg 1,40 EUR = 630,00 EUR 31,50 EUR , ,05 Gesamtwert der Waren = 3741,00 EUR 187,05 EUR 187,05 EUR : 3 741,00 = 0,05 EUR Wertspesenanteil je 1 EUR Allgemeiner Lösungsweg 1. Die angegebenen Warenpreise und Werte für die Bezugskosten sind als Nettowerte (Wert ohne Umsatzsteuer) zu verstehen, da die Umsatzsteuer wegen ihrer Kostenneutralität nicht in die Kalkulation einbezogen werden darf. 2. Gewichtsspesen werden errechnet, indem man die Gewichte der einzelnen Waren addiert (Gesamtgewicht). Die Gesamtgewichtsspesen werden durch das Gesamtgewicht dividiert und damit der Gewichtsspesenanteil je Einheit ermittelt. Durch Multiplikation des Gewichts der einzelnen Wareneinheiten mit dem Gewichtsspesenanteil je Einheit erhält man die Gewichtsspesen der einzelnen Warenart. 3. Bei den Wertspesen muss vor der Verteilung zunächst der Wert der einzelnen Warenart errechnet werden (Menge x Preis). Die Wertspesenanteile werden sodann auf die gleiche Art und Weise wie die Gewichtsspesen ermittelt. 56

57 Übungsaufgabe Für einewarensendung betragen die Frachtkosten 748,80 EUR und die Kosten für die Transportversicherung 457,60 EUR. Die Sendung besteht aus 3 Warensorten: Sorte I: kg zu 7,50 EUR je kg Sorte II: kg zu 3,00 EUR je 0,5 kg Sorte III: 400 kg zu 2,75 EUR je 0,25 kg 1.1 Welcher Anteil an den Frachtkosten entfällt auf jede Sorte, wenn die Frachtkosten nach dem Gewicht zu verteilen sind? 1.2 Welcher Anteil an den Versicherungskosten entfällt auf jede Sorte, wenn die Kosten für die Transportversicherung nach dem Wert zu verteilen sind? 2. Ein Kaufmann bezieht mit der gleichen Sendung drei Warengruppen: Warengruppe I: 168 kg zum Listeneinkaufspreis von 1 750,00 EUR Warengruppe II: 210 kg zum Listeneinkaufspreis von 2 250,00 EUR Warengruppe III: 315 kg zum Listeneinkaufspreis von 3 250,00 EUR Für die gesamte Sendung müssen dem Spediteur 118,80 EUR Fracht und Kosten der Anfuhr gezahlt werden. Die Transportversicherung kostet 53,65 EUR. Wie viel EUR betragen jeweils die Gewichtsspesen und die Wertspesen für die einzelnen Warengruppen? 3. Ein Großhändler bezieht: Ware I: 25 Sack, 1345 kg brutto 32,00 EUR je kg Ware II: 40 Sack, 2670 kg brutto 40,00 EUR je kg Die Tara beträgt je Sack 1 kg. Verteilen Sie die Frachtkosten von 3 011,25 EUR nach dem Gewicht, die Versicherungskosten von 1 947,10 EUR nach dem Wert der Ware. Wie viel EUR betragen die Gewichtsspesen und die Wertspesen für die einzelnen Warengruppen? 4. Ein Unternehmen bezieht in einer gemeinsamen Sendung drei Sorten einer Ware. Fracht und Kosten der Anfuhr betragen 163,80 EUR, die Versicherungskosten belaufen sich auf 237,50 EUR. Ware I: 144 kg zu insgesamt 720,00 EUR Ware II: 36 kg zu insgesamt 320,00 EUR Ware III: 72 kg zu insgesamt 480,00 EUR 4.1 Die Gewichts- und Wertspesen für den Bezug sind auf die drei Warensorten zu verteilen! 4.2 Wie viel EUR beträgt der Einstandspreis (Wareneinkaufspreis + Bezugskosten) jeder Warensorte? 1 Bei allen Übungsaufgaben wird aus Gründen der Übersichtlichkeit auf den Ausweis der Umsatzsteuer verzichtet. 57

58 3.2.2 Kalkulation der Selbstkosten Die Einkaufs- und Bezugskalkulation erfasst sämtliche Kosten, die einem Kaufmann entstanden sind, bis die Ware im Lager eintrifft. Von der Lagerung bis zum Verkauf entstehen dem Kaufmann jedoch noch weitere Kosten. Wir nennen sie Handlungskosten. (1) Handlungskosten Handlungskosten sind die Kosten, die aufgrund der Betriebstätigkeit anfallen. Hierzu rechnen beispielsweise: Lagerkosten (Gehälter und Löhne des Lagerpersonals, Lagerzinsen, Reparaturen und Abschreibungen für die Lagergebäude, Kostenanteil für Licht und Heizung); Verkaufskosten (Ausgangsfrachten, Verpackungskosten, Werbekosten, Gehälter und Löhne des Verkaufspersonals, Kosten für Beförderungsmittel einschließlich Reparaturen und Abschreibungen); Allgemeine Verwaltungskosten (Rechts- und Beratungskosten, Steuern, Bürokosten, Gehälter und Löhne für Angestellte und Arbeiter, Abschreibungen). Handlungskosten sind somit zusätzlich zu den Warenkosten ein Werteverzehr für die produktive Leistung eines Handelsbetriebs (betriebliche Aufwendungen). Wir merken uns: Die Handlungskosten werden mit einem Prozentsatz auf den Einstandspreis (Bezugspreis) aufgeschlagen. 1 Der Einstandspreis ist dabei 100 %. Einstandspreis + Handlungskosten = Selbstkosten (2) Handlungskostenzuschlagssatz Zur Ermittlung eines angemessenen Aufschlags für die Handlungskosten beziehen wir die gesamten Handlungskosten der vergangenen Geschäftgsperiode auf den Wareneinsatz 1 dieser Periode. Der dabei ermittelte Prozentsatz der Handlungskosten stellt den Handlungskostenzuschlagssatz für die Erfassung der Handlungskosten bei der Kalkulation in der laufenden Geschäftsperiode dar. 1 Da wir für das laufende Geschäftsjahr die Handlungskosten und den Wareneinsatz zunächst noch nicht kennen (und damit den Handlungskostenzuschlagssatz auch nicht errechnen können), wird für die Kalkulation der Waren der Handlungskostenzuschlagssatz der vorangegangenen Geschäftsperiode herangezogen. 58

59 Beispiel: Das Handelshaus Stark GmbH weist für das vergangene Geschäftsjahr folgende Kosten aus: Wareneinsatz ,00 EUR Handlungskosten ,00 EUR Aufgabe: Berechnen Sie den Handlungskostenzuschlagssatz! ,00 EUR Wareneinsatz % ,00 EUR Handlungskosten x % Handlungskostenzuschlagssatz = = 19 % Unter dem Handlungskostenzuschlagssatz versteht man den prozentualen Anteil der Handlungskosten am Wareneinsatz. Handlungskosten 100 Handlungskostenzuschlagssatz = Wareneinsatz Aus Gründen der Übersichtlichkeit wiederholen wir an dieser Stelle nochmals die bisher bekannte Warenkalkulation und ergänzen diese jetzt um die Handlungskosten. Beispiel: Das Handelshaus Stark GmbH bestellt bei einem Hersteller ein Fitnessgerät zu folgenden Bedingungen: Listeneinkaufspreis 2 100,00 EUR zuzüglich 19 % Umsatzsteuer, 33 1 / 3 % Wiederverkäuferrabatt, 2 % Skonto, Kosten für Verpackung, Fracht, Anfuhr und Transportversicherung pauschal 140,00 EUR zuzüglich 19 % Umsatzsteuer. Das Handelshaus rechnet mit einem Handlungskostenzuschlagssatz von 19 %. Aufgabe: Wie viel EUR betragen die Selbstkosten? 100 % 2 % / 3 % 33 1 / 3 % 100 % 19 % Listeneinkaufspreis netto 2 100,00 EUR Liefererrabatt (vom Hundert) 700,00 EUR Zieleinkaufspreis 1 400,00 EUR Liefererskonto (vom Hundert) 28,00 EUR Bareinkaufspreis 1 372,00 EUR + Bezugskosten 140,00 EUR Einstandspreis (Bezugskosten) 1 512,00 EUR + Handlungskosten (vom Hundert) 287,28 EUR Selbstkosten 1 799,28 EUR Die Selbstkosten decken alle Kosten ab, die mit dem Ein- und Verkauf des Fitnessgerätes zusammenhängen. In der Regel stellen die Selbstkosten die unterste Grenze des Verkaufspreises einer Ware im Konkurrenzkampf dar, denn nur bei diesem Preis lässt sich ein Verlust vermeiden. 1 Unter Wareneinsatz verstehen wir den Einstandspreis (Bezugspreis) der Ware (vgl. Seite 51). 59

60 Übungsaufgaben Die Kostenrechnung eines Großhandelsgeschäftes weist für die vergangene Geschäftsperiode folgende Zahlen aus: Wareneinsatz ,00 EUR Summe der Handlungskosten ,00 EUR 1.1 Berechnen Sie den Handlungskostenzuschlagssatz! 1.2 Dem Großhändler wird eine Bohrmaschine zum Listeneinkaufspreis von 250,00 EUR angeboten. Bei einer Abnahme von 10 Stück erhält er einen Mengenrabatt von 15 % und bei Zahlung innerhalb von 14 Tagen 2 % Skonto. Die Bezugskosten betragen 137,50 EUR für 10 Stück. Ermitteln Sie mit dem unter 1.1 berechneten Handlungskostenzuschlagssatz die Selbstkosten pro Stück! 2. Die Kostenrechnung eines Sportgeschäfts weist folgende Zahlen aus: Wareneinsatz (Einstandspreis) ,00 EUR Summe der Handlungskosten ,00 EUR 2.1 Berechnen Sie den Handlungskostenzuschlagssatz! 2.2 Das Sportgeschäft bezieht 80 Tennisanzüge zum Listeneinkaufspreis von 125,00 EUR je Stück. Einkaufsbedingungen: 12 % Rabatt, bei Zahlung innerhalb 20 Tagen 3 % Skonto. Die Frachtkosten für die Sendung betragen insgesamt 48,00 EUR. Berechnen Sie die Selbstkosten für einen Tennisanzug, indem Sie den in 2.1 errechneten Handlungskostenzuschlagssatz heranziehen! 3. Der Einstandspreis (Bezugspreis) eines Artikels beträgt 35,20 EUR, die Handlungskosten 15,84 EUR. Wie viel Prozent beträgt der Handlungskostenzuschlagssatz? Kalkuliere die Selbstkosten für ein Notebook aufgrund des folgenden Angebots: Listeneinkaufspreis je Notebook 574,37 EUR, 15 % Rabatt, 3 % Skonto, Frachtkosten 77,70 EUR. Der Handlungskostenzuschlagssatz beträgt 42 %. Wie viel EUR betragen die Selbstkosten des Notebooks? Das Handelshaus Lauf GmbH bezieht 15 Rollen Teppichboden zu 465,00 EUR je Rolle ab Werk. Die Teppichweberei gewährt 20 % Liefererrabatt und 2 1 / 2 % Liefererskonto. An Bezugskosten fallen an: Verpackungs- und Verladekosten 12,00 EUR, Transportkosten 6,00 EUR und Ausladekosten 5,20 EUR je Rolle. Das Handelshaus Lauf rechnet mit einem Handlungskostenzuschlagssatz von 52 %. Wie viel EUR betragen die Selbstkosten je Rolle? 3. Der Einstandspreis (Bezugspreis) eines Artikels beträgt 198,00 EUR. Die Selbstkosten betragen 308,09 EUR. Wie viel Prozent beträgt der Handlungskostenzuschlagssatz? 4. Aus der Kostenrechnung eines Importeurs entnehmen wir folgende Zahlen: Wareneinsatz ,00 EUR, Personalkosten ,00 EUR, Raumkosten ,00 EUR, Werbekosten 8 520,00 EUR, Abschreibungen ,00 EUR, Kfz-Kosten 9 400,00 EUR und Kosten für die Warenabgabe 9 435,00 EUR. Berechnen Sie den Handlungskostenzuschlagssatz!

61 5. Die Kalkulation eines Artikels weist folgende Werte auf: Listeneinkaufspreis 19,10 EUR Bezugspreis 16,25 EUR Zieleinkaufspreis 15,28 EUR Selbstkosten 22,43 EUR Bareinkaufspreis 14,82 EUR Wie viel Prozent beträgt der Handlungskostenzuschlagssatz? Verkaufskalkulation Berechnung des Barverkaufspreises Der Unternehmer kann sich nicht mit dem Erlös der Selbstkosten zufrieden geben, vielmehr ist er tätig, um einen Gewinn zu erzielen. Durch den Gewinn möchte der Unternehmer drei Leistungen erstattet haben: die Kapitalverzinsung für das von ihm investierte Kapital (Eigenkapital); die Risikoprämie als Vergütung für die Gefahr, dass das Unternehmen Verluste erleidet und dadurch das Kapital aufgezehrt wird; den Unternehmerlohn für seine Mitarbeit im Geschäft. Einen absoluten EUR-Betrag für eine angemessene Gewinnhöhe kann man nicht festlegen, da die Einkaufspreise der verschiedenen Artikel unterschiedlich hoch sind. Man kann den Gewinnaufschlag nur als relative Größe, d. h. als prozentualen Aufschlag auf die Selbstkosten bestimmen. Hierbei kann der Unternehmer nicht nach Belieben entscheiden. Der Wettbewerb auf dem freien Markt führt häufig zu einem Druck auf die Preise und setzt so dem Gewinnstreben des Unternehmers Grenzen. Wir merken uns: Der Gewinn wird über einen prozentualen Aufschlag (Gewinnsatz) auf die Selbstkosten einkalkuliert (Gewinnsatz). Die Selbstkosten sind dabei 100 %. Selbstkosten Gewinnsatz Gewinn = 100 Selbstkosten + Gewinn = Barverkaufspreis Beispiel: Wir führen die Kalkulation des Fitnessgerätes fort. Die Selbstkosten betragen 1 799,28 EUR. Das Handelshaus Stark GmbH rechnet mit 20 % Gewinn. Aufgabe: Wie viel EUR beträgt der Barverkaufspreis? 100 % 20 % Selbstkosten 1 799,28 EUR + Gewinn 359,86 EUR Barverkaufspreis 2 159,14 EUR 61

62 Übungsaufgabe Der Bezugspreis einerware beträgt 36,40 EUR. Wir kalkulieren mit einem Handlungskostenzuschlagssatz von 55 % und mit 8,5 % Gewinn. Wie viel EUR beträgt der Barverkaufspreis? 2. Wareneinsatz ,00 EUR Umsatzerlöse zu Handlungskosten ,00 EUR Barverkaufspreisen ,00 EUR Gewinn ,00 EUR Wie viel Prozent beträgt der Gewinn? 3. Wir kalkulieren einen Artikel aus unserem Sortiment mit einem Handlungskostenzuschlagssatz von 35 % und mit 12 % Gewinn. Der Einstandspreis des Artikels beträgt 159,60 EUR. Wie viel EUR beträgt der Barverkaufspreis? 4. Der Gewinn an einer Ware beträgt 59,50 EUR, das sind 8,5 % des Selbstkostenpreises. Wie viel EUR beträgt der Barverkaufspreis? 5. Für die Berechnung des Barverkaufspreises einer Ware liefert uns die Kalkulation die folgenden Daten: Einstandspreis 12,15 EUR, Selbstkosten 16,20 EUR, Barverkaufspreis 18,80 EUR. Wie viel Prozent beträgt der Handlungskostenzuschlagssatz? 6. Aus der Kostenrechnung entnehmen wir folgende Zahlenwerte: Wareneinsatz ,00 EUR Umsatzerlöse zu Barverkaufspreisen ,00 EUR Handlungskostenzuschlagssatz 30 % Wie viel EUR betragen die Selbstkosten? 7. Aufgrund einer Anfrage erhalten wir von unserem Lieferer folgendes Angebot für Tischlampen, die in ähnlicher Ausführung bei unserer Konkurrenz als Verkaufsschlager gelten und dort zum Barverkaufspreis von 249,90 EUR verkauft werden. Listeneinkaufspreis Modell Star 133,00 EUR ohne USt. Lieferungs- und Zahlungsbedingungen: Lieferung ab Fabrik, zahlbar ohne jeden Abzug sofort nach Erhalt der Ware. An Frachtkosten fallen an 6,00 EUR; an Verpackungskosten für einen Spezialbehälter 15,00 EUR, wobei uns bei Rücksendung des Behälters 2 / 3 dieses Betrages wieder gutgeschrieben werden. Kalkulieren Sie, ob wir diese Lampe in unser Sortiment aufnehmen können, wenn wir mit einem Handlungskostenzuschlagssatz von 45 % und 16 2 / 3 % Gewinn rechnen! 8. Die Kaffeerösterei Heinrich Albert KG bietet uns zum Listeneinkaufspreis von 15,50 EUR je kg brasilianischen Hochlandkaffee an. Die Zahlungsbedingungen lauten: Zahlbar innerhalb 30 Tagen netto oder binnen 10 Tagen mit 3% Skonto. Wenn 500 Pakete zu je 1 / 2 kg Kaffee abgenommen werden, betragen die Frachtkosten 630,00 EUR. Die Kaffeegroßrösterei Konrad Berger AG bietet uns die gleiche Qualität Kaffee an. 500 Pakete Kaffee zu je 1 / 2 kg sollen frei Haus 4 750,00 EUR kosten. Wir erhalten einen Sonder rabatt von 6 % und bei Zahlung innerhalb einer Woche 2 % Skonto. Das Zahlungsziel beträgt vier Wochen. 8.1 In beiden Fällen wird nach sechs Tagen bezahlt. Welches Angebot ist günstiger? Wie hoch ist die Differenz in EUR? 8.2 Zu welchem Barverkaufspreis können wir eine 500-Gramm-Dose anbieten, wenn bei dem günstigeren Angebot ein Handlungskostenzuschlagssatz von 12 1 / 2 % und 8 1 / 3 % Gewinnaufschlag einkalkuliert werden? 62

63 Berechnung des Listenverkaufspreises (Nettoverkaufspreis) unter Berücksichtigung von Kundenskonto, Kundenrabatt, Vertreterprovision und Umsatzsteuer Wird dem Kunden Rabatt und Skonto gewährt und ist noch ein Vertreter zu bezahlen, hat der Kaufmann diese Kosten zuvor in den Preis einzurechnen, ansonsten gehen die Preisnachlässe bzw. die Kosten für den Vertreter zulasten seines Gewinns. Für die Einrechnung der Preisnachlässe an den Kunden müssen wir uns in die Lage des Kunden versetzen. Der Kunde erhält zunächst den Rabatt eingeräumt und kann dann erst (sofern er innerhalb der Skontofrist bezahlt) von dem gekürzten Betrag den angebotenen Skonto abziehen. Weil der Kunde die Nachlässe in dieser Reihenfolge abzieht, muss der Kaufmann sie in umgekehrter Reihenfolge aufschlagen. Skonto und Rabatt sind in der gleichen Höhe einzurechnen, in der sie der Kunde abzieht. Da der Kunde den Listenverkaufspreis (Nettoverkaufspreis) bzw. den Zielverkaufspreis zum Ausgangspunkt seiner Rechnung nimmt, sind diese Größen jeweils 100 %, d. h., der Kaufmann hat daher Rabatt und Skonto im Hundert einzurechnen. Die Vertreterprovision wird in aller Regel vom Zielverkaufspreis gewährt. Da der Kundenskonto ebenfalls vom Zielverkaufspreis gerechnet wird, können beide Prozentsätze zusammengefasst werden. Die Umsatzsteuer ist bei der Berechnung des Verkaufspreises kein Kostenfaktor, sondern lediglich ein durchlaufender Posten. Sie wird daher dem Kunden getrennt in Rechnung gestellt (Bezugsgrundlage ist der Nettoverkaufspreis). Die Umsatzsteuer wird deshalb bei den nachfolgenden Beispielen nicht ausgewiesen. Beispiel: Wir führen die Kalkulation des Fitnessgerätes fort. Der Barverkaufspreis beträgt 2 159,14 EUR. Das Handelshaus Stark GmbH hat dem Kunden bei der Bestellung 20 % Rabatt und 2 % Skonto zugesagt. Die Vertreterprovision beträgt 5 % vom Zielverkaufspreis. Aufgabe: Berechnen Sie den Listenverkaufspreis (Nettoverkaufspreis) des Fitnessgerätes! 80 % 20 % 93 % 2 % 5 % Barverkaufspreis 2 159,14 EUR + Kundenskonto (im Hundert) 46,43 EUR + Vertreterprovision (im Hundert) 116,08 EUR 100 % Zielverkaufspreis 2 321,65 EUR + Kundenrabatt (im Hundert) 580,41 EUR 100 % Listenverkaufspreis (Nettoverkaufspreis) 2 902,06 EUR Rechenvorgang: Für die Berechnung von Kundenskonto und Für die Berechnung des Kundenrabatts: Vertreterprovision: a) Barverkaufspreis 93 % 2 159,14 EUR Zielverkaufspreis 80 % 2 321,65 EUR Kundenskonto 2 % x EUR Kundenrabatt 20 % x EUR x = 2 159, ,65 20 = 46,43 EUR x = = 580,41 EUR b) Barverkaufspreis 93 % 2 159,14 EUR Vertreterprovision 5% x EUR x = 2 159,14 5 = 116,08 EUR 93 63

64 Übungsaufgabe Die Farbenhandlung Grün & Gelb GmbH hat einen hohen Vorrat an Autolacken am Lager. Für die 2-kg-Dose wurden dabei Selbstkosten von 8,40 EUR errechnet. In einer Sonderaktion möchte die Farbenhandlung den Bestand abbauen. Für eine Werbeaktion rechnet die Großhandlung mit folgenden Kalkulationsdaten: 8 % Gewinn, 10 % Aktionsrabatt, 2 % Skonto und 6 % Vertreterprovision. Zu welchem Listenverkaufspreis kann die 2-kg-Dose bei der Sonderaktion verkauft werden? 2. Ein Getränkegroßmarkt verkauft Getränke auch in Kästen zu je 10 Flaschen und möchte hierauf den Kunden jeweils einen Sonderrabatt einräumen. Die bisherige Kalkulation für einen Kasten Zitronenlimonade ergab einen Barverkaufspreis von 4,20 EUR je Kasten. Zu welchem Listenverkaufspreis kann ein Kasten angeboten werden, wenn der Getränkegroßmarkt noch 5 % Sonderrabatt und 3 % Kundenskonto einrechnet? 3. Wir entschließen uns, den Kunden in Zukunft 20 % Rabatt und 3 % Skonto einzuräumen. Die Vertreterprovision beträgt 6,5 % vom Zielverkaufspreis. Berechnen Sie den Nettoverkaufspreis für einen Tisch! Bisheriger Barverkaufspreis: 460,00 EUR. 4. Die Kalkulation eines Artikels ergibt folgende Werte: Einkaufspreis 38,20 EUR Bezugspreis 32,50 EUR Zieleinkaufspreis 30,56 EUR Selbstkosten 44,85 EUR Bareinkaufspreis 29,64 EUR Wie viel Prozent beträgt der Handlungskostenzuschlagssatz? 5. Die Kalkulation liefert uns für einen Artikel folgende Daten: Bezugspreis 85,90 EUR Zielverkaufspreis 135,00 EUR Selbstkosten 115,40 EUR Listenverkaufspreis 153,90 EUR Barverkaufspreis 130,95 EUR Wie viel Prozent beträgt der Kundenskonto? 6. Die Kalkulation ergibt einen Barverkaufspreis von 564,20 EUR. Den Kunden räumen wir 3 % Skonto ein. Wie viel EUR beträgt der Zielverkaufspreis? 7. Die Kalkulation liefert uns für eine Ware folgende Daten: Einstandspreis 150,40 EUR Zielverkaufspreis 224,00 EUR Selbstkosten 175,70 EUR Listenverkaufspreis 239,68 EUR Barverkaufspreis 190,40 EUR Wie viel EUR gewähren wir unseren Kunden an Rabatt? 8. Ein Baumarkt erstellt ein Angebot für Bauhandwerker. Hierbei soll auf eine Schleifmaschine ein Sonderrabatt von 8 % und ein Skonto von 2 % gewährt werden. Der errechnete Barverkaufspreis beträgt für die Maschine 284,00 EUR. Berechnen Sie den Angebotspreis für die Schleifmaschine! 9. Das Elektrohaus Hell & Dunkel GmbH muss seinen Kunden aus Wettbewerbsgründen bei Haushaltsmaschinen Rabatt und Skonto einräumen. Wie viel EUR beträgt der Nettoverkaufspreis, wenn in den Barverkaufspreis von 580,00 EUR 12 % Rabatt und 2 % Skonto einzurechnen sind? 64

65 3.2.4 Zusammenhängende Darstellung des Kalkulationsschemas Aus Gründen der Übersicht haben wir das Kalkulationsschema in einzelne Teilschritte zerlegt. Im Folgenden wird nun die Gesamtkalkulation des Fitnessgerätes im Überblick dargestellt. Beispiel: Das Handelshaus Stark GmbH bestellt bei einem Hersteller ein Fitnessgerät zu folgenden Bedingungen: Listeneinkaufspreis 2 100,00 EUR zuzüglich 19 % Umsatzsteuer, 33 1 / 3 % Wiederverkäuferrabatt, 2 % Skonto, Kosten für Verpackung, Fracht, Anfuhr und Transportversicherung pauschal 140,00 EUR zuzüglich 19 % Umsatzsteuer. Handlungskostenzuschlagssatz 19 %, Gewinnzuschlagssatz 20 %. Dem Kunden werden 20 % Rabatt und 2 % Skonto gewährt. Die Vertreterprovision beträgt 5 % vom Zielverkaufspreis. Aufgabe: Wie viel EUR beträgt der Listenverkaufspreis (Nettoverkaufspreis)? 100 % 33 1 / 3 % Listeneinkaufspreis netto 2 100,00 EUR Liefererrabatt (vom Hundert) 700,00 EUR 100 % 2 % Zieleinkaufspreis 1 400,00 EUR Liefererskonto (vom Hundert) 28,00 EUR Bareinkaufspreis 1 372,00 EUR + Bezugskosten 140,00 EUR 100 % 19 % Einstandspreis (Bezugspreis) 1 512,00 EUR + Handlungskosten (vom Hundert) 287,28 EUR 100 % 20 % Selbstkosten 1 799,28 EUR + Gewinn (vom Hundert) 359,86 EUR 93 % 2 % 5 % Barverkaufspreis 2 159,14 EUR + Kundenskonto (im Hundert) 46,43 EUR + Vertreterprovision (im Hundert) 116,08 EUR 80 % 20 % Zielverkaufspreis 2 321,65 EUR + Kundenrabatt (im Hundert) 580,41 EUR Listenverkaufspreis (Nettoverkaufspreis) 2 902,06 EUR Übungsaufgabe Ein Handelshaus bezieht 500 Damenjacken zu je 180,00 EUR. Der Lieferer gewährt 10 % Rabatt und 2 % Skonto. Es fallen für die gesamte Sendung 480,00 EUR Frachtkosten an. Das Großhandelshaus rechnet mit einem Handlungskostenzuschlagssatz von 25 % und will 11 1 / 2 % Gewinn erzielen. Dem Einzelhändler werden 15 % Rabatt und 3 % Skonto gewährt. Berechnen Sie den Listenverkaufspreis für eine Jacke! 65

66 2. Ein Lebensmittelgroßhändler bezieht 165 Gläser Erdbeerkonfitüre zum Listeneinkaufspreis von 1,32 EUR je Glas. Der Lieferer gewährt 15 % Rabatt und 3 % Skonto. An Bezugskosten fallen an: 3 % Bruchversicherung (vom Einkaufspreis), für Fracht und Rollgeld 22,70 EUR. Der Lebensmittelgroßhändler rechnet mit einem Handlungskostenzuschlagssatz von 35 % und will 15 % Gewinn erzielen. Dem Käufer werden 10 % Rabatt und 2 % Skonto angeboten. Die Vertreterprovision beläuft sich auf 8 % vom Zielverkaufspreis. Berechnen Sie den Listenverkaufspreis für ein Glas! 3. Ein Elektrogeschäft bezieht 10 Kühlschränke zu 398,00 EUR je Stück. Der Hersteller gewährt einen Mengenrabatt von 15 % und bei Zahlung innerhalb von 10 Tagen 2 % Skonto. Die Lieferung erfolgt frachtfrei. Berechnen Sie den Nettoverkaufspreis für einen Kühlschrank, wenn das Elektrogeschäft mit folgenden Kalkulationsvorgaben rechnet: 18 % Handlungskostenzuschlagssatz, 20 % Gewinn, 5 % Kundenrabatt, 2 % Kundenskonto und 5 % Vertreterprovision! 4. Eine Farbenhandlung erhält ein Angebot einer Lackfabrik über 35 Kanister Farbe, Inhalt 20 kg. Auf den Stückpreis von 86,50 EUR erhält die Farbenhandlung 22 % Rabatt und 3 % Skonto. An Frachtkosten werden 4,50 EUR je Kanister berechnet, die bei frachtfreier Rücksendung zu einem Drittel gutgeschrieben werden. Die Farbenhandlung rechnet mit einem Handlungskostenzuschlagssatz von 35 % und einem Gewinnzuschlag von 15 %. Die Handwerker als Abnehmer der Farbe erhalten einen Handwerkerrabatt von 10 % und 2 % Skonto. Zu welchem Listenverkaufspreis kann ein Kanister Farbe angeboten werden? 5. Wir beziehen von der Möbelfabrik Fritz Holz GmbH 40 Beistelltische zu einem Listeneinkaufspreis von 74,80 EUR je Stück. Die Möbelfabrik gewährt einen Rabatt von 12 1 / 2 % und bei Barzahlung innerhalb von 10 Tagen 2 % Skonto. Insgesamt fallen an Bezugskosten 232,00 EUR an. Wir rechnen mit einem Handlungskostenzuschlagssatz von 28,5 % und einem Gewinnzuschlagssatz von 8 %. Die Beistelltische werden im Rahmen einer Sonderaktion abgesetzt, wobei den Kunden 10 % Sonderrabatt sowie 2 % Skonto gewährt werden sollen. Die Vertreterprovision beträgt 6 % vom Zielverkaufspreis. Zu welchem Listenverkaufspreis wird ein Beistelltisch ausgezeichnet? 6. Einem Elektrohändler wird ein Staubsauger zu 273,50 EUR angeboten. Der Lieferer gewährt 20 % Rabatt und 3 % Skonto. Die Bezugskosten betragen 5,00 EUR. Kann der Händler das Angebot annehmen, wenn er den Staubsauger zu 368,00 EUR verkaufen will? Er kalkuliert mit einem Handlungskostenzuschlagssatz von 16 2 / 3 %, 12 % Gewinnzuschlag, 15 % Kundenrabatt und 2 % Kundenskonto. 3.3 Kalkulatorische Rückrechnung (retrograde Kalkulation) Liegt der Listenverkaufspreis aufgrund der gegebenen Markt- bzw. Konkurrenzsituation fest, so eignet sich das Kalkulationsschema in umgekehrter Richtung von unten nach oben zur Errechnung des aufwendbaren Einkaufspreises (retrograde Kalkulation; Rückwärtskalkulation). Dabei wird der Listeneinkaufspreis errechnet, der höchstens gezahlt werden darf, um den angestrebten Gewinn zu erreichen. 66

67 Beispiel: Aufgrund der Marktsituation muss die Eisenhandlung Fritz Zeh KG eine Schleifmaschine zum Listenverkaufspreis in Höhe von 290,00 EUR anbieten. Den Handwerkern muss branchenüblich 10 % Rabatt und 2 % Skonto gewährt werden. Die einzurechnende Vertreterprovision vom Zielverkaufspreis beläuft sich auf 8%. Vom Lieferer erhält die Fritz Zeh KG lt. Angebot 20 % Rabatt und 3 % Skonto. Die Fracht- und Verpackungskosten werden von ihm pauschal mit 18,00 EUR berechnet. Der Handlungskostenzuschlagssatz beläuft sich auf 32 %. Als Gewinn sollen 12 % eingerechnet werden. Aufgabe: Welcher Listeneinkaufspreis kann höchstens bezahlt werden? 100 % 20 % 80 % 100 % 3 % Listeneinkaufspreis netto 181,56 EUR + Liefererrabatt 36,31 EUR Zieleinkaufspreis 145,25 EUR + Liefererskonto 4,36 EUR 100% 32% 132 % 100 % 12 % 90 % 2 % 8 % 97 % Bareinkaufspreis 140,89 EUR Bezugskosten 18,00 EUR Einstandspreis (Bezugspreis) 158,89 EUR Handlungskosten 50,84 EUR Selbstkosten 209,73 EUR Gewinn 25,17 EUR 112 % Barverkaufspreis 234,90 EUR Kundenskonto 5,22 EUR Vertreterprovision 20,88 EUR Rückwärtskalkulation 100 % 90 % 10 % Zielverkaufspreis 261,00 EUR Kundenrabatt 29,00 EUR 100 % Listenverkaufspreis 290,00 EUR Ergebnis: Die Eisenhandlung Fritz Zeh KG kann für die Schleifmaschine höchstens einen Listeneinkaufspreis von netto 181,56 EUR bezahlen. Allgemeiner Lösungsweg 1. Stellen Sie zuerst das Kalkulationsschema von oben nach unten auf und tragen Sie die in der Aufgabe vorgegebenen Prozentsätze ein! 2. Setzen Sie den gegebenen Listenverkaufspreis ein! 3. Überlegen Sie bei jedem Rechenschritt, ob es sich um eine Rechnung vom Hundert (Kundenrabatt, Vertreterprovision, Kundenskonto), auf Hundert (Gewinn, Handlungskosten) oder im Hundert (Liefererskonto, Liefererrabatt) handelt! 4. Überprüfen Sie das Ergebnis durch eine Vorwärtskalkulation! 67

68 Übungsaufgabe Wir können eine neue Waschmaschine, Marke LAVOLUX, aus Konkurrenzgründen höchstens für 976,75 EUR auf den Markt bringen. Unsere Kalkulationssätze sind: 12,5 % Handlungskostenzuschlagssatz, 16 2 / 3 % Gewinn, 2,5 % Kundenskonto und 14 % Kundenrabatt. An Bezugskosten würden uns 8,80 EUR entstehen, wovon 1 / 4 bei Rücksendung der Verpackung wieder gutgeschrieben werden. Welchen Listeneinkaufspreis können wir höchstens beim Einkauf zugrunde legen, wenn der Lieferer noch bereit wäre, uns 2 % Skonto und 10 % Einführungsrabatt einzuräumen? 2. Der Vertreter eines Modeherstellers bietet uns Damenmäntel zum Listeneinkaufspreis von 300,00 EUR an. Er sagt einen Liefererskonto von 3 % zu. Über den Rabatt des Lieferers müsse verhandelt werden. Wie viel Rabatt in EUR und Prozent muss der Hersteller einräumen, wenn wir aus Konkurrenzgründen diesen Mantel mit 352,94 EUR anbieten wollen und wir mit folgenden Sätzen kalkulieren: Handlungskostenzuschlagssatz 16 %, Gewinnzuschlag 12,5 %, 2 % Kundenskonto und 15 % Kundenrabatt? 3. Um den Marktanteil zu erhöhen, startet ein Medienunternehmen eine Werbeaktion und empfiehlt allen Händlern, den Nettoverkaufspreis pro Musikkassette auf 15,00 EUR festzusetzen. Welchen Einkaufspreis kann ein Händler höchstens anlegen, wenn er vom Lieferer 33 1 / 3 % Händlerrabatt erhält. Er kalkuliert mit einem Handlungskostenzuschlagssatz von 8 % und einem Gewinnzuschlag von 5 %. Den Kunden gewährt der Händler 2 % Skonto und 12 % Rabatt. 4. Vom Werk wurde für den Fernseher Supra der empfohlene Listenverkaufspreis auf 1 482,00 EUR festgesetzt. Das Werk stellt den Fernseher zu diesem Preis in Rechnung und gewährt einen angemessenen Liefererrabatt. Berechnen Sie den Rabatt in EUR und Prozent, wenn ein Händler mit 24,50 EUR Bezugskosten, 18 % Handlungskostenzuschlagssatz, 16 2 / 3 % Gewinn, einem Kundenskonto von 3 % und einem Kundenrabatt von 15 % kalkuliert! 3.4 Differenzkalkulation Unverbindliche Preisempfehlungen, aber häufig auch die Marktlage, verhindern, dass der Kaufmann seinen Listenverkaufspreis selbst bestimmen kann. Auch kann der Preis deshalb feststehen, weil z. B. der Hersteller diesen vorgibt. In diesem Fall muss es das Ziel der Kalkulation sein, festzustellen, ob der so erwirtschaftete Gewinn ausreichend ist. Wird die Höhe des anfallenden Gewinns errechnet, sprechen wir von Differenzkalkulation. 1 Da sowohl der Listen einkaufspreis als auch der Listenverkaufspreis festliegen, muss von beiden Werten aus mit dem Rechenweg begonnen werden, und zwar einmal als Vorwärtskalkulation (vom Listeneinkaufspreis bis zu den Selbstkosten) und zum anderen als Rückwärtskalkulation (vom Listenverkaufspreis bis zum Barverkaufspreis). Gegebener Listeneinkaufspreis Rechenweg Selbstkosten Differenz Gewinn/Verlust Barverkaufspreis Rechenweg Gegebener Listenverkaufspreis 1 Die Differenz zwischen Barverkaufspreis und Selbstkosten stellt den Gewinn/Verlust dar. Wir sprechen daher auch von Gewinnkalkulation. 68

69 Beispiel: Das Elektrohaus Xaver Finke e. Kfm. prüft folgendes Angebot eines Markenartikelherstellers: Der Hersteller empfiehlt für eine Geschirrspülmaschine einen Listenverkaufspreis von 600,00 EUR. Seine Lieferungs- und Zahlungsbedingungen lauten: 40 % Wiederverkäuferrabatt, 2 % Skonto, Frachtanteil pauschal 30,00 EUR. Das Elektrohaus rechnet mit einem Handlungskostenzuschlagssatz von 9 % und hat aufgrund der Konkurrenzsituation dem Kunden 2 % Skonto und 10 % Rabatt einzuräumen. Die Vertreterprovision vom Zielverkaufspreis ist mit 6 % einzurechnen. Aufgabe: Wie hoch ist der Gewinn in EUR und Prozent, der dem Elektrohaus Xaver Finke e. Kfm. verbleibt? 100 % 40 % 60 % 100 % 2 % Listeneinkaufspreis netto 600,00 EUR Liefererrabatt 240,00 EUR Zieleinkaufspreis 360,00 EUR Liefererskonto 7,20 EUR Vorwärtskalkulation 98 % Bareinkaufspreis 352,80 EUR + Bezugskosten 30,00 EUR 100 % 9 % 109 % 100 % x % 92 % 2 % 6 % Einstandspreis (Bezugspreis) 382,80 EUR + 9 % Handlungskosten 34,45 EUR Selbstkosten 417,25 EUR Gewinn 79,55 EUR Barverkaufspreis 496,80 EUR Kundenskonto 10,80 EUR Vertreterprovision 32,40 EUR 100 % 90 % 10 % Zielverkaufspreis 540,00 EUR Kundenrabatt 60,00 EUR 100 % Listenverkaufspreis 600,00 EUR Berechnung des Gewinnzuschlagssatzes: 417,25 EUR 100 % 79,55 EUR x % 79, x = = 19,07 % 417,25 Rückwärtskalkulation Ergebnis: Dem Elektrohaus Xaver Finke e. Kfm. bleibt ein Gewinn in Höhe von 79,55 EUR. Das entspricht einem Gewinnsatz von 19,07 %. Allgemeiner Lösungsweg 1. Stellen Sie zuerst das Kalkulationsschema von oben nach unten auf und tragen Sie die in der Aufgabe vorgegebenen Prozentsätze ein! 2. Setzen Sie den gegebenen Listenverkaufspreis bzw. Listeneinkaufspreis (netto) ein! (Beim empfohlenen Richtpreis entspricht der Listeneinkaufspreis dem Listenverkaufspreis.) 3. Kennzeichnen Sie den Rechenweg durch Pfeile und errechnen Sie stufenweise durch Vorwärtskalkulation die Selbstkosten bzw. durch Rückwärtskalkulation den Barverkaufspreis! 4. Ermitteln Sie den Gewinn als Differenz von Barverkaufspreis und den Selbstkosten! 5. Berechnen Sie anschließend den Gewinn in Prozent zu den Selbstkosten (Gewinnzuschlagssatz)! 69

70 Übungsaufgabe Ein Kaufhaus erhält von einem Hersteller ein Angebot über einen Schnellkochtopf. Der Hersteller empfiehlt einen Listenverkaufspreis von 110,00 EUR. Der Hersteller gewährt auf den Listenverkaufspreis einen Wiederverkäuferrabatt von 45 % und bei Barzahlung zusätzlich 2 % Skonto. Die Bezugskosten betragen 3,71 EUR je Topf. Das Kaufhaus rechnet mit einem Handlungskostenzuschlagssatz von 33 1 / 3 %. Den Kunden werden 3 % Skonto eingeräumt. 1.1 Mit welchem Gewinn in EUR und in Prozent kann das Kaufhaus rechnen, wenn es den Schnellkochtopf zum empfohlenen Listenverkaufspreis von 110,00 EUR anbietet? 1.2 Zu welchem Preis könnte das Kaufhaus den Schnellkochtopf als Sonderangebot anbieten, wenn er auf einen Gewinn verzichtet und keinen Preisnachlass gewährt? 2. Eine Küchenmaschine wird zum empfohlenen Richtpreis von 250,00 EUR angeboten. Der Lieferer setzte diesen Preis fest. Ein Kaufmann kalkuliert mit einem Handlungskostenzuschlagssatz von 20 %, 5 % Sonderrabatt, 2 % Kundenskonto und 4 % Vertreterprovision vom Zielverkaufspreis. 2.1 Berechnen Sie den Gewinn in EUR und in Prozent, wenn der Lieferer auf den empfohlenen Richtpreis 33 1 / 3 % Rabatt und 2 % Skonto gewährt! Die Bezugskosten betragen 5,70 EUR. 2.2 Wie verändert sich der Gewinn, wenn der Lieferer seinen Rabatt auf 25 % verkürzt? 3. Ein Großhändler verkauft Röstkaffee als Sonderangebot zum Listenverkaufspreis von 7,49 EUR pro kg. Eine Kaffeerösterei bietet ihm 500 kg Kaffee zum Gesamtpreis von 3 125,00 EUR, abzüglich 12 % Sonderrabatt und 2 % Skonto, frei Haus an. Berechnen Sie den Gewinn für 1 kg Kaffee in EUR und in Prozent, wenn der Großhändler auf das Angebot eingeht! Der Handlungskostenzuschlagssatz beträgt 25 %, der einzurechnende Kundenskonto 3 %. 4. Wir erhalten auf einen Staubsauger zum Listeneinkaufspreis von 82,00 EUR einen Wiederverkäuferrabatt von 25 %. Wir kalkulieren mit 3 % Bezugskosten, 15 % Handlungskostenzuschlagssatz, 2 % Kundenskonto, 12 % Kundenrabatt und 3 % Vertreterprovision vom Zielverkaufspreis. Wie viel EUR bzw. Prozent verdienen wir, wenn der Staubsauger zum Listenverkaufspreis von 93,48 EUR verkauft wird? 3.5 Verschiedene Aufgaben zur Handelskalkulation Ein Verkaufsmarkt möchte seinen Kunden anlässlich des 50-jährigen Firmenjubiläums ein Speiseservice in verschiedenen Formen und Dekoren zum Preis von 295,00 EUR anbieten. Die Porzellanfabrik liefert frei Haus, gewährt dem Verkaufsmarkt einen Treuerabatt von 10 % und bei Zahlung innerhalb von 10 Tagen 2 % Skonto. Der Verkaufsmarkt kalkuliert mit einem Handlungskostenzuschlagssatz von 22 %, 10 % Gewinn, 3 % Jubiläumsrabatt, 15 % regulärem Rabatt und 2 % Kundenskonto Welchen Listeneinkaufspreis kann der Verkaufsmarkt höchstens bezahlen, wenn er den Skonto ausnutzt?

