Universität Bern Bern, den. März Professur für Quantitative Methoden der BWL Schützenmattstr., Bern Prof. Dr. Norbert Trautmann, Oliver Strub E-Mail: oliver.strub@pqm.unibe.ch Aufgabenblatt 6 zur Lehrveranstaltung Quantitative Methoden der Betriebswirtschaftslehre I Frühjahrssemester Proseminar Anwendungen Quantitativer Methoden der Betriebswirtschaftslehre Herbstsemester Im Herbstsemester bieten wir das Proseminar Anwendungen Quantitativer Methoden der Betriebswirtschaftslehre an. Das Oberthema des Proseminars lautet Optimale Selektion von Projekten. Die Entscheidung, welche Projekte in einem Unternehmen durchgeführt bzw. finanziert werden, stellt insbesondere bei eingeschränkten Mitteln und Ressourcen eine äusserst komplexe Aufgabe dar. Die Ziele sind sehr unterschiedlicher Natur, sei es die Maximierung des Kapitalwertes (NPV) oder die Erreichung eines bestimmten Marktanteils für ein neues Produkt. Oft werden auch mit Hilfe von Goal Programming mehrere Ziele miteinander in Einklang gebracht. Im Rahmen des Proseminars werden Gemischt-Ganzzahlige Optimierungsmodelle für diverse Anwendungen betrachtet, wie z.b. die Selektion von Forschungs- und Entwicklungsprojekte bei einem Automobilhersteller Selektion von geeigneten Unternehmen für internationale Joint Ventures Selektion von Projektportfolios im Gesundheitswesen Weitere Informationen: http://www.pqm.unibe.ch Lehre Proseminar Anmeldefrist:. März bis 7. April Anmeldung unter folgendem Link: http://www.bwl.unibe.ch/content/dienste_fuer_studierende/zuteilung_proseminare/ index_ger.html
Aufgabe : Branch-and-Bound-Verfahren Wir betrachten das Ganzzahlige Lineare Optimierungsproblem x Min. x + x u.d.n. 8x + x x x x + x x, x Z () () () x Mit dem Branch-and-Bound-Verfahren aus der Vorlesung wurde eine optimale Lösung bestimmt. Vervollständigen Sie die Darstellung des Ablaufs des Verfahrens (Suchbaum) nachfolgend analog zur Vorlesung; die in blau dargestellte Zahl gibt an, in welcher Reihenfolge die einzelnen Alternativen untersucht werden. Kennzeichnen Sie die optimale Lösung. Stellen Sie auf der nächsten Seite für die einzelnen Iterationen des Verfahrens jeweils den zulässigen Bereich und die optimale Lösung der entsprechenden LP-Relaxation dar; sofern der zulässige Bereich leer ist oder keine optimale Lösung existiert, so begründen Sie dies bitte kurz. Eine explizite Darstellung des Ablaufs des Simplex-Verfahrens zur Lösung der LP-Relaxation ist dabei nicht notwendig. x = (.,.) ZF =.8 7 x = (.87, ) ZF =.6 8 x = (,.) ZF =.67 9 x = (, ) ZF = 7 6
x x 6 x x x x 7 x x x x 8 x x x x 9 x x
Bitte die zwei Seiten zum Abgeben auf je ein Blatt A (nur Vorderseite) drucken und nicht zusammengeheftet abgeben. Gruppennummer: Punkte für Aufgabe : Aufgabe (*): Rucksack-Problem (. Punkte) Die Firma BadReputation fürchtet nach einem Skandal ihres bekanntesten Werbeträgers um ihren guten Ruf. Um einen möglichen Reputationsschaden zu verhindern, möchte BadReputation bei einigen Sportanlässen als Hauptsponsor auftreten. Dazu wurde vom Management ein Budget in der Höhe von USD Mio. gesprochen. BadReputation hat momentan die Möglichkeit, bei zehn verschiedenen Sportanlässen als Hauptsponsor aufzutreten. Die Kosten eines Hauptsponsorings und die damit verbundene erwartete Anzahl erreichter Kontakte sind in der nachfolgenden Tabelle für die zehn Sportanlässe aufgeführt: Sportanlässe i 6 7 8 9 Kosten a i [USD Mio.] 7 6 7 8 6 6 Erwartete Kontakte c i [in ] 98 9. 