Didaktik der Grundschulmathematik II

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1 Didaktik der Mathematik Universität Würzburg Didaktik der Grundschulmathematik II Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/ Jürgen Roth Inhaltsverzeichnis Kapitel 4: Didaktik der Geometrie Geometrie in der GS Was und warum? Raumvorstellung Räumliches Denken Begriffsbildung in der Geometrie Geometrische Kompetenzen bei Grundschülern Räumliche Objekte Ebene Figuren Symmetrie Messen Zeichnen Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/ Jürgen Roth

2 Kapitel 4: Didaktik der Geometrie Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/ Jürgen Roth 4.1 Geometrie in der GS Was und warum? Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/ Jürgen Roth

3 Was ist Geometrie? Geometrie ist die Wissenschaft vom uns umgebenden Raum. Geometrie ist das älteste mathematische Teilgebiet. Viele Jahrhunderte lang war Mathematik im wesentlichen Geometrie. Zunächst war Geometrie einen (reinen) Naturwissenschaft. Die alten Griechen entdeckten die Macht des Denkens: Man kann durch reines Denken Erkenntnisse erzielen! Das Denken folgt gewissen Regeln, den Gesetzen der Logik: Wenn die Voraussetzungen eines logischen Schlusses gegeben sind, dann gilt automatisch auch die Folgerung. Die Griechen entdeckten die Logik und damit auch die Möglichkeit der Mathematik. Im Mittelalter gab es den Ausdruck more geometrico ( nach geometrischer Art ). Damit wurden Argumentationsketten bezeichnet, die streng logisch aufgebaut waren. Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/ Jürgen Roth Grundideen der (Elementar-)Geometrie Geometrische Formen und ihre Konstruktion im uns umgebenden dreidimensionalen Raum Operationen mit Formen Koordinaten Messen Muster / Strukturen Formen in der Umwelt und ihre Beziehungen mit Hilfe der Geometrie beschreiben Geometrisieren Begründen und Beweisen Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/ Jürgen Roth

4 Warum Geometrie in der Grundschule? Fast jedes Denken, jede kognitive Kompetenz bedient sich visueller geometrischer Stützen. Fähigkeit, zur Umwelterschließung vorwiegend geometrische Struktur des Raumes Vorbereitung auf die Geometrie in den Sekundarstufen Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/ Jürgen Roth Lehrplan Geometrie 1. Klasse Raumerfahrung und -vorstellung Lagebeziehungen am eigenen Körper erfahren und erfassen. Die Lage von Gegenständen im Raum erfassen und beschreiben. Beziehungen von Gegenständen zum eigenen Körper zueinander Wege im Raum realisieren und beschreiben Begriffe der räumlichen Lage sicher gebrauchen oben unten, über unter auf, hinten vorne, hinter vor, links (von) rechts (von), zwischen neben Flächenformen entdecken untersuchen, beschreiben, benennen und herstellen nach selbst gefundenen und vorgegebenen Kriterien vergleichen und klassifizieren Fachbegriffe: Viereck, Rechteck, Quadrat Dreieck Kreis *Drachen, Raute Figuren, Muster, Parkette und Ornamente aus geometrischen Grundformen zusammensetzen und beschreiben Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/ Jürgen Roth

5 Lehrplan Geometrie 2. Klasse Raumerfahrung und -vorstellung Die Lage von Gegenständen im Raum erfassen und beschreiben von verschiedenen Standorten aus aus der Vorstellung Wege im Raum beschreiben Begriffe der räumlichen Lage sicher gebrauchen Flächen- und Körperformen Mit Flächenformen handeln Körperformen in der Umwelt entdecken Mit Körpermodellen handeln Körpermodelle herstellen Körperformen untersuchen, beschreiben, benennen, nach selbst gefundenen und vorgegebenen Kriterien vergleichen und klassifizieren Fachbegriffe: Würfel, Quader, Kugel Ecke, Kante, Fläche Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/ Jürgen Roth Lehrplan Geometrie 3. Klasse Flächen- und Körperformen Körperformen untersuchen, beschreiben, vergleichen, klassifizieren und benennen und daran bekannte Flächenformen entdecken Körperformen in der Umwelt entdecken Der Würfel als geometrische Körperform Modelle herstellen Eigenschaften an Modellen erschließen (Ecken, Kanten, quadratische Flächen) Zusammenhang zwischen Netzen und Würfel konkret und in der Vorstellung erkunden Fachbegriffe: Zylinder, Pyramide, Kegel rechter Winkel Raumerfahrung und -vorstellung Grundrisse und Lagepläne lesen Wege in Plänen beschreiben Lageskizzen erstellen Achsensymmetrie Eigenschaften symmetrischer Figuren entdecken Symmetrische Figuren entdecken, erstellen, zeichnen und beschreiben Symmetrien in der Umwelt auffinden Fachbegriffe: Symmetrieachse, symmetrisch, deckungsgleich Geometrische Figuren zeichnen Strecken exakt messen und zeichnen Freihändig zeichnen Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/ Jürgen Roth

