FAKULTÄT FÜR MASCHINENBAU UND SCHIFFS- TECHNIK (MSF) Übungsaufgaben LEHRSTUHL STRÖMUNGSMECHANIK Prof. Dr.-Ing. habil. A. Leder Universität Rostock Fakultät für Maschinenbau und Schiffstechnik Albert-Einstein-Straße 2 D 18059 Rostock Fon +49(0)381 498-93 11 Fax +49(0)381 498-93 12 Mail sekretariat.lsm@uni-rostock.de www.lsm.uni-rostock.de
FAKULTÄT FÜR MASCHINENBAU UND SCHIFFS- TECHNIK (MSF) Übung zur Vorlesung Grundlagen der Strömungsmechanik 1. Aufgabenblatt: Stoffeigenschaften Aufgabe 1 Zwischen einem inneren Zylinder mit dem Radius R und der Länge L und einem koaxialen äußeren Zylinder befindet sich ein schmaler Spalt von der Breite s, der mit einer Newtonschen Flüssigkeit (dynamischen Zähigkeit μ) gefüllt ist (siehe Abbildung). Welches Drehmoment M muss am inneren Zylinder angreifen, wenn dieser in Ruhe bleiben soll, während sich der äußere Zylinder mit der konstanten Winkelgeschwindigkeit ω dreht? Hinweis: Wegen s << R kann angenommen werden, dass die Strömung im gekrümmten Spalt der Couette- Strömung zwischen zwei ebenen Platten gleich ist. R = 5 cm; s = 0,2 cm; L = 20 cm; ω = π/2 s -1 ; μ = 50 cp Lösung: M = 6,42 10-3 Nm LEHRSTUHL STRÖMUNGSMECHANIK Prof. Dr.-Ing. habil. A. Leder Universität Rostock Fakultät für Maschinenbau und Schiffstechnik Albert-Einstein-Straße 2 D 18059 Rostock Fon +49(0)381 498-93 11 Fax +49(0)381 498-93 12 Mail sekretariat.lsm@uni-rostock.de www.lsm.uni-rostock.de
1. Aufgabenblatt: Stoffeigenschaften Aufgabe 2 Zwischen zwei parallelen kreisförmigen Scheiben vom Radius r 0 befindet sich Flüssigkeit der Zähigkeit μ. Der Scheibenabstand und damit die Schichtdicke der Flüssigkeit hat den Wert h. Ein Dichtring am Scheibenumfang verhindert, dass Flüssigkeit entweichen kann. Die Scheibe wird mit der Winkelgeschwindigkeit ω angetrieben. Die Scheibe ist über eine dünne Welle mit der Torsionssteifigkeit c an der Stelle B befestigt und trägt einen Zeiger, der die jeweilige Verdrehung dieser Scheibe anzeigt (siehe Abbildung). Die Reibung zwischen den Scheiben und dem Dichtring kann vernachlässigt werden. Bei hinreichend kleiner Schichtdicke h bewegen sich alle Flüssigkeitsteilchen auf Kreisbahnen um die Achse. a) Wie hängt die Schubspannung τ in der Flüssigkeit vom Abstand r zur Drehachse ab? b) Welches Moment M wird von einer Scheibe auf die andere übertragen? c) Wie hängt der Zeigerausschlag φ von der Winkelgeschwindigkeit ω ab (für ω = 0 sei φ = 0)? Hinweis: Die Anordnung ist ein Tachometer mit linearem Zusammenhang zwischen der Winkelgeschwindigkeit (Drehzahl) und dem Zeigerausschlag. h = 0,2 mm; r 0 = 2 cm; c = 3 10-3 Nm; μ = 0,1 Ns/m²; ω = 40 s -1 Lösung: a) τ(r) = μ ω r h = 400 r r 0 N/m² r 0 b) M = π 2 μ ω h3 h = 5,03 10-3 Nm c) φ = 1,677 =^ 96,1 4 40 LEHRSTUHL STRÖMUNGSMECHANIK Prof. Dr.-Ing. habil. A. Leder
1. Aufgabenblatt: Stoffeigenschaften Aufgabe 3 Eine mit Wasser gefüllte Druckmessleitung enthält ein Reduzierstück, das aus zwei Kapillaren unterschiedlicher Innendurchmesser besteht (siehe Abbildung). In dieser Verengung sitzt eine Luftblase derart, dass das Wasser im engen Rohr völlig von demjenigen im weiten Rohr getrennt ist. Man berechne die Differenz der Drücke p 2 p 3, p 2 p 1 und p 3 p 1. Längs der Druckmessleitung ist die Druckverteilung darzustellen. Der Randwinkel α ist als konstant am ganzen Umfang anzusehen, der Einfluss der Schwerkraft soll vernachlässigt werden. σ = 72,5 10-3 N/m; α = 8 ; r 1 = 0,5 mm; r 2 = 2,0 mm Lösung: p 2 p 3 = 71,8 N/m 2 p 2 p 1 = 287,2 N/m 2 p 3 p 1 = 215,4 N/m 2 LEHRSTUHL STRÖMUNGSMECHANIK Prof. Dr.-Ing. habil. A. Leder 41
