Klassische Themen der Computerwissenschaft Spieltheorie: Ein kleiner Ausflug zu NIM & Co Literatur: Winning Ways for Your Mathematical Plays E.R. Berlekamp, J.H. Conway and R.K. Guy: Second Edition 2001, Volume 1, A K Peters, Ltd. Games on triangulations O. Aichholzer, D. Bremner, E.D. Demaine, F. Hurtado, E. Kranakis,H. Krasser, S. Ramaswami, S. Sethia, and J. Urrutia: Theoretical Computer Science, 343(1-2):42-71,2005. NIM & Co 0 Was ist ein Spiel? 2 Spieler [ A,B / L(eft),R(ight) / R(ed),B(lack) ] Die Spieler ziehen abwechselnd Vollständige Information für beide Spieler Kein Zufall Eine (endliche) Menge von Positionen mit einer (oder mehreren) gekennzeichneten Startposition(en) Zu jeder Position existiert eine (evt. leere) Menge von Nachfolgepositionen NIM & Co 1 1
Was ist ein Spiel II? Ein Zug eines Spielers besteht im Übergang von einer Position zu einer gültigen Nachfolgeposition Der erste Spieler der NICHT ziehen kann, verliert (engl: normal play) Jedes Spiel endet nach endlich vielen Zügen, es gibt kein Unentschieden Symmetrisch: Für eine gegebene Position haben beide Spieler dieselben Zugmöglichkeiten (engl. impartial games) NIM & Co 2 Wer gewinnt? Welcher Spieler gewinnt ein Spiel? Startspieler oder nachziehender Spieler? Unter der Annahme, dass beide Spieler optimal spielen, lassen sich die Spiele in First-Player-win und Second-Player-win Spiele unterteilen. Wie sieht die optimale Strategie aus? NIM & Co 3 2
Chocolate game (Chomp) NIM & Co 4 Welche Spiele? Spiele: Chocolate game (chomp) NIM Primzahl-Spiel Poker NIM Northcott s Game Kayles Dawson s Kayles Monochromatic Triangle Triangulation Coloring Game NIM & Co 5 3
NIM n Stapel mit k 1,,k n > 0 Münzen Wähle einen beliebigen (nicht-leeren) Stapel Entferne von diesem Stapel beliebig viele Münzen, jedoch mindestens eine, maximal den gesamten Stapel NIM & Co 6 Primzahl-Spiel n ganze Zahlen f 1,,f n >1 Wähle einen beliebigen Zahl f i >1 Zerlege f i in ein oder mehrere Primfaktoren p 1,,p k >1, k 1, und den Rest f >1, d.h. f i =p 1 * * p k *f. Ersetze f i durch p 1,,p k und f. NIM & Co 7 4
Poker-NIM Wie bei NIM Wie NIM, anstatt Münzen zu entfernen darf der Spieler aber beliebig viele Münzen aus seinem Vorrat (=in vorhergehenden Zügen entfernte Münzen) auf einen beliebigen Stapel legen. NIM & Co 8 Northcott s Game nxm Schachbrett mit je einer schwarzen und einer weißen Münze pro Zeile i, an der Stelle x i bzw. y i, x i y i. Wähle eine beliebige Zeile i und verschiebe die Münze Deiner Farbe auf ein anderes Feld dieser Zeile, jedoch ohne über die gegnerische Münze zu springen. Dieses Spiel ist NICHT impartial! NIM & Co 9 5
Kayles (auch Rip Van Winkle s Game) Kegeln: Gegeben ist eine Reihe von n Kegeln. Es müssen immer entweder ein oder zwei benachbarte Kegel getroffen werden. NIM & Co 10 Dawson s Kayles Kegeln: Gegeben ist eine Reihe von n Kegeln. Es müssen immer genau zwei benachbarte Kegel getroffen werden. Einzelstehende Kegel werden nach dem Wurf entfernt. NIM & Co 11 6
Kayles II wie NIM Wähle einen beliebigen (nicht-leeren) Stapel Entferne von diesem Stapel 1 oder 2 Münzen Optional: teile den Rest dieses Stapels in zwei kleinere Stapel Kegeln: Gegeben ist eine Reihe von n Kegeln. Es müssen immer entweder ein oder zwei benachbarte Kegel getroffen werden. NIM & Co 12 Dawson s Kayles II Wie NIM Wie Kayles, aber es müssen immer genau 2 Münzen entfernt werden. Kegeln: Gegeben ist eine Reihe von n Kegeln. Es müssen immer genau zwei benachbarte Kegel getroffen werden. Einzelstehende Kegel werden nach dem Wurf entfernt. NIM & Co 13 7
Monochromatic Triangle n Punkte in der Ebene in allgemeiner Lage Zeichne eine durch zwei Punkte aufgespannte Kante, ohne eine Kreuzung zu erzeugen. Das Spiel endet, sobald ein leeres Dreieck entstanden ist. NIM & Co 14 Triangulation Coloring Game Eine Triangulierung von n Punkten in der Ebene, alle Kanten sind schwarz Wähle eine beliebige schwarze Kante, und färbe diese grün. Das Spiel endet, sobald ein leeres grünes Dreieck entstanden ist. NIM & Co 15 8
Chocolate game (again) Tweedledum-Tweedledee-Prinzip NIM & Co 16 9