Be math. Berner creening Mathematik. Manual. Screening zum Erfassen von Schülerinnen und Schülern mit schwachen Mathematikleistungen

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1 Be math Berner creening Mathematik s Screening zum Erfassen von Schülerinnen und Schülern mit schwachen Mathematikleistungen Manual Elisabeth Moser Opitz Daniela Berger Lis Reusser Erziehungsdirektion des Kantons Bern Direction de l instruction publique du canton de Berne

2 Screening zum Erfassen von Schülerinnen und Schülern mit schwachen Mathematikleistungen Im Auftrag der Erziehungsdirektion des Kantons Bern haben Frau Elisabeth Moser Opitz, Frau Daniela Berger und Frau Lis Reusser Erfassungsinstrumente für Schülerinnen und Schüler mit schwachen Mathematikleistungen entwickelt. Die Instrumente entstanden in Zusammenarbeit mit Lehrpersonen und mit Fachpersonen der Erziehungsberatung. Das Screening bietet Entscheidungsgrundlagen für eine Zuweisung zu besonderen Fördermassnahmen oder für eine besondere Beurteilung (reduzierte individuelle Lernziele). Das Screening ist ein Einzeltest und kann nicht mit Gruppen oder ganzen Klassen durchgeführt werden. Es sollte grundsätzlich von Fachpersonen durchgeführt werden (Lehrpersonen für Spezialunterricht, Heilpädagoginnen und Heilpädagogen, Schulpsychologinnen und Schulpsychologen), welche für Abklärungen oder fachspezifische Beurteilungen zuständig sind. Damit der Test zu zuverlässigen Ergebnissen führt, ist es wichtig, dass die Durchführung strikt gemäss den Anweisungen erfolgt und die Testinstruktionen wörtlich übernommen werden. Den Schülerinnen und Schülern dürfen nur die vorgeschlagenen Hilfestellungen gegeben werden. Es wurden Testaufgaben für das 1., 2. und 3. Schuljahr entwickelt und erprobt. Die Schülerinnen und Schüler sollten bei der Testung den Schulstoff des entsprechenden Schuljahres vollständig erarbeitet haben. In der Regel sind sie mit dem Test des nächstunteren Schuljahres zu prüfen. Zu den drei Schuljahren liegen die folgenden Unterlagen vor: - Das Testheft enthält die Aufgaben für die Schülerinnen und Schüler. - Das Manual gibt Hinweise für den Einsatz des Diagnoseinstruments. Es enthält weiter eine Beschreibung der Testaufgaben und Auswertungsbeispiele sowie Angaben über die Validierung der Aufgaben. - Der Bewertungs- und Protokollbogen umfasst detaillierte Anweisungen für die Durchführung und Auswertung des Tests sowie Auswertungstabellen. Grafische Bearbeitung und Illustrationen Barbara Znoj Manurung

3 1 Mathematikleistungen Diagnostizieren: Zielsetzungen des screenings 1 Mathematikleistungen diagnostizieren: Zielsetzung des Screenings Die Diagnose von schwachen Mathematikleistungen bzw. von Rechenstörungen oder Rechenschwäche ist kein einfaches Unterfangen. In der Regel wird vorgeschlagen, zum Erfassen von Schülerinnen und Schülern mit unterdurchschnittlichen Mathematikleistungen einen standardisierten Schulleistungstest und einen IQ-Test zu verwenden (Jacobs & Petermann 2005, 72). Ein solches Vorgehen beinhaltet jedoch Schwierigkeiten. Zum einen wird die Zuverlässigkeit des IQ-Kriteriums von verschiedenen Seiten her in Frage gestellt (z.b. Francis u.a. 2005). Zum anderen sind die vorliegenden Schulleistungstests so konzipiert, dass zwar eine Aussage gemacht werden kann über die Leistungen einer einzelnen Schülerin bzw. eines einzelnen Schülers im Vergleich zur Alterspopulation. Die Testergebnisse geben jedoch in der Regel keine Auskunft über spezifische Schwierigkeiten und fehlende Kompetenzen oder nur in einer sehr allgemeinen Form. Damit fehlen auch die Förderhinweise. Dies hängt u.a. damit zusammen, dass die vorliegenden Tests oft in erster Linie Rechenfertigkeiten testen und weniger mathematisches Verständnis. Dazu kommt, dass die vorhandenen Tests in Deutschland standardisiert wurden (mit Ausnahme der neuropsychologischen Testbatterie ZAREKI) und daher nicht ohne weiteres auf Schweizer Verhältnisse übertragen werden können. In letzter Zeit wird immer wieder die Forderung laut, dass Instrumente zu entwickeln seien, die Fertigkeiten und Fähigkeiten überprüfen, welche Nadelöhre für die mathematische Wissensaneignung darstellen (Moser Opitz 2006; Fritz & Ricken 2005, 6). Solche Instrumente liegen bisher vor allem als qualitative Lernstandserfassungen vor. Diese können wohl sehr differenzierte Hinweise über den Lernstand einer Schülerin bzw. eines Schülers in bestimmten Bereichen geben. Aufgrund der theoretischen bzw. fachlichen Grundlagen, auf denen die Instrumente beruhen, können Förderhinweise abgeleitet werden. Die Verfahren beinhalten aber auch Nachteile. Zum einen ist deren Durchführung oft zeitaufwändig; die zeitlichen Ressourcen von Lehrpersonen und Förderlehrpersonen lassen es in der Regel nicht zu, dass während zwei bis drei Lektionen eine Erfassung durchgeführt wird, nur um zu entscheiden, ob weitergehende Massnahmen nötig sind. Zum anderen sind die Testaufgaben nicht empirisch erprobt, und die Entscheidung, ob eine Schülerin bzw. ein Schüler als rechenschwach oder nicht bezeichnet wird, bleibt dem Urteil der Person überlassen, die die Erfassung durchführt. Im Auftrag der Erziehungsdirektion des Kantons Bern wurde deshalb ein Screening für das dritte Schuljahr entwickelt und validiert, welches es erlauben soll, schwache Mathematikleistungen zuverlässiger und ökonomischer zu erfassen. Die Durchführung dauert je nach Kompetenzen einer Schülerin bzw. eines Schülers zwischen 40 und 45 Minuten. Grundsätzlich wird ein zweistufiges Diagnoseverfahren vorgeschlagen. Dieses besteht a) aus dem Screening und b) aus einer ausführlichen, qualitativ ausgerichteten Lernstandserfassung, mit welcher im Anschluss an das Screening spezifische Schwierigkeiten festgestellt werden können und eine Förderung geplant werden kann (vgl. Abb. 1): 3

