1 Aloys-Fischer-Schule Deggendorf Staatliche Fachoberschule und Berufsoberschule Sozialwesen Technik Wirtschaft Jahnstraße 5 94469 Deggendorf Seminararbeit Schuljahr 2008/2009 Teil der Seminararbeit für die 13. Klasse FOS: Erläuterung und Anwendung des Computerprogramms GeoGebra auf Exponential- und Logarithmusfunktionen vorgelegt von Arbinger Karin Arbinger Ilona Arbinger Sonja
2 Computerprogramm GeoGebra 1 Allgemein GeoGebra ist ein mathematisches Computerprogramm für die Teilgebiete Analysis, Geometrie und Algebra (vgl. Embacher/Oberhuemer, 2009). Von den beiden zuletzt genannten Bereichen leitet sich auch der Name GeoGebra ab (vgl. Haftendorn, 2004). Herr Markus Hohenwarter und ein internationales Team von Programmierern entwickeln seit 2001 die Software für GeoGebra, mit dem Ziel, es für Schüler und Lehrer zugänglich zu machen (vgl. Hohenwarter/Hohenwarter, 2009). Die erste Version wurde im Rahmen von Herrn Markus Hohenwarters Diplomarbeit innerhalb eines Jahres realisiert. Im Gegensatz zu den vorherigen mathematischen Programmen, wollte er eine direkte Verbindung von einem Computeralgebra- und einem dynamischen Geometriesystem. Dabei war GeoGebra am Anfang nur für geometrische Anwendungen ausgerichtet, das heißt, es beschränkte sich sowohl auf die graphische Darstellung von Punkten, Strecken, Geraden, Vielecken und Kegelschnitte, als auch auf die Angabe ihrer Koordinaten und Gleichungen. Erst seit 2004 kann man Integrale und Ableitungen berechnen und zeichnen lassen. Zu diesem Zeitpunkt erhielt Herr Hohenwarter auch den Deutschen Bildungssoftwarepreis digita 2004, wodurch erstmals auf GeoGebra aufmerksam gemacht wurde. Seine erste Auszeichnung erhielt er jedoch schon im Jahre 2002. In den darauf folgenden Jahren bekam er weitere, auch internationale Preise. Zurzeit arbeiten fünf Entwickler und weltweit etwa 15 Programmierer (Schüler, Lehrer, Studenten und Universitätsprofessoren) an diesem Programm, die es immer wieder aktualisieren. Mittlerweile sind über 100 Übersetzer beteiligt, die es ermöglicht haben, GeoGebra in 46 verschiedenen Sprachen anzubieten. Da diese Mitarbeiter ehrenamtlich in ihrer Freizeit programmieren, kann Herr Hohenwarter das Programm kostenlos im Internet zur Verfügung stellen. Anfallende Kosten, wie der Betrieb des Webservers und Fortbildungen, können durch Spenden von Benutzern und Schulen, sowie durch Forschungsprojekte in den USA und Europa gedeckt werden. Da Herr Hohenwarter Werbung auf www.geogebra.org ablehnt, gibt es keine größeren Sponsoren. Im Laufe der Jahre hat sich GeoGebra zum einen über das Internet, in dem man neben der Software auch auf Unterrichtsmaterialien zugreifen kann und zum anderen durch