1. Aufgabenblatt: Stoffeigenschaften Aufgabe 4 Zwischen zwei ebenen, kreisförmigen Platten mit dem Radius R befindet sich eine dünne Flüssigkeitsschicht der Höhe h. Am Ort der stärksten Einschnürung der freien Oberfläche seien die Krümmungsradien näherungsweise gegeben durch r 1 = h/2, r 2 = R h/2 (siehe Abbildung). Welche Kraft F muss an der oberen Platte angreifen, wenn diese von der unteren getrennt werden soll? Der Einfluss der Erdschwere bleibt unberücksichtigt. R = 10 cm; h = 0,1 cm; σ = 72,5 10-3 N/m Lösung: F = 4,53 N 42 LEHRSTUHL STRÖMUNGSMECHANIK Prof. Dr.-Ing. habil. A. Leder
1. Aufgabenblatt: Stoffeigenschaften Aufgabe 5 Welche Arbeit W muss man aufwenden, um ein Flüssigkeitsvolumen V in kugelförmige Tröpfchen vom Radius r zu vernebeln? Das Flüssigkeitsvolumen V besitze vor dem Vernebeln keine Oberflächenenergie. Lösung: σ = 72,5 10-3 N/m (Wasser); V = 1 m 3 ; r = 10-6 m W = 218 10 3 Nm LEHRSTUHL STRÖMUNGSMECHANIK Prof. Dr.-Ing. habil. A. Leder 43
FAKULTÄT FÜR MASCHINENBAU UND SCHIFFS- TECHNIK (MSF) Übung zur Vorlesung Grundlagen der Strömungsmechanik 2. Aufgabenblatt: Hydro- und Aerostatik Aufgabe 1 In einen Formkasten ist eine Walze mit den Durchmessern d 1 und d 2 so eingeformt, dass ihre Achse genau in der Trennebene zwischen Ober- und Unterkasten liegt (siehe Abbildung). Beim Gießen wird die Form durch den Einguss so lange mit Gusseisen vom spezifischen Gewicht γ E gefüllt, bis der Flüssigkeitsspiegel in Steiger und Einguss mit der Formoberkante abschließt. Wie groß muss das Zusatzgewicht G mindestens sein, damit sich der Oberkasten mit dem Gewicht G K nicht abhebt? Hinweis: Bei der Gewichtsbestimmung können Einguss und Steiger vernachlässigt werden. d 1 = 24 cm; d 2 = 18 cm; L 1 = 20 cm; L 2 = 12,5 cm; H = 25 cm; G K = 600 N; γ E = 72000 N/m 3 Lösung: G = 519 N LEHRSTUHL STRÖMUNGSMECHANIK Prof. Dr.-Ing. habil. A. Leder Universität Rostock Fakultät für Maschinenbau und Schiffstechnik Albert-Einstein-Straße 2 D 18059 Rostock Fon +49(0)381 498-93 11 Fax +49(0)381 498-93 12 Mail sekretariat.lsm@uni-rostock.de www.lsm.uni-rostock.de
2. Aufgabenblatt: Hydro- und Aerostatik Aufgabe 2 Ein zylindrisches Wehr (siehe Abbildung) mit dem Gewicht G und der Breite b hat einen Viertelkreisquerschnitt vom Radius r 0. Es ist in B gelenkig gelagert und liegt bei C längs einer Stufe an. Der Schwerpunkt des Wehrs hat vom Gelenk B den Abstand s. An der gekrümmten Wehrseite steht Flüssigkeit mit der Dichte ρ bis zu einer durch den Winkel φ 0 festgelegten Höhe. Man bestimme die Reaktionskräfte in den Lagern B und C nach Betrag und Richtung! r 0 = 2m; b = 10 m; s = 0,85 m; G = 40 kn; ρ = 1000 kg/m 3 ; φ 0 = 45 Lösung: B x = - 168,7 N in negativer x-richtung B z = - 15995,1 N in negativer z-richtung C x = 17000 N in positiver x-richtung C z = 0 N 46 LEHRSTUHL STRÖMUNGSMECHANIK Prof. Dr.-Ing. habil. A. Leder
2. Aufgabenblatt: Hydro- und Aerostatik Aufgabe 3 Kleine Druckdifferenzen können mit einem Feinmessmanometer nach Pressel gemessen werden. Es besteht aus einer zylindrischen Glocke der Wandstärke s, die in einer Flüssigkeit der Dichte ρ schwimmt (siehe Abbildung). Der Innenradius der Glocke sei r 0. Das Innere der Glocke ist mit Gas unter dem Druck p 1 gefüllt. Der Druck p 0 ist der Umgebungsdruck über der Flüssigkeitsoberfläche. Wird der Druck p 1 in der Glocke um Δp = p 2 p 1 geändert, dann ändert sich die Eintauchtiefe der Glocke um einen an einer Skala ablesbaren Betrag Δh. Es wird vorausgesetzt, dass die Glocke reibungsfrei zentriert ist. a) Wie hängt Δh von Δp ab und in welcher Richtung verschiebt sich die Glocke bei einem Überdruck Δp > 0? b) Wie müssen die Größen r 0 und s geändert werden, damit die Anzeige Δh bei einer gegebenen Druckänderung Δp vergrößert wird (Empfindlichkeit des Instruments!)? r 0 = 5 cm; s = 1 mm; ρ = 1000 kg/m 3 ; Δp = 1 mbar Lösung: a) Δh = 0,252 m Verschiebung nach oben b) Zunahme von Δh mit abnehmendem Verhältnis s/r 0 bei gegebenem Δp LEHRSTUHL STRÖMUNGSMECHANIK Prof. Dr.-Ing. habil. A. Leder 47
