Der Elastizitätsmodul

Der Elastizitätsmodul Stichwort: Hookesches Gesetz 1 Physikalische Grundlagen Jedes Material verormt sich unter Einwirkung einer Krat. Diese Verormung ist abhängig von der Art der Krat (Scher-, Zug-, Torsionskrat usw.), der Richtung der Krat, der Vorgeschichte, der Vorbehandlung des Materials, der Temperatur und vielen weiteren Bedingungen. Bei diesem Versuch geht es um den Elastizitätsmodul, auch kurz E-Modul genannt, der beschreibt, wie stark sich ein Material einer Verormung widersetzt. Diese Größe wird ür verschiedene Materialien durch Messung der Durchbiegung von Rohren oder Stäben bestimmt, ür Stahl zusätzlich durch Messung der Verlängerung eines Drahtes unter dem Einluss einer Zugkrat. Beide Messungen erolgen durch Aunahme eines Verormungs-Krat-Diagramms, wodurch gleichzeitig die Proportionalität zwischen Verormung und Krat überprüt werden kann. Bei sonst konstanten Versuchsbedingungen kann die vom Material erzeugte Gegenkrat F als Funktion der ängenänderung Δl der Probe angesehen werden. Diese Funktion kann um die Gleichgewichtslage nach Taylor entwickelt werden: F( Δl) = const ( Δl) + const ( Δl) + const ( Δl) +... 1 (1) Für genügend kleine ängenänderungen überwiegt der lineare Anteil: F( Δl) = const1 Δl () Falls die Deormation nach Enternen der Krat wieder verschwindet, spricht man von elastischer Deormation, bleiben die Formänderungen zurück, handelt es sich um plastische Verormung. Ob elastisch oder plastisch, hängt vom Material ab und auch wesentlich vom Ausmaß der Verormung. Die größtmögliche elastische Deormation heißt Elastizitätsgrenze. Im olgenden werden wir nur noch elastische Deormationen betrachten. Ferner beschränken wir uns au Dehnungen und Stauchungen; Scherungen oder Verdrillungen werden hier nicht behandelt. In Abb. 1 ist ein zylinderörmiger Probekörper dargestellt, der au die Wirkung der Krat F mit einer Dehnung Δ l reagiert. Die ür eine gegebene ängenänderung Δ l erorderliche Krat F hängt von den Abmessungen des Probekörpers ab. Die Konstante const 1 ist daher keine Materialkonstante. Teilt man jedoch die Zugkrat F durch die Querschnittsläche A senkrecht zur Kratrichtung, so erhält man eine Größe, die von A unabhängig ist. Dabei muss der Querschnitt über die ganze Probenlänge konstant bleiben. Den Quotienten Krat/Querschnittsläche bezeichnet man als Zugspannung σ. σ = F A () 1

l 0 -F F Abb. 1: Dehnung eines zylinderörmigen Probekörpers l Ähnlich ergibt der Quotient aus der ängenänderung Δl und der änge im Gleichgewicht (=ohne Zugbeanspruchung) l0 eine Zahl, deren Betrag von der speziellen Wahl von l 0 unabhängig ist. Es ist die relative ängenänderung ε : ε = Δl (4) l 0 Zwischen der Zugspannung σ und der relativen ängenänderung ε, die beide von den speziellen Abmessungen des Probenkörpers unabhängig sind gilt nach Hooke: σ = ε E (5) Die dabei autretende Proportionalitätskonstante E heißt Elastizitätsmodul (E-Modul) und ist eine Materialkonstante. Sie kann beispielsweise aus der Zugdehnung eines Drahtes bestimmt werden.. Werte des E-Moduls ür einige Werkstogruppen: Werksto Stahl Aluminium Blei Glas Plexiglas E in GPa 190...0 71 16 40...90...,5 Nicht immer ist ein beliebiges Material in Form eines genügend langen Drahtes zu erhalten. Es gibt aber weitere Methoden, den E-Modul zu bestimmen. Eine davon ist die Durchbiegung eines Stabes entsprechend der in Abb. dargestellten Anordnung. Für die maximale Durchbiegung einer schlanken Biegeprobe ( > 10 h), die in der Mitte zwischen den Aulagern mit der Krat F belastet wird, gilt olgende Formel: F = (6) 48 E J (vgl. ehrbücher der Festigkeitslehre bzw. der Technischen Mechanik.) h / r F Abb. : Durchbiegung eines Probestabes zur Bestimmung des E-Moduls Die Formel gilt wie das Hookesche Gesetz nur ür den elastischen Bereich, bei einer geringen maximalen Durchbiegung < < r 10 h 10 (bei Kreisquerschnitt), (7) (bei rechteckigem Querschnitt)

