Theoretische Informatik I

Transkript

1 Theoretische Informatik I Einheit 3.2 Pushdown Automaten 1. Das Maschinenmodell 2. Arbeitsweise & erkannte Sprache 3. Beziehung zu Typ-2 Sprachen 4. Deterministische PDAs

2 Ein Maschinenmodell für Typ-2 Sprachen Eingabe Externer Speicher Zustandsüberführung δ Endlicher Automat Interner Zustand Maschinenmodell für Typ-2 Sprachen Akzeptieren Ablehnen Typ-3 Sprachen werden von NEAs akzeptiert Typ-3 Grammatik erzeugt pro Schritt ein Terminalsymbol NEA verarbeitet pro Schritt ein Eingabesymbol Erzeugte Terminalsymbole stehen links von der aktuellen Variablen Verarbeitete Eingabesymbole führen zu aktuellem Zustand Rechts von der aktuellen Variablen steht noch nichts Im Zustand ist nichts über noch unverarbeitete Eingabesymbole bekannt Welches Maschinenmodell paßt zu Typ-2 Sprachen? Kontextfreie Grammatiken können L 1 = {0 m 1 m m N} erzeugen Endliche Automaten haben kein Gedächtnis und können L 1 nicht erkennen Typ-2 Maschinenmodell benötigt externen Speicher Theoretische Informatik I 3.2: 1 Pushdown Automaten

3 Welches Speichermodell brauchen Typ-2 Sprachen? Benutze Analogie der Linksableitungen Links von der aktuellen Variablen A stehen nur erzeugte Terminalsymbole Entspricht den schon verarbeiteten Eingabesymbolen Aber rechts von A steht bereits Text Abarbeitung von A schiebt weiteren Text in die Mitte Automat muß Information speichern, die noch verarbeitet werden muß Information erklärt, was am Ende der Eingabe erwartet wird Wenn A komplett abgearbeitet, springt Linksableitung über Terminalsymbole zur nächsten Variablen Automat muß zuletzt erzeugte Information zuerst abarbeiten Speicher des Automaten sollte ein Stack sein Theoretische Informatik I 3.2: 2 Pushdown Automaten

4 Pushdown-Automaten intuitiv Eingabe Endlicher Automat + Stack Endliche Steuerung liest Eingabesymbole Interner Zustand Endliche Steuerung Zustandsüberführung δ a b c e f Stack Gleichzeitig kann das oberste Symbol im Stack beobachtet werden Eingabe und Stack wird gleichzeitig bearbeitet Gelesenes Symbol wird aus Eingabe entfernt Zustand kann verändert werden Akzeptieren Ablehnen Oberstes Stacksymbol wird durch (mehrere neue Stacksymbole ersetzt Nichtdeterministische Entscheidungen und spontane ɛ-übergänge möglich Theoretische Informatik I 3.2: 3 Pushdown Automaten

5 Pushdown-Automat für gerade Palindrome L = {ww R w {0, 1} } ist kontextfrei Speichere w in q 0 In q 0 wird je ein Symbol gelesen und auf den Stack gelegt Gelesenes Wort steht von unten nach oben im Stack Spontaner Wechsel in der Mitte Nichtdeterministischer ɛ-übergang von q 0 nach q 1 Im Stack steht w in umgekehrter Reihenfolge Verarbeite w R in q 1 In q 1 wird je ein Symbol gelesen und mit dem Stacksymbol verglichen Stacksymbol wird bei Gleichheit entfernt Leerer Stack akzeptiert Wenn Stack leer ist, wurde w R in q 1 verarbeitet Theoretische Informatik I 3.2: 4 Pushdown Automaten

6 Pushdown-Automaten mathematisch präzisiert Eingabe Interner Zustand Endliche Steuerung Zustandsüberführung δ Akzeptieren Ablehnen a b c e f Stack Ein Pushdown-Automat (PDA, Kellerautomat ist ein 7-Tupel P = (Q, Σ, Γ, δ, q 0, Z 0, F mit Q nichtleere endliche Zustandsmenge Σ endliches Eingabealphabet Γ endliches Stackalphabet δ:q (Σ {ɛ} Γ P(Q Γ q 0 Q Startzustand Z 0 Γ Initialsymbol des Stacks Überführungsfunktion F Q Menge von akzeptierenden Zuständen (Anfangszustand Theoretische Informatik I 3.2: 5 Pushdown Automaten (Endzustände Pushdown-Automaten sind üblicherweise nichtdeterministisch!