2. Aufgabenblatt: Hydro- und Aerostatik Aufgabe 4 In einem oben offenen Behälter befinden sich eine Flüssigkeit mit dem spezifischen Gewicht γ und ein Gas, das unter dem Druck p 1 steht. Auf der Flüssigkeitsoberfläche lastet der Umgebungsdruck p a. Die beiden Fluide im Behälter sind durch einen horizontalen Zwischenboden voneinander getrennt, der eine kreisrunde Öffnung mit dem Durchmesser 2 r hat. Diese Öffnung wird durch ein kegelstumpfförmiges Ventil mit dem Gewicht G und dem Basisradius R verschlossen (siehe Abbildung). Bestimmen Sie diejenige Höhe H des Wasserspiegels, bei der sich das Ventil gerade öffnet! r, R, h, γ, p 1, p a, G Lösung: H = p 1 p 2 γ + h 3 r² (R² + r² + Rr) G γ π r² 48 LEHRSTUHL STRÖMUNGSMECHANIK Prof. Dr.-Ing. habil. A. Leder
2. Aufgabenblatt: Hydro- und Aerostatik Aufgabe 5 Die einem Stausee zugewandte Seite einer Staumauer der Breite B hat das Profil z 2 H = x L. Hierbei ist H die Seetiefe und L die Staumauertiefe, über der sich Wasser befindet (siehe Abbildung). a) Welche resultierende Kraft F nach Größe und Richtung übt das gestaute Wasser auf die Mauer aus? b) In welchem Punkt x, z des Staumauerprofils greift die Kraft F an? H = 50 m; L = 20 m; B = 100 m; ρ = 1000 kg/m 3 Lösung: a) F = 1389,75 10 6 N; F x = 1226,25 10 6 N; F z = -654,00 10 6 N b) x K = 10,90 m; z K = 14,85 m LEHRSTUHL STRÖMUNGSMECHANIK Prof. Dr.-Ing. habil. A. Leder 49
2. Aufgabenblatt: Hydro- und Aerostatik Aufgabe 6 In der Seitenwand des skizzierten Flüssigkeitsbehälters ist eine rechteckige Klappe angebracht, die sich um die horizontale Achse D drehen kann. Die Klappe hat die Höhe H und die Breite B. Die Drehachse D hat den Abstand e H von der Klappenunterkante. Wie groß muss e sein, wenn die Klappe bei einer vorgegebenen Füllhöhe h > H des Flüssigkeitsbehälters nicht öffnen soll? H; B; h; ρ; g; p 0 Lösung: e 3 h 2 H 6 h 3 H 50 LEHRSTUHL STRÖMUNGSMECHANIK Prof. Dr.-Ing. habil. A. Leder
FAKULTÄT FÜR MASCHINENBAU UND SCHIFFS- TECHNIK (MSF) Übung zur Vorlesung Grundlagen der Strömungsmechanik 3. Aufgabenblatt: Stromfadentheorie Aufgabe 1 In ein zylindrisches Wasserrohr vom Durchmesser D, dessen Achse um den Winkel α gegen die Horizontale geneigt ist, wurde eine Venturidüse eingebaut, deren engster kreisförmiger Querschnitt bei den Durchmesser d hat (siehe Abbildung). An den Stellen und stehen die beiden Enden einer Messleitung über Wandanbohrungen in der jeweiligen Höhe der Rohrachse mit dem Wasser in Verbindung. Das Gewicht des über den beiden Menisken stehenden Luftvolumens ist vernachlässigbar klein, die Geschwindigkeiten bei und seien jeweils konstant über dem Querschnitt. Unter Voraussetzung reibungsfreier Strömung bestimme man den Volumenstrom V in Abhängigkeit von der gemessenen Höhendifferenz Δh. D; d; L; α Lösung: V = π 4 D² 2 g Δh D 4 d 4 1 LEHRSTUHL STRÖMUNGSMECHANIK Prof. Dr.-Ing. habil. A. Leder Universität Rostock Fakultät für Maschinenbau und Schiffstechnik Albert-Einstein-Straße 2 D 18059 Rostock Fon +49(0)381 498-93 11 Fax +49(0)381 498-93 12 Mail sekretariat.lsm@uni-rostock.de www.lsm.uni-rostock.de
3. Aufgabenblatt: Stromfadentheorie Aufgabe 2 An einer Einlaufdüse (siehe Abbildung) wurden bei stationärer Luftströmung folgende Werte gemessen: Δp = p 0 p 1 = 36 mm WS D = 100 mm T 0 = 299 K p 0 = 772 Torr ρ = 1,293 kg/m³ (Lufttemperatur) (Barometerstand) (Dichte der Luft bei 0 C und 760 Torr) a) Berechnen Sie nach der Stromfadentheorie die Geschwindigkeit u 1 und den Massenstrom ṁ in der Düse, wobei die Luft als inkompressibel anzusehen ist. b) Geben Sie den Einfluss eines Fehlers bei der Messung von Δp, D und T 0 auf u 1 und ṁ an. Lösung: a) u 1 = 24,3 m/s; ṁ = 0,229 kg/s b) Relativer Fehler von u Δu 1 : 1 u 1 1 2 Δ(Δp) Δp + 1 2 ΔT 0 T 0 Δṁ Relativer Fehler von ṁ: ṁ 2 ΔD D + 1 2 Δ(Δp) Δp + 1 2 ΔT 0 T 0 52 LEHRSTUHL STRÖMUNGSMECHANIK Prof. Dr.-Ing. habil. A. Leder