71 1.2 Sonderangebote von Mitbewerbern zwingen den Großhändler, den geplanten Listenverkaufspreis von 295,00 EUR auf 279,50 EUR zu senken. Welchen Gewinn in EUR und in Prozent erzielt er jetzt, wenn sich der Einkaufspreis und die übrigen Konditionen nicht verändern? 2. Eine Fahrradhandlung verkauft ein Markenfahrrad zum empfohlenen Richtpreis von 420,00 EUR. Der Hersteller bietet auf den empfohlenen Richtpreis 25 % Liefererrabatt und 3 % Skonto. 2.1 Wie viel Gewinn in EUR und in Prozent bleibt ihm, wenn er mit 15,20 EUR Bezugskosten, 18 % Handlungskostenzuschlagssatz und 5 % Kundenrabatt kalkuliert? 2.2 Wie viel Prozent muss der Liefererrabatt betragen, wenn die Fahrradhandlung einen Gewinn von 10 % erzielen möchte? 3. Ein Kaufhaus bezieht eine Ware zu 126,00 EUR netto. Es kalkuliert mit einem Handlungskostenzuschlagssatz von 33 1 / 3 % und mit einem Gewinn von 12 1 / 2 %. Bei einer Nachbestellung musste das Kaufhaus als Einstandspreis 135,00 EUR bezahlen. Den Barverkaufspreis ändert es aus Konkurrenzgründen nicht. 3.1 Wie viel Prozent beträgt jetzt der Gewinn? 3.2 Um wie viel Prozent hat sich der Gewinn vermindert? 4. Wir beziehen 6 Kisten Stangenspargel zu je 9 kg netto. Ein kg kostet im Einkauf 9,00 EUR. An Skonto wird 3 % gewährt. Die Bezugskosten betragen 16,00 EUR und der Handlungskostenzuschlagssatz beläuft sich auf 24%. Wir wollen 1 kg zu 14,00 EUR anbieten. Durch Wasserverlust entsteht ein Schwund von 3 kg. 4.1 Berechnen Sie den Gewinn aus dieser Spargelsendung in EUR und in Prozent! 4.2 Wie viel EUR darf der Einkaufspreis je kg betragen, wenn wir den Spargel zu 11,50 EUR je kg verkaufen können und wir einen Gewinn von 10 % beanspruchen? 5. Wir kalkulieren einen Artikel aus unserem Sortiment mit einem Handlungskostenzuschlagssatz von 33 1 / 3 % und mit 8,5 % Gewinn. Der Artikel wird mit einem Barverkaufspreis von 303,80 EUR ausgezeichnet. Wie viel EUR beträgt der Einstandspreis? 6. Der Gewinn an einer Ware beträgt 119,00 EUR, das sind 17 % des Selbstkostenpreises. Wie viel EUR beträgt der Barverkaufspreis? 7. Für die Berechnung des Barverkaufspreises einer Ware liefert uns die Kalkulation die folgenden Daten: Einstandspreis 48,60 EUR Selbstkosten 64,80 EUR Barverkaufspreis 75,20 EUR Wie viel Prozent beträgt der Handlungskostenzuschlagssatz? 8. Ein Großhändler entnimmt seiner Kostenrechnung folgende Zahlen: Wareneinsatz ,00 EUR Selbstkosten ,00 EUR Warenumsatz zu Barverkaufspreisen ,00 EUR Wie viel Prozent beträgt der Gewinn? 71

72 4 Industriekalkulation 4.1 Grundlagen 1 Sollen die Kosten für ein Produkt (Produktgruppe) ermittelt werden, spricht man von Kalkulation. Die Zuschlagskalkulation, 1 und nur auf sie wird im Folgenden eingegangen, kommt dann zur Anwendung, wenn unterschiedliche Produkte hergestellt werden. In diesem Fall ist eine individuelle Kostenermittlung für jede Produktart erforderlich. Das setzt eine kostenträgerbezogene Erfassung der Einzelkosten und eine kostenstellenbezogene Erfassung der Gemeinkosten voraus. Alle Kostenarten, die den Erzeugnissen bzw. Waren direkt zugerechnet werden können, bezeichnet man als Einzelkosten (direkte Kosten). Beispiele: Aufwendungen für Rohstoffe, Fertigungslöhne, Verpackungs-, Transport-, Versicherungskosten und Zölle soweit sie einzelnen Kostenträgern unmittelbar zugeordnet werden können. Daneben sind zu unterscheiden: Sondereinzelkosten der Fertigung: Das sind Kosten für Sonderfertigungen oder zusätzliche Sonderwünsche der Besteller. Ferner zählen hierzu sonstige auftrags- oder serienweise erfassbare Kosten z. B. für Spezialwerkzeuge, Modelle, Stücklizenzgebühren usw. Sondereinzelkosten des Vertriebs: Das sind insbesondere Vertreterprovisionen, Spezialverpackungen, besondere Transportkosten. Kosten, die für alle Kostenträger gemeinsam angefallen sind und daher auch nicht unmittelbar einem einzelnen Kostenträger zugerechnet werden können, bezeichnet man als Gemeinkosten (indirekte Kosten). Typische Beispiele dafür sind: Gehälter, soziale Abgaben des Arbeitgebers, Mieten, betriebliche Steuern, Energiekosten, Werbe- und Reisekosten, Abschreibungen, Verbrauch von Betriebsstoffen, Verbrauchswerkzeuge, Instandhaltung. Der Verfahrensablauf der Zuschlagskalkulation ist Folgender: Die Einzelkosten werden direkt den Kostenträgern zugerechnet. Das betrifft im Wesentlichen das Fertigungsmaterial und die Fertigungslöhne. Die erfassten Gemeinkosten werden den Kostenträgern indirekt über Verrechnungssätze oder Zuschlagssätze zugeordnet. Indem die in jeder Kostenstelle ermittelten Gemeinkosten in Prozenten zu einer passenden Bezugsgröße (Verbrauch von Fertigungsmaterial, Fertigungslöhne, Herstellkosten) ausgedrückt werden, erhält man die für die Kalkulation eines bestimmten Produktes benötigten Zuschlagssätze für die Erfassung der Gemeinkosten. 1 Auf die Zuschlagskalkulation mit Maschinenstundensätzen wird im Folgenden nicht eingegangen. 72

73 4.2 Anwendung der Zuschlagskalkulation als Angebotskalkulation (Vorkalkulation) Je nach Bedarf wird die Angebotskalkulation als Vorwärtskalkulation, als Rückwärtskalkulation oder als Differenzkalkulation eingesetzt Vorwärtskalkulation Um einen Verkauf tätigen zu können, ist es in der Praxis oft notwendig, ein Angebot mit einem verbindlichen Angebotspreis abzugeben. Das Unternehmen ist dann gezwungen, vor Beginn der Produktion den Preis zu kalkulieren. Es liegt im Wesen der Vorkalkulation, dass mit voraussichtlichen Kosten gerechnet werden muss. Ausgehend von den Istkosten der Vergangenheit müssen daher alle bis zum Leistungsabschluss zu erwartenden Veränderungen einschließlich eines Risikozuschlags für nicht vorhersehbare Veränderungen einkalkuliert werden. Zu den Einzelkosten Bei einer Vorkalkulation kann der Verbrauch von Fertigungsmaterial aufgrund von Stücklisten ermittelt werden. Die benötigten Preise ergeben sich aus vorliegenden Preisen der Vergangenheit bzw. derzeitigen Angebotspreisen, wobei die zu erwartenden Preisänderungen zu berücksichtigen sind. Die Lohnkosten ergeben sich aufgrund der Fertigungszeiten, bei denen auf Erfahrungen der Vergangenheit bzw. auf vorhandene Zeitvorgaben zurückgegriffen werden kann. Zu erwartende Lohnänderungen sind auch hier zu berücksichtigen. Zu den Gemeinkosten Die Gemeinkosten werden über Zuschlagssätze einkalkuliert. Diese werden bekanntlich innerhalb des Betriebsabrechnungsbogens ermittelt. Da man bei einer Vorkalkulation nicht bis zum Abschluss der laufenden Geschäftsperiode warten kann, wird auf Zuschlagssätze vergangener Rechnungsperioden zurückgegriffen und daraus ein Durchschnittswert gebildet. Im Gegensatz zu den nach Ablauf der Geschäftsperiode ermittelten tatsächlichen Zuschlagssätzen (Istzuschlagssätzen) 1 spricht man bei der Vorkalkulation von Normalzuschlagssätzen. 2 Beispiel: Eine Maschinenfabrik errechnet zur Abgabe eines Angebots für eine Abfüllmaschine den Nettoverkaufspreis. Es wird mit folgenden Kosten kalkuliert: Fertigungsmaterialverbrauch ,00 EUR SEKF 1 400,00 EUR Fertigungslöhne ,00 EUR SEKV 890,00 EUR Normalzuschlagssätze lt. BAB: MGK: 9 %; FGK: 110 %; VerwGK: 18 %; VertrGK: 6 %. Aufgabe: Ermitteln Sie die Selbstkosten! 1 Istkosten sind die tatsächlich angefallenen Kosten einer Rechnungsperiode. Istkosten beziehen sich auf die gesamten Kosten einer abgelaufenen Rechnungsperiode. 2 Normalkosten sind durchschnittliche Kosten, die aus Vergangenheitswerten (Istkosten) gebildet werden. Sie betreffen nur den Bereich der Gemeinkosten einer laufenden Rechnungsperiode. 73

74 100 % 9 % Materialeinzelkosten ,00 EUR + Materialgemeinkosten 1 548,00 EUR Vorwärtskalkulation 100 % 110 % 100 % 18 % 6 % Materialkosten Fertigungslöhne ,00 EUR + Fertigungsgemeinkosten ,00 EUR Zwischensumme ,00 EUR + Sondereinzelkost. d. Fertigung (SEKF) 1 400,00 EUR Fertigungskosten ,00 EUR ,00 EUR Herstellkosten ,00 EUR + Verwaltungsgemeinkosten ,84 EUR + Vertriebsgemeinkosten 3 905,28 EUR ,12 EUR Zwischensumme ,12 EUR + Sondereinzelkosten des Vertriebs (SEKV) 890,00 EUR Selbstkosten ,12 EUR Bis zur Kalkulation der Selbstkosten ist uns das Kalkulationsschema noch nicht bekannt. Bei einer Angebotskalkulation erwartet der Kunde jedoch die Angabe des Preises, den er zu zahlen hat. Das bedingt, dass noch der Gewinn, eine evtl. angefallene Vertreterprovision und die vom Kunden erwarteten Preisnachlässe (Kundenskonto und Kundenrabatt) einkalkuliert werden müssen. Dieser Teil des Kalkulationsschemas entspricht dem der Handelskalkulation (siehe Seite 61 und Seite 63). Beispiel: Erweiterung des Beispiels von Seite 73. Bei der Angebotskalkulation der Maschine sollen 15 % Gewinn, 7 % Vertreterprovision (vom Zielverkaufspreis), 10 % Einführungsrabatt und 2 % Skonto einkalkuliert werden. Aufgabe: Berechnen Sie den Listenverkaufspreis (Nettoverkaufspreis)! Vorwärtskalkulation 100 % 15 % 90 % 10 % 91 % 2 % 7 % Selbstkosten ,12 EUR + Gewinn ,87 EUR Barverkaufspreis ,99 EUR + Kundenskonto 2 062,40 EUR + Vertreterprovision 7 218,38 EUR 9 280,78 EUR 100 % Zielverkaufspreis ,77 EUR + Kundenrabatt ,75 EUR 100 % Listenverkaufspreis (Nettoverkaufspreis) ,52 EUR 74

75 Erläuterungen zum erweiterten Kalkulationsschema: Gewinnaufschlag Nach der Berechnung der Selbstkosten geht es bei der Angebotskalkulation um den Gewinnaufschlag, der in Prozenten zu den Selbstkosten erfolgt. Da in den Zuschlagssätzen für die Fertigungsgemeinkosten die Eigenkapitalverzinsung, der Unternehmerlohn und die speziellen Risiken des Unternehmers bereits einkalkuliert sind, muss über den Gewinn das allgemeine Unternehmerrisiko abgedeckt werden. Eine allgemeine Regel für die Festsetzung der Höhe des Gewinns kann man nicht geben. Sofern es sich um Produkte handelt, für die Marktpreise vorliegen, sind dem Unternehmer durch die Konkurrenzsituation enge Grenzen gesetzt. Bei nicht marktgängigen Produkten muss sich der Unternehmer mit Fingerspitzengefühl an das herantasten, was der Markt hergibt. Kundenskonto und Vertreterprovision Die Kunden erwarten im Allgemeinen bei Zahlung innerhalb der Skontofrist einen Preisnachlass. Soll dieser Preisnachlass nicht zulasten des Gewinnes gehen, muss er im Angebotspreis vorher einkalkuliert werden. Da der Kunde den Skonto vom Zielverkaufspreis berechnet, dieser also aus der Sicht des Kunden 100 % entspricht, entspricht der Barverkaufspreis aus der Sicht des Anbieters dem verminderten Grundwert (100 % Prozentsatz des Skontos). Der Skonto muss also durch eine im Hundertrechnung auf den Barverkaufspreis aufgeschlagen werden. Nur dadurch ergibt sich für beide Seiten das gleiche Ergebnis. Da auch eine evtl. noch anfallende Vertreterprovision vom Zielverkaufspreis berechnet wird, können beide Prozentsätze zusammengefasst werden. Beträgt z. B. die Vertreterprovision 7 % und der Kundenskonto 2 %, entspricht der Barverkaufspreis 91 % (siehe Beispiel auf Seite 74!). Kundenrabatt Soll der Gewinn nicht geschmälert werden, muss der vom Kunden erwartete Rabatt in den Angebotspreis einkalkuliert werden. Da der Kunde den Rabatt durch eine vom Hundertrechnung vom Listenverkaufspreis abzieht, muss der Anbieter ihn durch eine im Hundertrechnung aufschlagen. Soll z. B. der Kundenrabatt 10 % betragen, entspricht der Zielverkaufspreis bei der Angebotskalkulation 90 %. Übungsaufgaben 35 Eine Fensterfabrik soll ein Angebot für die Lieferung eines Fensters bestimmter Größe abgeben. Bei günstigem Angebot wird die Bestellung einer größeren Menge in Aussicht gestellt. Aufgrund der betrieblichen Unterlagen liegen folgende Kalkulationsdaten vor: Verbrauch von Fertigungsmaterial 44,30 EUR, Fertigungslöhne 122,50 EUR. Die Normalzuschlagssätze für die Gemeinkosten betragen: Materialgemeinkosten 6,7 %, Fertigungsgemeinkosten 157,4 %, Verwaltungsgemeinkosten 16,4 %, Vertriebsgemeinkosten 9,8 %. Außerdem sollen einkalkuliert werden: 12,5 % Gewinn, 5 % Kundenrabatt, 3 % Kundenskonto und 8 % Vertreterprovision vom Zielverkaufspreis. Erstellen Sie das Angebot! 75

76 36 Für die Ermittlung des Angebotspreises für einen Kühlschrank liegen bei der Frost GmbH folgende Kalkulationsunterlagen vor: Verbrauch von Fertigungsmaterial 275,80 EUR, Fertigungslöhne 330,40 EUR, Normalzuschlagssätze für MGK 35 %, FGK 85 %, VerwGK 20 %, VertrGK 18 %. Der Gewinnaufschlag wird mit 25 % angesetzt. Außerdem sollen noch 10 % Rabatt und 2 % Skonto einkalkuliert werden. Ermitteln Sie den Angebotspreis! 37 Zur Herstellung einer Spezialmaschine rechnet ein Industriebetrieb mit folgenden Kosten: Verbrauch von Fertigungsmaterial 8 420,00 EUR; Fertigungslöhne 3 720,00 EUR. Aus der Kostenstellenrechnung werden die folgenden Zuschlagssätze (Normalzuschlagssätze) entnommen: Materialzuschlag 10,5 %, Lohnzuschlag (FGK) 145 %, Verwaltungs- und Vertriebsgemeinkostenzuschlag 13,7 %. Die Sondereinzelkosten der Fertigung betragen 890,00 EUR. 1. Wie viel EUR betragen die Selbstkosten? 2. Die Maschine wird unter Einrechnung von 15 % Kundenrabatt und 2 % Kundenskonto zum Preis von ,06 EUR angeboten. Wie viel EUR beträgt der erzielbare Gewinn in EUR und in Prozent? Rückwärtskalkulation (retrograde Kalkulation) Liegt der Listenverkaufspreis aufgrund der gegebenen Markt- bzw. Konkurrenzsituation fest, so eignet sich das Kalkulationsschema in umgekehrter Richtung von unten nach oben zur Errechnung der aufwendbaren Materialeinzelkosten (retrograde Kalkulation; Rückwärtskalkulation). Dabei werden die Materialeinzelkosten errechnet, die höchstens gezahlt werden dürfen, um den angestrebten Gewinn zu erreichen. Beispiel: Aufgrund der Marktsituation muss die Maschinenfabrik Ottmar Zeh e. Kfm. eine Schleifmaschine zum Listenverkaufspreis in Höhe von ,00 EUR anbieten. Die Maschinenfabrik muss branchenüblich 10 % Kundenrabatt und 2 % Kundenskonto gewähren. Die einzurechnende Vertreterprovision vom Zielverkaufspreis beläuft sich auf 7 %. Es soll ein Gewinn von 15 % erzielt werden. Es wird mit folgenden Kosten kalkuliert: Fertigungslöhne ,00 EUR, SEKF 900,00 EUR, SEKV 940,00 EUR Zuschlagssätze lt. BAB dieser Abrechnungsperiode: MGK 8,5 % VerwGK 19 % FGK 108 % VertrGK 6,8 % Aufgabe: Wie viel EUR dürfen die Materialeinzelkosten höchstens betragen? 76

77 1 100, % 8,5 % Materialeinzelkosten ,94 EUR Materialgemeinkosten 2 298,31 EUR 108,5 % 100 % 108 % Materialkosten Fertigungslöhne ,00 EUR + Fertigungsgemeinkosten ,00 EUR ,25 EUR 100, % 19, % 6,8 % 208 % Zwischensumme ,00 EUR + Sondereinzelkosten d. Fertigung 900,00 EUR Fertigungskosten ,00 EUR Herstellkosten ,25 EUR Verwaltungsgemeinkosten ,04 EUR Vertriebsgemeinkosten 4 856,64 EUR ,68 EUR 125,8 % Zwischensumme ,93 EUR Sondereinzelkosten des Vertriebs 940,00 EUR 100 % 15 % Selbstkosten ,93 EUR Gewinn ,19 EUR Rückwärtskalkulation 91 % 2 % 7 % 115 % Barverkaufspreis ,12 EUR Kundenskonto 2 294,64 EUR Vertreterprovision 8 031,24 EUR ,88 EUR 100 % 90 % 10 % Zielverkaufspreis ,00 EUR Kundenrabatt ,00 EUR 100 % Listenverkaufspreis (Nettoverkaufspreis) ,00 EUR Ergebnis: Die Materialeinzelkosten dürfen höchstens ,94 EUR betragen. Allgemeiner Rechenweg 1. Stellen Sie zuerst das Kalkulationsschema von oben nach unten auf und tragen Sie die in der Aufgabe vorgegebenen Prozentsätze und EUR-Beträge ein. 2. Überlegen Sie bei jedem Rechenschritt, ob es sich bei der Rückwärtsrechnung um eine Rechnung vom Hundert (Kundenrabatt, Vertreterprovision, Kundenskonto) oder auf Hundert (Gewinn, VerwGK, VertrGK, MGK) handelt. 3. Sonderfall: Berechnung der Fertigungskosten. Sofern Sondereinzelkosten der Fertigung vorliegen, müssen die Fertigungskosten zunächst in einer Zwischenrechnung im Rahmen einer Vorwärtskalkulation ermittelt (Fertigungslöhne + Fertigungsgemeinkosten = Zwischensumme Sondereinzelkosten der Fertigung) und dann in einer Summe von den Herstellkosten subtrahiert werden. 4. Überprüfen Sie das Ergebnis durch eine Vorwärtskalkulation. 1 Die Rechenzeichen verstehen sich aus der Sicht der Rückwärtsrechnung. 77

78 Übungsaufgabe Aufgrund der starken Konkurrenz können wir eine Maschine für höchstens ,00 EUR verkaufen. Es liegen folgende Kalkulationsgrundlagen vor: Fertigungslöhne 4 800,00 EUR Sondereinzelkosten des Vertriebs 300,00 EUR Sondereinzelkosten der Fertigung 500,00 EUR Kundenskonto 2 % Vertriebsgemeinkosten 15 % Gewinnzuschlag 12,5 % Materialgemeinkosten 25 % Verwaltungsgemeinkosten 10 % Fertigungsgemeinkosten 450 % Kundenrabatt 10 % Vertreterprovision (vom Zielverkaufspreis) 3 % Berechnen Sie die Kosten für das Fertigungsmaterial! 2. Eine Druckerei erhält eine Anfrage, ob ein Posten Prospekte zu einem Nettopreis von ,00 EUR gedruckt werden kann. Somit entsteht die Frage, wie viel EUR dürfen die Papierkosten höchstens betragen, wenn folgende Kosten anfallen: Fertigungslöhne 2 800,00 EUR, FGK 94 %, MGK 8 %, SEKF 560,00 EUR, VerwGK 18 %, VertrGK 7 %. Der Kunde erwartet einen Nachlass von 2 % Skonto. Berechnen Sie die höchstmöglichen Papierkosten, wenn ein Gewinn von 10 % erwirtschaftet werden soll! Differenzkalkulation Häufig verhindert es die Marktlage, dass der Unternehmer seinen Listenverkaufspreis selbst bestimmen kann. In diesem Fall muss es das Ziel der Kalkulation sein, festzustellen, ob der so erwirtschaftete Gewinn ausreichend ist. Wird die Höhe des anfallenden Gewinns errechnet, sprechen wir von Differenzkalkulation. 1 Da sowohl die Kosten als auch der Listenverkaufspreis festliegen, muss von beiden Werten aus mit dem Rechenweg begonnen werden, und zwar einmal als Vorwärtskalkulation (von den Materialeinzelkosten bis zu den Selbstkosten) und zum anderen als Rückwärtskalkulation (vom Listenverkaufspreis bis zum Barverkaufspreis). Beispiel: Bei der Herstellung eines Wäschetrockners fielen 280,00 EUR Materialeinzelkosten und 160,00 EUR Fertigungslöhne an. Es wird mit folgenden Zuschlagssätzen gerechnet: MGK 11 %, FGK 120 %, VerwGK 10,5 %, VertrGK 6 %, SEKV 40,00 EUR. 1 Die Differenz zwischen Barverkaufspreis und Selbstkosten stellt den Gewinn/Verlust dar. Wir sprechen daher auch von Gewinnkalkulation. 78

79 Aufgabe: Mit welchem Gewinn in EUR und in Prozent kann der Hersteller rechnen, wenn er 12 % Vertreterprovision (vom Zielverkaufspreis), 3 % Kundenskonto und 15 % Kundenrabatt einrechnet und einen Listenverkaufspreis von 1 259,00 EUR ansetzt? 100 % 11 % 100 % 120 % Materialeinzelkosten 280,00 EUR + Materialgemeinkosten 30,80 EUR Materialkosten Fertigungslöhne 160,00 EUR + Fertigungsgemeinkosten 192,00 EUR 310,80 EUR Vorwärtskalkulation + Fertigungskosten 352,00 EUR 100, % 10,5 % 6, % 85 % 3 % 12 % 100 % x % Herstellkosten 662,80 EUR + Verwaltungsgemeinkosten 69,59 EUR + Vertriebsgemeinkosten 39,77 EUR 109,36 EUR Zwischensumme 772,16 EUR + Sondereinzelkost. d. Vertriebs (SEKV) 40,00 EUR Selbstkosten Gewinn 812,16 EUR 97,47 EUR Barverkaufspreis 909,63 EUR Kundenskonto 32,10 EUR Vertreterprovision 128,42 EUR 160,52 EUR 100 % 85 % 15 % Zielverkaufspreis 1 070,15 EUR Kundenrabatt 188,85 EUR 100 % Listenverkaufspreis (Nettoverkaufspreis) 1 259,00 EUR Berechnung des Gewinnzuschlagssatzes: 812,16 EUR 100 % 97,47 EUR x % ,47 x = = 12 % 812,16 Rückwärtskalkulation Ergebnis: Der Hersteller kann mit einem Gewinn von 12 %, das sind 97,47 EUR, rechnen. Allgemeiner Rechenweg 1. Stellen Sie zuerst das Kalkulationsschema von oben nach unten auf und tragen Sie die in der Aufgabe vorgegebenen Prozentsätze und EUR-Beträge ein! 2. Kennzeichnen Sie den Rechenweg durch Pfeile und errechnen Sie stufenweise durch Vorwärtskalkulation die Selbstkosten bzw. durch Rückwärtskalkulation den Barverkaufspreis! 3. Ermitteln Sie den Gewinn als Differenz zwischen dem Barverkaufspreis und den Selbstkosten! 4. Berechnen Sie anschließend den Gewinn in Prozent zu den Selbstkosten (Gewinnzuschlagssatz)! 79

80 Übungsaufgabe Eine Maschinenfabrik kalkuliert eine Fräsmaschine nach folgenden Angaben: Verbrauch von Fertigungsmaterial 7350,00 EUR MGK 12 % Fertigungslohn 58 Std. zu je 52,00 EUR FGK 15 % Fremdarbeiten 48 Std. zu je 95,00 EUR VerwGK + VertrGK 25 % Konstruktionszeichnung 400,00 EUR Kundenskonti 3 % Vertreterprovision 5 % Die Maschinenfabrik verkauft die Fräsmaschine für ,00 EUR netto. Ermitteln Sie den Gewinn in EUR und in Prozent! 2. Eine Möbelfabrik stellt für den Ausbau von zwei Büroräumen folgende Kalkulationsgrundlagen fest: Verbrauch von Fertigungsmaterial: 9 400,00 EUR Fertigunglöhne: ,00 EUR Gemeinkostenzuschläge: MGK 12,4 % VerwGK 6 % FGK 104 % VertrGK 8 % Es wird mit 18 % Gewinn, 5 % Vertreterprovision vom Zielverkaufspreis und 2 % Kundenskonto gerechnet. 2.1 Berechnen Sie den Angebotspreis netto! 2.2 Ein Konkurrenzunternehmen hat ein Angebot von ,97 EUR unterbreitet. Wie viel Gewinn in EUR und in Prozent verbleiben, wenn der Angebotspreis der Konkurrenz um 1 800,00 EUR unterboten werden soll? 4.3 Anwendung der Zuschlagskalkulation als Nachkalkulation 1 In der Vorkalkulation konnte nur mit voraussichtlichen Kosten (Normalkosten) gerechnet werden. Nach Fertigstellung des Auftrags können die tatsächlich angefallenen Kosten (Istkosten) ermittelt und den vorkalkulierten Kosten gegenübergestellt werden (Nachkalkulation). Die dabei auftretenden Abweichungen müssen im Einzelnen analysiert werden. Voraussetzung für eine solche Analyse ist, dass jeweils vom gleichen Kalkulationsaufbau (Kalkulationsschema) ausgegangen wird und dass eine getrennte Analyse von Mengen und Preisen erfolgt. Das betrifft das Fertigungsmaterial ebenso wie die Fertigungslöhne. Haben sich die Preise für die Rohstoffe geändert oder hat sich der Stundenlohn verändert, müssen sich zwangsläufig Abweichungen zwischen der Vor- und Nachkalkulation ergeben. Erst die durch den Ansatz gleicher Preise in der Vor- und Nachkalkulation verbleibenden Verbrauchsabweichungen geben Anlass zur Kritik und zur Einleitung gebotener Maßnahmen. Die Abweichungen bei den Kosten in der Vor- und in der Nachkalkulation beruhen einerseits auf unterschiedlichen Einzelkosten und andererseits auf den unterschiedlichen Zuschlagssätzen in der Vor- und Nachkalkulation. Gründe hierfür sind: 1 Prinzipiell ist es möglich, im Rahmen der Nachkalkulation die Vorwärtskalkulation, die Rückwärtskalkulation und die Differenzkalkulation einzusetzen. Allerdings kommt in der Praxis in aller Regel nur die Differenzkalkulation zum Einsatz, da der Unternehmer insbesondere daran interessiert ist, den tatsächlich erzielten Gewinn zu erfahren. 80

81 Preisabweichungen. So führen Preiserhöhungen (Preissenkungen) bei Hilfs- und Betriebsstoffen, Gehaltserhöhungen (Rückgang der Gehälter durch Entlassungen) oder Erhöhungen der Versicherungsbeiträge (Rückgang der Versicherungsbeiträge durch Absenken der Versicherungssummen) u. Ä. zu einer höheren (niedrigeren) Belastung der Kostenstellen mit Gemeinkosten und damit zu höheren (niedrigeren) Zuschlagssätzen. Beschäftigungsabweichungen. Die Ausweitung der Produktion kann z. B. durch erhöhten Reparaturaufwand, Lohnzuschläge, vermehrte Ausschussprodukte zu überhöhten Stellengemeinkosten und damit zu höheren Zuschlagssätzen führen. Andererseits führt ein Rückgang der Beschäftigung in der Regel nicht zu einem proportionalen Absinken der Zuschlagssätze, da es nur in den seltensten Fällen gelingt, die fixen Gemeinkosten im gleichen Umfang abzubauen. Verbrauchsabweichungen. Es ist nicht immer möglich, geplante Fertigungszeiten bzw. Materialvorgaben (Stücklisten) einzuhalten. Ein Über- oder Unterschreiten der Planvorgaben führt zu steigenden oder fallenden Gemeinkosten und damit zu schwankenden Zuschlagssätzen. Stellt sich heraus, dass die Mengen in der Vorkalkulation zu niedrig angesetzt waren, kann die Nachkalkulation auch dazu dienen, die Grundlagen für die Vorkalkulation zu ändern. Wir merken uns: Die Nachkalkulation dient folgenden Zwecken: genaue Erfassung der tatsächlich entstandenen Kosten, Kontrolle der Kosten durch Analyse der Abweichungen zwischen Vor- und Nachkalkulation, Korrektur der Grundlagen für die Vorkalkulation. Bei der Kostenunterdeckung liegen die Normalkosten unter den Istkosten, d. h., die tatsächlich angefallenen Selbstkosten werden durch die einkalkulierten Kosten nicht mehr gedeckt. Bei der Kostenüberdeckung werden mehr Kosten eingerechnet als tatsächlich entstanden sind, d. h., die kalkulierten Selbstkosten sind höher als die wirklich angefallenen Selbstkosten. Beispiel: Die Nachkalkulation für die erstellte Abfüllmaschine (vgl. Seite 74) ergibt folgende endgültige Kosten: Fertigungsmaterialverbrauch ,00 EUR SEKF 900,00 EUR Fertigungslöhne ,00 EUR SEKV 940,00 EUR Istzuschlagssätze lt. BAB MGK 8,5 % VerwGK 19 % dieser Abrechnungsperiode: FGK 108 % VertrGK 6,8 % Der Listenverkaufspreis in Höhe von ,52 EUR ist der verbindliche Angebotspreis. Aufgabe: Welcher Erfolg (in EUR und Prozent) wurde an dem abgewickelten Auftrag erwirtschaftet? 81

82 Verbr. v. Fertigungsmaterial Materialgemeinkosten Materialkosten Fertigungslöhne Fertigungsgemeinkosten Sondereinzelkosten der Fertigung (SEKF) Vorkalkulation ,00 EUR 9 % 1 548,00 EUR ,00 EUR ,00 EUR 110 % ,00 EUR 1 400,00 EUR Nachkalkulation ,00 EUR 8,5 % 1 487,50 EUR ,50 EUR ,00 EUR 108 % ,00 EUR 900,00 EUR Fertigungskosten ,00 EUR ,00 EUR Herstellkosten Verwaltungsgemeinkosten Vertriebsgemeinkosten Sondereinzelkosten des Vertriebs (SEKV) Selbstkosten Gewinn ,00 EUR 18 % ,84 EUR 6 % 3 905,28 EUR 890,00 EUR ,12 EUR ,12 EUR 15 % ,87 EUR ,50 EUR 19 % ,59 EUR 6,8 % 4 152,86 EUR 940,00 EUR ,45 EUR ,95 EUR 20,66 % ,04 EUR Barverkaufspreis ,99 EUR ,99 EUR Vertreterprovision 7 % 7 218,38 EUR Kundenskonto 2 % 2 062,40 EUR Berechnung des Gewinnsatzes: Zielverkaufspreis Kundenrabatt ,77 EUR 10 % ,75 EUR Listenverkaufspreis (Nettoverkaufspreis) ,52 EUR , % ,04 x % x = 20,66 % Erläuterungen: In unserem Beispiel sind die Kosten der Vorkalkulation teils höher, teils niedriger als die tatsächlich angefallenen Kosten. Per Saldo aber sind die Kosten in der Vorkalkulation um (81 599,12 EUR ,95 EUR) 3 831,17 EUR höher als die tatsächlich angefallenen Kosten. Entsprechend sind die tatsächlich angefallenen Selbstkosten um diesen Betrag niedriger. Bei einem fest vereinbarten Barverkaufspreis kommt das dem Gewinn zugute, der in unserem Beispiel um diesen Betrag höher ist als aufgrund der Vorkalkulation erwartet wurde. Bezüglich des Preises wäre damit notfalls noch ein gewisser Verhandlungsspielraum gegeben. Aufgrund eingehender Analyse müsste überlegt werden, ob die Grundlagen für die Vorkalkulation geändert werden sollen. Auf jeden Fall ist eine solche Situation angenehmer und bietet weniger Diskussionsstoff als wenn sich bei dem Vergleich herausstellt, dass die tatsächlich angefallenen Kosten über den kalkulierten Kosten liegen. Übungsaufgaben 40 Erstellen Sie zur Aufgabe 35 eine Nachkalkulation! Nach Fertigstellung des Auftrages und der Ermittlung der Istzuschlagssätze aufgrund des erstellten BABs ergaben sich folgende Werte: Verbrauch von Fertigungsmaterial 56,30 EUR, Fertigungslöhne 130,40 EUR. Die Istzuschlagssätze für die Gemeinkosten betrugen: MGK 6,9 %, FGK 149,5 %, VerwGK 17,4 %, VertrGK 9,5 %. Stellen Sie bei einem unveränderten Angebotspreis den tatsächlichen Gewinn in EUR und in Prozent fest! 82

83 41 Erstellen Sie zur Aufgabe 36 eine Nachkalkulation! An Istkosten fielen an: Verbrauch von Fertigungsmaterial 260,75 EUR, Fertigungslöhne 310,80 EUR. Die Istzuschlagssätze für die Gemeinkosten betrugen: MGK 32,5 %, FGK 79,5 %, VerwGK 21,5 %, VertrGK 17,2 %. 1. Ermitteln Sie den Gewinn in EUR und in Prozent, wenn sich der Angebotspreis nicht verändert! 2. Auf welchen Betrag könnte der Listenverkaufspreis (Nettoverkaufspreis) bei sonst gleichbleibenden Kalkulationsgrundlagen im Falle einer starken Preiskonkurrenz notfalls herabgesetzt werden? 42 Erstellen Sie zur Aufgabe 37 eine Nachkalkulation! Die Istkostenrechnung ergab folgende Kalkulationsdaten: Verbrauch von Fertigungsmaterial 8 720,00 EUR; Fertigungslöhne 3 165,00 EUR; Istzuschlagssätze: MGK 10,4 %, FGK 151 %; VerwGK/VertrGK 14,9 %. Die Sondereinzelkosten der Fertigung betrugen 795,00 EUR. Kundenrabatt und Kundenskonto wurden mit den angegebenen Prozentsätzen gewährt. Der Verkaufspreis betrug ,06 EUR. Wie viel Gewinn in EUR und in Prozent wurde tatsächlich erzielt? 83

84 5 Zinsrechnen 5.1 Einführung in das Zinsrechnen Beispiel: Ein Kaufmann nimmt bei seiner Hausbank ein Darlehen in Höhe von ,00 EUR auf. Die Laufzeit beträgt ein Jahr. Die Bank berechnet eine Bearbeitungsgebühr von 1,5 % (das entspricht 675,00 EUR) und einen Zinssatz von 8 %. Die Zinsen betragen 3 600,00 EUR. Prozentrechnung Grundwert Prozentsatz Prozentwert Bearbeitungsgebühr ,00 EUR 1,5 % 675,00 EUR Zinsen ,00 EUR 8 % 1 Jahr 3 600,00 EUR Zinsrechnung Kapital Zinssatz Zeit Zinsen (Zinsfuß) Wir merken uns: Bei der Berechnung von Zinsen muss der Faktor Zeit (Jahr, Monat, Tag) berücksichtigt werden. (Der Faktor Zeit fehlt in der Prozentrechnung.) Zinsen sind der Preis für die Nutzung eines Kapitals für eine bestimmte Zeit (entspricht dem Prozentwert in der Prozentrechnung). Das Kapital ist die zur Nutzung überlassene Geldsumme. Sie ist immer 100 % (entspricht dem Grundwert in der Prozentrechnung). Der Zinssatz (Zinsfuß) sagt aus, wie viel Zinsen ein Kapital in einem Jahr erbringt (z. B. für den Sparer) bzw. kostet (z. B. für den Kreditnehmer). Der Zinsfuß bezieht sich immer auf ein Jahr (entspricht dem Prozentsatz in der Prozentrechnung). Der Zinssatz von z. B. 8 % bedeutet, dass ein Kapital von 100,00 EUR in einem Jahr Zinsen in Höhe von 8,00 EUR erbringt bzw. kostet. Die Zinsrechnung ist somit eine Anwendung der Prozentrechnung unter Berücksichtigung der Zeit. Von den Größen Kapital, Zinsfuß, Zinsen und Zeit müssen stets drei Größen in der Aufgabe gegeben sein, um die vierte Größe mithilfe des Dreisatzes errechnen zu können. 5.2 Berechnung der Jahres-, Monats- und Tageszinsen nach der allgemeinen Zinsformel Berechnung der Jahreszinsen 84 Beispiel: Ein Unternehmen plant die Erstellung einer neuen Lagerhalle. Hierzu benötigt das Unternehmen einen Bankkredit in Höhe von ,00 EUR. Die Laufzeit des Kredits beträgt 5 Jahre. Die Hausbank bietet den Kredit zu einem festen Zinssatz über die gesamte Laufzeit in Höhe von 7,5% an. Die Rückzahlung erfolgt am Ende der Laufzeit in einer Summe. Aufgabe: Wie viel EUR beträgt der Zinsaufwand insgesamt in den 5 Jahren?

