Gnuplot Eine kurze Einführung Gnuplot ist ein sehr vielseitiges Programm zum Plotten von Datensätzen oder mathematischen Funktionen in zwei oder drei Dimensionen. Weiterhin können mathematische Funktionen geplottet und in bestehende Datensätze eingepaßt (gefittet) werden. Gnuplot ist kostenlos und kann für fast alle Betriebssysteme auf www.gnuplot.info (Download SourceForge gpxxxwin32.zip) heruntergeladen werden. Allerdings ist gnuplot 1 kommandozeilenbasiert, wenngleich man sich im graphischen Interface unter Windows einzelne Textbausteine zusammenklicken kann. Diese sehr kurze Einführung soll die ersten Schritte mit gnuplot erleichtern und das Grundwissen bis hin zum Fitten von Funktionen an Hand von Beispielen vermitteln. Sie gibt nur einen sehr kleinen Einblick in die Möglichkeiten von gnuplot und stellt kein vollständiges Handbuch dar. Hierzu sei auf die zahlreichchen Webseiten über gnuplot hingewiesen. Auf www.gnuplot.info selbst gibt es eine Fülle von Beispielbildern und dem zugehörigen Code. Die mitinstallierte Hilfe von gnuplot ist sehr umfangreich und läßt keine Fragen offen, jedoch ist es meist nicht leicht, den Befehl für eine gesuchte Einstellung zu finden. 1 Pfade Gnuplot unterstützt einige Befehle aus der Linux-Welt. Die wichtigsten sind: pwd zeigt das aktuelle Arbeistverzeichnis an cd c:/daten wechselt das angegebene Verzeichnis Achtung: Wie unter Linux und in Programmiersprachen wird der Schrägstrich / als Trenner im Pfad benutzt. Der Backslash \ funktioniert meistens auch, kann jedoch zu Fehlern führen. Vorsicht auch bei Leerzeichen im Pfad! 2 Daten Die zu plottenden Datenreihen müssen als Tabelle in einfachen Textdateien wie folgt vorliegen: 1 3. 1.62E-19 2.5 * 2E2 #3 4.1 5 4 3.6.38 Die einzelnen Datenreihen müssen spaltenweise vorliegen, als Trennzeichen werden Leerzeichen oder Tabulatoren verwendet, die ggf zusammengefaßt werden. Bei mehrspaltigen Tabellen müssen fehlende Zahlenwerte durch nicht als Zahl interpretierbare Zeichen markert werden, wie im Beispiel der zweite Wert in der zweiten Spalte. Ganze Zeilen können durch # komplett auskommentiert werden, sie werden von gnuplot vollständig ignoriert. 1 nicht Gnuplot! 1
Standardmäßig wird ein Punkt als Dezimaltrennzeichen erwartet. Mittels set decimal sign locale kann dies auf die Spracheinstellungen des Betriebssystems umgestellt werden, sodaß bei der Spracheinstellung Deutsch das Komma benutzt wird. Dies betrifft sowohl das Eingabeformat (d.h. die Zahlen in der Datei) als auch das Ausgabeformat (d.h. Achsenbeschriftungen etc.). Soll ausschließlich das Ausgabeformat geändert werden, genügt set decimal sign "," 3 Plotten 3.1 Plotten von Datensätzen (mit Fehlerbalken) plot datei.csv using 1:2 plottet den Inhalt der Datei datei.csv. Mittels using 1:2 werden die Spalten für die x- und y-werte der Koordinaten ausgewählt. An jeder Koordinate wird eine Markierung gesetzt. plot datei.csv using 1:2 with dots zeichnet an jeder Koordinate einen kleinen Punkt anstatt einer Markierung. plot datei.csv using 1:2 with lines Zeichnet eine Linie durch alle Koordinaten. plot datei.csv using 1:2 with linespoints zeichnet sowohl eine Linie als auch Markierungen. plot datei.csv using 1:2 with histeps eine Linie mit stufenförmigem Verlauf - ideal z.b. für einfache Histogramme 2 plot datei.csv using 1:2:3 with yerrorbars erwartet noch eine 3. Spalte und interpretiert diese als y-fehler. Es werden allerdings nur Fehlerbalken gezeichnet, keine Markierungen oder Linien! plot datei.csv using 1:2:($1*.5) with xerrorbars Zeichnet Fehlerbalken in x-richtung. Statt einer Spalte mit Fehlern zu