4 2 Zur Konstruktion des InstrumentS Abb. 1: Zweistufiges Diagnoseverfahren Leistungen liegen im kritischen Bereich Qualitative Lernstandserfassung (z.b. Scherer 1999, 2003, 2005; Moser Opitz & Schmassmann 2002, 2003, 2004, 2005; Ganser 2005) und besondere Förderung Schülerin, Schüler fällt im Unterricht auf durch Schwierigkeiten beim Mathematiklernen Durchführung Screening Leistungen liegen knapp über dem kritischen Bereich Besondere Beobachtung im Unterricht, evtl. Aufarbeitung einzelner stofflicher Lücken; evtl. erneute Durchführung des Screenings nach einigen Monaten Leistungen liegen nicht im kritischen Bereich keine besonderen Massnahmen 2 Zur Konstruktion des Instruments 2. 1 Aufgabenauswahl und Vorgehen Beim vorliegenden Instrument handelt es sich um ein Screening, also um ein Sichtungsverfahren, welches es erlauben soll, Schülerinnen und Schüler mit deutlich unterdurchschnittlichen Mathematikleistungen zu erfassen. Damit stellen sich andere Konstruktionsanforderungen als an einen traditionellen Leistungstest. Es wurden folgende Zielsetzungen verfolgt: 1. Das Instrument soll in erster Linie einfache Aufgaben enthalten, um im unteren Leistungsbereich zu differenzieren. 2. Das Instrument soll Aufgaben enthalten, welche gut trennen zwischen Schülerinnen und Schülern mit schwachen und solchen mit guten Leistungen. 3. Das Instrument soll Aufgaben enthalten, welche zentrale Bereiche des mathematischen Verständnisses überprüfen. Für das Instrument wurden aufgrund von fachlichen und fachdidaktischen Kriterien Aufgaben ausgewählt, von welchen aufgrund empirischer Ergebnisse bekannt ist, dass sie für den Aufbau weiterer mathematischer Kompetenzen zentral sind. Dies sind für das dritte Schuljahr insbesondere Aufgaben zum Zählen, zum Dezimalsystem und zur Division (vgl. Moser Opitz 2006 und 2007; Schäfer 2005; Hiebert & Wearne 1996). Zudem wurden auch Aufgaben aufgenommen, welche dem Lernstoff des zweiten Schuljahres entsprechen. Die gewählten Zahlenbeispiele entsprechen häufig so genannten Kernaufgaben, d. h. einfachen Aufgaben mit Zehner- oder Hunderterzahlen, welche die Grundlage bilden für das Ableiten von schwierigeren Aufgaben. Zugleich ermöglichen es diese Zahlenbeispiele, das Verständnis des Dezimalsystems zu überprüfen. Das Screening ist für die Einzelsituation bzw. die Arbeit mit einer Kleingruppe vorgesehen. Aus ökonomischen Gründen wurden die Aufgaben je- 4