85 Gegeben: Kapital: ,00 EUR Zinssatz: 7,5 % Zeit: 5 Jahre Gesucht: Zinsen:? Für 100,00 EUR sind in 1 Jahr 7,50 EUR Zinsen fällig Berechnung der Jahreszinsen Für ,00 EUR sind in 5 Jahren x EUR Zinsen fällig mithilfe der Formel: x = 7, durch Umstellung = erhält man x = ,00 EUR Kapital Zinssatz Jahre Jahreszinsen = 100 Ergebnis: Der Kredit kostet in 5 Jahren insgesamt ,00 EUR an Zinsen. Übungsaufgabe Berechnen Sie die Zinsen für die folgenden Kapitalien! Nr. Kapital Zinssatz Zeit Nr. Kapital Zinssatz Zeit ,00 EUR 6 165,00 EUR ,00 EUR 8 1 / 2 % 4 % 3 1 / 3 % 3 Jahre 2 1 / 2 Jahre 6 Jahre ,00 EUR 2 790,00 EUR 9 071,00 EUR 4 3 / 4 % 9 2 / 3 % 5 1 / 4 % 2 1 / 4 Jahre 1 3 / 4 Jahre 3 1 / 3 Jahre 2. Ein Unternehmen hat seinen Kunden die nachfolgenden Kredite eingeräumt: ,00 EUR für 3 3 / 4 Jahre zum Zinssatz von 6 1 / 2 % ,00 EUR für 1 2 / 3 Jahre zum Zinssatz von 4 3 / 4 % ,00 EUR für 2 1 / 4 Jahre zum Zinssatz von 7 1 / 2 % ,00 EUR für 1 1 / 2 Jahre zum Zinssatz von 3 % Wie viel EUR betragen die zu erwartenden Zinserträge (ohne Zinseszinsen)? 3. Ein Kaufmann hat für seine Kinder folgende Sparguthaben angelegt: ,00 EUR für 4 1 / 2 Jahre zum Zinssatz von 5 1 / 4 % ,00 EUR für 5 Jahre zum Zinssatz von 6 2 / 3 % ,00 EUR für 3 3 / 4 Jahre zum Zinssatz von 4 1 / 2 % Wie viel EUR betragen die zu erwartenden Zinserträge (ohne Zinseszinsen)? 4. Ein Industrieunternehmen hat zur Finanzierung eines Anbaus einen Kredit in Höhe von ,00 EUR aufgenommen. Die Laufzeit beträgt 5 1 / 2 Jahre. Wie viel EUR an Zinsen müssen insgesamt aufgewendet werden, wenn das Darlehen mit 9 1 / 2 % verzinst werden muss? 5. Ein Kunde ist bei uns seit 1 3 / 4 Jahren mit 2 160,00 EUR in Verzug. Wie viel EUR an Zinsen sind bisher angefallen, wenn wir 5 3 / 4 % Zinsen berechnen? 6. Auf dem Geschäftsgebäude der Druckerei Franz Schlecht OHG lasten zwei Grundschulden über ,00 EUR (zu 8 1 / 2 %) und ,00 EUR (zu 7 5 / 8 %). Wie viel EUR beträgt die jährliche Zinsbelastung? 7. Ein Kaufmann hat einen Bankkredit von 8 500,00 EUR zu einem Zinssatz von 9,5 % aufgenommen. Die Bankabrechnung erfolgt vierteljährlich. Wie viel EUR an Zinsen muss er vierteljährlich zahlen? 85

86 5.2.2 Berechnung der Monatszinsen Beispiel: Ein Großhändler legt ,00 EUR für die Zeit vom 31. Juli bis 31. Dezember als Termingeld an. Die Hausbank verzinst das Termingeld mit 6 1 / 4 %. Aufgabe: Wie viel EUR beträgt die Zinsgutschrift am Ende der Laufzeit? Gegeben: Kapital: ,00 EUR Zinssatz: 6 1 / 4 % Zeit: 31. Juli 31. Dez. = 5 Monate Gesucht: Zinsen:? Für 100,00 EUR erhalten wir in 12 Monaten 6,25 EUR Zinsen Berechnung der Monatszinsen Für ,00 EUR erhalten wir in 5 Monaten x EUR Zinsen mithilfe der Formel: x = 6, x = 1 250,00 EUR durch Umstellung erhält man Kapital Zinssatz Monate Monatszinsen = Ergebnis: Die Zinsgutschrift beträgt 1 250,00 EUR. Übungsaufgabe Berechnen Sie die Zinsen für die folgenden Kapitalien! Nr. Kapital Zinssatz Zeit Nr. Kapital Zinssatz Zeit ,00 EUR 1 460,00 EUR 3 100,00 EUR 6 1 / 2 % 5 5 / 8 % 3 2 / 3 % 10 Monate 8 Monate 11 Monate ,00 EUR 820,00 EUR 1 260,00 EUR 7 1 / 2 % 5 % 2 3 / 8 % 5 Monate 4 Monate 3 Monate 2. Ein Kaufmann hat zur Finanzierung eines Großeinkaufs einen Kredit in Höhe von ,00 EUR zu 8 3 / 4 % bei seiner Hausbank aufgenommen. Die Laufzeit beträgt 4 1 / 2 Monate. Welchen EUR-Betrag hat der Kaufmann nach Ablauf dieser Zeit an die Bank zurückzuzahlen? 3. Ein Kunde hat seit 8 1 / 2 Monaten seinen Rechnungsbetrag in Höhe von 1 280,00 EUR nicht beglichen. Der Kaufmann treibt den Betrag per Mahnbescheid ein. Auf welchen EUR-Betrag lautet der Mahnbescheid, wenn der Kaufmann 8 % Zinsen und 14,60 EUR für Auslagen und Gebühren einrechnet? 4. Die Leder-Straub GmbH hat ,00 EUR für drei Monate als Termingeld zu 2 3 / 8 % angelegt. Wie viel EUR beträgt die Gutschrift der Bank nach Ablauf der Anlagezeit? 86

87 5. Für eine Investition benötigt ein Industriebetrieb einen Kredit in Höhe von ,00 EUR für 10 Monate. Der Inhaber erhält von drei Banken folgende Angebote: Angebot der Bank A: 8 1 / 4 % Zinsen. Angebot der Bank B: 6 1 / 2 % Zinsen / 2 % Bearbeitungsgebühr von der Kreditsumme Angebot der Bank C: Auszahlung: ,00 EUR. Rückzahlung nach 10 Monaten ,00 EUR Welches Angebot ist das günstigste? 6. Vom Lieferer haben wir die Stundung einer Rechnung über 8 140,00 EUR zu folgenden Bedingungen erhalten: Verzugszinsen 7 1 / 2 %, Laufzeit 11 Monate. Nach drei Monaten nehmen wir eine Sonderzahlung über 3 500,00 EUR vor. Welcher EUR-Betrag ist nach Ablauf der Stundungsdauer noch zu überweisen? 7. Das Autohaus Schnell GmbH vereinbart mit einem Kunden beim Kauf eines Gebrauchtwagens folgende Zahlungsbedingungen: Kaufpreis 8 400,00 EUR; sofortige Anzahlung 2 000,00 EUR; Restzahlung in zwei Raten: 1. Rate in Höhe von 3 000,00 EUR nach zwei Monaten, 2. Rate in Höhe des Restes nach 5 Monaten. Als Zinssatz wurde 4 % vereinbart. Über welchen EUR-Betrag lautet die letzte Ratenzahlung? 8. Wie viel EUR beträgt die Auszahlung der Bank, wenn bei den folgenden Darlehen die Zinsen im Voraus abgezogen und einbehalten werden? ,00 EUR, vom 15. Februar 15. September, Zinssatz 9 3 / 4 % ,00 EUR, vom 29. Oktober 29. Dezember, Zinssatz 7 1 / 2 % ,00 EUR, vom 1. März 1. September, Zinssatz 5 3 / 4 % 9. Ein Großhändler benötigt zur Erweiterung seiner Lagerräume für 9 Monate ein Darlehen in Höhe von ,00 EUR. Der Inhaber fragt bei drei Banken an und erhält folgende Kreditangebote: Bank A: Zins 8,5 % Bank B: Zins 7,5 % + 1,5 % Bearbeitungsgebühr von der Kreditsumme Bank C: Zins 6 % + 2 % Bearbeitungsgebühr von der Kreditsumme 9.1 Wie viel EUR betragen jeweils die Kreditkosten? 9.2 Welches Angebot ist das günstigste? 10. Einem Kunden wurde zur Aufstockung seiner Lagerkapazität ein Darlehen von 8 600,00 EUR zunächst für 8 Monate zum Zinssatz von 5 1 / 2 % gewährt. Am Fälligkeitstag bittet der Kunde um einen Zahlungsaufschub von 3 Monaten. Der Zahlungsaufschub wird gewährt. Für die Verlängerungszeit verlangt der Kreditgeber 6 % Verzugszinsen vom Gesamt betrag einschließlich der aufgelaufenen Zinsen für die ursprünglich vereinbarte Laufzeit von 8 Monaten. Welchen EUR-Betrag hat der Kunde nach Ablauf der Verlängerungszeit zu bezahlen? 11. Wir verkaufen Waren für 4 160,00 EUR an einen Kunden zu folgenden Bedingungen: Anzahlung 840,00 EUR, Restzahlung nach 5 Monaten einschließlich 5,5 % Zinsen. Wie viel EUR hat der Kunde nach 5 Monaten insgesamt zu bezahlen? 87

88 5.2.3 Berechnung der Tageszinsen (1) Tageberechnung Für die Berechnung der Zinstage haben sich verschiedene Verfahren herausgebildet: Bei der Kaufmännischen Zinsrechnung wird das Jahr mit 360 Tagen und jeder Monat mit 30 Tagen angesetzt. 1 Sie ist die Zinsrechnung unter Kaufleuten. Bei der Englischen Zinsrechnung wird das Jahr mit 365 (366) Tagen und die Monate werden mit der genauen Tageszahl (28, 29, 30, 31) angesetzt. Sie ist die Zinsrechnung unter Privatpersonen (Nicht-Kaufleute) und von Behörden. Bei der Eurozinsmethode (Französische Zinsrechnung) wird das Jahr mit 360 Tagen und die Monate werden mit der genauen Tageszahl (28, 29, 30, 31) angesetzt. Sie wird insbesondere zur Abrechnung von Wechseln (Diskontrechnen) und von Bundesanleihen mit variablem Zins verwendet. 2 Beispiele für die Berechnung der Tage im kaufmännischen Bereich: Vorgehensweise: (1) 14. Febr. 29. Mai = 105 Tage 14. Febr. 14. Mai sind 3 x 30 = 90 Tage 14.Mai 29. Mai = 15 Tage 105 Tage (2) 24. Juni 8.Nov. = 134 Tage 24.Juni 24.Okt. sind 4 x 30 = 120 Tage 24. Okt. 30. Okt. = 6 Tage 30. Okt. 8.Nov. = 8 Tage 134 Tage (3) 17. Jan. 28. Febr. = 41 Tage 17. Jan. 17. Febr. sind 1 x 30 = 30 Tage 17. Febr. 28. Febr. = 11 Tage 41 Tage (4) 28. Febr. 15. März. = 17 Tage (5) 1. Jan. 28. Febr. = 57 Tage Beim Überschreiten des Monats Februar wird mit 30 Tagen gerechnet. Geht die Verzinsung bis zum 28. Februar, werden nur 28 Tage angesetzt (dementsprechend im Schaltjahr 29 Tage). (2) Tageszinsberechnung Beispiel: Ein Unternehmen kauft Waren im Wert von 2 460,00 EUR. Es erhält ein Zahlungsziel bis zum 27. Jan. Die Zahlung erfolgt erst am 2. Mai. Der Lieferer berechnet Verzugszinsen in Höhe von 6 %. Aufgabe: Welchen EUR-Betrag hat der Kaufmann am 2. Mai zu überweisen? 1 Bei allen nachfolgenden Aufgaben gehen wir von der Zinsberechnung für Kaufleute aus. 2 Inwieweit die Banken die Berechnung der Zinsen nach der Eurozinsmethode auch auf die übrigen Bankgeschäfte ausdehnen, bleibt abzuwarten. Derzeit ist ein einheitliches Vorgehen bei den Banken nicht zu erkennen. 88

89 Gegeben: Kapital: 2 460,00 EUR Zinssatz: 6 % Tage: 27. Jan. 2.Mai = 95 Tage Gesucht: Zinsen:? Für 100,00 EUR in 360 Tagen 6,00 EUR Zinsen Berechnung der Tageszinsen Für 2 460,00 EUR in 95 Tagen x EUR Zinsen mithilfe der Formel: x = x = 38,95 EUR durch Umstellung erhält man Ergebnis: Der Überweisungsbetrag lautet über 2 498,95 EUR (2 460,00 EUR + 38,95 EUR). Kapital Zinssatz Tage Tageszinsen = abgekürzt: Z = K p t Übungsaufgabe Berechnen Sie die Zinsen für die folgenden Kapitalien! Nr. Kapital Zinssatz Zeit Nr. Kapital Zinssatz Zeit ,00 EUR 2 185,00 EUR 1 319,00 EUR 3 % 2 1 / 2 % 5 1 / 4 % 58 Tage 143 Tage 135 Tage ,00 EUR 152,00 EUR 426,00 EUR 6 3 / 4 % 4 1 / 2 % 8 1 / 2 % 210 Tage 165 Tage 218 Tage 2. Eine Papiergroßhandlung nimmt bei ihrer Bank einen Kredit in Höhe von ,00 EUR für 70 Tage in Anspruch. Der Zinssatz beträgt 7 1 / 2 %. Wie viel EUR betragen die Kreditzinsen? 3. Berechnen Sie die Laufzeit eines Kredits: 3.1 vom 6. Febr. 28. Febr. 3.5 vom 13. Juli 1. Mai 3.2 vom 17. April 1. Aug. 3.6 vom 30. Jan. 29. Febr. 3.3 vom 28. Sept. 31. Dez. 3.7 vom 23. Nov. 5. Juni 3.4 vom 19. Nov. 20. Dez. 3.8 vom 10. Dez. 1. April 4. Wie viel EUR betragen die Rückzahlungsbeträge einschließlich Zinsen bei den nachfolgenden Krediten? ,00 EUR vom 31. Mai 2. Aug., Zinssatz 4 3 / 4 % ,00 EUR vom 19. Sept. 5. März, Zinssatz 8 % ,00 EUR vom 30. Jan. 3. April, Zinssatz 2 1 / 4 % 5. Ein Kaufmann schuldet seinem Lieferer 2 480,00 EUR seit dem 12. April. Wie viel EUR Verzugszinsen muss er dem Lieferer am 1. Juni bei einem Zinssatz von 6 1 / 2 % überweisen? 6. Die Franz Ott KG bittet einen Lieferer um Stundung des Rechnungsbetrages vom 15. Januar bis 8. April. Der Rechnungsbetrag beläuft sich auf ,00 EUR. Der Lieferer stimmt zu und berechnet für die Stundungszeit 5 1 / 4 % Zinsen. Wie viel EUR beträgt der zu zahlende Rechnungsbetrag einschließlich Zinsen? 89

90 7. Eine Liefererrechnung über 2 150,00 EUR, fällig am 20. Juli, wurde durch ein Versehen der Buchhaltung nicht rechtzeitig gezahlt. Am 10. September erfolgt eine Mahnung des Lieferers. Der Lieferer fordert 5 % Verzugszinsen und Ersatz seiner Auslagen in Höhe von 10,80 EUR. Über welchen EUR-Betrag lautet die Mahnung? 8. Der Möbelgroßhändler August Braun e. K., Klosterplatz 7, Ansbach, geht am 25. September die Kundenkonten durch und stellt fest, dass das Möbelhaus Emil Mayr KG, Industriestraße 8, Bruchsal, eine am 13. Mai fällige Rechnung über die Lieferung eines Büroschrankes, Rechnungsnummer , über 630,00 EUR immer noch nicht beglichen hat. Eine erste Mahnung, ohne Berechnung von Verzugszinsen, erfolgte am 30. Juni. Über welchen EUR-Betrag ist die Mahnung auszuschreiben, wenn der Möbelgroßhändler 6 % Verzugszinsen berechnet? 9. Büromöbelfabrik Karl Buschmann OHG Büromöbelgroßhandlung Karl Möller KG Regensburger Str Nürnberg Postanschrift: Clemensstr München Datum 20. Juni 20.. Verzugszinsen für Rechnung Nr Sehr geehrter Herr Möller, der Rechnungsbetrag in Höhe von 3 780,00 EUR (R.Nr. 3860), fällig am 20. Februar, ging trotz mehrfacher Mahnungen erst am 15. Juni auf unserem Bankkonto ein. Wir erlauben uns, für die Zeit vom 20. Februar bis 15. Juni des Jahres Verzugszinsen in Höhe von 8,5 % zuzüglich 30,00 EUR Mahngebühren zu berechnen. Mit freundlichen Grüßen ppa. Karle Buschmanne Berechnen Sie die Verzugszinsen! 10. Die Großhandlung Karl Grünschläger KG erhält für ein aufgenommenes Bankdarlehen in Höhe von ,00 EUR folgende Zinsabrechnung: 9,5 % Sollzinsen für die Zeit vom 20. Juli bis 20. November. Außerdem werden ihm für Auslagen und Bearbeitungsgebühr 0,5 % von der Darlehenssumme auf dem Konto belastet. Ermitteln Sie den Zinsbetrag und den Eurobetrag der Bearbeitungsgebühr! 90

91 11. Die Großhandlung Karl Braun OHG erhält von ihrem Kunden Josef Ohnesorg KG den Rechnungsbetrag in Höhe von ,00 EUR, der am 7. März fällig war, erst am 25. Juli überwiesen. Die Karl Braun OHG stellt am 31. Juli für die Zeit vom 7. März bis 25. Juli Verzugszinsen in Höhe von 8 % in Rechnung. Die entsprechende Summe geht am 10. August auf dem Bankkonto der Karl Braun OHG ein. Berechnen Sie die Verzugszinsen! 12. Papier Union GmbH & Co KG PF Ronnenberg Papiergroßhandlung Rudolf Walterbeck e. Kfm. Brückenstr Nürnberg Rechnung Nr. 1347, Überschreiten des Fälligkeitstermins Datum 5. Mai 20.. Sehr geehrter Herr Walterbeck, Für die Rechnungsnummer 1347, fällig am 25. Januar, ging der Betrag in Höhe von 5 780,75 EUR erst am 3. Mai des Jahres bei uns ein. Leider sehen wir uns gezwungen, Ihnen für die Zeit der Überschreitung des Zahlungstermins Verzugszinsen in Höhe von 9,25 % in Rechnung zu stellen. Mit freundlichen Grüßen i. A. Busch Berechnen Sie den Betrag, der als Verzugszinsen in Rechnung gestellt wird! 13. Ein Kunde einer Maschinenfabrik hat eine Rechnung über 1 224,00 EUR, fällig am 15. April, nicht beglichen. Welchen EUR-Betrag kann die Maschinenfabrik am 20. Juni fordern, wenn 6,6 % Verzugszinsen und 6,50 EUR Mahnkosten in Rechnung gestellt werden sollen? 14. Ein Großhandelsbetrieb erweitert zum 15. Oktober eine Lagerhalle. Dazu nahm er am 1. Oktober bei seiner Hausbank einen Kredit in Höhe von ,00 EUR auf, der mit 8,25 % zu verzinsen ist. Wie viel EUR beträgt seine Schuld einschließlich Zinsen zum 21. September des folgenden Jahres, wenn der Zinssatz am 10. Februar auf 8,75 % angehoben worden ist und der Großhandelsbetrieb am 10. Februar ,00 EUR zurückgezahlt hat? 15. Ein Kaufmann erhält am 5. November von seiner Bank ein Darlehen über ,00 EUR. Am 26. Februar des folgenden Jahres zahlt er 7 500,00 EUR, am 15.März 5 000,00 EUR und am 1. April weitere 2 000,00 EUR zurück. Am 23. April tilgt er den Rest. Der Zinssatz betrug bis zum 15. März 6 2 / 3 %, danach 7 1 / 2 %. Wie teuer kommt dem Kaufmann der gesamte Kredit, wenn die Bank noch eine einmalige Bereitstellungsgebühr von 1 % der Darlehenssumme verlangt? 91

92 5.3 Berechnung der Größen Kapital, Zinssatz und Zeit nach der allgemeinen Zinsformel Berechnung des Kapitals Beispiel: Ein Kaufmann erhält am 28. Februar von einem Lieferer für eine nicht rechtzeitig bezahlte Lieferung eine Rechnung über 278,10 EUR Verzugszinsen. Der Lieferer rechnete mit einem Zinssatz von 6 %. Die Liefererrechnung ist am 15. November des Vorjahres fällig gewesen. Aufgabe: Über welchen EUR-Betrag lautete die Rechnung? Gegeben: Zinsen: 278,10 EUR Zinssatz: 6 % Zeit: 15. Nov. 28. Febr. = 103 Tage Gesucht: Kapital:? 6,00 EUR in 360 Tagen bei 100,00 EUR Berechnung des Kapitals 278,10 EUR in 103 Tagen bei x EUR mithilfe der Formel: x = , x = ,00 EUR durch Umstellung erhält man Kapital = Zinsen Tage Zinssatz Ergebnis: Die Rechnung lautete über ,00 EUR. Anmerkung: Herleitung der Formel aus der allgemeinen Zinsformel: Z = K p t oder: Z = K p t oder: Z = K t p oder: K = Z t p Übungsaufgabe Berechnen Sie das Kapital aufgrund der nachfolgenden Angaben! Nr. Zinsen vom bis Zinsfuß ,20 EUR 184,40 EUR 144,20 EUR 290,50 EUR 52,70 EUR 15. April 1. Juli 1. Juni 31. Oktober 22. Juni 10. Dezember 17. Januar 31. März 2. Februar 29. Februar 4 1 / 2 % 8 % 5 3 / 4 % 3 1 / 3 % 6 2 / 3 % 92

93 2. Welchen Betrag muss ein Unternehmer bei 6 1 / 2 %iger Verzinsung anlegen, damit er nach vier Monaten eine Zinsgutschrift von 220,35 EUR erhält? 3. Ein Unternehmer zahlt als Pacht für eine Lagerhalle für die Zeit vom 2. April 18. Juli ,00 EUR. Der Pacht ist der Gedanke zugrunde gelegt, dass sich das Objekt zu 5 3 / 4 % verzinsen soll. Mit welchem Wert wurde die Lagerhalle angesetzt? 4. Ein Lieferer stellt einem säumigen Kunden nachträglich insgesamt 431,00 EUR in Rechnung. Dieser Betrag enthält 8 % Verzugszinsen für 56 Tage sowie 5,40 EUR für Auslagen. Wie viel EUR betrug der Rechnungsbetrag? 5. Ein Kaufmann nahm am 16. Dezember für Steuer- und Gehaltszahlungen einen Kredit auf. Am 1. März musste er bei einem Zinssatz von 7 1 / 2 % 1 687,50 EUR Zinsen zahlen. Wie viel EUR betrug der Kredit? 6. Welches Kapital brachte vom 1. Juli 28. November bei 4 2 / 7 % Verzinsung 210,00 EUR Zinsen? 7. Zum Kauf eines Lieferwagens nimmt die Großhandlung Franz Klug KG am 15. Januar ein Darlehen zu 8 1 / 2 % bei ihrer Hausbank auf. Sie zahlt das Darlehen am 21. Juli durch Banküberweisung zurück. Für das Darlehen belastet sie die Bank mit 604,50 EUR Zinsen. Wie viel EUR betrug das Darlehen? 8. Ein Lieferer zieht von einem Kunden durch Banklastschrift die Tilgungsrate in Höhe von 4 000,80 EUR für ein eingeräumtes Darlehen und die fälligen Zinsen in Höhe von 1 209,00 EUR für die Zeit vom 15. März 21. September ein. Der vereinbarte Zinssatz beträgt 9 %. Wie viel EUR beträgt das eingeräumte Darlehen? 9. Ein Kaufmann hat am 17. Juli einen Kredit zu 7 1 / 5 % in Anspruch genommen. Der Kredit wurde am 2. Dezember zuzüglich 145,80 EUR Zinsen zurückgezahlt. Wie viel EUR betrug der Kredit? 10. Eine Fahrradreparaturwerkstatt wird zum Verkauf angeboten. Der durchschnittliche monatliche Reingewinn beläuft sich auf 4 500,00 EUR. Für langfristig angelegtes Kapital beträgt der Zinssatz derzeit 6 %. Wie viel EUR würde ein Käufer bei diesen Voraussetzungen höchstens bezahlen? 11. Der Kaufmann Fritz Alt möchte sich zur Ruhe setzen. Er möchte sein Geschäft verkaufen und den Erlös so anlegen, dass er monatlich 3 250,00 EUR Zinserträge erhält. Welchen Erlös muss er beim Verkauf seines Geschäftes erzielen, wenn er mit einer durchschnittlichen Verzinsung der Anlage von 4,8 % rechnet? 93

94 5.3.2 Berechnung der Zeit Beispiel: Ein Kaufmann hat einem Kunden am 15. Januar eine Rechnung in Höhe von 4 500,00 EUR zu einem Zinssatz von 6,5 % gestundet. Der Rückzahlungsbetrag einschließlich Zinsen beträgt 4 682,00 EUR. Aufgaben: 1. Wie viel Tage wurde die Stundung gewährt? 2. Zu welchem Zeitpunkt ist der Rechnungsbetrag zurückgezahlt worden? Gegeben: Kapital: 4 500,00 EUR Zinssatz: 6,5 % Zinsen: 182,00 EUR Gesucht: Tage:? Für 100,00 EUR erhält man 6,50 EUR in 360 Tagen Berechnung der Tage Für 4 500,00 EUR erhält man 182,00 EUR in x Tagen mithilfe der Formel: x = ,5 x = 224 Tage durch Umstellung erhält man Tage = Zinsen Kapital Zinssatz Ergebnis: 1. Der Rechnungsbetrag wurde 224 Tage gestundet. 2. Rückzahlungstermin: 15. Januar Tage = 29. August Anmerkung: Herleitung der Formel aus der allgemeinen Zinsformel: Z = K p t oder: Z = K p t oder: Z = t K p oder: t = Z K p Übungsaufgabe Wie viel Tage war das Kapital ausgeliehen? Nr. Kapital Zinssatz Zinsen ,00 EUR 287,40 EUR 2 610,00 EUR 2 920,50 EUR 510,90 EUR ,00 EUR 2 3 / 8 % 3 1 / 2 % 6 1 / 4 % 6 3 / 4 % 8 % 6 % 63,90EUR 5,60 EUR 68,40 EUR 54,50 EUR 9,40 EUR 784,00 EUR 94

95 2. Zu welchem Zeitpunkt ist ein Sparkapital von 2 500,00 EUR, das am 2. April bei einer Bank zu 5 1 / 4 % angelegt wird, auf 2 620,00 EUR angewachsen? 3. Am 20. August wurde von der Karl Säumig OHG eine Rechnung über 1 680,00 EUR einschließlich 6 % Verzugszinsen mit 1 695,96 EUR durch Banküberweisung beglichen. Zu welchem Zeitpunkt war die Rechnung fällig? 4. An welchem Tag wurde ein Kapital in Höhe von 8 400,00 EUR ausgeliehen, das am 20. November einschließlich 5 % Zinsen mit 8 522,50 EUR zurückbezahlt wurde? 5. Ein Kunde zahlt durch Banküberweisung an die Bauer GmbH am 20. April eine Rechnung über 216,00 EUR zuzüglich 7 % Verzugszinsen mit 220,62 EUR. An welchem Tag war die Rechnung zur Zahlung fällig? 6. Die Kreissparkasse gewährte einem Unternehmen zur Finanzierung einer Maschine ein Darlehen über ,00 EUR. Der Zinssatz betrug 7,5 %. Das Unternehmen zahlte das Darlehen am 5. September zurück und entrichtete zusätzlich 630,00 EUR Zinsen. An welchem Tag hatte das Unternehmen das Darlehen aufgenommen? 7. An welchem Tag war eine Rechnung über ,00 EUR fällig, wenn am 17. August dafür einschließlich 6% Verzugszinsen ,16 EUR berechnet werden? 8. Eine Möbelgroßhandlung zahlt am 15. Mai ein Darlehen über ,00 EUR mit ,80 EUR (einschließlich 9,5 % Zinsen) mittels Zahlschein an die Bank zurück. An welchem Tag wurde das Darlehen aufgenommen? 9. Ein Kapital von ,00 EUR wurde einschließlich 5 2 / 3 % Zinsen am 30. November mit ,00 EUR zurückbezahlt. An welchem Tag wurde das Kapital ausgeliehen? 10. Zur Erweiterung der Lagerräume nimmt ein Großhändler am 12. Juni bei seiner Bank einen Kredit in Höhe von 9 000,00 EUR zu einem Zinssatz von 7 % auf. An welchem Tage wurde der Kredit einschließlich Zinsen in Höhe von zusammen 9 472,50 EUR zurückgezahlt? 11. Wir haben bei unserer Hausbank ein Darlehen in Höhe von ,00 EUR in Anspruch genommen. Die Bank berechnet 10 1 / 2 % Zinsen. An Zinsen wurden uns 341,25 EUR belastet. Für wie viel Tage haben wir das Darlehen aufgenommen? 12. Ein Unternehmer hat am 18. Januar einen Kredit einschließlich 9 % Zinsen in Höhe von 9 576,25 EUR zurückgezahlt. An welchem Tag wurde der Kredit über 9 400,00 EUR aufgenommen? 13. Ein Kaufmann nimmt einen Kredit in Höhe von ,00 EUR auf. Am 30. August zahlt er für diesen Kredit nachträglich 325,56 EUR Zinsen. Am 22. Juni erhöhte sich der Zinssatz von 8 % auf 9 % Berechnen Sie den Zinsanteil für die Zeit vor und nach der Erhöhung! 13.2 An welchem Tag hat der Kaufmann den Kredit aufgenommen? 95

96 5.3.3 Berechnung des Zinssatzes (Nominalzinssatzes) Beispiel: Für die verspätete Zahlung einer Liefererrechnung in Höhe von 6 150,00 EUR wird ein Kaufmann vom Lieferer mit Verzugszinsen in Höhe von 51,25 EUR belastet. Der Zahlungstermin wurde um 60 Tage überschritten. Aufgabe: Welchen Zinssatz legte der Lieferer zugrunde? Gegeben: Zinsen: 51,25 EUR Kapital: 6 150,00 EUR Tage: 60 Tage Gesucht: Zinssatz:? Für 6 150,00 EUR in 60 Tagen 51,25 EUR Zinsen Berechnung des Zinssatzes Für 100,00 EUR in 360 Tagen x EUR Zinsen mithilfe der Formel: x = 51, Zinssatz = Zinsen Kapital Tage x = 5,00 EUR für 100,00 EUR Kapital im Jahr; d. h., der Zinssatz beträgt 5 %. Ergebnis: Der zugrunde gelegte Zinssatz des Lieferers beträgt 5 %. Anmerkung: Herleitung der Formel aus der allgemeinen Zinsformel: Z = K p t oder: Z = K p t oder: Z = p K t oder: p = Z K t Übungsaufgabe Berechnen Sie den Zinssatz aufgrund der nachfolgenden Angaben! Nr. Kapital vom bis Zinsen ,80 EUR 790,50 EUR ,00 EUR 2 150,80 EUR ,00 EUR 23. März 29. Juli 2. Jan. 15. Mai 15. Nov. 1.März 31. März 29. Mai 13. März 30. Juli 59,70 EUR 22,70 EUR 294,20 EUR 24,10 EUR 681,50 EUR 96

97 2. Ein Kaufmann hat ein Kapital von ,00 EUR als Termingeld vom 15. Februar bis 30. Juni bei der Bank angelegt und erhält eine Zinsgutschrift von 911,25 EUR. Welcher Zinssatz war vereinbart? 3. Zu welchem Zinssatz war ein Kapital von ,00 EUR ausgeliehen, das vom 15. Januar bis 5. September 2 070,00 EUR Zinsen brachte? 4. Zu welchem Zinssatz war ein Kapital von ,00 EUR ausgeliehen, das vom 12. Mai bis 18. Dezember 777,00 EUR Zinsen brachte? 5. Ein Großhandelsunternehmen zahlt am 20. Juni ein Darlehen, das es am 11. März in Höhe von 6 240,00 EUR aufgenommen hatte, einschließlich der Zinsen mit 6 394,44 EUR durch Banküberweisung zurück. Welcher Zinssatz war bei der Darlehensaufnahme vereinbart worden? 6. Eine Bank räumte einem Unternehmen einen kurzfristigen Kredit in Höhe von ,00 EUR ein, den dieses vom 15. Juni bis 30. August beanspruchte. Am 20. August zahlte das Unternehmen einschließlich der Zinsen ,00 EUR zurück. Wie viel Prozent betrug der Zinssatz? 7. Eine Rechnung über 6 400,00 EUR, fällig am 26. Februar, wird am 8. April einschließlich Verzugszinsen mit 6 444,80 EUR bezahlt. Wie viel Prozent Verzugszinsen wurden berechnet? 8. Ein Großhändler gewährt einem Kunden 30 Tage Ziel für die Bezahlung der gelieferten Waren im Wert von ,00 EUR mit Rechnungsdatum vom 14. September. Der Kunde zahlt die Rechnung am 29. Dezember einschließlich 187,50 EUR Verzugszinsen. Wie viel Prozent Verzugszinsen wurden berechnet? 9. Der Unternehmer Friedrich Gut hat auf dem Verwaltungsgebäude eine Grundschuld über ,00 EUR eingetragen. An Zinsen werden vierteljährlich 1 708,00 EUR fällig. Zu welchem Zinssatz muss die Grundschuld verzinst werden? 10. Ein Großhandelsunternehmen erhält vom Warenlieferer eine Rechnung über ,00 EUR, zahlbar innerhalb 30 Tagen netto, Rechnungsdatum 2. November 01. Das Großhandelsunternehmen überweist den Betrag einschließlich 187,60 EUR Verzugszinsen erst am 17. März 02 auf eine Mahnung des Lieferers. Welchen Zinssatz hat der Lieferer bei der Berechnung der Verzugszinsen zugrunde gelegt? 5.4 Verschiedene Aufgaben zum Zinsrechnen Eine Rechnung über 9 600,00 EUR, fällig am 28. März, wird am 15. Mai einschließlich Verzugszinsen mit 9 667,20 EUR bezahlt. Wie viel Prozent Verzugszinsen wurden berechnet? 2. Einem Kunden wurde eine am 1. Aug. fällige Rechnung bis zum 30. Sept. gestundet. Einschließlich 8% Zinsen beträgt der Rückzahlungsbetrag ,24 EUR. Berechnen Sie den Rechnungsbetrag und die eingerechneten Zinsen! 97

98 3. Wir haben am 15. April bei unserer Hausbank einen Kredit in Höhe von ,00 EUR in Anspruch genommen. Die Bank berechnet 8 % Zinsen. Der Rückzahlungsbetrag einschließlich der Zinsen betrug ,60 EUR. An welchem Tag haben wir den Kredit zurückgezahlt? 4. Zum Kauf eines neuen Lkws nimmt ein Kaufmann am15. März ein Darlehen zu 9 % bei seiner Bank auf. Er zahlt es am 21. September zurück. Für das Darlehen muss er 1 209,00 EUR an Zinsen bezahlen. Wie viel EUR betrug der Kredit? 5. Ein Großhändler hat zur Modernisierung seiner Geschäftsräume vor 8 Monaten ein Darlehen in Höhe von ,00 EUR zu 8 % Zinsen aufgenommen. 3 Monate nach der Kreditaufnahme hat er einen Teil des Darlehens in Höhe von ,00 EUR zurückgezahlt. Wie viel EUR sind heute, am Ende der Kreditlaufzeit, an die Bank einschließlich der Zinsen zu zahlen? Für ein am 8. Februar aufgenommenes Darlehen in Höhe von ,00 EUR werden am 30. Juni 1 090,00 EUR Zinsen fällig. Berechnen Sie den Zinssatz! 6.2 Ein Darlehen wurde vom 12. März bis 30. Juni zu 6,25% ausgeliehen. An Zinsen fallen 216,00 EUR an. Berechnen Sie die ausgeliehene Darlehenssumme! 6.3 In welcher Zeit bringen 3 600,00 EUR, die zu 9 % angelegt sind, 76,50 EUR Zinsen? 7. Ein Kaufmann nimmt bei seiner Bank ein Darlehen in Höhe von ,00 EUR zu 8 1 / 2 % auf, ein zweites Darlehen zu 9 %. Die Zinsen entrichtet er halbjährlich für beide Darlehen zusammen. Für das erste Halbjahr hat er 2 895,00 EUR Zinsen zu zahlen. Über welchen EUR-Betrag lautet das zweite Darlehen? 8. Fritz Berger hat ein Mietshaus geerbt. Die monatlichen Mieteinnahmen betragen 3 100,00 EUR. An Kosten fallen an: Zinsen für eine 1. Grundschuld von ,00 EUR zu 7 %; Zinsen für eine 2. Grundschuld von ,00 EUR zu 8 %; Heizkosten und Warmwasser 8 000,00 EUR jährlich; Abschreibung ,00 EUR jährlich; Reparaturen 1 200,00 EUR jährlich; Steuern und Abgaben 750,00 EUR vierteljährlich. Welchen Wert hat das Haus, wenn man in ähnlichen Wohnlagen mit einer Nettorendite von 0,5 % rechnet? (Verzinsung des eingesetzten Kapitals.) 9. Für die Modernisierung seiner Büroräume benötigt ein Steuerberater einen Kredit von ,00 EUR. Er vereinbart mit seiner Bank einen variablen Zinssatz. Bis zum 15. September hatte der Steuerberater 9 % zu zahlen. Das sind 2 220,00 EUR Zinsen. Danach wird der Zinssatz gesenkt. Am Jahresende zahlt er für die gesamte Kreditdauer des vergangenen Jahres 3 364,00 EUR Zinsen. 9.1 Wie viel Prozent beträgt der Zinssatz nach der Senkung? 9.2 An welchem Tag wurde der Kredit aufgenommen? 98