3. Aufgabenblatt: Stromfadentheorie Aufgabe 3 Eine Pumpe fördert durch eine Rohrleitung konstanten Durchmessers d eine Flüssigkeit mit der Dichte ρ aus einem offenen Behälter in eine Höhe H (siehe Abbildung). Der Ansaugstutzen befindet sich in einem Abstand h unterhalb des Flüssigkeitsspiegels. Die Flüssigkeit tritt in der Höhe H in die Umgebung mit dem Druck p 0 aus. Der geförderte Volumenstrom sei V. In der Rohrleitung treten keine Verluste auf. Wie groß sind die erforderliche Drucksteigerung Δp in der Pumpe und ihre mechanische Leistung P M? d; H; h; V ; ρ Lösung: Δp = ρ g (H h) + 8 ρ V 2 P M = Δp V π 2 d 4 LEHRSTUHL STRÖMUNGSMECHANIK Prof. Dr.-Ing. habil. A. Leder 53
3. Aufgabenblatt: Stromfadentheorie Aufgabe 4 An einem großen Wasserbehälter mit freier Oberfläche und konstanter Spiegelhöhe ist eine Rohrleitung vom Durchmesser d angeschlossen, durch die das Wasser ausströmen kann (siehe Abbildung). Wird ein Diffusor an das Rohrende angeschlossen, so ändern sich die Durchströmverhältnisse. Man bestimme nach der Stromfadentheorie: a) ohne Diffusor: die Geschwindigkeiten u 1, u 2 und den Volumenstrom V ; b) mit Diffusor: die Geschwindigkeiten u 1, u 2, u 3 und den Volumenstrom V. c) Man skizziere qualitativ den Verlauf des statischen Druckes und der Geschwindigkeit längs einer Stromlinie von bzw.. d) Wie groß darf das Querschnittsverhältnis ε = A3/A2 des Diffusors höchstens gewählt werden, damit keine Kavitation auftritt? Hinweis: Kavitation tritt dort auf, wo der statische Druck in der Rohrleitung unter den Dampfdruck des Wassers sinkt! h; H; d; D; ρ; p 0 ; p D ; g Lösung: a) u 1 = u 2 = 2 g H; V. = π d² 4 b) u 1 = u 2 = D² d² 2 g H 2 g H ; u 3 = 2 g H ; V. = π D² 4 2 g H c) d) ε < p 0 p D + ρ g h ρ g H 54 LEHRSTUHL STRÖMUNGSMECHANIK Prof. Dr.-Ing. habil. A. Leder
3. Aufgabenblatt: Stromfadentheorie Aufgabe 5 Aus einem großen Behälter wird Flüssigkeit mit der Dichte ρ I über ein dünnes Rohr (Heber) in einen tiefer stehenden großen Behälter eingeleitet, in dem sich eine Flüssigkeit mit der Dichte ρ II befindet (siehe Abbildung). Der Niveauunterschied der Flüssigkeitsspiegel ist H; der Druck über den Flüssigkeiten ist p 0 ; die Ausflussöffnung des Rohres befindet sich in der Tiefe T unter dem Flüssigkeitsspiegel. Die Strömung sei reibungsfrei. a) Mit welcher Geschwindigkeit u a tritt die Flüssigkeit I in die ruhende Flüssigkeit II ein? b) Wie groß muss das Dichteverhältnis ρii/ρi sein, damit u a stets größer null ist? H; T; ρ I ; ρ II Lösung: a) u a = 2 g ( H + T ) 2 g T ρ II ρ I b) ρ II ρ < H + T I T LEHRSTUHL STRÖMUNGSMECHANIK Prof. Dr.-Ing. habil. A. Leder 55
3. Aufgabenblatt: Stromfadentheorie Aufgabe 6 Komprimierte Luft mit dem Druck p 1 und der Temperatur T 1 strömt isentrop aus einem Kessel über eine Lavaldüse in eine Umgebung mit dem Druck p 3 aus. Der Durchmesser im Düsenhals sei D 2 (siehe Abbildung). a) Wie groß ist bei isentroper Expansion auf p 3 die Geschwindigkeit u 3, die Temperatur T 3 und die Dichte ρ 3 der Umgebung? b) Wie groß ist der Massenstrom ṁ der Luft in kg/s durch die Düse? c) Wie groß muss der Durchmesser D 3 am Düsenaustritt sein? d) Wo entspricht die Luftgeschwindigkeit in der Düse gerade der Schallgeschwindigkeit und wie groß ist der dazugehörige Druck? Hinweis: Das Volumen des Kessels ist sehr groß, so dass eine stationäre Expansion vorliegt. p 1 = 4 bar; T 1 = 300 K; ρ 1 = 4,65 kg/m 3 ; D 2 = 0,04 m; p 3 = 1 bar Lösung: a) u 3 = 443,7 m/s; T 3 = 202 K; ρ 3 = 1,73 kg/m 3 b) ṁ = 1,176 kg/s c) D 3 = 0,044 m d) u 2 = a im Düsenhals; p 2 = 2,11 bar 56 LEHRSTUHL STRÖMUNGSMECHANIK Prof. Dr.-Ing. habil. A. Leder
