Peter van Dongen. Statistische Physik. Von der Thermodynamik zur Quantenstatistik in fünf Postulaten

Statistische Physik

Peter van Dongen Statistische Physik Von der Thermodynamik zur Quantenstatistik in fünf Postulaten

Peter van Dongen Mainz, Deutschland ISBN 978-3-662-55499-9 ISBN 978-3-662-55500-2 (ebook) https://doi.org/10.1007/978-3-662-55500-2 Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über http://dnb.d-nb.de abrufbar. Springer Spektrum Springer-Verlag GmbH Deutschland 2017 Das Werk einschließlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung, die nicht ausdrücklich vom Urheberrechtsgesetz zugelassen ist, bedarf der vorherigen Zustimmung des Verlags. Das gilt insbesondere für Vervielfältigungen, Bearbeitungen, Übersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen. Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, dass solche Namen im Sinne der Warenzeichenund Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten wären und daher von jedermann benutzt werden dürften. Der Verlag, die Autoren und die Herausgeber gehen davon aus, dass die Angaben und Informationen in diesem Werk zum Zeitpunkt der Veröffentlichung vollständig und korrekt sind. Weder der Verlag noch die Autoren oder die Herausgeber übernehmen, ausdrücklich oder implizit, Gewähr für den Inhalt des Werkes, etwaige Fehler oder Äußerungen. Der Verlag bleibt im Hinblick auf geografische Zuordnungen und Gebietsbezeichnungen in veröffentlichten Karten und Institutionsadressen neutral. Planung: Margit Maly Gedruckt auf säurefreiem und chlorfrei gebleichtem Papier Springer Spektrum ist Teil von Springer Nature Die eingetragene Gesellschaft ist Springer-Verlag GmbH Deutschland Die Anschrift der Gesellschaft ist: Heidelberger Platz 3, 14197 Berlin, Germany

Vorwort Das Ziel dieses Buches ist, das Fach Statistische Physik in einer Weise darzustellen, die auf klar definierten Ausgangspunkten ( Postulaten ) beruht, modern und anwendungsbezogen ist und möglichst effektiv und transparent von den Grundsätzen zu diesen Anwendungen führt. Hierbei soll das Buch den an deutschen Universitäten üblichen Kanon abdecken. Damit das Buch optimal als Begleitliteratur zu Vorlesungen über Statistische Physik geeignet ist, sind bewusst keine Themengebiete aufgenommen, die in diesem Kanon nicht enthalten sind. Jedes kanonische Themengebiet wird allerdings hinreichend ausführlich behandelt, damit es den Dozent(inn)en möglich ist, innerhalb der Grenzen des Kanons eine ihrem Geschmack und ihren Interessen entsprechende Auswahl zu treffen. Das Ziel des Buches ist also eine flexibel ( modular ) einsetzbare und dennoch klar fokussierte und kohärente Darstellung der Statistischen Physik. Hierbei sollen Konzepte von zentraler Bedeutung für die moderne Forschung wie Dichteoperator, Vielteilchenentropie und Variationsprinzipien im Vordergrund stehen. Generell wird versucht, die quantenmechanische Natur der Realität ernst zu nehmen; aus diesem Grund werden quantenmechanische Beispiele gegenüber klassischen bevorzugt. Bei jedem Beispiel werden, wenn möglich, jedoch auch das klassische Pendant und der klassische Limes diskutiert. Bereits im grundlegenden Kapitel über Thermodynamik werden auch Beispiele aus der Quantenphysik behandelt. Dieses Buch ist für den Studiengang B. Sc. Physik konzipiert. Die Zielgruppen sind also primär Bachelorstudierende der Physik sowie Bachelorstudierende der Mathematik oder Chemie mit Nebenfach Physik. Das Buch kann aber auch in Teilen (z. B. Thermodynamik, kinetische Theorie ) für physiknahe Studiengänge wie Meteorologie, Chemie, Astrophysik oder Ingenieurwissenschaften verwendet werden. Als Vorwissen werden Basiskenntnisse auf den Gebieten der Mechanik, Elektrodynamik, Quantenmechanik und Mathematik vorausgesetzt. Die größte Herausforderung des Faches Statistische Physik ist allerdings nicht primär die Schwierigkeit der hierfür erforderlichen Mathematik, 1 sondern eher und dies trifft bereits für die Thermodynamik zu die Tiefe der zugrunde liegenden Konzepte und die Anwendung auf vielfältige physikalische Phänomene. Die Kursvorlesung über Statistische Physik ist an deutschen Universitäten in der Regel eine Pflichtvorlesung, die also von allen Physikstudierenden gehört werden soll. Umso wichtiger ist es, die Ziele der Vorlesung möglichst transparent zu formulieren. In Kursvorlesungen über Theoretische Physik habe ich als Dozent schon oft die Fragen gehört: Warum soll ich das lernen? oder Warum ist diese Theorie für mich als Physiker(in) nützlich? Das Buch versucht, genau diese Fragen zu beantworten und dadurch die Motivation und Lernbereitschaft der Studierenden zu erhöhen. Wesentliche Elemente in der Wissensvermittlung sind auch die ausführlichen Erklärungen von Herleitungen und Berechnungen und die vielen hilfreichen Grafiken. Damit die Theorie nicht allzu abstrakt wirkt, werden typische Anwendungen in Fallbeispielen behandelt. Weitere Fallbeispiele werden in den Übungsaufgaben aufgegriffen. Manche dieser Übungsaufgaben sind eher elementar, manche ausführlicher oder anspruchsvoller (als P gekennzeichnet), manche eher 1 Nahezu alle für die Statistische Physik erforderlichen mathematischen Techniken sind z. B. bereits in Ref. [12] enthalten, die die Mathematik des ersten Jahrs eines Physikstudiums abdeckt.

