Value at Risk. Sandra Radl Sandra Radl Value at Risk / 31

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1 Value at Risk Sandra Radl Sandra Radl Value at Risk / 31

2 Inhaltsverzeichnis 1 Definition Zeithorizont 2 Berechnungsmethoden Historische Simulation Lineares Modell Quadratisches Modell Monte-Carlo-Simulation Zusammenfassen von Marktvariablen 3 Stress Testing und Back Testing 4 Kritik Sandra Radl Value at Risk / 31

3 Definition Definition Risikomaß für das Gesamtrisiko eines Portfolios von Finanzinstrumenten In den nächsten N Tagen werden wir zu x% nicht mehr als V Euro verlieren. abhängig vom Zeithorizont N und Konfidenzniveau x (100 x)% -Quantil der Verteilung der Portfoliowertänderung in den nächsten N Tagen Sandra Radl Value at Risk / 31

4 Definition Veranschaulichung Abbildung: Value at Risk bei normalverteilter Portfoliowertänderung Sandra Radl Value at Risk / 31

5 Definition Zeithorizont Zeithorizont Praxis: nur Eintages-VaR wird berechnet N TagesVaR = Eintages VaR N Wurzel-Zeit-Formel, Sqaure root of time Regel exakt, falls Wertänderungen des Portfolios von aufeinander folgenden Tagen unabhängig voneinander und identisch verteilt Sandra Radl Value at Risk / 31

6 Historische Simulation Historische Simulation Verwendung von historischen Daten, um einen Richtwert für die zuküftigen Veränderungen zu berechnen Vorgehensweise (x=5, N=1, Marktdaten der letzten 501 Tage): Identifizierung der beeinflussenden Marktvariable(n) (z.b. Aktienkurse, Wechselkurse, Zinssätze) Sandra Radl Value at Risk / 31

7 Historische Simulation Historische Simulation Verwendung von historischen Daten, um einen Richtwert für die zuküftigen Veränderungen zu berechnen Vorgehensweise (x=5, N=1, Marktdaten der letzten 501 Tage): Identifizierung der beeinflussenden Marktvariable(n) (z.b. Aktienkurse, Wechselkurse, Zinssätze) Untersuchung der Veränderungen der beeinflussenden Variablen in den vergangenen 501 Tagen 500 mögliche Szenarien für die Entwicklung der Marktvariablen von heute auf morgen (1. Szenario: Prozentuelle Änderung der Marktvariablen von heute auf morgen entspricht prozentueller Veränderung der Marktvariablen von Tag 0 auf Tag 1) Sandra Radl Value at Risk / 31

8 Historische Simulation Historische Simulation Berechnung der Portfoliowertänderung für jedes Szenario Wahrscheinlcihkeitsverteilung für tägliche Portfoliowertänderung Sandra Radl Value at Risk / 31

9 Historische Simulation Historische Simulation Berechnung der Portfoliowertänderung für jedes Szenario Wahrscheinlcihkeitsverteilung für tägliche Portfoliowertänderung gewünschtes Quantil bestimmen Bei 500 Szenarien: 95 % Quantil 25-schlechtester Wert 99 % Quantil 5-schlechtester Wert Sandra Radl Value at Risk / 31

10 Historische Simulation Historische Simulation Berechnung der Portfoliowertänderung für jedes Szenario Wahrscheinlcihkeitsverteilung für tägliche Portfoliowertänderung gewünschtes Quantil bestimmen Bei 500 Szenarien: 95 % Quantil 25-schlechtester Wert 99 % Quantil 5-schlechtester Wert Vorausgesetzt, die Wertänderungen der letzten 501 Tage sind ein gutes Indiz für die Wertänderung von heute auf morgen, kann man so den VaR bestimmen. Sandra Radl Value at Risk / 31

11 Historische Simulation Historische Simulation - Beispiel Identifizierung der beeinflussenden Marktvariablen Marktvariablen werden jeden Tag zu bestimmtem Zeitpunkt (meist Handelsschluss) beobachtet Tag Marktvariable 1 Marktvariable 2... Marktvariable N 0 15,66 1, , ,85 1, , ,12 1, , ,93 1, , ,75 1, , ,98 1, , ,32 1, ,76 Tabelle: Historische Daten der letzten 501 Tage Sandra Radl Value at Risk / 31