7 Pushdown-Automat für {ww R w {0, 1} } 0,X / 0X 1,X / 1X 0,0 / ɛ 1,1 / ɛ Start q 0 ɛ,x / X q 1 ɛ,z 0 / Z 0 q2 Speichere w in q 0 Jedes gelesene Symbol wird dem Stack zugefügt δ(q 0,a,X = {(q 0,aX} für a {0,1}, X Γ Spontaner ɛ-übergang von q 0 nach q 1 δ(q 0,ɛ,X = {(q 1,X} für X Γ Verarbeite w R in q 1 Jedes gelesene Symbol wird dem obersten Stacksymbol verglichen δ(q 1,a,a = {(q 1,ɛ} für a {0,1} Leerer Stack akzeptiert (ɛ-übergang nach q 2 δ(q 1,ɛ,Z 0 = {(q 2,Z 0 } P = ({q 0, q 1, q 2 }, {0,1}, {0,1,Z 0 }, δ, q 0, Z 0, {q 2 } Theoretische Informatik I 3.2: 6 Pushdown Automaten

8 Beschreibung von Pushdown-automaten Übergangsdiagramme Start 0,X / 0X 1,X / 1X q 0 ɛ,x / X 0,0 / ɛ 1,1 / ɛ q 1 ɛ,z 0 / Z 0 q 2 Jeder Zustand in Q wird durch einen Knoten (Kreise dargestellt Für (p, α δ(q, a, X, a (Σ ɛ hat das Diagramm eine Kante q a,x/α p (mehrere Beschriftungen derselben Kante möglich q 0 wird durch einen mit Start beschrifteten Pfeil angezeigt Endzustände in F werden durch doppelte Kreise gekennzeichnet Σ und Γ implizit durch die Diagramm bestimmt, Initialsymbol heißt Z 0 Übergangstabellen Tabellarische Darstellung der Funktion δ Kennzeichnung von q 0 durch einen Pfeil Kennzeichnung von F durch Sterne Σ, Γ und Q implizit durch die Tabelle bestimmt Wildcard (,,.. für a Σ oder X Γ erlaubt Q Σ ɛ Γ Resultat q 0 0 q 0,0 q 0 1 q 0,1 q 0 ɛ q 1, q q 1,ɛ q q 1,ɛ q 1 ɛ Z 0 q 2,Z 0 * q 2 Theoretische Informatik I 3.2: 7 Pushdown Automaten

9 Arbeitsweise von Pushdown-Automaten Generalisiere ˆδ zu Konfigurationsübergängen Konfiguration: der wirkliche Zustand des PDA Mehr als q Q: auch Inhalt des Stacks und unverarbeitete Eingabe zählt Formal dargestellt als Tripel K = (q,w,γ Q Σ Γ Konfigurationsübergang Wechsel zwischen Konfigurationen durch Abarbeitung von Worten (q,aw,xβ (p,w,αβ, falls (p, α δ(q, a, X K 1 K 2, falls K 1 = K 2 oder es gibt eine Konfiguration K mit K 1 K und K K 2 Konfigurationsübergänge für NEAs definierbar Konfigurationen sind Paare K = (q,w Q Σ (q,aw (p,w, falls p δ(q, a, K 1 K 2 definiert wie oben Allgemeinere, aber für endliche Automaten weniger intuitive Notation Theoretische Informatik I 3.2: 8 Pushdown Automaten