6 Lehrplan Geometrie 4. Klasse Raumerfahrung und -vorstellung Karten, Lagepläne und Netzpläne lesen, Wege beschreiben Einen einfachen Grundriss, Lageplan maßstabsgetreu erstellen Maßstabsgetreue Grundrisszeichnungen, Pläne und Karten lesen Flächen- und Körperformen Körperformen konkrete oder räumlich dargestellte Gegenstände und Körper von verschiedenen Seiten betrachten Flächendarstellungen von Gegenständen und Körpern dem Standort des Betrachters zuordnen Der Quader als geometrische Körperform Modelle herstellen Eigenschaften an Modellen erschließen; Würfel als besonderen Quader erkennen (Ecken; Kanten; rechteckige bzw. quadratische Flächen) Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/ Jürgen Roth Lehrplan Geometrie 4. Klasse aus der Abwicklung von Quadermodellen Netze erschließen; verschiedene Netze finden Quadernetze konkret und in der Vorstellung erproben Kippbewegungen am Quader Mit Einheitswürfeln bauen frei und nach Plan bauen Körperinhalte handelnd und in der Vorstellung vergleichen Symmetrie Achsensymmetrische Figuren zeichnen Einfache Figuren nach Vorschrift verschieben bzw. drehen Eigenschaften der Drehsymmetrie entdecken Drehsymmetrie in der Umwelt auffinden Geometrische Figuren zeichnen Linien und Strecken zeichnen, abmessen Mit Zeichendreieck und Zirkel zeichnen Freihändig zeichnen Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/ Jürgen Roth

7 4.2 Raumvorstellung Räumliches Denken Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/ Jürgen Roth Raumvorstellung ist ein Intelligenzfaktor Thurstone: Es gibt sieben Primärfaktoren der Intelligenz 1. Sprachverständnis 2. Wortflüssigkeit 3. Rechenfertigkeit 4. Wahrnehmungstempo 5. Räumliches Vorstellungsvermögen 6. Merkfähigkeit 7. Logisches Denken Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/ Jürgen Roth

8 Komponenten des Räumlichen Denkens Standpunkt der Probanten Person befindet sich außerhalb Person befindet sich innerhalb Dynamische Denkvorgänge Räumliche Relationen am Objekt veränderlich Veranschaulichung Vorstellungsfähigkeit von Rotationen Räumliche Orientierung Statische Denkvorgänge Räumliche Relationen am Objekt veränderlich; Relation der Person zum Objekt veränderlich Räumliche Beziehungen Räumliche Wahrnehmung Rechts-Links- Unterscheidung Maier (1999) Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/ Jürgen Roth Räumliche Wahrnehmung Fähigkeit die Senkrechte und Waagrechte identifizieren, also räumliche Beziehungen in Bezug auf den eigenen Körper erfassen zu können. Beispiel: Wasseroberfläche Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/ Jürgen Roth

9 Veranschaulichung (räuml. Visualisierung) Fähigkeit, sich gedanklich Aktivitäten wie Verschieben, Falten und Schneiden von räumlichen Objekten oder Objektteilen vorstellen zu können. Beispiel: Welche Buchstaben des Schrägbilds entsprechen den Ziffern im Netz? Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/ Jürgen Roth Mentale Rotation Fähigkeit, sich Rotationen von zwei- oder dreidimensionalen Objekten vorstellen zu können. Beispiel: Welche der vier Figuren (a d) stimmen mit der oben links überein? Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/ Jürgen Roth

10 Räumliche Beziehungen Fähigkeit räumliche Konfigurationen von mehreren Objekten oder Objektteilen zu erfassen. Beispiel: Drei der vier Schrägbilder zeigen den selben Würfel. Welches Bild zeigt einen anderen? Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/ Jürgen Roth Räumliche Orientierung Fähigkeit, den Standort der eigenen Person, also die Perspektive unter der etwas betrachtet wird, zu wechseln. Beispiel: Ein Urlauber ist mit dem Boot von Westen kommend die Küste entlanggefahren. In welcher Reihenfolge hat er die sechs Fotos aufgenommen? Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/ Jürgen Roth

11 Visuelle Wahrnehmung Visuomotorische Koordination Figur-Grund-Diskriminierung Wahrnehmungskonstanz Wahrnehmung räumlicher Beziehungen Wahrnehmung der Raumlage Visuelle Unterscheidung Visuelles Gedächtnis Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/ Jürgen Roth Visuomotorische Koordination Fähigkeit das Sehen mit dem eigenen Körper oder Teilen des eigenen Körpers zu koordinieren. Beispiel: Zeichne nach! Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/ Jürgen Roth

