Goldman Sachs Akademie Das Hedging beim Emittenten, Folge 2 Akademie Reloaded 8.211 A1 AKADEMIE Schritt für Schritt zum Profi in Sachen Zertifikate und Hebelprodukte HERAUSNEHMEN UND SAMMELN TEIL 1 DAS HEDGING BEIM EMITTENTEN, FOLGE 2 Die Bedeutung von Gamma und Vega für den Händler In der vergangenen Ausgabe der Akademie wechselten wir die Perspektive und beleuchteten Optionsscheingeschäfte aus Sicht des Händlers. In dieser Folge setzen wir dieses Thema fort und widmen uns konkret der Bedeutung der Griechen Gamma und Vega. DER GAMMA-HAMMER In der vergangenen Ausgabe haben wir uns zunächst mit der Rolle des Deltas befasst. Jeder Verkauf von Call- oder Put-Optionsscheinen führt dazu, dass sich die abzusichernde Position ändert. Dabei kommt dem Delta eine zentrale Rolle zu. Denn es hilft dabei, die Anzahl an Aktien zu bestimmen, die der Händler zur Absicherung kaufen oder verkaufen muss. Das Delta ist aber keine konstante Größe. Es ändert sich, was den Händler vor zusätzliche Herausforderungen stellt. Wie bereits in der vergangenen Ausgabe beschrieben, wird das Risiko, den Delta-Hedge laufend anpassen zu müssen, als Gamma-Risiko bezeichnet. In Abbildung 1 sind noch einmal alle Gamma-Verläufe der fünf Optionsscheinpositionen neben dem Gesamtverlauf eingetragen. Optionsschein Nr. 5 (grün) notiert genau am Geld. Er macht alleine rund die Hälfte der Gesamt-Gamma-Position aus. Optionsscheine solcher Art werden im Derivate-Jargon Gamma- Hammer genannt. Mit jedem Tag weniger bis zum Verfall wird das Gamma hier immer größer, solange der Optionsschein am Geld notiert. In Abbildung 2 sind die Kennzahlen Gamma und Vega eines Am-Geld-Calls im Zeitraum 1,5 Jahre bis 2 Tage vor Verfall aufgetragen. Das blau aufgetragene Vega-Risiko, also die Wirkung eines Anstiegs der Volatilität, ist bei langlaufenden Optionsscheinen relativ hoch. Mit abnehmender Restlaufzeit wird es mit zunehmender Geschwindigkeit immer kleiner. Genau umgekehrt verhält sich das grün eingetragene Gamma. Hier ist das Risiko lange vor Verfall relativ begrenzt. Es steigt aber zum Optionsverfall hin immer stärker an und ist in den letzten Tagen vor dem Optionsscheinverfall praktisch unkontrollierbar. Der Verkauf von Optionsscheinen führt jeweils zu einer noch negativeren Gamma-Position. Durch den Kauf oder Verkauf von Aktien kann zudem gar kein Einfluss auf die Gamma-Position genommen werden. Deshalb müssen zur Absicherung des Gamma-Risikos in jedem Fall auch andere Optionsscheine oder gelistete beziehungsweise OTC-Optionen gekauft werden. Over-thecounter-Optionen werden von institutionellen Marktteilneh-
A2 Akademie Reloaded 8.211 Goldman Sachs Akademie Das Hedging beim Emittenten, Folge 2 mern untereinander ohne die Einschaltung einer Börse gehandelt. Das gleiche Problem zeigt sich auch bei der Volatilität. Die Folge: Beide Positionen müssen Händler stets gleichzeitig hedgen. Wie Abbildung 2 zeigt, hat jede Options- oder Optionsscheinposition sowohl ein Gamma- als auch ein Vega-Risiko. Würde ein Händler versuchen, nacheinander zunächst eines der beiden Risiken und danach das andere abzusichern, so würde nach dem zweiten Hedge die erste Position wieder ungesichert sein. DAS VEGA- (ODER VOL-)RISIKO In der letzten Spalte von Tabelle 1 ist das Vega der jeweiligen