5 2 Zur Konstruktion des InstrumentS doch mit ganzen Schulklassen erprobt. Eine erste Testversion wurde 130 Schülerinnen und Schülern am Ende des dritten Schuljahres vorgelegt. Nach einer ersten Itemanalyse wurde das Instrument überarbeitet, und die Aufgaben wurden von 250 Schülerinnen und Schülern aus 16 Schulklassen des Kantons Bern (Regelklassen und Klassen für Lernbehinderte) zu Beginn des vierten Schuljahres gelöst. Die nachstehenden Informationen zu den Testgütemerkmalen beziehen sich auf diese zweite Stichprobe. Um möglichst genaue Angaben zu erhalten, welche Aufgaben zuverlässig von schwachen und welche von guten Schülerinnen und Schülern gelöst wurden, wurden neben traditionellen Itemanalysen (Schwierigkeitsindex, Trennschärfe, Reliabilität) auch das Raschmodell und das Partial-Credit-Modell 1 (vgl. Bond 2001, 88ff.) verwendet. Anforderungs- und Aufgabenmerkmale aufweisen. Für eine solche Unterteilung werden somit sowohl qualitative Überlegungen (theoretisch-inhaltlich begründet) als auch quantitative Kriterien (Aufgabenschwierigkeit) beachtet (Rupp u.a. 2006, 207). Es muss jedoch bedacht werden, dass ein solches Vorgehen insbesondere die dabei vorgenommene Setzung von Intervallen beim Festlegen der Niveaus immer auch eine gewisse Willkür beinhaltet (vgl. Rost 2004). Es ergaben sich zwei Niveaus (vgl. Tab. 1), die Anforderungen enthalten, welche sich theoretisch bzw. fachlich unterscheiden lassen. Ein niveau gilt als erreicht, wenn eine Schülerin bzw. ein Schüler mindestens 50% der zum Niveau gehörenden Aufgaben richtig gelöst hat. 2.2 Testgütemerkmale In Tabelle 1 sind die Testgütemerkmale (Lösungshäufigkeit, Trennschärfe, Schwierigkeit in Logits, Schätzfehler sowie Itemfit) der Aufgaben, welche für das definitive Instrument beibehalten wurden, dargestellt. Es wurden nur diejenigen Items ausgewählt, welche a) eine befriedigende Trennschärfe und b) einen akzeptablen Itemfit aufwiesen. Der Reliabilitätskoeffizient beträgt.84 und kann als befriedigend bezeichnet werden. Die Items wurden anschliessend nach der Aufgabenschwierigkeit geordnet, und es wurden Kompetenzniveaus bestimmt. Dabei handelt es sich um Gruppen von Aufgaben, welche gemeinsame 1 Mit diesen Modellen wird einerseits ein Personenparameter (die Fähigkeit der Schülerinnen und Schüler) und andererseits ein Itemparameter (die Schwierigkeit der Aufgaben) geschätzt. Die Itemschwierigkeit wird in Logits geschätzt, für die durchschnittliche Itemschwierigkeit wird der Wert Null gewählt. Ein Wert nahe bei Null liegt somit nahe beim Mittelwert, ein hoher positiver Wert deutet auf ein einfaches Item, ein hoher negativer Wert auf ein schwieriges Item hin (Bond 2001, 33). Mit den gewählten Modellen wird die Wahrscheinlichkeit geschätzt, mit der Personen mit einer bestimmten Kompetenz bzw. mit einem bestimmten Fähigkeitsprofil eine bestimmte Aufgabe lösen können (Bond & Fox 2001, 20 ff.). Es werden Aussagen möglich wie: Eine Schülerin mit einem durchschnittlichen Fähigkeitsprofil kann ein Item mit mittlerem Schwierigkeitsgrad mit einer Wahrscheinlichkeit von 50 % lösen. Ein um ein Logit einfacheres Item kann mit einer Wahrscheinlichkeit von 75 % gelöst werden; ein Item, das ein Logit schwieriger ist, mit einer Wahrscheinlichkeit von 25 %. 5

6 2 Zur Konstruktion des InstrumentS Tab. 1: Testgütemerkmale BeSMath 3 geordnet nach Aufgabenschwierigkeit Niveau 1 Trennschärfe Nr. Item Schwierigkeit Schwierigkeit Logit Schätzfehler 1 halbieren verdoppeln : : halbieren : erste Malrechnung zu halbieren verdoppeln ? = zweite Malrechnung zu halbieren Stellentafel Hundertfünf erste Malrechnung zu bündeln von ? = bündeln von Itemfit Niveau 2 Trennschärfe Nr. Item Schwierigkeit Schwierigkeit Logit Schätzfehler Zahlenstrahl ? = Malrechnung zu 35 : 7 = Zählen in Einerschritten rw Division zu 3 6 = zweite Malrechnung zu Fahrrad Zählen in Zehnerschritten rw Zählen in Zweierschritten vw Stellentafel: 3 H 7 Z 20 E Früchte Partial credit Items, wurden mit 0/1/2 beurteilt. Itemfit 6

