Vorschulische numerische Kenntnisse Zahlbegriff / Zählentwicklung Hinweise zum Erstrechnen 0 Entwicklungen im Säuglingsalter / Kleinkindalter Mathematische Grundausstattung: Mengen können ab dem Säuglingsalter nach Ausdehnung und Volumen unterschieden werden. Mengenbegriff bis 2 schon sehr früh vorhanden. (Subtizing: Simultane Erfassung kleiner Mengen) Kinder beginnen im Alter von ca. 3 Jahren mit Zählen, bringen dies aber nicht mit Mengen in Verbindung. Wesentlich: Nachahmung und soziale Vermittlung 1 Vorhersage von Rechenschwäche Eine Längsschnittstudie von Krajewski (2006) hat aufgezeigt, dass das Zahlen- und Mengenvorwissen von Vorschulkindern der wichtigste Prädiktor ist, um unterdurchschnittliche Mathematikleistungen in späteren Schuljahren vorauszusagen. Die Zahlenverarbeitungsgeschwindigkeit sowie das Gedächtnis und die Intelligenz stellten sich als unspezifisches Vorhersagemerkmal heraus. (Krajewski 2003) Die Weiterführung der Längsschnittstudie bestätigt dieses Resultat. Die Unterschiede in den mathematischen Vorläuferfertigkeiten spiegelten sich in den Mathematikleistungen bis zum Ende der Grundschulzeit wieder. (Krajewski & Schneider 2006) 2 Zählprinzipien Im Zählkontext werden Zahlwörter Gegenständen zugeordnet. Dieser Prozess ist komplex. Folgende Zählprinzipien gelten als elementare Muster beim korrekten Zählen. Sie sind für die weitere Entwicklung und Ausdifferenzierung des Zahlbegriffs verantwortlich. Dieses theoretische Wissen über die Zählprinzipien versetzt uns in die Lage, sinnvoll auf entsprechende Förderbedürfnisse von Kindern zu reagieren, indem geeignete Übungen bereitgestellt werden (Krauthausen; Scherer 2007, 12f) Eindeutigkeitsprinzip (1:1 Zuordnung) Prinzip der stabilen Ordnung Kardinalprinzip Abstraktionsprinzip Prinzip der Irrelevanz der Anordnung Entwicklung des mathematischen Verständnisses im lerntherapeutischen Setting 1
Drei Aspekte des Zählens: 1. Zahlwortreihe 2. Zählen von Objekten 3. Kardinales Verständnis 3 Die Zählentwicklung nach Fuson (1988) Zählen wird durch soziale und kulturelle Vermittlung erworben. Fremdsprachige Kinder sollten zuerst in ihrer Muttersprache zählen lernen, da die deutsche Zahlsyntax besondere Anforderungen beinhaltet. Fuson geht nach folgenden aufeinander folgenden Niveaus aus: 1. Ganzheitsauffassung Das Kind verwendet Zahlen als feste Begriffe wie andere Wörter, die es eben erlernt. Später werden erste Sequenzen der Zahlwortreihe wiederholt. 2. Unflexible Zahlwortreihe Differenziertere Ganzheitsauffassung der Zahlwortfolge. Das Kind kann die Zahlwortreihe (quasi) korrekt aufsagen, muss aber immer wieder bei 1 starten. 3. Teilweise flexible Zahlwortreihe Das Kind kann von verschiedenen Startzahlen aus weiter zählen. Zuerst vorwärts, später zum Teil auch rückwärts. 4. Flexible Zahlwortreihe Jedes Zahlwort wird nun als zählbare Einheit aufgefasst; d.h. das Kind kann von einer beliebigen Zahl aus eine bestimmte Anzahl Schritte weiter zählen. 5. Vollständig reversible Zahlwortreihe Die Zahlwortreihe wird nun vollständig beherrscht. Das Kind kann von irgendeiner Zahl aus vorwärts oder rückwärts zählen. Richtungswechsel bereiten keine Schwierigkeiten, Vorgänger/ Nachfolger werden schnell benannt. Zählen von Objekten Folgende Fehler können beim Zählen von Objekten beobachtetet werden (Fuson 1988): - Zeigen, ohne Zahlwort zu sagen - Einmal zeigen, mehrere Zahlwörter sagen - Mehrmals zeigen, ein Zahlwort sagen - Objekte überspringen - Zwei Zahlwörter und zweimal Zeigen bei einem Objekt - Zeigen und Zahlwort ohne Objekt Entwicklung des mathematischen Verständnisses im lerntherapeutischen Setting 2