lesen, wird hier gerechnet: Die Klammern weisen auf eine Berechnung hin, innerhalb derer Spalten mittels vorangesetztem $, hier also $1 verwendet werden können. Dieser Plot nimmt also 5% der Werte der 1. Spalte als Fehler an. Solche Rechnungen können nur innerhalb der Spalten einer Datei durchgeführt werden! Weiterhin können auch z.b. Differenzen zwischen zwei Spalten geplottet berechnet werden (...:($3-$4):..), oder konstante Werte eingesetzt werden (...:(1.41):..) plot datei.csv using 1:2:3:4 with xyerrorbars plottet Fehlerbalken in x- und y-richtung, Fehlerwerte werden aus 3. unf 4. Spalte genommen replot wiederholt den letzten Plotbefehl. 3.2 Funktionen Gnuplot kann beliebige Funktionen plotten, wobei als unabhängige Variable in karthesischen Koordinaten stets x erwartet wird. Etwas ungewöhnlich ist, daß Potenzen wie x y als x**y geschrieben werden. Funktionen und Konstanten können auch zunächst definiert werden: funktion(x)=a+2*x+x**3 a=1 plot funktion(x) 2 gnuplot verfügt über verschiedene Möglichkeiten, Histogramme zu plotten. Das Histogrammieren selbst ist jedoch nicht möglich, es müssen also fertige xy-koordinaten vorliegen. 2
3.3 Plotten mehrerer Funktionen / Datensätze Der plot-befehl kann mehrere Funktionen und / oder Datensätze plotten, wenn sie durch Kommas getrennt sind: plot datei.csv using 1:2, sin(x) Bei sehr vielen zu plottenden Objekten ist es sinnvoll, die Zeile in mehrere aufzusplitten. Ein solcher Zeilenumbruch wird durch \ markiert: plot datei.csv using 1:2, \ using 5:6, \ sin(x) In der zweiten Zeile wurde der Dateiname weggelassen ( ). Es wird automatisch der zuletzt benutzte Dateiname verwendet! 3.4 Farben, Linien und Punkte Beim Plotten mehrerer Objekte wechselt Gnuplot standardmäßig Farbe und Form der Markierungen und Linien. Welche Farbe und welche Punktform verwendet wird, kann fest vorgegeben werden. Beispielsweise möchte man seine Daten mit stufenförmiger Linie und Fehlerbalken zeichnen, was von gnuplot nicht unterstützt wird. Man muß beides einzeln plotten, wobei die Farbe gleich bleiben sollte: plot datei.csv using 1:2 with histeps linetype 1, \ using 1:2:3 with yerrorbars linetype 1, \ sin(x) linewidth 3 linetype 2 Eine Liste der Linientypen und anderer Styles kann mit test angezeigt werden 3.5 Beschriftungen Die Beschriftung der Achsen geschieht über set xlabel Die x-achse etc. Weiterhin kann eine Bildüberschrift mit set title Bildüberschrift erzeugt werden. Für geplottete Objekte wird automatisch ein generischer Text in die Legende (den so genannten key ) eingefügt. Der Text läßt sich mittels title Datenreihe auch manuell angeben, ein notitle verhindert den Eintrag in die Legende völlig: plot datei.csv using 1:2 title Datenreihe with lines linetype 1, \ using 1:2:3 notitle with yerrorbars linetype 1, \ sin(x) title Sinusfunktion linewidth 3 linetype 2 3.6 Achsen set xrange[5:1] x-achse auf den Bereich [5;1] einstellen. Durch Angabe von set xrange[5:] kann beispielsweise auch nur die untere Grenze festgelegt werden. set autoscale x x-achse wieder automatisch skalieren lassen. set log y unset log y y-achse logarithmisch / linear darstellen. 3