vi Vorwort als kleines Projekt gedacht (als PP gekennzeichnet), aber alle Übungsaufgaben haben das Ziel, den Stoff zu erläutern und teilweise auch zu ergänzen und vertiefen. Die Lösungsskizzen zu den Übungsaufgaben sind ein wichtiger Teil des didaktischen Konzepts. Sie sollen den Studierenden nicht nur zur Kontrolle dienen, ob die eigene Lösung korrekt ist, sondern auch einen effizienten Lösungsweg, eine physikalische Interpretation der Ergebnisse und gelegentlich auch Ausblicke aufzeigen. Es sollte für interessierte Studierende sogar möglich sein, sich den Inhalt dieses Buches im Ganzen oder in Auszügen im Selbststudium zu erarbeiten, da Herleitungen und Erläuterungen zu den Berechnungen sehr ausführlich sind und zu jedem Kapitel eine Sammlung von Übungsaufgaben mit Lösungen enthalten ist. Sollte die Leserin oder der Leser Bedarf an weiteren Büchern über Statistische Physik haben, so könnten neben den im Haupttext zitierten Büchern auch Refn. [53, 48, 35, 24, 34, 16, 11] des beigefügten Literaturverzeichnisses empfohlen werden. Die an sich sehr interessanten Bücher [44] und [4] kommen eher für ein vertieftes Studium in Betracht. Speziell für besonders interessierte Studierende (oder für zeitintensivere Vorlesungen) werden auch einige weiterführende oder vertiefende Aspekte der kanonischen Themen behandelt, die in der Regel physikalisch besonders interessant sind. Die entsprechenden Abschnitte sind durch einen Asterisk ( ) gekennzeichnet, um anzugeben, dass man sie beim ersten Durchgang überspringen kann (aber natürlich nicht muss: Die Lektüre wird sogar dringend empfohlen). Dieses Buch hat sich im Laufe der Jahre entwickelt aus Notizen zu Kursvorlesungen über Statistische Physik, die ich seit Anfang des Milleniums an der Johannes Gutenberg-Universität in Mainz gehalten habe. Für die Fertigstellung der ersten Version des zugrunde liegenden Skripts möchte ich mich herzlich bei meiner Sekretärin Frau Elvira Helf und bei Herrn Florian Jung bedanken. Sehr dankbar bin ich einem meiner ehemaligen Studierenden, Herrn M. Sc. Julian Großmann, meinen Kollegen Prof. Dr. Martin Reuter, Prof. Dr. Rolf Schilling und Jun.-Prof. Dr. Matteo Rizzi sowie meiner Frau, Dr. Irmgard Nolden, die das Manuskript komplett durchgearbeitet und durch viele Kommentare und Verbesserungsvorschläge sehr bereichert haben. Ganz offensichtlich liegt die Verantwortung für noch verbliebene weniger gelungene Formulierungen bei mir, und ich wäre meinen Lesern ggf. dankbar für eine entsprechende Mitteilung. Zu großem Dank bin ich auch dem Institut für Theoretische Physik der Universität zu Utrecht verpflichtet, an dem ich die Statistische Physik erstmals schätzen gelernt habe. Hierbei möchte ich zuallererst Prof. Dr. Matthieu Ernst nennen, von dem ich damals sehr viel gelernt habe, aber auch die Professoren Nico van Kampen, Theo Ruijgrok und Henk van Beijeren. Ich danke auch ganz herzlich Frau Margit Maly und Frau Stefanie Adam vom Lektorat Springer Spektrum sowie Herrn Alexander Reischert (Redaktion ALUAN) für ihre Unterstützung bei diesem Projekt. Ich hoffe, dass sich dieses Buch über Statistische Physik für alle Leser(innen) als nützlich erweist, aber insbesondere für die Studierenden, für die es primär geschrieben wurde, und wünsche ihnen viel Erfolg und auch Spaß bei ihren ersten Schritten in die Welt der Vielteilchenphysik. Mainz, im September 2017 Peter van Dongen

