Dezimalsystem Verschiedene Aspekte des Zahlenraums

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1 Dezimalsystem Verschiedene Aspekte des Zahlenraums Warum ist das dezimale Stellenwertsystem so wichtig? Das Dezimalsystem ist systematisch, effizient und logisch aufgebaut, jede Zahl (bis ins Unendliche) kann dargestellt werden. Die Einsicht in die dezimale Struktur des Tausenderraumes ist Voraussetzung für das Verständnis des Zahlensystems allgemein und um die Grundoperationen auf grössere Zahlen übertragen zu können. (Scherer/Moser Opitz 2010, 129) Das Dezimalsystem ist eine zentrale mathematische Grundidee und deshalb auch wichtiger Lernstoff in der Primarschule. Verschiedene Forschungsergebnisse zeigen, dass viele lernschwache SchülerInnen Ende Primarschule und in der Sekundarstufe das Dezimalsystem nicht oder nur unzureichend verstanden haben und dass dieselben SchülerInnen Mühe mit arithmetischen Lernprozessen haben. Mögliche Schwierigkeiten mit dem Dezimalsystem - Zahlen werden auf Ziffernebene wahrgenommen, keine Vorstellung der Grösse bzw. der Anzahl oder des Stellenwerts - Stellenwertfehler, z.b =120 oder 180 : 60 = Nicht verstehen von konventionellen Darstellungen (Zahlenstrahl, Hundertertafel; z.t. aufgrund von Raumorientierungsschwierigkeiten, aber auch didaktogene Ursachen) - Mühe mit Bündeln, Entbündeln - Probleme beim Rückwärtszählen, z.b. in 10er Schritten - Vertauschen des Stellenwertes beim Lesen und Schreiben, z.b. 234 als 243 (kann allerdings auch an der Aussprache der deutschen Zahlwörter oder an Raumorientierungsschwierigkeiten liegen) 1

2 Wichtige Aspekte Dezimalsystem Das Prinzip des Bündelns und der Stellenwertschreibweise Mathematische Voraussetzungen - Zahlenraum bis 20: Zählen, Zahlen lesen und schreiben, evtl. sichere Anzahlerfassung - Zahlenraum bis 100: Mit Zahlen aus dem Alltag vertraut sein Die Entwicklung des Verständnisses für Bündelung und Stellenwert ist ein Prozess, der (...) im 4. Schuljahr sicher noch nicht abgeschlossen ist. Radatz 1998, 26 Wichtige Aspekte: - Kategorien kennen - Bündelungsprinzip: Bündeln und Entbündeln - Kategorien aufbrechen Das Stellenwertprinzip betrifft die Notation der Bündelungsergebnisse. Jede Ziffer liefert dabei Informationen über die Anzahl der Bündel, hat aber gleichzeitig auch einen Stellenwert. (Scherer/Moser Opitz 2010, 133) 2

3 Zahlenraumaspekte Zwanziger-/ Hunderterfeld/ Tausenderbuch Mathematische Voraussetzungen (Bsp. Hunderterfeld) - Zehnerzahlen: Mit der Zehnerbündelung und Schreibweise der Zahlen vertraut sein - Sicherer Umgang mit Zwanzigerfeld Zahlenreihe (Zwanziger-, Hunderter-, Tausenderreihe) Mathematische Voraussetzungen für den Hunderterraum: - Prinzip Nachbarzahlen kennen; -1 bedeutet die Zahl vorher, +1 bedeutet die Zahl nachher; - Zahlen bis 100 lesen und schreiben - Zählen: Zahlwortreihe bis 100 3

4 Zahlenstrahl Mathematische Voraussetzungen - Zahlen bis 100 lesen und schreiben - Aufbau der Hunderterreihe verstanden ti Hunderterreihge verstanden Die sichere Kenntnis des Zahlenstrahls ist Voraussetzung, um abmessen zu können. Die Erarbeitung des Zahlenstrahls ist anspruchvoll und braucht viel Zeit. Erarbeitung ausgehend von der Hunderterkette. Zwanziger-/ Hundertertafel/ Tausenderbuch Mathematische Voraussetzungen (Bsp. Hunderterfeld) - Zahlen bis 100: lesen, schreiben und auf dem Hunderterfeld darstellen, erfassen - Zahlwortreihe bis Kenntnis der Zahlenreihe bis 100 4