set angles degrees set angles radians Gradmaß / Bogenmaß für trigonometrische Funktionen verwenden 4 Grafikausgabe 4.1 Bildschirm Das Grafik-Fenster von Gnuplot läßt sich mit Maus und Tastatur bedienen (Siehe Tabelle 1), wobei die Koordinaten an der Mausposition stets am unteren Rand angezeigt werden. Allerdings gibt es für fast alles auch Kommandos. Benutzt man diese, muß die Grafikausgabe mit replot aktualisiert werden, damit die Änderungen sichtbar werden. Tabelle 1: Bedienung des gnuplot-ausgabefensters, sowie entsprechende Befehle Aktion Funktion Kommando Rechte Maustaste Gummiband zum Hineinzoomen set xrange [5:1] set yrange [5:1] e Daten neu einlesen und aktuelles Fenster neu zeichnen replot a Auf den gesamten Datenbereich herauszoomen set autoscale x set autoscale y g Gitter anzeigen/entfernen set grid unset grid l y-achse logarithmisch/linear skalieren set log y unset log y L Die der Maus am nächsten liegende Achse logarith- set log x;set log y r misch/linear skalieren Hor. und Vert. Linie einzeichnen - am unteren Bildrand wird auch der Abstand zur Mausposition angezeigt unset log y;... 4.2 Dateiausgabe Gnuplot unterstützt eine Vielzahl von Ausgabeformaten. Für die direkte Verwendung in Dokumenten unter Windows bietet sich z.b. das emf-format an, da es ein Vektorformat ist und auch bei starker Vergrößerung nicht verpixelt wird. Nach Angabe des Ausgabeformats und des Dateinamens folgt der Plot-Befehl, anschließend muß die Bilddatei geschlossen werden: set terminal emf set output datei.emf replot unset output set terminal windows Ein weiteres gebräuchliches (Raster-)Format ist PNG, hier ist eine Größenangabe in Pixeln erforderlich: set terminal png size 8,6 Eine Besonderheit ist das Format epslatex: Hierbei wird eine unbeschriftete eps-datei sowie eine tex- Datei ausgegeben. Letztere läd das eps-bild, und beschriftet es innerhalb von LaTeX. Vorteil: Die Be- 4
schriftung geschieht in exakt der gleichen Schrift wie der restliche Text, und auch Formelsatz ist möglich: set terminal epslatex size 4cm,3cm Das Einbinden ins Dokument geschieht wie bei einer Bilddatei, jedoch mit \input statt \includegraphics. Dieses Format wurde auch für dieses Dokument verwendet. Generell ist zu beachten, daß manuelle Änderungen im Grafikfenster (log. Achsen etc.) nicht in die Bilddatei übernommen werden. Statt dessen muß zuvor das zugehörige Text-Kommando benutzt werden. Weiterhin stimmen Linienstile und -Farben nicht immer überein, sodaß das die Grafik in einer Datei von der Bildschirmgrafik abweicht. 5 Funktionen fitten Oft erwartet man, daß ein Datensatz durch eine mathematische Formel beschrieben werden kann. Unter dem Fitten einer Funktion in einen Datensatz versteht man das ermitteln der Parameter a = {a ; a 1 ;...} einer Funktion f(x, a) derart, daß die Formel den Datensatz möglicht genau beschreibt. Die χ 2 -Methode zum Fitten von Funktionen soll hier kurz erläutert werden: Gegeben sei ein Datensatz aus n Werten (x i ; y i ; σ i ), wobei σ i die Fehler in y-richtung darstellen. Nun betrachtet man die Funktion n ( ) 2 χ 2 yi f(x i, a) = (1) i=1 σ i Summiert wird zunächst über die quadratischen Abstände der Datenpunkte in y-richtung, sodaß große Abstände zu stärkeren Beiträgen zu χ 2 führen, während kleine Abstände einen sehr viel geringeren Einfluss haben. Ein großer Fehler σ i eines Datenpunktes y i führt zu einer geringeren Gewichtung der Abweichung dieses Punktes von der Funktion, während Abweichung von sehr präzise gegebenen Punkten stärker ins Gewicht fallen. Das χ 2 ist somit ein Maß für die Abweichung der Funktion vom Datensatz, und seine Minimierung durch das ermitteln der korrekten Parameter a ist das Ziel des Fittens. Wie gut die so ermittelte Funktion die Daten wiederspiegelt, läßt sich ebenfalls quantitativ über das χ 2 bzw das reduzierte χ 2, welches über 5.1 Grundlagen und Beispiel χ 2 n Daten n Parameter gegeben ist, ermitteln. Gnuplot ist in der Lage, mittels des Levenberg-Marquardt-Algorithmus die oben genannte Fitmethode anzuwenden, und eine gegebene Funktion in einen Datensatz zu fitten. Hierzu muß die Funktion mit den anzupassenden Parametern zunächst definiert werden. Dies wird an folgendem Beispiel demonstriert, wobei eine Gauss-Funktion in den mittleren Bereich gefittet werden soll: In folgenden Datensatz soll eine Gaußfunktion in den mittigen Peak hineingefittet werden: 45 4 35 3 25 2 15 1 5 25 5 75 1 g(x) = A ( exp (x x c) 2 ) 2πσ 2 2σ 2 mit A: Fläche unter Funktion σ: Standardabweichung x c : Peakposition 5
