Algebra und Zahlentheorie bei Prof. Dr. A. Pott. Hagen Eichel und Friedrich Hempel

Algebra und Zahlentheorie bei Prof. Dr. A. Pott Hagen Eichel und Friedrich Hempel 21. Dezember 2006

Kapitel 1 Gruppen 1.1 Definition Sei G {} und : G G G heißt Gruppe wenn gilt: (G1) (a b) c = a (b c) a, b, c G (G2) e G : g e = g g G (rechtsneutral) (G3) zu jedem g gibt es ein b G : g b = e (rechtsinvers) BEMERKUNG: (i) keine Eindeutigkeit von b und e (ii) e G für neutrales Element aus G G heißt abelsch (oder kommutativ) wenn a b = b a a, b G gilt. 1.2 Bsp. (i) Sei M eine Menge und S m := {f : M M, f ist bijektiv } so nennt man diese symetrische Gruppe. (G,, e g ) f g : M M m g(f(m)) assoziativ: [(f g) h](m) = h ((f g)(m)) = h (g (f(m))) [f (g h)](m) = (g h) (f(m)) = h (g (f(m))) neutrales Element: id : M M m m inverses Element: g : M M m m

KAPITEL 1. GRUPPEN 2 wobei m so erklärt, daß f( m) = m ( m ist eindeutig, weil f bijektiv ist) (ii) (Z, +), (R, +), (R \ {0}, ), (C, +), (C \ {0}, ) sei F ein Körper dann gilt: (F, +) und (F\{0}, ) sind abelsche Gruppen (iii) GL(n, F) (Menge der invertierbaren n n Matrizen, in der Regel nich abelsch) Bemerkung: F <,z.b. F p dann GL(n, F p ) < Ist M = {1,..., n} dann schreibt man auch S n, S n = n! (iv) O(n, F) = {A F (n,n) : A T = A 1 } (orthogonale Gruppe) U(n, C) = {A C (n,n) : A 1 = A T } (unitäre Gruppe) (v) SL(n, F) = {A F (n,n) : det(a) = 1} (spezielle lineare Gruppe) SO(n, F) = {A O(n, F), det(a) = 1} (spezielle orthogonale Gruppe) 1.3 Satz Sei (G,, e) eine Gruppe, dann gilt: (i) e a = a (ii) f a = a a G f = e (iii) a, b G : a b = e b a = e und b ist durch a eindeutig bestimmt Sei a G, dann gibt es ein b mit a b = e und es gibt ein c mit b c = e a = a e = a (b c) = (a b) c = e c und b a = b (e c) = (b e) c = b c = e Betrachte: e a = (a b) a = a (b a) = a e = a Sei a f = a, dann f = f e = e f = (b a) f = b (a f) = b a = e Sei a b = e, dann b = b e = b (a b) = ( b a) b = e b = b Bemerkung: Rechtsneutral und linksinvers liefern keine Gruppe. Bezeichnung: a b = e, dann b = a 1 1.4 Satz

KAPITEL 1. GRUPPEN 3 Sei (G, ) eine Gruppe, dann gilt: (i) (a 1 ) 1 = a a G (ii) (a b) 1 = b 1 a 1 a, b G (iii) zu a, b G gibt es ein x G und ein y G mit a x = b und y a = b (Gleichungslösbarkeit) (ii) (a b) (b 1 a 1 ) = a (b b 1 ) a 1 = a e a 1 = a a 1 = e (iii) Eine Lösung von a x = b ist x = a 1 b Wenn a x = b, dann a 1 (a x) = a 1 b also x = a 1 b, also Eindeutigkeit 1.5 Definition Sei (G, ) eine Gruppe und U G.Die Menge U heißt Untergruppe von G wenn gilt: (U1) U {} (U2) u, v U : u v U (U3) u U : u 1 U BEZEICHNUNG: U G BEMERKUNG: (U, U U ) ist eine Gruppe BSP.: (i) {e}, G G (ii) SO(n, F) O(n, F) GL(n, F) SO(n, F) SL(n, F) GL(n, F) (iii) (Z, +) (Q, +) (R, +) (C, +)

KAPITEL 1. GRUPPEN 4 1.6 Bsp: Untergruppe (Z, +) Ist U Z, d Z : dz = U wobei dz = {d z : z Z} BEMERKUNG: Für jedes d ist dz Z klar Sei U Z. Wenn U = {0}, dann d = 0. Sei U {0}, dann U N {}, denn mit u U, u 0 gilt auch u U. Sei d das kleinste Element in U N, dann dz U. Angenommen d U, aber d dz, dann d = q d + r, 0 < r < d. r = d q d. Da d U und q d U folgt: r U im Widerspruch zur Voraussetzung. 1.7 Untergruppenkriterium SATZ 1: Sei (G, ) eine Gruppe, U G, U {} dann gilt: (i) U G u, v U : u v 1 U (ii) Ist U <, dann gilt: U G u, v U : u v U (i) Sei u, v U, dann v 1 U, also u v 1 U (trivial!) Sei u U, dann u u 1 = e U, also ist mit u U auch e u 1 = u 1 U. Sind u, v U, dann ist v 1 U und somit u (v 1 ) 1 U u v U (ii) (trivial!) Sei u U. Wir betrachten die Abbildung: σ n : U U, v u v σ n : U U nach Voraussetzung. Sei σ n (v 1 ) = σ n (v 2 ), dann u v 1 = u v 2. Also v 1 = v 2 σ n injektiv. Also ist σ n surjektiv v U : v u = u, also v = e U v U mit u v = e, also v = u 1 U SATZ 2: Sei (U i ) i I eine Familie von Untergruppen von G, d.h. U i G, dann gilt: i I U i G.

KAPITEL 1. GRUPPEN 5 Sei u, v i I U i, dann gilt: u, v U i, v 1 U i i I, also u v 1 U i i I u v 1 i I U i. Ferner gilt: e U i, i I, also i I U i {} DEFINITION: Sei U G, dann heißt < U >= H G,U H H die von U erzeugte Untergruppe, oder die Erzeugung von U BEMERKUNG: < U >= {v 1 v 2... v n : n N, v i U oder v 1 i U}(*) Abgeschlossenheit: (v 1... v n )(w 1... w m ) = v 1... v n w 1... w m Existenz eines neutralen Elementes e: (v 1... v n )(vn 1 vn 1... v1 1 ) = e Ferner müssen alle Ausdrücke der Form v 1... v n in < U > liegen. Also (*). DEFINITION: G heißt endlich erzeugt, wenn gilt: U G : U <, < U >= G. G heißt zyklisch, wenn gilt: G =< g > (Beispiel: (Z, +) =< 1 >). 1.8 Definition Sei G eine Gruppe und U G dann a r b mod U : a b 1 U. Entsprechend, a l b mod U : a 1 b U (konkruent). Bemerkung: a b 1 U a {u b : u U} =: U b (Rechtsnebenklasse) a 1 b U b {a u : u U} =: a U (Linksnebenklasse) 1.9 Satz r Äquivalenzrelation reflexiv a a mod U, denn a a 1 = e U symetrisch a b mod U, also ist a b 1 U, dann ist auch (a b 1 ) 1 = b a 1 U, also b a mod U transitiv a b mod U und b c mod U, also ist a b 1 U und b c 1 U, demnach ist a b 1 b c 1 = a c 1 U, d.h. a c mod U BEMERKUNG: Äquivalenzklassen sind die Rechtsnebenklasssen U b KOROLLAR:

KAPITEL 1. GRUPPEN 6 U b U c = { U B, {} b c mod U, also b 1 c U Bsp.: G = (Z, +) und U = d Z, a b mod d Z a b d Z d (a b) 1.10 Satz von Lagrange LEMMA: Sei (G, ) eine Gruppe, U G, dann ist σ : U b U a (a, b G), u b u a eine Bijektion. σ ist surjektiv, klar σ ist injektiv: σ(u b) = σ(ũ b) u a = ũ a u = ũ SATZ: Sei G eine Gruppe. U G, G <, dann gilt: U G (also Mächtigkeit von U teilt Mächtigkeit von G) r sei Äquivalenzrelation, die Äquivalenzklassen U b, aber U b = U a = U a, b U. Ferner bilden die U b Partitionen von G, also muss gelten: x U = G, wobei x die Anzahl der verschiedenen Nebenklassen ist. G BEZEICHNUNG: = [G : U] = # = Anzahl der verschiedenen Nebenklassen oder auch Index von U in G, l analog U # Linksnebenklassen = # Rechtsnebenklassen. 1.11 Bsp: ( ) ( ) ( ) 1 2 3 1 2 3 1 2 3 (i) S 3 mit id =, t 1 2 3 1 =, t 2 1 3 2 =, ( ) ( ) ( ) 3 2 1 1 2 3 1 2 3 1 2 3 t 3 =, t 1 3 2 4 =, t 3 1 2 5 = 2 3 1

KAPITEL 1. GRUPPEN 7 S 3 = 6 U 1 = {id, t 1 }, t 1 t 1 = id U 2 = {id, t 2 } U 3 = {id, t 3 } U 4 = {id, t 4, t 5 }, t 4 t 4 = t 5 ; t 4 t 5 = id RNK: U 1 = {id, t 1 } = U 1 t 1 U 1 t 2 = {t 2, t 1 t 2 = t 5 } U 1 t 3 = {t 3, t 4 } LNK: t 1 U 1 = U 1 t 2 U 1 = {t 2 ; t 4 } t 3 U 1 = {t 3 ; t 5 } (ii) S 4 = 24, U = {f : {1, 2, 3, 4} {1, 2, 3, 4} : f(1) = 1, f S 4 } S 4 U = S 3 = 6; 6 24 (iii) GL(2, F 3 ) = {A F (2,2) 3 : det(a) 0}, also alle lin. Abbildungen f : F 3 F 3, (b 1, b 2 ) Basis von F 3. 8 Möglichkeiten für f(b 1 ) = c 1 6 Möglichkeiten für f(b 2 ) = c 2, Verboten : 0, c 1, 2c 1, GL(2, F 3 ) = 48 Sei {A GL(2, F 3 ) : det(a) = 1} = SL(2, F 3 ) GL(2, F 3 ) SL(2, F 3 ) = 24, denn: Sei P GL(2, F 3 ) : det(p ) = 2, dann ist σgl(2, F 3 ) GL(2, F 3 ), A A P bijektiv (Schröder Bernstein) A SL(2, F 3 ) A P SL(2, F 3 ) 1.12 Lemma Sei G eine Gruppe und g G, dann gilt: < g >= {1, g 2, g 3,..., g 1, g 2,...} = {g i : i Z} {g i : i Z} < g > ist klar! Gruppe, denn g i g j = g i+j DEFINITION: Man nennt < g > =: o(g) die Ordnung von g, wobei o(g) = möglich ist.

