Wirtschaft Nils Grotewohlt Volatilität Investitionsmöglichkeiten in eine neue Assetklasse Diplomarbeit
Fachhochschule Köln Cologne University of Applied Sciences Fakultät für Wirtschaftswissenschaften Diplomarbeit (Drei-Monats-Arbeit) zur Erlangung des Diplomgrades Diplom-Kaufmann (FH) in der Fachrichtung Banking and Finance Volatilität Investitionsmöglichkeiten in eine neue Assetklasse vorgelegt am 15. März 2011 von cand. Nils Grotewohlt
Inhaltsverzeichnis Seite Abbildungsverzeichnis... I Tabellenverzeichnis... II Abkürzungsverzeichnis... III Symbolverzeichnis... IV Begriffsdefinition... VI 1 Problemstellung und Zielsetzung... 1 2 Volatilität... 3 2.1 Definition... 3 2.2 Historische Volatilität... 4 2.3 Implizite Volatilität... 5 2.4 Zukünftige Volatilität... 6 2.5 Saisonale Volatilität... 7 3 Berechnungsmethoden... 9 3.1 Das Black-Scholes-Modell... 9 3.1.1 Arbitrageportfolio... 10 3.1.2 Grundannahmen des Modells... 11 3.1.3 Die Lognormalverteilung... 11 3.2 Optionspreisberechnung nach Black-Scholes... 12 3.2.1 Die Modellierung von Kurspfaden... 13 3.2.1.1 Markov-Eigenschaft... 13 3.2.1.2 Wiener-Prozess... 14 3.2.1.3 Allgemeiner Wiener-Prozess... 15 3.2.1.4 Itô-Prozess... 16 3.2.2 Herleitung der Black-Scholes-Differentialgleichung... 16 3.3 Binomialmodell... 20 3.3.1 Cox-Ross-Rubinstein... 20 3.3.2 Darstellung eines Binomialbaumes... 21 4 Bedeutung der impliziten Volatilität... 24 4.1 Schiefe (Skewness) und Wölbung (Kurtosis)... 26 4.2 Smile-Effekt... 27 4.2.1 Der Smile-Effekt bei Aktienoptionen... 27 4.2.2 Der Smile-Effekt bei Währungsoptionen... 30 4.3 Volatilität im Zeitablauf... 32
4.4 Oberfläche der Volatilität... 33 4.5 Sensitivitätskennzahl Vega... 35 5 Volatilität als Assetklasse... 37 5.1 Volatilitätsindizes... 37 5.1.1 VDAX-NEW... 38 5.1.2 Unterschiede zu anderen Volatilitätsindizes... 40 5.2 Eigenschaften der Volatilität... 41 5.2.1 Leverage-Effekt... 42 5.2.2 Mean Reversion... 43 5.2.3 Volatilitäts-Clustering... 46 6 Investitionsmöglichkeiten in Volatilitätsprodukte... 48 6.1 Pfadabhängige Strategien... 48 6.1.1 Delta-Hedging... 48 6.1.2 Volatilitätsstrategien erster Ordnung... 50 6.1.2.1 Long-Straddle... 50 6.1.2.2 Weitere Optionsstrategien... 53 6.1.3 Volatilitätsstrategien zweiter Ordnung... 54 6.2 Reine Volatilitätsprodukte... 55 6.2.1 Swaps... 55 6.2.2 Futures... 59 6.2.3 Optionen... 64 6.2.4 Zertifikate... 67 6.2.5 Exchange Traded Notes... 69 7 Schlussbetrachtung... 74 Literaturverzeichnis... 1 Anhang... 9
I Abbildungsverzeichnis Seite Abbildung 1: Aktienrendite und Aktienkurs hinsichtlich ihrer Verteilung... 12 Abbildung 2: Typische Pfade von Wiener-Prozessen... 15 Abbildung 3: Black-Scholes Bewertungsfunktion für Calls... 19 Abbildung 4: Optionspreise in einem Binomialbaum... 22 Abbildung 5: Optionspreisbestimmende Parameter nach Black-Scholes.. 24 Abbildung 6: Schiefe bei der Renditedichte... 26 Abbildung 7: Wölbung einer Renditeverteilung... 27 Abbildung 8: Volatility Smile und Verteilungen für Aktienoptionen... 28 Abbildung 9: Volatility Smile und Verteilungen für Währungsoptionen... 30 Abbildung 10: Volatilitätsoberfläche von DAX-Optionen... 35 Abbildung 11: Vega in Abhängigkeit von Strike Price und Restlaufzeit... 36 Abbildung 12: Kursvergleich VDAX und VDAX-NEW (zurückberechnet)... 