12 Figur-Grund-Diskriminierung Fähigkeit aus einem komplexen Hintergrund bzw. einer Gesamtfigur eingebettete Teilfiguren zu erkennen und zu isolieren. Diese Fähigkeit benötigt man u. a. um sich auf einer Schulbuchseite zurechtzufinden oder einen Gegenstand aus einem Regal zu holen. Beispiel: Färbe das Rechteck! Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/ Jürgen Roth Wahrnehmungskonstanz Fähigkeit Figuren in verschiedenen Größen, Anordnungen, räumlichen Lagen oder Färbungen wieder zu erkennen und von anderen Figuren zu unterscheiden. Beispiel: Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/ Jürgen Roth

13 Wahrnehmung räumlicher Beziehungen Fähigkeit Beziehungen zwischen räumlichen Objekten zu erkennen und zu beschreiben. Beispiel: Wo steht der Quader? Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/ Jürgen Roth Wahrnehmung der Raumlage Fähigkeit zum Erkennen der Raum-Lage-Beziehung eines Gegenstandes zum Standpunkt der Person, die diesen Gegenstand wahrnimmt. Beispiele: 1. Drei-Berge-Versuch von Piaget 2. Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/ Jürgen Roth

14 Visuelle Unterscheidung Fähigkeit nicht nur Gemeinsamkeiten sondern auch Unterschiede zwischen Objekten zu erkennen. Beispiele: 1. Sortieren und Klassifizieren geometrischer Körper 2. Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/ Jürgen Roth Visuelles Gedächtnis Fähigkeit charakteristische Merkmale eines nicht mehr präsenten Objektes vorstellungsmäßig auf andere präsente Objekte zu beziehen. Beispiele: 1. Würfelförmigen Baustein suchen. 2. Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/ Jürgen Roth

15 Kopfgeometrie Senftleben_Erkundungen_zur_Kopfgeometrie Eine Möglichkeit zur Förderung des räumlichen Vorstellungsvermögens ist die Kopfgeometrie. Kopfgeometrie ist hilfsmittelfreie Geometrie, sie kommt ohne gegenständliche Modelle oder Bilder aus. Nur Vorstellungen über geometrische Objekte und sprachlich formuliertes Wissen über sie bilden das Handwerkszeug zum Lösen kopfgeometrischer Aufgaben. Die Aufgaben werden mündlich oder schriftlich (evtl. auch bildhaft oder handelnd) gestellt, aber nur im Kopf gelöst (ohne Papier & Bleistift, Computer ) Die Ergebnisse werden mündlich oder schriftlich dargestellt. Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/ Jürgen Roth Kopfgeometrie Kopfrechnen Kopfrechnen und Kopfgeometrie unterscheiden sich wesentlichen voneinander! Kopfrechnen: An elementaren Aufgaben werden Algorithmen abgearbeitet und automatisiert. Kopfgeometrie: Das Lösen geometrischer Aufgaben im Kopf erfordert die Fähigkeit sich geometrische Gebilde vorstellen zu können, ihre Lage, ihre Größe und ihre Form zu variieren, sie zu kombinieren und dabei das Wissen über sie anzuwenden. Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/ Jürgen Roth

16 Kopfgeometrie besteht aus drei Phasen 1. Phase: Vorstellung der Fragestellung Sprache Sprache + Gestik Sprache + Bild bzw. Modell 2. Phase: Räumliches Vorstellen, Operieren im Kopf 3. Phase: Präsentation der Ergebnisse Sprache Sprache + Gestik Sprache + Bild bzw. Modell In Abhängigkeit von den Mitteln, die in der 1. und 3. Phase erlaubt sind ergibt sich einen Abfolge des Schwierigkeitsgrades. Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/ Jürgen Roth Kopfgeometrie muss vorbereitet werden! PIAGET (1971): Das Denken basiert auf verinnerlichte Handlungen. Empirische Untersuchungen belegen: Der handlungsorientierte und experimentelle Einsatz von Modellen ist für die Entwicklung der Raumvorstellung im Geometrieunterricht äußerst wichtig ist. Durch sinnliche Wahrnehmungen entstehen Vorstellungsbilder, die auch ohne das Vorhandensein der realen Objekte verfügbar sind und gedanklich verändert werden können. Die Schüler sollten durch operative Aktivitäten auf niedrigerer Stufe (z. B. Arbeiten mit konkreten Materialien, Anfertigen von Zeichnungen, ) ausreichend Gelegenheit zur Ausbildung und Stärkung ihrer räumlichen Vorstellungen bekommen. Bei Vorstellungsproblemen sollte, auf die handelnde Ebene mit Materialen zurückgegriffen werden. Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/ Jürgen Roth

17 Papierfalten (im Kopf) Wie sieht das aufgefaltete Papier nun aus? falten einschneiden Quadrat falten Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/ Jürgen Roth Papierfalten (im Kopf) Wie sieht das aufgefaltete Papier jeweils anschließend aus? Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/ Jürgen Roth