KAPITEL 1. GRUPPEN 8 Also o(g) G, falls o(g) < (Lagrange) SATZ: Sei G eine Gruppe, g G und o(g) <, dann ist o(g) = min{n N : g n = 1} = m. Sei U = {1, g, g 2,..., g m 1 } mit U = m. Angenommen: g i = g j (0 i < j m 1) dann wäre 1 = g j i, was ein Wiederspruch zu Minimalität von m ist. Also ist m o(g), denn U < g >. Es gilt auch < g > U, denn g i < g > beliebig, d.h. i Z. i = m q + r 0 r m 1 g i = g m q+r = (g m ) q g r = g r U also < g > = U Korollar: Ist G eine endliche Gruppe und g G dann ist g G = 1 denn g G = (g o(g) ) G o(g) = 1 1.13 Bsp. Sei (F p, ) eine Gruppe mit F p = F p \ {0}. Dann ist x p 1 = 1 in F p x F p. Also ist x p 1 1 mod p x. (kleiner Fermat scher Satz)

Kapitel 2 Homomorphismen 2.1 Definition Sei G eine Gruppe und N G, dann heißt N Normalteiler von G, wenn gilt: N g = g N g G. G heißt einfach, wenn {1}, G die einzigen Normalteiler sind. Schreibweise: N G BSP.: (i) {1}, G G, denn g {1} = {g} = {g} 1, also G g = G = g G (ii) in abelsche Gruppen sind alle Untergruppen Normalteiler: N g = {n g : n N}, g N = {g n : n N} (iii) {id, t 4, t 5 } S 3, {id, t 1 } S 3 (siehe Bsp Seite 6) Man kann zeigen: Ist U G und [G : U] = 2, dann gilt: U G BEMERKUNG: [G : U] = {U g : g G}, denn U g = U g U, also: { U für g U, falls[g : U] = 2 U g = G \ U für g U g U = { U G \ U für g U für g U

KAPITEL 2. HOMOMORPHISMEN 10 Komplexprodukt: Sei A, B G, dann definieren wir das Komplexprodukt wie folgt: A B := {g h : g A, h B} G. 2.2 Satz Sei G eine Gruppe und N G dann sind folgende Aussagen äquivalent: (i) g N = N g g G (N G) (ii) g 1 N g = n g G (iii) (N g) (N h) = N g h g, h G (i) (ii) g N = N g g 1 von links N = g 1 N g (ii) (iii) (N g) (N h) = (N g) (N g 1 g h) = N (g N g 1 ) g h }{{} N = N }{{ N} g h = N g h N (iii) (i) g N N g N weil 1 N N g (N 1) = N g 1 = N g also auch g 1 N N g 1 g von links und rechts N g g N N g = g N g G 2.3 Satz Sei G eine Gruppe und N G, dann ist G /N := {N g : g G} mit folgender Verknüpfung eine Gruppe: (N g) (N h) = N (g h) (Faktorgruppe) neutrales Element N 1 = N inverses Element (N g) (N g 1 ) = N g g 1 = N Assoziativität [(N g) (N h)] (N k) = (N g h) (N k) = N (g h) k = (N g) h k = (N g) (N h k) = (N g) [(N h) (N k)] BSP.: (i) (G, ) = (Z, +) also G U = d Z mit d N 0 Z /d Z = {d Z, d Z + 1, d Z + 2..., d Z + (d 1)}

KAPITEL 2. HOMOMORPHISMEN 11 Z /d Z = d wenn d 0 sonst Z /{0} = Z (d Z + i) + (d Z + j) = d Z + (i + j) = d Z + ((i + j) mod d) Bez.: (Z d, +) zyklische Gruppe mit dem Erzeuger d Z + 1 Faktorgruppen sind keine Untergruppen!!! (ii) Z(n, F) = {γ I n : γ F; γ 0} GL(n, F) Offensichtlich ist Z(n, F) GL(n, F) (γ I n ) A (γ 1 I n ) mit A GL(n, F) = (γ I n ) (γ 1 I n ) A = A also A 1 (γ I n ) A = (γ I n ) und somit gilt (ii) aus (2.2) GL(n, F) ist nich einfach: GL(n, F) /Z(n,F) =: P GL(n, F) (Projektive lineare Gruppe) n = 2; F = F 3 GL(2, F 3 ) = ( 48 ) und ( ) P GL(2, F 3 ) = 24 1 0 2 0 Z(2, F 3 ) = {, } = 2 0 1 0 2 (iii) N = SL(n, F) GL(n, F) Determinantenproduktsatz: g 1 N g = N g G g 1 n g N g G, n N Sei A SL(n, F) und B GL(n, F) dann ist: det(b 1 A B) = det(b }{{} 1 ) det(a) det(b) = det(a) = 1 SL(n,F) GL(nF) /SL(n,F) = F \ {0} wenn F < 2.4 Definition Seien (G,, e G ) und (H,, e H ) Gruppen. Eine Abbildung σ : G H heißt Homomorphismus, wenn σ(g h) = σ(g) σ(h) gilt. Analog weiter Begriffe: für G = H Endomorphismus für σ bijektiv Isomorphismus (dann ist G, H isomorph in Zeichen: G = H für σ surjektiv Epimorphismus für σ injektiv Monomorphismus für G = H und σ bijektiv Automorphismus (Bezeichnung Aut(G)) LEMMA: Sei σ : G H ein Homomorphismus dann gilt: (i) σ(e G ) = e H (ii) σ(g 1 ) = (σ(g)) 1

KAPITEL 2. HOMOMORPHISMEN 12 (i) σ(g e G ) = σ(g) σ(g) σ(e G ) = σ(g) }{{} e H (ii) σ(g g 1 ) = σ(e G ) = e H = σ(g) σ(g 1 ) also σ(g 1 ) = (σ(g)) 1 2.5 Bsp. (i) Lineare Abbildungen σ : V W sind Homomorphismen (V, +) (W, +) bzw. Endomorphismen (V, +) (V, +). (ii) log({x R, x > 0}, ) (R, +) x log(x) (Homomorphismus) (iii) m d : Z Z z d z (Endomorphismus) (iv) GL(n, F) F A det(a) Homomorphismus wegen Determinantenproduktsatz, ist sogar Epimorphismus (v) τ g : G G x g 1 x g (Automorphismus) Homomorphismus τ g (x y) = g 1 x y g = g 1 x g g 1 y g = τ g (x) τ g (y) injektiv g 1 x g = g 1 y g x = y surjektiv y G beliebig, dann τ g (g y g 1 ) = g 1 g y g 1 g = y Ferner: τ : G Aut(G) g τ g z.z.: τ(g h) = τ(g) τ(h) τ(g h) : G G x (g h) 1 x g h also: (g h) 1 x g h = h 1 g 1 x g h = h 1 τ g (x) h = τ g τ h (x), denn τ g τ h (x) = τ h (g 1 x g) = h 1 g 1 x g h und somit: τ(g h) (x) = τ g τ h (x) (vi) Sei G eine Gruppe, N G und ν : G G /N (surjektiver Homomorphismus) dann gilt: ν(g h) = N g h ν(g) ν(h) = N g N h = N g h g N g 2.6 Definition Sei σ : G H ein Homomorphismus dann ist:

KAPITEL 2. HOMOMORPHISMEN 13 Bild(σ) = {σ(g) : g G} H Kern(σ) = {g G : σ(g) = e h } G 2.7 Satz (i) Bild(σ) H (ii) Kern(σ) G (ii) z.z. g 1 n g Kern(σ) g G, n Kern(σ) Sei n Kern(σ) und g G beliebig dann ist: σ(g 1 n g) = σ(g 1 ) σ(n) σ(g) = σ(g }{{} 1 ) σ(g) = σ(g 1 g) = e h e H also ist g 1 n g Kern(σ) BSP.: (i) GL(n, F) F Kern(det) = SL(n, F) (ii) ν : G G /N, g N g Kern(ν) := {g G : N g = N} = N (iii) τ : G Aut(G), g G G, x g 1 x g Kern(τ) = {g G : τ(g) = id} g 1 x g = x x G x g = g x x G Kern(τ) = {g G : g x = x g, x G} Zentrum von G : Z(G) G Bemerkung: Ist ϕ : G H ein Homomorphismus, dann ist ϕ 1 : H G ein Isomorphismus. SATZ 2.8 HOMOMORPHIESATZ. Seien H, G zwei Gruppen, ϕ : G H ein Homomorphismus und Kern(ϕ) G, dann gibt es genau einen injektiven Homomorphismus σ : G /Kern(ϕ) H mit σ(n g) = ϕ(g). Ist ϕ surjektiv, so ist auch σ surjektiv. Ferner gilt: G /Kern(ϕ) = Bild(ϕ)