Die Funktion wird in gnuplot als g(x)=a/sqrt(2*pi*s**2)*exp(-.5*(x-xc)**2/s**2) definiert, weiterhin müssen geschätzte Startwerte für die Parameter angegeben werden, die den erwarteten Werten einigermaßen nahe kommen. Wie nahe, ist unterschiedlich und hängt von den Daten, der Art des Parameters sowie der Wahl der übrigen Parameter ab. Zur Demonstration sind die Parameter im Folgenden absichtlich schlecht abgeschätzt: xc=4 s=1 A=4 Zum Fitten muß der Datenbereich, die zu fittende Funktion, die Datenreihe sowie die Liste aller anzupassender Parameter angegeben werden. So wird hier nur der (markierte) Bereich 2 bis 9 in x-richtung verwendet und alle Parameter werden angepaßt. Die Fehler in y-richtung sollen n, also die Wurzel aus der zweiten Spalte sein. fit [2:9] g(x) datei.csv using 1:2:(sqrt($2)) via A, s, xc Die folgenden Plots zeigen die Funktion vor und nach dem Fit: 45 4 35 3 25 2 15 1 5 25 5 75 1 45 4 35 3 25 2 15 1 5 25 5 75 1 Während des Fittens gibt Gnuplot Text aus, der auch an die Datei fit.log im aktuellen Verzeichnis angehängt wird: After 7 iterations the fit converged. final sum of squares of residuals : 762.151 rel. change during last iteration : -2.44797e-7 degrees of freedom (FIT_NDF) : 694 rms of residuals (FIT_STDFIT) = sqrt(wssr/ndf) : 1.4795 variance of residuals (reduced chisquare) = WSSR/ndf : 1.982 Final set of parameters Asymptotic Standard Error ======================= ========================== A = 99234.4 +/- 33.7 (.3332%) s = 114.162 +/-.2862 (.257%) xc = 522.566 +/-.3858 (.7383%) correlation matrix of the fit parameters: A s xc A 1. s -.21 1. xc -.6.36 1. 6
Die für die Erzeugung der ursprünglichen Datenreihe verwendeten Parameter waren A=1., s=115 und xc=523 für den mittleren Peak. Der Fit ermittelt diese Daten also recht gut, wenngleich die verwendeten Parameter nicht im Bereich der Fehler liegen. 5.2 Fitten mehrerer Peaks Manchmal sollen mehrere Funktionen der gleichen Art in einem Durchgang gefittet werden, z.b. wenn sie sich deutlich überlagern. In diesem Fall muß die Funktionsdefinition etwas anders vorgenommen werden, damit jede der Funktionen beim Fitten eigene Parameter besitzt: g(x, A, s, xc)=a/sqrt(2*pi*s**2)*exp(-.5*(x-xc)**2/s**2) multig(x)=g(x, A1, s1, xc1)+g(x, A2, s2, xc2)+g(x, A3, s3, xc3) Es ist nicht nötig, multig(x, A1, A2, A3,...) zu definieren, da sämtliche Variablen in gnuplot global sind, sodaß multig(x) ausreicht. A1=1 xc1=35 s1=1 A2=1 xc2=5 s2=1 A3=1 xc3=64 s3=1 fit multig(x) datei.csv using 1:2:3 \ via A1, A2, A3, w1, w2, w3, xc1, xc2, xc3 Auch dieser Fit klappt gut, wie ein Plot zeigt (Links vor dem Fit, rechts nach Fit): 4 35 3 25 2 15 1 5 25 5 75 1 4 35 3 25 2 15 1 5 25 5 75 1 Unter Berücksichtungung der Tipps (Siehe 5.3 ) ergeben sich folgende Fitparameter. (Vorgegeben: A1=5., A2=1.., A3=4., w1=2, w2=115, w3=12, xc1=36, xc2=523, xc3=64) After 2 iterations the fit converged. final sum of squares of residuals : 928.561 rel. change during last iteration : -4.85612e-6 degrees of freedom (FIT_NDF) : 931 rms of residuals (FIT_STDFIT) = sqrt(wssr/ndf) :.998689 variance of residuals (reduced chisquare) = WSSR/ndf :.99738 Final set of parameters Asymptotic Standard Error ======================= ========================== 7
