Kriterien zur Beurteilung von Arbeitsmitteln (nach Radatz et al., 1996) (1)

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1 Kriterien zur Beurteilung von Arbeitsmitteln (nach Radatz et al., 1996) (1) Didaktische Kriterien: (D1) Erlaubt das Material simultane Zahlauffassung und -darstellung bis 4? (D2) Erlaubt das Material quasi-simultane Zahlauffassung und -darstellung bis 10 bzw. 20? (D3) Erlaubt das Material Handlungen, die an das kindliche Verständnis für die mathematischen Operationen Addieren und Subtrahieren, Verdoppeln und Halbieren, Zerlegen und Zusammensetzen von Zahlen anknüpfen und dieses Verständnis weiter entwickeln, stabilisieren und erweitern? (D4) Ist die Übersetzung der Handlungen in Bilder und Symbole auch für Kinder leicht möglich? (D5) Erlaubt das Material zählendes Rechnen? (D6) Unterstützt das Material die Ablösung vom zählenden Rechnen? (D7) Erlaubt das Material Handlungen, die heuristische bzw. operative Strategien des Rechnens im Zahlenraum bis 20 entwickeln helfen? (D8) Erlaubt das Material den Kindern die Entwicklung vielfältiger individueller Lösungswege für Rechenaufgaben? (D9) Gibt es zu dem im Zahlenraum bis 20 eingesetzten Material strukturgleiche Fortsetzungen ifür das Rechnen im Zahlenraum bis 100? (D10) Kann das Material auch für andere Unterrichtsinhalte genutzt werden?

2 Kriterien zur Beurteilung von Arbeitsmitteln (nach Radatz et al., 1996) (2) Unterrichtspraktische Kriterien: (P1) Ist das Material für Kinder leicht handhabbar? (P2) Kann das Material auch von Erstklässlern schnell bereitgestellt und geordnet wieder weggeräumt werden? (P3) Ist das Material haltbar? (P4) Gibt es zu dem Schülermaterial passendes Demonstrationsmaterial? Weitere Kriterien: (Ä) Ist das Material aus Naturprodukten hergestellt? (F) Ist das Material seinen Preis wert?

3 Welche Zahlaspekte werden bei folgenden Veranschaulichungsmitteln besonders betont? Veranschaulichungsmittel betonte Zahlaspekte Rechenrahmen Rechenstrich Hundertertafel Rechenkette Rechengeld Mehrsystemblöcke (Dienes-Material)

4 Erläuterungen: (D1) Zahlauffassung ist Fähigkeit, einer vorgegebenen Anzahl von Objekten ihre (Kardinal-) Zahl zuordnen zu können. Zahldarstellung ist die Fähigkeit, einer als Zahlwort oder symbolisch als Ziffer vorgegebenen Zahl eine entsprechende Anzahl von Objekten zuordnen zu können. (D2) Quasi-simultane Zahlauffassung heißt, dass z.b. die Zahl 7 durch den optisch prägnanten Fünfer und durch Simultanerfassung der restlichen Anzahl (hier 2) erkannt wird. (D3) Addieren: Hinzufügen, Hinzukommen, Zusammenlegen, Weiterzählen, Zusammensetzen, Subtrahieren: Wegnehmen, Abtrennen, Zurückzählen, Aufessen, Verdoppeln: die gleiche Anzahl noch einmal legen, Halbieren: eine Anzahl (Apfel, Bonbons, Perlen, ) an zwei Personen verteilen, Zerlegen von Zahlen: aus einer Anzahl von Objekten zwei Gruppen bilden (D4) in Bildern dargestellte Handlungen aus (D3) (D7/D8) Heuristische bzw. operative Strategien des Rechnens sind Strategien des Zerlegens und Zusammensetzens, des Verdoppelns und Halbierens, des gegensinnigen Veränderns von Summanden oder des gleichsinnigen Veränderns von Minuend und Subtrahend.

5 Zusammenfassung: Didaktische Anforderungen Arbeitsmittel für den mathematischen Anfangsunterricht sollen... Grundvorstellungen für mathematische Lerninhalte entwickeln helfen, eine Konzeption haben, die auf Erkenntnissen über kindliche Lernprozesse und deren Weiterführung basiert, Handlungen auf unterschiedlichem Niveau (zählende und heuristische Strategien) ermöglichen, keine Rechenhilfsmittel, sondern Lernhilfsmittel sein, d.h. nicht die Lösung einzelner Additions- und Subtraktionsaufgaben mechanisieren, sondern den Prozess des Erlernens von Addition und Subtraktion im Sinne der Entwicklung von Rechenstrategien stützen, die Kinder vom zählenden Rechnen hin zu anspruchsvolleren, operativen Strategien (z.b. des Halbierens und Verdoppelns, des Zerlegens und Zusammensetzens usw.) führen.