7 2 Zur Konstruktion des InstrumentS Niveau 1 enthält Aufgaben zum Zahlaufbau und zu den Grundoperationen im Zahlenraum bis Hundert sowie einige Aufgaben aus dem Zahlenraum bis 1000, welche keine Hunderterübergänge enthalten. Mit den Aufgaben von Niveau 1 werden somit basale Inhalte des Lernstoffes des zweiten Schuljahres überprüft. Niveau 2 umfasst komplexere Anforderungen wie die Einsicht ins Bündelungs- bzw. Entbündelungsprinzip bis 1000, das Herstellen von Beziehungen zwischen den Operationen (z.b. Zusammenhang Multiplikation Division) und das Lösen von mehrschrittigen Aufgaben (Sachaufgaben, halbschriftliche Addition und Subtraktion). Man könnte auch sagen, dass Niveau 2 Aufgaben enthält, welche basale Fähigkeiten des Lernstoffes des dritten Schuljahres überprüfen. Insbesondere das Zählen in Schritten und die Division gelten als Prädiktoren für die Vorhersage von schwachen Mathematikleistungen (vgl. Moser Opitz 2007). Der Test wurde in zwei Pseudoparallelformen durchgeführt, welche sich durch die Aufgabenreihenfolge unterschieden. Ein t-test für unabhängige Stichproben ergab keinen statistisch signifikanten Unterschied zwischen Form A und B (t =.200, df 248, p > 0.05). Zwischen den Leistungen von Jungen und Mädchen zeigte sich ebenfalls kein statistisch signifikanter Unterschied, allerdings waren die Leistungen der Mädchen schlechter als diejenigen der Jungen (t = 1.678, df 248, p > 0.05). Abb. 2 zeigt die Häufigkeitsverteilung der Ergebnisse. Da das Instrument zum Ziel hat, Schülerinnen und Schüler mit unterdurchschnittlichen Mathematikleistungen zu erfassen, ist die Verteilung erwartungsgemäss rechtsschief, und es gibt einen Deckeneffekt. Abb. 2: Häufigkeitsverteilung 3. Klasse Anzahl Schülerinnen und Schüler Mittelwert = 32 Standardabweichung = 6 N = Erreichte Punkte 7

8 2 Zur Konstruktion des InstrumentS 2.3 Festlegung des kritischen Bereichs Die Festlegung eines kritischen Bereichs ist in jedem Fall eine Entscheidung, welche auf der Grundlage von Vorannahmen geschieht und immer zu einem Teil willkürlich bleibt (vgl. Zieky 2001; Rost 2004). Zudem sagt ein solcher Wert für sich allein nicht aus, ob einfache oder schwierige Aufgaben richtig gelöst wurden. Cut-off-Werte sind deshalb immer mit einer gewissen Vorsicht zu betrachten, und deren Festlegung muss sorgfältig und nachvollziehbar begründet und auch immer wieder hinterfragt werden. Für das vorliegende Instrument wurden deshalb zur Festlegung eines solchen Wertes verschiedene Zugangsweisen gewählt: Einerseits eine normorientierte, welche durch eine inhaltliche Validierung durch Expertinnen überprüft wurde, andererseits eine kriteriumsorientierte, bei welcher analysiert wurde, welche Aufgaben eine Schülerin bzw. ein Schüler richtig gelöst hat. Da das vorliegende Instrument zum Ziel hat, Schülerinnen und Schüler mit unterdurchschnittlichen Leistungen für eine weiterführende Diagnostik und Förderung zu erfassen, ist es wichtig, dass möglichst keine falsch-negativen Klassifizierungen erfolgen. Es muss also verhindert werden, dass Schülerinnen und Schüler, die eine besondere Förderung benötigen, nicht erkannt bzw. nicht erfasst werden. Da es sich beim BeSMath um einen leichten Test handelt, würde z.b. das in Schulleistungstests üblicherweise verwendete normorientierte Kriterium von Mittelwert zwei Standardabweichungen zu falsch-negativen Klassifikationen führen. Das heisst, dass Schülerinnen und Schüler mit schwachen Leistungen fälschlicherweise nicht erkannt würden. Als kritischer Wert wurde deshalb Mittelwert 1½ Standardabweichungen (hier 32 9 = 23) festgelegt (vgl. auch von Aster & Weinhold 2006). Dieser Wert wurde in einer Befragung durch Expertinnen validiert, indem diese festlegten, welche Aufgaben von einem schwachen Schüler bzw. einer schwachen Schülerin am Ende des dritten Schuljahres gelöst werden sollten. Aufgrund dieser Überlegungen wurde der Cut-off-Score von 23 Punkten beibehalten. Für die Analyse des Testresultats ist es aber zusätzlich wichtig zu wissen, wie der Gesamtscore einer Schülerin bzw. eines Schülers zustande gekommen ist. Dies wird durch eine qualitative Analyse, d.h. durch eine Zuteilung der Aufgaben zu den Kompetenzniveaus gemacht. Dadurch kann zusätzlich festgestellt werden, welche Aufgaben eine Schülerin bzw. ein Schüler richtig bzw. falsch gelöst hat. Dies ergibt ergänzende Informationen zur Einschätzung der mathematischen Kompetenzen. Auswertungsbeispiele sind in Kapitel 4 aufgeführt. Obwohl das Screening einfache Aufgaben beinhaltet, welche Basiskompetenzen des zweiten und dritten Schuljahres überprüfen, kann es während des ganzen vierten Schuljahres durchgeführt werden. Aufgrund von Untersuchungen mit rechenschwachen Fünftklässlern und Achtklässlern (vgl. Moser Opitz 2005) kann davon ausgegangen werden, dass sich die hier überprüften Kompetenzen wenn wirklich eine Rechenschwäche vorliegt trotz des zusätzlich behandelten Lernstoffes im Unterricht nicht weiter entwickeln. 8