Inhaltsverzeichnis Vorwort Inhaltsverzeichnis v vii 1 Einführung 1 1.1 Zur Notwendigkeit einer Statistischen Physik............. 3 1.2 Historische Höhepunkte......................... 3 1.3 Übungsaufgaben............................. 8 2 Thermodynamik 15 2.1 Thermodynamische Systeme: einige Beispiele............. 15 2.1.1 Gase................................ 15 2.1.2 Elastizität............................. 17 2.1.3 Magnetische Materialien..................... 19 2.1.4 Dielektrika............................ 20 2.1.5 Weitere Beispiele......................... 20 2.2 Einige Definitionen............................ 20 2.3 Der nullte Hauptsatz........................... 22 2.4 Der erste Hauptsatz........................... 23 2.5 Die Carnot-Maschine........................... 24 2.6 Der zweite Hauptsatz.......................... 28 2.7 Der zweite Hauptsatz und Carnot-Prozesse.............. 30 2.8 Carnot-Prozesse und Entropie...................... 32 2.9 Die Extensivität der Entropie...................... 34 2.10 Thermodynamik der Photonen- und Phononengase.......... 35 2.11 Thermodynamische Potentiale...................... 37 2.11.1 Die innere Energie U(S, X, N)................. 37 2.11.2 Die Enthalpie H(S, Y, N).................... 38 2.11.3 Die (Helmholtz sche) freie Energie F (T,X, N)......... 39 2.11.4 Die freie Enthalpie G(T, Y, N)................. 40 2.11.5 Das großkanonische Potential Ω(T,X, μ)............ 41 2.11.6 Weitere thermodynamische Potentiale?............. 42 2.11.7 Thermodynamische Potentiale für Photonen und Phononen.......................... 43 2.12 Antwortfunktionen............................ 44 2.12.1 Die Wärmekapazität....................... 44