Optionsscheinpositionen aufgetragen. Da eine steigende Volatilität sowohl den Put als auch den Call verteuert, sind auch hier die Werte für Puts und Calls negativ und heben sich nicht auch nicht teilweise gegeneinander auf. Die Angabe 226,6 für Optionsschein Nr. 2 bedeutet, dass der Emittent für jeden Prozentpunkt, um den die Volatilität ansteigt, 226,6 Euro verliert. Diese Position wird als eine Shortposition in Volatilität bezeichnet. Kurz gesagt: er ist Vol short. In der ABB. 1: GAMMA-POSITION DES ZU HEDGENDEN PORTFOLIOS Gamma-Wert des Portfolios in Euro 7 5 3 1 1 3 5 7 5 6 7 8 9 1 11 12 13 14 15 Gamma insgesamt Optionsschein Nr. 1 Optionsschein Nr. 2 Optionsschein Nr. 3 Optionsschein Nr. 4 Optionsschein Nr. 5 Das Gamma-Risiko ist vor allem bei Optionsscheinen mit kurzen Laufzeiten (Nr. 5) sehr hoch. Quelle: Goldman Sachs International ABB. 2: ENTWICKLUNG VON GAMMA UND VEGA EINES AM-GELD-OPTIONSSCHEINS IM ZEITVERLAUF Gamma,5,45,4,35,3,25,2,15,1,5 1,6 Gamma 1,4 Vega 1,2 1,,8,6,4,2 Restlaufzeit in Jahren Vega,12 Während das Gamma mit abnehmender Restlaufzeit zunimmt, wird das Vega immer geringer. Quelle: Goldman Sachs International,,1,8,6,4,2 Tabelle 1 sind die jeweiligen Vega-Risiken aufgetragen. Insgesamt ist der Marketmaker aus seinem Handelsportfolio 1.121,18 (= 227,35 226,6 151,4 319,19 196,99) Euro Vega short. Er muss damit rechnen, bei einem Anstieg der Marktvolatilität einen Verlust von 1.121 Euro zu machen. Auch gegen dieses Risiko kann sich der Emittent nur mit dem Kauf von anderen Optionsscheinen, gelisteten oder OTC-Optionen, also mit dem Kauf von Volatilität, absichern. Doch welche und wie viele Optionen soll er kaufen? HEDGING ABER WIE? Der 1%-Hedge (oder perfekte Hedge) wäre, genau die Optionen zu kaufen, die er verkauft hat. Dann bliebe unabhängig von der zukünftigen Entwicklung wirklich kein Risiko mehr. Jedoch ist so praktisch auch jede Möglichkeit auf einen Gewinn ausgeschlossen, womit diese Alternative für den Emittenten ausscheiden dürfte. Um die bessere Alternative zu ermitteln, verfügt der Händler in der Regel über ein professionelles Risikomanagementsystem, das seine Positionen genau kennt und auch alle zur Absicherung verfügbaren Finanzkontrakte beobachtet. Auf Papier können wir nur das grundsätzliche Funktionsprinzip veranschaulichen. Es
Akademie Reloaded 8.211 A3 Die beiden Optionen wären ein Am-Geld-Call mit zwölf Monaten Restlaufzeit und ein Put mit einem Basispreis von 11 Euro und mit drei Monaten Restlaufzeit. Ansonsten gelten die obigen Annahmen. Es zeigt sich, dass der Emittent eine relativ gute Absicherung seines Gamma- und Vega-Risikos erreichen kann, indem er 2.458 Optionen von Instrument #A und 1.59 Optionen von Instrument #B kauft. WIE DER HÄNDLER DAS MISCHUNGSVERHÄLTNIS BESTIMMT Wie wir in der Abbildung 2 bereits gesehen haben, ändert sich das Verhältnis, in dem das Gamma eines Optionsscheins zum Vega eines Optionsscheins steht, im Zeitablauf in der Weise, dass das Vega immer kleiner, das Gamma aber immer größer wird wenn der Optionsschein immer am Geld notiert. Notiert der Optionsschein nicht exakt am Geld, gilt dieser Zusammenhang weitgehend ähnlich nur ohne den äußerst starken Anstieg des Gammas gegen Laufzeitende. Da aber alle Instrumente, die dem Händler zur Absicherung zur Verfügung