4 Mengenerfassung Kardinales Verständnis Das kardinale Verständnis entwickelt sich deutlich später als die Zählfertigkeit. Es erfordert, dass das Kind versteht, dass das letztgenannte Zahlwort die Anzahl Objekte einer Menge bezeichnet. Dies erfordert drei Schritte: 1. Frage: Wie viele sind es? 1 2 3 4 5 6 Es sind eins, zwei, drei, vier, fünf, sechs 2. Kardinalwortprinzip (Wiederholen des letztgenannten Zahlwortes) 3. Erkennen, dass das letztgenannte Element die Grösse der Menge bezeichnet. 6 Es sind 6 Simultane und quasi-simultane Mengenerfassung Der Mensch kann bis zu 4 Objekte auf einen Blick simultan erfassen. Sobald die Anzahl grösser wird, zerlegen wir die Menge visuell in Teilmengen (5 = 2 + 3 oder 2 + 2 + 1). Dies geschieht so rasch, dass wir uns dessen meist nicht bewusst sind. Man spricht von quasisimultaner Mengenerfassung. Je klarer die Menge strukturiert ist, desto einfacher und schneller können wir die Teilmengen wahrnehmen und dadurch die Gesamtmenge bestimmen. Das Zerlegen in Teilmengen und das anschliessende Zusammenfügen zur Gesamtmenge erfordert viel Übung: - Mengen > 4 auf möglichst viele verschiedene Arten anordnen, Muster erstellen - Plättchen werfen und ordnen - Mengen bestimmen am Zwanzigerfeld (Hunderterfeld) Die Fünfer- bzw. Zehnerstruktur ermöglicht, auch grosse Mengen rasch zu erfassen: 1 Fünferpäckchen (Zehnerpäckchen) wird als Eins erfasst (8 = 1 Fünferpäckchen + 3 Einer; 24 = 2 Zehnerpäckchen + 4 Einer). Sie eignet sich besonders gut für die Strukturierung unseres dezimalen Zahlensystems. Bei Materialien für die Grundstufe ist die Möglichkeit der quasi-simultanen Mengenerfassung zentral. Das Material soll entweder zur Herstellung eigener Strukturen einladen oder aber eine klare Struktur (Fünfer, Zehner) vorgeben. Entwicklung des mathematischen Verständnisses im lerntherapeutischen Setting 3
Ungeeignet sind alle Materialien, die grössere Mengen unstrukturiert bzw. in fortlaufenden Reihen ohne Fünfermarkierung darstellen. 5 Zahlbegriffsentwicklung nach Krajewski (2007) Es können drei Ebenen der Zahlbegriffsentwicklung unterschieden werden: Ebene I Basisfertigkeiten - unpräziser Anzahlbegriff und Unterscheiden von kleinen Anzahlen (1 4 Elemente) - Vergleichen von Mengen: Wird eine Menge als viel erkannt, dann v.a. deshalb, weil die Menge viel Raum einnimmt. - Zählen als Prozedur (Erwerb der Zahlwörter) Ebene II Anzahlkonzept - Erkenntnis, dass Zahlen Mengen repräsentieren vom ungefähren Mengenvergleich zur präzisen Anzahlbestimmung - Vollständiges Verständnis der Zählprinzipien - Konzept der Zerlegbarkeit wird erarbeitet: Anzahlen lassen sich in Teile zerlegen - Mengen verändern sich durch Zu- und Abnahme Ebene III Mengenrelationen als Anzahlen - Übergang zum arithmetischen Verständnis von Zahlen - Zerlegen und Zusammensetzen von Zahlen, Zunahme und Abnahme von Mengen wird erkannt: Beziehung Teil-Ganzes (wichtige Voraussetzung für den Erwerb der Grundoperationen) Entwicklung des mathematischen Verständnisses im lerntherapeutischen Setting 4
Ebene I: Basisfertigkeiten Mengenunterschiede Zählprozedur exakte Zahlenfolge Ebene II: Anzahlkonzept Mengenrelationen Teil-Ganzes, Zu-Abnahme a) unpräzises Anzahlkonzept wenig zwei drei eins viel zwanzig acht hundert sehr viel tausend b) präzises Anzahlkonzept 1 2 3 4 5 eins zwei eins drei zwei eins vier drei zwei eins fünf vier drei zwei eins Zahlen als Anzahlen Mengenrelationen als Anzahlen Ebene III: Anzahlrelationen Zusammensetzung und Zerlegung von (An-)Zahlen 3 5 drei fünf 2 zwei Differenzen zwischen (An-)Zahlen 3 drei 2 zwei 5 fünf In: Krajewski, K./Schneider, W. (2006): Mathematische Vorläuferfertigkeiten im Vorschulalter und ihre Vorhersagekraft für die Mathematikleistungen bis zum Ende der Grundschulzeit Entwicklung des mathematischen Verständnisses im lerntherapeutischen Setting 5