viii Inhaltsverzeichnis 2.12.2 Mechanische Antwortfunktionen................ 45 2.12.3 Chemische Antwortfunktionen................. 46 2.12.4 Beziehungen zwischen den Antwortfunktionen......... 46 2.13 Fluktuationen um den Gleichgewichtszustand............. 49 2.13.1 Konsequenzen der Stationarität der Entropie......... 51 2.13.2 Die Stabilität des Gleichgewichts............... 51 2.13.3 Konsequenzen aus der Berechnung der Entropiefluktuation. 55 2.14 Anwendung: Die Maxwell-Konstruktion................ 57 2.15 Die Clapeyron-Gleichung........................ 60 2.15.1 Die Clapeyron-Clausius-Gleichung............... 62 2.16 Die Gibbs sche Phasenregel....................... 63 2.16.1 Der Tripelpunkt als Beispiel für die Phasenregel....... 64 2.17 Der dritte Hauptsatz........................... 65 2.17.1 Beispiel: Das Photonengas.................... 67 2.18 Thermodynamik von Phasenübergängen................ 68 2.18.1 Was ist ein Phasenübergang?.................. 69 2.18.2 Beispiele von Phasenübergängen................ 73 2.18.3 Landau-Theorie von Phasenübergängen 2. Ordnung..... 76 2.18.4 Einfaches Modell für Phasenübergänge 1. Ordnung...... 82 2.19 Übungsaufgaben............................. 86 3 Grundlagen der Statistischen Physik 97 3.1 Quantentheorie für Vielteilchensysteme................. 97 3.2 Die Dichtematrix............................. 101 3.3 Die Entropie............................... 106 3.4 Zentrales Postulat der Statistischen Physik.............. 109 3.5 Die Pauli-Gleichung........................... 111 3.5.1 Hamilton-Operator und Wechselwirkungsbild......... 112 3.5.2 Zeitabhängigkeit der Wahrscheinlichkeiten........... 114 3.5.3 Bemerkungen zur Pauli-Gleichung............... 117 3.5.4 Die Mastergleichung...................... 118 3.6 Adiabatensatz und Virialtheorem................... 119 3.6.1 Adiabatensatz......................... 120 3.6.2 Konsequenzen des Adiabatensatzes.............. 121 3.6.3 Kombination mit dem Virialtheorem............. 122 3.6.4 Zustandsgleichung für ein klassisches Gas.......... 123 3.7 Übungsaufgaben............................. 125 4 Die statistischen Gesamtheiten 127 4.1 Die mikrokanonische Gesamtheit.................... 127 4.1.1 Beispiel: Der paramagnetische Kristall............. 131 4.2 Die kanonische Gesamtheit....................... 135 4.2.1 Beispiel: Das Photonengas.................... 139 4.2.2 Beispiel: Der klassische Grenzfall für Gase........... 143 4.3 Das Druck -Ensemble.......................... 152 4.3.1 Beispiel: Der klassische Grenzfall für Gase........... 155 4.3.2 Beispiel: Einfaches Modell für eine Flüssigkeit........ 157 4.4 Die großkanonische Gesamtheit..................... 160

Inhaltsverzeichnis ix 4.4.1 Beispiel: Der klassische Grenzfall für Gase........... 163 4.4.2 Beispiel: Bose-Einstein-Kondensation.............. 165 4.4.3 Zustandsgleichung eines klassischen realen Gases...... 169 4.4.4 Paarkorrelationen des klassischen realen Gases....... 176 4.5 Übungsaufgaben............................. 180 5 Spinsysteme 191 5.1 Wechselwirkende magnetische Momente................ 191 5.1.1 Spezialfälle: Heisenberg- und Ising-Modell........... 192 5.2 Das Druck -Ensemble für Spinsysteme................. 193 5.3 Ising-Modell: Lösung in einer Dimension................ 193 5.3.1 Berechnung der Magnetisierung................. 194 5.3.2 Berechnung der isothermen Suszeptibilität........... 195 5.3.3 Berechnung der Wärmekapazität................ 196 5.4 Hochtemperaturlimes in beliebiger Dimension............. 197 5.5 Tieftemperaturlimes in beliebiger Dimension.............. 198 5.5.1 Niederenergetische Anregungen in einer Dimension...... 198 5.5.2 Niederenergetische Anregungen in höherer Dimension.... 199 5.6 Molekularfeldnäherung zum Ising-Modell................ 199 5.6.1 Selbstkonsistenzgleichung für die Magnetisierung....... 200 5.6.2 Die thermische Antwortfunktion................ 203 5.6.3 Die mechanische Antwortfunktion............... 205 5.7 Phasenübergang im zweidimensionalen Ising-Modell........ 207 5.7.1 Allgemeine Form der Zustandssumme............ 207 5.7.2 Hochtemperaturentwicklung für die Zustandssumme...208 5.7.3 Tieftemperaturentwicklung für die Zustandssumme..... 209 5.7.4 Dualität der Hoch- und Tieftemperaturbereiche....... 210 5.8 Der klassische Limes für Spinsysteme.................. 212 5.8.1... entspricht nicht dem Hochtemperaturlimes......... 213 5.8.2... sondern dem Limes hoher Spinquantenzahlen....... 214 5.9 Beispiel: Die klassische Heisenberg-Kette................ 215 5.9.1 Berechnung thermodynamischer Größen............ 216 5.9.2 Berechnung der Spin-Spin-Korrelationsfunktion........ 216 5.10 Beispiel: Die planare Heisenberg-Kette................ 221 5.10.1 Berechnung thermodynamischer Größen...222 5.10.2 Berechnung der Spin-Spin-Korrelationsfunktion....... 223 5.11 Übungsaufgaben............................. 225 6 Quantengase 231 6.1 Allgemeine Eigenschaften........................ 231 6.2 Die Funktionen g α (z,ζ)......................... 235 6.3 Entwicklung um den klassischen Limes................. 238 6.4 Kondensation im Bose-Gas?....................... 240 6.5 Fermi-Gas bei tiefen Temperaturen................... 241 6.6 Das Fermi-Gas im Magnetfeld...................... 245 6.7 Das zweidimensionale Elektronengas.................. 247 6.8 Das relativistische Elektronengas.................... 250 6.9 Weiße Zwerge.............................. 255