A1 = 5651.3 +/- 548.1 (1.82%) A2 = 99938 +/- 1182 (.1183%) A3 = 4332.6 +/- 474.7 (1.177%) w1 = 19.96 +/-.251 (1.31%) w2 = 114.771 +/-.8687 (.7569%) w3 = 12.19 +/-.1481 (1.223%) xc1 = 359.435 +/-.21 (.5592%) xc2 = 522.635 +/-.155 (.288%) xc3 = 639.479 +/-.1463 (.2287%) correlation matrix of the fit parameters: A1 A2 A3 w1 w2 w3 xc1 xc2 xc3 A1 1. A2 -.359 1. A3 -.65 -.3 1. w1.597 -.259 -.45 1. w2 -.293.129.19 -.21 1. w3 -.42 -.23.554 -.29.12 1. xc1.225 -.17.7.223.44.5 1. xc2.54 -.98 -.338.357 -.185 -.225.77 1. xc3.1.41 -.14. -.57 -.125 -.8.7 1. 5.3 Tipps und Tricks Falls der Fit nicht direkt gelingt und z.b. wegen einer singulären Matrix oder einer Divergenz mißlingt: Die Voreinstellung der Fitparameter etwas genauer wählen. Zur Überprüfung Daten und Funktion wie oben noch vor dem Fitten plotten, um falsche Formeln oder schlechte Startparameter zu erkennen. Zunächst weniger Parameter fitten und Parameter wie z.b. Peakpositionen fest halten. Damit erzeugt gnuplot Parameterwerte, die den wahren Werten sehr nahe kommen, und die in einem zweiten Durchlauf als Startparameter benutzt werden: fit [2:9] g(x) datei.csv using 1:2 via A,s fit [2:9] g(x) datei.csv using 1:2 via A,s, xc Auch hier kann man zwischen den Fit-Durchgängen einen Plot zur Kontrolle durchführen. Zunächst ohne Fehler fitten, in einem weiteren Durchgang mit Fehlern Das Fitten scheint manchmal problematisch zu sein, wenn sich in der Nähe einer Polstelle der Funktion Daten befinden. Dann kann man die Zeilen dieser Daten z.b. durch ein # in der Datendatei auskommentieren und zunächst einen groben Fit für die übrigen Werte machen. 6 Batchdateien Für reproduzierbare Ergebnisse, einfachere Änderungen und eine bessere Übersicht bietet es sich an, alle Befehle zeilenweise in eine Textdatei zu schreiben. Diese kann in Gnuplot mittels load datei.plt geladen und ausgeführt werden. Ebenso ist es möglich, gnuplot mit dieser Datei als Argument aus der 8
Kommandozeile zu starten, oder *.plt-dateien mit gnuplot so zu verknüpfen, daß sie bei Doppelklick automatisch mit gnuplot ausgeführt werden. Problematisch ist, dass gnuplot in den letzten beiden Fällen keine Textausgabe erzeugt und bei Fehlern sofort abbricht. Eine Fehlersuche ist daher nur möglich, wenn die Datei mittels load datei.plt geladen wurde. Möchte man innerhalb einer Batchdatei mehrere Plots hintereinander plotten und betrachten, kann man durch den Befehl pause -1 erreichen, daß Gnuplot die Abarbeitung der Datei kurz anhält und man die Ausgabe betrachten kann. Zum Auskommentieren einzelner Zeilen kann auch in Batchdateien das Doppelkreuz # verwendet werden. Eine Datei zum Fitten des letzten Beispiels könnte wie folgt aussehen: #### Definition Gauss-Funktion: gauss(x, A, s, xc)=a/sqrt(2*pi*s**2)*exp(-.5*(x-xc)**2/s**2) #### Definition Multipeak-Funktion: multigauss(x)=gauss(x, A1, w1, xc1)+gauss(x, A2, w2, xc2)+ \ gauss(x, A3, w3, xc3) #### Startparameter A1=2 xc1=35 w1=1 A2=1 xc2=5 w2=5 A3=3 xc3=64 w3=1 #### Fitten ohne Fehler zum Finden guter Parameter fit multigauss(x) Daten.csv using 1:2 via A1, A2, A3, \ w1, w2, w3, xc1, xc2, xc3 #### Fitten mit Fehler fit multigauss(x) Daten.csv using 1:2:(sqrt($2)) via \ A1, A2, A3, w1, w2, w3, xc1, xc2, xc3 #### Ausgabeformat PostScript set terminal postscript set output Gefittet.ps ### Daten und Fit plotten plot Daten.csv using 1:2:(sqrt($2)) notitle with yerrorbars lt 9, \ multigauss(x) notitle linetype 7 linewidth 3 unset output #### Konvetierung in PDF system( epstopdf Gefittet.ps ) Stand: 16. August 21 S.W. 9