3 Lehrerfortbildungen, Präsentationen bei Konferenzen und Weiterempfehlungen von Benutzern verbreitet. Derzeit werden die Webseiten von GeoGebra täglich circa 15.000 Mal besucht. Die Besucher kommen aus über 190 Ländern, wobei zwei Drittel davon aus Europa sind, die meisten aus Deutschland und Frankreich. Die neueste Version ist GeoGebra 3.2, die den Anwendern seit dem 03. Juni 2009 zur Verfügung steht (vgl. Hohenwarter/Hohenwarter/Kreis, 2009). Diese Neuerung ist um eine voll integrierte Tabellenkalkulation, automatische Animationen und mehrere Statistik Befehle erweitert worden. Außerdem wird bereits an GeoGebra 4.0 und an einem ersten Prototypen der 3D Erweiterung gearbeitet, welche voraussichtlich im Jahre 2010 fertig gestellt werden. Neben den mathematischen Anwendungen hat das Computerprogramm eine eigene Internetseite. Auf dieser findet man zahlreiche Informationen über dieses Programm und kann auch auf GeoGebra Hilfe, sowie auf das Forum zugreifen. Mit der Hilfefunktion besteht die Möglichkeit, nach bestimmten Schlagwörtern zu suchen. Man erhält dadurch alle, mit dem Suchbegriff verbundenen Optionen und Eingabemöglichkeiten. Um weitere Fragen zu klären, stellt das Benutzerforum eine Alternative dar. Darin diskutieren Mitglieder über Probleme, die bei der Benutzung von GeoGebra auftauchen. Jeder Interessierte hat die Möglichkeit die Einträge zu verfolgen, jedoch können nur Mitglieder Fragen ins Forum stellen bzw. beantworten. 2 Vorteile Dieses Programm kann man jederzeit kostenlos unter www.geogebra.org herunterladen, was vor allem für Schüler und Studenten vorteilhaft ist. Da dabei eine genaue Erklärung für die Benutzung des Programmes zur Verfügung steht und GeoGebra selbst sehr übersichtlich und anschaulich ist, ist es für jeden leicht zu erlernen. Sollten trotzdem noch Probleme auftreten, kann man diese in das Benutzerforum stellen. Außerdem werden zahlreiche Anwendungsmöglichkeiten in den Bereichen Geometrie, Algebra und Analysis angeboten. Eine eingegebene Funktion wird in das Algebra-Fenster übertragen und deren Graph in der Grafik-Ansicht angezeigt. Ein großer Vorteil ist dabei, dass man nicht nur eine genaue Vorstellung vom Kurvenverlauf einer Funktion erhält, sondern auch Rechenergebnisse kontrollieren kann. Über die Symboltaste Befehle und der
4 Werkzeugleiste können diverse Rechenoperationen, wie zum Beispiel das Berechnen von Funktionseigenschaften, durchgeführt werden. Des Weiteren können auch Funktionen mit Parameter gezeichnet werden. Durch den Schieberegler lässt sich beobachten, wie sich der Graph für unterschiedliche Parameter verhält. 3 Probleme 3.1 Arbinger Ilona 3.1.1 Vorbemerkung Bei der Bearbeitung der Funktion f 2 3 x a( x) 0,5ax e mit GeoGebra tauchten einige Probleme auf. Um diese zu beseitigen, stellte ich sie ins Benutzerforum und erhielt auch eine Antwort. Darüber hinaus teilte ich die aufgetretenen Schwierigkeiten per E-Mail auch Herrn Markus Hohenwarter, dem Entwickler von GeoGebra, mit, welcher mir ebenfalls antwortete. 3.1.2 Nullstellen, Extrem- und Wendepunkte Während meiner Arbeit mit GeoGebra stellte sich heraus, dass sich von der e-funktion f 2 3 x a( x) 0,5ax e die Nullstellen, Extrem- und Wendepunkte nicht berechnen lassen. Im Forum wurde ich darüber informiert, dass dies bei e-funktionen zurzeit nur mit Hilfskonstruktionen möglich ist. Um die Nullstelle einer Funktion zu finden, muss man den Schnittpunkt des Graphen mit der x-achse berechnen. Benutzt man dazu das Werkzeug Schneide Objekte, muss man nur die Funktion und die x-achse anklicken, um die Schnittstelle zu erhalten.