6 Probleme: 1. Es gibt zu viele Materialien, die aus kommerziellen Gründen in Konkurrenz zueinander stehen. (LORENZ) 2. Manche Materialien sind an bestimmte Schulbücher bzw. didaktische Konzepte gebunden (z.b. CUISENAIRE- Stäbe), andere sind verbreitet und lehrbuch- /lehrgangsunabhängig. 3. Das Material bestimmt nicht, was das Kind darin sieht, worauf es seine Aufmerksamkeit richtet; es ändert nicht das Denken des Kindes, sondern es ist nur mehr oder weniger gut geeignet, die Reflexion des Kindes zu unterstützen. Die Handlung ersetzt nicht das Nachdenken über die Handlung. 4. Jedes Veranschaulichungsmittel und die Regeln seiner Verwendung müssen neu gelernt werden, sie stellen einen eigenen Unterrichtsgegenstand dar. 5. Was für ein Material gilt, muss für das nächste nicht mehr stimmen (z.b. Springen am Rechenstrich, Springen auf der Hundertertafel) 6. Für Kinder ist es schwer, die mathematische Gleichwertigkeit der Veranschaulichungsmittel zu erkennen 7. Kinder mit Links-Rechts-Störung können besondere Probleme mit einzelnen Materialien haben, an denen Rechnen Bewegen in eine bestimmte Richtung bedeutet

7 LORENZ: Es besteht aber bei uns in der Didaktik dieser Glaube, die Kinder müssten nur lange genug mit dem Material, welchem auch immer, hantiert haben und dann ist die Struktur automatisch im Kopf. Sie ist es aber nicht, wie wir dann immer wieder feststellen. Die Kinder haben die Struktur nicht erkannt, auch wenn sie über mehrere Jahre mit einem Material umgehen, sei es nun die Hundertertafel, Blöcke, Klötze oder sonstiges. Strukturen sind etwas, was das Kind eigentätig im Kopf entwickeln muss. Sie sind nichts, was es wahrnehmen kann; Strukturen sind etwas Begriffliches, sie sind vom Kind zu entwickeln. Das Material ist dann gut, wenn es diesen Prozess, diese Aktivität des Kindes unterstützt und nicht nur auf einer sehr konkreten, manipulativen Ebene bleibt. Dann entstehen keine Strukturen. aus: LORENZ, J.H.: Den Blick des Lehrers auf das Denken der Kinder richten ; Interview, z.b. unter [ ]

8 Konsequenzen: 1. Die Verwendung von zu viel verschiedenen Veranschaulichungen und Veranschaulichungsmitteln kann Ursache für Lernschwierigkeiten sein. 2. Es gibt kein optimales Veranschaulichungsmittel, alle haben Vor- und Nachteile. Empfehlenswert sind aber auf jeden Fall Materialien mit einer deutlichen Fünfer- und Zehner-Struktur. 3. Die kindliche Reflexion muss durch verschiedene Maßnahmen beim Umgang mit Material angeregt werden: Abbruch einer Handlung, Durchführung einer verdeckten Handlung, Frage nach einer möglichen Handlung usw.

9 Lernpsychologische Hintergründe: Kindliche Anschauung und Veranschaulichungsmittel 1. Wahrnehmung und Vorstellung sind aktive Prozesse, beide werden konstruiert. Die Vorstellung entwickelt sich auf der Grundlage von Handlungen (die ihrerseits auch vorgestellt sein können!) 2. Die Vorstellung (Repräsentation) von arithmetischen Operationen ist die bildhafte Form des Wissens um das Objekt oder den Sachverhalt, nicht das visuelle Abbild. Diese Bilder sind das Denkmedium der Grundschüler. 3. Das Veranschaulichungsmittel unterstützt die Vorstellungsbilder der Kinder, kann sie aber nicht bestimmen. 4. Die Veranschaulichungsmittel besitzen nicht die mathematische Struktur, sie ist nicht am Material ablesbar (das ist eben nur rot oder blau usw.). 5. Damit es zu mathematischen Repräsentationen kommt, bedarf es der Eigenkonstruktion der Kinder. Das Kind muss seine Aufmerksamkeit auf die quantitativen Aspekte des Materials und die quantitativen Veränderungen während des Handlungsablaufes richten. 6. Die Entwicklung von Vorstellungsbildern muss von der Lehrerin angeleitet und kontrolliert werden (z.b. durch abgebrochene oder verdeckte Handlungen).

10 Beispiel: Die Hunderter-Tafel Vorteile: neben linearen Zahldarstellungen (Zahlenstrahl, Rechenstrich) zentrales Arbeitsmittel im Arithmetikunterricht des 2. Schuljahres einprägsame Darstellung der dezimalen Struktur unseres Zahlensystems (genauer: Zahldarstellungssystems) Strukturierungen auf der Basis des Zahlsystems (5er- Reihe, gerade/ungerade Zahlen usw.) leicht erkennbar Addition und Subtraktion lassen analog dem (halb-) schriftlichen Rechnen als waagerechte und senkrechte Wege in der Tafel darstellen Gefahren: Unerlässliche Voraussetzung: Zahlenraum bis 100 muss (im Kopf des Kindes) strukturiert und angeordnet sein, sonst führen Nachbarschaften auf der Hunderter-Tafel zu Ähnlichkeitsinterferenzen. Operationsverständnis für Addition und Subtraktion muss vollständig ausgereift sein. Addition und Subtraktion über waagerechte und senkrechte Wege auf der Tafel findet auf der symbolischen Ebene statt, die zugrunde liegende Vorstellung der Rechenoperation spielt keine Rolle mehr Ablösung vom zählenden Rechnen wird durch die Tafel nicht unterstützt, daher diesbezüglich anderweitige Maßnahmen erforderlich Ziel: Erzeugung einer Hunderter-Tafel im Kopf des Kindes, also eines mentalen Modells des durch das Zehnersystem strukturierten Zahlenraums