99 5.5 Berechnung des Effektivzinssatzes Berechnung des Effektivzinssatzes am Beispiel von Kreditkosten Bei der Aufnahme von Krediten werden den Kreditnehmern in der Regel nicht nur Zinsen, sondern auch eine Bearbeitungsgebühr sowie sonstige Kosten wie Auslagen für Porto u. a. berechnet. Um alternative Kreditangebote vergleichen zu können, ist es sinnvoll, die gesamten Kreditkosten als Zinssatz auszudrücken, um so den tatsächlichen Zinssatz, d. h. den Effektivzinssatz, zu erhalten. Wir merken uns: Der Effektivzinssatz drückt die gesamten Kosten für den Kredit in Prozenten der Kreditsumme aus. Beispiel: Für einen Kredit in Höhe von ,00 EUR, der für 180 Tage in Anspruch genommen wird, berechnet die Stadtsparkasse Stuttgart 8 % Zinsen und ein Disagio von 2 %. Aufgabe: Wie viel Prozent beträgt der tatsächliche Zinssatz (Effektivzinssatz)? Berechnung der tatsächlichen Kreditkosten 8 % Zinsen von ,00 EUR für 180 Tage 3 600,00 EUR + 2 % Disagio 1 800,00 EUR Kreditkosten insgesamt 5 400,00 EUR Berechnung des Effektivzinssatzes nach der Zinsformel Effektiver Zinssatz = = 12,24 % Ergebnis: Der effektive Zinssatz beträgt 12,24 %. Übungsaufgabe Ein Kredit über ,00 EUR wird nach 5 Jahren getilgt. Der Zinssatz beträgt 8 %, das Damnum 1 5 %. Außerdem wird eine einmalige Kreditprovision von 2 % vereinbart. Wie viel Prozent beträgt der effektive Jahreszinssatz? 1 Damnum (lat.): Schaden, Verlust. Hier bedeutet das Damnum eine Vergütung, die für die Gewährung von Darlehen bezahlt wird. Im Ergebnis bedeutet dies eine Kürzung des auszuzahlenden Darlehensbetrags. 99

100 2. Für die Erweiterung des Lagers benötigt ein Kaufmann für die Zeit vom 15. März 24. Oktober einen Kredit in Höhe von ,00 EUR. Auf seine Anfrage erhält der Kaufmann folgende Angebote: 1. Angebot: 9,75 % Zinsen + 0,3 % Bearbeitungsgebühr von der Kreditsumme + 24,67 EUR Auslagenersatz. 2. Angebot: 7,75 % Zinsen + 0,8 % Bearbeitungsgebühr von der Kreditsumme. Bei beiden Angeboten wird die Bearbeitungsgebühr jeweils von der Kreditsumme einbehalten. Berechnen Sie für beide Angebote den Effektivzinssatz! Berechnung des Effektivzinssatzes am Beispiel des Skontosatzes Der Skonto ist der Preis für die Ausnutzung eines Lieferantenkredits. Da der Skonto in einem Prozentsatz, die Kosten für andere Kreditarten aber in einem Zinssatz angegeben werden, ist ein Kostenvergleich nur möglich, wenn man den Prozentsatz für den Skonto in einen effektiven Zinssatz umwandelt. Beispiel 1: Ein Großhändler erhält aufgrund einer Lieferung eine Rechnung über 2 000,00 EUR. Die Zahlungsbedingungen lauten: zahlbar innerhalb von 10 Tagen mit 2 % Skonto oder Zahlungsziel 30 Tage rein netto. Aufgabe: Welchem Zinsfuß entspricht der gewährte Skonto von 2%? Dauer des Lieferantenkredits 20 Tage Zahlung mit Skontoabzug Zahlung rein netto Tage Um den Skonto in Anspruch nehmen zu können, genügt es, wenn die Rechnung am 10. Tag nach der Ausstellung beglichen wird. Der Skonto wird also dafür gewährt, dass 20 Tage vor Ablauf des Zahlungsziels gezahlt wird. Unter Berücksichtigung, dass sich der Zinssatz immer auf ein Jahr (360 Tage) bezieht, erhalten wir für die Umrechnung des Skontosatzes in einen effektiven Zinssatz folgenden Ansatz. In 20 Tagen erhalten wir 2 % In 360 Tagen erhalten wir x % x = = 36 % 20 Ergebnis: Dem Skontosatz von 2 % für 20 Tage entspricht nach einer allgemein angewandten groben Faustformel ein Zinssatz von 36 %. Faustformel: Zinssatz = Skontosatz 360 (Zahlungsziel Skontofrist) 100

101 Bei einer genauen Umrechnung des Skontosatzes in einen Zinssatz ist im Zähler statt des Skontosatzes der Skontobetrag und im Nenner die effektiv beanspruchte Kredithöhe in die Berechnungsformel einzubeziehen. Skontobetrag Zinssatz = (Rechnungsbetrag Skontobetrag) (Zahlungsziel Skontofrist) Zinssatz = = 36,73 % Fehlt ein absoluter Betrag, dann kann folgende Formel angewandt werden: Zinssatz = Skontosatz Skontosatz (Zahlungsziel Skontofrist) 100 Wegen der hohen Kosten, die der Verzicht auf eine Zahlung mit Skontoabzug für einen Kaufmann bedeutet, sollte er immer bestrebt sein, seine Rechnungen unter Abzug von Skonto zu begleichen. Da dem Prozentsatz für den Skonto ein sehr hoher Zinssatz entspricht, ist eine Zahlung mit Skontoabzug im Allgemeinen auch dann vorteilhaft, wenn man sich die für die vorzeitige Zahlung erforderlichen Mittel durch einen Bankkredit beschaffen muss. Beispiel 2: Angenommen, dem Großhändler fehlen die nötigen Finanzmittel, um die Rechnung aus Beispiel 1 (vgl. Seite 100) innerhalb der Skontofrist begleichen zu können. Aufgabe: Lohnt es sich für den Großhändler zur Ausnutzung des Skontos einen entsprechenden Bankkredit in Anspruch zu nehmen, wenn die Bank (einschließlich aller Kosten) 12 % Zinsen verlangt? Rechnungsbetrag 2 000,00 EUR 2 % Skonto 40,00 EUR Zahlung (benötigter Kredit) 1 960,00 EUR Gegeben: benötigter Kredit (Kapital) 1 960,00 EUR Kreditzeit 20 Tage Zinssatz 12 % Gesucht: Zinsen:? Zinsen = = 13,07 EUR Die Kosten für den beanspruchten Bankkredit betragen 13,07 EUR. Skontoertrag bei vorzeitiger Zahlung 40,00 EUR Kosten des Bankkredits für 20 Tage 13,07 EUR Nettoersparnis 26,93 EUR Ergebnis: Trotz des benötigten Bankkredits für die vorzeitige Zahlung hat der Großhändler noch eine Nettoersparnis in Höhe von 26,93 EUR. 101

102 Übungsaufgabe Welchem Jahreszinsfuß entspricht der jeweils gewährte Skontoabzug in den folgenden Zahlungsbedingungen? 1.1 Zahlbar innerhalb von 8 Tagen mit 2 % Skonto oder innerhalb von 30 Tagen rein netto. 1.2 Zahlbar innerhalb von 10 Tagen mit 3 % Skonto oder innerhalb von 60 Tagen rein netto. 2. Neben Zinsen verlangt ein Kreditinstitut noch eine Bearbeitungsgebühr von 1 1 / 4 %. Welchem Zinssatz entspricht die Bearbeitungsgebühr, wenn wir den Kredit für 6 Monate beanspruchen? 3. Der Eisenhandlung Klier OHG werden von einem Lieferer folgende Zahlungsbedingungen eingeräumt: Zahlbar innerhalb 30 Tagen netto oder innerhalb 10 Tagen mit 3 % Skonto. 3.1 Welchem Jahreszinsfuß entspricht der Skontosatz von 3 %? 3.2 Der Rechnungsbetrag für einen Wareneinkauf beträgt 8 125,00 EUR. Wie viel EUR spart die Klier OHG bei Ausnutzung des Skontos, wenn sie für die Zahlung einen Bankkredit mit einer Verzinsung von 9,5 % in Anspruch nimmt? Verschiedene Aufgaben zur Berechnung des Effektivzinssatzes Ein Unternehmer hat bei seiner Bank am 8. August einen Kredit über ,00 EUR zu 9,5 % aufgenommen. An welchem Tag muss er ihn zurückzahlen, wenn er nicht mehr als 2 137,50 EUR Zinsen bezahlen möchte? 1.2 Ein Darlehen in Höhe von ,00 EUR, Laufzeit 8 Monate, ist mit 7,5 % zu verzinsen. Wie viel Prozent beträgt der effektive Jahreszinssatz, wenn dieses Darlehen zu 96 % ausbezahlt wurde und die Bank noch 150,00 EUR Bearbeitungsgebühr in Rechnung stellte? Die Bearbeitungsgebühr wird gesondert vom Girokonto abgebucht. 2. Eine Großhandlung erhält von einem Lieferer folgende Rechnung: Rechnungsdatum 4. Oktober 01, Rechnungsbetrag einschließlich 19 % Umsatzsteuer ,00 EUR, zahlbar innerhalb 30 Tagen netto oder innerhalb 8 Tagen mit 3 % Skonto. 2.1 Welchem Jahreszinssatz entspricht der Skontosatz von 3 % bei den gegebenen Zahlungsbedingungen? 2.2 Die Großhandlung zahlt erst am 19. Februar 02 mit Bankscheck nach einer Mahnung. Der Lieferer berechnet 275,20 EUR Verzugszinsen. Welchen Zinssatz hat der Lieferer bei der Berechnung der Verzugszinsen zugrunde gelegt? 2.3 Wie viel EUR hätte die Großhandlung bei rechtzeitiger Zahlung unter Ausnutzung des Skontos bei der Inanspruchnahme eines Bankkredites zu 9,5 % sparen können? 3. Von unserem Lieferer erhalten wir folgende Zahlungsbedingungen: Zahlbar innerhalb 20 Tagen netto oder innerhalb 8 Tagen mit 2% Skonto. 3.1 Welchem Jahreszinsfuß entspricht der Skonto? 3.2 Der Rechnungsbetrag für einen Wareneinkauf beträgt 1 580,00 EUR. Wie viel EUR sparen wir bei Ausnutzung des Skontos, wenn wir für die Zahlung einen Bankkredit in Höhe von 8 3 / 4 % in Anspruch nehmen müssen? 102

103 Teil B: Algebra und Funktionen 1 Aussagen und Aussageformen Aussagen Die Stadt Berlin wirbt mit dem Slogan Berlin ist eine Reise wert. Dieser Behauptung kann man zustimmen oder auch nicht. In der Mathematik dagegen muss man eindeutig sagen können, ob etwas stimmt oder nicht bzw. ob es wahr oder falsch ist. Ausdrücke, die wahr oder falsch sind, nennt man Aussagen. Nichtmathematische Aussagen Rom ist die Hauptstadt von Italien. Dies ist eine wahre Aussage (w. A.). Ein Handy gab es schon im 18. Jahrhundert. Diese Aussage ist falsch (f. A.) Mathematische Aussagen = 7 Es handelt sich hierbei um eine wahre Aussage (w. A.) = 18 ist eine falsche Aussage. Keine Aussagen Gehen Sie die Treppe hinauf! Hier kann man nicht nach wahr oder falsch fragen. Es handelt sich um keine Aussage ist keine Aussage, da man nicht sagen kann, ob dies wahr oder falsch ist. Beachten Sie: Eine Aussage ist entweder wahr (w) oder falsch (f). Übungsaufgabe Welche Ausdrücke sind Aussagen? Begründen Sie Ihre Behauptung. 1.1 Für alle Zahlen gilt: a b = b a 1.2 Galilei hat im 17. Jh. gelebt (2 + 5) 4 = Der Bodensee ist groß Die Winkelsumme im Dreieck ist Lesen Sie einen Zeitungsartikel. Bei welchen Sätzen des Artikels handelt es sich um Aussagen? Begründen Sie Ihre Behauptung. 103

104 1.1 Aussageformen In vielen Formularen, Kreuzworträtseln und Rechenaufgaben findet man unvollständige Sätze wie z. B.:... ist Schüler. Zwei mal... ist 4,5?... liegt am Bodensee. In diesem Fall enthalten die (unvollständigen) Sätze Leerstellen (Platzhalter oder Variablen). Da man nicht sagen kann, ob der Satz wahr oder falsch ist, handelt es sich nicht um eine Aussage. In diesem Fall spricht man von Aussageformen. Erst nachdem man für die Leerstellen etwas eingesetzt hat, kann man entscheiden, ob diese Sätze (Aussageformen) wahr oder falsch sind. Z. B.: Aussageform... liegt am Bodensee. Einsetzen von z. B. Hamburg für die Leerstelle ergibt die (falsche) Aussage: Hamburg liegt am Bodensee. Die Aussageform wird durch das Einsetzen zu einer Aussage. Nichtmathematische Aussageformen Beispiele:... ist ein Gewürz.... ist schneller als der Transrapid. Mathematische Aussageformen Beispiel: 4... = 15 f b h i j Für... ein Wort einsetzen. Statt... schreibt man auch oft kleine Buchstaben z. B. x, y, z, a, b usw. Die Aussageform lautet dann: 4 x = 15. x ist die Variable (der Platzhalter, die Leerstelle). Setzt man für x die Zahl 3,75 ein, so erhält man 4 3,75 = 15 (wahre Aussage) Setzt man für x die Zahl 3 ein, so erhält man 4 3 = 15 (falsche Aussage) Beispiel: y + 3,15 = 12,5 Aussageform mit der Variablen y Beachten Sie: Leerstellen nennt man auch Platzhalter oder Variable. Mathematische Aussageformen gehen durch Einsetzen einer Zahl für die Variable in wahre oder falsche Aussagen über. Übungsaufgabe Setzen Sie in die Aussageform 4 + 3x = 7,9 nacheinander die Zahlen 4; 5; 1,3; 4 und 0 ein. Ermitteln Sie, ob eine wahre oder falsche Aussage vorliegt. 2. Setzen Sie in die Aussageform 2a + b c = 4 die Zahl 5 für a, 4 für b und 6 für c ein und entscheiden Sie, ob die Aussage wahr oder falsch ist. Wählen Sie eine Belegung für a, b und c so, dass eine wahre Aussage entsteht. 3. Handelt es sich bei dem Ausdruck 18 4x um eine Aussageform? Begründen Sie Ihre Behauptung. 104

105 1.2 Grundmenge und Lösungsmenge Gegeben ist die Aussageform:... ist eine deutsche Stadt. In diesem Fall erhält man nur eine Aussage, wenn man Städtenamen einsetzt. Man kann sich eine Menge von Städtenamen vorgeben und anschließend überprüfen, ob eine wahre oder fasche Aussage entsteht. Die Menge der Städtenamen, von der man ausgeht, nennt man Grundmenge G oder Grundbereich der Aussageform. München Ulm Mailand Wien Hamburg Beispiele: 1. Grundmenge G = {München; Mailand; Ulm; Hamburg; Wien} Aussageform:... ist eine deutsche Stadt Setzt man Mailand oder Wien ein, so erhält man jeweils eine falsche Aussage. Setzt man München ; Ulm oder Hamburg ein, so erhält man jeweils eine wahre Aussage. Alle Elemente (Namen) aus der Grundmenge, die zu einer wahren Aussage führen, gehören zur Lösungmenge L. L = {München; Ulm; Hamburg} 2. Grundmenge G = { 5; 4; 5} Aussageform 3 + 2x = 13 5 für x einsetzen ( 5) = 13 Aussage 7 = 13 falsche Aussage Für x setzen wir 4 ein = 13 falsche Aussage Für x setzen wir 5 ein, d. h. x = = 13 wahre Aussage Setzt man das Element 5 für x ein, so erhält man eine wahre Aussage. Die Zahl 5 ist eine Lösung dieser Gleichung. Sie gehört zur Lösungsmenge L. Lösungsmenge L = {5} 3. Grundmenge G = {0; 1; 2: 3: 4} Aussageform 2x < 7 Einsetzen der Zahlen von G ergibt eine wahre Aussage für 0; 1; 2; 3 Lösungsmenge L = {0; 1; 2; 3} Beachten Sie: Die Grundmenge G enthält alle Elemente, die für die Variable eingesetzt werden dürfen. Die Lösungsmenge L enthält alle Elemente aus G, die beim Einsetzen in die Aussageform eine wahre Aussage ergeben. 105

106 Beispiel: Gegeben ist die Grundmenge G = { 5; 0,5; 3} und die Aussageform 4 2x = 3. Bestimmen Sie die Lösungsmenge L. Man setzt alle Zahlen aus G in die Aussageform ein. x 5 0, ( 5)= 3 4 2(0,5)= = = 3 4 2x = 3 14 = 3 3 = 3 2 = 3 4 = 3 Wahrheitsgehalt falsch wahr falsch falsch Lösungsmenge L = {0,5} Sprechweise: Die Lösungsmenge enthält das Element 0,5. 0,5 ist die Lösung dieser Aussageform. In der Mathematik treten Aussagen und Aussageformen oft als Gleichungen oder Ungleichungen auf. Z. B.: = 9 ist eine wahre Aussage. 3 > 7 ist eine falsche Aussage x Diese Aussageform heißt Ungleichung (x 2) = 17 Diese Aussageform heißt Gleichung Term Term Festlegung: Ausdrücke, die in einer Gleichung links bzw. rechts vom Gleichheitszeichen stehen, nennt man Terme. Beispiele für Terme: a) b) 9 c) 6 + x d) 5 + 4(x 2) e) x 2 + 4x + 5 Bemerkung: 32 + ist kein Term, da in diesem Fall kein sinnvoller mathematischer Ausdruck vorliegt. Übungsaufgabe Bestimmen Sie die Lösungsmenge folgender Gleichung mit G = { 2, 1; 0; 1; 2} x = x = x 2 = 2x x(x 1) = Lösen Sie folgende Ungleichung in der Grundmenge G = { 5; 4; 3; 2; 1; 0} 2.1 x < x > x x x Bestimmen Sie eine Grundmenge und eine Gleichung mit folgender Lösungsmenge. 3.1 L = {20} 3.2 L = { 17 } 3.3 L = {1; 2} 3.4 L = G 4 4. Geben Sie jeweils zwei Aussagen, Aussageformen und Terme an. 106

107 2 Mengen 2.1 Begriff der Menge Die speziellen Mengen Grundmenge und Lösungsmenge haben wir bei Aussageformen schon kennengelernt. Allgemein versteht man unter einer Menge eine Zusammenfassung von Elementen zu einem Ganzen. Beachten Sie: Der Begründer der Mengenlehre, Georg Cantor ( ), versteht unter einer Menge jede Zusammenfassung von bestimmten wohlunterschiedenen Objekten unserer Anschauung oder unseres Denkens zu einem Ganzen. 2.2 Darstellungen von Mengen Eine Menge kann in verschiedenen Formen (Schreibweisen) angegeben werden. Schreibweisen für Mengen Mengen werden mit großen lateinischen Buchstaben bezeichnet: A; B; C; M usw. Betrachten wir die Menge M mit den natürlichen Zahlen 4; 5; 6; 7; 8. a) Aufzählende Form M = {4; 5; 6; 7; 8} gelesen: Zur Menge M gehören die Elemente 4; 5; 6; 7; 8. In der aufzählenden Form schreibt man die zur Menge M zusammengefassten Elemente zwischen zwei geschweiften Klammern. Die Reihenfolge spielt keine Rolle. b) Venn-Diagramm Bemerkung: Mit den Zeichen und drückt man aus, ob ein Element zu einer Menge gehört oder nicht M Beispiel: 4 M gelesen: 4 ist ein Element der Menge M. 4 gehört zur Menge M. 10 M gelesen: 10 ist kein Element der Menge M. 10 gehört nicht zur Menge M. c) Beschreibende Form M = {x x ist eine natürliche Zahl und x ist größer als 3 und kleiner als 9} gelesen: M ist die Menge aller x, für die gilt: x ist eine natürliche Zahl und x ist größer als 3 und kleiner als 9. Kurzschreibweise: M = {x x N x > 3 x < 9} = {x x N 3 < x < 9} Bemerkung: Die Menge der natürlichen Zahlen bezeichnet man mit N. (Siehe nächste Seite ). ist das Zeichen für und. 107

108 2.3 Eigenschaften von Mengen a) Endliche Menge Die Menge M = {4; 5; 6; 7; 8} hat 5 Elemente, also endlich viele Elemente. In diesem Fall spricht man von einer endlichen Menge. b) Unendliche Menge Hat eine Menge unendlich viele Elemente, so heißt sie unendliche Menge. Beispiele: A = {1; 4; 9; 16;...}= {x x ist Quadratzahl} B = {x x ist Primzahl} = {2; 3; 5; 7; 11; 13;...} N = {0; 1; 2; 3;...} Menge der natürlichen Zahlen c) Leere Menge Hat eine Menge kein Element, so sagt man, sie ist leer (leere Menge). Symbol für die leere Menge: Ø Beispiel: D = {x x ist eine natürliche Zahl und kleiner als null}= Ø Übungsaufgabe Geben Sie folgende Mengen in beschreibender Form an. 1.1 A = {0; 1; 2} 1.2 B = {5} 1.3 C = {0; 1; 2; 3;...} 1.4 D = {2; 4; 6; 8} 1.5 E = {2; 4; 6; 8;...} 1.6 F = {0; 1; 4; 16; 25} 2. Schreiben Sie folgende Mengen in aufzählender Form. Welche Mengen sind endlich, welche unendlich? x sei eine natürliche Zahl, d. h. x {0; 1; 2; 3; 4;... }. 2.1 A = {x x < 6} 2.2 B = {x x 6} 2.3 C = {x x = 7} 2.4 D = {x 4 < x < 7} 2.5 E = {x 5 < x 9} 2.6 F = {x x 7} 3. Geben Sie folgende Mengen in aufzählender Form an. 3.1 Menge A der Fünferzahlen von 10 bis Menge B der Quadratzahlen zwischen 20 und Menge C der geraden natürlichen Zahlen größer als Menge D der Schüler/-innen Ihrer Klasse, deren Vornamen mit dem Buchstaben A anfängt. 4. Die Grundmenge sind die Buchstaben des Alphabets. Geben Sie in aufzählender Form an. 4.1 A = {x x ist ein Vokal} 4.2 B = {x x kommt im Wort Menge vor} 4.3 C = {x x ist ein Konsonant} 4.4 D = {x x ist kein Konsonant und kein Vokal} 5. Geben Sie die leere Menge in einer beschreibenden Form an. 108

109 2.4 Verknüpfungen von Mengen a) Schnittmenge Festlegung: Unter der Schnittmenge zweier Mengen A und B versteht man die Menge aller Elemente, die zu A und zu B gehören, d. h., die sowohl zu A als auch zu B gehören. Für die Schnittmenge (A geschnitten mit B) schreibt man: A B. Beispiel: Gegeben sind die Mengen A = {3; 4; 5; 6} und B = {5; 6; 7}. 1. Bestimmen Sie die Schnittmenge A B. 2. Stellen Sie A B in einem Venn-Diagramm dar. Zu 1.: A B = {5; 6} Zu 2.: Darstellung im Venn-Diagramm A 3 4 A B B b) Vereinigungsmenge Festlegung: Unter der Vereinigungsmenge zweier Mengen A und B versteht man die Menge aller Elemente, die zu A oder zu B gehören, d. h., die entweder in A oder in B oder in beiden Mengen liegen. Für die Vereinigungsmenge (A vereinigt mit B) schreibt man: A B. Beispiel: Gegeben sind die Mengen A = {1; 2; 3; 4} und B = {2; 3; 4; 5; 6} 1. Bestimmen Sie die Vereinigungsmenge A B. 2. Stellen Sie A B im Venn-Diagramm dar. Zu 1.: A B = {1; 2; 3; 4; 5; 6} Bemerkung: Da die Elemente einer Menge unterscheidbar sein müssen, darf z. B. das Element 3 nur einmal in der Vereinigungsmenge enthalten sein. A A B Zu 2.: Darstellung im Venn-Diagramm B Bemerkung: A B = {2; 3; 4}

110 c) Teilmengen Beispiel: Gegeben sind die Mengen A = {5; 6; 7} und B = {1; 2; 5; 6; 7; 8}. 1. Bestimmen Sie die Schnittmenge A B. Welche Besonderheit können Sie feststellen? 2. Stellen Sie A B im Venn-Diagramm dar. Zu 1.: A B = {5; 6; 7} = A Besonderheit: A B = A Jedes Element von A gehört auch zu B. Man sagt, A ist eine Teilmenge von B. Schreibweise: A B Zu 2.: Darstellung im Venn-Diagramm B A B A Festlegung: Die Menge A ist Teilmenge der Menge B, wenn jedes Element von A auch zu B gehört. Schreibweise: A B. Bemerkung: Die Menge A ist Teilmenge von A. Es gilt: A A. Für die leere Menge Ø setzt man fest, dass sie eine Teilmenge jeder anderen Menge ist, d. h. Ø A. Übungsaufgabe Geben Sie A B an. Zeichnen Sie ein Venn-Diagramm. 1.1 A = {2; 4; 5; 11; 12} B = {1; 3; 4; 5; 12; 13} 1.2 A = {1; 4; 8} B = {2; 5; 7} 1.3 A = {2; 5; 7; 8} B = {2; 7; 8} Geben Sie A B und A B an. Zeichnen Sie jeweils ein Mengenbild (Venn-Diagramm). 2.1 A = {0; 2; 4; 5} B = {2; 3; 6} 2.2 A = {1; 4; 8} B = {1; 4; 8} 2.3 A = {7; 8} B = {5; 7; 8} 3. Gegeben ist die Menge A = {4; 5; 7}. Geben Sie alle Teilmengen von A an. 4. Die Menge A der Schüler und die Menge B der Schülerinnen einer beruflichen Schule sind Teilmengen der Menge C aller Schüler dieser Schule. Zeichnen Sie das zugehörige Venn-Diagramm.

111 2.5 Zahlenmengen Im Alltag hat man es mit Zahlen zu tun. Zum Beispiel: Am Thermometer oder auf dem Kontoauszug erscheinen positive und negative Zahlen. Auf dem Display eines Handys erscheint das Guthaben als Dezimalzahl. Man betrachtet nun diesen Zahlen-Cocktail näher Die natürlichen Zahlen Ein Grundbedürfnis der Menschen ist es, Dinge (Tiere, Bäume, Gegenstände usw.) zu zählen. Die Zahlen, die man dazu benötigt, sind die natürlichen Zahlen: 1; 2; 3;... Bemerkung: Die Zahl 0 zählt man i. Allg. auch zu den natürlichen Zahlen. Die Zusammenfassung der natürlichen Zahlen zu einem Ganzen ergibt die Menge der natürlichen Zahlen N. Festlegung: Menge der natürlichen Zahlen N = {0; 1; 2; 3;...}. Menge der natürlichen Zahlen ohne Null N*= {1; 2; 3;...}. Veranschaulichung der natürlichen Zahlen am Zahlenstrahl Die Elemente von N lassen sich auf einem Zahlenstrahl darstellen. Man beginnt am Anfangspunkt 0 Bildpfeil der Zahl 4 Bildpunkt der Zahl 4 und trägt nacheinander dieselbe Strecke (z. B. mit der Länge 1 cm) beliebig oft nach rechts ab und schreibt an die Teilstriche die zugehörigen Zahlen 1, 2, 3 usw. Einheitsstrecke (Längeneinheit) Eine Zahl kann durch einen Bildpfeil dargestellt werden. Der Bildpfeil der Zahl 4 hat die Länge 4 LE (Längeneinheiten). Beachten Sie: Die Summe bzw. das Produkt von zwei natürlichen Zahlen ist wieder eine natürliche Zahl. Übungsaufgabe Eine Zahl a sei größer als eine Zahl b. Welche Aussage können Sie über die zugehörigen Bildpfeile machen? Beschreiben Sie die Lage der zugehörigen Bildpunkte. 2. Welche Ergebnisse sind aus N? : 2 111

112 2.5.2 Die ganzen Zahlen Im Alltag kommen nicht nur natürliche Zahlen vor. Man denke z. B. an Minusgrade bei der Temperatur oder an ein Minusgeschäft eines Kaufmannes. Die Minuszahlen (die negativen ganzen Zahlen)...; 4; 3; 2; 1 bilden zusammen mit den natürlichen Zahlen die ganzen Zahlen. Festlegung: Menge der ganzen Zahlen Z = {...; 3; 2; 1; 0; 1; 2; 3;...} Menge der negativen ganzen Zahlen Z_= {...; 3; 2; 1} Beachten Sie: Die Menge der natürlichen Zahlen N wird zu der Menge der ganzen Zahlen Z erweitert: Z = N Z_ Die Menge N ist in der Menge der ganzen Zahlen enthalten: N Z. Darstellung der ganzen Zahlen an der Zahlengeraden Durch Spiegelung des Zahlenstrahls am Nullpunkt entsteht die Zahlengerade. Bildpfeil der Zahl 4 Bildpfeil der Zahl 4 Bildpunkt Bildpunkt 5 < 4 < 3 < 2 < 1 < 0 < 1 < 2 < 3 < 4 < 5 Die Zahlen, deren Bildpunkte links von der Null liegen, heißen negative Zahlen. Die Bildpunkte der positiven Zahlen liegen rechts von der Null. Die ganzen Zahlen können (der Größe nach) angeordnet werden. Steht der Bildpunkt einer Zahl a rechts vom Bildpunkt einer Zahl b, so ist a größer als b. Beispiele: 3 > 1; 0 > 3; 2 > 5; 3 < 4; 4 < 3 Bemerkung: Die Differenz von zwei natürlichen Zahlen muss keine natürliche Zahl sein, z. B.: 4 6 = 2. Das Ergebnis der Differenz ist jedoch eine ganze Zahl. Es gilt: Die Differenz von zwei ganzen Zahlen ist wieder eine ganze Zahl. Übungsaufgabe Ordnen Sie mithilfe des Zeichens < folgende Zahlen aus Z der Größe nach ; 3; 0; 7; 6; 2; 9; ; 33; 5; 0; 33; 45; Schreiben Sie folgende Mengen in aufzählender Form (x Z). 2.1 A = {x x < 5} 2.2 B = {x 4 < x < 3} 112

113 2.5.3 Die rationalen Zahlen Beim Messen von Längen ( 1 1 m) oder beim Volumen von Gläsern ( l) treten oft keine 10 2 ganzen Zahlen auf, sondern Bruchzahlen. Einen Bruch nennt man Quotient. Die Menge der Bruchzahlen bezeichnet man mit Q (Menge der rationalen Zahlen). Die Menge der ganzen Zahlen Z wird zur Menge der Bruchzahlen Q erweitert. Darstellung der Bruchzahlen an der Zahlengeraden oder ,5 2 1,5 1 0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5 oder Bemerkung: Den Brüchen 2 1 Beachten Sie: 4 und entspricht der gleiche Bildpunkt. 2 Diese Brüche haben den gleichen Wert. Die Menge der natürlichen Zahlen N und die Menge der ganzen Zahlen Z sind in der Menge der rationalen Zahlen Q enthalten: N Z Q Die Menge Q kann beschrieben werden durch: Q = { a a Z b N*} b Bemerkung: Werden zwei Brüche addiert, subtrahiert, multipliziert oder dividiert Nenner ungleich null), so erhält man wieder einen Bruch. Übungsaufgabe Setzen Sie zwischen den nachstehenden Zahlen aus Q das Zeichen < oder > ; ; ; Ordnen Sie mithilfe des Zeichens < folgende Zahlen aus Q der Größe nach ; 5 7 ; 4 7 ; 3; 3 8 ; ; 3 5 ; 7 11 ; ; 1 3 ; 0 3. Fassen Sie folgenden Term zu einem Bruch zusammen x 3 + x 2 x : x 6x ( x ) 7 3 5x

114 3 Gleichungen und Ungleichungen 3.1 Gleichungen Beispiel: Bestimmen Sie die Lösungsmenge der Gleichung 6x 2 = 8 + x; G = Q. Lösung durch Einsetzen Setzt man Zahlen aus der Grundmenge G = Q in die Gleichung ein, so erhält man eine Aussage, z. B. x = 3: = falsche Aussage (f. A.) x = 0,5: 6 0,5 2 = 8 + 0,5 falsche Aussage (f. A.) x = 2: = wahre Aussage (w. A.) Alle Elemente, die zu einer wahren Aussage führen, gehören zur Lösungsmenge L, in diesem Fall ist x = 2 Lösung. Lösung durch Umformungen Waagemodell: 6x 2 = 8 + x Auf beiden Seiten 2 addieren 6x 2 = 8 + x + 2 6x = 8 + x + 2 Auf beiden Seiten x subtrahieren 6x = 10 + x x 6x x = 10 + x x Beide Seiten durch 5 teilen 5x = 10 : x = 10 5 Einfachste Form x = 2 Die Gleichung hat die Lösung 2 und die Lösungsmenge L = {2}. Probe: 6 (2) 2 = = 10 wahre Aussage Ziel der Umformungen ist es, eine gegebene Gleichung in die einfachste Form zu bringen. Umformungen, die die Lösungsmenge nicht ändern, nennt man Äquivalenzumformungen. Bemerkungen: Eine Gleichung in einer Unbekannten (Lösungsvariablen) ist eine Behauptung der Form: Linke Seite = Rechte Seite. Die Grundmenge G gibt an, welche Zahlen als Lösung infrage kommen. Die Lösung einer Gleichung ist ein Element der Grundmenge, das die Gleichung zu einer wahren Aussage macht. Die Menge aller Lösungen heißt Lösungsmenge. 114

115 Beispiel: Bestimmen Sie die Lösungsmenge der Gleichung 4(x 2) + 7 = 1 3(1 3x); G = Q. Durch Äquivalenzumformungen Klammer ausmultiplizieren 4(x 2) + 7 = 1 3(1 3x) 4x = x Beachte: 3 ( 3x) = 9x Zusammenfassen 4x 1 = 2 + 9x Ziel: x sollte alleine auf einer Seite stehen. Auf beiden Seiten 2 addieren 4x = 2 + 9x Auf beiden Seiten (4x) subtrahieren 4x +1 = 9x 4x 4x 4x +1 = 9x 4x 1 = 5x : (5) Beide Seiten durch (5) teilen 1 5 = 5x 5 Die Gleichung hat eine Lösung 1 5 = x Lösungsmenge L = { 1 5 } Probe: 4( 1 1 2) + 7 = 1 3( ) 1 5 = 1 (wahre Aussage) 5 Umformung in Kurzform 4(x 2) + 7 = 1 3(1 3x) 4x = x 4x 1 = 2 + 9x +2 4x +1 = 9x 4x 1= 5x : (5) 1 5 = x L = { 1 5 } Äquivalenzpfeil Lösung Lösungsmenge Äquivalenzumformungen Eine Gleichung äquivalent umformen heißt, auf beiden Seiten einer Gleichung die gleiche Zahl addieren oder subtrahieren. beide Seiten einer Gleichung mit der gleichen Zahl ( 0) multiplizieren oder durch die gleiche Zahl ( 0) dividieren. Eine Gleichung darf nicht mit Null multipliziert oder durch Null dividiert werden. Bemerkung: 2x 13 = 5 hat die Lösung x = 9. Multiplikation mit Null ergibt: 2x 13 = 5 0 eine wahre Aussage für alle x: 0 = 0 L = Q Multiplikation mit Null ist keine Äquivalenzumformung. 115

116 Beispiel: Gegeben ist die Gleichung 3 1 x + 14 = x 2( 4 + x); G = Q. 2 2 Bestimmen Sie die Lösungsmenge der Gleichung. Durch Äquivalenzumformungen 3 Klammer auflösen 2 x + 14 = 1 2 x 2x Nach x sortieren 2 x 1 x + 2x = Beide Seiten durch (3) teilen 3x = 6 x = 2 Bemerkung: Mit G = Q L = { 2} Mit G = N L = Ø, da 2 N Folgepfeil Die Lösungsmenge hängt von der gegebenen Grundmenge ab: L G. Beispiel: Gegeben ist die Gleichung 1 1 (3 2x) = ( 4 x); G = Q. 4 2 Bestimmen Sie die Lösungsmenge der Gleichung. Äquivalenzumformungen: 1 1 (3 2x) = ( 4 x) (4) x = 2( 4 x) 3 2x = 8 2x 3 = 8 Für alle x Q ergibt die Umformung eine falsche Aussage, d. h. die Gleichung hat keine L = Ø Beispiel: Gegeben ist die Gleichung 2x (2x 2 2) + 4(0,5x 2 4) = 11; G = Q. Bestimmen Sie die Lösungsmenge der Gleichung. Äquivalenzumformungen: 2x (2x 2 2) + 4(0,5x 2 4) = 11 Klammer auflösen 2x x x 2 16 = 11 Zusammenfassung ergibt 11 = 11 Wahre Aussage für alle x Q. Linke Seite und rechte Seite sind identisch. Jedes x Q ist Lösung. Die Gleichung hat unendlich viele Lösungen: L= Q 116

117 Übungsaufgabe Bestimmen Sie die Lösungsmenge (G = Q) ( x) 4( x ) 6x = (1 + x) (1 + 2x) + 1 = Gleichungscocktail 2x = 9 1 x = 1 1 7(4 x) = x = 18x x = 5(x 4) x = 1 5 Bei welchen Gleichungen lässt sich die Lösung durch Erraten bestimmen? 3. Gegeben ist die Gleichung 5x = x; G = Q. Klaus löst 5x = x : x und erhält mit 5 = 1 eine falsche Aussage. Klaus stellt fest: Die Gleichung hat keine Lösung. Wo steckt der Fehler? Nehmen Sie dazu Stellung. 4. Stellen Sie eine Gleichung für x = Meine Schuhgröße auf und lassen Sie diese Ihren Nachbarn lösen. 3.2 Lineare Gleichungen Beispiel: Gegeben ist die Gleichung 3x 9 ( 4x +5) (3x + 2) = 10; G = Q. Bestimmen Sie die Lösungsmenge der Gleichung. Die Lösungsmenge bestimmt man durch Äquivalenzumformungen. 3x 9 ( 4x + 5) (3x + 2) = 10 Klammer auflösen 3x 9 + 4x 5 3x 2= Auf beiden Seiten (15) addieren Die Terme mit x zusammenfassen 4x = Beide Seiten durch (4) teilen 4x = 5 : (4) Lösung x = 5 4 Lösungsmenge L = { 5 4 } Bemerkung: Vorzeichen beachten beim Ausmultiplizieren: ( 4x + 5) = 4x 5 117

118 Beispiel: Gegeben ist die Gleichung 1 2 x 3 (x + 1) = 2x 5; G = Q. 2 Bestimmen Sie die Lösungsmenge der Gleichung. Die Lösungsmenge bestimmt man durch Äquivalenzumformungen. Beide Seiten mit 2 multiplizieren 1 2 x 3 (x + 1) = 2x Klammer ausmultiplizieren x 3(x + 1) = 4x 10 Auf beiden Seiten (4x) subtrahieren x 3x 3 = 4x 10 4x Auf beiden Seiten 3 addieren 6x 3 = Beide Seiten durch ( 6) teilen 6x = 7 : ( 6) Lösung x = 7 6 Lösungsmenge L = { 7 6 } Bemerkung: Gleichungen mit Brüchen löst man am schnellsten, wenn man zu Beginn der Umformungen beide Seiten der Gleichung mit dem Hauptnenner multipliziert. Beispiel: Gegeben ist die Gleichung x 6 2x = 5 2x ; G = Q Bestimmen Sie die Lösungsmenge der Gleichung. Äquivalenzumformungen: Mit dem Hauptnenner multiplizieren x = 5 2x (x 6) 2(2x 1) +18 = 2(5 2x) Klammern auflösen 3x 18 4x = 10 4x + 4x Alle Terme mit x auf eine Seite bringen 3x 4x + 4x + 2 =10 2 Auf beiden Seiten 2 subtrahieren 3x =10 2 Zusammenfassen 3x = 8 : 3 Beide Seiten durch 3 teilen x = 8 3 Lösungsmenge L = { 8 3 } Beachten Sie: Eine lineare Gleichung in x kann stets auf die Form ax + b = 0; a 0 gebracht werden. Für die Grundmenge linearer Gleichungen gilt i. Allg. G = Q. 118

