Verkettungen von optimalen algebraischen und sphärischen Codes bei Coderate 1/2 Dejan E. Lazic Technische Universität Chemnitz-Zwickau, Fakultät für Elektrotechnik und Informationstechnik, Institut für Informationstechnik, D-09107 Chemnitz Frank Pählke, Thomas Beth Universität Karlsruhe, Fakultät für Informatik, Institut für Algorithmen und Kognitive Systeme, Am Fasanengarten 5, D-76128 Karlsruhe 3. März 1998 Universität Karlsruhe, Institut für Algorithmen und Kognitive Systeme
Motivation Vorherrschend bei der Kanalcodierung sind binäre Codes mit BPSK-Modulation. Nachteile: Beschränkung der Gesamtcoderate auf R < 1 Beste binäre Codes (Turbo-Codes) sind sehr lang (N =2 17 130000). Problem: Verzögerung. Vorteile mehrwertiger Codes: RS-Codes sind als äußere Codes asymptotisch optimal (theoretisch bewiesen). auch Gesamtcoderate R 1möglich bei gleicher Länge und Coderate größeres Korrekturvermögen aufgrund größerer Minimaldistanz Aber: Soft-decision-Decodierung ist schwierig bis unmöglich, denn der Viterbi-Algorithmus scheidet wegen Komplexität O(Q N K ) aus. Universität Karlsruhe, Institut für Algorithmen und Kognitive Systeme 1
Struktur der untersuchten Codeverkettungen Quelle GF (Q)? RS-/BCH-Encoder GF (Q)? sphärischer Encoder (Modulator)? IRn AWGN-Kanal? IRn sphärischer Decoder (Demodulator) GF (Q)? RS-/BCH-Decoder (Berkekamp-Massey)? Senke GF (Q) Sphärischer Code S: x S: x =1 m= S = Q m 256 n 15 Universität Karlsruhe, Institut für Algorithmen und Kognitive Systeme 2
Parameter der untersuchten Codeverkettungen Äußerer (algebraischer) Code: Coderate R = K N ld Q Normalisierte Coderate R = K N Innerer (sphärischer) Code: Mächtigkeit m = Q 256 Coderate r = ld Q n ( 1 2, 1] Normalisierte Coderate r = 1 n Gesamte Codeverkettung: Codelänge N = N n Coderate R = R r = K N ld Q n 1 2 Universität Karlsruhe, Institut für Algorithmen und Kognitive Systeme 3
Verwendete Decodierverfahren Äußerer (algebraischer) Code: hard-decision-decodierung mit Hilfe des Berlekamp-Massey-Algorithmus Kandidatenlisten -Decodierung (an den vom sphärischen Decoder als besonders unzuverlässig erkannten Positionen werden mehrere alternative Symbole durchprobiert) GMD-Decodierung (Algorithmus von Taipale und Pursley) Innerer (sphärischer) Code: Maximum-Likelihood-Decodierung durch vollständige Suche, optional Weitergabe von soft-decision- Information an den äußeren Decoder Universität Karlsruhe, Institut für Algorithmen und Kognitive Systeme 4
Ergebnisse Bei vergleichbarer Performance haben Verkettungen mit RS-Codes eine kürzere Gesamtlänge, mit BCH- Codes ein kleineres Symbolalphabet. Beste erreichte Performance: 3.5 3.6dB bei hard-decision-decodierung Beste Verkettungen: Q = 256, N 3000 (RS) Q = 64,N 40000 (BCH) Größtes Problem: Fehlen eines effizienten Verfahrens zur gemeinsamen soft-decision-decodierung des inneren und äußeren Codes GMD-Decodierung des äußeren Codes bringt bei den betrachteten Codeverkettungen (relativ große Coderate des inneren Codes) keine, Kandidatenlisten- Decodierung nur geringfügige Vorteile. Universität Karlsruhe, Institut für Algorithmen und Kognitive Systeme 5