stehen, mit unterschiedlichen Verhältnissen von Gamma und Vega ausgestattet sind, kann durch eine geschickte Kombination der beiden Optionen die Absicherung so austariert werden, dass sowohl das Gamma- als auch das Vega-Risiko durch den Kauf von Optionen genau aufgehoben wird. Das Mischungsverhältnis der beiden Hedginginstrumente kann in diesem Rahmen (also unter der Annahme von nur zwei verfügbaren Optionen) mit einem linearen Gleichungssystem in zwei Unbekannten gelöst werden. Diese beiden Unbekannten sind exakt die zu kaufenden Stückzahlen. Durch eine mittelmäßig aufwen dige Berechnung können die Stückzahlen, die von beiden Hedging-Instrumenten entweder gekauft oder verkauft (also ge shortet ) werden müssen, genau so bestimmt werden, dass sowohl das Gesamt-Vega als auch das Gesamt-Gamma der Position gleich null wird. sind unzählige weitere Rechenschritte nötig, je mehr Finanzinstrumente betrachtet werden. Um die Darstellung so weit wie möglich zu vereinfachen, nehmen wir an, dass nur zwei verschiedene Instrumente zur Absicherung zur Verfügung stünden. Man könnte sich vorstellen, dass gerade diese beiden Optionen besonders liquide handelbar sind und daher alle anderen Instrumente ausgeschlossen werden. Stehen jedoch mehr Instrumente zur Verfügung (wie meist in der Realität), so gibt es eine Vielzahl an mathematischen Lösungen, aus denen das System dann die nach bestimmten Kriterien optimale Version auswählt. Kriterien können hier die Kos ten der einzelnen Instrumente sein, aber auch die Liquidität des Instruments. Oder die Frage, inwieweit das Profil des Gammas bzw. Vegas abgebildet wird (wie häufig also Anpassungen des Gamma/Vega-Hedges auftreten werden) bzw. wie groß am Ende die übrige Delta-Position ist, die der Emittent noch hedgen muss. TAB. 1: AUFBAU DER HEDGEPOSITIONEN GESAMT-HEDGE pro Position Options- Stück- Typ Strike Spot Laufzeit Vola Zins Preis Wert Delta Gamma Vega schein zahl in Jahren OS in EUR in EUR in EUR Nr. 1 1. Call 8 1 1 3% 5% 26,462 26.462,8 855,54 7,58 227,35 Nr. 2 5 Call 1 1 1,5 3% 5% 17,95 8.975,25 325,47 5,4 226,6 Nr. 3 1. Call 15 1,75 3% 5% 1,98 1.98,2 99,15 6,71 151,4 Nr. 4 1. Put 9 1 1 3% 5% 5,38 5.38,1 252,11 1,64 319,19 Nr. 5 1. Put 1 1,25 3% 5% 5,341 5.34,86 437,1 26,26 196,99 Summe Verkauf 59,95 56,23 1.121,18 59,95 56,23 1.121,18 Option #A 2.457,84 Call 1 1 3% 5% 34.978,18 1.534,31 31,9 932,59 Option #B 1.59,41 Put 11,25 3% 5% 12.159,83 723,94 25,15 188,59 Gesamt-Hedge 81,38 56,23 1.121,18 Durch den Kauf einer bestimmten Menge der Optionen #A und #B ließe sich das Gamma- und Vega-Risiko des Portfolios absichern. Quelle: Goldman Sachs International
Goldman Sachs Akademie Das Hedging beim Emittenten, Folge 2 Akademie Reloaded 8.211 A4 ABB. 3: VEGA-POSITION DES ZU HEDGENDEN PORTFOLIOS Vega-Wert des Portfolios in Euro 1.5 1.2 9 6 3 3 6 9 1.2 1.5 5 6 7 8 9 13 14 15 Kurs der Akademieaktie In Abbildung 4 ist der Gamma-Verlauf in blau aufgetragen, der sich aus der Summe der Gamma-Positionen des Handelsportfolios ergibt (vgl. Abbildung 1). Die beiden grünen Linien geben jeweils den Gamma-Verlauf der beiden Hedging-Positionen an. Ihre Summe ist als orangefarbene Linie dargestellt. Die Differenz der blauen Linie (des Gammas der verkauften Positionen) und der orangefarbenen Linie (des