12 Historische Simulation Historische Simulation - Beispiel Untersuchung der Veränderungen der beeinflussenden Variablen in den vergangenen 501 Tagen Berechnung der Portfoliowertänderung für jedes Szenario i-tes Szenario: v (n,501) = v (n,500) v (n,i) v (n,i 1) Sandra Radl Value at Risk / 31

13 Historische Simulation Historische Simulation - Beispiel Untersuchung der Veränderungen der beeinflussenden Variablen in den vergangenen 501 Tagen Berechnung der Portfoliowertänderung für jedes Szenario i-tes Szenario: v (n,501) = v (n,500) v (n,i) v (n,i 1) Szenario Markt- Markt-... Markt- Portfolio- Wertvariable 1 variable 2 variable N wert änderung in Mio. e in Mio. e 1 18,54 1, ,24 36,61-13, ,63 1, ,34 55,72 +5, ,10 1, ,46 50,64 +0, ,55 1, ,04 54,45 +4, ,66 1, ,51 55,67 + 5,35 Tabelle: Szenarien für die Marktwerte bzw. Portfoliowerte am Tag 501 Sandra Radl Value at Risk / 31

14 Historische Simulation Historische Simulation - Beispiel gewünschtes Quantil bestimmen Angenommen x=5% 25-schlechtesten Wert der letzten Spalte (Wertänderung) wählen Sandra Radl Value at Risk / 31

15 Historische Simulation Historische Simulation - Beispiel gewünschtes Quantil bestimmen Angenommen x=5% 25-schlechtesten Wert der letzten Spalte (Wertänderung) wählen Berechnung des Value at Risks an Tag 501: Daten der Tage 1 bis 501 verwenden Sandra Radl Value at Risk / 31

16 Volatilität σ Maß für die Unsicherheit der zukünftigen Wertänderungen des Assets je höher σ, desto wahrscheinlicher ist es, dass das Asset stark an Wert verliert oder gewinnt Standardabweichung der prozentualen Änderung des Assetpreises Sandra Radl Value at Risk / 31

17 Volatilität σ Maß für die Unsicherheit der zukünftigen Wertänderungen des Assets je höher σ, desto wahrscheinlicher ist es, dass das Asset stark an Wert verliert oder gewinnt Standardabweichung der prozentualen Änderung des Assetpreises üblicherweise wird Volatilität pro Jahr angegeben, Zeithorizont bei VaR-Berechnung wird aber in Tagen gemessen σ Tag = σ Jahr 252 Sandra Radl Value at Risk / 31

18 Lineares Modell - Beispiel (Ein-Asset-Fall) Portfolio bestehend aus einer einzelnen Position in einer einzelnen Aktie (Erste Group Bank Aktie, 10 Mio. e) 5-Tages-VaR zu einem Konifidezniveau von 99 % σ Jahr = 22, 11% σ Tag = σ Jahr 0, 2211 = = 0, = 1, 39% Standardabweichung der täglichen Portfoliowertänderung beträgt 1,39 Prozent von 10 Mio. e( e) Sandra Radl Value at Risk / 31

19 Lineares Modell - Beispiel (Ein-Asset-Fall) Annahmen: erwartete Wertänderung beträgt 0, Wertänderung normalverteilt N( 2, 33) = 0, 01 Wert der Erste Bank Aktie sinkt innerhalb eines Tages zu 99% nicht um mehr als das 2,33-fache der Standardabweichung Sandra Radl Value at Risk / 31

20 Lineares Modell - Beispiel (Ein-Asset-Fall) Annahmen: erwartete Wertänderung beträgt 0, Wertänderung normalverteilt N( 2, 33) = 0, 01 Wert der Erste Bank Aktie sinkt innerhalb eines Tages zu 99% nicht um mehr als das 2,33-fache der Standardabweichung Eintages-VaR: 2, = , 22Euro 5 TagesVaR = Eintages VaR 5 = , 22 5 = , 67 Sandra Radl Value at Risk / 31

21 Lineares Modell - Beispiel (Zwei-Asset-Fall) Portfolio bestehend aus 10 Mio. Euro in Erste Group Bank Aktien (σ Tag = 1, 39%) und 5 Mio. Euro in RBI Aktien (σ Tag = 1, 87%) Wertänderungen zweidimensional normalverteilt Korrelationskoeffizient ρ = 0, 4 σ X +Y = σ 2 X + σ2 Y + 2ρσ X σ Y Sandra Radl Value at Risk / 31