Erklärung der Ergebnisse Asymptotisch (n ) gilt für optimale Codes: SER =2 ne(r)+o(n) (E(r) =Fehlerexponent) Aber: Für kleine Codelängen n und kleines E b /N 0 steigt die SER mit wachsendem n, und kein Code mit n 8 und r>1/2erreicht bei E b /N 0 3dB die SER einer einfachen BPSK-Modulation! Hinzu kommt: Je größer n ist, desto kürzer muß (bei gleicher Gesamtlänge N )der äußere Code sein. Dieser kürzere Code muß also mehr Fehler korrigieren als ein binärer Code gleicher Rate. Die Hamming-Minimaldistanz D H,min ist bei mehrwertigen Codes zwar größer, aber dies macht die genannten Nachteile nicht wett. Fazit: Bei praktisch handhabbaren inneren Codes (n 8) ist keine Verbesserung gegenüber binären Codes mit BPSK-Modulation zu erwarten. Universität Karlsruhe, Institut für Algorithmen und Kognitive Systeme 6
Ausblick Derzeit untersucht: soft-decision-decodierung von RS- und BCH-Codes Idee: Modifiziere den Code derart, daß eine sequentielle Decodierung möglich wird. Nachteil: Die Minimaldistanz D H,min wird durch die Modifikationen geringer. Weitere Ansätze: Verkettungen mit Interleaving, Produktcodes, iterative Decodierung Größtes Problem: bei sequentieller Decodierung kein soft output (nötig für iterative Decodierung) bisher keine nennenswerten Erfolge Universität Karlsruhe, Institut für Algorithmen und Kognitive Systeme 7
2.5 Kapazität eines AWGN-Kanals nach Shannon 2 allgemein für mehrwertige Codes 1.5 Rc 1 für binäre Codes mit BPSK-Modulation 0.5 0-2 -1 0 1 2 3 E b /N 0 [db] 4 5 6 7 Universität Karlsruhe, Institut für Algorithmen und Kognitive Systeme 8
1 0.1 Symbolfehlerrate für sphärische Codes mit r =1 n=8 n=7 n=6 n=5 n=4 n=3 n=2 n=1 SER 0.01 0.001-2 -1 0 1 2 3 E b /N 0 [db] 4 5 6 7 8 Universität Karlsruhe, Institut für Algorithmen und Kognitive Systeme 9
Die besten untersuchten Codes innerer Code äußerer Code Gesamtcode Bezeichnung min N K D H,min N R b /N 0 [db] für E m n d BER =10 5 R1 16 6 1.24 15 11 5 90 0.489 6.07 R2 32 7 1.14 31 21 11 217 0.484 5.20 R3 64 9 1.10 63 47 17 567 0.497 4.43 R4 256 12 0.98 255 191 65 3060 0.499 3.57 B1 8 4 1.41 4095 2726 413 16380 0.499 4.67 B2 16 6 1.24 4095 3067 391 24570 0.499 4.24 B3 32 8 1.18 1023 815 113 8184 0.498 3.95 B4 64 10 1.10 4095 3411 361 40950 0.500 3.65 Für jeden Wert von m = Q enthält die obige Tabelle die beste untersuchte Verkettung mit einem RS-Code(R1,...,R4)und die beste untersuchte Verkettung mit einem BCH- Code (B1,...,B4). Universität Karlsruhe, Institut für Algorithmen und Kognitive Systeme 10
7 Codeperformance in Abhängigkeit von der Länge des inneren Codes 6.5 R1 E b /N 0 [db] für BER =10 5 6 5.5 5 4.5 4 B1 B2 R2 B3 R3 3.5 B4 R4 3 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Codelänge n Universität Karlsruhe, Institut für Algorithmen und Kognitive Systeme 11
7 Codeperformance in Abhängigkeit von der Länge des äußeren Codes 6.5 E b /N 0 [db] für BER =10 5 6 5.5 5 4.5 4 R1 R2 R3 B3 B1 B2 3.5 R4 B4 3 10 100 Codelänge N 1000 10000 Universität Karlsruhe, Institut für Algorithmen und Kognitive Systeme 12
7 Codeperformance in Abhängigkeit von der Gesamtlänge 6.5 R1 E b /N 0 [db] für BER =10 5 6 5.5 5 4.5 4 R2 R3 B3 B1 B2 3.5 R4 B4 3 10 100 1000 10000 100000 Codelänge N = N n Universität Karlsruhe, Institut für Algorithmen und Kognitive Systeme 13
Codeperformance in Abhängigkeit von der Mächtigkeit des Alphabets 7 6.5 E b /N 0 [db] für BER =10 5 6 5.5 5 4.5 4 B1 R1 B2 R2 B3 R3 3.5 B4 R4 3 1 10 Mächtigkeit m = Q 100 1000 Universität Karlsruhe, Institut für Algorithmen und Kognitive Systeme 14
Anordnung der Seiten 0 1 10 2 3 4 5 6 7 11 12 13 8 9 14 Universität Karlsruhe, Institut für Algorithmen und Kognitive Systeme 15