119 Übungsaufgabe Lösen Sie die Gleichungen nach x auf (G = Q) x 3(5x + 7) = 2(3 x) 1.2 5x (8 + 9x) = x +7x = x + 5 = 4x + 9(1 x) 7 x x = x = 3x x 3 5 = 5 6 x x 3 5 = x x 5 4 = x x (2x 3)(x 3) = (x 1)(2x 8) Erfinden Sie eine Gleichung für x = Anzahl der Schüler in meiner Klasse. Geben Sie die Gleichung Ihrem Nachbarn zur Lösung. 3. Untersuchen Sie, ob die Gleichung 4x 9 ( 5x +2) (2x + 1) = 11x lösbar ist. 4. Gegeben ist die Gleichung 5x = a 2. Bestimmen Sie a für x = 2. Bestimmen Sie x für a = 3,5. 5. Konstruieren Sie aus der Gleichung 2x 1 = 0 andere verschiedenartige Gleichungen, die 3 dieselbe Lösung haben. Textaufgaben Beispiel: Addiert man 123 zum Doppelten einer Zahl, so erhält man das 5-fache dieser um 3 verminderten Zahl. Wie lautet die gesuchte Zahl? Wir setzen: Die gesuchte Zahl ist x Das Doppelte dieser Zahl entspricht: 2x 123 addiert ergibt 2x +123 Das 5-fache dieser um 3 verminderten Zahl entspricht: 5(x 3) Ansatz durch Gleichsetzen 2x +123 = 5(x 3) Lösung durch Äquivalenzumformungen Klammer auflösen 2x +123 = 5x 15 Nach x sortieren 138 = 3x Beide Seiten dividieren x = 46 Ergebnis: Die gesuchte Zahl lautet 46. Probe anhand des Textes: = 215 wahr 5 (46 3) = 215 wahr 119

120 Beispiel: Der Preis x für 1 l Superbenzin hat sich in den letzten 5 Jahren verdreifacht. Am 1. Januar dieses Jahres erhöhte sich der Preis erneut um 8 Cent und beträgt nun 146,3 Cent. Wie viel kostete ein Liter Benzin vor 5 Jahren? Man setzt: x ist der Preis vor 5 Jahren in Cent. Preis vor dem 1. Januar: 3x bzw. Preis am 1. Januar: 3x + 8 Ansatz: 3x + 8 = 146,3 Auflösen nach x: 3x = 138,3 x = 46,1 Ergebnis (Antwortsatz): Ein Liter Super kostete vor 5 Jahren 46,1 Cent. Beachten Sie zur Lösung von Textaufgaben: Zu Beginn wird die Bedeutung der Variablen x festgelegt. Das Ergebnis wird in einem Antwortsatz formuliert. Übungsaufgabe Denken Sie sich eine Zahl, addieren Sie 7, multiplizieren Sie das Ergebnis mit 8 und Sie erhalten die Zahl 536. Wie lautet die gedachte Zahl? 2. Das Dreifache einer um 2 verminderten Zahl ist halb so groß wie das Fünffache der um 8 vermehrten Zahl. Wie heißt die Zahl? 3. Die Summe von 5 aufeinander folgenden natürlichen Zahlen ergibt 460. Berechnen Sie die größte Zahl. 4. Die Differenz von zwei natürlichen Zahlen ist 55. Addiert man die beiden Zahlen, so erhält man 111. Bestimmen Sie die beiden Zahlen. 5. Eine Mauer lässt sich aus 54 Reihen Ziegelsteinen der Höhe x herstellen. Nimmt der Maurer um 1,6 cm höhere Steine, so braucht er nur 45 Reihen. Berechnen Sie die Höhe x. 6. Bei einem Rechteck ist eine Seite um 10 m länger als die andere. Die längere Seite wird um 25 m, die kürzere um 15 m verkürzt. Dadurch verkleinert sich der Flächeninhalt um 1000 m 2. Wie groß war das ursprüngliche Rechteck? 7. Antiquitätenhändler Mock erzielt an den drei Markttagen 1 8, 1 4 bzw. 1 seines möglichen Umsatzes. Bei Marktende hat er noch Waren im Wert von Welchen Umsatz hätte er erzielt, wenn er seine ganze Ware verkauft hätte? 8. Finden Sie Sachaufgaben, die sich mithilfe einer linearen Gleichung lösen lassen. 120

121 3.3 Lineare Ungleichungen Äquivalenzumformungen bei Ungleichungen a) Addition und Subtraktion Beispiel: Ungleichung 2 < 5 wahre Aussage Addition von 4 auf beiden Seiten: < < 9 wahre Aussage Bemerkung: Eine wahre Aussage bleibt bei einer Äquivalenzumformung eine wahre Ausage. Beachten Sie: Man darf auf beiden Seiten einer Ungleichung die gleiche Zahl addieren bzw. subtrahieren. b) Multiplikation und Division Beispiel: Ungleichung 2 < 5 wahre Aussage Multiplikation mit 4 (> 0) 2 (4) < 5 (4) 8 < 20 wahre Aussage Multiplikation mit ( 4) (< 0) 2 ( 4) > 5 ( 4) 8 > 20 wahre Aussage Bemerkung: Um bei Multiplikation mit einer negativen Zahl eine wahre Aussage zu erhalten, muss man das Ungleichheitszeichen umdrehen. Beachten Sie: Man darf beide Seiten einer Ungleichung mit derselben positiven Zahl multiplizieren bzw. durch dieselbe Zahl dividieren mit derselben negativen Zahl multiplizieren bzw. durch dieselbe Zahl dividieren, wenn man das Ungleichheitszeichen umkehrt. Beispiel: Bestimmen Sie die Lösungsmenge der Ungleichung x 2 < 1; x Z. Äquivalenzumformung x 2 < 1 x < 3 Lösungsmenge in aufzählender Form: L = {...; 2; 1; 0; 1; 2} Lösungsmenge in beschreibender Form: L = {x x Z x < 3} Alle ganzen Zahlen kleiner als 3, machen die Ungleichung zu einer wahren Aussage. 121

122 Beispiel: Gegeben ist die Ungleichung 2x + 5 > 8; x Q. Bestimmen Sie die Lösungsmenge der Ungleichung und geben Sie eine Lösung an. Äquivalenzumformungen: 2x + 5 > 8 5 2x > 3 : 2 x > 1,5 Lösungsmenge L = {x x Q x >1,5} Veranschaulichung der Lösungsmenge an der Zahlengeraden: Einsetzen einer Zahl aus der 0 ] 1,5 L Lösungsmenge, z. B. x = 3 (3 L) > 8 (wahre Aussage) Beispiel: Gegeben ist die Ungleichung 4x + 7 < 2(x 3); x Q. Bestimmen Sie die Lösungsmenge der Ungleichung. Äquivalenzumformungen: 4x + 7 < 2(x 3) 4x + 7 < 2x + 6 2x + 7 < 1 2x < 1 Ungleichheitszeichen < umkehren zu >: Lösungsmenge L = { x x Q x > 1 2 } Beachten Sie: x > 1 2 Beim Multiplizieren mit einer negativen Zahl oder beim Dividieren durch eine negative Zahl dreht sich das Ungleichheitszeichen um. 122 Beispiel: Gegeben ist die Ungleichung 2 3 x 5 3x; x Q. 2 Bestimmen Sie die Lösungsmenge der Ungleichung. Beide Seiten mit dem Hauptnenner 6 multiplizieren Ungleichheitszeichen umdrehen x Lösungsmenge L = { x x Q x } 2 3 x 5 3x 4x 15 18x 2 14x 15

123 Beispiel: Gegeben ist die Ungleichung x +3 3x ; x Q. Bestimmen Sie die Lösungsmenge L der Ungleichung. Stellen Sie L an der Zahlengeraden dar. Mit Hauptnenner multiplizieren x +3 3x (x+3) 3(3x 5) Terme mit x auf eine Seite 21 7x bzw. 7x 21 Lösung 3 x bzw. x 3 Lösungsmenge L = {x x Q x 3} ] Darstellung an der Zahlengeraden 0 L 3 Beachten Sie: bedeutet größer oder gleich (> oder =) bedeutet kleiner oder gleich (< oder =) Übungsaufgabe Entscheiden Sie, ob eine wahre (w) oder falsche (f) Aussage vorliegt < > ( 4) < ( 1) (3 8) 1.5 3( 2 2) > 5(1 3) 1.6 ( 2) 2 < 0 2. Bringen Sie folgende Ungleichungen auf ihre einfachste Form. Bestimmen Sie die Lösungsmenge. 2.1 x 5 > > x < x x x x x x 36 + x x 1 3. Bestimmen Sie die Lösungsmenge folgender Ungleichungen (G = Q) x < x x + 1 < x 3.3 3x x (x 3) (8 7x) > (x 4) < 3(4 x) 2 4. Bringen Sie folgende Ungleichungen auf ihre einfachste Form. Geben Sie jeweils zwei Lösungen an (x 5) > 2(x 4) 4.2 4(x 5) > 2(x 4) 4.3 (x 1)(x +1) > (x + 1)(x +2) 4.4 (2x 1)(x 2) > (x 5) 2x 5. Gegeben ist die Ungleichung 5(2x +7) < 12. Welche der Zahlen 0; 3,2; 4; 2,3 gehören zur Lösungsmenge der Ungleichung? 6. Lösen Sie die Ungleichung 2(3x +8) < 4x Geben Sie diejenigen natürlichen Zahlen an, die Elemente der Lösungsmenge sind. 123

124 7. Lösen Sie die folgenden Ungleichungen. Veranschaulichen Sie die Lösungsmenge an der Zahlengeraden 2 x 7.1 x x (x 6) < (x 3) 5( ) x x (x 5) > x + < (3 + 4x) x x < 2(x 2) < x 4,5 > x (1 2x) 2 > 2(x 3) (3x + 5) x 3 1 (3x 5) x (2x 4) + x 4 < 5(1 x) 2x x Ein Schüler löst die Ungleichung 1 + x 2 > 1 folgendermaßen: 1+ x > 2 x > 3 Probe mit x = 1 ergibt eine falsche Aussage. Wo liegt der Fehler? 9. Von welchen ganzen Zahlen ist der dritte Teil, vermindert um 3 höchstens 2? 10. Bestimmen Sie die natürlichen Zahlen, deren Vierfaches vermindert um 3, höchstens so groß ist wie die um 7 vermehrte Zahl. 11. Von welchen natürlichen Zahlen ist das Dreifache kleiner als die um 15 vermehrte Zahl? 12. Die monatlichen Kosten in Euro für x kwh beim Stromanbieter A lassen sich berechnen durch y A = 0,195x + 21,35, beim Anbieter B durch y B = 0,265x + 18,45. Für welchen Verbrauch ist Stromanbieter B günstiger? 13. Die Kaffesorte A kostet 3,50 EUR pro kg, die Kaffesorte B kostet 4,50 EUR pro kg. Wie viel Kaffee kann man von jeder Sorte kaufen, wenn höchstens 100,00 EUR ausgegeben werden können und von der billigeren Sorte mindestens doppelt so viel gekauft werden soll wie von der teuren. Geben Sie eine mögliche Lösung an. 14. Für welche positiven x-werte gilt: 2x + 1 x < 2,001? 15. Von welchen rationalen Zahlen ist der dritte Teil, vermehrt um 1, höchstens 3? Der Term K = 0,85x + 24 liefert die Kosten bei der Produktion von x Stück einer Ware. Der Erlös berechnet sich mit der Gleichung E = 1,45x Berechnen Sie Kosten, Erlös und Gewinn, wenn 60 Stück produziert und verkauft werden Ab welcher Stückzahl erzielt die Firma einen Gewinn? 124

125 3.4 Verhältnisgleichungen Beispiel: Judith gibt 3 ihres Taschengeldes für ihr Handy aus. Man sagt: Die Handy-Ausgaben und die 4 Höhe des Taschengeldes verhalten sich wie 3 : 4. Judith hat 50,00 EUR Taschengeld. Wie hoch sind dann ihre Handy-Ausgaben x? Gesucht ist also die Zahl x sodass gilt: x : 50 = 3 : 4 oder x 50 = 3 4 x Eine Gleichung der Form 50 = 3 heißt Verhältnisgleichung. 4 Äquivalente Darstellung ohne Brüche x 4 = 3 50 (Produktgleichung) x = 37,50 Antwortsatz: Ihre Handy-Ausgaben betragen 37,50 EUR. Beachten Sie: Eine Gleichung der Form a : b = c : d (gleichbedeutend mit a b = c ) heißt Verhältnisgleichung oder d Proportion. Beispiel: Gegeben ist die Verhältnisgleichung 4 : 6 = x : 8. Bilden Sie die Produktgleichung und lösen Sie. Multiplikation mit dem Hauptnenner 4 : 6 = x : = x 48 8 ergibt eine Produktgleichung 4 8 = x 6 32 = x 6 : = x Jede Verhältnisgleichung lässt sich in eine Produktgleichung umformen. Beispiel: Gegeben ist die Verhältnisgleichung 5 : x = 3 : 36. Bilden Sie die Produktgleichung und bestimmen Sie die Lösungsmenge. Multiplikation mit dem Hauptnenner 5 : x = 3 : 36 5 x = x ergibt eine Produktgleichung 5 36 = x 3 : 3 60 = x Lösungsmenge L = {60} Probe: 5 60 = = 1 12 wahre Aussage 125

126 Übungsaufgabe Geben Sie Beispiele für Zahlenverhältnisse an. 2. Bilden Sie zu folgenden Verhältnisgleichungen die Produktgleichungen. Geben Sie die Lösung an. 2.1 x : 14 = 5 : x : 12 = ( 9) : x = x : 11 = 17 : x 16 6 = x x+1 x = 7 5 Textaufgaben Bei vielen Textaufgaben spielen Verhältnisse (Proportionen) eine wichtige Rolle. Dabei gibt es zwei Möglichkeiten, derartige Aufgaben zu lösen. 1. mithilfe des Dreisatzes 2. mithilfe einer Verhältnisgleichung. Beispiel: Ein Lkw verbraucht auf einer Strecke von 60 km 10 Liter Diesel. Wie hoch ist der durchschnittliche Verbrauch je 100 km? Verbrauch in Liter Streckenlänge in km Verhältnis x = x 20 = Man stellt fest: 126 Das Verhältnis der Dieselmengen ist gleich dem Verhältnis der gefahrenen Strecken: Verbrauch 1 gefahrene Strecke 1 = Verbrauch 2 gefahrene Strecke 2 Man legt fest: Die gefahrenen Strecken verhalten sich proportional zur verbrauchten Dieselmenge. Für die doppelte Strecke verbraucht er doppelt so viel Diesel. Beide Größen verändern sich in gleichem Maße. Man spricht von direkter Proportionalität. Man setzt x: Dieselmenge für 100 km Dann gilt die Verhältnisgleichung x 10 = x = ,6 6 Ergebnis: Der durchschnittliche Verbrauch je 100 km beträgt ca. 16,6 Liter Diesel.

127 Beispiel: 12 laufende Meter Teppich kosten 180,00 EUR. Was kosten dann 1,25 Meter? Wir legen fest: x = Preis für 1,25 m Läufer. Gegeben: 180,00 EUR für 12 m Gesucht: x EUR für 1,25 m Preise und Mengen verhalten sich proportional (direkte Proportionalität). Ansatz mithilfe einer Verhältnisgleichung x 180 = 1,25 12 x = 22,50 Ansatz mithilfe einer Produktgleichung x 12 = 180 1,25 x = 22,5 Ergebnis: 1,25 Meter Teppich kosten 18,75 EUR. Beispiel: Sechs Arbeiter heben eine Grube in 18 Tagen aus. Wie lange brauchen fünf Arbeiter für die gleiche Arbeit? Dauer in Tagen Anzahl der Arbeiter Verhältnis x = 3 6 x 12 = 9 5 Man stellt fest: Das Verhältnis der Anzahl der Tage ist gleich dem umgekehrten Verhältnis der zugehörigen Anzahl der Arbeiter: Anzahl der Tage 1 Anzahl der Tage 2 = Anzahl der Arbeiter 2 Anzahl der Arbeiter 1 Man legt fest: Die Anzahl der Arbeitstage verhält sich umgekehrt proportional zur Zahl der Arbeiter. Für die gleiche Arbeit brauchen weniger Arbeiter eine entsprechend längere Zeit. Beide Größen verändern sich entgegengesetzt. Man spricht von indirekter (um gekehrter) Proportionalität. Wir legen fest: x: Anzahl der Tage, die 5 Arbeiter benötigen. Gegeben: 18 Tage für 6 Arbeiter Gesucht: x Tage für 5 Arbeiter Ansatz mithilfe einer Verhältnisgleichung x 18 = 6 5 x = 21,6 Ansatz mithilfe einer Produktgleichung x 5 = 6 18 x = 21,6 Ergebnis: Fünf Arbeiter brauchen für die gleiche Arbeit 21,6 Tage. 127

128 Beispiel: Für die Polsterung eines Sessels sind 3,30 m Stoff bei einer Breite von 1,40 m nötig. Wie viel Meter Stoff sind erforderlich bei einer Breite von 1,50 m? Wir legen fest: x = Meterzahl bei einer Breite von 1,50 m. Gegeben: 3,30 m bei einer Breite von 1,40 m. Gesucht: x m bei einer Breite von 1,50 m. Meterzahl und Breite verhalten sich umgekehrt proportional (indirekte Proportionalität). x Ansatz mithilfe einer Verhältnisgleichung 3,30 = 1,40 1,50 x = 3,08 Ergebnis: Bei einer Breite von 1,50 m braucht man 3,08 m Stoff. Beachten Sie zur Lösung von Textaufgaben mit Proportionalitäten: Was ist gegeben? Was ist gesucht? Festlegung der Variablen Frage klären, ob eine direkte (z. B.: Doppelte Strecke bedeutet doppelten Verbrauch.) oder indirekte (Doppelte Anzahl von Arbeitern bedeutet halbe Arbeitszeit.) Proportionalität vorliegt Aufstellen einer Verhältnisgleichung Verbrauch 1 gefahrene Strecke 1 z. B.: = Verbrauch 2 gefahrene Strecke 2 ; Preis 1 Preis 2 = Menge 1 Menge 2 ; Anzahl 1 Anzahl 2 = Dauer 2 Dauer 1 Auflösen nach der Unbekannten x. Übungsaufgabe Sechs Meter (m) eines Vorhangstoffes kosten 25,00 EUR. Wie viel kosten dann 11 m? kg Zucker kosten 1,35 EUR. Wie teuer sind dann 5 kg Zucker? 3. Ein Großmarkt bezieht eine Wagenladung Blumenerde mit einem Gesamtgewicht von kg zu 376,80 EUR. Wie viel kostet ein Sack mit 8 kg Gewicht? 4. Ein Pkw-Fahrer tankt für 60,48 EUR Benzin. Wenn er 25 l mehr tanken würde, müsste er 91,68 EUR bezahlen. Wie viel Benzin hat er ursprünglich getankt? Was kostet ein Liter Benzin? Wie viel Liter kann er für 100,00 EUR tanken? 5. Frau Hansen erhält als Bürokraft für 26 Arbeitsstunden einen Nettolohn von 270,40 EUR ausbezahlt. In der folgenden Woche arbeitet sie 34 Stunden. Mit welchem Nettolohn kann sie rechnen? 6. Vom einem 90 cm breiten Stoff braucht der Raumausstatter 4,35 m für einen Sessel. Wie viel Meter sind nötig, wenn der Stoff 1,30 m breit ist?

129 7. Der Lebensmittelvorrat einer Berghütte reicht 23 Tage, wenn der Wirt mit 8 Gästen pro Tag rechnet. Wie viel Tage würde er mit seinen Vorräten auskommen, wenn er täglich mit 30 Gästen rechnet? 8. Ein Kunde tauscht Schrauben um. Er hatte 120 Stück zu je 7,5 Cent gekauft. Dafür nimmt er jetzt solche zu je 4,5 Cent. Wie viele Schrauben erhält er? 9. Ein 28-Zoll-Rad macht auf einer bestimmten Strecke 480 Umdrehungen. Füllen Sie die Tabelle aus. Durchmesser in Zoll Anzahl der Umdrehungen Bei einem Sonderangebot werden am ersten Verkaufstag 126 Paar Schuhe für insgesamt 1 247,40 EUR verkauft. Welcher Betrag kann am zweiten Tag höchstens eingenommen werden, wenn noch 86 Paar Schuhe vorrätig sind? 11. Um eine Straße zu planieren, brauchen 6 Planierraupen 15 Tage. In welcher Zeit können 10 Raupen diesen Auftrag ausführen? 12. Ein Bauunternehmer rechnet damit, dass der Rohbau eines Hauses von 12 Maurern in 18 Tagen erstellt wird. Für die Einsatzplanung seiner Maurer hat er sich eine Tabelle erstellt, die aber Lücken aufweist. Füllen Sie die Tabelle aus. Fertigstellung in x Tagen Anzahl der Maurer Ein Büro wird tapeziert. Dazu benötigt man 40 m einer Tapete, die 60 cm breit ist. Wie viel Meter einer Tapete benötigt man, wenn die Tapete nur in 75 cm Breite geliefert wird. 14. Studentin Claudia rechnet aus, dass ihre Reisekasse bei täglichen Ausgaben von 29,00 EUR für 365 Tage ausreicht. Um wie viel Tage kann sie ihre Reise verlängern, wenn sie täglich nur 25,00 EUR ausgibt? 15. Herr Merk kauft 12 Flaschen Wein. Kauft er 52 Flaschen ein, so muss er 200,00 EUR mehr bezahlen. Wie viel hat Herr Merk ursprünglich bezahlt? Was kostet eine Flasche Wein? 129

130 3.5 Lineare Gleichungssysteme Schon vor Jahren entstand in Persien folgende Aufgabe zur Berechnung eines Rechtecks. Ein Viertel der Breite zur Länge addiert, ergibt sieben Handbreiten, Länge und Breite addiert macht zehn Handbreiten. Das Problem besteht darin, dass weder Breite noch Länge, z. B. eines rechteckigen Tuches, bekannt sind. Länge und Breite wurde damals in Handbreiten gemessen. Für die Länge setzen wir die Variable x, für die Breite die Variable y. Man drückt die beiden Aussagen in zwei Gleichungen aus. 1 Ein Viertel der Breite x zur Länge y addiert ergibt 7 Handbreiten: 4 x + y = 7 Länge und Breite addiert ergibt 10 Handbreiten: x + y = 10 Die beiden Gleichungen bilden ein Lineares Gleichungssystem (LGS). 1 4 x + y = 7 f b h LGS x + y = 10 b j Gesucht sind nun zwei Zahlen für x bzw. für y, die beide Gleichungen erfüllen. Wählt man 8 für x und 5 für y, so wird die erste Gleichung erfüllt, die zweite aber nicht = 7 w. A. aber = 10 f. A. 4 Wählt man 2 für x und 8 für y, so wird die zweite Gleichung erfüllt, die erste aber nicht. Prüfen Sie durch Einsetzen nach. Wählen wir jedoch 4 für x und 6 für y, so sind beide Gleichungen erfüllt: = 7 w. A. und = 10 w. A. 4 Man sagt: Das Zahlenpaar (4; 6) ist eine Lösung des linearen Gleichungssystems. Bemerkung: Das Zahlenpaar (6; 4) ist keine Lösung, denn hier steht die Zahl 6 für x und die Zahl 4 für y. Lösung als Zahlenpaar: (4; 6) oder als Lösungsmenge: L = {(4; 6)} Antwortsatz: Das Rechteck hat eine Breite von 4- und eine Länge von 6 Handbreiten. Übungsaufgabe Welche der Zahlenpaare (1; 1), (1; 12), (0; 6); ( 1; 0); ( 1,4; 2,4); (0,3; 0,25) sind Lösungen der Gleichung 3x 0,5y = Welche der Zahlenpaare ( 1; 0), (1; 12), ( 7; 4); (4; 7); (0; 0,3); (9,5; 7) sind Lösungen des LGS: x + 1,5y = 1 und 2 x 0,5y = Bestimmen Sie ein LGS mit den Variablen x und y, sodass das LGS das Zahlenpaar (2; 3) als Lösung hat. 130

131 3.5.1 Gleichsetzungsverfahren Beispiel: Lösen Sie das folgende lineare Gleichungssystem (LGS): y = 2x 4 y = 1 2 x Erklärung: ist das Zeichen für und. Gleichsetzen 2x 4 = 1 2 x Dadurch erhält man eine Gleichung mit der Unbekannten x, die man lösen kann. Mit 2 multiplizieren 2x 4 = 1 2 x x 8 = x + 1 x auf eine Seite 3x = 9 x = 3 Berechnung von y durch Einsetzen von x = 3 in eine der beiden Gleichungen y = 2 ( 3) 4 = 2 Ergebnis: x = 3 y = 2 Lösung als Zahlenpaar ( 3; 2) oder als Lösungsmenge: L = {( 3; 2)} Das LGS hat genau eine Lösung. Bemerkung: Da man bei diesem Lösungsverfahren die y-werte gleichsetzt, spricht man vom Gleichsetzungsverfahren. Beispiel: Lösen Sie das folgende lineare Gleichungssystem (LGS): b = 0,5a + 2 a 0,5b = 0,5. Auflösen der 2. Gleichung nach b: a 0,5b = 0,5 b = 2a + 1 Gleichsetzen: b = b 0,5a + 2 = 2a + 1 Sortieren 1 = 1,5a a = 2 3 Berechnung von b durch Einsetzen von a = 2 3 in eine der beiden Gleichungen b = 0, = 7 3 a = 2 3 b = 7 3 Übungsaufgabe 68 Lösen Sie die folgenden linearen Gleichungssysteme: 1. y = x + 3 y = 2x 7 2. y = 1 2 x + 3 y = 1 2 x b = 2a a 5b = 1 4. a + b + 1 = 0 a 4b 3 = 0 131

132 3.5.2 Einsetzungsverfahren Beispiel: Lösen Sie folgendes Gleichungssystem: y = 2x 4 x + 2y = 1 Den y-wert von Gleichung y = 2x 4 setzt man in die Gleichung x + 2y = 1 ein: x + 2( 2x 4) = 1 Dadurch erhält man eine Gleichung mit der Unbekannten x, die man lösen kann. Klammer auflösen x 4x 8 = 1 3x 8 = x = 9 : ( 3) x = 3 Einsetzen von x = 3 in eine der beiden Gleichungen, z. B. in y = 2x 4, ergibt y = 2 ( 3) 4 = 2 Lösungsmenge L = {( 3; 2)} Bemerkung: Dieses Gleichungssystem kann man mit dem Gleichsetzungsverfahren lösen. y = 2x 4 (I) y = 1 2 x + 1 (II) Gleichung (II) wurde nach y aufgelöst. 2 Beispiel: Lösen Sie folgendes Gleichungssystem: 3y 4x = 17 x = 4y 1 Den x-wert von Gleichung x = 4y 1 setzt man in die Gleichung 3y 4x = 17 ein: 3y 4(4y 1) = 17 Man erhält eine Gleichung mit einer Unbekannten y, die man lösen kann. Klammer auflösen 3y 16y + 4 = y = 13 y = 1 Einsetzen von y = 1 in eine der beiden Gleichungen, am einfachsten in Gleichung x = 4y 1, ergibt den x-wert: x = 4 ( 1) 1 = 5 Lösung des LGS: x = 5 y = 1 Übungsaufgabe 69 Lösen Sie folgende Gleichungssysteme. 1. y = 8x 6 2. y = 1 x x + 4y = 10 3x + 5y = 7 x = 2y + 5 3y = 6x

133 3.5.3 Additionsverfahren Beispiel: Lösen Sie das folgende Gleichungssystem: 3x 2y = 14 x + y = 2 Beachten Sie: Jedes Verfahren zur Lösung eines Gleichungssystems hat das Ziel, eine Gleichung mit einer Unbekannten zu erhalten. Um dies zu erreichen, multipliziert man eine Gleichung mit einem Faktor, sodass bei der Addition der beiden Gleichungen eine Unbekannte wegfällt. Additionsverfahren: 3x 2y = 14 Gleichung x + y = 2 mit 2 multiplizieren 2x + 2y = 4 Addition der linken Seiten 3x 2y = 14 + bzw. der rechten Seiten ergibt 2x + 2y = 4 eine Gleichung mit der Unbekannten x: 5x = 10 x = 2 Einsetzen von x = 2 in eine der beiden Gleichungen, z. B. in x + y = 2, ergibt 2 + y = 2 y = 4 Lösung des LGS: x = 2 y = 4 Beispiel: Lösen Sie das folgende Gleichungssystem: 3x 6y = 12 (I) 4x + 5y = 3 (II) Gleichung (I) mit 4 multiplizieren, 3x 6y = 12 (4) Gleichung (II) mit ( 3) multiplizieren 4x + 5y = 3 ( 3) Addition: 12x 24y = 48 12x 15y = 9 + Eine Gleichung mit der Unbekannten 39y = 39 : ( 39) Nach y auflösen y = 1 Einsetzen von y = 1 in die Gleichung (I) oder (II), z. B. in 4x + 5y = 3, ergibt 4x + 5 ( 1) = 3 4x = 8 x = 2 Lösung des LGS: x = 2 y = 1 133

134 Beispiel: Zwei Freunde kaufen CD- und DVD-Rohlinge. Karl kauft 10 CDs und 15 DVDs und zahlt 19,25 EUR. Hans kauft 12 CDs und 12 DVDs und zahlt 17,40 EUR. Berechnen Sie die Einzelpreise. Man setzt x: Preis für eine CD in Euro. Dann kosten z. B. 10 CDs 10 x. Man setzt y: Preis für eine DVD in Euro. Dann kosten z. B. 15 DVDs 15 y. Aufstellen von 2 Gleichungen 10x + 15y = 19,25 (I) 12x + 12y = 17,40 (II) Dies ist ein LGS für x und y. Lösung mit dem Additionsverfahren Gleichung (I) durch 5 2x + 3y = 3,85 + Gleichung (II) durch ( 4) 3x 3y = 4,35 Addition ergibt eine Gleichung mit der Unbekannten x: x = 0,50 x = 0,5 Einsetzen von x = 0,5 in die Gleichung (I) oder in die Gleichung (II) z. B. in 10x + 15y = 19,25 ergibt 10 (0,5) + 15y = 19,25 Nach y auflösen 15y = 14,25 y = 0,95 Das LGS hat die Lösung x = 0,5 und y = 0,95 Ergebnis: Ein CD-Rohling kostet 0,50 EUR, ein DVD-Rohling 0,95 EUR. Die Verfahren zur Lösung von linearen Gleichungssystemen im Überblick: y = 2x 4 y = 2x 4 3x 2y = 14 y = 0,5x + 0,5 x + 2y = 1 x + y = 2 Lösung durch Lösung durch Lösung durch Gleichsetzungsverfahren Einsetzungsverfahren Additionsverfahren Die Wahl des Lösungsverfahrens hängt davon ab, in welcher Form die Gleichungen gegeben sind. Übungsaufgabe Lösen Sie das folgende lineare Gleichungssystem x + 3y = x 3y = a + 3b = x + 2y = 1 5x 4y = 0 7a 3b = 1 2. Bestimmen Sie die Lösungsmenge. Machen Sie die Probe. 2.1 a + 3b = x 3 y 2 = a + b = 1 9 4a b = 1 3 5x 4y = 0 2a = 9b

135 3. Peter kauft 10 Stück vom Artikel A und 12 Stück von Artikel B und bezahlt 38,00 EUR. Kurt kauft 15 Stück vom Artikel A und 2 Stück von Artikel B und bezahlt 19,40 EUR. Bestimmen Sie die Einzelpreise. 4. Das Hotel Atos hat 26 Zimmer. Ein Einzelzimmer kostet 110,00 EUR, der Zimmerpreis für ein Doppelzimmer beträgt 130,00 EUR. Wie viele Einzelzimmer werden vermietet, wenn bei ausgebuchtem Haus die Einnahmen 3 100,00 EUR betragen? 5. Die Kosten der Abschlussfeier für die Schüler der beiden Wirtschaftsschulklassen betragen 210,00 EUR. Aufgrund des unterschiedlichen Einsatzes bei der Vorbereitung werden die Kosten verschieden verteilt. Zahlt jeder Schüler der a-klasse einen Betrag von 3,25 EUR, jeder Schüler der b-klasse einen Betrag von 3,50 EUR, so ergibt sich ein Fehl betrag von 25,00 EUR. Erhöht man die zu bezahlenden Beträge auf 4,00 EUR bzw. 4,50 EUR, so entsteht ein Überschuss von 22,50 EUR. Berechnen Sie die Anzahl der Schüler der a- und der b-klasse. 6. Die Summe von zwei natürlichen Zahlen beträgt 227. Die zweite Zahl ist doppelt so groß wie die um 1 verminderte erste Zahl. Ermitteln Sie die zwei Zahlen. 7. In einem Behälter werden 10 kg Farbmischung aus blauer und weißer Farbe hergestellt. Die Mischung enthält 7 kg weniger blaue als weiße Farbe. 7.1 Wie viel kg weiße und blaue Farbe sind in der Mischung? 7.2 Ein kg weiße Farbe kostet 8,50 EUR, ein kg blaue Farbe kostet 9,50 EUR. Berechnen Sie den Preis für die Farbmischung. 8. Die Kaffeesorte A kostet 3,50 EUR pro kg, die Kaffeesorte B kostet 5,00 EUR pro kg. Wie viel Kaffee kann man von jeder Sorte kaufen, wenn insgesamt 100,00 EUR ausgegeben werden können und von der billigeren Sorte doppelt so viel gekauft werden soll wie von der teuren? 9. Karin sagt zu Petra: Gib mir 3 deines Geldes, so habe ich 100,00 EUR. Darauf sagt Petra 4 zu Karin: Gib mir nur die Hälfte deines Geldes, so habe ich 100,00 EUR. Wie viel Geld haben beide? 10. Die Summe des Alters von Vater und Sohn ist doppelt so groß wie ihr Altersunterschied. In zehn Jahren wird der Vater doppelt so alt sein wie sein Sohn Legen Sie die Lösungsvariablen fest (x ist..., y ist...) Schreiben Sie beide Aussagen über das Alter mithilfe von mathematischen Gleichungen. Berechnen Sie die Lösung. 11. Die Gasrechnung setzt sich zusammen aus der monatlichen Grundgebühr und den Kosten für die verbrauchte Menge in m 3. Für den Monat Januar ergibt sich bei einem Verbrauch von 420 m 3 ein Rechnungsbetrag von 159,00 EUR. Die Gasrechnung für den Monat Mai über 285 m 3 belief sich dagegen nur auf 111,75 EUR. Berechnen Sie die monatliche Grundgebühr und den m 3 -Preis. 135

136 3.5.4 Lineare Gleichungssysteme mit unendlich vielen Lösungen Beispiel: Gegeben ist die Gleichung 2x 3y + 1 = Welche Zahlenpaare aus der Menge {(1; 1), (0; 1 1 ), ( ; 0), (2; 3)} sind Lösungen? Bestimmen Sie eine Lösung mit x = Bestimmen Sie eine Lösung mit y = 12. Zu 1.: Mit der Wahl 1 für x und 1 für y wird die Gleichung erfüllt: = 0 eine wahre Aussage. (1; 1) ist Lösung bzw. x = 1 und y = 1 ist eine Lösung. Mit der Wahl 0 für x und 1 1 für y wird die Gleichung erfüllt: (0; ) ist Lösung. 3 3 Einsetzen vom für x und 0 für y ergibt = 0 falsche Aussage, d. h. ( ; 0) ist keine Lösung. Bemerkung: ( 1 1 ; 0) (0; ) geordnete Paare 3 3 Einsetzen vom 2 für x und 3 für y ergibt ( 3) + 1 = 0 falsche Aussage, d. h. (2; 3) ist keine Lösung. Zu 2.: Einsetzen vom 5 für x ergibt 2 ( 5) 3y + 1 = 0 Auflösen nach y: 3y = 9 y = 3 x = 5 und y = 3 ist eine Lösung. Zu 3.: Einsetzen vom 12 für y ergibt 2x 3 (12) + 1 = 0 Auflösen nach x: 2x = 35 x = 17,5 x = 17,5 und y = 12 ist eine Lösung. Für jede Wahl einer Variablen (z. B. von x) erhält man durch Einsetzen genau einen Wert für die zweite Variable (für y). Die Gleichung 2x 3y + 1 = 0 hat unendlich viele Lösungen. Um alle Lösungen zu erhalten, wählt man eine Hilfsvariable t für x: x = t Einsetzen ergibt 2t 3y + 1 = 0 Lösungen der Gleichung x = t; y = 2 3 t für t Q 3y = 2t + 1 y = 2 3 t Lösungsmenge L = {(t; 2 3 t + 1 ); t Q} 3 Bemerkung: Für t darf jede beliebige Zahl aus Q eingesetzt werden. Wählt man für t eine Zahl, so erhält man eine Lösung. Z. B.: t =1 ergibt durch Einsetzen y =1 und damit die Lösung (1; 1). 136

137 Beispiel: Gegeben ist das folgende Gleichungssystem (LGS): 3x 2y = 14 (I) 6x 4y = 28 (II). Bestimmen Sie die Lösungsmenge. Bestimmen Sie eine Lösung mit x = 5. Addition der beiden Gleichungen 3x 2y = 14 (I) + 6x 4y = 28 (II) ergibt 0x + 0y = 0 Diese Gleichung ist eine wahre Aussage für alle x; y Q. Die Gleichung 3x 2y = 14 mit 2 Unbekannten ist mehrdeutig lösbar: Wir wählen z. B. x = 1 und erhalten durch Einsetzen: y = 5,5 oder: x = 0 und erhalten durch Einsetzen: y = 7 Um alle Lösungen zu erhalten, setzt man: x = t, t Q (x ist frei wählbar). Durch Einsetzen berechnet man y in Abhängigkeit von t : 3t 2y = 14 2y = 3t 14 y = 1,5t 7 Lösung des LGS: x = t y = 1,5t 7 oder Lösungsmenge L = {(t; 1,5t 7), t Q} Das LGS hat unendlich viele Lösungen, es ist mehrdeutig lösbar. Lösung mit x = 5 Man wählt für x = t = 5 und man erhält für y: y = 1,5 5 7 = 0,5 Gesuchte (5; 0,5) Übungsaufgabe Bestimmen Sie drei verschiedene Lösungen der Gleichung 4x y = Lösen Sie das folgende lineare Gleichungssystem. 2.1 x 4y = x y = a + 3b = 3 4x + 16y = 0 5x + 2,5y = a b = 1 3. Bestimmen Sie einen Wert für a, sodass das lineare Gleichungssystem mehrdeutig lösbar ist x 4y = x 2y = ax 3y = 4 x + 2y = a x + ay = 3 3x 9y = Ergänzen Sie die unvollständig angegebene Gleichung so, dass das LGS mehrdeutig lösbar ist x 4y = ,5x 2y = x 7y = 6... = y = = 2 137

138 4 Potenzrechnung Die Fläche A eines Quadrates mit Seitenlänge a = 6 cm beträgt A = 6 6 = 36 (cm 2 ). Kurzschreibweise 6 6 = 6 2 Das Volumen V eines Würfels mit Seitenlänge a = 6 cm beträgt V = = 216 (cm 3 ). Kurzschreibweise = 6 3 Beispiel: Die Formel für die Berechnung des Flächeninhaltes eines Quadrats mit der Seitenlänge a lautet A = a 2. Ein Quadrat mit der Seitenlänge a = 4 hat somit den Inhalt A = 4 2 = 4 4. Wie berechnet man 4 3 ; 4 4 ; 4 5? 4 3 = = = = nennt man eine Potenz zur Grundzahl (Basis) 4 mit der Hochzahl (Exponent) 5. Der Potenzwert ist das Ergebnis der Rechnung. 4.1 Definition der Potenz Potenz Potenz = 4 5 Hochzahl oder Exponent gleiche Faktoren Basis oder Grundzahl Bemerkungen: 4 5 bedeutet, die Basis 4 wird mit der Hochzahl 5 potenziert, daher nennt man 4 5 eine Potenz. Die Potenz 4 5 ist die Kurzschreibweise für Für die Basis darf man alle Zahlen wählen. Ist die Hochzahl n eine natürliche Zahl (n N#), und setzt man für die Basis den Buchstaben a, so gilt: a n = a a a... a. Dabei ist n die Anzahl der Faktoren a n Beispiele: 5 4 = = 625 p p p = p 3 ( 7) 2 = ( 7)( 7) = 49 = 7 2 ( 7)( 7)( 7) = ( 7) 3 = 343 = = = 75; Zuerst Potenzieren! vgl. (3 5) 2 = (3 5)(3 5) =