22 Lineares Modell - Beispiel (Zwei-Asset-Fall) Portfolio bestehend aus 10 Mio. Euro in Erste Group Bank Aktien (σ Tag = 1, 39%) und 5 Mio. Euro in RBI Aktien (σ Tag = 1, 87%) Wertänderungen zweidimensional normalverteilt Korrelationskoeffizient ρ = 0, 4 σ X +Y = σ 2 X + σ2 Y + 2ρσ X σ Y σ E+R = σ E = σ R = σ 2 E + σ2 R + 2ρσ E σ R = , = , 77 Sandra Radl Value at Risk / 31

23 Lineares Modell - Beispiel (Zwei-Asset-Fall) Der 5-Tages-Value at Risk zu einem Konfidenzniveau von 99 % beträgt 2, , 77 5 = , 37Euro Sandra Radl Value at Risk / 31

24 Diversifikationseffekt 5-Tages-VaR eines Portfolios von 10 Mio. Euro in Erste Group Bank Aktien zu einem Konfidenzniveau von 99 %: ,67 e 5-Tages-VaR eines Portfolios von 5 Mio. Euro in RBI Aktien zu einem Konfidenzniveau von 99 %: ,41 e 5-Tages-Value at Risk eines Portfolios von 10 Mio. Euro in Erste Group Bank Aktien und 5 Mio. Euro in RBI Aktien zu einem Konfidenzniveau von 99 %: ,37 e monetärer Nutzen der Diversifikation: ( , , 41) , 37 = , 71Euro Sandra Radl Value at Risk / 31

25 Diversifikationseffekt ρ = 1 keine Diversifikation je näher ρ bei -1 liegt, desto stärker ist der Effekt der Diversifikation Sandra Radl Value at Risk / 31

26 Diversifikationseffekt ρ = 1 keine Diversifikation je näher ρ bei -1 liegt, desto stärker ist der Effekt der Diversifikation Risiko wird minimiert, Rendite bleibt gleich höhere Rendite pro Einheit an eingegangenem Risiko Sandra Radl Value at Risk / 31

27 Diversifikationseffekt ρ = 1 keine Diversifikation je näher ρ bei -1 liegt, desto stärker ist der Effekt der Diversifikation Risiko wird minimiert, Rendite bleibt gleich höhere Rendite pro Einheit an eingegangenem Risiko Harry Markowitz ( Portfolio Selection 1992, Wirtschaftsnobelpreis 1990) Sandra Radl Value at Risk / 31

28 Allgemeine Formulierung des linearen Modells P...Wert des Portfolio, bestehend aus n Assets in Asset i (1 < i < n) wurde der Betrag α i angelegt x i...rendite des i-ten Assets an einem Tag P = n α i x i i=1 Annahme: x i mehrdimensional normalverteilt mit Erwartungswert null P normalverteilt mit Erwartungswert null σ i...tägliche Volatilität des i-ten Assets (Standardabweichung von x i ) ρ ij...korrelationskoeffizient zwischen den Renditen von Asset i und Asset j Sandra Radl Value at Risk / 31

29 Allgemeine Formulierung des linearen Modells σ 2 P = σ 2 P = n n ρ ij α i α j σ i σ j i=1 j=1 n αi 2 σi i=1 i=1 j<i n ρ ij α i α j σ i σ j Sandra Radl Value at Risk / 31

30 Anwendung des linearen Modells am Besten geeignet für Portfolios, welche ausschließlich Aktien, Anleihen, Währungen und Rohstoffe beinhalten (Änderung des Portfoliowertes hängt linear von der prozentualen Änderung der Assets abhängt) Sandra Radl Value at Risk / 31

31 Anwendung des linearen Modells am Besten geeignet für Portfolios, welche ausschließlich Aktien, Anleihen, Währungen und Rohstoffe beinhalten (Änderung des Portfoliowertes hängt linear von der prozentualen Änderung der Assets abhängt) Forward-Kontrakt zum Kauf einer Währung mit Laufzeit T: Forward Kontrakt...Vereinbarung, ein gewisses Gut zu einem bestimmten Zeitpunkt und einem im Vorhinein vereinbarten Kurs zu kaufen beziehungsweise zu verkaufen Kann als Austausch von eines Zerobonds mit Laufzeit T in Fremdwährung gegen einen Zerobond mit Laufzeit T in inländischer Währung betrachtet werden (also Long-Position in einer Fremdwährungsanleihe + Short-Position in einer inländischen Anleihe) Sandra Radl Value at Risk / 31