18 Papierfalten (im Kopf) Lösungen Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/ Jürgen Roth Methodische Anmerkungen Abstufung des Schwierigkeitsrades (bei Faltaufgaben z. B. zunächst nur einmal falten) Bei Schwierigkeiten evtl. Kontrollinformationen anbieten von denen nur eine richtig ist. Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/ Jürgen Roth

19 Methodische Anmerkungen Kontrollfragen der Lehrerin Wie viel Schichten Papier liegen nach dem Falten übereinander? Wo befinden sich beim zusammengefalteten Papier die Faltachsen? die Ränder des aufgefalteten Blattes? Wie würde das aufgefaltete Blatt aussehen, wenn man nach dem Falten nur die Ecken abgeschnitten hätte? Vorstellungen konkretisieren Beim vorgestellten Operieren die Augen schließen. (Keine Ablenkung durch Umwelt bzw. statische Aufgabenstellungen.) Vorstellend kinästhetisch arbeiten. Z. B. ein imaginäres Blatt mit den Händen falten, Schnitte ausführen (z. B. durch deuten mit dem Zeigefinger auf die Schnittkanten). Solche Vorstellungen helfen wirklich! Probieren Sie es aus. Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/ Jürgen Roth Würfelschnitte Lassen sich die Schnittflächen der geschnittenen Würfel mit einem Schnitt erzeugen? Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/ Jürgen Roth

20 Würfelschnitte - Lösungshinweis Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/ Jürgen Roth Würfelteile Welche der acht Teile lassen sich zu einem Würfel zusammensetzen? A C; B H; D F; E G Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/ Jürgen Roth

21 Drei-Tafel-Bilder Existiert der jeweilige Körper? Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/ Jürgen Roth Verdecktes Viereck Um welche Vierecke könnte es sich jeweils handeln? Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/ Jürgen Roth

22 Körperansichten Aus welcher Richtung siehst du die Körper im linken Bild so? Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/ Jürgen Roth Puzzle Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/ Jürgen Roth

23 Entwicklung des Räumlichen Denkens (Piaget) Präoperationale Phase (ca. 2 bis ca. 7 Jahre) Konkret-operationale Phase (ab ca. 7 Jahre) Topologische Beziehungen Kategoriale Relationen offen / geschlossen verbunden / unverbunden innen / außen nah / fern Projektive Beziehungen Ordnungsrelationen A kommt vor B X liegt rechts von Y Relativität der Standpunkte Euklidische Beziehungen Distanzrelationen Konstruktion von Linien Figur, Körper konstante Maßeinheit Konstantes Bezugssystem Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/ Jürgen Roth Entwicklung des Räumlichen Denkens (Piaget) Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/ Jürgen Roth

24 4.3 Begriffsbildung in der Geometrie Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/ Jürgen Roth Was ist ein Begriff? Begriffe sind die Bausteine menschlichen Wissens, bezeichnen keinen Einzelobjekte sondern charakterisieren eine ganze Klasse von Objekten, können durch Konstruktion (genetische Definition), Abstraktion (Konventionaldefinition) oder Spezifikation aus einem Oberbegriff (Realdefinition) gewonnen werden, verdichten Informationen, organisieren das Verhalten, sind die Grundlage der sprachlichen Kommunikation, beeinflussen die Leistungen des Gedächtnisses und das Problemlösen. Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/ Jürgen Roth

25 Rolle von Begriffen Leitbegriff eines Themenstrangs Figur, Messen Schlüsselbegriff einer Unterrichtssequenz Symmetrie, Vierecke Zentraler Begriff einer Unterrichtseinheit Begriff, der in der Unterrichtseinheit erarbeitet wird. rechter Winkel, Symmetrieachse Arbeitsbegriff Benennung, um über Sachverhalte überhaupt ohne Umschreibung sprechen zu können. Arbeitsbegriffe werden im Unterricht durch den Gebrauch vertraut. Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/ Jürgen Roth Stufen des Begriffsverständnisses 1. Intuitives Begriffsverständnis Der Begriff als Phänomen. Beispiele kennen. 2. Inhaltliches Begriffsverständnis Der Begriff als Träger von Eigenschaften Eigenschaften kennen. 3. Integriertes Begriffsverständnis Der Begriff als Teil eines Begriffsnetzes Beziehungen von Eigenschaften untereinander und Beziehungen zu anderen Begriffen kennen. 4. Formales Begriffsverständnis Einbettung des Begriffs in einen axiomatischen Aufbau der Geometrie. Seiten Rechteck Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/ Jürgen Roth

