Value at Risk. Seminararbeit. vorgelegt am 27. Februar 2018

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1 Value at Risk Seminararbeit vorgelegt am 27. Februar 2018 ausgefu hrt am Institut fu r Finanz- und Versicherungsmathematik der technischen Universita t Wien Name: Matrikelnummer: Betreuer: Sandra Radl Ao. Univ. Prof. Dr. Stefan Gerhold

2 Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung 2 2 Definition Zeithorizont Berechnunngsmethoden Historische Simulation Modellbildungsansatz Lineares Modell Quadratisches Modell Monte-Carlo-Simulation Vergleich der Ansätze Zusammenfassen von Marktvariablen Cahs Flow Mapping Stress Testing 19 5 Back Testing 19 6 Kritik Verlust im (100-x)%-Quantil Expected Shortfall Zusammenfassung 22

3 1 Einleitung Some risks that are thought to be unknown, are not unknown. With some foresight and critical thought, some risks that at first glance may seem unforeseen, can in fact be foreseen. Armed with the right set of tools, procedures, knowledge and insight, light can be shed on variables that lead to risk, allowing us to manage them. 1 Ein möglicher Weg um Aufschluss über die Risikosituation zu erhalten ist die Berechnung des Value at Risks, womit sich die vorliegende Arbeit beschäftigt. Als Hauptquelle diente das Werk [?] Optionen, Futures und andere Derivate, verfasst von John C. Hull. Im zweiten Kapitel soll näher gebracht werden, worum es sich beim Value at Risk handelt und von welchen Parametern er abhängt. Anschließend werden im dritten Kapitel, dem Hauptteil dieser Seminararbeit, die Berechnungsmethoden vorgestellt. Den Anfang macht hierbei die historische Simulation, gefolgt von den Modellbildungsansätzen, wobei auf das lineare Modell, das quadratische Modell und die Monte-Carlo-Simulation eingegangen wird. Im Zuge dessen wird auf die zu beobachtende Diversifikation hingewiesen. Nach einem kurzen Vergleich der verschiedenen Ansätze folgt das Unterkapitel Zusammenfassen von Marktvariablen, in welchem das Thema Cash Flow Mapping behandelt wird. In weiterer Folge ist eine kompakte Erklärung der Begriffe Stress Testing und Back Testing vorzufinden. Zu guter Letzt wird ein Blick auf einen der Schwachpunkte des Value at Risk, das Nichtbeachten des Verlusts im (100-x)% -Quantil, geworfen. 2 Definition Der V alue at Risk (V ar) ist ein Maß, welches das Gesamtrisiko eines Portfolios von Finanzinstrumenten widerspiegelt. Ziel ist es, eine Aussage der Gestalt In den nächsten N Tagen werden wir zu x% nicht mehr als V Euro verlieren. treffen zu können, wobei die Variable V für den Value at Risk steht. Man kann schon an der obigen Aussage erkennen, dass der Value at Risk von den Parametern N und x abhängt. Dabei steht N für den Zeithorizont und x für das Konfidenzniveau. Der Value at Risk gibt also den Verlust an, der in N Tagen nur mit einer Wahrscheinlichkeit von (100 x)% überschritten wird. Anders ausgedrückt bedeutet das, dass der Value at Risk das (100 x)% -Quantil der Verteilung der Veränderung des Portfoliowertes in den nächsten N Tagen ist (ein Verlust wird hierbei als negative Veränderung, ein Gewinn als positive Veränderung angesehen).[?, S. 556f] 1 Zitat von Daniel Wagner 2