5 Stellentafel Mathematische Voraussetzungen: - Zahlaufbau (Bündelungsprinzip) verstanden - Kenntnis der zentralen Veranschaulichungen zum Dezimalsystem - Zusammenhang der dezimalen Einheiten im Aufbau T H Z E Verbindung der Aspekte / Koordinierungsübungen Indem das Dienes-Material in die Stellenwerttafel gelegt, im Heft das Gelegte gezeichnet und daneben in Zahlen geschrieben wird, können konkrete Handlung, ikonische Darstellung und symbolische Darstellung miteinander verknüpft werden. Montessori-Zahlenkarten vermitteln Einsicht in die Systematik der Stellenwertschreibweise. Es ist wichtig, dass die SchülerInnen mit den verschiedenen Darstellungen vertraut werden, diese verstehen lernen. Sie sollen angeregt werden, die verschiednen Darstellungsformen zu vernetzen und flexibel einzusetzen. So können sie Einsicht ins dezimale Stellenwertsystem erwerben. Was heisst ganzheitliche Zahlenraumerweiterung? Den Zahlenraum grundsätzlich ganzheitlich und nicht kleinschrittig erarbeiten. Die Grundidee der dezimalen Struktur wird erst im Zahlenraum bis 1000 richtig sichtbar. Erst wenn zehn Hunderter zu einem Tausender bebündelt werden, findet eine Bündelung dritter Ordnung statt, und das Prinzip der fortgesetzten Bündelung wird deutlich. (Scherer/Moser Opitz 2010, 140) 5

6 Dezimalsystem und Orientierung im Zahlenraum überprüfen vgl. Heilpädagogische Kommentare zu den Zahlenbüchern 1 6 Ende 1. Schuljahr Zahlenreihe richtig anordnen können, fehlende od. verdeckte Zahlen richtig einsetzen zählen rückwärts von 20 bis 1 zählen vorwärts in Zweierschritten ab 5 Ende 2. Schuljahr Zahlen am Hunderterstrahl richtig ordnen/ mit ungefähr richtigen Abständen einzeichnen können zählen vorwärts in Zweierschritten ab 73/ zählen rückwärts in Einerschritten ab 92 leere Hundertertafel mit einigen Orientierungszahlen: ca. 4 gesuchte Zahlen richtig eintragen Mengen an Hunderterpunktfeld erfassen bündeln: Bsp. Wie viele Zehnerpäckchen könntest du von 57 Punkten machen? Ende 3. Schuljahr Zahlenstrahl bis 1000: Zahlen richtig zuordnen/ mit ungefähr richtigen Abständen einzeichnen können Stellentafel: H Z E Einheiten richtig eintragen, bündeln vornehmen, wenn nötig bündeln: Bsp. Wie viele Zehnerpäckchen könntest du von 57 Punkten machen? Stufensubtraktionen: / / zählen vorwärts in Zweierschritten ab 187/ zählen rückwärts in Zehnerschritten ab 124 Ab Ende 4. Schuljahr Zahlenstrahl bis 10'000 (1'000'000): Zahlen richtig zuordnen/ mit ungefähr richtigen Abständen einzeichnen können Stellentafel: ZT T H Z E Einheiten richtig eintragen, bündeln vornehmen, wenn nötig Bsp. 3T, 14H, 8Z, 7E 5ZT, 27T, 7Z, 15E bündeln: Bsp. Wie viele Zehnerpäckchen könntest du von 57 Punkten machen? Stufensubtraktionen: / / / 10' / / / 100' zählen vorwärts in Zweierschritten ab 187/ zählen rückwärts in Zehnerschritten ab 124 6

7 Grundsätzliches: 1. Intensive Arbeit mit Material und Veranschaulichungen zum Zahlenraum 2. Handlungen in Worte fassen, immer wieder auffordern, sich eine Aufgabe/Menge vorzustellen 3. zählen immer wieder und auf allen Stufen! 1er-, 2er-, 5er-, und 10er-Schritten vorwärts, später rückwärts; zuerst am Material (Zahlenreihe, -strahl, Hunderterkette, -tafel), später ohne visuelle Hilfe Material und Veranschaulichungen: 1. Schuljahr Zahlenreihe Zwanzigerfeld (aus Holz od. Karton mit festen Wendeplättchen) 3. Schuljahr Dienes-Material (1000er Grundset) Stellentafel (gross) Hunderterketten Tausenderstrahl Rechenstrich Zahlenkarten (Montessori) 2. Schuljahr Hunderterfeld (Hunderterrahmen aus Holz) Hundertertafel Hunderterkette (mit Zehnerfresser) Zahlenreihe Hunderterstrahl ev. Dienes-Material (100er Grundset) Zahlenkarten (Montessori) Rechenstrich Ab 4. Schuljahr Dienes-Material (1000er Grundset) ev. Markenspiel (Montessori) Kubikmeter (1 Mio) Stellentafel (gross) Zahlenstrahl, Rechenstrich Zahlenkarten (Montessori) Literatur: - Krauthausen, G; Scherer, P. ( ): Einführung in die Mathematikdidaktik. Spektrum - Moser Opitz, E.; Schmassmann, M. ( ): Heilpädagogische Kommentare 1 bis 6 - Radatz, H. u.a. (1998): Handbuch für den Mathematikunterricht. 2. Schuljahr. Anregungen für die Unterrichtspraxis. Hannover - Scherer, P.; Moser Opitz E. (2010): Fördern im Mathematikunterricht der Primarstufe. Spektrum - Schipper, W. u.a. (2000): Handbuch für den Mathematikunterricht. 4. Schuljahr. Anregungen für die Unterrichtspraxis. Hannover 7