Bewertung von biometrischen Risiken in der bav

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Horst Bösch
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1 Bewertung von biometrischen Risiken in der bav Ralf Knobloch Fachhochschule Köln

2 Gliederung 1. Biometrische Risiken in der bav 2. Das Modell 3. Risikomaße 4. Einfaches Beispiel 5. Schlussbemerkungen 2

3 Biometrische Risiken in der bav Biometrische Risiken sind Risiken, die mit dem Leben von Personen zusammenhängen, z.b. Langlebigkeit Invalidität Hinterbliebene 3

4 Biometrische Risiken in der bav Betriebswirtschaftliche Definition des Begriffs Risiko : Risiko bezeichnet die Möglichkeit der negativen Abweichung von geplanten Zielen. (Risiko im engeren Sinne, wirkungsbezogene Definition) (vgl. z.b. Sartor/Bourauel S.3ff). Zielgröße = Deckungsmittel Abweichung = Benötigte Deckungsmittel vorhandene Deckungsmittel (Risiko: Abweichung >0) Wie kann es aufgrund biometrischer Risiken zu Abweichungen kommen? Falsche Einschätzung der aktuellen oder zukünftigen biometrischen Verhältnisse Zufällige Schwankungen 4

5 Biometrische Risiken in der bav Wie misst man biometrische Risiken vergangenheitsbezogen bzw. retrospektiv? Vergleich der tatsächlichen und den rechnungsmäßigen Häufigkeiten von biometrischen Ereignissen (Tod, Invalidität, ) über ein oder über mehrere Jahre Vergleich der tatsächlich benötigten und rechnungsmäßigen vorhandenen Deckungsmittel für biometrische Ereignisse über ein oder über mehrere Jahre Zukunftsbezogene bzw. prospektive Ansätze Value-at-Risk, Tail Value-at-Risk und Schadenverteilung in der Personenversicherung, Herrmann R., Blätter der DGVFM, Oktober 2006, Vol. 27, S Monte-Carlo-Simulation des kompletten Bestandsschicksals über einen langen Zeitraum, z.b. 100 Jahre 5

6 Das Modell Biometrisches Modell der bav: Aktiver Ausgeschiedener Arbeitnehmer Arbeitnehmer Invalidenrentner Altersrentner Hinterbliebenenrentner Ohne Anspruch (Vgl. Neuburger: Mathematik und Technik betrieblicher Pensionszusagen, Schriftenreihe Angewandte Versicherungsmathematik Heft 25, S. 57) 6

7 Das Modell Gegeben sei ein betriebliches Versorgungswerk (keine Vorgabe bezüglich des Durchführungswegs) mit n Personen. Betrachteter Zeitraum T Jahre. Zum Zeitpunkt t 0 vorhandene Deckungsmittel für die k -te Person: D k, k 1,2,,n. Leistungen an die k -te Person zum Zeitpunkt t : L k, t, k 1,2,,n, t 0,1,2,,T Prämie/Finanzierung für die k -te Person zum Zeitpunkt t : P k, t, k 1,2,,n, t 0,1,2,,T 7

8 Das Modell Zufallsvariablen Abweichung/Differenz k -te Person/ Verlust(+) und Gewinn(-) X k : T t 0 v t L k,t T t 0 v t P k,t D k (v = Abzinsungsfaktor) Abweichung/Differenz gesamt / Verlust(+) und Gewinn(-) X : n X k k 1 8

9 Das Modell Verteilung der Zufallsvariablen X? Faltung: X ist die Summe von n unabhängigen Zufallsvariablen. Problem: Für größere n und T rechentechnisch nicht bzw. schwer direkt kalkulierbar. Normalverteilung: X kann für große n als annähernd normalverteilt angenommen werden. Problem: Erwartungswert gut, Standardabweichung nicht bzw. schwer direkt kalkulierbar. Für kleinere oder inhomogene Bestände ist die Normalverteilungsannahme eventuell nicht erfüllt. 9

10 10 Das Modell Markov-Ansatz: Modellierung der Personenschicksale mit Markov-Ketten Problem: Erwartungswert gut, Standardabweichung nicht bzw. schwer direkt kalkulierbar. Monte-Carlo-Simulation: Die Verteilung von X kann durch eine hinreichend große Anzahl von Simulationen geschätzt werden. Dabei wird das Schicksal einer Person mithilfe von Zufallszahlen ausgewürfelt. Damit können Kennzahlen der Verteilung von X geschätzt werden: Erwartungswert, Standardabweichung, Value at Risk, Expected Shortfall,.