KAPITEL 2. HOMOMORPHISMEN 14 Zunächst zur Eindeutigkeit: Ng = {x G : ϕ(x) = ϕ(g)} = ϕ 1 [ϕ(g)], also existiert σ und ist eindeutig. (i) σ ist wohldefiniert: zu zeigen: Ng = Nh ϕ(g) = ϕ(h), denn Ng = Nh Ngh 1 = N gh 1 N ϕ(gh 1 ) = 1 ϕ(g)ϕ(h) 1 = 1 ϕ(g) = ϕ(h). (ii) σ injektiv: σ(ng) = σ(nh) ϕ(g) = ϕ(h) ϕ(gh 1 ) = 1 gh 1 N Ng = Nh (iii) σ Homomorphismus: σ(ng Nh) = σ(ngh) = ϕ(gh) = ϕ(g) ϕ(h) = σ(ng) σ(nh) (iv) Wenn ϕ surjektiv ist, dann ist offensichtlich auch σ surjektiv (nach Konstruktion) (v) Beachte: σ ist surjektiv. Aus der Abbildung G /N Bild(ϕ) folgt mit (ii): σ : G /N Bild(ϕ) ist Homomorphismus, G /Kern(ϕ) = Bild(ϕ) Bsp 2.9 (i) ϕ : (Z, +) ({0,..., n 1}, + mod n) = H, Zn = Z /nz, z z mod n. ϕ ist Homomorphismus, Kern(ϕ) = nz, also Z /nz = H ϕ surjektiv. (ii) In (2.5) haben wir gezeigt: τ : σ Aut(G) mit g τg : G G, x g 1 xg. Kern(τ) = {g G : g 1 xg = x x G} = {g G : xg = gx x G} =: Z(G) = Zentrum von G. Bemerkung: G ist abelsch, denn Z(G) = G, G /Z(G) = Bild(τ), Bild(τ) =: Inn(G) Inn ist die Gruppe der inneren Automorphismen. Im Allgemeinen ist τ nicht surjektiv. (iii) AGL(1, F) = {τ a,b : F F : x ax + b, a 0} Beachte: τ a,b = τ a,b a = a, b = b, denn wenn τ a,b = τ a,b, dann τ a,b (0) = τ }{{} a,b (0) b = b und aus τ }{{} a,b(1) a = a b b

KAPITEL 2. HOMOMORPHISMEN 15 τ a,b τ a,b : F F, x (ax + b)a + b a ax + a b + b AGL(1, F) τ 1 a,b = τ 1 a, AGL(1, F) b a ϕ : AGL(1, F) F, τ a,b a, Epimorphismus (surjektiver Homom.) ϕ Homomorphismus ϕ(τ a,b τ a,b ) = a a = ϕ(τ a,b ) ϕ(τ a,b ). surjektiv: klar! Kern(ϕ) = {τ 1,b : b F} AGL(1, F), }{{} N AGL(1, F) /N = F N τ a,b = {τ a,b : b F} 2.10 SATZ 1. Isomorphiesatz) Sei G eine Gruppe, N G. Wenn N H G, dann ist H := {h N : h H} G /N = G. Die Zuordnung, die jedem H mit N H G ein H G zuordnet, ist bijektiv, d.h. zu jeder Untergruppe S G gibt es ein H mit N H G und H = S. Ferner gilt: H G H G. Dann gilt: G /H = G/H und G /H = G /H /H /N (i) H G, klar denn: (Nh 1 ) }{{} H,h 1 H (Nh) 1 }{{} H,h H = Nh 1 }{{} h 1 H Nh 1 H (Nh 2 ) }{{} H,h 2 H = N h 1 h 2 }{{} H,h 1 h 2 H (ii) X injektiv: Sei H 1, H 2 G, N H 1, H 2. Angenommen: H 1 = H 1/N = H 2 = H 2/N. Dann gibt es zu jeder Nebenklasse Nh 1 H 1 eine Nebenklasse Nh 2 H 2 mit Nh 1 = Nh 2, h 1 H 1, h 2 H 2. Wegen Nh 1 = Nh 2 h 2 h 1 1 N, aber N H 1, h 2 h 1 1 = n, h 2 = nh 1, n N h 2 H 1, also H 1 H 2. H 2 H 1 analog, also H 1 = H 2 (iii) Surjektiv: Sei H G. Wir definieren K = {g G : Ng H} G. Offenbar K = H und N K. Nach (2.2): K G. Sei h 1, h 2 K, also Nh 1, Nh 2 H Nh 1 h 2 H h 1 h 2 K, (Nh 1 ) 1 = Nh 1 1 H h 1 1 K

KAPITEL 2. HOMOMORPHISMEN 16 (iv) H G H G: Sei H G g 1 hg H, g G, h H (Ng) 1 (Nh)(Ng) H, g G, h H }{{} N(g 1 hg) g 1 hg H, g G, h H H H (v) Homomorphismen: ν : G G /H g gh τ : G G = G /N g g = Ng ν, τ Homomorphismen. Bemerkung: Sei G Gruppe und N G, dann ist σ : G G /N, g Ng ein surjektiver Homomorphismus ( kanonischer Homomorphismus ). τν : G G /H surjektive Hom. Kern(τν) = {g G : g H} = H G /H = G/H BSP.: Z, G zyklische Gruppe der Ordnung n, d.h.: G =< g >= {g 0, g, g 2,..., g n 1 } ν : Z G i g i ist ein surjektiver Homomorphismus. Kern(ν) = nz, also gilt (Homomorphiesatz): Z /nz = G. Es gibt also bis auf Isomorphie nur eine zyklische Gruppe der Ordnung n. Z }{{} H }{{} nz Z n = Z /nz }{{} H

KAPITEL 2. HOMOMORPHISMEN 17 Sei H = lz und nz lz l n Isomorphiesatz: Betrachte Ordnungen: l = Z /lz = Zn /lz = Z /nz/lz /nz n lz /nz, also lz /nz = n l, lz = n l, lz = H Z n, lz =< l + nz >= zyklisch der Ordnung n/l. Das heißt: In Z n gibt es zu jedem Teiler s von n genau eine Untergruppe der Ordnung s. 2.11 2. Isomorphiesatz Sei G eine Gruppe, H, K G und K G dann ist H K = {h k : h H, k K} und K H K, d.h. K H. Die Abbildung ϕ HK/K K /H K mit hk h(h K) ist Isomorphismus, also ist HK /K = H/H K. Bemerkung: In der Definition von ϕ : hk h(h K) ist h H. Die Nebenklasse hkk = hk für h H, k K. (i) H K G h 1, h 2 H k 1, k 2 K h 1 k 1 h 2 k 2 = h 1 h 2 (h 1 2 k 1 h 2 ) k }{{} 2 H K K, weil K G (h k) 1 = k 1 h 1 = h 1 (h k 1 h 1 ) H K }{{} K (ii) K H K klar, weil H K G H K H sei g H K z.z. h 1 g h H K h 1 g h H, weil g, h H h 1 g h K, weil g K und K G h H (iii) ν : G H /K g K g ν : ν /H : H G h K h (Isomorphismus) (Homomorphismus)

KAPITEL 2. HOMOMORPHISMEN 18 Bild ν = {k h : h H} = {h k : h H} = {h k K : h H, k K} also ν : H HK /K (surjektiv) Kern ν = {h H : K h = K} = H K = HK /K Homomorphisatz zeigt das H /Kern ν = Bild ν (iv) ϕ ist Isomorphismus: ϕ : H /H K HK /K h(h K) K, dann ist ϕ = ( ϕ) 1

Kapitel 3 Freie Gruppen 3.1 Definition Sei M eine Menge, e M M und es gibt eine binäre Verknüpfung + mit M M M, dann nennt man (M, +, e M ) Monoid (Halbgruppe), wenn gilt: M1 (m + m ) + m = m + (m + m ) m, m, m M M2 e M + m = m + e M = m m M Bemerkung: Monoid ist eine Gruppe ohne inverses Element. 3.2 Sei Z (r) := {(n 1,..., n r ) : n Z} mit komponentenweiser Addition (n 1,..., n r ) + (m 1,..., m r ) = (n 1 + m 1,..., n r + m r ). So ist die oben definierte Gruppe eine abelsche Gruppe mit dem neutralen Element (0,..., 0). Sei x i = (0,..., 0, 1, 0,..., 0) und (n 1,..., n r ) = r i=1 n ix i, wobei n i x i = x i +... + x i }{{} n mal ist. Dann wird Z (r) von den Elementen x 1,..., x r erzeugt. Sei G eine abelsche Gruppe, die von a 1,..., a r erzeugt wird, d.h. G =< a 1,..., a r >, dann ist η : Z (r) G mit (n 1,..., n r ) a n 1 1,..., a nr r ein surjektiver Homomorphismus. Er ist surjektiv, weil G erzeugt wird von < a 1,..., a r > und G abelsch ist. η ist Homomorphismus weil G abelsch ist und a n i+m i i = a n i i a m i i gilt. Desweiteren ist: η((n 1,..., n r ) + (m 1,..., m r )) = a n 1+m 1 1 +... + a nr+mr r = a n 1 1 a nr r a m 1 1 a mr r = η(n 1,..., n r ) η(m 1,..., m r ) Es gilt: η(x i ) = a i x i ist.