5 Will man die Nullstellen per Tastatur mittels der Befehlsliste berechnen lassen, muss man jedoch darauf achten, dass man den richtigen Befehl vorgibt. Gibt man z. B. in die Eingabezeile Schneide [ f a,xachse] ein, so kann dieser vom Programm nicht ausgeführt werden, da die x-achse keine Einsatzmöglichkeit für den Befehl Schneide[] ist. Lässt man allerdings zuerst eine Gerade h 0, die der x-achse entspricht, zeichnen, kann GeoGebra die Schnittpunkte der beiden Funktionen berechnen, indem man einen geeigneten Startwert vorgibt. Dieser wird benötigt, da es sich bei f a (x) um keine ganzrationale Funktion handelt. Der Anfangspunkt muss zwar nicht zwingend auf der Funktion liegen, sollte sich allerdings in der Umgebung der Nullstelle befinden. Zeichnet man also zuerst einen Punkt A ein und gibt dann Schneide[ f a,h,a] in die Eingabezeile ein, so werden alle vorhandenen Nullstellen im Algebra-Fenster und in der Grafikansicht angezeigt. Der Schnittpunkt von f a (x) mit der x-achse wird in der unten abgebildeten Zeichnung mit B bezeichnet. Wählt man aber den Anfangspunkt C, der sich in zu großer Entfernung zur Nullstelle befindet, berechnet GeoGebra einen weiteren Schnittpunkt mit der x-achse. Diese Schnittstelle, deren Koordinaten im Algebra-Fenster unter dem Punkt D angezeigt werden, existiert eigentlich nicht, da die Funktion f a (x) für x gegen 0 konvergiert. Neben dem Befehl Schneide[] lassen sich die Schnittpunkte von f a (x) mit der x-achse auch mit dem Befehl Nullstelle[] berechnen und einzeichnen, indem man wieder einen Startwert angibt. Dieser muss sich ebenfalls in der Umgebung der Nullstelle befinden und
6 wird als Zahl angegeben. Um die Nullstelle A von f a (x) berechnen zu lassen, gibt man in die Eingabezeile den Befehl Nullstelle[ f a,1] ein (s. Zeichnung). Mit dieser Methode lässt sich jedoch immer nur ein Punkt berechnen. Bei einer Funktion mit zwei Nullstellen muss man den Befehl zweimal ausführen, wobei man für jeden Schnittpunkt mit der x-achse einen eigenen, geeigneten Startwert wählen muss. Das Ermitteln der Extrem- und Wendepunkte erfolgt nach dem gleichen Prinzip. Berechnet man die Nullstellen der ersten bzw. der zweiten Ableitung, also von f a (x) und f a (x) man die x-werte der Hoch-, Tief- und Wendepunkte. Dabei muss man jedoch auf die, erhält hinreichenden Kriterien achten. Zeichnet man dann einen Punkt ein, der auf dem Graphen von f a (x) liegt und ändert seine Abszisse entsprechend der erhaltenen Nullstelle, berechnet GeoGebra die dazugehörige Ordinate.
7 3.1.3 Unbegrenzte Fläche Eine weitere Schwierigkeit ergab sich beim Berechnen der unbegrenzten Fläche A 2, wobei A von f ( ) und g (x) eingeschlossen wird und von 3 bis + geht (vgl. Zeichnung unten). 2 1 x Dabei lässt sich berechnen, dass A 2 eine Maßzahl von 1 hat. In GeoGebra können Ableitungen, bestimmte und unbestimmte Integrale von e-funktionen berechnet werden. Uneigentliche Integrale lassen sich jedoch nicht so einwandfrei bestimmen. Verwendet man beim Berechnen der Fläche von A 2 das Zeichen wird in der Grafik-Ansicht keine Fläche eingezeichnet. Ob das Programm den Flächeninhalt berechnet, hängt davon ab, ob die Funktion f ( ) mit oder ohne Parameter eingegeben wurde. 1 x Stellt man f ( ) direkt, also ohne Schieberegler, in GeoGebra dar, berechnet das Programm 1 x das Flächenmaß A 2, wenn man den Befehl Integral[ f 1,g,3, ] eingibt.
8 Wählt man dagegen zuerst einen Schieberegler, kann man die Funktion f a (x) in Abhängigkeit von a angeben. Zieht man dann den Schieberegler auf 1, so dass man die Funktion f 1( x ) erhält, und gibt den gleichen Befehl Integral[ f 1,g,3, ] in die Eingabezeile ein, kann GeoGebra die Maßzahl der unbegrenzten Fläche weder zeichnen noch berechnen. Eine zweite Möglichkeit, um den Flächeninhalt von A 2 von GeoGebra berechnen und die Fläche zeichnen zu lassen, ergibt sich, wenn man das Zeichen durch eine große Zahl ersetzt. Gibt man also den Befehl Integral[ f 1,g,3,1000000000] ein, erhält man sowohl in der Grafik-Ansicht, als auch im Algebra-Fenster die richtige Lösung. Dabei spielt es keine Rolle ob die Funktion f ( ) mit oder ohne Schieberegler eingegeben wurde. 1 x Allerdings muss man bei dieser Methode darauf achten, dass man die Zahl für Unendlich nicht zu groß wählt. Verwendet man anstatt 1.000.000.000 eine größere Zahl, also z. B.