Gammas der als Hedge gekauften Positionen) ist in rot dargestellt. Dieser Wert beträgt an der Stelle 1 Euro, dem derzeitigen Basiswertpreis, entsprechend der obigen Aufgabenstellung genau null. Außerdem zeigt sich, dass auch bei einigen Abweichungen des Basiswertpreises von null nicht zu große Ausschläge der roten Linie auftreten, also der Bedarf für Anpassungen des Gamma-Hedges begrenzt bleibt. (Perfekt wäre ein möglichst ganz flacher Verlauf, bei dem ein Anpassen des Hedges wiederum niemals nötig würde.) 1 Vega insgesamt Optionsschein Nr. 1 Optionsschein Nr. 2 Optionsschein Nr. 3 Optionsschein Nr. 4 Optionsschein Nr. 5 Die Kurven stehen für zwei Puts (grün), drei Calls (orange/rot/violett) und die Gesamtposition, also die Summe aller fünf Optionsscheinpositionen (blau). Sie zeigen den Vega-Wert der Positionen in Euro je nach Höhe des Kurses des Basiswerts. Quelle: Goldman Sachs International 11 12 Ein ganz ähnliches Bild zeigt sich für das Vega (vgl. Abbildung 5). Nachdem nun der Emittent in seinem Handelsbuch die ursprüngliche Optionsscheinposition analysiert hat, kann er nach Durchführung des Gamma/Vega-Hedges erkennen, welche Maßnahme in Bezug auf das Delta noch zu ergreifen ist: Im vorliegenden Beispiel war er aus seiner ursprünglichen Position ein Delta von 591 Aktien short, die er hätte kaufen müssen, um Delta-neutral zu sein. Die Hedgeposition alleine betrachtet, lässt ihn 81 Aktien long sein, sodass er am Ende um 591 Aktien + 81 Aktien = 219 Aktien long ist. Diese 219 Akademie-Aktien muss sich unser Händler nun noch leihen und verkaufen und hat damit nach dem Volatilitäts-Hedge auch den Delta-Hedge durchgeführt. Diese Position ändert sich auch kaum, selbst wenn mittlere Schwankungen des Basiswertpreises eintreten sollten (vgl. die rote Linie in Abbildung 6). Gerade diese Nichtreaktion des Delta-Hedge-Bedarfs wurde mit dem Gamma-Hedge bezweckt und offenbar auch erreicht. Tabelle 2 stellt das ursprüngliche Handels portfolio, das Hedgingportfolio und die abgesicherte Position noch einmal gegen über. Eine zusätzliche Komponente, die der Emittent bei seiner Absicherung berück sichtigen muss, ist die Entwicklung im Zeitverlauf, die mit der Kennzahl Theta erfasst wird. So verlieren sowohl die von ihm verkauften Positionen an Zeitwert wovon er profitiert, als auch die von ihm zur Absicherung erworbenen Positionen was sein Ergebnis belastet. Der Zeitablauf hat neben dieser Theta-Differenz aber noch einen zweiten wichtigen Einfluss: Die Kennzahlen ändern sich mit kürzer werdender Restlaufzeit ebenfalls. Bekanntlich steigt das Gamma von Am-Geld-Optionsscheinen zum Ende der Restlaufzeit hin dramatisch an. Nach dem Auslaufen eines Optionsscheins, ob im Geld oder aus dem Geld, ist die Position dagegen wieder geschlossen, ein entsprechender Absicherungsbedarf besteht ab diesem Zeitpunkt nicht mehr. Diese Änderungen im Zeitverlauf prog nostiziert das Risikosteuerungssystem des Emittenten kontinuierlich und hilft so, ein