KAPITEL 3. FREIE GRUPPEN 20 SATZ: Es gibt bis auf Homomorphie genau eine abelsche Gruppe F (r) mit r Erzeugern f 1,..., f r, so dass es zu jeder abelschen Gruppe mit r Erzeugern a 1,..., a r genau einen surjektiven Homomorphismus η : F (r) G gibt mit η(f i ) = a i. Die Gruppe Z (r) hat die gewünschte Eigenschaft. Die Gruppe F (r) hat die Eigenschaft, dass es ein surjektiven Homomorphismus gibt mit: η(f i ) = x i η : F (r) Z (r) Kern(η) = {0} η(f n 1 1,..., f nr r ) = (n 1,..., n r ) Also ist η Homomorphismus. Bezeichung: F (r) = Z (r) F (r) heißt freie abelsche Gruppe mit r Erzeugern. Jede abelsche Gruppe mit r Erzeugern ist Faktorgruppe von Z (r). (Homomorphisatz: Z (r) /Kern(η) = G) BSP.: Z (r) /<4x 1,3x 2,2x 3 > ist abelsche Gruppe mit den 3 Erzeugern g 1, g 2, g 3 die die Eigenschaft haben 4g 1 = 3g 2 = 2g 3 = 1. Konkret heißt das: {(a 1, a 2, a 3 )}, sodass a 1 {0, 1, 2, 3} a 2 {0, 1, 2} a 1 {0, 1} (a 1, a 2, a 3 )+(b 1, b 2, b 3 ) = ((a 1 +b 1 ) mod 4, (a 2 +b 2 ) mod 3, (a 3 +b 3 ) mod 2) η(x 1 ) = (1, 0, 0) η(x 2 ) = (0, 1, 0) η(x 3 ) = (0, 0, 1) Kern(η) : = {(n 1, n 2, n 3 ) Z (r) : 0 = (n 1, n 2, n 3 ) G} = {(n 1, n 2, n 3 ) : 4 n 1, 3 n 2, 2 n 3 } =< 4x 1, 3x 2, 2x 3 >} 3.3 Es sei: X = {x 1,,...,, x r } X = {x 1,,..., x r} X X = {} Desweiteren definieren wir: Y = X X Y j = Y,..., Y }{{} j mal

KAPITEL 3. FREIE GRUPPEN 21 Die Elemente aus Y j heißen Wörter der Länge j. Auf der Menge j 1 Y j definieren wir die Verknüpfung wie folgt: (y 1,,...,, y j ) (z }{{} 1,,...,, z s ) = (y }{{} 1,,...,, y j, z 1,,..., z s ) }{{} Y j Y s Y j+s ist assioziativ. Füge ein weiteres Element 1 hinzu (1 Y ). Es gilt definitionsgemäß 1τ = τ1 = τ τ j 1 Y j Wenn in einem Wort x j x j oder x jx j auftritt, wird das durch 1 ersetzt. Mit dieser Vereinbarung wird j 1 Y j zu einer Gruppe. Genauer: j 1 Y j {1} ohne die Festlegung x j x j = x jx j = 1 ist Halbgruppe. Mit x j x j = x jx j = 1 erhält man eine Gruppe. BEZEICHNUNG: Diese Gruppe heißt freie Gruppe F G (r) mit r Erzeugenden. SATZ: Sei G eine beliebige Gruppe mit r Erzeugenden a 1,,..., a r, dann gibt es genau einen surjektiven Homomorphismus η : F G (r) G mit x i a i bzw. x i a 1 i genau einen: surjektiv: Homomorphismus: ist klar, da x i, x i die Gruppe F G (r) erzuegen weil a i Erzeuger von G sind nach Konstruktion von F G (r) η((y 1,,...,, y r )(z 1,,...,, z s )) = η(y 1,,...,, y r )η(z 1,,...,, z s ) Monoid: x i, x i = x ix i = 1 (*) Jedes Element in j 1 Y {1} kann zu einem Element in Z reduziert werden, in dem man (*) benutzt. Man kann soweit reduzieren, dass kein x i x i oder x ix i mehr auftritt. Auf der so verkleinerten Menge der reduzierten Wrter definiert man eine Gruppe mit neutralem Element 1. Bezeichnung: F (r), freie Gruppe mit r Erzeugenden. Sei G eine beliebige Gruppe mit r Erzeugenden a 1,..., a r, dann gibt es genau einen surjektiven Homomorphismus: η : F (r) G G, x i a i, x i a 1 i (**) SATZ: Es gibt bis auf Isomorphie genau eine Gruppe (nennen diese F G (r) ) mit r Erzeugenden mit der Eigenschaft, dass es zu jeder Gruppe mit r Erzeugen-

KAPITEL 3. FREIE GRUPPEN 22 den a 1...a r genau ein η : F G (r) G mit (**) Existenz: siehe oben, Konstruktion von F G (r) Eindeutigkeit: wie in (3.2) 3.4 Bsp: F G (2) mit Erzeugenden x, y Jede Gruppe G mit 2 Erzeugenden ist isomorph zu einer Gruppe F G (2) /N = G für ein N F G (2). Sei N der Normalteiler, der von x n, y 2, xyxy in F G (2) erzeugt wird, wobei n N fest gewählt ist. Es gilt: F G (2) /N 2n Sei dazu x = xn, y = yn; die Elemente x i y j, 0 i n 1, 0 j 1 bilden Untergruppe von F G (2) /N Zu zeigen ist: x i y j x i y j {x i y j, 0 i n 1, 0 j 1}. Klar fr j = 0 Sei j = 1 : x i yx i y j = x i yxx i 1 y = x i x n 1 yx i 1 y Fahre so fort, bis man einen Ausdruck der Form x s y t erreicht. (x i y j ) 1 = y j x n i = x s y t für ein geeignetes s, t (Beweis wie oben). Das zeigt: {x i y j : 0 i n 1, 0 j 1} F G (2) /N, die x, y enthält. F G (2) /N wird von x, y erzeugt, aber F G(2) /N 2n. Zu = genügt es, eine Gruppe G mit zwei Erzeugern R, S anzugeben, sodass R n = 1 = S 2, RSRS = 1 gilt und G = 2n. Dann gibt es Hom: η : F G (2) G, x R, y S, Kern(η) N F G (2) /Kern(η) = 2n F G (2) /N 2n, das zeigt: Kern(η) = N Zur Konstruktion von G: regelmäßiges n-eck, Ecken: 0,1,2,...n 1 R : Rotation um 2π n

KAPITEL 3. FREIE GRUPPEN 23 S : Spiegelung an y-achse. Es gilt: R n = S 2 = id R : i i + 1 mod n S : i i mod n RSRS = id : i i + 1 i 1 i i G = 2n, denn G enthält die n Drehungen id, R, R 2,..., R n 1 und n Spiegelungen. R} i {{ SR} i : (R i SR i )(R i SR i ) = id. Ordnung2 G ist Diedergruppe D n, D n = 2n, Bezeichnung: F G (2). Sei N F G (2) mit Erzeugern r 1,..., r m. Dann schreibt man statt F G (r) /N auch < x 1,..., x r : r 1 =... = r m = 1 >, r i...relationen. BSP.: r 1 = x n, r 2 = y 2, r 3 = xyxy D n =< x, y : x n = y 2 = xyxy = 1 >. Erzeugen Relation.

Kapitel 4 Zur Symmetriegruppe S n 4.1 Definition γ S n heißt r-zyklus, wenn es {i 1,..., i r } {1,..., n} gibt, mit i j i k für j k und γ(i j ) = i j+1, j = 1,..., r 1 γ(i r ) = i 1 γ(i) = i i {ı 1...i r } BSP.: ( ) 1 2 3 4 5 3-Zyklus. 3 2 4 1 5 i 1 = 1, i 2 = 3, i 3 = 4, γ(2) = 2, γ(5) = 5 Schreibweise: γ = (i 1 i 2... i r ) S n Bsp: (1 3 4) BEMERKUNG: (1) γ r-zyklus, dann γ r = id (2) (i 1... i r ) = (i 2 i 3... i r i 1 ) 1-Zyklus: γ = (i) = id (3) Wir wollen (i) und (j) für i j als verschiedene Zyklen auffassen. (4) γ = (i 1... i r ), dann heißt {i 1,..., i r } Träger von γ

KAPITEL 4. ZUR SYMMETRIEGRUPPE S N 25 4.2 Definition Wir nennen Zyklen µ, γ disjunkt, wenn sie disjunkte Träger haben. Bemerkung: Wenn γ, µ disjunkt sind, dann gilt: γµ = µγ Bsp.: (1 2 3), (1 3 2) S 3 4.3 Satz Jedes π S n kann man als Produkt disjunkter Zyklen schreiben. Diese Darstellung ist bis auf die Reihenfolge der Zyklen eindeutig. ( ) 1 2 3 4 5 6 7 Bsp: S 4 5 3 1 6 2 7 7 (1 4)(2 5 6)(3)(7) Wir definieren ( ) auf {1,..., n} wie folgt: i j : r N 0 mit π r (i) = j; π 0 = id ist eine Äquivalenzrelation: reflexiv, transitiv: klar. Symmetrie: π r (i) = j(*) Es gilt: π Sn π Sn r (j) = i (wende π Sn r auf (*) an.) = id, also: Äquivalenzklassen A 1...A s Definiere π k : {1,..., n} {1,..., n}; i π(i), i A k π k Zyklus mit Trägern A k, sei i A k,dannπ k = (i π(i) π 2 (i)... π A k 1 (i)) π A k (i) = i, wäre π A k 1 (i) = π S (i), A S A k 1, dann Widerspruch zu π bijektiv: π(π S 1 (i)) = π(π A k 1 ) }{{} V erschieden π = π 1...π k Zerlegung in disjunkte Zyklen. Angenommen π 1 π k = γ 1 γ k sind zwei verschiedene Darstellungen, dann müssen die Äquvialenzklassen A 1,..., A k von die Träger von γ i, π i sein. Das zeigt: K = K und (o.b.d.a.) Träger von π i = Träger von γ i π i = γ i 4.4 Definition Sei π = π 1 π s, π S n die Zerlegung in disjunkte Zyklen π 1...π s. Die Träger von π i seien A i, wobei A i = 1 möglich ist. Sei A 1 A 2... A s, dann heißt ( A 1,..., A s ) Zyklenstruktur oder

