Martin Aigner Diskrete Mathematik
Martin Aigner Diskrete Mathematik Mit über 500 Übungs aufgaben 3., durchgesehene Auflage
Die Deutsche Bibliothek - CIP-Einheitsaufnahme Aigner, Martin: Diskrete Mathematik: mit über 500 Übungsaufgabenj Martin Aigner. - 3., durchges. Aufl. - Braunschweig ; Wiesbaden: Vieweg, 1999 (Vieweg Studium; 68 : Aufbaukurs Mathematik ISBN 978-3-528-27268-5 ISBN 978-3-322-94262-3 (ebook) DOI 10.1007/978-3-322-94262-3 Prof. Dr. Martin Aigner Freie Universität Berlin Institut für Mathematik II (WE 2) Arnimallee 3 14195 Berlin E-mail: aigner@math.fu-berlin.de 1. Auflage 1993 2., durchgesehene Auflage 1996 3., durchgesehene Auflage 1999 Alle Rechte vorbehalten Friedr. Vieweg & Sohn Verlags gesellschaft mbh, Braunschweig/Wiesbaden, 1999 Der Verlag Vieweg ist ein Unternehmen der Bertelsmann Fachinformation GmbH. Das Werk und seine Teile ist urheberrechtiich geschützt. Jede Verwertung außerhalb der engen Grenzen des Urheberrechtsgesetzes ist ohne Zustimmung des Verlages unzulässig und strafbar. Das gilt insbesondere für Vervielfältigungen, Übersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen. http://www.vieweg.de Konzeption und Layout des Umschlags: Weigel, www.corporatedesigngroup.de ISBN 978-3-528-27268-5
v Vorwort Vor 50 Jahren gab es den Begriff "Diskrete Mathematik" nicht, und er ist auch heute im deutschen Sprachraum keineswegs gebräuchlich. Vorlesungen dazu werden nicht überall und schon gar nicht mit einem einheitlichen Themenkatalog angeboten (im Gegensatz zum Beispiel zu den USA, wo sie seit langem einen festen Platz haben). Die Mathematiker verstehen unter Diskreter Mathematik meist Kombinatorik oder Graphentheorie, die Informatiker Diskrete Strukturen oder Boolesche Algebren. Das Hauptanliegen dieses Buches ist daher, solch einen Themenkatalog zu präsentieren, der alle Grundlagen für ein weiterführendes Studium enthält. Die Diskrete Mathematik beschäftigt sich vor allem mit endlichen Mengen. Was kann man in endlichen Mengen studieren? Als allererstes kann man sie abzählen, dies ist das klassische Thema der Kombinatorik - in Teil I werden wir die wichtigsten Ideen und Methoden zur Abzählung kennenlernen. Auf endlichen Mengen ist je nach Aufgabenstellung meist eine einfache Struktur in Form von Relationen gegeben, von denen die anwendungsreichsten die Graphen sind. Diese Aspekte fassen wir in Teil II unter dem Titel Graphen und Algorithmen zusammen. Und schließlich existiert auf endlichen Mengen oft eine algebraische Struktur (oder man kann eine solche auf natürliche Weise erklären). Algebraische Systeme sind der Inhalt von Teil III. Diese drei Gesichtspunkte bilden den roten Faden des Buches. Ein weiterer Aspekt, der die Darstellung durchgehend prägt, betrifft den Begriff der Optimierung. Die Entwicklung, welche die Kombinatorik in den letzten 50 Jahren vollkommen revolutionierte und sie erst zum heutigen Gebiet der Diskreten Mathematik machte, war die Frage nach schnellen Algorithmen. Es genügte nicht mehr, ein kombinatorisches Problem theoretisch zu lösen, man wollte eine Lösung explizit konstruieren, und dies wenn möglich anhand