4 Wenn die erwähnte Portfoliowertänderung annähernd normalverteilt ist, veranschaulicht Abbildung?? den Value at Risk zu einem Konvidenzniveau von (100 X)%: Abbildung 1: Value at Risk bei normalverteilten Portfoliowertänderungen [?, S. 557] 2.1 Zeithorizont Wie bereits erwähnt wurde, ist der Value at Risk abhängig vom Konfidenzniveau x und vom Zeithorizont N. In der Praxis wird der Value at Risk aber nicht für jedes N berechnet, stattdessen berechnet man nur den Eintages-Value at Risk. Um den Value at Risk für ein beliebiges N zu berechnen, benutzt man die Formel N T agesv ar = Eintages V ar N. Diese Formel ist auch unter dem Namen W urzel Zeit F ormel beziehungsweise Sqaure root of time Regel bekannt. [?, S. 558] Ein Grund für diese Vorgehensweise ist, dass die direkte Schätzung der Wertänderungen über einen längeren Zeitraum aufgrund von zu wenig vorhandenen Daten in vielen Fällen nicht beziehungsweise nur sehr schwer möglich ist.[?, S. 558] Es sei jedoch bemerkt, dass die erwähnte Formel nicht immer exakt ist. Falls die Wertänderungen des Portfolios von aufeinander folgenden Tagen unabhängig voneinander und identisch verteilt sind, ist sie exakt, ansonsten stellt sie nur eine Näherung dar.[?, S. 558] 3 Berechnunngsmethoden 3.1 Historische Simulation Eine beliebte Methode zur Bestimmung des Value at Risks ist die sogenannte historische Simulation. Wie der Name schon vermuten lässt, beruht diese Methode auf der Verwendung von historischen Daten, um einen Richtwert für die 3

5 zukünftigen Wertänderungen zu berechnen. Angenommen man möchte den Eintages-Value at Risk eines bestimmten Portfolios zu einem Konfidenzniveau von 95 Prozent berechnen und hat Zugang zu den Marktdaten der letzten 501 Tage, dann wird folgendermaßen vorgegangen [?, S. 559]: Zu Beginn müssen jene Marktvariablen (darunter versteht man zum Beispiel Aktienkurse, Wechselkurse, Zinssätze oder Ähnliches) identifiziert werden, welche einen Einfluss auf das Portfolio haben. Im nächsten Schritt untersucht man die Veränderungen der beeinflussenden Variablen in den vergangenen 501 Tagen. Daraus ergeben sich 500 mögliche Szenarien für die Entwicklung der Marktvariablen von heute auf morgen. Im ersten Szenario entspricht die prozentuelle Änderung der Marktvariablen von heute auf morgen der prozentuellen Veränderung der Marktvariablen von Tag 0 auf Tag 1 unserer historischen Daten, Szenario 2 entspricht einer prozentuellen Wertänderung wie von Tag 1 auf Tag 2 usw. Anschließend berechnet man für jedes Szenario die Wertänderung des Portfolios von heute auf morgen. Dadurch erhält man eine Wahrscheinlichkeitsverteilung für die tägliche Portfoliowertänderung. Anhand dieser Wahrscheinlichkeitsverteilung kann man nun das gewünschte Quantil berechnen. Die fünfundzwanzigschlechteste tägliche Wertänderung gibt bei Verwendung der Daten der 501 letzen Tage das 5 %-Quantil der Verlustverteilungsfunktion, also den gesuchten Value at Risk. Würde man sich für das 1 %-Quantil, also für ein Konfidenzniveau von 99%, interessieren, müsste man die fünftschlechteste Wertänderung auswählen usw. Vorausgesetzt die Wertänderungen der letzten 501 Tage sind ein gutes Indiz für die Wertänderung von heute auf morgen können wir uns also zu 95 % sicher sein, dass der Verlust nicht höher als die fünfundzwanzigstschlechteste Wertänderung ist. Diese Annahme trifft in der Praxis jedoch durchaus nicht zu. Die Tabellen?? und?? sollen die oben beschriebene Methodik anhand eines Beispiels veranschaulichen. In Tabelle?? befinden sich die historischen Daten, man kann ihr also die Werte jeder Marktvariable an jedem der 501 vergangenen Tage entnehmen, wobei die Marktvariablen jeden Tag zu einem bestimmten Zeitpunkt, meistens zu Handelsschluss, beobachtet werden [?, S. 559]. Tag 0 ist der erste Tag, von welchem wir Daten besitzen, Tag 1 der zweite usw. Tag 500 ist der heutige Tag, Tag 501 steht für morgen. 4