KAPITEL 4. ZUR SYMMETRIEGRUPPE S N 26 Typ von π BSP.: π = (1 4)(2 5 6)(7)(3) S 7, Typ: (1, 1, 2, 3) 4.5 Definition Sei G eine Gruppe, g G. Dann heißt C G (g) = {h 1 gh : h G} Konjugiertenklasse von g in G Bemerkung: (1) Die Elemente h 1 gh heißen die Konjugierten von G. (2) N G h 1 Nh = N, h G (N ist also Normalteiler) N ist die Vereinigung von Konjugiertenklassen von G 4.6 Satz In S n sind zwei Elemente genau dann in der selben Konjugiertenklasse, wenn sie die selbe Zyklenstruktur haben. h S n, (i 1,..., i r ) Zyklen in S n. f = h 1 (i 1,..., i r )h S n, f(h(i 1 )) = h(i 2 ) f(h(i 2 )) = h(i 3 ) f(h(i r )) = h(i 1 ) f(j) = j, falls j {h(i 1 ),..., h(i r )} Also: f = (h(i 1 )... h(i r )) Zyklus BSP.: (1 4)(2 5 6)(3)(7) = π 1 (3 7)(1 5 6)(4)(2) ( = π 2 ) 1 2 3 4 5 6 7 Wähle h = 3 1 4 7 5 6 2 h 1 π 1 h = π 2 (nicht eindeutig), dann: 4.7 Jede Permutation π S n ist Produkt von Transpositionen in S n (2-Zyklen), die Anzahl der Transpositionen die bentigt werden ist mod 2 eindeutig

KAPITEL 4. ZUR SYMMETRIEGRUPPE S N 27 (LAAG). π heißt grade wenn die Anzahl der Transpositionen grade ist. DEFINITION: A n := {π S n : π gerade } < S n, n 1. A n heißt alternierende Gruppe. SATZ: A n S n { 1 π ungerade σ : S n (Z 2, +), π 0 π gerade offenbar Homomorphismus. Kern(σ) = A n, A n = 1 S 2 n = n!, (n 1) 2 4.8 Bsp. n = 5 Konjugiertenklassen in S 5 Typ C G (g) Bsp. in S 5 (1,1,1,1,1) 1 id (1,1,1,2) 10 (1 2) (1,2,2) 15 (1 2)(3 4) (1,1,3) 20 (1 2 3) (1,4) 30 (1 2 3 4) (2,3) 20 (1 2)(3 4 5) (5) 24 (1 2 3 4 5) A 5 = 60 Konjugiertenklassen in A 5 : Typ C A5 (g) (1,1,1,1,1) 1 (1,1,3) 20 (1,2,2) 15 (5) 12 denn z.b. (1 2 3 4 5)= π 1 und (2 1 3 4 5)= π 2 und in A 5 nicht konju-

KAPITEL 4. ZUR SYMMETRIEGRUPPE S N 28 giert (nachrechnen). KOROLLAR: A 5 ist einfach, d.h. hat keine Normalteiler außer {id}{a 5 } Ist U A 5, dann U {1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60} (Satz von Lagrange), aber U ist auch Vereinigung von Konjugiertenklassen, wobei {1} benötigt wird. Das geht nicht! SATZ: Sei g A n. Dann gilt C An (g) = C Sn (g), oder C An (g) = 1 2 C S n (g) Sei r S n \A n, dann : C Sn (g) = C An (g) r 1 C An (g)r, denn: Sei h S n \A n beliebig, h := h r, h A n h 1 gh = (h r) 1 g(h r) = r 1 (h 1 gh ) r }{{} C An (g) Betrachte r 1 C An (g)r = {r 1 h 1 ghr : h A n } = {h 1 r 1 grh : h A n } (denn r 1 h 1 r 1 A n = S n \A n ) = {h 1 (r 1 gr) h }{{}, h A n } = C An (r 1 gr) A n Wenn r 1 gr C An (g), dann C An (g) = C An (r 1 gr) C An (g) = C An (r 1 gr), oder r 1 gr C An (g), dann C Sn (g) = C An (g) + C An (r 1 gr) Weil τ r : A n A n, g r 1 gr ein Automorphismus ist (weil A n S n ) gilt: C An (r 1 gr) = r 1 C An (g)r = τ(c An (g)), deshalb C An (r 1 gr) = C An (g) 4.9 Satz Sei G eine endliche Gruppe, dann ist G isomorph zu einer Untergruppe von S G Sei σ g : G G, h h g eine Abbildung. Es gilt σ g S G Die Abbildung T : G S G, g σ g ist ein injektiver Homomorphismus. z.z.: Homomorphismus: T (g 1, g 2 ) = σ g1 g 2 = G G, h h g 1 g 2 und T (g 1 )T (g 2 ) : G G, h h g 1 g 2

KAPITEL 4. ZUR SYMMETRIEGRUPPE S N 29 z.z.: injektiv: Wenn g 1, dann σ g id, denn σ g (1) = g 1, also Kern(T ) = {1}, Homomorphiesatz: Bild(T ) = σ und Bild(T ) S G ERGÄNZUNG Die Konjugiertenklassen C G (g), g G liefern eine Partition von G, d.h. zwei Konjugiertenklassen sind gleich oder disjunkt. Definiere auf G Äquivalenzrelation : g h x G : x 1 gx = h z.z.: reflexiv (klar) z.z.: symmetrisch: x 1 gx = h h = xhx 1 = (x 1 ) 1 h(x 1 ) z.z.: transitiv: g h, h k x 1 gx = h, y 1 hy = k y 1 x 1 gxy = k (xy) 1 g(xy) = k, also g k

Kapitel 5 Operation von Gruppen auf Mengen 5.1 Definition Sei G Gruppe, M eine Menge. G operiert auf M, wenn es eine Abbildung τ : G M M, (g, m) m g (m unter g) gibt, mit folgenden Eigenschaften: (O1) m 1 = m m M (O2) m g 1g 2 = (m g 1 ) g 2 m M, g 1,2 G 5.2 Satz (i) Sei G eine Gruppe, M eine Menge, T : G S M sei ein Homomorphismus. Dann operiert G auf M durch folgende Abbildung τ: τ : G M M : (g, m) T (g)(m) }{{} S M (ii) Sei G eine Gruppe, M eine Menge, G operiere auf M durch τ : G M M, (g, m) m g Dann ist die Abbildung: T : G S M, g T (g) mit T (g) : M M, m m g ein Homomorphismus

KAPITEL 5. OPERATION VON GRUPPEN AUF MENGEN 31 (i) (O1) m 1 = m folgt weil T Homomorphismus ist und T (1)(m) = m (O2) z.z. dass m g 1g 2 = (m g 1 ) g 2. Es gilt: m g 1g 2 = T (g 1 g 2 )(m) = [T (g 1 )T (g 2 )](m) und außerdem (m g 1 ) g 2 = [T (g 1 )(m)] g 2 = T (g 2 )[T (g 1 )(m)] = [T (g 1 )T (g 2 )](m) (ii) Zeige das T (g 1 g 2 ) = T (g 1 )T (g 2 ) gilt. T (g 1 g 2 ) : M M T (g 1 )T (g 2 ) : M M m m g 1g 2 m T (g 1 )[T (g 2 )(m)] Damit kann man auch begründen warum T : G S M, warum also T (g) bijektiv ist. Angenommen T (g) sei nich bijektiv dann wäre T (gg 1 ) = T (1) = T (g)t (g 1 ). Aber T (1) = id M wegen (O1), also ist T (g) bijektiv. 5.3 Definition G operiere auf M durch τ. Wenn der zugehörige Homomorphismus T injektiv ist, dann heißt die Operation treu, d.h. T : G S M ist injektiv, also Bild(T ) = G und Bild(T ) S M. Eine zu G isomorphe Gruppe ist Untergruppe von S M. 5.4 Bsp (i) Sei G = M und T : G S G mit h G G mit g gh, dann ist T ein injektiver Homomorphismus(vgl 4.9). Diese treue Operation nennt man Operation per Rechtstranslation. (ii) Sei G = M und T : G S G mit h G G mit g h 1 gh, dann ist T ein bijektiver Homomorphismus, weil die Abbildung T in AU T (G) liegt. Diese Operation nennt man Konjungation. Da T ein Homomorphismus ist, ist zu zeigen daß T (h 1 h 2 ) = T (h 1 )T (h 2 ) gilt. T (h 1 h 2 )(g) = (h 1 h 2 ) 1 gh 1 h 2 [T (h 1 )T (h 2 )](g) Kern(T ) = {h G : h 1 gh = g g G} = {h G : gh = hg g G} = Z(G) = h 1 2 (h 1 1 gh 1 )h 2 = T (h 2 )[T (h 1 )(g)] = (iii) Sei H G und G /H = M die Menge der Rechtsnebenklassen von H. Zusätzlich ist T : G S M sodass h M M mit H g H g h ein bijektiver Homomorphismus. (Rechtstranslation auf den Rechtsnebenklassen).