FAKULTÄT FÜR MASCHINENBAU UND SCHIFFS- TECHNIK (MSF) Übung zur Vorlesung Grundlagen der Strömungsmechanik 4. Aufgabenblatt: Impuls- und Drallsatz Aufgabe 1 Ein inkompressibles Fluid (Dichte ρ) trifft als ebener Freistrahl von der Breite b und der Tiefe h (senkrecht zur Zeichenebene) auf eine ebene Platte und fließt an deren Enden parallel zur Platte ab (siehe Abbildung). In großer Entfernung vor der Platte stehe die Strömungsrichtung im Freistrahl normal zur angeströmten Platte und die Geschwindigkeit u 1 sei konstant über dem Freistrahlquerschnitt b h. Der Druck über dem Austrittsquerschnitt und dem Rand des Freistrahls ist gleich dem Umgebungsdruck. a) Unter Vernachlässigung der Schwerkraft bestimme man die Summe der Lagerkräfte F A + F B. b) Welcher qualitative Verlauf des statischen Druckes stellt sich über der Platte ein? b; h; ρ; u 1 Lösung: a) F A = F B = 1 2 ρ u2 1 b h (vertikal) b) LEHRSTUHL STRÖMUNGSMECHANIK Prof. Dr.-Ing. habil. A. Leder Universität Rostock Fakultät für Maschinenbau und Schiffstechnik Albert-Einstein-Straße 2 D 18059 Rostock Fon +49(0)381 498-93 11 Fax +49(0)381 498-93 12 Mail sekretariat.lsm@uni-rostock.de www.lsm.uni-rostock.de
4. Aufgabenblatt: Impuls- und Drallsatz Aufgabe 2 Ein Strahltriebwerk wird stationär getestet. Die Eintrittsgeschwindigkeit der Luft sei u 1, die Strahlgeschwindigkeit des austretenden (verbrannten) Brennstoff-Luft-Gemisches sei u 2. Der Druck am Ein- und Austritt des Triebwerkes sei gleich dem Umgebungsdruck. Der Querschnitt am Eingang und Austritt ist A. Das Verhältnis der pro Zeiteinheit eingespritzten Brennstoffmasse ṁ B zu der pro Zeiteinheit durchgesetzten Luftmasse ṁ L sowie die Dichte ρ 1 am Triebwerkseintritt sind bekannt. a) Mit Hilfe des Impulssatzes ist der Schub S des Triebwerkes zu bestimmen. b) Für das mit der Geschwindigkeit u 1 angeströmte Triebwerk bestimme man aus der Schubleistung und aus der kinetischen Energie, die dem strömenden Fluid pro Zeiteinheit (beim Durchgang durch das Triebwerk) zugeführt wird, den Wirkungsgrad η. c) Unter der Annahme, dass der Brennstoffmassestrom ṁ B gegenüber dem Luftmassestrom ṁ L vernachlässigbar ist, diskutiere man die Abhängigkeit des Wirkungsgrades η von der Austrittsgeschwindigkeit u 2. ρ 1 ; u 1 ; u 2 ; A; ṁ B ṁ L Lösung: a) S = -ρ 1 u 2 A 1 1 + ṁ B u 2 ṁ L u 1 1 b) η = 2 1 + ṁ B ṁ u 2 L u 1 1 1 + ṁ u 2 B 2 ṁ L u 2 1 1 2 c) η = u 2 u + 1 1 58 LEHRSTUHL STRÖMUNGSMECHANIK Prof. Dr.-Ing. habil. A. Leder
4. Aufgabenblatt: Impuls- und Drallsatz Aufgabe 3 Eine Rohrverzweigung wird von einem inkompressiblen Fluid (Dichte ρ) stationär durchströmt (siehe Abbildung). Im Eintrittsquerschnitt A 1 sind die Geschwindigkeit u 1 und der Druck p 1 bekannt. In den Austrittsquerschnitten A 2 und A 3 ist der Druck des austretenden Fluids gleich dem Umgebungsdruck p a. Für die Geschwindigkeit u 3 im Querschnitt A 3 gilt: u 3 = ½ u 1. Die Eintritts- und Austrittsquerschnitte sind gleich groß: A 1 = A 2 = A 3 = A. Es wird angenommen, dass Druck und Geschwindigkeit konstant über die jeweiligen Querschnitte sind. Der Einfluss der Schwerkraft ist vernachlässigbar. a) Wie groß ist u 2? b) Wie groß ist die äußere Kraft F S, die an den Flanschverbindungen der Rohrverzweigungen wirkt? A 1 ; A 2 ; A 3 ; α; u 1 ; u 3 ; ρ; p a ; p 1 Lösung: a) u 2 = A 1 ½ A 3 A u 1 = ½ u 1 2 b) F Sx = -A 3 cos α 4 α u 2 + p 1 1 p a F Sy = sin α 4 ρ u 2 A 1 LEHRSTUHL STRÖMUNGSMECHANIK Prof. Dr.-Ing. habil. A. Leder 59
4. Aufgabenblatt: Impuls- und Drallsatz Aufgabe 4 Von einer Radialpumpe, die Wasser fördern soll, sind folgende Daten bekannt: Die geometrischen Größen r 1, r 2, und b, die Winkelgeschwindigkeit ω, die Dichte ρ, der Volumenstrom V, der Winkel α 2 der Absolutgeschwindigkeit c 2 am Laufradaustritt; die Zuströmung mit der Absolutgeschwindigkeit c 1 erfolge drallfrei. Bestimmen Sie folgende Größen: a) die Absolutgeschwindigkeiten c 1 am Eintritt und c 2 am Austritt; b) das von der Pumpe an das Fluid abgegebene Moment M; c) die am Laufrad aufzubringende Wellenleistung P. d) Wie groß ist die Gesamtdruckerhöhung Δp g der Pumpe? r 1 = 0,12 m; r 2 = 0,20 m; b = 0,04 m; ω = 120 s -1 ; ρ = 1000 kg/m 3 ; α 2 = 45 ; V = 6 10-2 m 3 /s Lösung: a) c 1 = 1,99 m/s; c 2 = 1,69 m/s b) M = 14,28 Nm c) P = 1,713 kw d) Δp g = 0,286 bar 60 LEHRSTUHL STRÖMUNGSMECHANIK Prof. Dr.-Ing. habil. A. Leder