6 Tag Marktvariable 1 Marktvariable 2... Marktvariable N 0 15,66 1, , ,85 1, , ,12 1, , ,93 1, , ,75 1, , ,98 1, , ,32 1, ,76 Tabelle 1: Historische Daten der letzten 501 Tage Tabelle?? enthält die Marktvariablenwerte und Portfoliowerte für morgen für jedes mögliche Szenario bzw. die zugehörige Portfoliowertänderung von heute auf morgen. Sei v (n,i) der Wert der n-ten Marktvariable an Tag i, dann lässt sich der morgige Wert der Marktvariable n im i-ten Szenario mithilfe der Formel v (n,501) = v (n,500) v (n,i) v (n,i 1) berechnen [?, S. 559]. Der morgige Wert der ersten Marktvariablen im ersten Szenario ist also v (1,501) = v (1,500) v (1,1) 15, 85 = 18, 32 v (1,0) 15, 66 = 18, 54. Analog berechnet man die anderen Werte der Tabelle??. Mit den gegebenen Marktvariablen kann man nun den Portfoliowert für die einzelnen Szenarien berechnen. In diesem Beispiel gehen wir davon aus, dass unser Portfolio heute, also an Tag 500, einen Wert von 50,32 Mio. Euro hat, damit lässt sich auch die Wertänderung bestimmen. Szenario Markt- Markt-... Markt- Portfolio- Wertvariable 1 variable 2 variable N wert änderung in Mio. e in Mio. e 1 18,54 1, ,24 36,61-13, ,63 1, ,34 55,72 +5, ,10 1, ,46 50,64 +0, ,55 1, ,04 54,45 +4, ,66 1, ,51 55,67 + 5,35 Tabelle 2: Szenarien für die Marktwerte bzw. Portfoliowerte am Tag 501 5

7 Möchten wir nun den Eintages-Value at Risk zu einem Konfidenzniveau von 95 Prozent bestimmen, wählen wir den fünfundzwanzigschlechtesten Wert der letzten Spalte von Tabelle??. Am nächsten Tag, an Tag 501, kann man der Tabelle?? die neuen Werte für die Marktvariablen an Tag 501 hinzufügen, dafür streicht man die Daten von Tag 0. Man hat also wieder die Werte der letzten 501 Tage zur Berechnung des Value at Risks zu Verfügung und kann nach dem gleichen Schema wie oben vorgehen. An Tag 521 würde man die Werte von Tag 21 bis 521 benutzen usw.[?, S. 561] 3.2 Modellbildungsansatz Die Hauptalternative zur historischen Simulation bildet der Modellbildungsansatz. Da im Folgenden immer wieder der Begriff Volatilität vorkommt, soll zuerst geklärt werden, worum es sich hierbei überhaupt handelt. Volatilität Die Volatilität σ eines Assets ist ein Maß für die Unsicherheit der zukünftigen Wertänderungen des Assets. Je höher die Volatilität, desto wahrscheinlicher ist es, dass ein Asset stark an Wert verliert oder gewinnt. Die Volatilität kann auch als Standardabweichung der prozentualen Änderung des Assetpreises definiert werden. [?, S. 259] Üblicherweise wird die Volatilität als Volatilität pro Jahr angegeben. Aus dem Kapitel Definition wissen wir aber bereits, dass bei der Berechnung des Value at Risks die Einheit für die Zeit Tage sind. Um bei gegebener Volatilität pro Jahr die Volatilität pro Tag zu bestimmen, kann man unter der Annahme, dass ein Jahr 252 Handelstage hat die Formel σ T ag = σ Jahr 252 benutzen, die tägliche Volatilität beträgt damit etwa 6 Prozent der jährlichen Volatilität. [?, S. 561] Wenn im Weiteren von der Volatilität gesprochen wird, ist damit stets die Standardabweichung der prozentualen Änderungen des Assetpreises an einem Tag gemeint Lineares Modell Einführungsbeispiel Um die Idee des linearen Modells näher zu bringen, soll dieses zuerst anhand von zwei einfachen Beispielen erklärt werden. 6