10 Abarbeitung des Palindrom PDA Verarbeitung von 1111 (q 0, 1111, Z 0 Start 0,X / 0X 1,X / 1X q 0 0,0 / ɛ 1,1 / ɛ ɛ,x / X q 1 ɛ,z 0 / Z 0 q 2 (q 0, 111, 1Z 0 (q 1, 1111, Z 0 (q 2, 1111, Z 0 (q 0, 11, 11Z 0 (q 1, 111, 1Z 0 (q 1, 11, Z 0 (q 0, 1, 111Z 0 (q 1, 11, 11Z 0 (q 2, 11, Z 0 (q 0, ɛ, 1111Z 0 (q 1, 1, 111Z 0 (q 1, 1, 1Z 0 (q 1, ɛ, 1111Z 0 (q 1, ɛ, 11Z 0 (q 1, ɛ, Z 0 (q 2, ɛ, Z 0 Theoretische Informatik I 3.2: 9 Pushdown Automaten

11 Wichtige Einsichten zu Konfigurationsübergängen Gilt (q,x,α (p,y,β dann gilt auch (q,xw,αγ (p,yw,βγ für alle w Σ, γ Γ Weder w noch γ werden bei der Verarbeitung angesehen Beweis durch Induktion über Anzahl der Konfigurationsschritte Kernargument: (q,aw,xγ (p,w,βγ, falls (p, β δ(q, a, X was hinter a bzw. X kommt, bleibt unverändert Gilt (q,xw,α (p,yw,β dann gilt auch (q,x,α (p,y,β für alle w Σ Wenn w bisher nicht gelesen wurde, dann spielt es (noch keine Rolle Dagegen kann es von Bedeutung sein, ob im Stack hiner α etwas steht Theoretische Informatik I 3.2: 10 Pushdown Automaten

12 Erkannte Sprache eines Pushdown-Automaten Zwei alternative Definitionen Akzeptanz durch akzeptierende Endzustände (Standarddefinition L F (P = { w Σ q F. β Γ. (q 0, w, Z 0 (q, ɛ, β } Akzeptanz durch leeren Stack (oft praktischer L ɛ (P = { w Σ q Q. (q 0, w, Z 0 (q, ɛ, ɛ } Beide Akzeptanzdefinitionen sind äquivalent Zu jedem PDA P ɛ = (Q, Σ, Γ, q 0, Z 0, δ, kann ein PDA P F konstruiert werden mit L ɛ (P ɛ = L F (P F Zu jedem PDA P F = (Q, Σ, Γ, q 0, Z 0, δ, F kann ein PDA P ɛ konstruiert werden mit L F (P F = L ɛ (P ɛ Theoretische Informatik I 3.2: 11 Pushdown Automaten

13 Sprachen des Palindromautomaten 0,X / 0X 1,X / 1X 0,0 / ɛ 1,1 / ɛ Start q 0 ɛ,x / X q 1 ɛ,z 0 / Z 0 q 2 L F (P = {ww R w {0, 1} } : Durch Induktion über Länge von w zeige, daß für jedes Wort ww R gilt (q 0,ww R,Z 0 (q 0,w R,w R Z 0 (q 1,w R,w R Z 0 (q 1,ɛ,Z 0 (q 2,ɛ,Z 0 : Durch Induktion über Länge von x zeige Wenn (q 0,x,α (q 1,ɛ,α dann x=ww R für ein w {0,1} Kernidee: (q 0,x 1..x n, α (q 0,x 2..x n, x 1 α (q 1,x i..x n, βx 1 α (q 1,x n, x 1 α (q 1,ɛ,α impliziert (q 0,x 1..x n 1, α (q 0,x 2..x n 1, x 1 α... (q 1,ɛ, x 1 α und x 1..x n = x 1 x 2..x n 1 x 1 = x 1 vv R x 1 für ein v {0,1} Siehe HMU L ɛ (P = Einfaches Argument: Z 0 wird nie gelöscht Modifikation: Ändere Kantenbeschriftung von q 1 nach Q 2 zu ɛ,z 0 / ɛ Dann gilt L ɛ (P = L F (P = {ww R w {0, 1} } Theoretische Informatik I 3.2: 12 Pushdown Automaten