26 Modelle langfristigen Begriffslernens Lernen durch Ansammeln Weitgehend isolierte Einzelheiten. Lernen als Ersteigen von Stufen Reflexion und Analyse bereits erworbenen Wissens führt zu Wissen höherer Qualität. Höhere Stufe (u. U. mehrere Stufen nacheinander) Lernen durch Erweiterung Neue Objekte beseitigen Grenzen, auf die man beim operieren mit den bisherigen Objekten stößt. Vertrautes wird nun in neuem Licht gesehen. Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/ Jürgen Roth Begriffe als Quelle von Problemstellungen Umkreis Welche Polygone besitzen einen Umkreis? Mittel zur Präzisierung von Problemstellungen Wann sind Figuren ähnlich? Ähnlichkeitsabbildung Lösungshilfe für Probleme Dreieckskonstruktion Ortslinie Lösungen von Problemen Schnittfläche beim Schneiden einer Wurst Ellipse Mittel zur Sicherung von Problemlösungen Wo liegen die Orte, von denen man eine Strecke unter einem rechten Winkel sieht? Thaleskreis Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/ Jürgen Roth

27 Verstehen eines Begriffs Lernende haben einen Begriff verstanden, wenn sie Bezeichnung des Begriffs kennen, Beispiele angeben und jeweils begründen können, warum es sich um ein Beispiel handelt, begründen können, weshalb etwas nicht unter einen Begriff fällt, charakteristische Eigenschaften des Begriffs kennen, Ober-, Unter- und Nachbarbegriffe kennen. Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/ Jürgen Roth Erarbeiten eines Begriffs Erfahrungen zum Begriff sammeln Handlungen (enaktive Repräsentation) Objekte darbieten Beispiele für Begriffe (ikonische Repräsentation) Merkmale entdecken Prinzip der Variation Prinzip des Kontrasts Sprache (benennen, beschreiben) Definition erarbeiten Charakterisierende Definition Genetische Definition Oberbegriff angeben Definierende Eigenschaft notwendige und hinreichende Bedingung für den Begriff Kritisch Reflektieren Definition durch möglichst schwache Forderung Bezeichnung: Herkunft / evtl. Abgrenzung gegen Umgangssprache Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/ Jürgen Roth

28 Unterrichtsphasen bei zentralen Begriffen Einstieg In einem geeigneten Problemkontext können ersten Vorstellungen vom Begriff entwickelt werden. Erarbeitung Umfang und Inhalt des Begriffs werden herausgearbeitet. Sicherung Beispiele und Gegenbeispiele helfen den Begriff gegen andere Begriffe abzugrenzen und die Existenzfrage zu klären. Vertiefung Es werden Querverbindungen zu anderen Begriffen hergestellt und Spezialfälle (insbesondere Grenzfälle) betrachtet. (Z. B. auch Variation der definierenden Eigenschaften.) Vertiefung & Sicherung Verankerung in der kognitiven Struktur Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/ Jürgen Roth Beispiel: Tangente an einen Kreis Einstieg: Wie viele Punkte können ein Kreis und eine Gerade gemeinsam haben? Erarbeitung: Ergebnisse: Tangente, Berührpunkt, Sekante, 2 Schnittpunkte, Passante, keine gem. Punkte. Sicherung: Vertiefung: Tangente zeichnen! Besitzt die Figur aus Kreis und Tangente eine Symmetrieachse? Tangente steht senkrecht auf dem Berührpunktradius. Wie kann man die Tangente konstruieren? Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/ Jürgen Roth

29 Beispiel: Tangente an einen Kreis Vertiefung: Wie viele Tangenten an den Kreis verlaufen durch den Punkt P? Skizziere Sie! Wie kann man die Tangenten konstruieren? M P Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/ Jürgen Roth van-hiele-modell Pierre und Dina van Hiele beschreiben fünf Denkebenen, die bei der Entwicklung des geometrischen Denkens durchlaufen werden. 0. Niveaustufe: Anschauungsgebundenes Denken 1. Niveaustufe: Analysieren geometrischer Figuren und Beziehungen 2. Niveaustufe: Erstes Ableiten und Schließen 3. Niveaustufe: Geometrisches Schließen / Deduktion 4. Niveaustufe: Strenge, abstrakte Geometrie Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/ Jürgen Roth

30 0. Anschauungsgebundenes Denken Räumliche Beziehungen werden nur in der unmittelbaren Umgebung von den Schülern erfasst. Geometrische Figuren werden als Ganzheiten gesehen, Einzelheiten oder Eigenschaften werden noch nicht erfasst. Geometrische Bezeichnungen bzw. Namen können gelernt werden und anschauliche Unterscheidungen zwischen ebenen Figuren oder Körperformen sind möglich, ohne dass spezifische Eigenschaften miteinander verglichen werden. Auf dieser Stufe ist das geometrische Arbeiten weitgehend materialgebunden. Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/ Jürgen Roth 1. Analysieren geom. Figuren & Beziehungen Durch Handlungserfahrungen und genaueres Betrachten können Schüler Einzelaspekte geometrischer Figuren unterscheiden und feinere Klasseneinteilungen vornehmen (z. B. zwischen den Dreiecksformen). Beziehungen zwischen Figuren (z. B. Rechteck - Quadrat) und Eigenschaften oder Größen (z.b. Umfang - Flächeninhalt) sind noch nicht einsehbar. Beispiele: Geometrische Figuren durch Aufzählen ihrer Eigenschaften beschreiben. Spiegelachsen in Figuren durch Falten, Legen u. a. herstellen bzw. bestimmen. Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/ Jürgen Roth