J ist das Flächenmoment der Biegeprobe, das sich ür verschiedene Querschnitte au olgende Weise berechnen läßt: (vgl. ehrbücher der Festigkeitslehre bzw. der Technischen Mechanik.) Rechteckquerschnitt (h b) J = hb / 1 Kreisquerschnitt (Durchmesser d): J = π d 4 / 64 Rohr (Innendurchmesser d, Außendurchmesser D): J 4 4 π ( D d ) = 64 Versuchsdurchührung (Hinweis: Zug- und Biegeversuch können gleichzeitig (parallel) durch die Gruppe ausgeührt werden.).1 Zugversuch Messen Sie die Verlängerung des Drahtes als Funktion der Zugkrat, d.h. ür verschiedene angehängte Gewichte. Bitte beachten Sie dabei olgendes: Belastungsgrenze kg etwa 10 Messpunkte aunehmen Stellen Sie zu Beginn die digitale Messuhr au Null (Reset-Taste ca. 1 Sekunde lang drücken). Der Aunahmeteller ür die Gewichte dar die Wand nicht berühren Temperaturregler ausgeschaltet lassen. Beobachten Sie die maximale Änderung der Temperatur während des Versuchs. Die Temperatur dar sich während des Versuchs nicht allzu sehr ändern.. Biegeversuch Messen Sie die Durchbiegung der olgenden Objekte als Funktion der Belastung, wobei die Objekte mittig zwischen zwei Aulagern belastet werden: Nr. Material Geometrie maximale Belastung 1 Kuper Rohr mit 15mm und 1mm Wandstärke 1,8 kg Aluminium Rohr mit 15 mm und 1 mm Wandstärke 1,8 kg Stahl Flachmaterial 5 mm,1 mm 1, kg 4 Aluminium Flachmaterial 5 mm,1 mm 1, kg 5 Plexiglas (hoch) Flachmaterial 0 mm 6 mm 0,6 kg 6 Plexiglas (lach) Flachmaterial 0 mm 6 mm 0,6 kg Bitte beachten Sie dabei olgendes: Die Messuhr hat einen Messbereich von nur 10 mm. Daher ist darau zu achten, dass die Messuhr so positioniert ist, dass sie den gesamten Versuchsverlau erassen kann. Es wird empohlen, die Messuhr so einzustellen, dass der Zeiger au der mm-skale au der roten Eins steht. Auch bei der drehbaren Strichskala ist die rote Skaleneinteilung zu verwenden. Nachdem die Messuhr positioniert ist, kann durch Drehen des gerändelten Außenrings (wie z.b. auch bei einer Taucheruhr) der Nullpunkt verschoben werden.

Für das Plexiglas und die Rohre sind die beiliegenden Hilsmittel zu verwenden (Abb. ). mm Skale drehbare Strichskale Meßeinsatz Der Bolzen ist ür die Aunahme des Meßeinsatzes an der Oberseite abgelacht. Abb. : Messuhr und Hilsmittel Auswertung Schreiben Sie eine Zusammenassung von 4-6 Sätzen, was wie gemessen und ausgewertet wurde. Fügen Sie eine Tabelle dazu, die die gemessenen E-Module mitsamt ihren Unsicherheiten und die jeweiligen iteraturwerte enthält. Geben Sie die Quelle(n) Ihrer iteraturwerte an. Beurteilen Sie an Hand Ihrer Statistikkenntnisse, welche Ihrer Messungen mit den iteraturwerten verträglich sind und welche nicht..1 Zugversuch Ermitteln Sie aus dem Zugversuch den Elastizitätsmodul (mit Unsicherheit) mittels linearer Regression! Stellen Sie Ihre Daten in einem Spannungs-Dehnungs-Diagramm dar (nur Messpunkte, keine Unsicherheitsbalken)! Beachten Sie: Die Formeln ür die Unsicherheit der Regressionskoeizienten lieern nur dann das richtige Ergebnis, wenn die Regression mit den Rohdaten (Verlängerung - Masse der Gewichtsstücke) durchgeührt wird (also Größen Spannung und Dehnung verwenden). Aus der Geradensteigung wird mit Hile verschiedener Daten des Versuchsaubaus der E-Modul ausgerechnet. Anwendung der Unsicherheitsortplanzung au diese Rechnung lieert die Unsicherheit des E-Moduls. Anmerkung ür die spätere Auswertung: Drahtquerschnitt = (0,50 ± 0,01) mm Drahtlänge: siehe Angabe am Versuch Digitalmessuhr = ± 0,0 mm. Biegeversuch Ermitteln Sie ür jeden Biegeversuch den Elastizitätsmodul (mit Unsicherheit) nach der gleichen Vorgehensweise wie beim Zugversuch. Zeichnen Sie auch die Diagramme zur Überprüung des Hookeschen Gesetzes. Anmerkung ür die spätere Auswertung: Toleranzbereich der Messuhr = ± 0,01 mm Toleranzbereich vom Messschieber = ± 0,1 mm Toleranzbereich Stahlmaßstab = ± ( 0, + 0, ) mm mit = gemessene änge zwischen den Aulagern in m. iteratur: Bargel/Schulze: Werkstokunde. VDI-Verlag 4

EMO-Messprotokoll Zugversuch Material Drahtlänge (±\) DrahtØ (±\) m [g] Δ [mm] T [ C] Versuchsdatum: Versuchsaubau: Biegeversuch Material Stahl Al Plexi Plexi Al Cu Form Blech Blech hoch lach Rohr Rohr b [mm] D [mm] h [mm] d [mm] m [g] (±) [mm] m [g] (±) [mm] m [g] (±) [mm] Steigung Unsicherheit Steigung [mm/g] Unsicherheit Abstand der Aulager (±\) Unsicherheit a, b, D, d (\) Unsicherheit (\) Anlagen: 8 Diagramme (Computer) Zusammenassung mit Ergebnissen Material Stahl Al Cu Plexi Form Draht Blech Blech Rohr Rohr lach hoch E-Modul (±) iteraturwer t konsistent? 5