14 Transformation von L ɛ in L F Zu jedem PDA P ɛ = (Q, Σ, Γ, q 0, Z 0, δ, kann ein PDA P F konstruiert werden mit L ɛ (P ɛ = L F (P F Bei leerem Stack wechsele in Endzustand Neues Initialsymbol X 0 für P F markiert unteres Ende des Stacks Neuer Anfangszustand p 0 für P F schreibt Initialsymbol von P ɛ auf Stack Neuer Endzustand p f in den bei leerem Stack gewechselt wird P F = (Q {p 0, p f }, Σ, Γ {X 0 }, p 0, X 0, δ F, {p f } δ F (p 0,ɛ,X 0 = {(q 0,Z 0 X 0 } δ F (q,a,x = δ(q,a,x für alle q Q, X Γ δ F (q,ɛ,x 0 = {(p f,ɛ} für alle q Q Korrektheitsbeweis durch Detailanalyse Theoretische Informatik I 3.2: 13 Pushdown Automaten

15 Umwandlung eines L ɛ -PDA in einen L F -PDA Gegeben P ɛ = ({q}, {if, else}, {Z}, q, Z, δ, mit δ(q, if, Z = {(q, ZZ} δ(q, else, Z = {(q, ɛ} Erkennt, daß ein (Teil-Ausdruck mehr else als if enthält Start if,z / ZZ else,z / ɛ q 0 P F = ({p 0, q, p f }, {if, else}, {X 0, Z}, p 0, X 0, δ F, {p f } δ F (p 0,ɛ,X 0 = {(q,zx 0 } δ F (q, if, Z = {(q, ZZ} δ F (q, else, Z = {(q, ɛ} Start p 0 ɛ,x 0 / ZX 0 if,z / ZZ else,z / ɛ q0 ɛ,x 0 / ɛ p f δ F (q,ɛ,x 0 = {(p f,ɛ} Theoretische Informatik I 3.2: 14 Pushdown Automaten

16 Transformation von L F in L ɛ Zu jedem PDA P F = (Q, Σ, Γ, q 0, Z 0, δ, F kann ein PDA P ɛ konstruiert werden mit L F (P F = L ɛ (P ɛ Im Endzustand leere den Stack Neuer Stacklösch-Zustand p, in von Endzuständen gewechselt wird Neues Initialsymbol X 0 für P ɛ verhindert irrtümliches Leeren des Stacks Neuer Anfangszustand p 0 für P ɛ schreibt Initialsymbol von P F auf Stack P F = (Q {p 0, p}, Σ, Γ {X 0 }, q 0, X 0, δ ɛ, δ ɛ (p 0,ɛ,X 0 = {(q 0,Z 0 X 0 } δ ɛ (q,a,x = δ(q,a,x für alle q Q, X Γ δ ɛ (q,ɛ,x 0 = {(p,ɛ} für alle q F δ ɛ (p,ɛ,x = {(p,ɛ} für alle X Γ {X 0 } Theoretische Informatik I 3.2: 15 Pushdown Automaten

17 Sind PDAs wirklich die Maschinen für Typ-2 Sprachen? L 2 = L P DA = { L P :PDAs. L=L ɛ (P } Konfigurationsübergänge ˆ= Linksableitungen (q 0, xy, Z 0 (q, y, A α bedeutet, daß P nach Verarbeitung von x im Zustand q ist und noch y und den Stack A α zu verarbeiten hat A α muß gespeichert und beim Lesen von y komplett abgearbeitet werden Linksableitung S xa α xy erzeugt aus dem Startsymbol zuerst das Wort xa α umd muß dann y aus A α ableiten Grammatik Pushdown-Automat PDA muß Linksableitung auf Stack simulieren Erzeugte linke Terminalteilworte müssen mit Teil der Eingabe verglichen werden um nächste Variable freizulegen Pushdown-Automat Grammatik Grammatik muß Abarbeitung von Symbolen des Stacks simulieren Regeln beschreiben wie PDA zur Abarbeitung von X mit δ Zwischenworte im Stack auf- und schließlich wieder abbaut Theoretische Informatik I 3.2: 16 Pushdown Automaten