31 2. Erstes Ableiten und Schließen Beziehungen zwischen den Eigenschaften einer Figur und den Eigenschaften verwandter Figuren können erkannt werden. Es sind Klasseninklusionen möglich und geometrische Definitionen verständlich. Dieses Verständnis erwächst aus experimentellen Erfahrungen, nicht über geometrische Axiome. Beispiele: Vergleich der Eigenschaften von Quadrat und Rechteck. Jedes Quadrat ist auch ein Rechteck. Bewusstes Verändern von Viereckformen am Geobrett. Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/ Jürgen Roth 3. Geometrisches Schließen/ Deduktion Diese und die nächste Niveaustufe sind für das Geometrielernen im Grundschulalter nicht mehr relevant! Schlussfolgerungen als Grundlagen eines geometrischen Systems werden verstanden und angewandt. Zwischen geometrischen Axiomen, Definitionen, Sätzen, Beweisen u. a. kann unterschieden werden. 4. Strenge, abstrakte Geometrie Arbeiten in einem Axiomensystem und Vergleichen bzgl. verschiedener geometrischer Theorien. Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/ Jürgen Roth

32 van-hiele-modell Schlussbemerkungen Von besonderer Bedeutung auf den ersten Stufen des geometrischen Denkens ist für die VAN HIELES das Sammeln von Erkenntnissen über Handlungserfahrungen mit konkreten Materialien. Falten, Schneiden, Auslegen, Zerlegen, Kleben, Bemalen, Pflastern, Einpassen usw. Dabei kommt es darauf an, dass diese Materialien nicht einfach nur Spielzeuge sind, sondern dass die Schüler damit denkend handeln. Achtung: Das Denkniveau ist Kontext- und Aufgabenabhängig! Eine Zuordnung zu Klassenstufen ist nicht möglich! Anforderungen müssen dem aktuellen Denkniveau der Schülerinnen und Schüler angepasst werden! Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/ Jürgen Roth 4.4 Geometrische Kompetenzen bei Grundschülern Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/ Jürgen Roth

33 Test zu den Geometrischen Fähigkeiten 2 Wochen nach Beginn des 1. Schuljahres Richtige Lösungen: CZ D 97 % 98 % Richtige Lösungen: CZ D 68 % 18 % Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/ Jürgen Roth Test zu den Geometrischen Fähigkeiten 2 Wochen nach Beginn des 1. Schuljahres Richtige Lösungen: CZ D 95 % 82 % Richtige Lösungen: CZ D 73 % 55 % Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/ Jürgen Roth

34 Test zu den Geometrischen Fähigkeiten 2 Wochen nach Beginn des 1. Schuljahres Richtige Lösungen: CZ D 66 % 57 % Richtige Lösungen: CZ D 44 % 44 % Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/ Jürgen Roth TIMSS-Grundschule 3./4. Klasse Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/ Jürgen Roth

35 TIMSS-Grundschule 3./4. Klasse Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/ Jürgen Roth TIMSS-Grundschule 3./4. Klasse Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/ Jürgen Roth

36 TIMSS-Grundschule 3./4. Klasse Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/ Jürgen Roth TIMSS-Grundschule 3./4. Klasse Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/ Jürgen Roth

37 TIMSS-Grundschule 3./4. Klasse Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/ Jürgen Roth 4.5 Räumliche Objekte Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/ Jürgen Roth

38 Die Umwelt ist dreidimensionalen! im Raum an Grenzen Stoßen (Ecken, Kanten, ) außerhalb geschlossener Räume vieles wird nur in Teilen erfasst Objekte als Ganzes geometrische Körperformen vielfältige Aktivitäten Eigenschaften analysieren Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/ Jürgen Roth Körperansichten Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/ Jürgen Roth

39 Wer sieht was? Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/ Jürgen Roth Schloss Neuschwanstein Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/ Jürgen Roth

40 Schloss Neuschwanstein Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/ Jürgen Roth Karten lesen und herstellen Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/ Jürgen Roth

41 Geostadt Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/ Jürgen Roth Karte lesen Orientierung im Raum Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/ Jürgen Roth

42 Karte lesen Orientierung im Raum Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/ Jürgen Roth Aktivitäten Körperformen bauen mit heterogenem Material mit homogenem Material Körperformen ordnen und sortieren (Modelle, Gebrauchsgegenstände, Bilder, ) kategoriesuchend kategoriegeleitet Mögliche Vorgaben: Modell oder Abbildung als Prototyp Begriffswort und /oder klassenbildende Merkmale Form / Anzahl der Flächen, Größe (Länge der Kanten), Anzahl der Ecken, Größe der Winkel Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/ Jürgen Roth