eines schnellen Algorithmus. Es ist sicher kein Zufall, daß dieser Optimierungsgesichtspunkt gerade Ende der 40'er Jahre an Bedeutung gewann, genau parallel zur Entwicklung der ersten schnellen Rechner. In diesem Buch wird dementsprechend großer Wert auf den algorithmischen Standpunkt gelegt, vor allem in Teil II, wie dies ja auch schon im Titel zum Ausdruck kommt. Die Diskrete Mathematik ist heute eine Grundlagenwissenschaft auch der Informatik, und das Buch sollte durch die Stoffauswahl für Mathematiker und Informatiker gleichermaßen interessant sein. Die drei Teile sind so organisiert, daß sie weitgehend unabhängig voneinander studiert werden können, mit Ausnahme der Kapitell und 5, welche die Grundlagen der Abzählung und Graphen behandeln - sie sollten in jedem Fall gelesen werden. Der gesamte Stoff kann in einer zweisemestrigen Vorlesung behandelt werden, die Kapitell - 3, 5-7 und 12 waren Inhalt einer einsemestrigen Veranstaltung. Es ist üblich, in einem Vorwort auf den Nutzen der Übungen hinzuweisen. In einem Buch über Diskrete Mathematik kann der Wert der Übungen gar nicht hoch genug eingeschätzt werden, was man schon daraus erkennen kann, daß die Übungen (und
VI Vorwort Lösungen) fast ein Viertel des Textes ausmachen. Diskrete Mathematik behandelt vor allem konkrete Probleme, und ohne Praxis wird man sie trotz aller theoretischer Kenntnisse nicht lösen können. Zusätzlich wird in den Übungen des öfteren auf weiterführende Fragen hingewiesen. Die Übungen jedes Kapitels sind (durch einen Strich) zweigeteilt. Der erste Teil sollte ohne große Mühe zu lösen sein, der zweite Teil ist etwas schwieriger. Viele Übungen enthalten Hinweise, und für Übungen, die mit * bezeichnet sind, findet man im Anhang eine Lösung. Jeder Teil endet mit einer knappen Literaturliste mit Hinweisen für ein weiterführendes Studium. An Vorkenntnissen wird nur Vertrautheit mit den mathematischen Grundbegriffen vorausgesetzt und an manchen Stellen Kenntnisse aus der Linearen Algebra und Analysis, wie sie üblicherweise im 1. Semester erworben werden. Die verwendeten Bezeichnungen entsprechen durchwegs dem Standard, vielleicht mit den folgenden Ausnahmen: A=L:Ai A = I1Ai (t) Menge A ist disjunkte Vereinigung der Ai Menge A ist kartesisches Produkt der Ai Familie aller k-untermengen von A. Der Vorteil ist, daß sich die Bezeichnungen unmittelbar auf die Mengengrößen übertragen: Sind die Mengen Ai nicht notwendig disjunkt, so setzen wir wie üblich A = U Ai. Die Elemente von I1 Ai = Al X... x An sind wie gewohnt alle n-tupel (al,..., an), ai E Ai. Eine k-menge besteht aus k Elementen. B(S) ist die Familie aller Untermengen von S. Die Bezeichnungen r xl, Lx J für x E IR bedeuten x aufgerundet auf die nächste ganze Zahl bzw. x abgerundet. ISI bezeichnet die Anzahl der Elemente in S. Das Buch ist aus einer Reihe von Vorlesungen für Mathematik- und Informatikstudenten hervorgegangen. Der Mitarbeit (und der Kritik) dieser Hörer gebührt daher mein erster Dank. Besonderen Dank schulde ich meinem Kollegen G. Stroth und meinen Studenten T. Biedl, A. Lawrenz und H. Mielke, die den gesamten Text durchgesehen und an vielen Stellen verbessert haben. T. Thiele hat wesentlich zur graphischen Gestaltung beigetragen. E. Greene, S. Hoemke und M. Barrett danke ich herzlich für die kompetente Abfassung in 1l\TEYC, und dem Vieweg - Verlag für die angenehme Zusammenarbeit. Berlin, Ostern 1993 Martin Aigner