18 Von Grammatiken zu Pushdown-Automaten Zu jeder kontextfreien Grammatik G = (V, T, P G, S kann ein PDA P konstruiert werden mit L(G = L ɛ (P Stack simuliert Linksableitungen von G Beginne mit Startsymbol von G A V wird durch die rechte Seite β einer Regel A β ersetzt a T wird vom Stack entfernt, wenn es als Eingabesymbol erscheint um nächste Variable der Linksableitungen im Stack zu identifizieren P = ({q}, T, V T, q, S, δ, δ(q,ɛ,a = {(q,β A β P G } für alle A V δ(q,a,a = {(q,ɛ} für alle a T Korrektheitsbeweis L(G = L ɛ (P Zeige: ( Wenn S = x 1 A 1 α 1 L..x m A m α m L w T dann gibt es y i mit (q, w, S (q, y i, A i α i und x i y i = w ( Wenn (q, w, X (q, ɛ, ɛ dann X w Theoretische Informatik I 3.2: 17 Pushdown Automaten

19 Korrektheitsbeweis L(G L ɛ (P Wenn S = x 1 A 1 α 1 L..x m A m α m L w T (x i T, A i V dann gibt es y i mit (q, w, S (q, y i, A i α i und x i y i = w Beweis durch Induktion über Länge i der Linksableitung Basisfall i = 1: S = x 1 A 1 α 1 L w T Es folgt S = A 1 und x 1 =α 1 =ɛ, also y 1 =w (q, w, S (q, w, S gilt mit 0 Konfigurationsübergängen Induktionsschritt: S.. L x i A i α i L x i+1 A i+1 α i+1 L w T x i A i α i L x i+1 A i+1 α i+1 verlangt A i β P G für ein β Also (q,β δ(q,ɛ,a i also (q,y i,a i α i (q,y i,βα i Zerlege βα i in xa i+1 α i+1. Dann kann y i in xy i+1 zerlegt werden Es folgt (q,xy i+1,xa i+1 α i+1 (q, y i+1, A i+1 α i+1 (PDA arbeitet x ab Mit Induktionsannahme: (q, w, S (q, y i, A i α i (q, y i+1, A i+1 α i+1 Schlußfolgerung: S = x 1 A 1 α 1 L..x m+1 A m+1 α m+1 = w T x m+1 =w und A m+1 =α m+1 =y m+1 =ɛ Also (q, w, S (q, ɛ, ɛ, d.h. w L ɛ (P Theoretische Informatik I 3.2: 18 Pushdown Automaten

20 Korrektheitsbeweis L(G L ɛ (P Wenn (q, w, X (q, ɛ, ɛ dann X w Beweis durch Induktion über Länge der PDA Berechnung Basisfall: (q, w, X (q, ɛ, ɛ Es folgt X ɛ P G und w = ɛ, also X w Induktionsschritt: (q, w, X n+1 (q, ɛ, ɛ Da X oben im Stack steht, muß der erste Schritt die Form (q, w, X (q, w, Y 1..Y k für ein X Y 1..Y k P G haben Dann gibt eine Zerlegung w = w 1..w k mit (q, w 1..w k, Y 1..Y k (q, w 2..w k, Y 2..Y k (q, ɛ, ɛ Es folgt (q, w i..w k, Y i (q, w i+1..w k, ɛ also (q, w i, Y i (q, ɛ, ɛ Per Induktionsannahme folgt Y i w i für alle i also X Y 1..Y k w 1..w k = w L(G L ɛ (P folgt nun mit w L ɛ (P und X = S Theoretische Informatik I 3.2: 19 Pushdown Automaten