43 Mit Würfeln bauen Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/ Jürgen Roth Mit Würfeln bauen Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/ Jürgen Roth

44 Mit Würfeln bauen Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/ Jürgen Roth Körperformen Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/ Jürgen Roth

45 Würfel, Quader (Zylinder, Pyramide, Kegel, Kugel) Herstellen Vollkörper (Kartoffel, Holzstab, Knet, Styropor) Kantenmodell (Knetkugeln & Zahnstocher, Trinkhalme und Pfeifenputzer, Papier) Flächenmodell (Aus Würfelnetzen: Vom Netz zum Würfel & umgekehrt!) Erkennen von Würfelnetzen Würfelschnitte Netz Schrägbild Schrägbilder Schatten eines Kantenmodells Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/ Jürgen Roth Vollkörperwürfel Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/ Jürgen Roth

46 Soma-Würfel Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/ Jürgen Roth Würfel Flächenmodell - Netz Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/ Jürgen Roth

47 Würfelnetze? Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/ Jürgen Roth Würfelnetze? Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/ Jürgen Roth

48 Quader und Würfel Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/ Jürgen Roth Quader und Würfel Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/ Jürgen Roth

49 Quader und Würfel Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/ Jürgen Roth Quader Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/ Jürgen Roth

50 Quader Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/ Jürgen Roth Schatten eines Kantenmodells Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/ Jürgen Roth

51 Körperformen Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/ Jürgen Roth Körperformen Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/ Jürgen Roth

52 Körperformen Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/ Jürgen Roth Platonische Körper Tetraeder Dodekaeder Hexaeder Ikosaeder Oktaeder Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/ Jürgen Roth

53 Platonische Körper Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/ Jürgen Roth Platonische Körper Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/ Jürgen Roth

54 4.6 Ebene Figuren Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/ Jürgen Roth Aktivitäten Legen freies Legen, Legen nach Vorgabe Auslegen, Umlegen vorgegebener Teile Material heterogen (Postkartenpuzzle, Tangram) homogen (identische Quadrate alle Zwillinge, Drillinge, ) Falten Grundtechniken, ebene (und räumliche) Objekte, Faltbücher/-poster Spannen am Geobrett Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/ Jürgen Roth

55 Legen und Zeichnen Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/ Jürgen Roth Legen mit Quadraten Bau diese neun Formen aus Quadraten nach. Welche Formen sind Vierlinge, Drillinge, Zwillinge? Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/ Jürgen Roth

56 Legen mit Quadraten Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/ Jürgen Roth Tangram Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/ Jürgen Roth

57 Tangram Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/ Jürgen Roth Tangram Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/ Jürgen Roth

58 Geobrett Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/ Jürgen Roth Geobrett Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/ Jürgen Roth

59 Geobrett Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/ Jürgen Roth Regelmäßige Vielecke Zeichenuhr Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/ Jürgen Roth

60 Regelmäßige Vielecke Zeichenuhr Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/ Jürgen Roth Regelmäßige Vielecke Zeichenuhr Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/ Jürgen Roth

61 Regelmäßige Vielecke Zeichenuhr Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/ Jürgen Roth Ähnlichkeit Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/ Jürgen Roth

62 Ähnlichkeit Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/ Jürgen Roth 4.7 Symmetrie Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/ Jürgen Roth

63 Symmetrie in der Umwelt Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/ Jürgen Roth M. C. Escher Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/ Jürgen Roth

64 M. C. Escher Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/ Jürgen Roth M. C. Escher Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/ Jürgen Roth

65 Achsensymmetrie - Spiegeln Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/ Jürgen Roth Achsensymmetrie - Spiegeln Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/ Jürgen Roth

66 Achsensymmetrie - Spiegeln Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/ Jürgen Roth Spiegelbuch Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/ Jürgen Roth

67 Spiegelbuch Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/ Jürgen Roth Drehsymmetrie Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/ Jürgen Roth

68 Drehsymmetrie Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/ Jürgen Roth Drehsymmetrie Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/ Jürgen Roth

69 Verschieben, Spiegeln, Drehen Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/ Jürgen Roth Spiegelsymmetrie Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/ Jürgen Roth

70 Verschiebungssymmetrie Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/ Jürgen Roth Verschieben, Spiegeln, Drehen Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/ Jürgen Roth

71 Parkettierung Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/ Jürgen Roth Parkettierung Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/ Jürgen Roth