4. Aufgabenblatt: Impuls- und Drallsatz Aufgabe 5 Ein zylindrisches Rohr vom Radius R mit vertikaler Achse wird stationär von Gas durchströmt (siehe Abbildung). Im Gasstrom schwebt ein koaxialer Kreiskegel mit dem Basisradius r und dem Gewicht G. Durch Anwendung des Impulssatzes gebe man an, bei welcher Geschwindigkeit u 1 des Gases der Kegel weder steigt noch fällt. Hinweis: Die Strömung sei reibungsfrei und inkompressibel. Die Geschwindigkeiten bei und seien jeweils konstant über dem Querschnitt. Der Druck auf die Grundfläche des Kegels sei gleich dem statischen Druck in der Strömung bei. Das spezifische Gewicht des Gases sei vernachlässigbar klein. r; R; G; ρ Lösung: u 1 = 2 g ρ π R² r² R r² LEHRSTUHL STRÖMUNGSMECHANIK Prof. Dr.-Ing. habil. A. Leder 61
4. Aufgabenblatt: Impuls- und Drallsatz Aufgabe 6 Ein Rohrbogen wird im Punkt durch eine Stütze gehalten (siehe Abbildung). An den Stellen und ist er durch flexible Kupplungen mit einem Leitungssystem verbunden. Die Durchmesser am Ein- und Ausgang des Rohrbogens sind D 1 und D 2. Der Volumenstrom V des inkompressiblen Fluids mit der Dichte ρ sowie der Druck p 1 sind bekannt. Es wird angenommen, dass das Fluid reibungsfrei sei und der Umgebungsdruck p a = 0 ist. Die Geschwindigkeiten u 1 und u 2 sind über die Rohrquerschnitte konstant. a) Wie groß sind u 1, u 2 und p 2? b) Bestimmen Sie in Abhängigkeit der gegebenen Größen das Torsionsmoment (Stützmoment) M S, das bei der Durchströmung des Rohrbogens in wirkt! c) Ändert sich die Größe des Moments, wenn der Rohrbogen mit Halterung in einer horizontalen Ebene angeordnet ist? Wenn ja, um welchen Betrag? Hinweis: Für die Geschwindigkeiten u 1 = u 2 = 0 ist die Stütze drehmomentenfrei. D 1 ; D 2 ; h 1 ; h 2 ; ρ; p 1 ; V ; g Lösung: a) u 1 = 4 V π D 2 1 u 2 = 4 V π D 2 2 p 2 = p 1 + 8 ρ V 2 1 (D 1 / D 2 ) 4 π 2 D 4 1 + ρ g (h 2 h 1 ) b) M S = ρ g π 4 D2 2 h 2 (h 2 h 1 ) + p 1 π 4 (D2 2 h 2 D 2 1 h 1) + 2 ρ V 2 c) Änderung um den Betrag ρ g π 4 D2 2 h 2 (h 2 h 1 ) π h 2 D 2 2 2 h 1 D 2 + D2 h 2 2 D 4 1 1 62 LEHRSTUHL STRÖMUNGSMECHANIK Prof. Dr.-Ing. habil. A. Leder
FAKULTÄT FÜR MASCHINENBAU UND SCHIFFS- TECHNIK (MSF) Übung zur Vorlesung Grundlagen der Strömungsmechanik 5. Aufgabenblatt: Reibungsbehaftete Strömungen Aufgabe 1 Ein Wärmeaustauscher besteht aus n glatten Rohren mit einem Außendurchmesser d a, die in ein Mantelrohr mit Innendurchmesser D i eingezogen sind (siehe Abbildung). Durch das Mantelrohr strömt parallel zu den Rohren eine Luftmenge V mit einer mittleren Dichte ρ und einer mittleren Zähigkeit μ. Wie groß ist der Druckabfall Δp in einem Wärmeaustauscher der Länge L? Hinweis: Man löse die Aufgabe unter Verwendung des hydraulischen Durchmessers. d a = 30 mm; n = 44; D i = 303 mm; L = 4 m; V = 3000 m 3 /h; ρ = 1,165 kg/m 3 ; μ = 18,6 10-6 kg/(m s) Lösung: Δp = 666 N/m 2 LEHRSTUHL STRÖMUNGSMECHANIK Prof. Dr.-Ing. habil. A. Leder Universität Rostock Fakultät für Maschinenbau und Schiffstechnik Albert-Einstein-Straße 2 D 18059 Rostock Fon +49(0)381 498-93 11 Fax +49(0)381 498-93 12 Mail sekretariat.lsm@uni-rostock.de www.lsm.uni-rostock.de
5. Aufgabenblatt: Reibungsbehaftete Strömungen Aufgabe 2 Ein inkompressibles newtonsches Medium (Dichte ρ, kinetische Zähigkeit ν) strömt durch ein Kühlsystem, das folgende Elemente enthält (siehe Abbildung): Ein Drosselorgan Dr (Druckverlustbeiwert ζ Dr ), ein Kreisrohr (Länge L 1, Durchmesser D) mit drei 90 -Krümmern (Druckverlustbeiwert ζ Kr ), einen Kühler, der aus n einzelnen Rohren (Länge L 3, Durchmesser d) besteht, ein weiteres Kreisrohr (Länge L 2, Durchmesser D) mit einem 90 -Krümmer (Druckverlustbeiwert ζ Kr ), welches das Medium in der Höhe h über dem Eintrittsniveau abführt. Man bestimme die Druckdifferenz Δp AB zwischen den Punkten A und B, die notwendig ist, damit sich ein vorgegebener Volumenstrom V einstellt. Hinweis: Alle Rohre seien hydraulisch glatt. Unter den Druckverlusten im Kühler soll nur derjenige in den n Rohren berücksichtigt werden. In allen Rohren ist die Strömung als ausgebildet anzusehen. L 1, L 2, L 3, h, g, ρ, ζ Kr, ζ Dr, D = 0,1 m; d = 1 cm; n = 60; ν = 1,0 10-5 m 2 /s; V = 4,71 l/s Lösung: Δp AB = ρ g H + ρ 2 4 V 2 π D 2 ζ Dr + 4 ζ Kr + 16 π ν L 3 n V D d 4 + L 1 + L 2 D 0,3164 4 4 V ν π D 2 64 LEHRSTUHL STRÖMUNGSMECHANIK Prof. Dr.-Ing. habil. A. Leder