8 Ein-Asset-Fall Angenommen, wir haben ein Portfolio bestehend aus einer einzelnen Position in einer einzelnen Aktie und möchten für dieses Portfolio den Fünftages-Value at Risk zu einem Konifidezniveau von 99 Prozent bestimmen. Wir möchten also wissen, welche Verlusthöhe wir in den nächsten 5 Tagen zu 99 Prozent nicht überschreiten. Bei der Aktie soll es sich um die Erste Group Bank Aktie handeln und das Portfolio soll einen Ausgangswert von 10 Millionen Euro haben. Zuerst werden wir den Eintages-Value at Risk bestimmen und dann mithilfe der Wurzel-Zeit-Formel den Fünftages-Value at Risk berechnen. Angenommen, die Volatilität pro Jahr der Erste Group Bank Aktie beträgt 22, 11% [?]. Die Volatilität pro Tag beträgt dann σ T ag = σ Jahr 252 = 0, = 0, = 1, 39%. Die Standardabweichung der täglichen Wertänderung des Portfolios beträgt demnach 1,39 Prozent von 10 Millionen Euro, also Euro. Für die nächsten Schritte nehmen wir an, dass die erwartete Wertänderung null beträgt (dies trifft zwar nicht exakt zu, ist aber eine durchaus vernünftige Annahme, deshalb trifft man diese Annahme beim Modellbildungsansatz meist). Darüber hinaus sei angenommen, dass die Wertänderung normalverteilt ist, was die Berechnung des Value at Risks um einiges einfacher macht, da diese Verteilung bekanntermaßen gut erforscht ist und wir beispielsweise auf die Wertetabelle der Standardnormalverteilung zurückgreifen können.[?, S. 562] Dieser zufolge gilt N( 2, 33) = 0, 01. Das bedeutet, dass der Wert einer normalverteilten Variable zu einem Prozent um mehr als 2,33 Standardabweichungen sinkt oder anders ausgedrückt, dass der Wert der Variable zu 99 Prozent um nicht mehr als 2,33 Standardabweichungen sinkt. Angewendet auf unser Beispiel bedeutet das, dass der Wert der Erste Bank Aktie innerhalb eines Tages zu 99% nicht um mehr als das 2,33-fache der Standardabweichung sinken wird. Somit beträgt der Eintages-Value at Risk unseres Portfolios 2, = , 22e. Aus der Wurzel-Zeit-Formel folgt daher, dass der Fünftages-Value at Risk der Erste Bank Aktie zu einem Konfidenzniveau von 99 Prozent beträgt. 5 T agesv ar = EintagesV ar 5 = , 22 5 = , 67e Da dies im Abschnitt Diversifikationseffekt noch benötigt wird, berechnen wir nach dem selben Schema den Fünftages-Value at Risk eines Portfolios bestehend 7

9 aus RBI Aktien mit einem Portfolioausgangswert von 5 Mio. Euro. Angenommen, die Volatilität pro Jahr beträgt 29,71 Prozent [?], dann beträgt die Volatilität pro Tag σ T ag = σ Jahr 252 = 0, = 0, = 1, 87%. Sei wieder vorausgesetzt, dass die Wertänderung der Aktie normalverteilt ist, dann beträgt der Eintages Value-at Risk zu einem Konfidenzniveau von 99% 2, = , 04 e und der Fünftages-Value at Risk zu einem Konfidenzniveau von 99 % folglich 5 T agesv ar = EintagesV ar 5 = , 04 5 = , 41 e. Zwei-Asset-Fall Nun betrachten wir ein Portfolio, welches aus zwei Positionen besteht, nämlich 10 Mio. Euro in Erste Group Bank Aktien und 5 Mio. Euro in RBI Aktien. Wir nehmen an, dass die Wertänderungen der beiden Aktien zweidimensional normalverteilt sind und einen Korrelationskoeffizienten von 0,4 besitzen. Aus der Statistik wissen wir bereits, dass für zwei Größen X und Y mit Standardabweichung σ X bzw. σ Y und einem Korrelationskoeffizienten ρ die Standardabweichung von X+Y gemäß der Formel V ar(x, Y ) = V ar(x) + V ar(y ) + 2 Cov(X, Y ) σ X+Y = σx 2 + σ2 Y + 2ρσ Xσ Y berechnet werden kann. [?, S. 562] Dieses Ergebnis möchten wir nutzen, um die Standardabweichung der Wertänderung unseres Portfolios, also der Summe der Erste Group Bank Aktien und der RBI Aktien, zu berechnen. Dabei bezeichne σ E die Standardabweichung der Wertänderung der Erste Group Bank Aktien und σ R die Standardabweichung der Wertänderung der RBI Aktien. Aus dem vorherigen Beispiel wissen wir bereits, dass σ E = e σ R = e. Somit beträgt die Standardabweichung der Wertänderung des Portfolios an einen Tag σ E+R = σ 2 E + σ2 R + 2ρσ Eσ R = , = , 77 e. 8