139 Übungsaufgabe Schreiben Sie kürzer x x x 1.4 (a + b)(a + b) 1.5 (a + b) + 2(a + b) 1.6 a b b 2. Schreiben Sie ausführlich x x 3 3. Berechnen Sie. Wo liegt der Unterschied? ; ; ; ; 2 5; 5 2 ; ; ; (2 3) 2 ; ( 2 3) 2 ; Berechnen Sie. Finden Sie eine Regel ; ( 4) ( 3) 2 ; ( 1) ( 3x) 4 ; ( 2a) Addition und Subtraktion von Potenzen Potenzen mit gleicher Basis und gleicher Hochzahl (gleiche Potenzen) Beispiele: = 11 5 x x 2 = 11 x x 3 4 x 3 = 7 2 x 3 Eine Zusammenfassung ist möglich. Verschiedene Potenzen Beispiele: 5 x x 3 Eine Zusammenfassung ist nicht möglich. 5 (2x) x 2 4x = 5(4 x 2 ) 8 x x = 12 x 2 4x + 6 Beachten Sie: Man kann nur Potenzen mit gleicher Grundzahl und gleicher Hochzahl zusammenfassen. Dabei gilt die Rechenregel: Potenzrechnung vor Punktrechnung vor Strichrechnung. Beispiele: 6 a 2 a a 2 3 a 4 = 10 a 2 4 a 4 4 x 2 2( x 4 + x 2 ) + 2 = 6 x 2 2 x Übungsaufgabe 73 Vereinfachen Sie, soweit möglich a 2 12 a b 4 b b x 7 8 x 7 x a 5 2( a 2 ) 3 a 5 9 a s 2 + (2s) 2 + (3s) x 4 + x 3 ( x x 3 ) 1.7 x n + x n 1.8 ( 2b) 3 b 3 6 b a x 3 + b x 3 139

140 4.3 Multiplikation von Potenzen Multiplikation von Potenzen mit gleicher Basis Beispiele: = (2 2 2) ( ) = = = = 2 7 a 2 a 3 = (a a)(a a a) = a = a 5 1. Potenzgesetz: Potenzen mit gleicher Basis werden multipliziert, indem man die gemeinsame Basis mit der Summe der Hochzahlen potenziert. Beispiele: a n a m = a n + m ; n, m N = = 3 11 ( 7) 4 ( 7) 5 = ( 7) = ( 7) 9 = = = = 5 5 a 1 = a a 2 a = a 2 a 1 = a 3 x 3 x 2 = x 3 +2 = x 5 x n x = x n x 1 = x n + 1 e x e 5 = e x x+1 = 10 x 10 1 = 10 x 10 ( a 2 + a 3 ) a 4 = a 5 + a 7 a 8 + a 6 a 4 = a 4 ( a 4 + a 2 1) Beachten Sie: ( 5) 4 = 5 4, aber ( 5) 3 = 5 3 ( 5) n = 5 n für n gerade; ( 5) n = 5 n für n ungerade; n N* 1 n = 1; 0 n = 1; n N* 140 Übungsaufgabe Vergleichen Sie: ( 3) 2 ; ( 3) 3 ; ( 3) 4 ; ( 1 3 ) 3 ; ( 1 3 )2; 3 3 ; Vereinfachen Sie. 2.1 a 5 (a 4)+ a a 2 + 3a(a + 1) 2.3 a x n + 4 x n x 4 x 4 x 3 (x+2) 2.5 2( ab) 2 3 a 2 b a p 3 + b p 3 3. Vereinfachen Sie. 3.1 t 3 t 4 t 5 ( t 2 +1) 3.2 x 2 x 3 x a k a 4 a 3.4 b n b (x +1) 4 (x + 1) 5 (x + 1) 3.6 ( x 3 ) 4 ( x 3 ) Vereinfachen Sie. 4.1 a 3 ( a 2 a) 4.2 x 2 ( x 6 x 2 1) 4.3 3a ( a 2 3 a a 4 ) 5. Klammern Sie die höchste Potenz aus. 5.1 a 7 a x 6 4 x 4 12 x a 2 2 a 3 + a 4 4

141 Multiplikation von Potenzen mit gleicher Hochzahl, aber verschiedener Basis Beispiele: = = (2 5)(2 5)(2 5) = (2 5) 3 = 10 3 a 2 b 2 = a a b b = (a b)(a b) = (a b) 2 2. Potenzgesetz: Potenzen mit gleicher Hochzahl und verschiedener Basis werden multipliziert, indem man das Produkt der Grundzahlen mit der gemeinsamen Hochzahl potenziert: a n b n = (a b) n ; n N* Beispiele: = (3 5) 4 = 15 4 = ( 1 5 ) 5 = ( ) 5 = 2 5 = = (2 5) = = 30 2 = 900 ( 4) 2 ( 5) 2 = [( 4) ( 5)] 2 = 20 2 = 400 ( 2) = [ ( 2) 3] 2 = ( 6) 2 = 6 2 = 36 x 4 y 4 = (x y) 4 Übungsaufgabe Vereinfachen Sie , ( 1 6 ) ,3 6 ( 10 3 ) ( 3 4 ) ( 1 2 ) ( x 4 ) x ( 5 2 ) x n ( x 2 ) n x 1.10 ( 5) n ( 0,5) n 1.11 x 3 ( y) a 4 ( b) 4 2. Schreiben Sie ausführlich. 2.1 (2ab) ( 1 2 a) ( 2 3 x) 5 3. Schreiben Sie als Produkt. 3.1 a m a k x n Schreiben Sie als eine Potenz. 5. Schreiben Sie als eine Potenz. 5.1 a a 2 b a m 4 m k +1 3 k Vereinfachen Sie 6.1 a 2 a 3 6 a a (ab) a 4 b 4 + ( a 2 b 2 ) a 2 b 3 7b( ab) 2 + a 2 ( 2b) 3 7. Multiplizieren Sie aus und fassen Sie gegebenenfalls zusammen. 7.1 ab(5ab 6a) 7.2 (ab) 2 (4ab 5 a 2 b 2 ) 7.3 x 2 y 2 (6xy 7x) + x 2 (6(xy) 2 + 8x y 2 ) 141

142 4.4 Division von Potenzen Division von Potenzen mit gleicher Basis Beispiele: = 2 2 = = 2 3 = a 7 = a a a a a a a a 5 a a a a a = a a 1 = a 2 = a Potenzgesetz: Potenzen mit gleicher Basis werden dividiert, indem man die gemeinsame Basis mit der Differenz der Hochzahlen potenziert: a n a m = a n m ; a 0; n > m; n, m N* Beispiele: = = 7 1 = = 1 = = 7 0 a 8 = a 8 5 = a 3 7 a = a 7 7 = a 0 = 1 a 5 a 7 a 0 = 1 Sinnvolle Festlegung: a 0 = 1 e x e = e x 1 10 x x+5 10 = = 10 x+1 = x 10 4 e x 2 = e x e 2 n 1 e = e (n 1) 2 = e n 3 e 2 Übungsaufgabe Vereinfachen Sie (Der Nenner ist ungleich null.) x x a n a n+1 2. Vereinfachen Sie. a 12 a a 8 x 2n 5 x n 1.7 a n+1 a n e x+ 1 5 e x a 4 b n+3 a n b 2n x (t 3) 4 (3 t) ( b 4 b 6 + b 8 ) : b (6 x 2 8 x x 5 ) : (2 x 2 ) Schreiben Sie als Quotient. 3.1 a a m x m n a 2m 1 4. Vereinfachen Sie. x x (x 1) 4.2 x 3 4x 4

143 Division von Potenzen mit gleicher Hochzahl, aber verschiedener Basis Beispiele: 4 3 = 2 3 denn: 4 3 = ( ) 3 = 2 3 ( 3) 2 = ( 3 ( 5) 2 5 ) 2 denn: 2 ( 3) ( 3) ( 3) = 2 ( 5) ( 5) ( 5) = ( 3 5 ) 2 = ( 3 5 ) 2 4. Potenzgesetz: Potenzen mit gleicher Hochzahl und verschiedener Basis werden dividiert, indem man den Quotienten der Grundzahlen mit der gemeinsamen Hochzahl potenziert: n b n = ( a b ) n ; b 0; n a N* Beispiele: 10 2 = ( ) 2 = 2 2 = 4 ( 2) 3 = ( ) 3 = ( 2 5 ) 3 = = ( ) 3 = 4 3 = 64 x 2 9 = x 2 = ( x ) 2 Übungsaufgabe Vereinfachen Sie (Der Nenner ist ungleich null.) ( 0,2) ( 1 a b ) ( x 2 ) 3 : ( x 2,5 4 0, : 12 3 c 6 a a ( ) n 6 ( c) b b 3 ) 1.9 (10ab) k (4b) k (2x) n 1.10 x n x 3 : ( y) Schreiben Sie als eine Potenz x 3 ( 3a) 4 ( b) 4 16 x 4 y a 4 : Vereinfachen Sie soweit wie möglich. 3.1 (4x + 4) 3 (x + 1) ( a a) (a + 2) ( x 2 9 ) 4 ( x 3) 4 4. Vereinfachen Sie soweit wie möglich a 2 b ( a b ) 2 ( 5a b ) ( 2a 3b ) 3 a b 3 3 ( a b ) ( x y ) 2 ( 5x 2y ) 2 + ( x y ) 2 2 (3 x) 4 y 2 143

144 4.5 Potenzieren von Potenzen Beispiele: ( 5 3 ) 4 = = = = 5 12 ( a 6 ) 3 = a 6 a 6 a 6 = a = a 3 6 = a Potenzgesetz: Potenzen werden potenziert, indem man die Basis mit dem Produkt der Hochzahlen potenziert: ( a n ) m = a n m ; n, m N* Beispiele: ( 2 4 ) 3 = = 2 12 = ( 2 3 ) 4 ( a 0 ) 5 = 1 5 = 1 = ( a 5 ) 0 [( 2) 3 ] 4 = ( 2) 3 4 = ( 2) 12 = 2 12 ( 3x ) 5 = 3 5 x 5 = 243 x 5 ( xy z ) n = x n y n z n ( x n 3 ) 4 = x 4 (n 3) 4n 12 = x ( a x ) 2 = a 2x Übungsaufgabe Berechnen Sie. 1.1 ( 2 4 ) ( 5 2 ) ( 0,5 2 ) 2 0,5 ( 3 3 ) 2 2. Vereinfachen Sie. 2.1 ( b 1 ) (2 a 2 ) ( c 4 ) 3 6 c ( c n 1 ) ( x 2 y 3 z 2 ) (0,5 e x+2 ) (7 a 2 b 3 ) ( 1 c 3 ) 2n 2.9 (3 b n+1 c n 1 ) ( 12 x 5 y x 3 y ) ( 3 x 2 y 4 a b ) 2.12 (4ab) (6 a 2 ) 4 b 4 3. Schreiben Sie als Potenz mit der kleinstmöglichen Basis Schreiben Sie in der Form a b n n n n 1 5. Fassen Sie zusammen (4 x 3 ) 3 5 x (4 3 x ) x ( e 2x ) 2 + (2 e x ) 4 6 e 4x 6. Welche der Terme sind gleichwertig? ( a 2 ) 3 ; ( ( a) 2 ) 3 ; a 2 3 ; ( a 3 ) 2 144

145 4.6 Potenzen mit negativen ganzen Hochzahlen In der Technik schreibt man für die Einheit km h auch km h 1 oder für 100 Umdrehungen pro min auch 100 min 1. Bei der Division von Potenzen mit natürlichen Hochzahlen war die Einschränkung n > m für die Hochzahlen n und m wichtig. Was passiert, wenn man aber nun 7 3 berechnet? 7 4 Anwendung des 3. Potenzgesetzes a n a m = a n m für n > m: 7 3 = = für n = m: 7 3 = = 7 0 = für n < m: 7 3 = = 1 7 Anwendung des 3. Potenzgesetzes: = = 7 1 Man setzt 1 7 = 7 1, so gilt das 3. Potenzgesetz auch für negative Hochzahlen. Beispiele: 7 3 = = = Man setzt 1 = 7 2, 7 3 = = = = = 1 = = ; 3 = a 4 = a 4 5 = a 1 a 5 t 3 t 7 = t 3 7 = t 4 Sinnvolle Festlegungen: a 0 = 1; a 1 = 1 a ; a 2 = 1 (a 0) 2 a Beachten Sie: Den Quotienten 1 n kann man auch als Potenz mit negativer Hochzahl schreiben: a 1 a n = a n (a 0, n N*). a n ist der Kehrwert von a n. 145

146 Übungsaufgabe Schreiben Sie mit positiver Hochzahl und bestimmen Sie ( 2 3 ) ( 4 3 ) 3 2. Schreiben Sie mit positiver Hochzahl. 2.1 b x a x ( 2 y ) (a + b) 3 3. Schreiben Sie mit negativer Hochzahl und kleinstmöglicher Grundzahl Rechnen mit Potenzen mit negativen ganzen Hochzahlen Beispiele: a 2 a 3 = 1 a 3 = a 1 = a oder: a 2 a 3 = a 2+3 = a a = = = = 2 7 oder: 2 4 = 2 4 ( 3) = ( a 2 ) 3 = a 2 a 2 a 2 = a 6 oder: ( a 2 ) 3 = a 2 3 = a 6 Man erkennt: Alle fünf Potenzgesetze gelten auch für negative Hochzahlen. x = x 1 = x 1 3 = x = 5 2 = 1 x 3 x = = 3 = t (1 n) = t n t 1 n 3 2 ( x n x n + x n 2 ) : x 2 = ( x n x n + x n 2 ) x 2 = x n x n x n Übungsaufgabe Vereinfachen Sie (Nenner und Basis sind ungleich null.). 1.1 x 3 x a 2 a n a 5 a Vereinfachen Sie x 1 y Vereinfachen Sie. 3.1 ( 5 2 ) ( 3 x 2 ) ( x 4 y 3 ) 2 x y 2

147 Potenzgesetze Potenzen mit gleicher Basis a n a m = a n+ m 1 a n a m = a n m ; a 0 3 Potenzen mit gleicher Hochzahl a n b n = (a b) n 2 a n b n = ( a b ) n ; b 0 4 Potenzieren ( a n ) m = a n m 5 Die Hochzahlen m und n sind ganze Zahlen: n, m Z. Festlegung: a 0 = 1 für alle a, also auch 0 0 = = = 4 8 Hochzahlen addieren Grundzahl beibehalten 5 ( 4 3 ) 5 = = 4 15 Hochzahlen multiplizieren = ( ) 3 = ( 1 2 ) 3 Grundzahlen dividieren Hochzahl beibehalten Potenzrechnen = (4 5) 3 Grundzahlen multiplizieren Hochzahl beibehalten = = 4 2 Hochzahlen subtrahieren Grundzahl beibehalten 147

148 Übungsaufgabe zu Potenzen Vereinfachen Sie (Nenner und Basis sind ungleich null.). 1.1 c n c b b 3 b y 1 n y n y a 4 b 4 (a b 2 ) 4 x 1.5 y ( 2 a 2 ) 3 + (3 a 3 ) 2 2. Unterscheiden Sie x 3 ; ( 2x) ( x 2 ) 3 ; (4 x 2 ) 3 ; ( 4 x 2 ) a 3 a 2 ; a 3 + a 2 und ( a 3 ) 2 3. Multiplizieren Sie aus ( 2 2 ) x 2 ( 1 x ) 3 ( x 2 ) (3 x 2 ) (4x + 3 y 3 ) ( x x 4 ) x ( 3 n +1 ) 2 4. Vereinfachen Sie. 4.1 a 2 ( a 2 ) 2 + 3a ( 1 a ) ( 3 2 ) ( 1 3 ) ( x 2 x 3 ) 2 + ( 3 ) 1 x a 5 a a 2 a 4.5 a 4 a 6 3 a 3 a 5 + a x( x 2 1) x x 2 x 4x e 2 e x 1 3x +1 e e x e x+ 2 e 2x 3 e x+2 e 2x 3 5. Rechnen Sie die in der Klammer angegebene Einheit um ,5 m 3 ( cm 3 ) ,2 m 2 ( cm 2 ) mg (kg) 6. Berechnen Sie. 6.1 ( u 3 ) 2 ( u 2 ) ( u 2 ) 3 ( u 2 ) ( a 3 ) a 2 a 6 7. Setzt man 3 für x, so ergibt der Term x x den Wert 27 oder 27. Entscheiden Sie. 8. Stellen Sie den Term auf zwei verschiedene Arten dar. 8.1 a 2 ( a 3 + a 2 + a) 8.2 (ab) n a a 2 b + a b 2 a + b 9. Die mittlere Masse einer menschlichen Zelle beträgt kg. Wie viele Zellen besitzt ein 50 kg schwerer Mensch? 10. Die Bevölkerung eines Staates wächst um 1,5 % pro Jahr. Um wie viel nimmt die Einwohnerzahl bis 2025 zu, wenn die heutige Zahl (2011) 45,6 Millionen beträgt? 11. Ein Ball fällt aus 3,5 m Höhe auf den Boden. Nach jeder Bodenberührung erreicht er noch 80 % seiner jeweiligen Ausgangshöhe. Wie hoch springt der Ball noch nach 5 Bodenkontakten? 148

149 5 Die Binomischen Formeln 5.1 Multiplikation von Summen Beispiel: Gegeben ist ein Rechteck mit der Länge a und der Breite c + d. Bestimmen Sie den Flächeninhalt des angegebenen Rechtecks auf zwei verschiedene Arten. a c + d Rechnerische Lösung Flächeninhalt A = a(c + d) = a c + a d Geometrische Deutung c d a a c a d c + d Beispiel: Gegeben ist ein Rechteck mit der Länge a + b und der Breite c + d. Bestimmen Sie den Flächeninhalt des angegebenen Rechtecks auf zwei verschiedene Arten. a + b c + d Rechnerische Lösung Flächeninhalt A = (a + b)(c + d) A = ac + ad + bc + bd Geometrische Deutung c d a a c a d b b c b d c + d Beachten Sie: Man multipliziert zwei Summen, indem man jedes Glied der einen Summe mit jedem Glied der anderen Summe multipliziert und die Gesamtsumme (a + b) (c + d) = ac + ad + bc + bd bildet. Beispiele: (4a + 7)(2 b) = 4a 2 + 4a( b) ( b) = 8a 4ab b (3x 2)(2x + 3) = 3x 2x + 3x 3 2 2x 2 3 = 6 x 2 + 9x 4x 6 = 6 x 2 + 5x 6 Übungsaufgabe Multiplizieren Sie aus und fassen Sie zusammen. 1.1 (a +1) (a 2) 1.2 (a 3) (a + 5) 1.3 (2a 5) (a + 4) 1.4 (2x + 1) (3x 2)(2x + 3) 1.6 (2 a 2 a) (a 1) 1.7 (7 3y) (1 2y) 1.8 (x 3y) (2x y) 1.9 5(1 6c)(a + 4b) 149

150 5.2 Binomische Formeln Bei der Multiplikation von Summen gibt es drei Sonderfälle. 1. Fall: (a + b)(a + b) Ein Quadrat hat die Seitenlänge (a + b). Bestimmen Sie den Inhalt der Fläche. a b Rechnerische Lösung A = (a + b) 2 = (a + b)(a + b) = a 2 + ab + ab + b 2 A = a 2 + 2ab + b 2 Geometrische Deutung a b a 2 ab ab b 2 1. Binomische Formel (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 (Eine Summe wird quadriert.) Beispiele: (3x + 2y ) 2 = (3x) x 2y + (2y) 2 = 9 x xy + 4 y 2 Man stellt fest: (Summe) 2 = (1.Summand) 2 +doppeltes Produkt aus beiden Summanden+ (2.Summand) 2 (2z + 5 ) 2 = 4 z z = 4 z z Fall: (a b)(a b) Beispiele: (a 5) 2 = (a 5)(a 5) = a 2 5a 5a + 25 = a 2 10a + 25 (a b) 2 = a 2 2ab + b 2 2. Binomische Formel (a b) 2 = a 2 2ab + b 2 (Eine Differenz wird quadriert.) ( x 7) 2 = x 2 14x + 49 (3z 5) 2 = 9 z 2 30z Fall: (a b)(a + b) Beispiele: (z 3) (z + 3) = z 2 3z + 3z 9 = z 2 9 (a b)(a + b) = a 2 ab + ab b 2 = a 2 b 2 3. Binomische Formel (a b)(a + b) = a 2 b 2 (x 8)(x + 8) = x 2 64 (2a 3b)(2a + 3b) = 4 a 2 9 b 2 (7p 6q)(7p + 6q) = 49 p 2 36 q 2 150

151 Die drei Binomischen Formeln (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 Beispiele: (4x + 5) 2 = 16 x x + 25 (4x 5) 2 = 16 x 2 40x + 25 (4x 5)(4x + 5) = 16 x 2 25 (2x 3 y) 2 = 4 x 2 12xy + 9 y 2 (2x + 3 y) 2 = 4 x xy + 9 y 2 (2x 3y)(2x + 3y) = 4 x 2 9 y 2 (a b) 2 = a 2 2ab + b 2 (a b)(a + b) = a 2 b 2 Bemerkung: Die Binomischen Formeln sind ein Hilfsmittel zum Ausmultiplizieren und Ausklammern. Beim Ausmultiplizieren lassen sich Zwischenschritte einsparen und damit Zeit sparen. Bei der Zerlegung einer Summe in ein Produkt sind sie oft ein unentbehrliches Hilfsmittel. Übungsaufgabe Wenden Sie eine Binomische Formel an. 1.1 (a + 5 ) (a 3) (u + 12 ) (x 1 ) (2 x ) (7 a ) (7 + y)(7 + y) 1.8 ( x + 5) (b 11)(b + 11) 1.10 (x 7)(x + 7) 1.11 ( x + 6)(x + 6) 1.12 (b 4c)(4c b) 2. Lösen Sie die Klammer auf. 2.1 (7 + 3 y) ( x + 3y ) (b + 6 c) (4x 1 ) (3x + 5 y) (8b 4c) 2 3. Vereinfachen Sie. 3.1 ( a 1) 2 + 3( a +1) 2 + (a 1)(a +1) 3.2 (2a 3) 2 + (4a + 1) 2 4(4 a)(a + 4) 3.3 (5p q ) 2 (p 5q) 2 (2p 3q)(2p + 3q) 4. Gegeben sind die Terme 4 a 2 12ab + 9 b 2 ; 4 a ab 9 b 2 ; 4 a 2 6ab + 9 b 2. Welcher Term ist äquivalent zu (2a 3 b) 2. Begründen Sie. 5. Wählen Sie für die Längen a und b geeignete Zahlen. 5.1 Schneiden Sie sich vier Kärtchen entsprechend der nebenstehenden Abbildung aus und setzen Sie diese zu einem Quadrat zusammen. 5.2 Berechnen Sie den Flächeninhalt des Quadrats auf zwei verschiedene Arten. a a b a b a b b 151

152 5.3 Zerlegung von Summen in Faktoren Beipiele: 1. 18a + 9 = 9 2a = 9(2a + 1) durch Ausklammern 4 x 2 12x = 4x x 4x 3 = 4x(x 3) durch Ausklammern Beachten Sie: Ausklammern eines gemeinsamen Faktors macht aus einer Summe ein Produkt. 2. x 2 + 2x + 1 = (x + 1)(x + 1) = (x + 1) 2 Anwendung der 1. Binomischen Formel Summe Produkt a ab + 36 b 2 = (a + 6b) 2 Hinweis: a 2 = (a) 2 ; 36 b 2 = (6b) 2 Anwendung der 1. Binomischen Formel 9 x 2 12xy + 4 y 2 = (3x 2y ) 2 Anwendung der 2. Binomischen Formel Hinweis: 9 x 2 = (3x) 2 ; 4 y 2 = (2y) 2 25 u 2 16 v 2 = (5u 4v)(5u + 4v) Anwendung der 3. Binomischen Formel Hinweis: 25 u 2 = (5u) 2 ; 16 v 2 = (4 v) x xy + 18 y 2 = 2( x 2 + 6xy + 9 y 2 ) = 2(x + 3y ) 2 durch Ausklammern und Anwendung der 1. Binomischen Formel 4. x x + 9 (x + 3) = 2x + 6 2(x + 3) = x + 3 = 1 (x + 3) 2 2 Kürzen nach Faktorzerlegung Beachten Sie: Anwendung einer binomischen Formel macht aus einer Summe ein Produkt. Übungsaufgabe Zerlegen Sie in Faktoren. 1.1 a 2 4ab a 2 + 8a x xy z 2 12z 1.5 x 2 14x z + z x 2 + 4x p + p q + q Zerlegen Sie in Faktoren a 2 20a a 2 + 8a a ab + 16 b a 2 16 b x a 2 4ab + 4 b 2 3. Vereinfachen Sie durch Ausklammern. 3.1 (2x + 6) ( 2a 4) (3 t 2 3 t 3 ) x(5a +15) a (2x 6 ) a 20 4a 16

153 Übungsaufgabe Ergänzen Sie so, dass eine allgemeingültige Gleichung entsteht. 1.1 ( ) 2 = 9 a b (5x...) 2 =... 20x (... 4y ) 2 =... 4y ( ) 2 =... 4s + 4 s 2 2. Bestimmen Sie den Klammerinhalt a a 3 = 3 a 2 (... ) 2.2 a 2 6 a a 4 8 a 5 = 2 a 2 (... ) e x 3 e x +1 = e x (... ) x x x = 1 8 x(... ) 3. Multiplizieren Sie aus. 3.1 (4x + 3 y 3 ) ( x 4 2) ( e x + e x )( e x e x ) 3.4 ( x 2 x 3 )( x 2 + x 3 ) 3.5 (3 x 2 5x)(1 x 3 ) 3.6 ( p 2 5 p 3 ) 2 4. Welches Binom lässt sich mit nebenstehender Abbildung veranschaulichen? Erläutern Sie die Abbildung. b a a b a b b 5. Berechnen Sie den Flächeninhalt des Rechtecks mit den Seitenlängen a x und a + x als Summe seiner Teilflächen. Verdeutlichen Sie den Sachverhalt anhand einer Zeichnung. 6. Erläutern Sie die Binomische Formel (a b)(a + b) = a 2 b 2 indem Sie die Abbildungen beschriften. 7. Berechnen Sie den Inhalt der gefärbten Fläche in Abhängigkeit von der Unbekannten a. 5 a a 2 153

154 6 Relationen und Funktionen 6.1 Relationen Beispiel: Für ein Geschenk bringen Klaus, Oli, Anna und Lena Zitronen, Trauben, Äpfel, Orangen und eine Mango mit. Damit man weiß, wer was mitgebracht hat, erstellt man einetabelle:... wurden gespendet von.... Erstellen Sie eine Tabelle, die zeigt, welcher Spender welches Obst mitgebracht hat. Veranschaulichen Sie die Tabelle durch eine Grafik.... wurden gespendet von... Klaus Oli Lena Anna Zitrone (Z) x Apfel (A) x Trauben (T) x x Orangen (O) x Mango (M) x M 1 M 2 Z Klaus A Anna T Lena O M Oli Erläuterung der Grafik: Der Zuordnungspfeil bedeutet, Trauben (T) wurden gespendet von Klaus. Kurzschreibweise: (T; Klaus) Dies nennt man ein geordnetes Paar. Weitere geordnete Paare: (A; Anna), (Z; Klaus), (O; Lena), (T; Lena), (M; Oli). Bezeichnet man die Menge der Obstsorten mit M 1 und die Menge der Namen mit M 2, so beschreibt die Aussageform Trauben wurden gespendet von Klaus eine Beziehung (Relation) zwischen einem Element aus der Menge M 1 und einem Element aus der Menge M 2. Diese Relation... wurden gespendet von... bildet aus den Elementen der Menge M 1 und den Elementen aus M 2 geordnete Paare. Im vorliegenden Beispiel: (Zitrone; Klaus), (Orangen; Lena), (Apfel; Anna), u.s.w. Beachten Sie: Eine Relation ordnet einem Element aus einer Menge M 1 ein oder mehrere Elemente aus einer Menge M 2 zu. 154

155 Beispiel: Gegeben sind die zwei Zahlenmengen A = {2, 3, 5, 8} und B = {4, 5, 6, 7, 12} Geben Sie Paare (x; y) mit x A und y B an, für die gilt: x ist Teiler von y. Stellen Sie die Relation...ist Teiler von... als Paarmenge und graphisch dar. Paarmenge R = {(2; 4), (2; 6), (2; 12), (3; 6), (3; 12), (5; 5)} Darstellung der Relation durch ein Pfeildiagramm: 3... ist Teiler von Die Relation (Zuordnung) lässt sich durch diese sechs geordneten Paare (x; y) mit x A und y B beschreiben. Zum Vergleich: Insgesamt gibt es 4 5 = 20 geordnete Paare (x; y). Bemerkung: Die Menge aller geordneten Paare (x; y) mit x A und y B nennt man die Produktmenge (kartesisches Produkt) A x B. Beispiel: Gegeben sind die zwei Mengen A = {Hering, Kuh, Delphin, Garnele, Zander} und B = {Krebs, Fisch, Säugetier} Stellen Sie die Relation... ist ein... durch ein Pfeildiagramm dar. Hering Kuh Delphin Garnele Zander Krebs Fisch Säugetier Beachten Sie: Eine Relation R zwischen den Elementen zweier Mengen A und B ist eine Teilmenge des kartesischen Produktes A x B: R A x B. Übungsaufgabe Familie Moser hat vier Kinder: Hans, Maria, Kurt und Isa. Stellen Sie die Relation... ist Schwester von... in einem Pfeildiagramm dar. 2. Gegeben ist die Relation R = {(a; 1), (a; 2), (b; 3), (b; 1), (c; 5)}. Erstellen Sie das zugehörige Pfeildiagramm. 155

156 6.2 Funktionen Beispiel: Nachfolgende Tabelle zeigt die Fahrer WM-Wertung für die Formel-1-Rennwagen 2010 (Endstand November 2010 nach 19 Rennen). 1. S. Vettel RedBull F. Alonso Ferrari M. Webber RedBull L. Hamilton McLaren J. Button McLaren F. Massa Ferrari Erstellen Sie ein Pfeildiagramm für folgende Zuordnung: 1.: Flagge Fahrer 2.: Fahrer Team 1.: Flagge Fahrer 2.: Fahrer Team F. Alonso M. Webber F. Alonso M. Webber Ferrari S. Vettel S. Vettel RedBull L. Hamilton J. Button L. Hamilton J. Button McLaren P. Massa P. Massa A B A B Von einem Element der Menge A gehen mehrere Pfeile aus. Relation Von jedem Element der Menge A geht genau ein Pfeil aus. Funktion Beachten Sie: Eine Relation, die jedem Element der Menge A genau ein Element der Menge B zuordnet, heißt Funktion. Die Menge A nennt man Definitionsmenge D, die Menge B ist die Wertemenge W. 156

157 Beispiel: In der deutschen Botschaft wird die Flagge gehisst. Die drei Diagramme beschreiben die Höhe der Flagge in Abhängigkeit von der Zeit. Interpretieren Sie die drei Diagramme. Wie ist die Flagge jeweils gehisst worden? A Höhe der Flagge Zeit B Höhe der Flagge C y Höhe der Flagge Zeit Zeitx Bei allen drei Diagrammen nimmt die Höhe mit der Zeit zu. Diagramm A: In der doppelten Zeit verdoppelt sich die Höhe. Höhe und Zeit sind proportional. Die Flagge wird mit konstanter Geschwindigkeit hochgezogen. Höhe ist konstant. Zeit Wird die Flagge mit einem Motor bei konstanter Drehzahl gehisst, kann das Hissen mit diesem Diagramm beschrieben werden. Diagramm B: Der Höhenzuwachs pro Zeiteinheit (die Geschwindigkeit) nimmt ab und ist am Ende null. Diagramm C: Die Flagge wird mit konstanter Geschwindigkeit hochgezogen. Dann macht man eine Pause. Anschließend zieht man die Flagge wieder mit konstanter, aber verminderter Geschwindigkeit weiter hoch. Die eindeutige Zuordnung (Funktion) Zeit Höhe der Flagge ist in einem Koordinatensystem veranschaulicht. 157

158 Der Begriff eindeutige Zuordnung wird an einem Beispiel näher erläutert. Beispiel: Ein Betrieb verkauft Spargel. Ein Pfund kostet 2,00 EUR. Der Erlös beträgt y EUR. Der Zusammenhang von verkaufter Ware und Erlös ist der Tabelle zu entnehmen: Menge in Pfund x Erlös in EUR y Jedem x-wert wird also genau ein y-wert zugeordnet: x y Der y-wert ist immer der 2-fache x-wert: y = 2x Diese Gleichung y = 2x legt eine Funktion fest: f: x 2x Funktionsvorschrift: f(x) = 2x Die Menge, die alle zugelassenen x-werte enthält, nennt man Definitionsmenge D. Aus der Tabelle liest man ab: Für x = 1 erhält man den y-wert (Funktionswert) 2. Schreibweise: y = f(1) = 2 ebenso für x = 2: y = f(2) = 4 und für x = 3: y = f(3) = 6 Für jedes x aus D erhält man: y = f(x) = 2x Beachten Sie: y ist der Funktionswert an der Stelle x: y = f(x). Überträgt man die Zahlenpaare (x; y) aus der Tabelle in ein Koordinatensystem, so erhält man die drei Punkte A(1 2), B(2 4) und C(3 6). Lässt man alle reellen Zahlen für x zu (D = R) und überträgt die Werte in ein Koordinatensystem, so erhält man eine Gerade als Schaubild der Funktion f. Diese Funktion f ist eine lineare Funktion. y y f(3) = 6 f(2) = 4 f(1) = 2 A B C x Bemerkung: R ist die Menge der reellen Zahlen (vergleiche Seite 193). Beachten Sie: Jedem Zahlenpaar (x; y) entspricht ein Punkt P(x y) auf dem Schaubild der Funktion. 158

159 Erläuterungen zum rechtwinkligen Koordinatensystem Koordinatensysteme sind Gebilde, die uns helfen, Positionen zu bestimmen und wieder zufinden. Koordinatensysteme werden in unterschiedlichen Zusammenhängen benutzt: Erstellung von Landkarten, geometrischen Konstruktionen, globalen Positionierungssystemen (GPS), u.s.w.. Daher ist es zweckmäßig, sich mit dem Koordinatensystem näher vertraut zu machen. II. Quadrant P(x y) mit x < 0 und y > 0 B( 2 3) y y y-achse I. Quadrant P(x y) mit x > 0 und y > 0 A(2,5 1) x-achse III. Quadrant P(x y) mit x < 0 und y < x C( 3 1,5) D(2 2) x IV. Quadrant P(x y) mit x > 0 und y < 0 Zur Festlegung eines Punktes in der Ebene braucht man die x-koordinate (Abszisse) und die y-koordinate (Ordinate). Der Punkt A (2,5 1) hat die x-koordinate x = 2,5 und die y-koordinate y = 1. Das Koordinatensystem (Achsenkreuz) unterteilt die Ebene in 4 Felder (Quadranten). Ein Punkt P(x y ) liegt oberhalb unterhalb der x-achse, wenn y > 0 y < 0. Übungsaufgaben Gegeben sind die vier Punkte P( 3 1), Q(3 3), A( 1 3) und B(3 1). Wo liegt der Schnittpunkt der beiden Strecken PQ und AB? 2. Ergänzen Sie die Tabelle. Quadrant Nummer x-koordinate y-koordinate I positiv? II? positiv III?? IV positiv? 159

160 88 1. Welche der folgenden Paarmengen sind Relationen, welche Funktionen? Zeichnen Sie ein Pfeildiagramm. 1.1 R 1 = {(3; 1), (4; 1), (4; 2), (5; 1), (5; 2), ( 5; 3)} 1.2 R 2 = {( 3; 4), ( 2; 1), ( 1; 2), (4; 1), (5; 2), ( 5; 3)} 1.3 R 3 = {( 3; 1), ( 2; 1), ( 1; 2), (4; 2), (5; 3)} 2. Gegeben sind die Zuordnungen x y. 2.1 y = 5x 2.2 y = 2x y = 5 x y = 15x y = 5 x Welche der nachfolgenden Zahlenpaare (x y) gehören zu welcher Zuordnung? A(30 63); B(12 27); C(6 30); D(0,5 10); E(3 45); F(2 20) 3. Kennzeichnen Sie im Koordinatensystem alle Punkte, deren Koordinaten die folgende Bedingung erfüllen und geben Sie drei Punkte an. 3.1 x = y 0 und y = 1 2 x Gegeben ist die Zuordnung x y. Berechnen Sie die y-werte für x { 2; 0; 0,5; 1,5 }. Zeichnen Sie die zugehörigen Punkte in ein Koordinatensystem ein. 4.1 y = 1,5x 4.2 y = 0,5x y = x + 2,5 4.4 y = 1 2 x y = 2 x 4.6 y = x 4 5. Zeichnen Sie in ein geeignetes Koordinatensystem folgende Punkte ein: A(0 20), B(4 24); C(5 25); D(8 28); E(10 30). Stellen Sie für den Zusammenhang von x- und y-koordinate einen Term auf und geben Sie drei weitere Punkte an. 6. Gegeben sind die Punkte A, B, C, D, E im abgebildeten Koordinatensystem. 6.1 Geben Sie die Koordinaten aller Punkte an. 6.2 Wie groß ist das Dreieck ABE im Vergleich zu dem Dreieck ACD? y A B C E D x 7. In den USA misst man die Temperatur in F (Fahrenheit), in Europa in C (Celsius). 7.1 Geben Sie entsprechend der Zuordnung T F = 1,8 T C + 32 zu jeder Temperatur in C in der Tabelle den F Wert an. Temperatur in C Temperatur in F 7.2 Zeichnen Sie den Graphen der Funktion T C T F. 160

161 7 Lineare Funktionen 7.1 Einführung Beispiel: Eine Brezel kostet 0,60 EUR. 1. Berechnen Sie die Kosten für 2, 3 und 4 Brezeln. 2. Wie kann man die Kosten y für x Brezeln berechnen? Zu 1.: Eine Brezel kostet (in EUR) 0,60 Zwei Brezeln kosten 0,60 2 = 1,2 Drei Brezeln kosten 0,60 3 = 1,8 Vier Brezeln kosten 0,60 4 = 2,4 x Brezeln kosten 0,60 x = y Zu 2.: Die Kosten y für x Brezeln kann man mit folgender Gleichung berechnen: y = 0,6 x Beispiel: Eine Tankstelle verlangt 1,45 EUR für einen Liter Benzin. 1. Erstellen Sie eine Wertetabelle: x ist die Anzahl der Liter; y der Preis in Euro. Geben Sie eine Gleichung zur Berechnung des Preises y in Abhängigkeit von x an. 2. Wie viel Liter Benzin kann man für 29,00 EUR kaufen? Zu 1.: Wertetabelle x (Anzahl der Liter) x y (Preis in EUR) 0 1,45 2,90 4,35 5,80 7, ,45x Zusammenhang: Preis y in EUR in Abhängigkeit von der Anzahl x (in Liter): y = 1,45x Zu 2.: Gegeben ist y = 29, gesucht ist der x-wert. y Aus y = 1,45x folgt: x = 1,45 = 29 1,45 = 20 Ergebnis: Für 29,00 EUR kann man 20 l Benzin kaufen. Bemerkungen: Die Größen x und y verhalten sich proportional zueinander, y d. h.: x = 1,45 1 = 2,90 2 = 29 = 1,45 (konstant) 20 Der Faktor 1,45 heißt Proportionalitätsfaktor. Die Größen x und y stehen in einem linearen Zusammenhang. Man nennt die Funktion f mit f(x) = 1,45x eine lineare Funktion. 161

162 Beispiel: Das Farbengeschäft Schlicht verkauft 10-Liter-Eimer weiße Farbe. Die Anzahl x der Eimer und den entsprechenden Preis y in Euro entnimmt man der nachfolgenden Tabelle. x (Anzahl der Eimer) y (Preis in EUR) 28,50 71,25? 1. Geben Sie die Gleichung für y in Abhängigkeit von x an! 2. Berechnen Sie den Preis für 9 Eimer Farbe! Zu 1.: Aus der Tabelle: Zwei Eimer Farbe kosten 28,50 EUR 28,50 Ein Eimer Farbe kostet EUR = 14,25 EUR 2 x Eimer kosten y = 14,25x (Dreisatz) Gesuchte Gleichung: y = 14,25x Kontrolle: Preis für 5 Eimer: y = 14,25 5 = 71,25 (EUR) Zu 2.: Preis für 9 Eimer: y = 14,25 9 = 128,25 (EUR) 162 Beispiel: Die Sportturbine kauft verschiedene Artikel ein. Die entsprechenden Daten entnimmt man der nachfolgenden Tabelle. Artikel Menge der eingekauften Ware Gesamte Kosten Stoff 15 m 2 165,00 EUR Sand 32 kg 8,00 EUR Bälle 66 Stück 99,00 EUR 1. Geben Sie jeweils eine Gleichung für die Kosten y in Abhängigkeit von der Menge x (in m 2, kg, Stück) an. 2. Berechnen Sie die Kosten für 22 m 2 Stoff. 3. Wie viele Bälle können für 18,00 EUR gekauft werden? Zu 1.: Man berechnet die Kosten für 1 m Stoff: EUR= 11,00 EUR 15 1 m 2 Stoff kostet 11,00 EUR; x m 2 Stoff kosten y = 11x Kosten für 1 kg Sand: 8 EUR= 0,25 EUR; x kg Sand kosten y = 0,25x 32 Kosten für 1 Ball: 99 EUR = 1,50 EUR; x Bälle kosten y = 1,5x 66 Zu 2.: 22 m 2 Stoff kosten: y = = 242 (EUR) Zu 3.: Gesucht ist die Anzahl x der Bälle: 18 = 1,5x; daraus folgt: x = 18 1,5 = 12 Es können 12 Bälle gekauft werden.