5. Aufgabenblatt: Reibungsbehaftete Strömungen Aufgabe 3 Unter dem Einfluss eines konstanten Überdruckes p i in einem großen, geschlossenen Behälter strömt eine inkompressible newtonsche Flüssigkeit (Dichte ρ, kinematische Zähigkeit ν) durch ein langes Kreisrohr (Länge L, Durchmesser D) in die Atmosphäre aus (siehe Abbildung). a) Man berechne für verschiedene Werte der Druckdifferenz Δp = p i p a den Massenstrom durch das Rohr! b) An das Rohrende bei sei eine Düse angeflanscht, die den kreisförmigen Austrittsquerschnitt auf den Durchmesser d verkleinert (siehe Abbildung). Unter der Annahme laminarer Strömung erstelle man eine Gleichung für die Austrittsgeschwindigkeit am Düsenende und diskutiere ihre Abhängigkeit vom Parameter d/d! Hinweis: Einfluss der Erdschwere und Temperaturabhängigkeit der Zähigkeit sind zu vernachlässigen. Wegen der großen Länge des Rohres kann der Strömungsvorgang bis zum Beginn des Rohres bei als reibungsfrei angesehen werden. Die Rohrströmung ist als voll ausgebildet zu betrachten. Der Strömungsvorgang in der Düse kann als reibungsfrei angesehen werden. L = 200 m; D = 0,1 m; ρ = 10 3 kg/m 3 ; ν = 10-5 m 2 /s Δp = p i p a = 100; 500; 220 mmws Lösung: a) ṁ(δp = 100 mmws) = 1,18 kg/s laminare Strömung ṁ(δp = 500 mmws) = 2,71 kg/s turbulente Strömung ṁ(δp = 220 mmws) keine Lösung laminar turbulenter Umschlag b) u m3 = 2 Δp ρ + 32 ν L D d D 2 4 2 32 ν L D 2 d D LEHRSTUHL STRÖMUNGSMECHANIK Prof. Dr.-Ing. habil. A. Leder 65
5. Aufgabenblatt: Reibungsbehaftete Strömungen Aufgabe 4 Ein Kreisdiffusor mit vertikaler Achse und kleinem Öffnungswinkel (Eintrittsquerschnitt A 1, Austrittsquerschnitt A 2 ) wird von Luft (Dichte ρ L, kinematische Zähigkeit ν) stationär durchströmt (siehe Abbildung a). In den Luftstrom werden kugelförmige Teilchen der Dichte ρ K eingebracht. Die Geschwindigkeit am Diffusoreintritt sei u 1. Man bestimme den minimalen und maximalen Kugelradius jener Teilchen, die zwischen den Querschnitten A 1 und A 2 in der Schwebe gehalten werden. Hinweis: Die Geschwindigkeit habe in jedem Strömungsquerschnitt einen konstanten Wert. Die Luftströmung sei inkompressibel. Wegen ρ L << ρ K kann der Einfluss der Erdschwere auf die Luft vernachlässigt werden. Für den Widerstandsbeiwert c w der Kugel kann näherungsweise derjenige bei Parallelanströmung verwendet werden (siehe Abbildung b). A 2 /A 1 = 1,2; u 1 = 15 m/s; ρ L = 1,2 kg/m 3 ; ρ K = 10 3 kg/m 3 ; ν = 1,5 10-5 m 2 /s; g = 9,81 m/s 2 Abbildung a) Abbildung b) Lösung: r max = 4,13 mm; r min = 2,86 mm 66 LEHRSTUHL STRÖMUNGSMECHANIK Prof. Dr.-Ing. habil. A. Leder
5. Aufgabenblatt: Reibungsbehaftete Strömungen Aufgabe 5 Ein Drachen habe die Fläche A und die Masse m. Bei einer horizontalen Windgeschwindigkeit u ist F L die Zugkraft der Leine. Diese bildet mit der Richtung der Windgeschwindigkeit einen Winkel von 45. a) Bestimmen Sie den Auftriebs- und den Widerstandsbeiwert! b) Ist im vorliegenden Fall der Reibungswiderstand größer oder kleiner als der Druckwiderstand? Begründen Sie Ihre Antwort! A = 2 m 2 ; m = 0,4 kg; u = 30 km/h; F L = 50 N; ρ L = 1,25 kg/m 3 Lösung: a) c a = 0,45; c w = 0,41 b) Reibungswiderstand < Druckwiderstand LEHRSTUHL STRÖMUNGSMECHANIK Prof. Dr.-Ing. habil. A. Leder 67