10 Möchten wir nun wiederum den Fünftages-Value at Risk zu einem Konfidenzniveau von 99 Prozent berechnen, berechnen wir mit 2, , 77 = , 38 e zuerst den Eintages-Value at Risk und anschließend mithilfe der Wurzel-Zeit- Formel 5 T agesv ar = EintagesV ar 5 = , 38 5 = , 37 e den gewünschten Fünftages-Value at Risk. Diversifikationseffekt Wirft man erneut einen Blick auf die Ergebnisse der vorherigen Beispiele Der Fünftages-Value at Risk eines Portfolios von 10 Mio. Euro in Erste Group Bank Aktien zu einem Konfidenzniveau von 99 Prozent beträgt ,67 Euro. Der Fünftages-Value at Risk eines Portfolios von 5 Mio. Euro in RBI Aktien zu einem Konfidenzniveau von 99 Prozent beträgt ,41 Euro. Der Fünftages-Value at Risk eines Portfolios von 10 Mio. Euro in Erste Group Bank Aktien und 5 Mio. Euro in RBI Aktien zu einem Konfidenzniveau von 99 Prozent beträgt ,37 Euro. so kann man erkennen, dass die Summe der Value at Risks der Ein-Asset-Beispiele nicht dem Value at Risk des Zwei-Asset-Beispiel entspricht. Dieses Phänomen bezeichnet man auch als Diversif ikation. Der monetäre Nutzen der Diversifikation beträgt in userem Beispiel ( , , 41) , 37 = , 71 e. Wären die beiden Aktien perfekt positiv korreliert, das heißt würde der Korrelationskoeffizient 1 betragen, könnte man keine Diversifikation beobachten. Je näher der Korrelationskoeffizent bei -1 liegt (perfekt negativ korreliert), desto stärker ist der Effekt der Diversifikation. [?, S. 564] Die Diversifikation führt also dazu, dass das Risiko minimiert wird, wobei die Rendite gleicht bleibt, man kann also die Rendite pro Einheit an eingegangenem Risiko erhöhen. [?, S. 924] 9