Akademie Reloaded 8.211 A5 TAB. 2: DER HEDGE IM ÜBERBLICK Portfolio Delta Gamma Vega Ursprüngliches Handelsportfolio 591 56 1.121 Hedgingportfolio nach Gamma/Vega-Absicherung 81 56 1.121 Zwischensumme + 219 Delta-Hedge 219 Endsumme Die Tabelle zeigt das ursprüngliche Handelsportfolio, das Hedgingportfolio und die abgesicherte Position. Quelle: Goldman Sachs International optimales Hedge-Portfolio aufzubauen und rechtzeitig auf gravierende Änderungen zu reagieren. Nur Emittenten, die entsprechend professionelle Technologie einsetzen, können auf Dauer konsistentes Marketmaking betreiben und dabei güns tige Kurse im Sinne von engen Spreads und günstigen Volatilitäten bieten. Doch trotz all dieser Anstrengungen kann es Situationen geben, in denen der Emittent nicht wie gewohnt seine Absicherung durchführen kann und daher gezwungen ist, die Optionsscheine mit einem größeren Spread zu handeln oder nur eine geringere Stückzahl von Options scheinen bei einem einzelnen Geschäft zu akzeptieren. Eine solche Situation ist insbesondere immer dann gegeben, wenn die Liquidität in einem Hedginginstrument eintrocknet, also Kauf und Verkauf der Aktie oder von Optionen auf die Aktie entweder gar nicht mehr oder nur zu außergewöhnlichen Spreads möglich sind. Das ist häufig der Fall, wenn Aktien beispielsweise im Zuge von Kapitalmaßnahmen zum Umtausch angemeldet oder vor Dividendenterminen hinterlegt werden müssen. Die Leihe von Aktien ist dann weitaus komplizierter, und es fällt in solchen Phasen entsprechend schwer, den Verkauf von Puts zu hedgen. WEITERE NICHT ABGESICHERTE RISIKEN Doch auch nach einer aufwendigen Absicherung ist der Marketmaker nicht vor allen Widrigkeiten gefeit. Zum Beispiel kann die Liquidität eines zur Absicherung gekauften Hedginginstruments, auch nachdem der Kunde seine Position eingegangen ist, eintrocknen. Würde der Kunde dann seine Position auflösen und seine ABB. 4: GAMMA-POSITION DES ABGESICHERTEN PORTFOLIOS Gamma-Position in Euro 8 6 4 2 2 4 6 8 5 6 7 8 9 1 11 Gamma insgesamt Summe Gamma-Hedge #A + #B Gammaposition gehedgtes Portfolio Option #A Option #B 12 13 14 15 Am zugrundegelegten Basiswertpreis von 1 Euro beträgt die Gamma-Position des gehedgten Portfolios null. Quelle: Goldman Sachs International
A6 Akademie Reloaded 8.211 Optionsscheine zu rückverkaufen, müsste der Emittent seinen Hedge zu dem deutlich weiteren Spread des illiquide gewordenen Hedginginstruments verkaufen und einen Verlust hinnehmen. Ein weiteres nicht abzusicherndes Risiko sind Sprünge oder Einbrüche in den Kursverläufen. In der Theorie sollten nur Kurs - änderungen auftreten, die kontinuierlich sind. Die Annahme wäre also, dass sich Kurse Tick auf Tick immer nur um höchstens einen Cent ändern. In der Realität verhalten sich die meisten Aktien auch tatsächlich in ähnlicher Weise. Gelegentlich erfolgen jedoch sprunghafte Änderungen der Aktienkurse. Es gibt natürlich auch den umgekehrten Fall des plötzlichen starken Kursanstiegs, dennoch täuscht der Eindruck nicht, dass es häufiger zu Einbrüchen als zu Rallys kommt. In solchen Fällen kann der Marketmaker seinen Hedge nicht mehr kontinuierlich anpassen. Es bleibt ihm nur, im Nachhinein festzustellen, wie sich sein abgesichertes Portfolio geschlagen hat. Wenn wir eine Kursänderung um 5 Prozent annehmen, dürfte die Absicherung des Gamma-Risikos nicht für die ganze Kursänderung reichen. In unserem Beispiel erlitte der Marketmaker bei einem plötzlichen Kursanstieg der Akademie-Aktie auf 15 Euro einen Verlust von über 3. Euro und verlöre damit annähernd 5 Prozent des ursprünglichen Open