9 10.000.000.000.000, so wird in der Grafik-Ansicht nicht die richtige Fläche für A 2 angezeigt, obwohl das berechnete Flächenmaß stimmt. Das unten gezeigte uneigentliche Integral mit der Grenze von 10.000.000.000.000 ist nur ein Beispiel. Dieses Problem beim Berechnen und Zeichnen von uneigentlichen Integralen soll in Zukunft behoben werden. Durch Einfügen eines CAS (Computeralgebrasystem) Fensters sollen die symbolischen Möglichkeiten von GeoGebra ausgeweitet werden. Dann wird es auch möglich sein, mit Grenzwerten rechnen zu können. 3.2 Arbinger Karin 3.2.1 Vorbemerkung Im Gegensatz zu den zahlreichen Vorteilen, die das Computerprogramm GeoGebra bietet, weist es ebenso einige Nachteile auf. Sie basieren vor allem auf komplexere Funktionen, wie
10 Logarithmus- und Exponentialfunktionen. Jedoch treten auch Schwierigkeiten bei gebrochenrationalen Funktionen mit x im Nenner auf. Eine Unterstützung dabei stellte das Benutzerforum und das per E-Mail durchgeführte Interview mit Herrn Markus Hohenwarter dar. Im Folgenden werde ich die Probleme, die beim Verwenden von GeoGebra im 1 x Zusammenhang mit der Funktion f a ( x) ln a aufgetreten sind, erläutern. 1 x 3.2.2 Nullstellen, Extremwerte und Wendepunkte Die direkte Berechnung der Nullstellen, Extremwerte und Wendepunkte über die Eingabe per Tastatur, beispielsweise Extremum[Funktion], ist bei gebrochen-rationalen Funktionen mit x im Nenner und nichtrationalen Funktionen, wie Logarithmusfunktionen, nicht möglich. Hierbei liefert GeoGebra keine Werte. Um die Nullstellen berechnen zu können, gibt es einige Alternativen. Da sich die Ermittlung der Extremwerte und Wendepunkte auf Polynome beschränkt, bleibt dafür nur die Möglichkeit, die Abszissen der gewünschten Punkte über die Schnittpunkte der Ableitungen mit der x-achse des Koordinatensystems zu berechnen. Nützt man GeoGebra Hilfe, erhält man folgendes Ergebnis bei der Ermittlung der Nullstellen. Die Methode Nullstelle[Polynom f ] liefert nur für ganz-rationale Funktionen einen Wert. Bei anderen Funktionen benötigt man die Eingabe Nullstelle[Funktion f, Zahl b]. Da dieses Verfahren auf der Newton Methode basiert, benötigt man einen Startwert, den die beliebige Zahl b darstellt. Dieser muss jedoch in der Nähe der Nullstelle liegen, um ein Ergebnis zu erhalten. Des Weiteren habe ich das oben genannte Problem in das Benutzerforum gestellt und erhielt einige Tage später nützliche Antworten. Der Befehl Schneide[] kann nur im Zusammenhang bestimmter Vorgaben verwendet werden. Dies kann man auch unter dem Menüpunkt Hilfe des Programms nachlesen. Von den aufgelisteten Einsatzmöglichkeiten, benötigt man für die Berechnung der Nullstellen einer Funktion die Eingabe: Schneide[Funktion, Gerade, Anfangspunkt A]. Da diese Art ebenfalls mit dem Newtonschen Näherungsvervahren ermittelt wird, benötigt man einen Startwert, den oben genannten Anfangspunkt A. Dieser muss zuerst festgelegt werden und darf nicht zu weit von der
11 Nullstelle entfernt sein, um ein Ergebnis zu erlangen. Außerdem ist es nötig eine Gerade g ( x) 0 zu definieren, da die Eingabe x-achse anstatt der Gerade nicht anerkannt wird. Beispiel: 1 x Berechnung der Nullstelle der Funktion f a ( x) ln a, für a 0, 4 und des 1 x Anfangspunktes A (1,01/0), ergibt die Koordinaten: NS (2,33/0). Eine weitere Möglichkeit die Nullstelle zu bestimmen, wäre mit dem Werkzeug Schneide zwei Objekte.