6 Einige Hinweise zum Erstrechnen 6.1 Wichtige Forschungsergebnisse Verschiedene Studien weisen darauf hin, dass SchülerInnen in Regelklassen bei Schulbeginn schon beachtliche numerische Kenntnisse mitbringen. Eine Untersuchung von Moser Opitz (2002) in Einführungs- und Sonderklassen hat aufgezeigt, dass ein grosser Teil dieser Kinder bei Schulbeginn Zahlen bis 10 lesen, bis 20 oder weiter zählen (Zahlwortreihe) und Mengen bis 6 bestimmen können. In der Praxis wird hingegen häufig befürchtet, dass Kinder in der EK bzw. in Klassen für Lernbehinderte mit dem erweiterten Zahlenraum überfordert seien. Trotzdem gibt es grosse Leistungsunterschiede bzw. Heterogenität, die aufgefangen werden muss! 6.2 Mathematische Vorkenntnisse für das Erstrechnen Sicheres Zählen ist die wichtigste Voraussetzung, um einfache Rechenkenntnisse zu erwerben. Wie vorher schon erwähnt, hat das Zahlvorwissen eines Kindes einen hohen Vorhersagewert für spätere Lernschwierigkeiten im Fach Mathematik. Wichtig ist, dass das Kind frühzeitig mit Zahlen/ Zählen in Kontakt kommt und lernt, dass Zahlen stellvertretend für Mengen verwendet werden. Nach heutigen Kenntnissen sind folgende Fertigkeiten Voraussetzung fürs Erstrechnen: 1. Zählen: Zahlwortreihe sicher beherrschen, stabile Ordnung erstellen 2. Eindeutigkeitsprinzip (1:1-Zuordnung): Jedes Objekt erhält einen Namen 3. Die letztgenannte Zahl bestimmt die Grösse der Menge (Anzahl) 4. Einfache Klassifikationen nach einem Merkmal 5. Seriation Ist ein pränumerischer Bereich bei einigen SchülerInnen noch nicht ausgebildet, ist es wichtig, diesen parallel zur Arbeit mit Zahlen zu erarbeiten. Entwicklung des mathematischen Verständnisses im lerntherapeutischen Setting 6
6.3 Folgerungen für das Erstrechnen Es gibt vielleicht nicht den einen Königsweg zur Zahl, aber es gibt offensichtlich viele Möglichkeiten, das Zählen, das Rechnen und das Nachdenken über Zahlen anzuregen und zu unterstützen, wenn wir im Unterricht von Fragestellungen ausgehen, die Kinder im Vorschulalter interessieren, wenn wir ihnen helfen, sich eigenständige Arbeit mit konkreten Materialien erlauben und wenn wir ihnen helfen, sich auch die Welt der Zahl auf die spielerische Art und Weise zu erschliessen, die kennzeichnend für Kinder ist. Wember 2003, 63 a) Numerische Vorkenntnisse im Kindergarten/bei Schulbeginn erfassen Diagnostische Materialien - Moser Opitz, E.; Schmassmann, M. (2000): Lernstandserfassung mit dem Goldstückspiel. In: Heilpädagogischer Kommentar zum Zahlenbuch 1. Zug: Klett und Balmer. einzeln oder in Kleingruppe, qualitative Beobachtungen bzgl. pränumerischer und numerischer Kompetenzen möglich - Van Luit, J.E.H.; van de RiJt, B.A.M.; Hasemann, K. (2001): Osnabrücker Test zur Zahlbegriffsentwicklung. Hogrefe (OTZ) standardisiertes Einzelverfahren, Erfassung pränumerischer Kompetenzen + Zählkompetenzen b) Numerische Kompetenzen im Vorschulbereich fördern Kinder an die Welt der Zahlen heran führen, sie mit ihnen entdecken. Mathematische Muster und Inhalte entdecken, besprechen in bzw. mit: - Alltagssituationen - Bilderbüchern - guten Lehrmitteln (siehe unten) Ungeeignetes Material: Das