KAPITEL 5. OPERATION VON GRUPPEN AUF MENGEN 32 Kern(T ) = {h G : Hg = Hgh g G} = {h G : H = Hghg 1 g G} = {h G : ghg 1 H g G} = {h G : h g 1 Hg g G} = { g 1 G Hg H g G Insbesondere: Ist H G, dann ist der Kern(T ) = H. (iv) GL(V ) operiere auf V. Wir definieren T durch T : GL(V ) S V, sodass A V V mit v A v. Es gilt T (A 1 A 2 )(v) = [T (A 1 )T (A 2 )](v). Allgemein kann man sagen, dass GL(V ) auf der Menge der k-dimensionalen Unterräume operiert. In diesem Fall ist der Kern(T ) = {id v für k 0, k dim(v )} (v) Sei H eine Gruppe und G Aut(H). Dann operiert G auf H. T : G S H, sodass γ H H mit h γ(h). Der Kern(T ) = {id}. (vi) G operiert auf M, M M. Wenn (m ) g M m M, g G dann operiert G auch auf M. Die zugehörige Abbildung ist T : G S M, sodass g M M mit m (m ) g.(vgl invariante Unterräume) 5.5 Definition G operiere auf M und der zugehörige Homomorphismus sei T. Desweiteren operiere G auf M mit dem zugehörigen Homomorphismus T. Die beiden Operatoren heißen äquivalent, wenn es ein Isomorphismus ϕ : G G und eine bijektive Abbildung S : M M gibt mit: S(m g ) = (S(m)) ϕ(g) m M, g G BSP.: {id, (12)(34), (13)(24), (14)(23)} = G {id, (12), (34), (12)(34)} = G G = G, G ist additive Gruppe von F 2 2 G operiert auf {1, 2, 3, 4}, G operiert auf {1, 2, 3, 4} Die Operationen sind nicht äquivalent. 3 (12) = 3 in der Operation von G ( Fixpunkt ). Aber G hat kein Fixpunkt.

KAPITEL 5. OPERATION VON GRUPPEN AUF MENGEN 33 5.6 Definition Sei M eine Menge und G operiere auf M, dann heißt G transitiv auf M, wenn es zu jedem m M und m M ein g G gibt mit m g = m. BSP.: (i) G in (5.5) ist transitiv zu G (ii) Eine Gruppe < τ > S n τ Zyklus ist transitiv auf ihren Träger (iii) GL(n, F) operiert transitiv auf k-dimensionalen Unterräumen DEFINITION: G operiere auf M, m M St G (m) = {g G, m g = m} heißt Stabilisator von m in G. BEMERKUNG: St G (m) G, denn m g = m und m h = m, dann m gh = (m g ) h = m }{{} h = m m m gg 1 = (m g ) g 1 = m g 1, also ist g 1 St g (m) 5.7 Satz G operiere transitiv auf M. Dann sind je 2 Stabilisatoren St G (m), St G (m ) konjungiert, d.h. g G mit St G (m) = g 1 St G (m )g. Die Operation von G auf M ist dann äquivalent zur Operation von G auf G /H per Rechtstranslation, wobei H = St G (m) für ein m M. KOROLLAR: M = [G : St G (m)] m M Sei m = m g (G existiert, weil G transitiv ist). Zu zeigen ist das St G (m) = g 1 St G (m )g gilt. Sei dazu h St G (m ), dann ist m(ghg 1 ) = (m g ) hg 1 = (m ) hg 1 = (m ) g 1 = m, also ist ghg 1 St G (m); h g 1 St G (m)g. Sei m fest gewählt. Die Abbildung G M mit g m g ist surjektiv weil G transitiv ist. H = St G (m). Definiere Operation S auf G /H per Rechtstranslation. Wobei S : G /H M mit Hg m g ist. S ist bijektiv. S ist sujektiv wegen der Transitivität und injektiv weil: Angenommen m g = m h, d.h. m gh 1 = m gh 1 St G (m) = H Hg =

KAPITEL 5. OPERATION VON GRUPPEN AUF MENGEN 34 Hh So zeigt man auch die Wohldefiniertheit von S Zeige nun: S[(Hg) }{{} G /H h] = (S(Hg)) h S(H(gh)) = m gh = (m g ) h = (S(Hg)) h BEMERKUNG: G operiere auf M nicht notwendigerweise transitiv. Definiere auf M eine Relation (G-äquivalent) wie folgt: m, m G heißen G-äquivalent, wenn es ein g G gibt mit m g = m. Das ist eine Äquivalenzrelation. Die Äquivalenzklassen heißen G-Bahnen. Sei M eine G-Bahn. Dann operiert G auf M transitiv. Wenn man (5.7) auf M anwendet erhält man: M = [G : St G (m)] m M, M < wenn auch G <, dann ist G }{{} Gruppenordnung = M }{{} St G (m) }{{} Bahnlänge Stabilisatorordnung 5.8 Klassengleichung G operiere auf M, also transitiv auf Bahnen M i. Bezeichung: Wenn m M 1 ist, dann schreibt man auch m G i. Sei M <, dann gib es m 1,, m r M mit M = r i=1 (m i) G = r i=1 [G : St G(m i )] (Klassengleichung). Operiere G auf sich per Konjugation, d.h. M = G, x g = g 1 xg für x G. Die Bahnen dieser Operation sind die Konjungiertenklassen von G. Geschrieben wie folgt: C G (x) = {g 1 xg : g G} Sei G endlich und g 1,..., g r Elemente aus den verschiedenen Nebenklassen. i=1 [G : St G(g i )], wobei Dann ist G = r i=1 C G(g i ) = r St G (g) = {h G : h 1 gh = g} = {h G : gh = hg} }{{} Zentralisator von g = Z G (g) Z(G) = {h G : hg = gh g G}, also Z(G) = {h G : Z G (h) = G} Also g Z(G) g G = {g} wobei g G Bahn von g unter Konjugation ist. Klassengleichung: G = Z(G) + s i=1 [G : Z G(g i )], wobei die g i aus den verschiedenen Konjungiertenklassen der Ordnung 2 sind. KOROLLAR: Ist G = p m mit p ist pirm, dann ist Z(G) 1. Insbesondere sind Gruppen von Primzahlpotenzordnung p m nicht einfach (m > 1). Denn wenn Z(G) = G, dann ist G abelsch. Also hat G im Fall m > 1 Untergruppen

KAPITEL 5. OPERATION VON GRUPPEN AUF MENGEN 35 U mit U {1} und U G. Ist Z(G) G, dann ist Z(G) G und wegen Z(G) = 1 ist Z(G) ein Normalteiler {1} und G. Im Fall m = 1 ist G einfach, weil nach dem Satz von Lagrange keine Untergruppen existieren können. 5.9 Fortsetzung 4.8 Sei τ = (1 2 3 4 5) A 5. Dann gilt: C S5 (τ) = 24 Z S5 = [S 5 : C S5 (τ)] = 5 Z S5 = < τ > A 5 Also: Z A5 (τ) = Z S5 (τ) 5 = Z A5 (τ) = [A 5 : C A5 (τ)] = 60 C A5 (τ) C A 5 = 12

Kapitel 6 Direkte und Semidirekte Produkte 6.1 Definition und Satz Seien (H 1, +) und (H 2, +) Gruppen mit den jeweiligen neutralen Element 0 H1 bzw. 0 H2. Dann wird G = H 1 H 2 = {(h 1, h 2 ) : h 1 H 1, h 2 H 2 } durch folgende Verknüpfung zu einer Gruppe: (h 1, h 2 ) (h 1, h 2) = (h 1 + h 1, h 2 + h 2) (G, ) heißt direktes Produkt von H 1, H 2 einfaches Nachrechnen BSP.: (Z 3 Z 5 ) = {(i, j) : 0 i 2, 0 j 4} Also eine Verknüpfung mit Addition in der ersten Komponente modulo 3 und in der zweiten Komponente modulo 5. Z 3 Z 5 = 15 Es gilt (Z 3 Z 5 ) = Z 15 FRAGE: Kann man eventl. eine Gruppe G als direktes Produkt schreiben? Beachte: H 1 = {(h1, 1 H2 ) h 1 H 1 } H 1 H 2 H 2 = {(1H1, h 2 ) h 2 H 2 } H 1 H 2 Angenommen es ist g = (g 1, g 2 ) g 1 H 1, g 2 H 2, dann ist zu zeigen, daß g 1 H 1 g = H 1 ist. Dazu sei (h 1, 1 H2 ) {(h 1, 1 H2 ) : h 1 H 1 } und g 1 =

KAPITEL 6. DIREKTE UND SEMIDIREKTE PRODUKTE 37 (g 1 1, g 1 2 ). Dann ist g 1 (h 1, 1 H2 )g = (g 1 1 h 1 g 1, g 1 2 1 H2 g 2 ) = (g 1 1 h 1 g 1, 1 H2 ) {(h, 1 H2 ) : h H 1 } 6.2 Satz Sei G eine Gruppe. Wenn es in G zwei Untergruppen H 1, H 2 gibt mit: (i) H 1, H 2 G (ii) G = H 1 H 2 = {h 1 h 2 : h 1 H 1, h 2 H 2 } (iii) H 1 H 2 = {1 G } dann ist G = H 1 H 2 BSP.: Z 15 hat eine Untergruppe der Ordnung 3 (< 5 >) und eine Untergruppe der Ordnung 5 (< 3 >). < 5 > < 3 >= {0}, also ist Z 15 =< 3 > < 5 > = Z5 Z 3 Um den Satz zu beweisen zeige zunächst folgendes Lemma. LEMMA: Sei G eine Gruppe und U, V G, dann ist U V genau dann eine Untergruppe von G, wenn U V = V U. Ist U, V < dann ist U V = U V U V BEWEIS DES LEMMAS: Zähle die Tripel (g, h, k), wobei g U, h V, k = gh ( UV ) ist. Zähle auf zwei verschiedene Arten. Zähle zunächst die Möglichkeiten für g und h: Für g : U Für h : V Dann ist gh = k eindeutig bestimmt. Es gibt also V U viele solcher Tripel. Wir können aber auch erst k UV wählen. Für k gibt es UV Möglichkeiten. Sei k gewählt. Also k = uv u U, v V.Dann gibt es mindestens U V viele Darstellungen von k als Produkt u v u U, v V. Sei f U V. Dann ist k = uv = (uf 1 ) (fv). }{{}}{{} U V Es gibt höchstens U V viele solcher Darstellungen: k = uv = u v u U, v V Setze t = u 1 u = v(v ) 1. Dann ist t U V und es ist u(u 1 u )(v v 1 )v = u v