12 Bei diesem Weg klickt man mit der Maus die gewünschten Funktionen bzw. Koordinatenachse an und erhält deren Schnittpunkte. 3.2.3 Unbestimmtes Integral Ein weiteres Problem, das im Zusammenhang mit der Arbeit in GeoGebra aufgetaucht ist, ist die Berechnung des unbestimmten Integrals einer Funktion f (x), die zugleich gebrochenrational mit einem x im Nenner, oder eine Logarithmusfunktion mit Betrag ist (z. B. f ( x) ln( abs( x)), dabei steht die Abkürzung abs für Betrag ). Die Eingabe über Tastatur Integral[Funktion f ] liefert keine Ergebnisse, da dies zurzeit noch nicht möglich ist. Der Grund dafür liegt in der Leistungsfähigkeit des von Hohenwarter und seinem Team intern verwendeten Computeralgebrasystems. Im kommenden Jahr ist jedoch eine enorme Verbesserung auf diesem Gebiet, beispielsweise im Bereich der symbolischen Integration, zu erwarten. 3.3 Arbinger Sonja 3.3.1 Vorwort Während meiner Seminararbeit habe ich mit GeoGebra 3.0.0.0 gearbeitet. Dabei tauchten einige Probleme im Zusammenhang mit der Funktion f a : f a (x) = x 2 x ( a e ) e auf. Um zu erfahren ob es möglich ist, diese zu beheben, schrieb ich einen Eintrag ins Forum von GeoGebra. Des Weiteren kontaktierte ich den Erfinder von GeoGebra Herrn Markus Hohenwarter per E-Mail, um weitere Informationen über diese Themen zu erhalten.
13 3.3.2 Probleme bei Nullstellen, Extrem- und Wendepunkte Ein Problem bei meiner e-funktion war, dass man die Nullstellen, Extrem- und Wendepunkte nicht anhand der Eingabezeile berechnen konnte. Die Befehle Nullstelle[ f a (x)] oder Extremum[ f a (x) ] oder Wendepunkt[ (x) ] funktionieren bei e- und ln- Funktionen nicht. Für dieses Problem, das ich ins Forum gestellt habe, erhielt ich folgende Antwort: Es wird als wahrscheinlich betrachtet, dass dies in Zukunft möglich ist. Die Nullstellen kann man durch die Schnittpunkte des Graphen mit der x-achse einzeichnen und berechnen. Die Abszissen der Extrem- und Wendepunkte erhält man durch die Schnittpunkte der ersten bzw. der zweiten Ableitung und der x-achse. f a Von Herrn Markus Hohenwarter bekam ich eine ähnliche Antwort in Bezug auf die Schnittpunkte. Es gibt zwei Möglichkeiten, um die Schnittpunkte von nichtrationalen Funktionen zu bekommen. Entweder durch Schneide zwei Objekte oder durch den Befehl Schneide[Funktion f, Funktion g, Anfangspunkt A]. Dabei muss man allerdings die Gerade g ( x) 0 und einen Punkt A, der auf der Funktion f, liegen muss, eintragen. Auf diese Weise berechnet GeoGebra die Schnittpunkte mit der Newton-Methode. Des Weiteren kann man direkt die Nullstelle von nicht ganzrationalen Funktionen berechnen, indem man einen Startwert angibt. Hierbei muss man aber keinen Punkt festlegen, sondern einfach einen Wert eingeben. Dieser muss nahe bei der Nullstelle liegen. Nullstelle[Funktion, Zahl] lautet dabei der Befehl. Dies testete ich mit der zweiten Ableitung meiner Funktion. Durch Probieren fand ich heraus, dass ich für die Zahl Werte zwischen -0,3 und 148 einsetzen kann. Verwendete ich Zahlen über 148 war die Nullstelle, fälschlicherweise, nicht definiert.
14 Bei Werte, kleiner als -0,3, war die Abszisse der Nullstelle sehr weit im Minusbereich, obwohl an dieser Stelle gar kein Schnittpunkt mit der x-achse existierte. Diese Möglichkeiten liefern aber nur die x-koordinaten, jedoch nicht die Ordinaten, der Extrem- oder Wendepunkte.