163 Übungsaufgabe Ein Liter Farbe kostet 3,00 EUR. 1.1 Erstellen Sie eine Wertetabelle für 1,5 Liter, 2,5 Liter, 4 Liter und 6,5 Liter. 1.2 Stellen Sie eine Gleichung für den Zusammenhang von y (Kosten in EUR) und x (Farbmenge in Liter) auf. 1.3 Wie viel Liter Farbe erhält man für 10,50 EUR, für 20,00 EUR? 2. Zu Beginn des Jahres 2010 kostete ein Liter Eurosuper durchschnittlich 1,20 EUR. Die Benzinmenge in Liter wird mit x, der zu zahlende Betrag in EUR wird mit y bezeichnet. 2.1 Bestimmen Sie die zugehörige Gleichung (y EUR für x Liter). 2.2 Stellen Sie eine Wertetabelle in 5-Liter-Schritten bis 50 Liter auf. 2.3 Berechnen Sie den Preis für 42,80 Liter. 2.4 Wie viel Liter Eurosuper kann man für 25,00 EUR tanken? 3. Untersuchen Sie durch Berechnung des Quotienten y x, ob sich die Größen x und y proportional verhalten. Stellen Sie gegebenenfalls die zugehörige Gleichung auf. 3.1 x (in kg) y (in EUR) 4,60 11,50 23,00 34,50 57, x (in km) y (in h) 1 0,50 0,95 1,75 2, x 4 2, ,5 22 y 6 3,75 4, , Die Größen x und y stehen in einem linearen Zusammenhang. Vervollständigen Sie die Wertetabelle x y 7, Im Wäschefachgeschäft Zollinger werden die Preise für verschiedene Artikel gesenkt. alter Preis (in EUR) 144,00 984,00 48,00 neuer Preis (in EUR) 126, ,00 42, Handelt es sich um einen linearen Zusammenhang von neuem zu altem Preis? Wenn ja, geben Sie die zugehörige Gleichung an (y neuer Preis, x alter Preis). 5.2 Wie viel Prozent beträgt die Preissenkung? 5.3 Der alte Preis für einen Artikel betrug 120,00 EUR. Berechnen Sie den neuen Preis. 5.4 Ein Hemd kostet nach der Preissenkung nur noch 56,00 EUR. Wie viel EUR beträgt der alte Preis? 5.5 Eine Hose wurde um 16,00 EUR billiger. Wie viel EUR hat die Hose vor der Preissenkung gekostet? 163

164 7.2 Ursprungsgeraden In den vorangegangenen Beispielen kommen z. B. folgende Gleichungen vor: y = 0,6x; y = 1,45x; y = 14,25x. Wir stellen nun die Frage, was diese Gleichungen bedeuten. Hierbei soll x auch negative Werte annehmen können. Beispiel: Gegeben ist die Gleichung y = 0,4x. 1. Erstellen Sie eine Wertetabelle. 2. Übertragen Sie die entsprechenden Punkte in ein Koordinatensystem und verbinden Sie diese Punkte. Zu 1.: Wertetabelle x y = 0,4x 1,2 0,8 0,4 0 0,4 1,2 2,0 Zu 2.: Schaubild y 2 1 B(3 1,2) A(5 2) Ursprungsgerade 1 x 2 Verbindet man die Punkte miteinander, so erhält man eine Gerade, die durch den Ursprung verläuft. Bemerkung: Eine Gerade durch den Ursprung O(0 0) heißt Ursprungsgerade. Beachten Sie: y x = 0,4 (konstant), d. h., x und y verhalten sich proportional zueinander. Dieser Proportionalitätsfaktor 0,4 heißt Steigung der Geraden. Bezeichnung: m = 0,4 Mit der Gleichung y = 0,4x wird eine Ursprungsgerade beschrieben. 164

165 Beispiel: Eine Gerade hat die Gleichung y = 3 2 x. 1. Erstellen Sie eine Wertetabelle für x { 3; 2; 1; 0; 1; 3} und zeichnen Sie die Gerade in ein Koordinatensystem ein. 2. Wie groß ist der x-wert für y = 6? Zu 1.: Wertetabelle y 6 x y = 1,5x 4,5 3 1,5 0 1,5 4,5 Die Gerade hat die Steigung m = x Zu 2.: Aus 6 = 1,5x folgt: x = 6 1,5 = 4 Beachten Sie: y = 3 2 x 4 Die Gleichung einer Ursprungsgeraden lautet y = mx. Beispiel: Die Gerade g hat die Gleichung y = x. 1. Erstellen Sie eine Wertetabelle! 2. Zeichnen Sie die Gerade g in ein Koordinatensystem ein! Zu 1.: Wertetabelle x y = x Die Gerade g hat die Steigung m = 1. Zu 2.: Schaubild Wachsende Gerade y g: y = x x 2 Beachten Sie: x-wert und zugehöriger y-wert sind gleich. Bemerkungen: Die Gerade mit der Gleichung y = x heißt 1. Winkelhalbierende. Für alle Punkte auf der 1. Winkelhalbierenden gilt: x-koordinate = y-koordinate Die Gerade mit der Gleichung y = x heißt 2. Winkelhalbierende. 165

166 Beispiel: Die Gerade g hat die Gleichung y = 2x. Zeichnen Sie die Gerade g in ein Koordinatensystem ein. Bemerkung: Eine Gerade ist durch zwei verschiedene Punkte eindeutig festgelegt. Für eine Ursprungsgerade genügt also neben dem Ursprung O(0 0) ein weiterer Geradenpunkt. Wertetabelle x 0 1 y = 2x 0 2 Weiterer Geradenpunkt: P(1 2) Gerade g mit Steigung m = y x = 2 Beachten Sie: Fallende Gerade m < 0 y = 2x y x Der Zusammenhang y = mx bedeutet: Die Größen x und y verhalten sich proportional zueinander. Sie stehen damit in einem linearen Zusammenhang (lineare Funktion). Die Gleichung y = mx wird als Funktionsgleichung, die zugehörige Gerade als Funktionsgraph bezeichnet. 7.3 Anwendungsbeispiele Beispiel: Eine Ursprungsgerade g hat die Gleichung y = 4 5 x. 1. Zeichnen Sie die Gerade g in ein Koordinatensystem. 2. Geben Sie zwei weitere Punkte auf g an. 3. Prüfen Sie, ob die Punkte A(2,5 2) und B( 2 1) auf der Geraden g liegen! Zu 1.: Die Gerade verläuft durch den Ursprung. Weiterer Geradenpunkt: P(5 4) Gerade g mit Steigung m = y x = 4 5 Zu 2.: Um weitere Geradenpunkte zu erhalten, wählt man den x-wert (x-koordinate) und bestimmt durch Einsetzen in die Geradengleichung den y-wert (y-koordinate) (siehe Wertetabelle). y A B P x 166

167 Z. B.: x = 1 einsetzen ergibt: y = 4 Geradenpunkt C( ) Z. B.: x = 5 einsetzen ergibt: y = 4 ( 5) = 4 Geradenpunkt D( 5 4) 5 Zu 3.: Liegt ein Punkt auf einer Geraden, so ergibt das Einsetzen der Koordinaten des Punktes in die Geradengleichung eine wahre Aussage (Punktprobe). Punktprobe mit A(2,5 2): Einsetzen von x = 2,5 und y = 2 in die Geradengleichung y = 4 5 x 2 = 4 (2,5) 2 = 2 wahre Aussage (w. A.) 5 d. h. A(2,5 2) liegt auf der Geraden g (A g). Punktprobe mit B( 2 1): B( 2 1): Einsetzen von x = 2 und y = 1 in die Geradengleichung y = 4 5 x 1 = 4 5 ( 2) 1 = 8 falsche Aussage (f. A.) 5 d. h. B( 2 1) liegt nicht auf der Geraden g (B g). Bemerkungen: Für A liegt auf g schreibt man kurz: A g. Für A liegt nicht auf g schreibt man kurz: A g. Beispiel: Ein Flugzeug verbraucht von Europa nach Amerika Liter Kerosin pro Stunde. Das Flugzeug ist 5,5 Stunden unterwegs. Die Flugdauer in Stunden (h) wird mit x, der Verbrauch in Litern wird mit y bezeichnet. 1. Bestimmen Sie die zugehörige Funktionsgleichung (y Liter in x Stunden). 2. Zeichnen Sie den Funktionsgraphen (1h 1 cm; Liter 1 cm). 3. Bestimmen Sie aus dem Schaubild den Verbrauch für diesen Flug. Zu 1.: In einer Stunde benötigt das Flugzeug (Liter). In zwei Stunden: = In x Stunden: x Funktionsgleichung: y = x Zu 2.: Funktionsgraph Zu 3.: Aus dem Schaubild: Nach 5,5 h beträgt der Verbrauch Liter. Beachten Sie die Pfeile im Schaubild. y x 167

168 Beispiel: Beim Raumausstatter Franz König kostet 1 m Stoff 5,00 EUR. 1. Erstellen Sie eine Wertetabelle und geben Sie die Funktionsgleichung (y EUR für x m) an. Zeichnen Sie den Funktionsgraphen (1 m 1 cm; 10,00 EUR 1 cm). 2. Lesen Sie aus dem Funktionsgraphen den Preis für 6,5 m ab! Überprüfen Sie Ihr Ergebnis durch Rechnung. 3. Wie viel m Stoff erhält man für 42,50 EUR? Bestimmen Sie die Länge des Stoffes durch Ablesen und durch Rechnung. 4. Überprüfen Sie durch Rechnung, ob der Punkt A(5,5 27,5) auf dem Funktionsgraphen liegt. Deuten Sie Ihr Ergebnis. Zu 1.: Wertetabelle x in m y in EUR Funktionsgleichung y = 5x Schaubild (Funktionsgraph) y x Zu 2.: Aus dem Schaubild: Länge des Stoffes in m: x = 6,5; Preis in EUR: y = 32,50 Beachten Sie die Pfeile im Schaubild, um den Preis abzulesen. Rechnung: y = 5 6,5 = 32,50 (EUR) Zu 3.: Aus dem Schaubild: Preis in EUR: y = 42,50; Länge des Stoffes in m: x = 8,5 Beachten Sie die Pfeile im Schaubild, um die Länge des Stoffes abzulesen. Rechnung: 42,5 = 5 x; daraus folgt: x = 42,5 5 = 8,5 Zu 4.: Punktprobe Einsetzen der Koordinaten von A(5,5 27,5) in die Geradengleichung. 27,5 = 5 5,5; daraus folgt: 27,5 = 27,5 wahre Aussage. Der Punkt A liegt auf der Geraden. Deutung: 5,5 m Stoff kosten 27,50 EUR. 168

169 Was man wissen sollte... über Ursprungsgeraden (1) Die Gleichung einer Ursprungsgeraden mit Steigung m lautet y = mx. Für die Steigung gilt: m = y x 2. Winkelhalbierende: y = x y = 3x y 3 y = 2x 1. Winkelhalbierende: y = x 2 y = 0,5x x Für m > 0 ist eine Gerade steigend, für m < 0 ist eine Gerade fallend. (2) Bestimmung eines Geradenpunktes: Einsetzen eines beliebigen x-wertes in die Geradengleichung ergibt den y-wert. (3) Punktprobe: Liefert das Einsetzen der x- und y-koordinate eines Punktes in die Geradengleichung eine wahre Aussage, so liegt der Punkt auf der Geraden. Ergibt sich eine falsche Aussage, so liegt der Punkt nicht auf der Geraden. (4) Zeichnen einer Ursprungsgeraden mit der Gleichung y = mx Vorgehensweise: Bestimmung eines weiteren Geradenpunktes P (zusätzlich zum Ursprung O) P y x 169

170 Übungsaufgabe Zeichnen Sie die Geraden mithilfe einer Wertetabelle. Wählen Sie einen geeigneten Maßstab. 1.1 g: y = x h: y = 4x k: y = 1 x n: y = 12,5x g: y = 2 6 x h: y = 0,3x k: y = x n: y = 120x Ein Radprofi legt in 5 Stunden 200 km zurück. 2.1 Stellen Sie eine Gleichung für den Zusammenhang von y (km) und x (h) auf. Zeichnen Sie den Graphen der linearen Funktion (1 h 1 cm; 20 km 1cm). 2.2 Bestimmen Sie aus dem Schaubild den Weg für 3,5 h. 2.3 Berechnen Sie, wie lange der Profi für 110 km braucht. 2.4 Liegen die Punkte A(2,5 100) bzw. B(4,5 170) auf der Geraden? Prüfen Sie durch Rechnung nach und deuten Sie Ihre Antwort für die Aufgabe. 3. In einem Copyshop hängt der zu zahlende Betrag von der Anzahl der Kopien ab. Die Anzahl der Kopien wird mit x, der zu zahlende Betrag in EUR wird mit y bezeichnet. 3.1 Wie viel EUR kosten 100 Kopien? 3.2 Sie kopieren Ihren Kurztest einmal. Wie viel EUR kostet diese Kopie? 3.3 Bestimmen Sie die zugehörige Funktionsgleichung (y EUR für x Kopien). 3.4 Berechnen Sie den Preis für 35 Kopien x 3.5 Wie oft kann man für 25,00 EUR kopieren? 4. Ordnen Sie jeder Geraden eine Funktionsgleichung zu. 4.1 y = 3 4 x y 4.2 y = 1,3x 4.3 y = 8 5 x g h k x 5. Der Unternehmer Keesmann nimmt bei seiner Bank einen Kredit in Höhe von ,00 EUR auf. Als Zinssatz werden 5 % vereinbart. 5.1 Stellen Sie eine Funktionsgleichung (y EUR Zinsen in x Monaten) auf und zeichnen Sie das zugehörige Schaubild (1 Monat 1 cm; 100,00 EUR 1 cm). 5.2 Lesen Sie aus dem Graphen die Zinsen für 3 und 8 Monate ab! Berechnen Sie die genauen Zinswerte. 5.3 Wie lange läuft der Kredit, wenn der Unternehmer 256,25 EUR bzw ,00 EUR Zinsen zahlen muss? 170

171 7.4 Geraden mit der Gleichung y = mx + b Beispiele: Herr Peters kauft auf dem Markt Himbeeren zum Preis von 1,20 EUR je Pfund. Für den Spankorb muss er 1,00 EUR Pfand bezahlen. 1. Wie viel EUR kosten 2; 3,5; 5; x Pfund ohne Spankorb und mit Spankorb? 2. Stellen Sie den Preis y in Abhängigkeit von dem Gewicht x zeichnerisch dar! Zu 1.: Wertetabelle x 2 3,5 5 x y o 2,4 4,2 6 1,2x ohne Korb y m 3,4 5,2 7 1,2x + 1 mit Korb Die Gleichung y = 1,20x +1 stellt den Zusammenhang von Preis und Gewicht dar. Zu 2.: Schaubilder y y = 1,20x + 1 y = 1,20x Da das Gewicht nur positive Werte annimmt, erhält man im Koordinatensystem nur Halbgeraden. x Beachten Sie: Die Geraden sind parallel, sie haben die gleiche Steigung: m=1,2. Lässt man auch negative Werte für x zu, so erhält man eine Gerade mit der Gleichung y = 1,20x +1. Wertetabelle x y 2,6 1,4 0,2 1 3,4 y y = 1,20x P( 2 1,4) x 171

172 Beispiel: Zeichnen Sie die Gerade g mit der Gleichung y = 4 3 x 2. Wertetabelle x y (gerundet) 6 4,6 3,3 2 0,6 Bemerkung: g ist eine wachsende Gerade (m > 0). y S(0 2) g x Bemerkung: Die Gerade schneidet die y-achse im Punkt S(0 2). Man nennt den Wert 2 den y-achsenabschnitt. Beispiel: Zeichnen Sie die Gerade h mit der Gleichung y = 3 2 x + 2. Eine Gerade ist durch zwei verschiedene Punkte festgelegt. Für x = 0: y = 2 Für x = 2: y = 1 Geradenpunkte: S(0 2); A(2 1) Bemerkung: h ist eine fallende Gerade (m < 0). y S(0 2) A 2 h x Die allgemeine Geradengleichung in Hauptform lautet y = mx + b Steigung y-achsenabschnitt Übungsaufgabe 91 Zeichnen Sie die Gerade in ein Koordinatensystem. Wählen Sie einen geeigneten Maßstab y = 3x y = 500x y = 4x y = 5 5. y = 1 4 x 1 6. y 5x = 15 2 y 7. y = 7,5x y 3x 6 = x 2 1 = 0

173 7.5 Schnittpunkte von Gerade und Koordinatenachsen Beispiel: Gegeben ist die Gerade g mit y = 3 2 x Bestimmen Sie aus der Zeichnung die Schnittpunkte von g mit den Koordinatenachsen. 2. Berechnen Sie die Schnittpunkte von g mit den Koordinatenachsen. a) Schnittpunkt mit der x-achse y Man liest ab: Schnittpunkt von g mit der x-achse: N( 2 0) 4 3 S y (0 3) Schnittpunkt mit der y-achse 2 Wir lesen ab: Schnittpunkt von g mit der y-achse: S y (0 3) N( 2 0) 1 b) Schnittpunkt mit der x-achse Der Schnittpunkt mit der x-achse hat immer die y-koordinate Null, d. h., wir suchen den x-wert 2 unter der Bedingung: y = x + 3 = 0 3 Auflösen der Gleichung nach x ergibt 2 x = 3 x = 2 Die x-koordinate des Schnittpunktes ist x = 2 (Nullstelle). Schnittpunkt mit der x-achse: N( 2 0) x Schnittpunkt mit der y-achse Der Schnittpunkt mit der y-achse hat immer die x-koordinate Null, d. h., um den y-wert zu erhalten, setzen wir x = 0 in die Geradengleichung ein: y = y = 3 Schnittpunkt mit der y-achse: S y (0 3) Beachten Sie: Bedingung für die x-koordinate des Schnittpunktes mit der x-achse: y = 0 mit der y-achse: x = 0 Übungsaufgabe 92 Gegeben ist die Gerade g durch ihre Gleichung. Berechnen Sie die Schnittpunkte von g mit den Koordinatenachsen. 1. y = 2x 4 2. y = 0,5x y = 1,5x y 60x = 0 5. y = 2 x y = 3 x 2 173

174 7.6 Anwendungsbeispiele Beispiel: Die Stadtwerke Waiblingen berechnen für den elektrischen Strom einen monatlichen Grundpreis von 12,50 EUR und für jede verbrauchte Kilowattstunde (kwh) 0,15 EUR. 1. Stellen Sie die Funktionsgleichung (y in EUR für x kwh) auf und zeichnen Sie den Funktionsgraphen (50 kwh 1cm; 10,00 EUR 1 cm). 2. Lesen Sie aus dem Schaubild den Preis bei einem monatlichen Verbrauch von 250 kwh ab. Berechnen Sie diesen Preis. 3. Berechnen Sie den Verbrauch bei einer Stromrechnung von 72,50 EUR. 4. Die Abrechnung der Stadtwerke ist undeutlich geschrieben. Der Rechnungsbetrag könnte 98,50 EUR oder 96,50 EUR, der Stromverbrauch 540 kwh oder 560 kwh lauten. Entscheiden Sie, welches der richtige Rechnungsbetrag und der zugehörige Verbrauch ist. Zu 1.: Betrachtung ohne Grundgebühr: 1 kwh kostet 0,15 EUR, x kwh kosten 0,15 x EUR Betrachtung mit Grundgebühr: Zu den Kosten von 0,15x kommt die monatliche Grundgebühr von 12,50 EUR dazu. Gesamtkosten: 0,15x + 12,50 Funktionsgleichung: y = 0,15x + 12,5 Zu 2.: Aus dem Schaubild: Preis bei einem Verbrauch von 250 kwh: 50,00 EUR. Berechnung: y = 0, ,5 = 50,00 y Zu 3.: Einsetzen von y = 72,5 in die Gleichung: y = 0,15x + 12,5: 72,5 = 0,15x + 12,5 Umformung: 60 = 0,15x Verbrauch in kwh: x = 60 0,15 = 400 Zu 4.: Berechnung des Rechnungsbetrags für den entsprechenden Verbrauch. Für x = 540 (kwh): y = 0, ,5 = 93,5 (EUR) Für x = 560 (kwh): y = 0, ,5 = 96,5 (EUR) x Ergebnis: Der Rechnungsbetrag lautet 96,50 EUR bei einem Verbrauch von 560 kwh. 174

175 Beispiel: Herr Seeberger kauft eine Telefonkarte für sein Handy im Wert von 25,00 EUR. Eine Einheit kostet 0,60 EUR. Die Anzahl der verbrauchten Telefoneinheiten wird mit x, das Restguthaben mit y (in EUR) bezeichnet. 1. Stellen Sie die zugehörige Funktionsgleichung auf! Zeichnen Sie den Funktionsgraphen (5 Einheiten 1cm; 5,00 EUR 1 cm). 2. Bestimmen Sie aus dem Schaubild das Restguthaben, wenn Herr Seeberger 15 Einheiten benötigt hat! Berechnen Sie dieses Restguthaben. 3. Entnehmen Sie aus dem Funktionsgraphen die Anzahl der Einheiten x, wenn das Handy ein Restguthaben von 7,00 EUR anzeigt. 4. Wie viele Einheiten kann Herr Seeberger telefonieren? Geben Sie das Ergebnis mithilfe des Schaubildes und durch Rechnung an. Zu 1.: Einheiten Kosten Restguthaben ,6 25 0,6 = 24,4 5 0, ,6 5 = , ,6 10 =19 x 0, ,6 x = y y x Funktionsgleichung: y = 25 0,6x Bemerkung: Der Funktionsgraph ist eine fallende Gerade. Zu 2.: Aus der Zeichnung: Restguthaben 16,00 EUR Berechnung: Einsetzen von x = 15: y = 25 0,6 15 = 16 Das Restguthaben beträgt 16,00 EUR. Zu 3.: Einsetzen von y = 7 in die Gleichung y = 25 0,6x: 7 = 25 0,6x Umformung: 18 = 0,6x x = 18 0,6 = 30 Ergebnis: Herr Seeberger hat 30 Einheiten telefoniert. Zu 4.: Herr Seeberger kann so lange telefonieren, bis sein Guthaben aufgebraucht ist, d. h. bis sein Guthaben null ist (y = 0). Dies ist der Fall für den Schnittpunkt von der Geraden mit der x-achse. Aus der Zeichnung: x 42 Berechnung: Einsetzen von y = 0 in die Gleichung y = 25 0,6x 0 = 25 0,6x 0,6x = 25 Anzahl der Einheiten: x = 25 41,66 0,6 Ergebnis: Der Wert seiner Handy-Karte entspricht 41 Einheiten. 175

176 Übungsaufgabe Zeichnen Sie die folgenden Geraden. 1.1 g: y = 1 x h: y = 1,5x n: y = 3x m: y = 1,25x + 2,5 1.5 i: y = 3,5x 0,5 1.6 k: y = 5 (x 2) 7 2. Zeichnen Sie die Geraden, die durch folgende Gleichungen bestimmt sind: 2.1 3x + 2y = x 4y + 2 = x 3y 3 = x 3 + y = x 7y = x 2 = y Gegeben ist die Gerade g mit der Gleichung y = 2x Prüfen Sie, ob der Punkt A( 5 14) auf der Geraden g liegt. 3.2 Der Punkt B(x 3) liegt auf g. Bestimmen Sie die x-koordinate von B. 3.3 Der Punkt C( 4 y) liegt auf g. Bestimmen Sie die y-koordinate von C. 4. Gegeben ist die Gerade h mit der Gleichung y = 2 3 x + b. Bestimmen Sie b so, dass der Punkt P( 4 2 ) auf der Geraden h liegt Gegeben ist die Gerade k mit der Gleichung y = mx + 2,5. Bestimmen Sie die Steigung von k so, dass die Gerade k durch den Punkt R( ) verläuft. 6. Ordnen Sie jeder Geraden eine Gleichung zu. Bestimmen Sie die Gleichung der verbleibenden Geraden. 6.1 y = 1 1 x y = 1,75x 6.3 y = 2 4 x +1 y 1 y g 2 x 1 n x y k x y 2 h x

177 7. Lesen Sie die Gleichungen der Geraden ab. y 1 g 1 h k x Liter Saft kosten 21,00 EUR. Die Anlieferung frei Haus schlägt mit 5,00 EUR zu Buche. 8.1 Stellen Sie eine Gleichung auf, die den Zusammenhang von x Liter Saft und dem zu zahlenden Betrag y in EUR beschreibt. 8.2 Zeichnen Sie die Gerade mit der Gleichung y = 1,4x + 5 in ein geeignetes Koordinatensystem. 8.3 Prüfen Sie anhand der Zeichnung und durch Rechnung, ob man für 12,50 EUR 5 Liter Saft frei Haus erhält. 9. Das Busunternehmen Sohler stellt für einen eintägigen Ausflug eine Pauschale von 50,00 EUR und für jeden gefahrenen km 1,25 EUR in Rechnung. 9.1 Beschreiben Sie den Zusammenhang von Rechnungsbetrag und Anzahl der gefahrenen km mithilfe einer Gleichung (y EUR für x km). Zeichnen Sie den zugehörigen Graphen (20 km 1cm; 25,00 EUR 1 cm). 9.2 Lesen Sie aus der Zeichnung den Preis für 50 km bzw. 80 km ab. 9.3 In der Klassenkasse sind 220,00 EUR. Wie viel km kann das Ausflugsziel höchstens entfernt sein? 10. Franz kauft sich eine Telefonkarte mit 50,00 EUR Guthaben für sein Handy. Der durchschnittliche Minutenpreis beträgt 0,80 EUR Es besteht ein linearer Zusammenhang zwischen dem verbliebenen Guthaben und der Anzahl der Minuten, die Franz telefoniert hat. Bestimmen Sie die Funktionsgleichung (y EUR für x min). Zeichnen Sie die zugehörige Gerade in ein Achsenkreuz (10 min 1 cm; 5,00 EUR 1 cm) Lesen Sie aus der Zeichnung ab, wann Franz sein Guthaben zur Hälfte auf gebraucht hat. Berechnen Sie den genauen Zeitpunkt Wie viel Minuten kann Franz insgesamt mit seiner Guthabenkarte telefonieren? 10.4 Franz möchte sich eine neue Karte kaufen, wenn er noch ein Guthaben von 5,00 EUR auf seiner alten Karte hat. Wie viel Minuten hat er dann telefoniert? 11. Die Spedition Müller berechnet für einen Umzug einen Stundensatz von 150,00 EUR und eine einmalige Pauschale von 300,00 EUR Stellen Sie die Funktionsgleichung für den Zusammenhang von Arbeitszeit und Kosten auf. Zeichnen Sie den Graphen(1 h 1 cm; 200,00 EUR 1 cm) Bestimmen Sie mithilfe der Zeichnung, wie viel ein Umzug von 5 h (8 h) Dauer kostet Berechnen Sie die Anzahl der benötigten Stunden, wenn der Umzug 2 175,00 EUR kostet Ab wie viel Stunden ist das Pauschalangebot der Spedition Umzug für 1 200,00 EUR günstiger? 177

178 12. Die Solbank berechnet für ein einjähriges Darlehen eine Bearbeitungspauschale von 100,00 EUR. Der Zinssatz beträgt 5 % Die Darlehenskosten pro Jahr und die Darlehenshöhe stehen in einem Zusammenhang. Stellen Sie eine Funktionsgleichung für den Zusammenhang von Darlehenskosten und Darlehenshöhe (y EUR Kosten für x EUR Darlehen) auf und zeichnen Sie das zugehörige Schaubild (5 000,00 EUR 1 cm; 200,00 EUR 1 cm) Lesen Sie aus dem Graphen die Darlehenskosten für ein Darlehen über ,00 EUR bzw ,00 EUR ab und berechnen Sie die genauen Darlehenskosten Wie viel EUR beträgt der Kredit, wenn der Kreditnehmer 2 400,00 EUR Darlehenskosten zahlen muss? 13. Katja erhält zu ihrem Geburtstag ein Sparbuch mit einem Guthaben von 150,00 EUR. Sie möchte monatlich 15,00 EUR auf das Sparkonto einzahlen Beschreiben Sie den Zusammenhang von Guthaben und Zeit mithilfe einer Funktionsgleichung (y EUR in x Monaten). Zeichnen Sie die zugehörige Gerade (1 Monat 1 cm; 50,00 EUR 1cm) Bestimmen Sie aus der Zeichnung ihr Guthaben nach 5 bzw. 8 Monaten Nach wie viel Monaten übersteigt das Guthaben erstmals 250,00 EUR? 13.4 Nach einem Jahr möchte Katja genau 350,00 EUR auf ihrem Sparbuch haben. Wie viel EUR muss sie am Ende des Jahres noch zusätzlich einzahlen? 14. Der Energieversorger EABW berechnet seinem Stromkunden einen monatlichen Grundpreis von 10,00 EUR und einen Verbrauchspreis von 0,15 EUR pro kwh Beschreiben Sie den Zusammenhang von Rechnungsbetrag und Verbrauch mithilfe einer Funktionsgleichung (y EUR für x kwh). Zeichnen Sie die zugehörige Gerade (50 kwh 1cm; 10,00 EUR 1 cm) Wie viel EUR kostet ein monatlicher Verbrauch von 150 kwh, 250 kwh? 14.3 Berechnen Sie den Verbrauch bei einer Monatsrechnung über 43,75 EUR Wie viel EUR kann der Kunde sparen, wenn er in einem Monat 120 kwh weniger Strom verbraucht? 15. Ein Bausparvertrag über ,00 EUR ist zur Rückzahlung fällig. Die monatliche Tilgung beträgt 150,00 EUR Der Zusammenhang zwischen der Darlehensschuld in EUR und der Zeit in Monaten soll durch eine Funktionsgleichung (y EUR in x Monaten) beschrieben werden. Zeichnen Sie die zugehörige Gerade in ein Koordinatensystem (10 Monate 1 cm; 2 000,00 EUR 1 cm) Wie viel beträgt das Restdarlehen nach 5 Jahren? Lesen Sie aus der Zeichnung ab und berechnen Sie den genauen Wert Nach welcher Zeit hat er 60 % des Darlehens zurückgezahlt? 15.4 Wie viel Tage dauert die gesamte Tilgungsphase? 178

179 7.7 Schnittpunkt von zwei Geraden Beispiel: Auf dem Wochenmarkt bietet der Händler Nadig Himbeeren zum Preis von 1,10 EUR je Pfund an. Der Kunde muss bei ihm einen Korb von 1,00 EUR dazukaufen. Der Händler Straub verkauft Himbeeren zum Preis von 1,30 EUR je Pfund, verlangt aber nichts für den Korb. Den Preis für x Pfund bezeichnet man mit y. 1. Erstellen Sie eine Wertetabelle für den Preis der Himbeeren in Abhängigkeit von der gekauften Menge x in Pfund sowohl für den Händler Nadig als auch für den Händler Straub. Geben Sie für beide Händler die Funktionsgleichung an. Zeichnen Sie die beiden Funktionsgraphen (1 Pfund 1cm; 1,00 EUR 1 cm). 2. Bestimmen Sie mithilfe der Wertetabelle von Teilaufgabe 1., bei welcher Menge der Preis bei beiden Händlern gleich ist. Was bedeutet das Ergebnis von Teilaufgabe 2. für die beiden Geraden? 3. Berechnen Sie den Schnittpunkt der beiden Geraden. Zu 1.: Wertetabelle y x S 6 y Nadig 1 2,10 3,20 4,30 5,40 6,50 7,60 5 g Nadig y Straub 0 1,30 2,60 3,90 5,20 6,50 7, g Straub Funktionsgleichung 2 für den Händler Nadig: y = 1,10x für den Händler Straub: y = 1,30x x Zu 2.: Aus der Tabelle: Bei x = 2 sind die Preise unterschiedlich: y Nadig = 3,20 und y Straub = 2,60 Bei x = 5 sind die Preise gleich groß: y Nadig = 6,50 und y Straub = 6,50 Deutung anhand der beiden Geraden Die Geraden schneiden sich im Punkt S(5 6,50). Zu 3.: Berechnung des Schnittpunktes Die Preise y Nadig bzw. y Straub sollen gleich groß sein: d. h. man kann die Preise (y-werte) gleichsetzen. y Nadig = y Straub 1,10x + 1 = 1,30x 1 = 0,2x x-wert (Schnittstelle) x = 1 0,2 = 5 Berechnung des Preises durch Einsetzen von x = 5 in eine der beiden Geradengleichungen ergibt den y-wert (Preis): y = = 6,50 Beachten Sie: Gleichsetzen der y-werte liefert den x-wert des Schnittpunktes. 179

180 Beispiel: Gegeben sind die Geraden g mit y = 1 x und h mit y = x Zeichnen Sie die Geraden g und h in ein Koordinatensystem. 2. Die Geraden schneiden sich im Punkt S. Lesen Sie aus der Zeichnung die Koordinaten von S ab und berechnen Sie diese. Zu 1.: Wertetabelle mit zwei x-werten x 0 2 y g 0 1 y h 4 6 Zu 2.: Schnittpunkt S von g und h aus der Zeichnung: S( 2,7 1,2) y 1 g S 1 x h Bemerkung: Die genauen Werte der Koordinaten kann man nicht aus der Zeichnung ablesen. Berechnung des Schnittpunktes Gleichsetzen der y-werte 1 2 x = x 4 + x x auf eine Seite 3 2 x = 4 3x = 8 Schnittstelle von g und h: x = 8 3 Berechnung des y-wertes Einsetzen von x = 8 in eine der beiden Geradengleichungen 3 ergibt den y-wert des Schnittpunktes y = 1 2 ( 8 3 ) = 4 3 oder y = ( 8 3 ) 4 = 4 3 Schnittpunkt S( ) Bemerkung: Die x-koordinate des Schnittpunktes von zwei Geraden g und h heißt Schnittstelle von g und h. Beachten Sie: Der Schnittpunkt S liegt auf beiden Geraden. Setzt man die Koordinaten von S in die Gleichung von g und h ein, so erhält man zwei wahre Aussagen. Die zwei Gleichungen y = 0,5x und y = x 4 stellen ein lineares Gleichungssystem (LGS) dar. Die Lösung wird als Zahlenpaar angegeben: ( 8 3 ; 4 3 ) Lösungsmenge: L = {( 8 3 ; 4 3 )} 180

181 Beispiel: Gegeben sind die Geraden g mit y = 3 x + 1 und h mit y = x Berechnen Sie den Schnittpunkt von g und h. Berechnung des Schnittpunktes 3 Gleichsetzen der y-werte 5 x + 1 = 3 10 x Mit dem Hauptnenner multiplizieren 6x + 10 = 3x + 13 x auf eine Seite 9x = 3 Schnittstelle von g und h: x = 1 3 Berechnung des y-wertes Einsetzen von x = 1 in z. B. die Gleichung von g ergibt den y-wert des Schnittpunktes 3 y = = 6 5 Schnittpunkt S( ) Bemerkung: Das lineare Gleichungssystem (LGS) y = 3 5 x + 1 und y = 3 10 x hat als Lösung das Zahlenpaar ( 1 3 ; 6 5 ). Übungsaufgabe Die Geraden g und h schneiden sich im Punkt S. Berechnen Sie die Koordinaten von S. 1.1 g: y = 2x g: y = 3x g: y = 4x h: y = x 2 h: y = x 1 h: y = 3x g: y = 1 2 x g: y = 2x g: y = 2 3 x 1 h: y = 1 x h: y = 6x h: y = 6 x 4 2. Prüfen Sie, ob die Geraden g, h und k durch einen Punkt verlaufen. 2.1 g: y = x 5 h: y = 2x + 4 k: y = 3x g: y = x + 1 h: y = 1 x k: y = 3 x 7 3. Geben Sie die Gleichungen von zwei Geraden an, die den Punkt S( 4 3) gemeinsam haben. 4. Die Gerade g mit der Gleichung y = 2x 5 und die Gerade h mit der Gleichung y = 3 4 x + c schneiden sich auf der x-achse. Bestimmen Sie c. 181

182 7.8 Graphisches Verfahren zur Lösung eines LGS Ein Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und zwei Unbekannten (x und y) kann man als ein LGS mit zwei Geradengleichungen auffassen. Die zugehörigen Geraden zeichnet man in ein Koordinatensystem und bestimmt zeichnerisch (graphisch) die Lösungsmenge des linearen Gleichungssystems. Beispiel: Bestimmen Sie die Lösungsmenge des LGS zeichnerisch. x + y = 1 (I) x + y = 5 (II) Beachten Sie: Um die Geraden zu zeichnen (Wertetabelle), ist es zweckmäßig, die Gleichungen auf die Form y = mx + b zu bringen. y (I) umformen: x + y = 1 + x 5 h y = x 1 4 g (II) umformen: x + y = 5 x 3 S y = x Zeichnen der Geraden g und h: 1 Die Geraden schneiden sich in einem Punkt. Schnittpunkt: S(3 2) Lösungsmenge L = {(3; 2)} g mit y = x 1 und h mit y = x Aus der Zeichnung ablesen: x Beispiel: Bestimmen Sie die Lösungsmenge des LGS graphisch. x + y = 1 (I) y = x 2 (II) y (I) umformen: x + y = 1 + x 5 y = x 1 4 h (II) umformen: y = x 2 ( 1) 3 y = x + 2 Zeichnen der Geraden: 2 1 g g mit y = x 1 und h mit y = x Aus der Zeichnung ablesen: Die Geraden sind parallel (und verschieden). Sie schneiden sich nicht. Das Gleichungssystem hat keine Lösung. Lösungsmenge L =Ø x 182

183 Beispiel: Bestimmen Sie die Lösungsmenge des LGS zeichnerisch. x + y = 1 (I) 3x = 3y + 3 (II) y (I) umformen: x + y = 1 + x 5 y = x 1 4 (II) umformen: 3x = 3y x 3 = 3y : 3 g = h 2 y = x 1 1 Zeichnen der Geraden: 0 g mit y = x 1 und h mit y = x Die Geraden fallen zusammen, sie sind gleich (identisch), sie haben unendlich viele gemeinsame Punkte. Die Geraden haben die gleiche Steigung und den gleichen y-achsenabschnitt. Lösungsmenge L = {(x; y) y = x 1} x Beachten Sie: Lage von zwei Geraden y h S g y h g y g = h x x x Die Geraden Die Geraden sind Die Geraden schneiden sich in parallel und verschieden. fallen zusammen. genau einem Sie haben keinen Sie haben unendlich Punkt. gemeinsamen Punkt. viele gemeinsame (Schnittpunkt) Punkte. Übungsaufgabe 95 Lösen Sie die folgenden linearen Gleichungssysteme graphisch: 1. 2x y = y = 5x 2 3. y = 3x + 2 3x + 2y = 1 2,5x + y = 3 x = 1 3 y