KAPITEL 6. DIREKTE UND SEMIDIREKTE PRODUKTE 38 Also ist die Anzahl solcher Tripel gleich U V = UV U V. Zeige: UV G UV = V U Sei u, u U, v, v V und u v UV dann gilt: (uv)(u v ) = u(vu )v = (uu )(v v ) UV, wobei vu V U = UV, also vu = u v u U, v V Sei UV G, dann muss vu UV v V, u U gelten. Denn v UV und u UV, dann muss auch vu UV sein, weil UV G ist. Also ist V U U V. Ist umgekehrt g = vu v V, u U, dann ist v UV, u UV, also vu UV. BEWEIS DES SATZES: Jedes g G hat genau eine Darstellung (*) g = h 1 h 1 h 1 H 1, h 2 H 2 (siehe Beweis des Lemmas). Ferner gilt: H 1 H 2 = H 2 H 1, da H 1, H 2 G ist. Es gilt sogar, daß h 1 h 2 = h 2 h 1 h 1 1 h 2 h 1 H 2 h 2 h 1 h 1 H 2 h 1 H 1, h 2 H 2, weil: h 2 h 1 h 1 2 H 1 h 1 h 2 H 1 h 2 h 2 h 1 = h 1 h 2 wegen der Eindeutigkeit der Darstellung (*). Man kann einen Isomorphismus ϕ angeben mit ϕ : H 1 H 2 G (h 1, h 2 ) h 1 h 2. Er ist bijektiv wegen (*) und es gilt: ϕ[(h 1, h 2 )(h 1h 2)] = ϕ(h 1 h 1, h 2 h 2) = h 1 h 1h 2 h 2 = ϕ(h 1, h 2 )ϕ(h 1, h 2) Sei G eine Gruppe, H, K G, H K = {1 G } HK = G, G = H K 6.3 Beispiel: (1) Z 15 = Z 3 Z 5 (2) (Z 8, +) ist nicht als direktes Produkt H K, H, K Z 8 darstellbar, H, K 1. Dann H = 2, K = 4, Z 8 = {0, 1, 2,..., 7} mod 8 H = {0, 4}, K = {0, 2, 4, 6} einzige Untergruppe der Ordnung 2 und 4, aber H K = {0, 4} (3) Es kann passieren, dass G = H K, H K = {1 G }, aber H, K keine Normalteiler z.b.: S 3 = < (1 2 3) > < (1 2) > }{{}}{{} Ordnung3 Ordnung2 Bezeichnung: Wenn G = H K, H K = {1 G }, dann heißt K Komplement von H.

KAPITEL 6. DIREKTE UND SEMIDIREKTE PRODUKTE 39 6.4 Konstruktion: H, K Gruppen. Angenommen es gibt Homomorphismus ϕ : H Aut(K). Dann operiert H auf K durch folgenden Homomorphismus: H S n, g K K, h ϕ(g)(h) }{{} Aut(K) Definition einer Verknüpfung auf H K = {(h, k), h H, k K} (h 1, k 1 ) (h 2, k 2 ) = (h 1 h 2, ϕ(h 2 )(k 1 ) k 2 ) H K SATZ: (H K, ϕ) ist eine Gruppe (semidirektes Produkt) Bemerkung: ϕ(h) = id h H, dann (H K, ϕ) = (H K, ) direktes Produkt. Bezeichnung: (H K, ϕ) wird mit H ϕ K bezeichnet wie in (6.2) neutrales Element: (1 H, 1 K ) : (1 H, 1 K ) (h 1, k 1 ) = (1 h h 1 ) ϕ(h 1 )(1 K ) k }{{} 1 ) 1 K inverses Element: Übung Assozivativität: [(h 1, k 1 ) ϕ (h 2, k 2 )] ϕ (h 3, k 3 ) = (h 1 h 2, ϕ(h 2 )(k 1 )k 2 ) ϕ (h 3, k 3 ) = (h 1 h 2 h 3, ϕ(h 3 )[ϕ(h 2 )(k 1 ) k 2 ]k 3 ) = (h 1 h 2 h 3, ϕ(h 3 )ϕ(h 2 )(k 1 ) ϕ(h 3 )(k 2 ) k 3 ) (h 1, k 1 ) ϕ [(h 2, k 2 ) ϕ (h 3, k 3 )] = (h 1, k 1 ) ϕ [h 2 h 3, ϕ(h 3 )(k 2 ) k 3 ] = (h 1 h 2 h 3, ϕ(h 2 h 3 )(k 1 ) ϕ(h 3 )(k 2 )k 3 ) = (ϕ(h 2 ) ϕ(h 3 ))(k 1 ) = ϕ(h 3 )(ϕ(h 2 )(k 1 )) Bemerkung: (Vgl. 6.5, bzw. Übung) K = {(1 H, k) : k K} G H = {(h, 1 K ) : h H} G zu(1) (h, k) ϕ (1 H, k) = (h, ϕ(1 H )(k) k) = (h, k, k) (1 H, k) (h, k) = (h, ϕ(h)( k) k), d.h. k ϕ (h, k) = {(h, x) : x K} mit k = {(1 H, k)}, also: K G Ergänzung zum inversen Element: (h, k) ϕ (h, k ) = (1 H, 1 K ) = (hh, ϕ(h )(k) k ) h = h 1 und k 1 = [ϕ(h 1 )(k)] 1

KAPITEL 6. DIREKTE UND SEMIDIREKTE PRODUKTE 40 Selbst wenn H, K abelsch, kann H ϕ K nicht abelsch sein. BSP.: Z 4 ϕ Z 3 Z 3 = {0, 1, 2}, Aut(Z 3 ) = {id, τ}, τ = (0 1 2) ϕ : Z 4 Aut(Z 3 ) 1 τ 0 id 2 id 3 τ G = 12 (2, 1) ϕ (1, 1) = (3, τ(1) + 1) = (3, 0) (1, 1) ϕ (2, 1) = (3, id(1) + 1) = (3, 2) nicht abelsch. 6.5 Satz: Sei G eine Gruppe, H, K G, H K = {1 G }, K G, G = H K Dann G = H ϕ K wobei ϕ : H Aut(K), g K K, h g 1 hg (Konjugationen auf K mit Element aus H) Beweis (6.2) zeigt: Jedes Element aus G zeigt hat genau eine (*) Darstellung h k, h H, k K ϕ(g) Aut(K), weil K G, ϕ Homomorphismus (nachrechnen). Ψ : (H ϕ K, ϕ) (G, ), (h, k) h k ist Homomorphismus. Ψ ist bijektiv (siehe (*)) Ψ((h 1, k 1 ) ϕ (h 2, k 2 )) = Ψ(h 1 h 2, ϕ(h 2 )(k 1 )k 2 ) = (h 1 h 2 ϕ(h 2 )(k 1 ) (k 2 ) = h 1 h 2 h 1 2 k 1 h 2 k 2 = h 1 k 1 h 2 k 2 = Ψ(h 1, k 1 ) Ψ(h 2, k 2 )

Kapitel 7 Sylowsätze 7.1 Satz Sei G eine endliche Gruppe, p eine Primzahl, G = p k m (p m ist erlaubt!). Sei x die Anzahl der Untergruppen von G der Ordnung p k. Dann gilt: x 1 mod p, insbesondere x 1. G = {A G : A = p k }. G operiere auf G per Rechtstranslation, d.h. A g := A g = {a g, a A} G Sei O eine Bahn dieser Operation, d.h. O = {A g : g G} Bahn von A = {B g : g G}, wenn B O o.b.d.a.: 1 G A, S = St G (A) = {g G : Ag = A} Es gilt A S = A, also ist A Vereinigung von Linksnebenklassen von S. ( S ) ( A ) = p k Es gilt: O A S A = G = p k m (Bahnformel) O 0 mod p m, oder S = p k. Im Fall S = p k gilt A = S, weil 1 A (S A S, S = p k, A = p k, also S = A) Dann ist O eine Menge von Rechtsnebenklassen von S, O = m. Berechne nun G mod p m. Es gilt: G m x mod p m. Nun hängt G nicht von G, sondern nur von G = p k m ab. Sei G = Z p k m, dann x = 1, also G m x m mod p m (p m mx m, p x 1, also x 1 mod p) 7.2 Definition:

KAPITEL 7. SYLOWSÄTZE 42 G = p k m, p m Eine Untergruppe S G mit S = p k heißt p-sylowgruppe. Die Menge aller p Sylowgruppen von G wird mit Syl p (G) bezeichnet. 7.3 Korollar (1. Sylowsatz) Syl p (G) 1 mod p, insbesondere gibt es P G mit P = p n 7.4 Satz (2. Sylowsatz) Sei G eine Gruppe mit G = p n m p m. Dann sind je 2 p- Sylowgruppen von G konjungiert, d.h. zu P 1, P 2 Syl p (G) gibt es ein g G mit g 1 P 1 g = P 2. Ferner ist jede Untergruppe U von G mit U = p a, a n in einer p-sylowgruppe enthalten. G operiert auf der Teilmenge der Ordnung p n (wie in 7.1). Diese Menge sei G. Dann zeigt der Beweis von 7.1 G 0 mod p. Es gibt also eine Bahn O so dass O 0 mod p ist. Sei A O dann ist O = [G : St G (A)] = G St St G (A) G(A) 0 mod p n, also St G (A) p n Ferner ist St G (A) = {g G : Ag = A} also gilt A St G (A) = A St G (A) A = p n. Das zeigt das St G (A) = p n. Insbesondere gilt St G (A) Syl p (G). Die Untergruppe U operiert auf O per Rechtstranslation. Die Bahnlänge dieser Operation ist 1 oder 0 mod p ( U = Bahnlänge Ordnung eines Stabilisators ). Es gibt mindestens eine Bahn der Länge 1, weil O 0 mod p ist. Sei B eine solche Bahn, d.h BU = B also U St G (B). Der Stabilisator von Elementen die in einer Bahn liegen sind konjungiert (g 1 St G (A) g = St G (A g ) ). Weil B, A O gibt es ein g G mit Ag = B, also St G (B) = g 1 St G (A) g Syl p (G). Das zeigt: Jede Untergruppe U mit U = p a liegt in einer p-sylowgruppe. Wenn in diesem Beweis U = p n wäre, dann ist U = St G (B) und U ist konjungiert zu St G (A). 7.5 Korollar Syl p (G) G Nutze Bahnformel und weil G transitiv auf Syl p (g) operiert. Also ist G =