9 3 Beschreibung der Aufgaben 3 Beschreibung der Aufgaben Halbieren / Verdoppeln Mit diesen Aufgaben wird überprüft, ob die Schülerin bzw. der Schüler den Begriff des Halbierens bzw. des Verdoppelns kennt, d.h. ob die Hälfte bzw. das Doppelte einer Anzahl berechnet werden kann, bzw. ob das Resultat automatisiert zur Verfügung steht. Halbieren und Verdoppeln gelten als einfache, jedoch zentrale Kopfrechenaufgaben, von welchen schwierigere Aufgaben abgeleitet werden können. Es ist deshalb wichtig, dass diese sicher und effizient beherrscht werden. Minusaufgaben Die vier Minusaufgaben überprüfen, ob die Schülerin bzw. der Schüler die Subtraktion als Operation verstanden hat und einfache Subtraktionen schrittweise rechnen kann (Kopfrechnen). Ergänzen Mit den Aufgaben wird überprüft, ob die Schülerin bzw. der Schüler von einer bestimmten Zahl aus auf den nächsten Hunderter oder Tausender ergänzen kann. Ergänzen basiert auf dem Zerlegen von Zahlen und setzt das Verständnis von Addition und Subtraktion und des Bündelns (zehn Einheiten zusammenfassen zur nächst grösseren Einheit) bzw. Entbündelns (eine Einheit in die nächst kleinere Einheit umwandeln) voraus. Malaufgaben Die Schülerin bzw. der Schüler soll zu einem Ergebnis zwei verschiedene Malaufgaben suchen. Weiter wird das Zehnereinmaleins geprüft. Das Verständnis des Zehnereinmaleins entwickelt sich aus dem Verständnis des Einmaleins und des Dezimalsystems und ist ein zentraler Lerninhalt des dritten Schuljahres. Wichtig ist, dass die Schülerin bzw. der Schüler verstanden hat, dass beim Multiplizieren mit zehn aus den Einern Zehner und aus den Zehnern Hunderter werden. Geteilt-Aufgaben / Geteilt und Mal Zuerst wird mit einfachen Aufgaben überprüft, ob die Schülerin bzw. der Schüler einfache Kopfrechenaufgaben zur Division lösen kann. Das zweite Aufgabenformat überprüft, ob die Schülerin bzw. der Schüler weiss, welche Zahlen, die in der Malrechnung vorgekommen sind, in der Geteilt-Rechnung welche Funktion und Position übernehmen und umgekehrt. Es zeigt also, ob der Zusammenhang zwischen Multiplikation und Division verstanden ist. Um die Aufgabe korrekt zu lösen, ist das Verständnis beider Grundoperationen wichtig (vgl. Radatz & Schipper 1998, 82). Immer Zehn Die beiden Aufgaben überprüfen die Einsicht in das Prinzip der Bündelung und der Stellenwerte. Um die Aufgabe korrekt zu lösen, muss das Zusammenfassen von immer zehn Punkten zu einem Zehnerpäckchen (Bündeln) verstanden sein, so dass erkannt wird, dass bei 34 Punkten drei Gruppen mit zehn Punkten gemacht werden könnten und vier Punkte übrig blieben. Es ist wichtig, dass die Schülerin bzw. der Schüler die Aufgabe löst, ohne die Zehnerpäckchen zu zeichnen. Nur so kann überprüft werden, ob der dezimale Zahlaufbau verstanden ist. Zahlenstrahl Bei dieser Aufgabe soll die im Kasten vorgegebene Zahl einer der Markierungen auf dem vertikalen Zahlenstrahl zugeordnet werden. Überprüft wird 9

10 3 Beschreibung der Aufgaben das analoge Zahlenverständnis durch das Zuordnen von Zahlen zu einer räumlich analogen Position (vgl. von Aster 2002, 21). Diese Aufgabe setzt die lineare Orientierung im Tausenderraum und das Verständnis der Darstellung des Zahlenstrahls voraus. Um die Aufgabe korrekt zu lösen, muss erkannt werden, dass die Abstände zwischen den Markierungen und die Position der Markierung in Bezug auf den ganzen Zahlenstrahl wesentlich sind. Zählen Die Zählkompetenz ist eine zentrale Voraussetzung für das sichere Erlernen von arithmetischen Basiskompetenzen (vgl. Moser Opitz 2005, 120). Das Zählen in Schritten grösser als eins ist wichtig für die Ablösung vom zählenden Rechnen. Die Übergänge über Zehner und Hunderter geben zudem Hinweise darauf, ob Einsicht ins Dezimalsystem erworben worden ist. schrittweise Rechnen ( wird gerechnet als = = 85) oder Stellenwerte extra ( wird gerechnet als = 70, = 15, = 85). Solche Aufgaben enthalten besondere Anforderungen. Es müssen Zehner- bzw. Hunderterübergänge vollzogen werden. Zudem wird die Schwierigkeit dadurch erhöht, dass mehrere Rechenschritte erforderlich sind (Radatz & Schipper 1999, 78). Die halbschriftlichen Verfahren leisten einen wesentlichen Beitrag zur Entwicklung des mathematischen Denkens, da sie die Einsicht in den dezimalen Zahlaufbau, die Entwicklung von Grössenvorstellungen und von elementaren Rechengesetzen unterstützen (Moser Opitz & Schmassmann 2003, 45). Die Schülerin bzw. der Schüler sollte bei diesen Aufgaben angehalten werden, diese nicht schriftlich zu lösen. Stellentafel Für das sichere Rechnen im Tausenderraum ist es zentral, dass die Schülerin bzw. der Schüler das Prinzip der Zehnerbündelung, der dezimalen Einheiten (Einer, Zehner, Hunderter) und der Stellenwerte verstanden hat. Dies wird überprüft, indem eine Aufgabe gestellt wird, die eine Null enthält, sowie eine Aufgabe, in welcher eine Bündelung vorgenommen werden muss. Sachrechnen: Fahrrad / Früchte Die Aufgaben zum Geld überprüfen vor allem die Mathematisierungsfähigkeit bzw. das Sachrechnen. Es geht darum, in einer Alltagssituation (kaufen, Geld herausgeben) den mathematischen Gehalt zu erkennen und diesen mit mathematischen Methoden zu bearbeiten. Grosse Plus- und Minusaufgaben Mit den beiden Aufgaben wird das Verständnis der halbschriftlichen Addition und Subtraktion im Tausenderraum überprüft. Unter halbschriftlichem Rechnen wird die Ausführung und Darstellung von eigenständigen, flexiblen Rechenstrategien verstanden, die zwischen Kopfrechnen und den schriftlichen Normalverfahren angesiedelt sind. Halbschriftliches Rechnen meint Rechnen unter Verwendung geeigneter Strategien. Zwischenschritte, Zwischenrechnungen und ergebnisse werden festgehalten, wobei die Notation nicht festgelegt ist (Krauthausen & Scherer 2001). Häufige Vorgehensweisen sind das 10