x Inhaltsverzeichnis 6.10 Zweiatomige Moleküle......................... 257 6.10.1 Anwendung auf das HD-Molekül............... 261 6.10.2 Anwendung auf das H 2 - und das D 2 -Molekül........ 263 6.10.3 Die Wärmekapazität C V,N................... 264 6.11 Übungsaufgaben............................. 269 7 Kinetische Theorie 273 7.1 Die Mastergleichung........................... 274 7.1.1 Herleitung der Mastergleichung für Markow-Prozesse..... 275 7.1.2 Beispiel: Ein Atom wechselwirkt mit Photonen........ 278 7.1.3 Beispiel: Die Irrfahrt....................... 280 7.1.4 Beispiel: Zerfall radioaktiver Atome.............. 282 7.1.5 Stationäre Lösungen der Mastergleichung?........... 284 7.2 Stabilität in der Mastergleichung.................... 287 7.2.1 Beispiel: Der quantenmechanische harmonische Oszillator im Strahlungsfeld................... 291 7.3 Stabilität in der Boltzmann-Gleichung................. 295 7.3.1 Die räumlich homogene Boltzmann-Gleichung......... 296 7.3.2 H-Theorem und Ehrenfest-Modell............... 302 7.3.3 Die räumlich inhomogene Boltzmann-Gleichung........ 304 7.4 Die Euler-Gleichungen einer idealen Flüssigkeit............ 311 7.4.1 Beispiel: Stationärer axialsymmetrischer Wirbel........ 317 7.4.2 Erhaltungsgrößen in den Euler-Gleichungen.......... 319 7.4.3 Linearisierung um die Gleichgewichtslösung.......... 320 7.5 Die Navier-Stokes-Gleichungen der viskosen Hydrodynamik..... 322 7.5.1 Berechnung der Korrektur zur Verteilungsfunktion..... 324 7.5.2 Die Dynamik der langsamen Variablen............ 326 7.5.3 Der Wärmefluss........................ 329 7.5.4 Der Drucktensor........................ 330 7.5.5 Die hydrodynamischen Gleichungen.............. 333 7.5.6 Beispiel: Axialsymmetrischer Wirbel.............. 337 7.5.7 Berechnung von Transportkoeffizienten............ 340 7.5.8 Linearisierung um die Gleichgewichtslösung.......... 343 7.6 Übungsaufgaben............................. 344 8 Lösungen zu den Übungsaufgaben 351 8.1 Einführung................................ 351 8.2 Thermodynamik............................. 362 8.3 Grundlagen der Statistischen Physik.................. 387 8.4 Die statistischen Gesamtheiten..................... 390 8.5 Spinsysteme................................ 414 8.6 Quantengase............................... 426 8.7 Kinetische Theorie............................ 435

Inhaltsverzeichnis xi A Die Arbeit im ersten Hauptsatz 451 A.1 Rotierende Systeme........................... 451 A.2 Elektro- bzw. magnetostatische Systeme................ 452 A.2.1 Elektrostatische Systeme.................... 454 A.2.2 Magnetostatische Systeme.................... 454 A.2.3 Caveat lector........................... 455 B Das isolierte Druck -Ensemble 457 B.1 Beispiel: Das klassische ideale Gas................... 459 B.2 Beispiel: Heisenberg-Modell im paramagnetischen Limes....... 460 C Die Methode der charakteristischen Kurven 463 C.1 Die lineare partielle Differentialgleichung der ersten Ordnung............................ 463 C.2 Der Spezialfall einkomponentiger Funktionen............. 464 Liste der Symbole 467 Literaturverzeichnis 471 Stichwortverzeichnis 475