Interest. Doch nicht nur die extremen Veränderungen der Basiswertkurse, sondern auch starke Veränderungen der Volatilitäten können dem Marketmaker trotz Vega-Hedge Verluste bescheren. Gelegentlich sind solche Volatilitätsänderungen vorhersehbar, zum Beispiel, wenn nach einem wichtigen Gerichtsurteil oder nach einer als ungewiss geltenden Wahl die Unsicherheit gewichen ist und eben auch das Maß für die Unsicherheit die Volatilität zurückgeht. Volatilität wird auch ein zuvor durch einen Hedge Vega-neutrales Portfolio aus dem Gleichgewicht bringen. Ein anderer, besonders für Anleger unangenehmer Fall kann die Ankündigung einer Übernahme gegen Barzahlung sein: Angenommen, die Schule AG notierte bei 35 Euro und Optionsscheine auf die Schule AG notierten mit einer impliziten Volatilität von 5 Prozent p.a. Wenn nun die Akademie AG den Aktionären der Schule AG ein Übernahmeangebot in Höhe von 45 Euro je Aktie unterbreitet, dürfte der Kurs der Schule-Aktie entsprechend stark ansteigen. Im Gegenzug ist aber davon auszugehen, dass die implizite Volatilität, die in Optionsscheine auf die Schule AG eingepreist wird, drastisch sinken wird: Wenn die Kapitalmärkte das Zustandekommen der Übernahme zu diesem Kurs für absolut sicher halten, wird die Aktie sogleich zu einem Kurs handeln, der 45 Euro abgezinst von dem Tag der Auszahlung des Übernahmebetrags auf die Gegenwart entspricht. Gleichzeitig wäre eine Volatilität von null anzusetzen, da jetzt keine Unsicherheit über die Zukunft des Kurses der Schule AG mehr besteht. Damit würden Optionsscheine nur noch zum inneren Wert gehandelt und Aus-dem-Geld-Optionsscheine wären prak tisch wertlos. Alle diese Risiken sind praktisch nicht abzusichern und setzen den Emittenten von Optionsscheinen einem Restrisiko aus, das die jeweilige Investmentbank tragen muss, wenn sie in diesem Geschäft aktiv sein möchte. Eine in dieser Akademie nicht erwähnte Möglichkeit des Emittenten, Volatilität einzukaufen, ist neben dem direkten Erwerb von Optionen der Verkauf von Dis count-zertifikaten oder von Aktienanleihen. Details hierzu und den in diesem Zusammenhang interessanten Begriff der Put-Call-Parität werden wir in einer späteren Ausgabe der Akademie vorstellen. Meist jedoch überraschen auch plötzliche deutliche Schocks der Volatilitäten. Kommt es infolge von negativen Medienberichten oder anderen Gerüchten zu dramatischen Kurseinbußen, ist aufgrund der herrschenden Verunsicherung häufig ein sprunghafter Anstieg der Volatilität die Folge. Eine sehr große Änderung der ABB. 5: VEGA-POSITION DES ABGESICHERTEN PORTFOLIOS ABB. 6: DELTA-POSITION DES ABGESICHERTEN PORTFOLIOS Vega-Wert in Euro 1.5 1. 5 5 1. Delta-Wert in Euro 4. 3. 2. 1. 1. 2. 3. 1.5 5 6 7 8 9 1 11 12 13 14 15 Vega insgesamt Summe Vega-Hedge #A + #B Vega-Position gehedgtes Portfolio Option #A Option #B 4. 5 6 7 8 9 1 11 12 13 14 15 Delta insgesamt Summe Delta-Hedge #A + #B Delta-Position gehedgtes Portfolio Option #A Option #B Auch die Vega-Position des gehedgten Portfolios liegt beim zugrundegelegten Basiswertpreis von 1 Euro bei null. Quelle: Goldman Sachs International Nach dem Volatilitäts-Hedge kann der Händler auch den Delta-Hedge durchführen. Wie der Chart zeigt, bleibt die Delta-Position nun relativ konstant. Quelle: Goldman Sachs International