184 7.9 Anwendungsbeispiele Beispiel: Ein Stadtwerk bietet seinen Kunden Gas nach zwei Tarifen an: Tarif I: 30,00 EUR monatliche Grundgebühr und 0,35 EUR pro kwh. Tarif II: 40,00 EUR monatliche Grundgebühr und 0,25 EUR pro kwh. 1. Stellen Sie für beide Tarife die Funktionsgleichung auf (y EUR für x kwh) und zeichnen Sie die Graphen beider Funktionen in ein rechtwinkliges Koordinatensystem. 2. Bei wie viel kwh sind die Kosten in beiden Tarifen gleich? 3. Wie viel EUR beträgt die Preisdifferenz zwischen den Tarifen bei 40 bzw. 140 kwh? Zu 1.: Tarif I: Die Funktionsgleichung lautet y = 0,35x + 30 Tarif II: Die Funktionsgleichung lautet y = 0,25x + 40 Wertetabelle x y = 0,35x y = 0,25x y in EUR Tarif II Tarif I x in kwh Zu 2.: Gleiche Gaskosten in beiden Tarifen 0,35x + 30 = 0,25x + 40 Gleichung nach x auflösen: 0,35x 0,25x = ,10x = 10 x =100 Einsetzen in eine der Funktionsgleichungen y = 0, y = 65 Ergebnis: Bei 100 kwh betragen die Kosten in beiden Tarifen 65,00 EUR. Zu 3.: Aus der Wertetabelle: Bei 40 kwh betragen die Kosten im Tarif I 44,00 EUR und im Tarif II 50,00 EUR. Der Tarif II ist bei 40 kwh um 6,00 EUR teurer. Bei 140 kwh betragen die Kosten im Tarif I 79,00 EUR und im Tarif II 75,00 EUR. Der Tarif II ist bei 140 kwh um 4,00 EUR billiger. 184

185 Beispiel: Die Franz Obisch KG verkauft Wasserkocher. Die Fixkosten je Woche betragen 2 400,00 EUR. Die variablen Kosten belaufen sich auf 12,00 EUR pro Stück. Der Verkaufspreis beträgt 32,00 EUR. 1. Wie lauten die Funktionsgleichungen für den Gesamterlös pro Woche (y EUR für x Stück) und für die Gesamtkosten (y EUR für x Stück)? Zeichnen Sie die Graphen beider Funktionen in ein rechtwinkliges Koordinatensystem. 2. Bei welcher Stückzahl von verkauften Wasserkochern sind die Gesamtkosten gleich dem Gesamterlös? Bestimmen Sie den zugehörigen Gesamterlös. Zu 1.: Der Gesamterlös in EUR für x Stück beträgt y = 32x Die Gesamtkosten betragen y = 12x Wertetabelle: x y = 32x y = 12x y EUR Erlösgerade Kostengerade x (Stück) Zu 2.: Bedingung: Gesamterlös = Gesamtkosten 32x = 12x Gleichung nach x auflösen 32x 12x = x = x = 120 Stückzahl mit Kostendeckung: x = 120 Berechnung von y y = y = Ergebnis: Bei 120 verkauften Wasserkochern sind die Gesamtkosten gleich dem Gesamterlös (120 ist die Gewinnschwelle). Der zugehörige Gesamterlös beträgt 3 840,00 EUR. 185

186 Beispiel: Ein Bauherr benötigt ein Darlehen von ,00 EUR, das er sich von zwei Banken beschaffen möchte. Er holt von der Bank A ein Angebot über ,00 EUR und von der Bank B ein Angebot über ,00 EUR ein. Aus beiden Darlehen hätte er eine jährliche Zinsbelastung von ,00 EUR. Wenn er aber ,00 EUR bei Bank A und ,00 EUR bei Bank B leiht, muss er nur ,00 EUR Zinsen zahlen. 1. Berechnen Sie die Zinssätze von beiden Banken! 2. Welchen Zinsbetrag könnte der Kunde einsparen, wenn er das gesamte Darlehen bei der Bank mit dem niedrigeren Zinssatz nimmt, im Vergleich zu der Bank mit dem höheren Zinssatz? Zu 1.: Bank A vergibt den Kredit zu x %. Bank B vergibt den Kredit zu y%. Die jährlichen Zinsen im ersten Fall x y + = Die jährlichen Zinsen im zweiten Fall x y + = Vereinfachung der beiden Gleichungen 30x + 15y = x + 30y = 240 ( 2) Additionsverfahren anwenden 30x + 15y = x 60y = Eine Gleichung mit der Unbekannten y: 45y = 225 : ( 45) Nach y auflösen y = 5 in eine der obigen Gleichungen einsetzen 15x = 240 und nach x auflösen 15x = x = 6 Ergebnis: Die Bank A verlangt 5 %, die Bank B 6 % Zinsen. Zu 2.: Zinsen bei der Bank A = Zinsen bei der Bank B = Eingesparter Zinsbetrag: = Andere Möglichkeit Der Kunde spart 1 % von , d. h.: Ergebnis: Der Kunde spart 4500,00 EUR =

187 Übungsaufgabe Zeichnen Sie die folgenden Geraden mithilfe einer Wertetabelle. Bestimmen Sie mithilfe der Wertetabellen das Wertepaar, das beide Gleichungen erfüllt. Bezeichnen Sie den zugehörigen Punkt im Koordinatensystem. 1.1 g: y = 1 x + 2; h: y = 1,5x g: y = 2,5x + 1,5; h: y = x + 1, Die beiden Geraden g und h schneiden sich in S. Bestimmen Sie die Koordinaten des Schnittpunktes S. 2.1 g: 3x 2y = 6; h: y = x g: 5x 4y = 0; h: 5 4 x + 2 = y 3. Gegeben ist die Gerade g durch die Gleichung y = 3x 2. Bestimmen Sie die Gleichung der Geraden h mit Steigung m = 1,5, die die Gerade g in x = 1 schneidet! 4. Bestimmen Sie den Schnittpunkt von g und h. y 2 g h x 5. Ein Hotel hat 26 Zimmer. Ein Einzelzimmer kostet 110,00 EUR, der Zimmerpreis für ein Doppelzimmer beträgt 130,00 EUR. Wie viele Einzelzimmer werden vermietet, wenn bei ausgebuchtem Haus die Einnahmen 3 100,00 EUR betragen? 6. Der Netzbetreiber A-Plus bietet die folgenden Handy-Tarife an. Bei einem durchschnitt lichen Minutenpreis von 0,20 EUR beträgt im Tarif 1 die monatliche Grundgebühr 40,00 EUR. Der Tarif 2 beinhaltet eine monatliche Grundgebühr von 25,00 EUR und einen Minutenpreis von 0,30 EUR. 6.1 Welcher Tarif ist günstiger, wenn im Monat durchschnittlich 400 Minuten telefoniert werden? Begründen Sie die Entscheidung rechnerisch. 6.2 Stellen Sie in einem Schaubild die monatlichen Kosten in Abhängigkeit von der Minutenzahl x dar (20 min 1 cm; 10,00 EUR 1 cm). 6.3 Erstellen Sie für beide Tarife jeweils eine Funktionsgleichung für die Kosten in Abhängigkeit von der Anzahl x der Telefonminuten. 6.4 Bestimmen Sie die Minutenzahl, bei der die monatlichen Kosten in beiden Tarifen gleich sind. 7. Zwei Wirtschaftsschulklassen mit der gleichen Schülerzahl machen eine gemeinsame Abschlussfahrt. Klasse a nimmt 100,00 EUR aus der Klassenkasse und jeder Schüler zahlt 18,00 EUR zusätzlich. Klasse b nimmt 116,00 EUR aus ihrer Klassenkasse und jeder Schüler zahlt 16,00 EUR zusätzlich. Jede Klasse zahlt die Hälfte der Gesamtkosten der Abschlussfahrt. 7.1 Wie viele Schüler nehmen an der Abschlussfahrt teil? 7.2 Wie hoch sind die Gesamtkosten der Abschlussfahrt? Lösen Sie die Aufgabe zeichnerisch und rechnerisch. 187

188 8. Das Bekleidungshaus Nessensohn kauft 120 Hosen und 80 Pullover im Gesamtwert von 5 640,00 EUR ein. Im Verkauf werden die Hosen mit 40 % Aufschlag, die Pullover mit 25 % Aufschlag auf den Einkaufspreis angeboten. Die Einnahmen betragen dann 7 680,00 EUR. Wie viel EUR betrugen jeweils die Einkaufspreise? 9. Die Gasrechnung setzt sich zusammen aus der monatlichen Grundgebühr und den Kosten für die verbrauchte Menge in m 3. Für den Monat Januar ergibt sich bei einem Verbrauch von 420 m 3 ein Rechnungsbetrag von 159,00 EUR. Die Gasrechnung für den Monat Mai über 285 m 3 belief sich dagegen nur auf 111,75 EUR. Berechnen Sie die monatliche Grundgebühr und den m 3 -Preis. 10. Das Recyclingunternehmen Kappler unterbreitet einer Wohnbaugesellschaft für den Abbruch von Häusern folgende Angebote: Angebot 1: Grundpauschale 400,00 EUR, je m 3 Abraum 12,00 EUR. Angebot 2: Grundpauschale 600,00 EUR, je m 3 Abraum 9,00 EUR Stellen Sie für jedes Angebot eine Funktionsgleichung auf (y EUR für x m 3 ). Zeichnen Sie die zugehörigen Geraden in ein geeignetes Koordinatensystem ein Für welche Abraummenge sind die Kosten bei beiden Angeboten gleich? 10.3 In welchem Bereich ist Angebot 1 günstiger? 11. Ein Energieversorger bietet seinen Privatkunden zwei Tarife an: Tarif 1: Grundpreis 80,00 EUR; Verbrauchspreis 0,15 EUR pro kwh. Tarif 2: Grundpreis 60,00 EUR; Verbrauchspreis 0,20 EUR pro kwh Stellen Sie für jeden Tarif eine Funktionsgleichung auf (y EUR für x kwh). Stellen Sie diese Zusammenhänge in einem Koordinatensystem dar (100 kwh 1 cm; 20,00 EUR 1cm) Bei welchem Stromverbrauch ergeben sich die gleichen Stromkosten? 11.3 Für welchen Stromverbrauch sollte der Kunde Tarif 2 wählen? 12. Die Schule veranstaltet einen Weihnachtsmarkt. Jede Klasse soll einen Teil ihrer Einnahmen für die Dritte Welt spenden. Dazu stehen zwei Modelle zur Wahl: Modell I: Gespendet werden 70 % von den Gesamteinnahmen. Modell II: Gespendet werden die Gesamteinnahmen bis 100,00 EUR und von den weiteren Einnahmen 50 % Stellen Sie für das Modell I eine Funktionsgleichung auf (y EUR Spende für x EUR Einnahmen). Zeigen Sie, dass die Gleichung y = 0,5x + 50 für x 100 das Modell II beschreibt. Welche Gleichung beschreibt die Abgabe für x < 100 im Modell II? Stellen Sie diese Zusammenhänge in einem Koordinatensystem dar (auf beiden Achsen: 50,00 EUR 1 cm) Bei welcher Gesamteinnahme wird der gleiche Betrag gespendet? 12.3 Für welches Modell entscheidet sich die Klasse, wenn sie möglichst viel spenden will und mit 300,00 EUR Einnahmen rechnet? 188

189 13. Herr Bohner rechnet für seine zwei Darlehen über ,00 EUR und ,00 EUR mit 2 400,00 EUR Zinsen für das kommende Jahr. Am 1. Januar des Jahres leistet Herr Bohner eine Sonderzahlung über jeweils 5 000,00 EUR. Dadurch verringern sich die Jahreszinsen auf 1 925,00 EUR. Wie viel Prozent betragen die Zinssätze für die zwei Darlehen? 14. Für den Kauf eines Autos nimmt ein junger Mann ein Darlehen über ,00 EUR und ein Darlehen über ,00 EUR auf. Für beide Darlehen zahlt er in einem halben Jahr 930,00 EUR Zinsen. Wären die Zinssätze vertauscht, müsste er 15,00 EUR mehr Zinsen bezahlen. Wie viel Prozent betragen die Zinssätze für die zwei Darlehen? 15. Zwei Geldanlagen in Höhe von 4 000,00 EUR (A) und 9 000,00 EUR (B) bringen vierteljährlich 140,00 EUR Zinsen. Wäre die Geldanlage von A doppelt so hoch und die von B halb so hoch, so erhielte man vierteljährlich 5,00 EUR mehr Zinsen. Wie viel Prozent beträgt die Verzinsung der beiden Geldanlagen? 16. Die Weinkennerin Frau Ruf kauft in einem Weingut 100 Flaschen Rotwein und 200 Flaschen Weißwein. Nachdem sie auf den Rotwein 10 % Rabatt, auf den Weißwein 15 % Rabatt erhält, bezahlt sie 3 450,00 EUR. Hätte sie auf beide Weinsorten 12 % Rabatt erhalten, so wäre ihre Rechnung um 70,00 EUR höher ausgefallen. Wie viel EUR kostet eine Flasche Rotwein bzw. Weißwein ohne Rabatt? 17. Der Versicherungsvertreter Herr Troll wird von zwei Versicherungen umworben. Sie unterbreiten ihm folgende Gehaltsangebote A und B: A: Grundgehalt 1 200,00 EUR und 1 % Provision auf die abgeschlossene Versicherungssumme. B: Grundgehalt 900,00 EUR und 1,5 % Provision auf die abgeschlossene Versicherungssumme Stellen Sie für jedes Angebot eine Funktionsgleichung auf (y EUR Gehalt für x EUR Versicherungssumme). Zeichnen Sie die zugehörigen Geraden in ein geeignetes Koordinatensystem ein Bei welcher Höhe der Versicherungssummen ergeben beide Angebote dasselbe Einkommen? 17.3 Welches Angebot muss der Versicherungsvertreter annehmen, wenn er überzeugt ist, Lebensversicherungen über eine Höhe von ,00 EUR abzuschließen? 18. Immobilienhändler Schneider erhält für die Vermittlung eines unbebauten Grundstücks 2 %, für den Verkauf eines bebauten Grundstücks 4,5 % Provision. Der Durchschnittswert eines unbebauten Grundstücks beträgt ,00 EUR, für ein bebautes Grundstück rechnet er mit ,00 EUR. Die letzte Quartalsabrechnung belief sich auf ,00 EUR. Im folgenden Quartal rechnet er mit doppelt so vielen unbebauten Grundstücken und mit 3 bebauten Grundstücken weniger als im letzten Quartal. Dabei erwartet er eine Einbuße von ,00 EUR. Wie viele unbebaute und bebaute Grundstücke hat er im letzten Quartal vermittelt? 189

190 8 Quadratische Gleichungen 8.1 Quadratwurzel Beispiel: Eine bestimmte Tafel Schokolade hat die Form eines Quadrats mit dem Flächeninhalt von ca. 144 cm 2. Wie lang sind die Seiten dieser Tafel? Den Flächeninhalt A eines Quadrats mit der Kantenlänge k berechnet man mit der Formel: A = k 2. k 2 = 144 Es wird eine positive Zahl k gesucht, die mit sich selbst multipliziert 144 ergibt. Dies ist die Zahl 12, denn = 144 Ergebnis: Die Länge einer Kante beträgt 12 cm. Man sagt, die Zahl 12 ist die Quadratwurzel aus 144. Schreibweise: 144 = 12 gelesen: Die Quadratwurzel aus 144 ist 12. Bemerkung: Zur Quadratwurzel sagt man nur Wurzel. Beispiele: = 5, denn 5 5 = = 11, denn = = 3, denn 3 3 = = 2, denn 2 2 = = 1, denn 1 1 = = 0, denn 0 0 = 0 Bemerkung: Die Probe beim Wurzelziehen (Radizieren) macht man durch Quadrieren. Beispiel: 9 Wurzelziehen Quadrieren 9 = 3 Das Ziehen einer Quadratwurzel ist somit die Umkehrung des Quadrierens. Beim Wurzelziehen verwendet man folgende Bezeichnungen. Wurzelexponent 2 9 = 3 Wurzelwert Radikand Bemerkung: Den Wurzelexponent 2 lässt man meistens weg. 190

191 Bemerkungen: 1. 9 ist eine Zahl, die mit sich selbst multipliziert 9 ergibt. Diese Eigenschaft trifft zu sowohl für die Zahl 3 zu (3 3 = 9) als auch für die Zahl 3, wegen ( 3) ( 3) = 9. Um eine eindeutige Zuordnung (vgl. Funktionen) zu erreichen, nimmt man die positive Zahl, d. h. 9 = bedeutet, eine Zahl zu suchen, die mit sich selbst multipliziert 9 ergibt. Dies ist im Zahlenbereich der reellen Zahlen nicht möglich, da das Quadrat einer rationalen Zahl nie negativ ist. Z. B.: ( 3) ( 3) = + 9 und 3 3 = ist (in R) nicht definiert. Festlegung: Die Quadratwurzel aus einer positiven Zahl a ist diejenige positive Zahl, die mit sich selbst multipliziert a ergibt: ( a ) 2 = a; a 0 Beispiele: = ( 25 ) 2 = 25 Bemerkung: Dies ist gerade die Eigenschaft der Zahl ( 117 ) 2 = = 49 = 7 4. ( 7) 2 = 49 = 7 aber: 7 2 = 49 ist nicht definiert. 5. 0,25 = 0,5 denn 0,5 0,5 = 0, = 2 2 denn = 4 9 Übungsaufgabe Berechnen Sie den Wurzelwert und machen Sie die Probe , ( 0,01) Vervollständigen Sie die Tabelle , x x x x Vergleichen Sie mit mit Vereinfachen Sie (a > 0 und b > 0). 4.1 a a 2 +2ab+ b (ab) a a a 2 b 3 25 b 2 5. Bestätigen Sie: b 2 4ac 4a 2 b = 2 4ac 2a 191

192 8.2 Irrationale Zahlen Der Zahlencocktail enthält Zahlen, mit denen wir uns schon beschäftigt haben. Hierbei handelt es sich um Bruchzahlen bzw. rationale Zahlen. Bemerkung: Die Zahl 5 kann als Bruch 5 1 dargestellt werden. Auch die Wurzelwerte 64 = 8 = 8 1 oder 4 9 = 2 sind Bruchzahlen. 3 Es stellt sich nun die Frage, ob alle Wurzelwerte Bruchzahlen, d. h. rationale Zahlen sind. Um diese Frage zu beantworten, wählen wir als Radikand keine Quadratzahl, z. B. 2 und untersuchen die Zahl 2. Was ist 2 für eine Zahl? Da wir den Wert 2 nicht exakt bestimmen können, versuchen wir ihn annähernd zu bestimmen. Hierzu benötigt man ein Näherungsverfahren. Wir suchen durch Probieren Dezimalzahlen, deren Quadrate nahe bei 2 liegen. Erste grobe Näherung: Der Wert 2 liegt in der Nähe von 1,5, da 1,5 2 = 2,25. 2 liegt zwischen Begründung Bereich für 2 1,4 und 1,5 1,4 2 = 1,96 < 2 < 1,5 2 = 2,25 1,4 < 2 < 1,5 1,41 und 1,42 1,41 2 1,9881 < 2 < 1,42 2 2,0164 1,41 < 2 < 1,42 1,414 und 1,415 1, ,9994 < 2 < 1, ,0022 1,414 < 2 < 1,415 Setzt man dieses Verfahren fort, so kann man den Wert 2 immer besser annähern. Für 2 erhält man eine nicht abbrechende, nichtperiodische Dezimalzahl: 2 =1, Beachten Sie: Jede Zahl, die eine nicht abbrechende, nichtperiodische Dezimalzahl ist, heißt irrationale Zahl. 2 ist eine irrationale Zahl ,3 0,12 Bemerkungen: = 0,57 ist eine abbrechende Dezimalzahl. Sie kann als Bruch dargestellt werden = 0, ist eine nicht abbrechende, aber eine periodische Dezimalzahl. Sie 3 kann als Bruch dargestellt werden, obwohl die Dezimalzahl nicht abbricht. 1 7 = 0, = 1, ist eine nichtperiodische, nicht abbrechende Dezimalzahl. 2 kann nicht als Bruch dargestellt werden; sie ist eine irrationale Zahl. 192

193 Bemerkungen: Darstellung des Näherungsverfahrens am Zahlenstrahl In der Tabelle stehen Ungleichungen. Die Zahlenmenge 1,4 < x < 1,5 bezeichnet man als (offenes) Intervall. Auf einem Zahlenstrahl werden diese Intervalle dargestellt. 1,4 1,41 1,42 1,414 1, Intervall ]1,4; 1,5[ 2. Intervall ]1,41; 1,42[ 3. Intervall ]1,414; 1,415[ 1,5 R Die Zahl 2 liegt in dem engen Intervall 1,414 < x < 1,415. Da jedes folgende Intervall im vorhergehenden Intervall enthalten ist, spricht man von einer Intervallschachtelung. Mithilfe dieses Verfahrens kann man die Zahl 2 näherungsweise bestimmen. Bestimmung von 2 mit dem Taschenrechner (TR) Tastenfolge (abhängig vom TR): 2 EXE 1, Rationale- und irrationale Zahlen Vereinigt man die Menge der rationalen Zahlen Q (alle Zahlen, die als Bruch darstellbar sind) mit der Menge der irrationalen Zahlen (alle Zahlen, die nicht als Bruch darstellbar sind), so erhält man die Menge R der reellen Zahlen. Beachten Sie: Die Menge R der reellen Zahlen ist die Vereinung der Menge der rationalen Zahlen und der Menge der irrationalen Zahlen. R = {rationale Zahlen} {irrationale Zahlen} Bemerkung: Es gibt unendlich viele irrationale Zahlen. Irrationale Zahlen können durch rationale Zahlen angenähert werden. Die Zahl = 3,14... ist auch eine irrationale Zahl. Übungsaufgabe Berechnen Sie mit dem Taschenrechner auf 3 Dezimalen gerundet ,06 ; 6 ; ; ,3 ; 13 ; 130 ; 4 0,13 2. Geben Sie die ersten vier Intervalle einer Intervallschachtelung für 17 an. 3. Welche Zahlen sind rationale Zahlen? 3.1 ( 7 ) ( )( )

194 8.3 Quadratische Gleichungen Reinquadratische Gleichungen Beispiel: Ein Luftakrobat springt in einer Höhe von m aus dem Flugzeug ab. Wie lange dauert sein freier Fall, wenn sich in m Höhe sein Fallschirm öffnet? Der Luftakrobat fällt 405 m frei. Für die Berechnung des zurückgelegten Weges y in Abhängigkeit von der Zeit x gibt es die Formel: y = 5 x 2 Für x setzt man die Zeit in Sekunden (s) ein und erhält dann den Weg y in Metern (m). Z. B.: Zeit x = 3; zurückgelegter Weg y = = 45 Nach 3 s ist der Akrobat 45 m frei gefallen (Schirm ist nicht geöffnet.). Zeit x = 6; zurückgelegter Weg y = = 180 Nach 6 s ist der Akrobat 180 m frei gefallen. Aufgabenstellung: Nach welcher Zeit ist er 405 m gefallen? Einsetzen von y = 405 in die Formel 405 = 5 x 2 ergibt eine quadratische Gleichung. 5 x 2 = 405 Nach x 2 auflösen x 2 = 81 Man sucht eine Zahl, deren Quadrat 81 ergibt. Diese Zahl (x > 0) erhält man durch Wurzelziehen Ergebnis: Sein freier Fall dauert 9 s. Er ist dann 405 m gefallen. x = 81 = 9 Begriff: Eine Gleichung der Form x 2 = d mit d R heißt reinquadratische Gleichung. Die Lösungsvariable x kommt in der 2. Potenz vor. Bemerkung: Im Beispiel mit dem Luftakrobaten sind nur x-werte mit x > 0 sinnvoll. Die Grundmenge G für die quadratische Gleichung ist dann G = R *

195 Beispiel: Gegeben ist die quadratische Gleichung mit der Grundmenge G = R. Bestimmen Sie die Lösungsmenge x 2 32 = x 2 = x 2 = x = 0 Zu 1.: Gleichung nach x 2 auflösen 2 x 2 32 = : 2 x 2 = 16 Gesucht sind Zahlen, deren Quadrat 16 ist. Eine Zahl x 1 erhält man durch Wurzelziehen x 1 = 16 = 4 Wegen ( 4)( 4) = 16 hat diese Gleichung noch eine zweite x 2 = 4 Die Gleichung x 2 = 16 hat die zwei Lösungen x 1 = 4 und x 2 = 4. Lösungsmenge L = {4; 4} Kurzschreibweise für die zwei Lösungen: x 1 2 = ± 4 Probe: = 0 0 = 0 w. A.; 2 ( 4 ) 2 32 = 0 0 = 0 w. A. Zu 2.: Quadratische Gleichung 5 x 2 = 15 : ( 5) Umformung nach x 2 x 2 = 3 Lösung durch Wurzelziehen x 1 = 3; x 2 = 3 Die Gleichung x 2 = 3 hat zwei Lösungen x 1 2 = ± 3 Bemerkung: ( 3 )( 3 ) = 3 Lösungsmenge L = { 3 ; 3 } Zu 3.: Quadratische Gleichung 7 x 2 = 0 : 7 Gleichung der Form x 2 = d x 2 = 0 Lösung durch Wurzelziehen x 1 = 0; ( x 2 = 0) Die Gleichung x 2 = 0 hat eine (doppelte) Lösung Lösungsmenge L = {0} Zu 4.: Quadratische Gleichung 1 2 x = x 2 = 8 2 Gleichung der Form x 2 = d: x 2 = 16 Die Gleichung x 2 = 16 hat keine Lösung, da man aus einer negativen Zahl keine Wurzel ziehen kann (in R). Es gibt keine Zahl, die mit sich selbst multipliziert 16 ergibt. Lösungsmenge L = Ø 195

196 Anzahl der Lösungen anhand von drei Beispielen: x 2 = 3 x 2 = 0 x 2 = 16 zwei Lösungen eine Lösung keine Lösung x 1 2 =± 3 x 1 2 = 0 Beachten Sie: Hat eine quadratische Gleichung die Form x 2 = d, so hängt die Anzahl der Lösungen von der Zahl d ab. d > 0 d = 0 d < 0 zwei Lösungen eine Lösung keine Lösung Übungsaufgabe 99 Für die folgenden Aufgaben ist die Grundmenge G = R Bestimmen Sie die Lösungsmenge und machen Sie die Probe. 1.1 x 2 = x 2 = x 2 = 0, x 2 = x = x 2 = 4 2. Lösen Sie die quadratischen Gleichungen. 2.1 x 2 = x 2 = x 2 = x 2 = x 2 = 0, x 2 = Bestimmen Sie die Lösungsmenge und machen Sie die Probe x 2 50 = x 2 = x = x 2 = x 2 = x = 0 4. Lösen Sie die quadratischen Gleichungen x 2 = x 2 = x x 2 = x = x x 2 = x = 0 5. Bestimmen Sie die Lösungsmenge. 5.1 x(2x 1) = x 2 x (x 3 ) 2 = x 2 6x (x 3) 2 = (2x 1) 2 2x 5.4 (5x 2) 2 = (3x 2) 2 2(4x 3) 6. Bestimmen Sie c (c R) so, dass die Gleichung x 2 + c = 0 zwei Lösungen hat. 7. Geben Sie eine quadratische Gleichung mit den Lösungen 2 und 2 an. 8. Franz möchte sein Kapital in zwei Jahren verdoppeln. Wie hoch muss der Zinssatz sein, wenn die Zinsen mitverzinst werden? Bakterien vermehren sich in 2 Stunden auf 450 Bakterien. Um wie viel % vermehren sie sich pro Stunde?

197 8.3.2 Gemischtquadratische Gleichungen Eine reinquadratische Gleichung enthält Ausdrücke mit x 2 und Zahlen, z. B. x = 4. Nun betrachten wir Gleichungen, in denen neben x 2 und Zahlen auch Ausdrücke mit x vorkommen, z. B. x 2 6x + 9 = 4. Solche Gleichungen nennt man gemischtquadratische Gleichungen. Beispiel: Gegeben ist die gemischtquadratische Gleichung x 2 6x + 9 = 4. Bestimmen Sie die Lösungsmenge und machen Sie die Probe. Bestimmung der Lösungsmenge durch Faktorisieren. Gleichung x 2 6x + 9 = Term x 2 6x + 9 faktorisieren (x 3) 2 = 4 Bemerkung: Binom x 2 6x + 9 = (x 3) 2 Lösung durch Wurzelziehen x 3 = 2 oder x 3 = 2 Zwei Lösungen x 1 = 5 oder x 2 =1 Lösungsmenge L = {5; 1} Probe: Mit x 1 = = 4 4 = 4 w. A. Mit x 2 = = 4 4 = 4 w. A. Beispiel: Gegeben ist die Gleichung x x =11. Bestimmen Sie die Lösungsmenge. Bestimmung der Lösungsmenge mit der quadratischen Ergänzung. Da auf der linken Seite keine binomische Formel angewendet werden kann, ist das Faktorisieren nicht direkt möglich. Man formt die Gleichung so um, dass auf der linken Seite ein Binom steht. Gleichung x x =11 Man addiert auf beiden Seiten die quadratische Ergänzung ( 10 2 ) 2 = 5 2 = 25 x x = Bemerkung: Binom x x + 25 = (x + 5) 2 (x + 5) 2 = 36 Lösung durch Wurzelziehen x + 5 = 6 oder x + 5 = 6 Zwei Lösungen x 1 = 1 oder x 2 = 11 Lösungsmenge L = {1; 11} 197

198 Beispiel: Gegeben ist die Gleichung 2x 2 4x 30 = 0. Bestimmen Sie die Lösungsmenge und machen Sie die Probe. Umformung 2 x 2 4x 30 = 0 30 Division durch den Faktor 2 vor x 2 2 x 2 4x = 30 : 2 x 2 2x = 15 Quadratische Ergänzung ( 2 2 ) 2 = 1 2 = 1 x 2 2x + 1 = Bemerkung: Binom x 2 2x + 1= (x 1) 2 (x 1) 2 = 16 Lösung durch Wurzelziehen x 1 = 4 oder x 1 = 4 Zwei Lösungen x 1 = 5 oder x 2 = 3 Lösungsmenge L = {5; 3} Probe: x 1 = 5 in die Ausgangsgleichung einsetzen: = 0 0 = 0 w. A. x 2 = 3 in die Ausgangsgleichung einsetzen: 2 ( 3) 2 4( 3) 30 = 0 0 = 0 w.a. Beachten Sie: Für die quadratische Gleichung x 2 + bx + c = 0 ist die quadratische Ergänzung ( b 2 ) 2. Übungsaufgabe 100 Für die folgenden Aufgaben ist die Grundmenge G = R. 1. Bestimmen Sie die Lösungsmenge und machen Sie die Probe. 1.1 (x 5) 2 = (x + 7 ) 2 = (2x + 9) 2 = (6 x) 2 = Lösen Sie die gemischtquadratischen Gleichungen durch Faktorisieren. 2.1 x x + 36 = x 2 14x + 49 = x 2 + 2x 1 = x 2 12x + 18 = 2 3. Lösen Sie folgende Gleichungen und machen Sie die Probe. 3.1 x 2 10x = x 2 4x = x 2 7x = x 2 + x + 6 = x 2 x = x x = x = 6x x x = Vermehrt man eine Zahl um ihre Quadratzahl, so erhält man 56. Wie heißt die Zahl? 5. Zwei Zahlen unterscheiden sich um 12. Das Produkt der beiden Zahlen beträgt Bestimmen Sie die beiden Zahlen. 198

199 Lösen mit Formel Das Lösen einer quadratischen Gleichung mithilfe der quadratischen Ergänzung und des Wurzelziehens ist aufwendig. Deshalb versucht man quadratische Gleichungen mit einer Formel zu lösen. Wir übertragen die einzelnen Lösungsschritte auf eine quadratische Gleichung, die in allgemeiner Form gegeben ist. Bestimmen Sie die Lösung der quadratischen Gleichung a x 2 + bx + c = 0; a 0, b, c R. Beachten Sie: Jede quadratische Gleichung lässt sich in der (allgemeinen) Form a x 2 + bx + c = 0; a 0, b, c R darstellen. Umformung a x 2 + bx + c = 0 Division durch den Faktor a vor x 2 : a x 2 + bx = c x 2 + b a x = c a Quadratische Ergänzung ( b 2a ) 2 x 2 + b a x + ( b 2a ) 2 = c a + ( b 2a ) 2 Faktorisieren (x + b 2a ) 2 = b 2 c 4 a 2 a Brüche zusammenfassen (x + b 2a ) 2 = b 2 4ac 4 a 2 Wurzelziehen x + b 2a = b 2 4ac 4 a 2 oder x + b 2a = b 2 4ac 4 a 2 Lösungen x 1 = b 2a + b 2 4ac = b + b 2 4ac 2a 2a x 2 = b b 2 4ac 2a Kurzschreibweise x 1 2 = b ± b 2 4ac 2a Formel zum Lösen einer quadratischen Gleichung Hat eine quadratische Gleichung der Form a x 2 + bx + c = 0; a 0, b, c R, die Lösungen x 1 und x 2, so gilt: x 1 2 = b ± b 2 4ac (a,b,c-formel) 2a Der Term unter der Wurzel (der Radikand) heißt Diskriminante D: D = b 2 4ac. Bemerkung: Eine weitere Lösungsformel ist die p,q-formel. Eine quadratische Gleichung der Form x 2 + px + q = 0; p, q R, hat die Lösungen: x 1 2 = 1 2 ( p ± p 2 4q ) (p,q-formel). 199

200 Beispiel: Gegeben ist eine quadratische Gleichung. Berechnen Sie die Diskriminante D und lösen Sie die Gleichung. Geben Sie die Lösungsmenge an x x 5 = x 2 + 5x 25 2 = x 2 6x = 15 Zu 1.: a, b, c bestimmen a = 3; b = 14; c = 5 a,b,c-formel aufschreiben x 1 2 = b ± b 2 4ac 2a Werte für a, b und c einsetzen. x 1 2 = 14 ± ( 5) 2 3 Diskriminante D ausrechnen D = = 256 > 0 Lösungen: x 1 2 = 14 ± ± 16 Mit 256 = 16 x 1 2 = 6 x 1 berechnen x 1 = = = x 2 berechnen x 2 = = = 5 D > 0; Gleichung hat zwei Lösungen x 1 = 1 3 ; x = 5 2 Lösungsmenge L = { 1 3 ; 5} Zu 2.: Gleichung vereinfachen 1 2 x 2 + 5x 25 = 0 2 ( 2) x 2 10x + 25 = 0 a, b, c bestimmen a = 1; b = 10; c = 25 Werte für a, b und c einsetzen. x 1 2 = 10 ± ( 10) Diskriminante D ausrechnen D = = 0 Lösungen: x 1 2 = 10 ± 0 2 Wurzel ziehen x 1 2 = 10 ± 0 2 x 1 berechnen x 1 = 10 2 = 5 x 2 berechnen x 2 = 10 2 = 5 D = 0; Die Gleichung hat eine (doppelte) Lösung x 1 2 = 5. Lösungsmenge L = { 5 } 200

201 Zu 3.: Auf Nullform bringen 3 x 2 6x = 15 Nullform 3 x 2 6x + 15 = 0 a, b, c bestimmen a = 3; b = 6; c = 15 Werte für a, b und c einsetzen x 1 2 = 6 ± ( 6) Diskriminante D ausrechnen D = = 144 < 0 Die Gleichung hat keine Lösung, da man die Wurzel aus einer negativen Zahl nicht ziehen kann. D < 0; Die Gleichung hat keine Lösung. Lösungsmenge L = Ø Die Anzahl der Lösungen hängt von der Diskriminante (D) ab. D = b 2 4ac D > 0 D = 0 D < 0 Zwei Lösungen eine Lösung keine Lösung Übungsaufgabe Lösen Sie die quadratischen Gleichungen und machen Sie die Probe. 1.1 x 2 + x 12 = x 2 + 6x 16 = x 2 12x + 18 = x 2 + 4x 4 = x 2 + 4x 48 = x 2 5x + 8 = 0 2. Lösen Sie die Gleichungen der Übungsaufgabe 100 Nr. 3 mit der a,b,c-formel. 3. Berechnen Sie die Diskriminante D und bestimmen Sie die Anzahl der Lösungen. 3.1 x x + 24 = x 2 16x + 32 = x 2 4x + 5 = x 2 + x 2 = ,5 x 2 + 2x + 2 = x 2 3x + 10 = 0 4. Bestimmen Sie die Lösungsmenge x 2 9x = x x 2 = x x + 7 = 1 2 x x x = x(5x 25 2 ) = x x = (2 x + 5) 2 5. Eine quadratische Gleichung hat die Lösungen x 1 2 = 5 ± ( 5) Geben Sie eine mögliche Gleichung an. 201

202 Lösen durch Ausklammern und Anwendung des Satzes vom Nullprodukt Bei manchen quadratischen Gleichungen sollte man die Lösung ohne Lösungsformel bestimmen. Beispiel: Gegeben ist eine quadratische Gleichung. Berechnen Sie die Lösung ohne Lösungsformel. 1. x 2 + 3x = x 2 = 5x Zu 1.: Die Gleichung x 2 + 3x = 0 ist ein Sonderfall einer gemischtquadratischen Gleichung mit c = 0. Da jeder Summand ( x 2 ; 3x) x enthält, kann man x ausklammern. Gleichung in Nullform x 2 + 3x = 0 x ausklammern x(x + 3) = Wann ist ein Produkt null? Produkt = 0 Beispiel: 4 0 = 0 oder 0 8 = 0 oder 0 0 = 0 Ein Produkt ist null, wenn der 1. Faktor null oder der 2. Faktor null ist oder beide Faktoren null sind, d. h., wenn mindestens ein Faktor null ist. Satz vom Nullprodukt: Ein Produkt ist null, wenn mindestens ein Faktor null ist. Die Gleichung hat die Form Produkt = 0 x(x + 3) = 0 Satz vom Nullprodukt anwenden x = 0 oder x + 3 = 0 Die Gleichung hat zwei Lösungen x 1 = 0; x 2 = 3 Zu 2.: Gleichung auf Nullform bringen 4 x 2 = 5x Nullform 4 x 2 5x = 0 x ausklammern x(4x 5) = 0 Satz vom Nullprodukt anwenden x = 0 oder 4x 5 = 0 Die Gleichung hat zwei Lösungen x 1 = 0; x 2 = 5 4 Übungsaufgabe Lösen Sie die quadratischen Gleichungen x 2 + 3x = x 2 x = x = 1 2 x 2 2. Lösen Sie ohne Formel. 2.1 x(5 3x) = (3x 2) 2 = (x 3)(x + 4) = 0 3. Geben Sie eine quadratische Gleichung mit den Lösungen x 1 = 5 und x 2 = 2 an. 202

203 9 Quadratische Funktionen 9.1 Einführung Beispiel: Beim freien Fall hängt der Fallweg s von der Fallzeit t ab. Die Formel für den freien Fall lautet: s = 5 t 2. S ist der Fallweg in Meter; t die Fallzeit in Sekunden. 1. Erstellen Sie eine Wertetabelle. 2. Übertragen Sie die entsprechenden Punkte in ein Koordinatensystem. Zu 1.: Wertetabelle Z. B.: Für t = 2: s = = 20 Zu 2.: Verbindet man die Punkte, so kann man erkennen, dass das Schaubild keine Gerade ist. In diesem Fall spricht man von einer Parabel. Anhand der Formel s = 5 t 2 sieht man, dass der Weg s quadratisch von der Zeit t abhängt. Wir untersuchen nun solche quadratischen Abhängigkeiten. Umbennung: In der Mathematik schreibt man für die Variable s den Buchstaben y und für die Variable t den Buchstaben x. Die Gleichung dieser Parabel lautet dann: y = 5 x 2. t in Sekunden s in Meter s y in m 80 s = 5 t t in s Übungsaufgabe 103 Gegeben ist die Gleichung der Parabel p mit y = 5 x Vervollständigen Sie folgende Tabelle. x 2,5 0,5 2,5 y 0,2 11,25 2. Überprüfen Sie, ob die Punkte A(0,5 1,25) und B( 1,15 6,6) auf p liegen. 203