15 3.3.3 Probleme mit dem Definitionsbereich Auch waren, bei meiner Funktion, die Nullstellen der Ableitungen fehlerhaft. Wenn ich zum ' Beispiel den Schnittpunkt des Graphen f a ( x) und der x-achse eingezeichnet habe, erhielt ich die Nullstelle, die sich für jedes a > 0,5 mit der Funktion bewegt. Für a 0, 5 gibt es bei der ersten Ableitung meiner Funktion keine Nullstelle. GeoGebra zeigt jedoch eine Nullstelle an, deren x-wert weit im Minusbereich ist. Richtig wäre in diesem Fall gewesen, dass eine Fehlermeldung erscheint, mit dem Hinweis, dass der Punkt nicht definiert ist. Wie nachfolgend dargestellt, ist der Tiefpunkt von f a (x) undefiniert, die Nullstelle der ersten Ableitung ist jedoch bei x 745, 8. Verschiebt man nun den Parameter so, dass wieder eine Nullstelle, also ein Tiefpunkt existiert, bleibt die Nullstelle der ersten Ableitung bei x 745, 8. Der Tiefpunkt wird richtig angezeigt.
16 3.3.4 Probleme beim uneigentlichen Integral Bei der Berechnung des uneigentlichen Integrals gab es Probleme mit dem - Zeichen. Es sollte die Fläche berechnet werden, die f ( ) und h (x) im II. Quadranten einschließen und die ins Unendliche reicht. h (x) = 4 2 f ( ) = e x 3e x 4 2 x 2 x
17 Es wird eine Funktion ohne Parameter, also die Funktion f ( ) und nicht f a (x) mit a 2 betrachtet. Bei der Eingabe Integral[ h, f 2,,0] berechnet GeoGebra zwar die Fläche, zeichnet sie aber nicht ein. 2 x Eine weitere Möglichkeit die Fläche zeichnen und berechnen zu lassen, ist, das - Zeichen durch eine sehr kleine Zahl zu ersetzten. Durch Testen habe ich festgestellt, dass bei Eingabe einer Zahl von -1.000.000 sowohl die Fläche berechnet, als auch eingezeichnet wird.
18 Verkleinert man die Zahl auf -100.000.000.000 oder noch kleiner, so zeichnet das Programm eine falsche Skizze, berechnet die Fläche aber richtig. Geht man jedoch von der Funktion f a (x) aus und schiebt den Schieberegler auf a 2 tauchen erneut Probleme auf., so
19 Wird Integral[ h, f a,,0] eingegeben, so wird die Fläche als undefiniert dargestellt. Ersetzt man wiederum das - Zeichen durch -1.000.000 so passiert das Selbe, wie bei Funktionen ohne Parameter. Die Fläche wird immer berechnet, doch die Zeichnung, die zunächst richtig ist, wird falsch, wenn die untere Integrationsgrenze auf -1.000.000.000.000 verkleinert wird. Das Problem mit dem Berechnen einer Fläche mit dem - Zeichen habe ich in der E-Mail an Herrn Markus Hohenwarter erwähnt. Er schreibt, dass es derzeit nicht möglich sei, ein uneigentliches Integral mit Hilfe des - Zeichens zu berechnen. Er habe aber vor, die symbolischen Möglichkeiten zu verbessern, indem ein CAS Fenster angeboten wird.
20 Quellenverzeichnis: Haftendorn, 2004 Prof. Dr. Haftendorn, Dörte: GeoGebra. Die geniale Verbindung von Geometrie und AlGebra und Analysis. Dynamische Mathematik-Software, 2004. Internetpublikation unter: http://www.fh- Lueneburg.de/mathe-lehramt/mathelehramt.htm?show=http://www.fhlueneburg.de/mathe-lehramt/computer/ geogebra/geogebra.htm [Stand: 28.07.2009] Hohenwarter/Hohenwarter 2009 Hohenwarter, Markus/Hohenwarter Judith: Was ist GeoGebra?, 2009. Internetpublikation unter: http://www.geogebra.org/help/docude/ [Stand: 28.07.2009] Hohenwarter/Hohenwarter/Kreis, 2009 Hohenwarter, Markus/Hohenwarter, Judith/ Kreis, Yves: Was ist GeoGebra?, 2009. Internetpublikation unter: http://www.geogebra.org/cms/index.php? option=com_content&task=blogcategory&id =74&Itemid=59 [Stand: 28.07.2009] Danken möchten wir vor allem Herrn Hohenwarter, der uns bei der Zusammenstellung dieser Arbeit sehr unterstützt hat. Diese Informationen trugen wir im Rahmen unserer Seminararbeit im Fach Mathematik am Ende der 12 Jahrgangsstufe in der Fachoberschule zusammen. Arbinger Karin, Sonja und Ilona