6.8.. Quotient c i a i...7..9.9. Ein teilweises Sponsoring ist nicht möglich; die Firma kann bei den Sportanlässen entweder als Hauptsponsor (zu den Konditionen in der Tabelle) oder gar nicht auftreten. a) Bestimmen Sie mit dem in der Vorlesung besprochenen Branch-and-Bound-Verfahren, an welchen Sportanlässen die Firma BadReputation als Hauptsponsor auftreten soll, so dass die erwartete Anzahl erreichter Kontakte maximiert wird, ohne dabei das Budget zu überschreiten. Vervollständigen Sie dazu die Darstellung des Ablaufs des Verfahrens (Suchbaum) auf der nächsten Seite, und beachten Sie dabei die folgenden Punkte: Benutzen Sie nur die auf der nächsten Seite vorgegebenen Kästchen. Nummerieren Sie die Kästchen gemäss der Reihenfolge, in der sie untersucht wurden. Kennzeichnen Sie Kandidaten, Bounds, die optimale Lösung und geben Sie die hinzugefügten Nebenbedingungen an. Geben Sie bei den Lösungen der LP-Relaxationen nur die Werte der Variablen mit x i > an. Gehen Sie immer von der LP-Relaxation mit dem höchsten Zielfunktionswert einer optimalen Lösung aus, um neue Alternativen zu bilden; untersuchen Sie dann zuerst die Alternative mit x i =. Lösen Sie die LP-Relaxationen mit dem Verfahren aus der Vorlesung (ohne Angabe des Rechenwegs) auf der Folie V9; benutzen Sie dazu die Quotienten c i a i (i =,..., ). Falls es für eine Relaxation keine zulässigen Lösungen gibt, begründen Sie kurz weshalb. Hinweis: Nicht alle Kästchen müssen ausgefüllt werden. b) Um den Nutzen des Branch-and-Bound Verfahrens aufzuzeigen, bestimmen Sie, wie viele Kombinationen bestehend aus maximal zwei Sportanlässen bei einem Enumerationsverfahren überprüft werden müssten. Wie viele Kombinationen davon sind zulässig? Anzahl Kombinationen mit maximal ausgewählten Sportanlässen (inkl. Rechenweg): Auflistung der nicht zulässigen Kombinationen: Anzahl zulässige Kombinationen:
Bitte die zwei Seiten zum Abgeben auf je ein Blatt A (nur Vorderseite) drucken und nicht zusammengeheftet abgeben. Gruppennummer: x =., x 6 = Z = 9. x = x = Z = Z =
Aufgabe : Integer Optimality Gegeben sei das Rucksack-Problem aus Aufgabe. a) Ermitteln Sie für das Rucksack-Problem aus Aufgabe mit Hilfe des Solver-Add-Ins von Microsoft Excel eine zulässige Lösung, deren Zielfunktionswert um nicht mehr als % schlechter als der Zielfunktionswert einer optimalen Lösung ist. Wählen Sie dazu als Lösungsverfahren Simplex LP, und wählen Sie für den Parameter Integer Optimality den Wert %. b) Lösen Sie das Rucksack-Problem mit Hilfe des Solver-Add-Ins von Microsoft Excel erneut. Wählen Sie dazu als Lösungsverfahren Simplex LP, und wählen Sie für den Parameter Integer Optimality den Wert %. c) Erläutern Sie anhand der Ergebnisse von a) und b) die Bedeutung des Parameters Integer Optimality im Branch-and-Bound-Verfahren des Solver-Add-Ins. d) Berechnen Sie im Suchbaum aus Aufgabe für die ersten fünf Knoten, die nach der ersten gefundenen zulässigen Lösung eröffnet werden, den Wert der sogenannten MIP Gap. Die MIP Gap gibt die relative Differenz zwischen dem Zielfunktionswert der bisher besten gefundenen zulässigen Lösung und der Schranke für den Zielfunktionswert einer optimalen Lösung an. e) Erläutern Sie den Zusammenhang zwischen der MIP Gap und dem Parameter Integer Optimality. 6