11 11 Risikomaße Zufallsvariable X: Gesamtabweichung/-differenz (Verlust(+), Gewinn(-)) Erwartungswert: Durchschnittlicher Wert, Lagemaß, aber kein Risikomaß Standardabweichung: Wurzel aus mittlerer quadratischen Abweichung vom Erwartungswert, Streuungsmaß, aber kein Risikomaß im engeren Sinne Value at Risk: Minimale Differenz unter den α 100% (z.b. 5%) schlechtesten Szenarien, Risikomaß (aber nicht immer kohärent, insbesondere ist i.a. die Subadditivität verletzt) Expected Shortfall: Durchschnittlicher Wert unter den α 100% (z.b. 5%) schlechtesten Szenarien, Risikomaß (immer kohärent), bei stetigen Verteilungen identisch mit Tail Value at Risk

12 12 Einfaches Beispiel Fiktiver Bestand: Nur Rentner 300 Männer: 60 Invalidenrentner, 225 Altersrentner, 15 Witwer 243 Frauen: 15 Invalidenrentner, 45 Altersrentner, 183 Witwen 60% Hinterbliebenenversorgung Durchführungsweg: Direktzusage Berechnungsannahmen: Rechnungszins: 3% p.a. Rentendynamik: 1,5% p.a. Biometrie: RT 2005 G (Rückstellungsberechnung und Simulation)

13 13 Einfaches Beispiel Beispiel 1: Invaliden- und Altersrente jeweils Jahresrente Witwen/-errente jeweils 720 Jahresrente Jahresrentensumme = Beispiel 2: Invaliden- und Altersrente im Mittel ca Jahresrente (Bandbreite 0 bis ) Witwen/-errente im Mittel ca. 720 Jahresrente (Bandbreite 0 bis ) Jahresrentensumme =

14 14 Einfaches Beispiel Beispiel 3: Invaliden- und Altersrente im Mittel ca Jahresrente (Ein Invalidenrentner als Ausreißer mit Jahresrente , Jg. 1973) Witwen/-errente im Mittel ca. 720 Jahresrente (Eine Witwe als Ausreißer mit Jahresrente , Jg. 1949) Jahresrentensumme = Beispiel 4: (Bestand wie Beispiel 2) Invaliden- und Altersrente im Mittel ca Jahresrente Witwen/-errente im Mittel ca. 720 Jahresrente Jahresrentensumme = Pausschale Absenkung der Sterbewahrscheinlichkeiten um 10% (Rückstellungsberechnung und Simulation)

15 15 Einfaches Beispiel (100 Simulationsläufe) Beispiel 1 Beispiel 2 Beispiel 3 Beispiel 4 (1) Jahresrentensumme (2) Rückstellung = Barwert (3) Erwarteter Barwert (=Mittelwert) (4) = (3)/(2) 1 0,32% 0,28% 0,10% 0,35% (5) Erwartete Abweichung (=Mittelwert) (6) Standardabweichung Abweichung (7) In Prozent der Rückstellung 1,85% 1,96% 7,82% 1,89% (8) Value at Risk Abweichung (NV,5%) (9) In Prozent der Rückstellung 3,36% 3,50% 12,96% 3,46% (10) Value at Risk Abweichung (geschätzt,5%) (11) In Prozent der Rückstellung 3,32% 3,33% 10,45% 3,35% (12) Expected Shortfall Abweichung (NV,5%) (13) In Prozent der Rückstellung 4,14% 4,32% 16,23% 4,25% (14) Expected Shortfall Abweichung (geschätzt,5%) (15) In Prozent der Rückstellung 4,02% 4,28% 11,23% 4,03% (16) Test auf Normalverteilung Nicht ablehnen Nicht ablehnen Ablehnen Nicht ablehnen Kolomogov Smirnov Test (5%) p Wert 69,8% 66,3% 4,6% 55,6%

16 16 Einfaches Beispiel (100 Simulationsläufe) Ausgangslage: Bestand aus Beispiel 2, Rückstellung 2 = Biometrische Risiken: Schwankungsrisiko, Risiko der Fehleinschätzung bei der Sterblichkeit (-10%) Risikobewertung (auf Basis der Simulation): VaR 4 + Erwarteter Barwert 4 ( Rückstellung 4 ) Rückstellung Tsd. 7,7% der Rückst. oder ES 4 + Erwarteter Barwert 4 ( Rückstellung 4 ) Rückstellung Tsd. 8,4% der Rückst.

17 17 Schlussbemerkungen Biometrische Risiken können auf Basis einer Monte-Carlo-Simulation mithilfe von Risikomaßen bewertet und analysiert werden. Nicht immer kann dabei die betrachtete Zufallsgröße als normalverteilt angenommen werden. Das gilt vor allem bei kleinen bzw. inhomogenen Beständen Das Schwankungsrisiko ist durch die Homogenität des Bestandes geprägt. Aktivenbestände: Was sind zukünftige Einnahmen? Einfluss des gewählten Finanzierungsverfahrens? Einfluss des gewählten Durchführungsweges? Bei Aktiven führen Sterblichkeitsabschläge nicht immer zu Verlusten! Risikomanagement in der betrieblichen Altersversorgung, Proc. zum 4. FaRis & DAV-Symposium am 14. Juni 2013, Cologne Open Science

18 18 Vielen Dank für Ihre Aufmerksamkeit

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