38 Abbildung 13: Positive Korrelation der Aktienmärkte... 41 Abbildung 14: Negative Korrelation zwischen VDAX-NEW und DAX 30... 42 Abbildung 15: Mean Reversion anhand des VDAX-NEW... 44 Abbildung 16: Mean Reversion der Volatilität... 45 Abbildung 17: Gewinn- / Verlustprofil eines Straddles am Laufzeitende... 51 Abbildung 18: Dynamisches Gewinn- / Verlustprofil eines Straddles... 52 Abbildung 19: Nominal-Verlauf von Varianz-Swap (blau) und Volatilitäts- Swap (grau)... 57 Abbildung 20: Gehandelte Kontrakte und Open Interest des Mini-Futures 61 Abbildung 21: Forwardkurve der Volatilität... 62 Abbildung 22: Gehandelte Kontrakte und Open Interest der Optionen... 65 Abbildung 23: Negative Korrelation in Krisenzeiten... 66 Abbildung 24: Index-Zusammensetzungen und Korrelationen der ipath S&P 500 VIX Mid- / Short-Term Futures ETNs... 71
II Tabellenverzeichnis Seite Tabelle 1: Volatilitätsmatrix... 34 Tabelle 2: Verschiedene Volatilitätsindizes... 40 Tabelle 3: Beispiel für einen Long-Straddle... 51 Tabelle 4: Kontraktspezifikationen des Eurex VSTOXX Mini-Futures... 60 Tabelle 5: Kontraktspezifikationen der Eurex VSTOXX Optionen... 64 Tabelle 6: Volatilitäts-ETNs auf Xetra... 69
III Abkürzungsverzeichnis ATM At the money B/S Black und Scholes BMW Bayerische Motoren Werke CBOE Chicago Board Options Exchange CRR Cox-Ross-Rubinstein DAX Deutscher Aktienindex Ebd. Ebenda et al. et alii ETCs Exchange Traded Commodities ETNs Exchange Traded Notes Eurex European Exchange ISIN International Securities Identification Number ITM In the money LSE London Stock Exchange NTM Near the money NYSE Arca New York Stock Exchange Archipelago o. J. ohne Jahr o. S. ohne Seite ODAX DAX-Optionen OTC Over-The-Counter OTM Out of the money PLC Public Limited Company S&P Standard & Poor s SMI Swiss Market Index US United States VDAX DAX-Volatilitätsindex VDAX-NEW Neuer DAX-Volatilitätsindex VIX CBOE-Volatilitätsindex VolVol Volatilität der Volatilität VSMI Volatilitätsindex des Swiss Market Indexes VSTOXX Volatilitätsindex des EURO STOXX 50 Xetra Exchange Electronic Trading
IV Symbolverzeichnis (.) C c d d 1, d 2 dz E(.) f F f 0 F i f T K K i,j ln N(.) P p q r S S 0 S T t T T i u x Γ Partielles Differential Wert der Dichtefunktion der Standardnormalverteilung Preis einer amerikanischen Call-Option Wert einer europäischen Call-Option Proportionale Abwärtsbewegung in einem Binomialmodell Parameter in Bewertungsformeln für Optionen Wiener-Prozess Euler`sche Zahl Erwartungswert einer Variablen Wert eines Derivates Forward-Preis des Underlying Indexes Wert eines Derivates zum Zeitpunkt Null Forward-Wert abgeleitet aus den Preisen des i-ten ODAX Wert eines Derivates zum Zeitpunkt T Strike Price Strike Price der j-ten OTM-Option des i-ten ODAX-Verfalls Natürlicher Logarithmus Kumulierte Normalverteilung Wert einer amerikanischen Put-Option Wert einer europäischen Put-Option Dividendenrendite Risikoloser Zinssatz Preis eines Vermögensgegenstandes, der einem Derivat zugrunde liegt, zu einem Zeitpunkt t. Wert von S zum Zeitpunkt Null Wert von S zum Zeitpunkt T Zukünftiger Zeitpunkt Restlaufzeit eines Derivates Zeit bis zum Verfall des i-ten ODAX Proportionale Abwärtsbewegung Zufallsvariable Gamma