Aufgabe : Mengenüberdeckungsproblem Der Kundenbereich einer Bank besteht aus 8 Räumen mit folgender Aufteilung: A B C D E F G H Zur Sicherheitskontrolle sollen neue Überwachungs-Kameras installiert werden. Die Kameras sollen jeweils an der Verbindung zwischen zwei Räumen installiert werden; dadurch können die beiden angrenzenden Räume überwacht werden (Beispiel: eine an der Verbindung zwischen Raum B und Raum E installierte Kamera kann die Räume B und E, aber keinen der übrigen Räume überwachen). Jeder Raum soll von mindestens einer Kamera überwacht werden; Raum H soll von mindestens zwei Kameras überwacht werden. An den Verbindungen zwischen den Raum D und den angrenzenden Räumen können insgesamt nicht mehr als Kameras installiert werden; das gleiche gilt für Raum E. a) Formulieren Sie durch Erweiterung des Mengenüberdeckungs-Problems ein Binäres Lineares Optimierungsproblem, mit Hilfe dessen die minimal notwendige Anzahl Kameras ermittelt werden kann. Geben Sie die Bedeutung der Entscheidungsvariablen an, und geben Sie alle Konstanten in Zahlenform an. b) Implementieren Sie das in a) formulierte Optimierungsproblem mit Hilfe des Solver-Add- Ins von Microsoft Excel. Bestimmen Sie eine optimale Lösung für die oben angegebenen Daten; wählen Sie dazu als Lösungsmethode Simplex LP aus, und wählen Sie den Wert für den Parameter Integer Optimality. Markieren Sie die ermittelten Standorte der Kameras in der nachfolgenden Abbildung. A B C D E F G H 7
Hinweise zur Bewertung: Wenn Sie an einer Bewertung Ihres Lösungsvorschlags für die mit * markierte Aufgabe interessiert sind, so bearbeiten Sie diese Aufgabe bitte in der gleichen Gruppe wie bei Aufgabenblatt. Sofern Sie noch keiner Gruppe angehören, so schliessen Sie sich bitte einer Gruppe von drei Personen an. Die Zusammensetzung der Gruppen kann im Laufe des Semesters nicht geändert werden. Bitte tragen Sie den Lösungsvorschlag handschriftlich in die vorgesehenen Freiräume ein und werfen Sie die ausgefüllten Blätter im Original bis spätestens Freitag, den 7. März, 7: Uhr in den Briefkasten vor Büro 8 in der Schützenmattstrasse (Öffnungszeiten des Gebäudes: Montag bis Freitag 7: bis 7: Uhr) oder am Montag, den. März, zwischen 8 und 8: Uhr in die Box am Eingang von Hörsaal A Nicht handschriftlich erstellte Lösungsvorschläge werden nicht gewertet. Werden von einer Gruppe mehrere Lösungsvorschläge eingereicht, so wird nur der zuerst eingetroffene gewertet. Eine verspätete Abgabe des Lösungsvorschlags führt zu Punktabzug (bis zu h Verspätung: %; mehr als h Verspätung: %). Der Lösungsweg und das Ergebnis müssen eindeutig ersichtlich und nachvollziehbar sein. Mit Hilfe von Software (z.b. Microsoft Excel) erstellte Lösungsvorschläge werden nicht gewertet. Eine gruppenübergreifende Zusammenarbeit ist nicht gestattet und führt zum Ausschluss vom Bewertungsverfahren. Die Punkte aus den Übungen werden nur an Klausuren zu dieser Lehrveranstaltung im Zeitraum Juni bis September angerechnet. Die Lösungen zu diesen Aufgaben werden am Donnerstag, den. April von 8: bis Uhr in Raum A (UniS) besprochen. 8