72 4.8 Messen Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/ Jürgen Roth Stufen bei der Behandlung von Größen 1. Stufe: Erfahrungen in Sach- und Spielsituationen sammeln 2. Stufe: Direktes Vergleichen von Repräsentanten 3. Stufe: Indirektes Vergleichen mit Hilfe selbst gewählter Maßeinheiten ein drittes Objekt als Vermittler benutzen ein Objekt als selbst gewählte Einheit benutzen 4. Stufe: Indirektes Vergleichen mit Hilfe standardisierter Maßeinheiten, Messen mit verschiedenen Messgeräten 5. Stufe: Umrechnen: Verfeinern und Vergröbern der Maßeinheiten 6. Stufe: Aufbau von Größenvorstellungen 7. Stufe: Rechnen mit Größen Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/ Jürgen Roth

73 Messen und Zeichnen Zeichne Strecken von 3 cm, 5 cm, 6 cm und 9 cm Länge. Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/ Jürgen Roth Längen messen Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/ Jürgen Roth

74 Längen messen Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/ Jürgen Roth Flächen messen Wie viele Meterfliesen (Quadratmeter) passen ungefähr in das Klassenzimmer? Wie viele Kinder können sich bequem auf eine Meterfliese stellen? Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/ Jürgen Roth

75 Flächen messen Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/ Jürgen Roth Themenkreis Flächeninhalt Flächeninhalt?! Axiome des Flächeninhalts Ergänzungsgleichheit Flächenmessung Flächenvergleich Seitenlängen aus N Zerlegungsgleichheit Seitenlängen aus Q + Seitenlängen aus R + Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/ Jürgen Roth

76 Axiome des Flächeninhalts 1. Nichtnegativität: Die Maßzahl A des Flächeninhalts ist nicht negativ. A 0 2. Normierung: Ein Quadrat der Seitenlänge 1 LE hat den Flächeninhalt A 1 LE Additivität: Der Flächeninhalt einer Figur ist gleich der Summe der Flächeninhalte der Teilfiguren, in die die Fläche zerlegt werden kann. j k j k F j F k A(F) A(F 1 F n ) A(F 1 ) A(F n ) 4. Kongruenzaxiom: Kongruente Figuren haben denselben Flächeninhalt. Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/ Jürgen Roth Rechtecksflächeninhalt (a,b N) Flächenmessung: b Auslegen mit Einheitsquadraten. b Reihen, zu je a Einheitsquadraten. A = a b 1 LE² a Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/ Jürgen Roth

77 Rechtecksflächeninhalt p r q s (, Q + ) p s r q, q s s q + Q Zerlegung des Einheitsquadrates in (qs)² Teilquadrate des 1 LE² Flächeninhalts : (q s)² Flächenmessung: Auslegen mit Teilquadraten des Einheitsquadrates. p s Reihen, zu je r q Teilquadraten. 1 p s r q A p s r q 2 q s q s q s Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/ Jürgen Roth p q r s p r q s qs Teilstrecken p r q s 1 qs Teilstrecken 1 Rechtecksflächeninhalt (a,b R) B 3 B 1 B 2 a a ; A n n b mit a n, b, A n b ; B n n a b ab n, B ; n n n A n Q B n B 4 b 4 b 3 b b 2 b 1 ist eine Intervallschachtelung für den Flächeninhalt. a 1 a 2 a 3 a 4 a A 4 A 3 A 2 A 1 Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/ Jürgen Roth

78 Flächeninhaltsbestimmung Rechteck Flächenmessung, d. h. Auslegen mit Einheitsquadraten (bzw. Intervallschachtelung) Dreieck Flächenvergleich mit dem Rechteck Polygon Triangulierung (Einteilen in Dreiecke) Kreis Intervallschachtelung Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/ Jürgen Roth Kreisinhaltsbestimmung Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/ Jürgen Roth

79 Fläche eines Kontinents (Antarktika) Schätze die Fläche der Antarktis, indem du den Maßstab der Karte benutzt. Schreibe deine Rechnung auf und erkläre, wie du zu deiner Schätzung gekommen bist. (Du kannst in der Karte zeichnen, wenn dir das bei deiner Schätzung hilft.) PISA-Aufgabe Kilometer Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/ Jürgen Roth Idee: Auslegen mit einer Einheitsfläche Schätze die Fläche der Antarktis, indem du den Maßstab der Karte benutzt. Schreibe deine Rechnung auf und erkläre, wie du zu deiner Schätzung gekommen bist. (Du kannst in der Karte zeichnen, wenn dir das bei deiner Schätzung hilft.) PISA-Aufgabe Fläche mit Schelfeistafeln: km 2 Kilometer Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/ Jürgen Roth

80 Parallelogramm Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/ Jürgen Roth Parallelogramm Parallelogrammflächen, die in der Länge einer Seite und der zugehörigen Höhe übereinstimmen sind zerlegungsgleich. F D E C Beweisidee: ADF ~ BCE Voraussetzung: [CD] [EF] A B F E D C A Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/ Jürgen Roth B

81 Flächeninhaltsbestimmung beim Trapez Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/ Jürgen Roth Volumen messen (Größenvorstellung) Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/ Jürgen Roth

82 4.9 Zeichnen Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/ Jürgen Roth Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/ Jürgen Roth