11 4 Auswertung und Interpretation 4 Auswertung und Interpretation Mit dem Protokollbogen werden die Aufgaben kontrolliert und bewertet. Bei den Aufgaben Fahrrad und Früchte ist die Bewertung 0/1/2 möglich, bei allen anderen Aufgaben gilt die Bewertung 0/1. Diese Werte können wahlweise in zwei verschiedene Auswertungstabellen eingetragen und addiert werden. In Auswertungstabelle 1 im Protokollbogen sind die Aufgaben nach der Lösungsreihenfolge geordnet. Dies erlaubt ein einfaches Übertragen der Resultate aus dem Protokollbogen. In Auswertungstabelle 2 im Protokollbogen sind die Aufgaben aufsteigend nach Schwierigkeit geordnet. Das Eintragen der Resultate benötigt hier etwas mehr Zeit, da die Reihenfolge der Aufgaben nicht derjenigen im Protokollbogen entspricht. Die Auswertung liefert jedoch wichtige zusätzliche Informationen, da dadurch sichtbar wird, ob die Schülerin bzw. Schüler vor allem einfache oder auch schwierige Aufgaben richtig gelöst hat (siehe Auswertungsbeispiel 4). 11

12 4 Auswertung und Interpretation Auswertungsbeispiel 1 Name: Jasmin Nr. Aufgabe Punkte Nr. Aufgabe Punkte 1 halbieren : halbieren Malrechnung zu 35 : 7 = halbieren Division zu 3 6 = halbieren bündeln von bündeln von Zahlenstrahl Zählen in Einerschritten rw Zählen in Zweierschritten vw 0 9 verdoppeln Zählen in Zehnerschritten rw 0 10 verdoppeln Stellentafel Hundertfünf ? = Stellentafel: 3 H 7 Z 20 E ? = ? = erste Malrechnung zu a Fahrrad: richtiger Lösungsweg 0 15 zweite Malrechnung zu b Fahrrad: richtiges Resultat 0 16 erste Malrechnung zu a Früchte: richtiger Lösungsweg 0 17 zweite Malrechnung zu b Früchte: richtiges Resultat Total Niveau Total Niveau : 3 1 Total : 8 1 Niveau 1 (23) Niveau 2 (16) Jasmin erreicht einen Testwert von 18 Punkten. Ihre Leistung liegt somit unter dem kritischen Wert von 23 Punkten, und sie kann als eine Schülerin mit deutlich unterdurchschnittlichen Mathematikleistungen bezeichnet werden und braucht besondere Förderung. Jasmin hat die meisten Aufgaben zum Basisstoff im Zahlenraum bis 100 (Niveau 1) richtig gelöst, jedoch nur drei Aufgaben von Niveau 2. Aufgaben von Niveau 1 und 2, die den erweiterten Zahlenraum bis 1000 bzw. Zehner- oder Hunderterübergang beinhalten und die zum basalen Lernstoff des dritten Schuljahres gehören, hat Jasmin falsch gelöst. Weiter fällt auf, dass sämtliche Halbierungsaufgaben von Niveau 1 falsch gelöst sind. Mit Jasmin müsste nun eine ausführliche Lernstandserfassung durchgeführt werden, welche ihre Kenntnisse des Zahlenraums bis 1000 bzw. des Operierens in diesem Zahlenraum genauer analysiert. Wenn sich die stofflichen Lücken bestätigen, muss eine spezielle Förderung geplant und durchgeführt werden, und es muss sorgfältig überprüft werden, in welchen Bereichen Jasmin dem Lernprogramm ihrer Klasse folgen kann, und wo individuelle Lernziele festgelegt werden müssen. 12