11 Einer der ersten Forscher, der die Vorteile der Diversifikation für Portfolio-Manager untersuchte war der US-amerikanische Ökonom Harry Markowitz, im Jahre 1952 wurde im Journal T he Journal of F inance sein Artikel P ortfolio Selection veröffentlicht. Für seine Untersuchungen erhielt er im Jahre 1990 den Wirtschaftsnobelpreis. [?, S. 564] Allgemeine Formulierung des linearen Modells Es bezeichne P den Wert eines Portfolios bestehend aus n Assets. Dabei wurde in Asset i (1 i n) der Betrag α i angelegt. x i steht für die Rendite des i-ten Assets an einem Tag. Die Wertänderung des Teiles unseres Porfolios, welches aus den Investitionen in Asset i besteht, beträgt an einem Tag also α i x i. Für das gesamte Portolio folgt daher P = n α i x i. In unseren Beispiel wurden 10 Mio. Euro in die Erste Group Bank Aktie und 5 Mio. Euro in die RBI Aktie investiert, angenommen die Einheit der α i sei Millionen Euro, dann wären α 1 = 10 und α 2 = 5 und demnach P = 10 x x 2. Wie bereits in den Beispielen nehmen wir auch nun an, dass die x i mehrdimensional normalverteilt sind und Erwartungswert null haben. Dann ist auch P normalverteilt mit Erwartungswert null. Um den Value at Risk unseres Porfolios zu ermitteln, müssen wir nun nur noch die Standardabweichung von P berechnen. Zu diesem Zweck definieren wir σ i als die tägliche Volatilität des i-ten Assets, also die Standardabweichung von x i, und ρ ij als den Korrelationskoeffizienten zwischen den Renditen von Asset i und Asset j, also den Korrelationskoeffizienten zwischen x i und x j. Für die Varianz σp 2 von P gilt dann σ 2 P = n n ρ ij α i α j σ i σ j j=1 was umgeformt werden kann zu σ 2 P = n n αi 2 σi ρ ij α i α j σ i σ j. j<i Ist die Standardabweichung von P bekannt, kann man mithilfe der Wertetabelle der Standardnormalverteilung und der Wurzel-Zeit-Formel problemlos den Value at Risk berechnen. [?, S. 564f] 10

12 Für das Beispiel aus dem Abschnitt Zwei Asset F all würde gelten α 1 = 10, α 2 = 5, σ 1 = 0, 0139, σ 2 = 0, 0187 und ρ ij = 0, 4. Für die Varianz von P ergibt sich in diesem Fall also σ 2 P = 2 αi 2 σi ρ ij α i α j σ i σ j j<i = , , , , , 0187 = 0, σ P = 0, Mio. e. Der Fünftages-Value at Risk zu einem Konfidenzniveau von 99 Prozent beträgt also 2, 33 0, = 1, Mio. e. Dies stimmt mit dem Ergebnis aus dem vorherigen Abschnitt überein. Anwendungen Am Besten geeignet ist das lineare Modell zur Value at Risk-Berechnung von Portfolios, welche ausschließlich Aktien, Anleihen, Währungen und Rohstoffe beinhalten, da in diesem Fall die Änderung des Portfoliowertes linear von der prozentualen Änderung der Assets abhängt. [?, S. 566] Forward-Kontrakte Eines der wenigen Derivate, für welches das lineare Modell gut geeignet, ist der Forward-Kontrakt zum Kauf einer Währung. Unter einem Forward-Kontrakt versteht man eine Vereinbarung, ein gewisses Gut zu einem bestimmten Zeitpunkt und einem im Vorhinein vereinbarten Kurs zu kaufen beziehungsweise zu verkaufen. Wird der Forward-Kontrakt zum Zeitpunkt T fällig, kann er als Austausch von einem Zerobond mit Laufzeit T in Fremdwährung gegen einen Zerobond mit Laufzeit T in inländischer Währung betrachtet werden. Er ist also die Zusammensetzung einer Long-Position in einer Fremdwährungsanleihe und einer Short-Position in einer inländischen Anleihe und der Value at Risk kann demnach gut mit dem linearen Modell berechnet werden.[?, S. 566] Optionen Betrachten wir nun ein Portfolio, welches aus Optionen auf eine einzelne Aktie besteht. Im Weitern wird auf das Options-Delta Bezug genommen. Darunter versteht man das Verhältnis der Änderung des Optionspreises zur Änderung des zugrundeliegenden Aktienkurses, also die Sensitivität des Portfoliowerts gegenüber 11