21 Umwandlung einer Grammatik in einen PDA G 6 = ({E, I}, {a, b, 0, 1, +,, (, }, P G, E mit P G = { E I E+E E E (E I a b Ia Ib I0 I1 } Erzeuge P = ({q}, T, V T, q, E, δ, mit V ={E, I} und T ={a, b, 0, 1, +,, (, } δ(q,ɛ,e = {(q,i, (q,e+e, (q,e E, (q,(e} δ(q,ɛ,i = {(q,a, (q,b, (q,ia, (q,ib, (q,i0, (q,i1} δ(q,a,a = {(q,ɛ} δ(q,+,+ = {(q,ɛ} δ(q,b,b = {(q,ɛ} δ(q,, = {(q,ɛ} δ(q,0,0 = {(q,ɛ} δ(q,(,( = {(q,ɛ} δ(q,1,1 = {(q,ɛ} δ(q,, = {(q,ɛ} Theoretische Informatik I 3.2: 20 Pushdown Automaten

22 Von Pushdown-Automaten zu Grammatiken Zu jedem PDA P = (Q, Σ, Γ, q 0, Z 0, δ, F kann eine kontextfreie Grammatik G konstruiert werden mit L ɛ (P = L(G Simuliere Abarbeitung eines Symbols vom Stack Verarbeite Variablen der Form (p, X, q: Entfernen von X kann von Zustand p zu Zustand q führen Entfernen von X kann heißen, zuerst ein Y 1..Y m auf- und dann abzubauen Beginne mit Erzeugung von Z 0 und zeige, daß Z 0 entfernt werden kann G = (Σ, {S} Q Γ Q, P G, S S (q 0, Z 0, q P G für alle q Q (p, X, q m a (p, Y 1, q 1...(q m 1, Y m, q m P G, für beliebige q 1,.., q m Q, falls (p, Y 1..Y m δ(q, a, X Korrektheitsbeweis L ɛ (P = L(G Zeige: (p, X, q w Σ genau dann, wenn (p, w, X (q, ɛ, ɛ : Induktion über Länge der PDA Berechnung : Induktion über Länge der Ableitung (viele Details Theoretische Informatik I 3.2: 21 Pushdown Automaten

23 Umwandlung eines PDA in eine Grammatik Gegeben P = ({q}, {if, else}, {Z}, q, Z, δ, mit δ(q, if, Z = {(q, ZZ} δ(q, else, Z = {(q, ɛ} Start if,z / ZZ else,z / ɛ q 0 G = ({if, else}, {S, (q, Z, q}, P G, S mit P G = S (q, Z, q (q, Z, q if (q, Z, q(q, Z, q (q, Z, q else Kurzschreibweise A für Hilfssymbol (q, Z, q ergibt elegantere Darstellung G = ({if, else}, {S, A}, P G, S mit P G = S A A if AA A else Theoretische Informatik I 3.2: 22 Pushdown Automaten

24 Brauchen wir Nichtdeterministische Automaten? Grammatiken sind nichtdeterministisch Nichtdeterministische Automaten sind das natürliche Gegenstück Grammatikregeln führen zu mengenwertiger Überführungsfunktion Wirkliche Automaten müssen deterministisch sein Typ-3 Sprachen haben deterministische Modelle NEAs können in äquivalente DEAs umgewandelt werden Teilmengenkonstruktion kann Automaten exponentiell vergrößern Reichen deterministische PDAs für Typ-2 Sprachen? Überführungsfunktion δ:q (Σ {ɛ} Γ Q Γ muß eindeutig sein Gibt es für PDAs immer äquivalente deterministische PDAs? Theoretische Informatik I 3.2: 23 Pushdown Automaten