13 4 Auswertung und Interpretation Auswertungsbeispiel 2 Name: Leonie Nr. Aufgabe Punkte Nr. Aufgabe Punkte 1 halbieren : halbieren Malrechnung zu 35 : 7 = halbieren Division zu 3 6 = halbieren bündeln von bündeln von Zahlenstrahl Zählen in Einerschritten rw Zählen in Zweierschritten vw 0 9 verdoppeln Zählen in Zehnerschritten rw 0 10 verdoppeln Stellentafel Hundertfünf ? = Stellentafel: 3 H 7 Z 20 E ? = ? = erste Malrechnung zu a Fahrrad: richtiger Lösungsweg 0 15 zweite Malrechnung zu b Fahrrad: richtiges Resultat 0 16 erste Malrechnung zu a Früchte: richtiger Lösungsweg 0 17 zweite Malrechnung zu b Früchte: richtiges Resultat Total Niveau Total Niveau : 3 1 Total : 8 1 Niveau 1 (23) Niveau 2 (16) Leonies Leistungen liegen mit 26 Punkten knapp über dem festgelegten kritischen Wert von 23 Punkten. Sie hat fast alle Aufgaben von Niveau 1 und einen Teil der Aufgaben von Niveau 2 richtig gelöst. Sie ist keine Schülerin mit deutlich unterdurchschnittlichen Mathematikleistungen. Ihr Resultat weist aber auf eher schlechte mathematische Leistungen hin, da sie weniger als 50% der Aufgaben von Niveau 2 richtig gelöst hat. Es fällt z.b. auf, dass sie die Ergänzungsaufgaben und Aufgaben mit Zehner- oder Hunderterübergängen (z.b. Zählen) falsch gelöst hat. Ihre Kenntnisse dieser Inhalte müssten beobachtet und diese müssen evtl. nochmals erarbeitet werden. Um sicherzustellen, dass Leonie keine Schülerin mit unterdurchschnittlichen Mathematikleistungen ist, kann das Screening nach einigen Monaten wiederholt werden. 13

14 4 Auswertung und Interpretation Auswertungsbeispiel 3 Name: Michael Nr. Aufgabe Punkte Nr. Aufgabe Punkte 1 halbieren : halbieren Malrechnung zu 35 : 7 = halbieren Division zu 3 6 = halbieren bündeln von bündeln von Zahlenstrahl Zählen in Einerschritten rw Zählen in Zweierschritten vw 1 9 verdoppeln Zählen in Zehnerschritten rw 0 10 verdoppeln Stellentafel Hundertfünf ? = Stellentafel: 3 H 7 Z 20 E ? = ? = erste Malrechnung zu a Fahrrad: richtiger Lösungsweg 1 15 zweite Malrechnung zu b Fahrrad: richtiges Resultat 1 16 erste Malrechnung zu a Früchte: richtiger Lösungsweg 0 17 zweite Malrechnung zu b Früchte: richtiges Resultat Total Niveau Total Niveau : 3 1 Total : 8 1 Niveau 1 (23) Niveau 2 (16) Michaels Leistungen entsprechen den Leistungen eines durchschnittlichen Schülers in dieser Stichprobe. Er löst mit einer Ausnahme alle Aufgaben des Niveaus 1 und ca. die Hälfte der Aufgaben von Niveau 2 richtig. Das bedeutet, dass er über die zentralen Lerninhalte des dritten Schuljahres verfügt. 14

15 4 Auswertung und Interpretation Auswertungsbeispiel 4 Name: Samuel Nr. Niveau 1 Punkte Nr. Niveau 2 Punkte 1 halbieren verdoppeln Zahlenstrahl : : ? = halbieren Malrechnung zu 35 : 7 = : a Fahrrad: richtiger Lösungsweg 0 14 erste Malrechnung zu Zählen in Einerschritten rw 0 2 halbieren Division zu 3 6 = zweite Malrechnung zu b Fahrrad: richtiges Resultat 0 10 verdoppeln Zählen in Zehnerschritten rw a Früchte: richtiger Lösungsweg ? = Zählen in Zweierschritten vw 0 15 zweite Malrechnung zu Stellentafel: 3 H 7 Z 20 E 0 3 halbieren b Früchte: richtiges Resultat 1 32 Stellentafel Hundertfünf 1 Total Niveau erste Malrechnung zu bündeln von ? = bündeln von 63 1 Total Niveau 1 10 Total 12 Niveau 1 (23) Niveau 2 (16) Samuel hat 12 Punkte erreicht, seine Leistungen sind deutlich unterdurchschnittlich. Er hat weniger als die Hälfte der Basisaufgaben zum Zwanzigerraum richtig gelöst jedoch eine der schwierigsten Aufgaben (Sachrechenaufgabe) von Niveau 2. Mit ihm müssten mit einer ausführlichen Lernstandserfassung zum Zahlenraum bis 1000 seine Wissenslücken differenziert erfasst werden. Dabei müsste besonders überprüft werden, ob er die anspruchsvollen Sachaufgaben wirklich verstanden hat, oder ob das Resultat allenfalls zufällig zustande gekommen ist. 3 3 Das Beispiel stammt aus der Erprobung mit ganzen Klassen. Es könnte z. B. sein, dass Samuel das Resultat abgeschrieben hat. 15