Zahlenland Geeignete Materialien - Keller, B. u.a. (2006): Kinder begegnen Mathematik. Lehrmittelverlag Zürich - Krajewski, K.; Nieding, G.; Schneider, W. (2007): Mengen, zählen, Zahlen. Die Welt der Mathematik verstehen. MZZ. Berlin: Cornelsen - Wittmann, E.Ch.; Müller, G.N.: Das kleine Zahlbuch. Mathematik für 4-7jährige Kinder. Band 1: Spielen und Zählen. Kallmeyer. ISBN: 3-7800-5237-7 & Band 2: Schauen und Zählen. Kallmeyer. I Band 2: ISBN: 3-7800-5239-3 - Wittmann, E.Ch.; Müller, G.N. Das kleine Formenbuch. Mathematik für 4-7jährige Kinder. Band 1: Legen Bauen Spielen. Band 1: Kallmeyer. I Band 2: 978-3-7800-3318-5 & Band 2: Falten - bauen - zeichnen. Kallmeyer. ISBN-13: 978-3-7800-3319-2 - Das Zahlenbuch für die Frühförderung: Spielebuch 1 und 2; Malheft 1 und 2, Zahlenmatten 1-20; Schachtel mit Handlungsmaterial; Begleitband mit CD Entwicklung des mathematischen Verständnisses im lerntherapeutischen Setting 7
c) Zählkompetenzen fördern! insbesondere die Förderung von anderssprachigen SchülerInnen beachten verbales Zählen: - vorwärts / rückwärts / in Schritten - von verschiedenen Startzahlen aus - ohne Einschränkung des Zahlenraumes - mit und ohne Zählhandlungen - Zählaufgaben Achtung: Das Verbinden von Zählen und Bewegung (zb Klatschen,...) ist eher eine Herausforderung als eine Hilfe Zählen von Objekten: - Objekte zählen und sortieren - Wie viele sind es? in für Kinder interessanten Situationen - auch grosse Anzahlen von verschiedenen Gegenständen zählen lassen - Ideen: Zählecke, Zähltisch, Zählbilder mit reizvollem Material, Zählprotokolle, Zählplakate, Zählbuch Nicht mit dem Zahlenrechnen warten bis Zahlbegriffsbildung abgeschlossen ist (vielmehr mit rechnerischen Umgang mit Zahlen die Zahlbegriffsbildung fördern). Mit all diesen Aktivitäten wird das präzise Anzahlkonzept (vgl. Konzept Krajewski 2007) erarbeitet. Literatur - Fuson, K. (1988): Childrens Counting and Concepts of Number. Berlin/Heidelberg/Tokio - Krajewski, K (2003): Vorhersage von Rechenschwäche in der Grundschule. Hamburg. Verlag Dr. Kovac - Krajewski, K./Schneider, W. (2006): Mathematische Vorläuferfertigkeiten im Vorschulalter und ihre Vorhersagekraft für die Mathematikleistungen bis zum Ende der Grundschulzeit. In: Psychologie in Erziehung und Unterricht, 53, 246-262. - Krajewski, K. (2007): Vorschulische Förderung mathematischer Kompetenzen. In: Petermann, F./ Schneider, W. (Hrsg.): Enzyklopädie der Psychologie. Reihe Entwicklungspsychologie, Bd. Angewandte Entwicklungspsycholodie. Göttingen: Hogrefe, 275-304 - Krauthausen, G.; Scherer, P. (2003 7 ): Einführung in die Mathematikdidaktik. München: Spektrum - Moser Opitz, E. (2002): Entdecken des Zahlenraums in Klasse 1 mit dem Goldstückspiel. In: Grundschulunterricht 6, 8-11. - Moser Opitz, E. (2002 2 ): Zählen, Zahlbegriff, Rechnen. Theoretische Grundlagen und eine empirische Untersuchung zum mathematischen Erstunterricht in Sonderklassen. Bern/Stuttgart/Wien: Haupt - Moser-Opitz, E.; Schmassmann, M.: Heilpädagogischer Kommentar zum Zahlenbuch 1. Hinweise zur Arbeit mit Kinder mit mathematischen Lernschwierigkeiten. Zug: Klett - Scherer, P./Moser Opitz E. (2010): Fördern im Mathematikunterricht der Primarstufe: Heidelberg: Spektrum - Wember, F.B. (2003): Die Entwicklung des Zahlbegriffs aus psychologischer Sicht. In: Fritz, A.; Ricken, G.; Schmidt, S. (Hrsg.): Rechenschwäche. Lernwege, Schwierigkeiten und Hilfen bei Dyskalkulie. Weinheim/Basel/Berlin: Beltz Entwicklung des mathematischen Verständnisses im lerntherapeutischen Setting 8