32 Optionen im linearen Modell Delta...Sensitivität des Portfoliowerts gegenüber der Aktienpreisänderung δ : = P S P = δ S x : = S S P = S δ x n P = S i δ i x i i=1 α i : = S i δi n P = α i x i kann auf allgemeine Formulierung zurückgeführt werden i=1 Sandra Radl Value at Risk / 31

33 geht man bei positivem (negativen) Gamma dennoch von Normalverteilung aus, so ist berechneter VaR ist tendenziell zu hoch (niedrig) Sandra Radl Value at Risk / 31 quadratisches Modell lineares Modell liefert im Falle eines Portfolios mit Optionen nur eine Approximation des Value at Risks, da das Gamma der Option (Sensitivität des Portfolio-Deltas gegenüber dem Assetpreis) nicht berücksichtigt wird γ beeinflusst Portfoliowert-Wahrscheinlichkeitsverteilung: Abbildung: Portfoliowert-Wahrscheinlichkeitsverteilung für (a) positives Gamma (b) negatives Gamma

34 Abbildung: Wahrscheinlichkeitsverteilung eines Long Calls bei normalverteiltem Underlying Sandra Radl Value at Risk / 31 Rechtsschiefheit der Wahrscheinlichkeitsverteilung bei positivem Gamma Zusammenhang zwischen dem Wert einer Longposition in einer Kaufoption (positives Gamma) und dem zugrundeliegenden, normalverteilten Underlying

35 quadratisches Modell neben Delta wird auch Gamma berücksichtigt P = δ S γ ( S)2 x : = S S P = S δ x S 2 γ ( x) 2 Sandra Radl Value at Risk / 31

36 quadratisches Modell neben Delta wird auch Gamma berücksichtigt P = δ S γ ( S)2 x : = S S P = S δ x S 2 γ ( x) 2 hängt Portfolio von n Marktvariablen ab, wobei jedes Asset des Portfolios nur von einer Markvariable abhängt, folgt daraus P = n S i δ i x i + i=1 n i=1 1 2 S 2 i γ i ( x i ) 2 Sandra Radl Value at Risk / 31

37 quadratisches Modell kann ein Asset des Portfolios auch von mehreren Marktvariablen abhängen, so gilt die allgemeinere Formel P = n S i δ i x i + i=1 n n i=1 i=1 1 2 S i S j γ ij x i x j wobei γ ij = 2 P S i S j für das so genannte Cross Gamma steht Sandra Radl Value at Risk / 31

38 quadratisches Modell kann ein Asset des Portfolios auch von mehreren Marktvariablen abhängen, so gilt die allgemeinere Formel P = n S i δ i x i + i=1 n n i=1 i=1 1 2 S i S j γ ij x i x j wobei γ ij = 2 P S i S j für das so genannte Cross Gamma steht kann zur Berechnung der Momente von P benutzt werden mittels Cornish-Fisher-Entwicklung kann über Momente das Quantil berechnet werden Sandra Radl Value at Risk / 31

39 Monte-Carlo-Simulation 1 Portfolio wird unter Verwendung der gegenwärtigen Werte der Marktvariablen bewertet Sandra Radl Value at Risk / 31

40 Monte-Carlo-Simulation 1 Portfolio wird unter Verwendung der gegenwärtigen Werte der Marktvariablen bewertet 2 Ziehung eines Zufallsergebnisses aus der mehrdimensionalen Normalverteilung der x i Sandra Radl Value at Risk / 31

41 Monte-Carlo-Simulation 1 Portfolio wird unter Verwendung der gegenwärtigen Werte der Marktvariablen bewertet 2 Ziehung eines Zufallsergebnisses aus der mehrdimensionalen Normalverteilung der x i 3 gezogenen Zufallswerte werden zur Bestimmung aller Marktvariablenwerte benutzt 4 Portfolio wird auf Grundlage dieser Marktvariablen neu bewertet 5 Differenz des Portfoliowerts im ersten Schritt und im vierten Schritt ergibt möglichen Wert für P Sandra Radl Value at Risk / 31