VII Inhaltsverzeichnis Teil I: Abzählung 1 Grundlagen 1.1 Elementare Zählprinzipien.... 1.2 Die fundamentalen Zählkoeffizienten 1.3 Permutationen............ 1.4 Rekursionen... 1.5 Diskrete Wahrscheinlichkeitsrechnung 1.6 Existenzaussagen Übungen.... 2 Summation 2.1 Direkte Methoden 2.2 Differenzenrechnung 2.3 Inversion... 2.4 Inklusion-Exklusion. Übungen.... 3 Erzeugende Funktionen 3.1 Definition und Beispiele.... 3.2 Lösung von Rekursionen............ 3.3 Erzeugende Funktionen vom Exponentialtyp. Übungen.... 4 Asymptotische Analyse 4.1 Wachstum von Funktionen. 4.2 Größenordnung von Rekursionen 4.3 Laufzeit von Algorithmen Übungen.... Literatur zu Teil I Teil 11: Graphen und Algorithmen 5 Graphen 5.1 Definition und Beispiele 5.2 Darstellung von Graphen 5.3 Wege und Kreise.. 5.4 Gerichtete Graphen. Übungen.... 1 3 3 6 10 12 18 24 27 34 34 39 44 48 52 57 57 59 66 69 74 74 78 81 83 87 88 89 89 93 96 99 102
VIII Inhaltsverzeichnis 6 Bäume 105 6.1 Begriff und Charakterisierung. 105 6.2 Breadth-First und Depth-First Suche 108 6.3 Minimale aufspannende Bäume 110 6.4 Kürzeste Wege in Graphen 113 Übungen.......... 115 7 Matchings und Netzwerke 120 7.1 Matchings in bipartiten Graphen 120 7.2 Konstruktion von optimalen Matchings 124 7.3 Flüsse in Netzwerken........... 130 7.4 Eulersche Graphen, das Traveling Salesman Problem 136 7.5 Die Komplexitätsklassen P und NP. 144 Übungen......................... 147 8 Suchen und Sortieren 152 8.1 Suchprobleme und Entscheidungsbäume 152 8.2 Der Hauptsatz der Suchtheorie 155 8.3 Sortieren von Listen 161 8.4 Binäre Suchbäume 167 Übungen....... 173 9 Allgemeine Optimierungsmethoden 178 9.1 Backtrack........... 178 9.2 Dynamisches Programmieren 182 9.3 Der Greedy Algorithmus. 188 Übungen............ 191 Literatur zu Teil 11 195 Teil 111: Algebraische Systeme 196 10 Boolesche Algebren 197 10.1 Definition und Eigenschaften..,.... 197 10.2 Aussagenlogik und Boolesche Funktionen 199 10.3 Logische Netze............... 203 10.4 Boolesche Verbände, Ordnungen, Hypergraphen. 207 Übungen....................... 212 11 Modulare Arithmetik 216 11.1 Rechnen mit Kongruenzen. 216 11.2 Endliche Körper... 219 11.3 Lateinische Quadrate... 221 11.4 Kombinatorische Designs 225 Übungen.......... 232
IX 12 Codes und Kryptographie 12.1 Problemstellung.... 12.2 Quellencodierung............. 12.3 Entdecken und Korrigieren von Fehlern 12.4 Lineare Codes. 12.5 Kryptographie Übungen... 13 Lineare Optimierung 13.1 Beispiele und Definitionen 13.2 Dualität.......... 13.3 Der Hauptsatz der linearen Optimierung. 13.4 Zulässige Lösungen und optimale Lösungen 13.5 Der Simplexalgorithmus..... 13.6 Ganzzahlige lineare Optimierung Übungen.... Literatur zu Teil III Lösungen zu ausgewählten Übungen Sachwortverzeichnis 236 236 237 239 243 247 252 256 256 258 263 268 272 278 281 285 286 311