25 Deterministische Pushdown-Automaten präzisiert Ein Deterministischer Pushdown-Automat (DPDA ist ein 7-Tupel P = (Q, Σ, Γ, δ, q 0, Z 0, F mit Q nichtleere endliche Zustandsmenge Σ endliches Eingabealphabet Γ endliches Stackalphabet δ:q (Σ {ɛ} Γ Q Γ Überführungsfunktion δ(q,ɛ,x nur definiert, wenn δ(q,a,x für alle a Σ undefiniert q 0 Q Startzustand Z 0 Γ Initialsymbol des Stacks F Q Menge von akzeptierenden Zuständen Erkannte Sprache (Anfangszustand (Endzustände L F (P = { w Σ q F. β Γ. (q 0, w, Z 0 (q, ɛ, β } L ɛ (P = { w Σ q Q. (q 0, w, Z 0 (q, ɛ, ɛ } Theoretische Informatik I 3.2: 24 Pushdown Automaten

26 DPDAs sind nicht mächtig genug DPDA-Sprachen sind eine echte Teilklasse von L 2 1. L(DP DA L 2 : Jeder DPDA ist ein spezieller PDA 2. DPDAs können {ww R w {0, 1} } nicht erkennen DPDA P kann nicht entscheiden, wo die Mitte eines Wortes liegt Wenn 0 n 110 n (großes n gelesen ist, ist Stack durchs Zählen geleert Wenn noch einmal 0 n 110 n gelesen wird, muß P akzeptieren Wenn stattdessen 0 m 110 m (m n kommt, darf P nicht akzeptieren Aber die Information über n ist nicht mehr gespeichert (Details aufwendig DPDAs erkennen nur eindeutige Typ-2 Sprachen 1. Für jeden DPDA P hat L ɛ (P eine eindeutige Grammatik Für DPDAs ergibt die Umwandlung eine eindeutige Typ-2 Grammatik Folge der Konfigurationsübergänge bestimmt Linksableitung eindeutig 2. Für jeden DPDA P hat L F (P eine eindeutige Grammatik Umwandlung in L ɛ DP DA kann deterministisch gemacht werden Theoretische Informatik I 3.2: 25 Pushdown Automaten

27 DPDAs sind mächtiger als endliche Automaten L 3 = L(DEA L F (DP DA Jeder DEA ist ein spezieller DPDA Aussage gilt nur für Erkennung mit Endzustand L = {w#w R w {0, 1} } L F (DP DA L(DEA L ist nicht regulär Beweis durch Pumping Lemma, analog zu {ww R w {0, 1} } L = L F (P für folgenden DPDA P 0,X / 0X 1,X / 1X 0,0 / ɛ 1,1 / ɛ Start q 0 #,X / X q 1 ɛ,z 0 / Z 0 q 2 P ist deterministisch, da ɛ-übergang in q 1 genau bei Stacksymbol Z 0 {0} L ɛ (DP DA Wenn der Stack einmal leer ist, kann ein DPDA nicht mehr weiterarbeiten Theoretische Informatik I 3.2: 26 Pushdown Automaten

28 Pushdown-Automaten Zusammenfassung Maschinenmodell für kontextfreie Sprachen Nichtdeterministischer endlicher Automat mit Stack und ɛ-übergängen Erkennung von Worten durch Endzustand oder leeren Stack Erkennungsmodelle sind ineinander transformierbar Verhaltensanalyse durch Konfigurationsübergänge Konfigurationen beschreiben Gesamtzustand von Pushdown-Automaten Konfigurationsübergänge verallgemeinern Überführungsfunktionen Äquivalent zu kontextfreien Grammatiken Umwandlung von Konfigurationsübergängen in Regeln und umgekehrt Deterministische PDAs sind weniger mächtig DPDAs erkennen nur eindeutige Typ-2 Sprachen L ɛ -DPDAs können nicht einmal alle regulären Sprachen erkennen Theoretische Informatik I 3.2: 27 Pushdown Automaten