42 Monte-Carlo-Simulation 1 Portfolio wird unter Verwendung der gegenwärtigen Werte der Marktvariablen bewertet 2 Ziehung eines Zufallsergebnisses aus der mehrdimensionalen Normalverteilung der x i 3 gezogenen Zufallswerte werden zur Bestimmung aller Marktvariablenwerte benutzt 4 Portfolio wird auf Grundlage dieser Marktvariablen neu bewertet 5 Differenz des Portfoliowerts im ersten Schritt und im vierten Schritt ergibt möglichen Wert für P 6 Die Schritte 2 bis 5 werden mehrfach wiederholt Wahrscheinlichkeitsverteilung von P wird erzeugt Nachteil: sehr aufwändig Sandra Radl Value at Risk / 31

43 Zusammenfassen von Marktvariablen Zusammenfassen von Marktvariablen Annahme: in der Renditkurve treten ausschließlich Parallelverschiebungen auf (nur eine Marktvariable muss definiert werden), sehr ungenau Sandra Radl Value at Risk / 31

44 Zusammenfassen von Marktvariablen Zusammenfassen von Marktvariablen Annahme: in der Renditkurve treten ausschließlich Parallelverschiebungen auf (nur eine Marktvariable muss definiert werden), sehr ungenau Alternative: Verwendung der Preise der Zerobonds mit Standardlaufzeiten (1 Monat, 3 Monate, 6 Monate, 1 Jahr, 2 Jahre, 5 Jahre, 7 Jahre, 10 Jahre und 30 Jahre) als Marktvariablen um VaR eines Portfolios zu berechnen werden Cashflows der Wertpapiere des Portfolios analysiert und passenden standardisierten Zerobonds zugeordnet. Sandra Radl Value at Risk / 31

45 Stress Testing und Back Testing Stress Testing und Back Testing Stress Testing Erstellung von Schätzungen, wie sich das Portfolio bei den extremsten Marktbewegungen der letzten 10 bis 20 Jahren bzw. von Unternehmensführung vorgegebenen Szenarien verhalten würde z.b.: prozentuale Änderung der Marktvariablen in Großbritannien am 10. April 1992 (Rendite für zehnjährige Anleihen bewegte sich um 7,7 Standardabweichungen) Sandra Radl Value at Risk / 31

46 Stress Testing und Back Testing Stress Testing und Back Testing Stress Testing Erstellung von Schätzungen, wie sich das Portfolio bei den extremsten Marktbewegungen der letzten 10 bis 20 Jahren bzw. von Unternehmensführung vorgegebenen Szenarien verhalten würde z.b.: prozentuale Änderung der Marktvariablen in Großbritannien am 10. April 1992 (Rendite für zehnjährige Anleihen bewegte sich um 7,7 Standardabweichungen) Back Testing Überprüfung, wie gut unsere Value at Risk Schätzer in der Vergangenheit waren Sandra Radl Value at Risk / 31

47 Kritik Kritik keine Berücksichtigung des erwarteten Verlusts im (100-X) %-Quantil Abbildung: Verlustverteilungsfunktion von Portfolio A Abbildung: Verlustverteilungsfunktion von Portfolio B Sandra Radl Value at Risk / 31

48 Kritik Kritik keine Berücksichtigung des erwarteten Verlusts im (100-X) %-Quantil Abbildung: Verlustverteilungsfunktion Abbildung: Verlustverteilungsfunktion von Portfolio A von Portfolio B Portfolio A und B haben den selben VaR, dennoch ist B um einiges riskanter (zu erwartende Verlust im (100-X)% Quantil der Wertänderungsverteilungsfunktion ist wesentlich höher) Sandra Radl Value at Risk / 31

49 Kritik Expected Shortfall Conditional Value at Risk (C-VaR), Tail Loss Mit welchem Verlust kann ich rechnen, wenn der Fall eintritt, dass der Verlust den Value at Risk überschreitet? Abbildung: Expected Shortfall Sandra Radl Value at Risk / 31

50 Kritik Quelle Hull, John C. Optionen, Futures und andere Derivate München: Pearson Studium, 2009 Sandra Radl Value at Risk / 31