KAPITEL 7. SYLOWSÄTZE 43 Syl p (G) U p wobei U p = {g G : p 1 P g = P } P Syl p (G) 7.6 Anwendungen (i) Seien q, p N und prim dann gibt es keine einfache Gruppe der Ordnung pq. Beweis: Wenn P = q folgt daraus dass G = p 2 ist. In diesem Falle ist G abelsch, denn Z(G) {p, p 2 }. Eine p-gruppe hat ein nicht triviales Zentrum. Dies folgt aus der Bahnformel. Wenn Z(G) = p 2 dann ist Z(G) = G, also ist G abelsch. Angenommen Z(G) = p und sei g Z(G). Dann ist G = Z(G) gz(g) g 2 Z(G)... g n 1 Z(G). Es gilt das G /Z(G) = p und g Z(G) hat die Ordnung p in G /Z(G) G = {g i h : 0 i p 1, h Z(G)} (g i h)(g j h ) = g i+j hh = g j+i h h = (g j h )(g i h) also ist G abelsch Bemerkung: Das gleiche Argument zeigt das G /Z(G) zyklisch ist G ist abelsch Damit haben wir gezeigt das wenn p = q gilt das G abelsch ist. Also is G nicht einfach. Nun untersuchen wir den Fall p q. Daraus ergibt sich: Syl p (G) {1, q} bzw. Syl q (G) {1, p}. Wenn Syl p (G) = 1 oder Syl q (G) = 1 dann ist die p- oder q-sylowgruppe Normalteiler von G. Beachte: Wenn es in einer Gruppe G zu einer Zahl n nur eine Untergruppe U der Ordnung n gibt dann ist U G, denn g 1 Ug = U g G. Wenn dies nicht gelten würde dann wäre g 1 Ug eine weitere Untergruppe der Ordnung n. Der einzige Interresanten Fälle sind also Syl p (G) = q oder Syl q (G) = p oder pq. Wäre nun Syl p (G) = pq. Dann gibt es P 1, P 2 Syl p (G) mit P 1 P 2 = {1}. Was zu folge hätte das es in G mindestens pq(p 1) Elemente gäbe. (ii) G = 15 = 3 5 Syl 3 (G) {1, 4, 7, 10, 13} (weil Syl p (G) 1 mod p) Wegen Syl 3 (G) G, muss Syl 3 (G) = 1, ebenso Syl 5 (G) = 1 P 3 sei 3-Sylowgruppe, P 5 5-Sylowgruppe, P 3 G, P 5 G P 3 P 5 = P 3 P 5 P 3 P 5 = P 3 P 5 = 15 P 3 P 5 = G, also G = P 3 P 5, P 3 = Z 3, P 5 = Z 5, G = Z 3 Z 5 = Z 15

KAPITEL 7. SYLOWSÄTZE 44 (iii) Jede nicht abelsche Gruppe G der Ordnung 6 ist isomorph zu S 3. Syl 3 (G) = 1, Syl 2 (G) = 1 oder 3. Wenn Syl 2 (G) = 1, dann G = Z 3 Z 2 = Z6. S = Syl 2 (G), S = 3 G operiert per Konjugation auf S, sie operiert wegen der Sylowsätze transitiv. G operiert sogar treu, sonst gäbe es U G mit g 1 P g = P, P S. U > 1. Dann wäre U G, weil U der Kern einer Operation ist. Fall 1: U = 2, also U Syl 2 (G), weil U G wäre damm Syl 2 (G) = 1 Ψ zur Annahme Fall 2: U = 3 oder 6. Dann kann S aber nicht transitiv auf S = 3 operieren, denn der Stabilisator eines Elementes aus S hat (wegen der Bahnformel) genau 2 Elemente und U liegt in dem Stabilisator. Also operiert G treu, also ist G isomorph zu einer Untergruppe von S 3. G = 6 G = S 3 7.7 Gruppen der Ordnung 8 G abelsch: Z 8, Z 4 Z 2, Z 2 Z 2 Z 2 Sei G nun nicht abelsch. Dann gibt es Elemente der Ordnung 4 (hätte jedes Element die Ordnung 2, dann: ghgh = 1 gh(g(hh)g) = hg gh = hg), aber kein Element der Ordnung 8. Sei N G, N = 4, dann N = Z 4, N G, weil [G : N] = 2. Angenommen: g N, O(g) = 2, H = {1, g} G. Wegen g N, gilt: N H = 8, also G = H ϕ N, mit ϕ : H Aut(N) Homomorphismus. Es gibt zwei solcher Homomorphismen. ϕ : H Aut(G), g id, dann ist G abelsch (G = Z 4 Z 2 ) oder ϕ : H Aut(G), g N N, x x 1 (N =< x >). Diedergruppe D 4 (Symmetriegruppe des Quadrates). Was passiert wenn jedes Element außerhalb von N die Ordnung 4 hat? Sei i ein Element der Ordnung 4. j N, o(j) = 4, k N, o(k) = 4, k < j > Beachte: Alle Elemente außerhalb von N sollen die Ordnung 4 haben, also muss j 2 N, k 2 N, also j 2 = k 2 = i 2 Bezeichnung: i 2 = j 2 = k 2 = 1 i j = k, k j = ( 1) i

KAPITEL 7. SYLOWSÄTZE 45 j k = i k i = ( 1) j Quaternionengruppe. Z(G) = {1, 1}, G /Z(G) = Z2 Z 2 7.8 Gruppen der Ordnung 12 Erinnerung: Gruppen mit der Ordnung p 2, wobei p prim ist, sind abelsch. Für Gruppen der Ordnung 12 gilt: Syl 2 (G) = {1, 3} Syl 3 (G) = {1, 4} Sei H Syl 2 (G) dann ist H = Z 4 oder H = Z 2 Z 2. Sei K Syl 3 (G) dann ist K = Z 3. Fall 1 Syl 2 (G) = 1, Syl 3 (G) = 1 In diesem Fall ist G = Z 3 Z 4 oder G = Z 3 Z 2 Z 2 Fall 2 Syl 2 (G) = 3, Syl 3 (G) = 4 Die Schnittmenge über alle Syl 3 (G) besteht nur aus dem neutralen Element. Was zur Folge hat das die 2-Sylowgruppen eindeutig bestimmt sind. Also Syl 2 (G) = 1 Fall 3 Syl 2 (G) = 3, Syl 3 (G) = 1 (a) Angenommen H = Z 4 dann ist G = Z 4 ϕ Z 3, wobei ϕ : Z 4 Aut(Z 3 ) (Homomorphismus) ist. Es gibt nur die 2 Automorphismen τ und id. Also ist ϕ(1) = }{{} = Z 2 τ. (b) Angenommen H = Z 2 Z 2 dann ist G = (Z 2 Z 2 ) ϕ Z 3, wobei ϕ : Z 2 Z }{{} 2 Aut(Z 3 ) ist. = {id,(12)(34),(14)(23),(13)(24)} ϕ(id) = id ϕ((12)(34)) = τ ϕ((14)(23)) = id ϕ((13)(24)) = τ Fall 4 Syl 2 (G) = 1, Syl 3 (G) = 4 (a) Sei H = Z 4, dann ist G = Z 3 ϕ Z 4, wobei ϕ : Z 3 Aut(Z 4 ) ist. }{{} ={id,γ} γ : Z 4 Z 4 1 3. Angenommen der Kern(ϕ) = Z 3 damm ist

KAPITEL 7. SYLOWSÄTZE 46 Z 3 ϕ Z 4 = Z 3 Z 4 Angenommen Kern(ϕ) = 1 dann wäre Z 3/Kern(ϕ) = Bild(ϕ) Aut(Z 4 ). Es ist aber Z 3 /Kern(ϕ) = 3 und Aut(Z 4 = 2 (b) Sei H = Z 2 Z 2 dann ist G = Z 3 ϕ (Z 2 Z 2 ) wobei ϕ : Z 3 Aut(Z 2 Z 2 ) ist. Z 2 Z 2 ist die additive Gruppe von F (2,2) A = ( ) 0 1 F (2,2) 2 A 2 = 1 1 ( ) 1 1 1 0 A 3 = 2. ( ) 1 0 0 1 Also gibt es einen Homomorphismus ϕ : Z 3 Aut(Z 2 Z 2 ) mit Kern(ϕ) = 1. Was dann heißt G = Z 3 ϕ (Z 2 Z 2 ) Bsp.: {id, (12)(34), (13)(24), (14)(23)} A 4 und die 4 verschiedenen 3 Sylowgruppen: < (123) >, < (124) >, < (234) >, < (134) > 7.9 Symmetriegruppe eines Würfels G. 7. 4.... 6. 3. 8... 5 1. 2 z.b. (1234)(5678) S 8 Lasse G auf den 4 Raumdiagonalen Operieren. e = (16), f = (27), g = (45), h = (38) (1234)(5678) = (efhg) S 4 Diese Operation ist treu, d.h. G S 4. Ein Stabilisator einer Raumdiagonale hat höchstens 6 Elemente, man sieht aber 4 (3 Drehungen, die z.b. e = (16) und 1 und 6 festlassen, eine Symmetrische die 1 und 6 vertauscht). Wenn der Stabilisator X Elemente hat dann erhält man mit der Bahnformel G = 4 X. Also ist X = 6. Das zeigt das G = S 4 ist.