5. Aufgabenblatt: Reibungsbehaftete Strömungen Aufgabe 6 Bei einem Gasviskosimeter bilden eine Kapillare K und ein Kreisrohr R G eine geschlossene Strecke, die mit dem zu untersuchenden Gas gefüllt ist (siehe Abbildung). Im vertikalen Rohr R G gleitet ein Kolben reibungsfrei, aber völlig abdichtend unter dem Einfluss seines Gewichtes G mit als konstant angenommener Geschwindigkeit u G abwärts und treibt so das Gas durch die Kapillare K. Die Strömung in der Kapillare sei laminar und über die ganze Länge voll ausgebildet. Der Übergang vom Kapillarende zum erweiterten Querschnitt bei ist als Carnotscher Stoßdiffusor anzusehen. Dabei soll für die Geschwindigkeit bei näherungsweise der volumetrische Mittelwert u m verwendet werden. Im restlichen Rohr ist der Reibungseinfluss zu vernachlässigen! Das Gas ist als inkompressibel anzusehen, sein Gewicht ist vernachlässigbar klein, seine Temperatur sei konstant. Wie groß ist die dynamische Zähigkeit μ des untersuchten Gases, wenn zwischen den Durchgängen des Kolbens an den Marken m 1 und m 2 eine Zeitspanne Δt gemessen wird? d; D; L 1 ; L 2 ; G; ρ; Δt Δt Lösung: μ = 32 L 1 L 2 d D 4 4 G π ρ 2 2 L 1 Δt D 2 d D 2 1 2 68 LEHRSTUHL STRÖMUNGSMECHANIK Prof. Dr.-Ing. habil. A. Leder
5. Aufgabenblatt: Reibungsbehaftete Strömungen Aufgabe 7 Eine Pumpe mit einem Wirkungsgrad η fördert Wasser mit einem Volumenstrom V in eine horizontal angeordnete Zerneblerdüse mit zwei Düsenköpfen (siehe Abbildung). Der Durchmesser der Zuführleitung mit der Länge L 1 und der Durchmesser der beiden Düsenarme mit den Längen L 3 sei mit D gegeben. Der Düsenaustritt hat den Durchmesser d. Die Düsenarme haben den Abstand L 2. Der Rohrverteiler an der Stelle V hat den Druckverlustbeiwert ζ V, die Umlenkecken den Wert ζ U und die Düse den Wert ζ D. Die Dichte ρ und die kinematische Zähigkeit ν des Wassers sind bekannt. Es sind folgende Größen zu berechnen: a) Die Geschwindigkeiten um1, um2, um3 in m/s (siehe Abbildung) und die Reynoldszahl Re 1 in der Zuführleitung. b) Der Druckverlust Δp V der Zerneblerdüse (ab Pumpe) in bar. c) Die erforderliche Druckerhöhung Δp = p 1 p 0 der Pumpe in bar. d) Die Antriebsleistung P W (Wellenleistung) der Pumpe in kw. Hinweis: Es liegt eine stationäre, inkompressible Strömung in hydraulisch glatten Rohren vor. D = 50 mm; d = 12 mm; L 1 = 100 m; L 2 = 0,6 m; L 3 = 1 m; ρ = 1000 kg/m 3 ν = 1 10-6 m 2 /s; V = 5 l/s; ζ V = 1,5; ζ U = 1,2; ζ D = 0,01; η = 0,8 Lösung: a) u m1 = 2,55 m/s; u m2 = 1,27 m/s; u m3 = 22,10 m/s; Re 1 = 1,28 10 5 b) Δp v = 1,165 bar c) Δp = Δp v + ρ 2 ( ) u2 m3 u 2 m1 = 3,575 bar d) P W = Δp V η = 2,23 kw LEHRSTUHL STRÖMUNGSMECHANIK Prof. Dr.-Ing. habil. A. Leder 69
5. Aufgabenblatt: Reibungsbehaftete Strömungen Aufgabe 8 Ein newtonsches Fluid strömt zwischen zwei sehr langen parallelen Platten der Breite B (senkrecht zur Bildebene), die sich mit konstanter Geschwindigkeit u o und u u (u o u u ) in entgegengesetzter Richtung bewegen (siehe Abbildung.). Die beiden Platten haben den Abstand H. Der sich in der Strömung einstellende konstante Druckgradient dp/dx ist bekannt. a) Stellen Sie an einem differentiellen Volumenelement mit dem Querschnitt dx dy und der Breite B die Impulsbilanz in x-richtung auf. b) Bestimmen Sie mit Hilfe der unter a) aufgestellten Differentialgleichung und den Randbedingungen y = 0 : u = -u u und y = H : u = u o die Geschwindigkeitsverteilung u(y). c) Wie groß ist der Volumenstrom V zwischen den beiden Platten? Hinweis: Randeffekte aufgrund der endlichen Breite B der parallelen Platten sind vernachlässigbar. Die Strömung zwischen den Platten ist eben. Die Geschwindigkeitsverteilungen unterliegen in x-richtung keiner Änderung! u o, u u, H, B, dp/dx, μ Lösung: a) dp dx = dτ dy = μ d2 u dy 2 b) u(y) = y2 H y 2 μ dp dx + u o + u u H y u u c) V = u(y) B dy = B 0 H u o u u 2 H H3 dp 12 μ dx 70 LEHRSTUHL STRÖMUNGSMECHANIK Prof. Dr.-Ing. habil. A. Leder