Folie 1 von 19 Punkt-in-Polygon-Suche Übersicht Praxisbeispiel/Problemstellung Zählen von Schnittpunkten Schnitt einer Halbgerade mit der Masche Aufwandsbetrachtung Streifenkarte Vorgehen und Eigenschaften Speicherung der Daten / Suche in den Daten Aufwandsbetrachtung Trapezkarte
Folie 2 von 19 Praxisbeispiel Rollover am Bildschirm
Folie 3 von 19 Problemstellung 1 In welcher Masche liegt Punkt P? Allgemein: Gegeben ist eine räumliche Datenbank und eine Klasse typischer Anfragen Gesucht wird eine Datenstruktur, die einen effizienten Algorithmus unterstützt Konkret: Gegeben ist eine Landkarte S und ein Punkt P Gesucht wird die Masche M, die den Punkt P beinhaltet
Folie 4 von 19 Lösungsansatz 1 Halbgerade am Punkt anlegen Aus dem >>Jordanschen Kurvensatz folgt: Konstruiere ausgehend von P eine Halbgerade in beliebiger Richtung P liegt außerhalb des begrenzten Gebietes, wenn eine gerade Anzahl von Schnittpunkten entsteht. P liegt innerhalb des begrenzten Gebietes, wenn eine ungerade Anzahl von Schnittpunkten entsteht. 1x
Folie 5 von 19 Theorem Jordanscher Kurvensatz Nach Jordan: Eine geschlossene Jordankurve S zerlegt die Ebene in zwei zusammenhängende Gebiete, von denen genau eines nicht beschränkt ist. Zwei Punkte der Ebene können genau dann durch eine Jordankurve J verbunden werden, die S nicht schneidet, wenn sie entweder beide im Inneren oder beide im Äußeren von S liegen.
Folie 6 von 19 Lösungsansatz 1 Suchaufwand Das Verfahren muss für jede Masche iteriert werden: Aufwand für ein Polygon mit n Kanten: O(n) Aufwand bei m Polygonen: O(m*n) Der Aufwand für eine Suche nach dem Jordanschen Kurvensatz beträgt O(m*n). Mit welchem Verfahren kann der Suchaufwand verringert werden?
Folie 7 von 19 Praxisbeispiel Bundesrepublik Deutschland In der Praxis kann die Anzahl der Maschen und Kanten sehr schnell hoch werden: Bundesrepublik Deutschland: 1 Masche Bundesländer: 16 Maschen mit 17.700 Kanten Kreise: 440 Maschen mit 75.000 Kanten Gemeinden: 13.900 Maschen mit 300.000 Kanten Angaben für den Massstab 1:500.000 Quelle: ArcDeutschland 500, ESRI
Folie 8 von 19 Vorgehensweise 2 Konstruktion eines Index Der Aufbau eines Index kostet Zeit. Diese amortisiert sich jedoch bei der Abfrage. Allgemein: Gegeben: Räumliche Datenbank und eine Klasse typischer Anfragen Gesucht: Datenstruktur, die einen möglichst schnellen Algorithmus unterstützt Konkret: Gegeben: Landkarte S und ein Punkt P Gesucht: Index für die schnelle Identifikation der zugeordneten Masche M.
Folie 9 von 19 Lösungsansatz 2 Konstruktion der Streifenkarte S' Vorgehen: Konstruktion einer Karte S' durch Aufteilung der Landkarte mit vertikalen Geraden durch alle Knoten. Folge: In allen Schnittpunkten der Geraden mit den Kanten entstehen neue Knoten. 2x
Folie 10 von 19 Lösungsansatz 2 Eigenschaften von S' S' hat folgende Eigenschaften: Die Maschen sind in Trapeze (ggf. Dreiecke) zerlegt. Kanten sind in Teilkanten zerlegt. 2x
Folie 11 von 19 Lösungsansatz 2 Vorteil von S' Die Karte erhält eine Struktur, die wir ausnutzen können: Die Streifen sind in x-richtung angeordnet. Innerhalb eines Streifens sind die Teilkanten und damit die Trapeze in y-richtung angeordnet. 2x
Folie 12 von 19 Lösungsansatz II Speicherung der Daten Die Datenspeicherung erfolgt in Arrays: Ein Array enthält die x-koordinaten der Streifen. Jeder Streifen enthält ein Array der y-koordinaten der Teilkanten.
Folie 13 von 19 Lösungsansatz 2 Intervall-Bisektion Zwei schnelle binäre Suchalgorithmen werden für die Suche nach der Masche hintereinander geschaltet: Binäre Suche im Array der x- Koordinaten nach dem Streifen, der P enthält. Binäre Suche nach dem zugehörigen Trapez in diesem Streifen. Sobald die Teilkante direkt >>unterhalb/ oberhalb von P gefunden ist, ist die gesuchte Masche gefunden. 3x
Folie 14 von 19 Bemerkungen Eigenschaften der Maschen Es gilt: Jeder Abschnitt eines Streifens liegt genau in einer Masche. Jede Kante lässt sich einer in y- Richtung folgenden Masche zuordnen. Die Fläche"Außen" muss ebenfalls als Masche angesehen werden.
Folie 15 von 19 Lösungsansatz 2 Suchaufwand Der Suchaufwand dieses Lösungsansatzes entsteht durch: Binäre Suche im Array der x-koordinaten nach dem Streifen, der P enthält: Binäre Suche in einem Array mit maximaler Länge 2n: O(log n) Binäre Suche nach der Lage von P zu den Teilkanten im Array der y-koordinaten: Binäre Suche in einem Array mit maximaler Länge n: O(log n) Der Aufwand für die binäre Suche in einer Streifenkarte beträgt O(log n). Im >>Vergleich zum Lösungsansatz 1 hat sich der Suchaufwand verbessert.
Folie 16 von 19 Vergleich Suchaufwand der zwei Lösungsansätze Der Aufwand für eine Suche nach dem Jordanschen Kurvensatz beträgt O(n). Der Suchaufwand für die binäre Suche in einer Streifenkarte beträgt O(log n).
Folie 17 von 19 Lösungsansatz 2 Speicherbedarf Es entsteht eine hohe Speicheranforderung durch: die sortierte Speicherung der x-koordinaten der vertikalen Geraden in einem Array: Array der x-koordinaten: O(n) die sortierte Speicherung der y-koordinaten der Teilkanten jedes Streifens von oben nach unten in einem Array: Array der y-koordinaten: O(n) Die Speicheranforderung für die Daten dieses Lösungsansatzes beträgt O(n²)
Folie 18 von 19 Lösungsansatz 2 Worst Case Speicherbedarf Der Worst Case tritt tatsächlich auf: In ungünstigen Fällen erfolgt mit diesem Verfahren eine sehr hohe Knoten- und Teilkantenbildung und damit ein hohes Datenaufkommen. Wie kann der Speicherbedarf verringert werden? 1x
Folie 19 von 19 Problemstellung 3 Verringerung des Speicherbedarfs Zwischenresümee: Die Zerlegung in Streifen führt zu einer schnellen Suche. Allerdings ist der Speicherbedarf unvertretbar hoch. Problem: Gibt es eine bessere Zerlegung, die die Laufzeit erhält und den Speicherbedarf verringert?