16 Literatur Literatur Bond, T.G.; Fox, C.M. (2001): Applying the Rasch Modell. Fundamental measurement in the human sciences. Mahwah u.a.: Erlbaum Francis, D.J.; Fletcher, J.M.; Stuebing, K.; Lyon, G.R.; Shaywitz, B.A.; Shaywitz, S.E. (2005): Psychometric approaches to the identification of LD: IQ and achievement scores are not sufficient. In: Journal of Learning Disabilities 38, Fritz, A.; Ricken, G. (2005): Früherkennung von Kindern mit Schwierigkeiten im Erwerb von Rechenfähigkeiten. In: Hasselhorn, M.; Marx, H.; Schneider, W. (Hrsg.). Diagnostik von Mathematikleistungen. Tests und Trends Band 4. Göttingen u.a.: Hogrefe Ganser, B. (Hrsg.) (2005a): Rechenschwäche überwinden. Fehleranalyse / Lernstandsdiagnose mit Materialien und Kopiervorlagen. Band Aufl. Donauwörth: Auer Ganser, B. (Hrsg.) (2005b): Rechenschwäche überwinden. Fehleranalyse / Lernstandsdiagnose mit Materialien und Kopiervorlagen, Klasse 3-5. Band 2. Donauwörth: Auer Hiebert, J.; Wearne, D. (1996): Instruction, understanding, and skill in multidigit addition and subtraction. In: Cognition and Instruction 14, Jacobs, C.; Petermann, F. (2005): Diagnostik von Mathematikstörungen. Göttingen u.a.: Hogrefe Krauthausen, G.; Scherer, P. (2001): Einführung in die Mathematikdidaktik. Heidelberg u.a.: Verlag Spektrum Moser Opitz, E. (2005): Lernschwierigkeiten Mathematik in Klasse 5 und 8. Eine empirische Untersuchung zu fehlenden mathematischen Basiskompetenzen. In: Vierteljahresschrift für Heilpädagogik und ihre Nachbargebiete 74, Moser Opitz, E. (2006): Diagnostik von Mathematikleistungen. In: von Stechow, E.; Hofmann, Ch. (Hrsg.): Sonderpädagogik und PISA. Kritisch-konstruktive Beiträge. Bad Heilbrunn: Klinkhardt, Moser Opitz, E. (2007): Rechenschwäche / Dyskalkulie. Theoretische Klärung und empirische Studien an betroffenen Schülerinnen u. Schülern. Bern u.a.: Haupt Moser Opitz, E. & Schmassmann, M. (2002): Heilpädagogischer Kommentar zum Zahlenbuch 1. Zug: Klett Moser Opitz, E. & Schmassmann, M. (2003): Heilpädagogischer Kommentar zum Zahlenbuch 3. Zug: Klett Moser Opitz, E. & Schmassmann, M. (2004a): Heilpädagogischer Kommentar zum Zahlenbuch 4. Zug: Klett Moser Opitz, E. & Schmassmann, M. (2004b): Heilpädagogischer Kommentar zum Zahlenbuch 2 (2., leicht erweit. Aufl.). Zug: Klett Moser Opitz, E. & Schmassmann, M. (2005): Heilpädagogischer Kommentar zum Zahlenbuch Zug: Klett Radatz, H.; Schipper, W., Dröge, R.; Ebeling, A. (1999): Handbuch für den Mathematikunterricht 3. Schuljahr. Hannover: Schroedel Radatz, H.; Schipper, W.; Dröge, R.; Ebeling, A. (1998): Handbuch für den Mathematikunterricht 2. Schuljahr. Hannover: Schroedel Rost, J. (2004): Psychometrische Modelle zur Überprüfung von Bildungsstandards anhand von Kompetenzmodellen. In: Zeitschrift für Pädagogik 50, Rupp, A.A.; Leucht, M.; Hartung, R. (2006): Die Kompetenzbrille aufsetzen. Verfahren zur multiplen Klassifikation von Lernenden für Kompetenzdiagnostik in Unterricht und Testung. In: Unterrichtswissenschaft 34, Schäfer, J. (2005): Rechenschwäche in der Eingangsstufe der Hauptschule. Lernstand, Einstellung und Wahrnehmungsleistungen. Hamburg: Verlag Dr. Kovač Scherer, P. (1999): Produktives Lernen für Kinder mit Lernschwächen. Fördern durch Fordern. Band 1: Zwanzigerraum. Leipzig u.a.: Klett Scherer, P. (2003): Produktives Lernen für Kinder mit Lernschwächen. Fördern durch Fordern. Band 2: Addition und Subtraktion im Hunderterraum. Horneburg: Persen Scherer, P. (2005): Produktives Lernen für Kinder mit Lernschwächen. Fördern durch Fordern. Band 3: Multiplikation und Division im Hunderterraum. Horneburg: Persen Von Aster, M.; Weinhold, M. (2006): Testverfahren zur Dyskalkulie Zareki-R. 2. Aufl. Frankfurt am Main: Sweets Testservice Von Aster, M. (2002): Testverfahren zur Dyskalkulie Zareki. Frankfurt am Main: Sweets Testservice Zieky, M. (2001): So much has changed: How the setting of cutscores has evolved since the 1980s. In: Cizek, G.J. (Hrsg.). Setting performance standards. Concepts, methods, perspectives. Mahwah, New Jersey u.a.: Erlbaum 16