13 der Aktienpreisänderung oder die parteille Ableitung des Portfoliowerts nach dem Assetpreis. Es gilt näherungsweise δ = P S P = δ S wobei P die absolute Änderung des Portfoliowerts an einem Tag und S die absolute Änderung des Aktienpreises an einem Tag bezeichnet. Sei x als die prozentuelle Änderung des Aktienpreises an einem Tag definiert, also x = S S. Für die absolute Portfoliowertänderung folgt somit P = S δ x. Besteht das Portfolio nun aus Optionen auf n Marktvariablen, ergibt sich folglich die Beziehung P = n S i δ i x i. S i bezeichnet hierbei den Wert der Marktvariablen i und δ i die Sensitivität des Portfoliowerts gegenüber der Marktvariablen i. Definiert man nun α i := S i δi erhält man die bereits aus dem Abschnnitt Allgemeine Formulierung des linearen Modells bekannte Formel P = n α i x i. Somit kann mithilfe der bereits oben erwähnten Formel σ 2 P = n n αi 2 σi ρ ij α i α j σ i σ j j<i die Standardabweichung und folglich der Value at Risk berechnet werden.[?, S. 567] 12

14 3.2.2 Quadratisches Modell Das lineare Modell liefert im Falle eines Portfolios mit Optionen nur eine Approximation des Value at Risks, da das Gamma der Option außer Acht gelassen wird. Dabei handelt es sich um die Sensitivität des Portfolio-Deltas gegenüber dem Assetpreis, also die zweite parteille Ableitung des Portfoliowerts nach dem Asset-Preis. Gamma gibt somit die Krümmung des Portfoliowerts gegenüber des zugrundeliegenden Assetpreises an. [?, S. 311, S.449, S. 568] Die Abhängigkeit der Portfoliowert-Wahrscheinlichkeitsverteilung von Gamma soll in Abbildung?? veranschaulicht werden. Abbildung 2: Portfoliowert-Wahrscheinlichkeitsverteilung für (a) positives Gamma (b) negatives Gamma [?, S. 569] Es ist zu beobachten, dass die Wahrscheinlichkeitsverteilung bei positivem Gamma tendenziell rechtsschief und bei negativen Gamma tendenziell linksschief ist. Für die Berechnung des Value at Risks eines Portfolions ist der tail loss, also der Verlust am linken Rand der Wahrscheinlichkeitsverteilung von großer Bedeutung. Verwendet man beispielsweise ein Konfidenzniveau von 99 Prozent, ist der Value at Risk jener Wert am linken Rand der Verteilung, unter welchem sich nur ein Prozent der Verteilung befindet. Bei positivem Gamma befindet sich, wie Abbildung?? (a) zu entnehmen ist, weniger Wahrscheinlichkeitsmasse im linken Rand als bei einer Normalverteilung. Gehen wir nun dennoch davon aus, dass die Portfoliowertänderung normalverteilt ist, werden wir einen tendenziell zu hohen Value at Risk berechnen. Bei einem negativen Gamma werden wir im Gegensatz dazu aufgrund der höheren Wahrscheinlichkeitsmasse im linken Rand tendenziell einen zu niedrigen Value at Risk berechnen.[?, S. 569f] Den Grund für die Rechtsschiefheit der Portfoliowert-Wahrscheinlichkeitsverteilung bei positiven Gamma soll Abbildung?? verdeutlichen. Hier wird der Zusammenhang zwischen dem Wert einer Longposition in einer Kaufoption (positives Gamma) und dem zugrundeliegenden, normalverteilten Underlying gezeigt. Man kann erkennen, dass die Wahrscheinlichkeitsverteilung des Optionspreises, wie wie wir es erwartet haben, rechtsschief ist. Analoge lässt sich am Beispiel des Short Calls die Linksschiefheit bei negativem Gamma erklären. 13

15 Abbildung 3: Wahrscheinlichkeitsverteilung eines Long Calls bei normalverteiltem Underlying [?, S. 569] Es ist nun naheliegend, für eine genauere Schätzung des Value at Risks neben Delta auch Gamma zu berücksichtigen. Betrachten wir also ein Portfolio aus Optionen, welches von einem einzigen Asset mit Preis S abhängt, δ und γ seinen hierbei Delta und Gamma des Portfolios. Für die absolute Änderung P des Portfoliowerts gilt dann näherungsweise P = δ S γ ( S)2. Diese kann mittels Taylorreihen-Entwicklung der Änderung des Portfolio-Wertes gezeigt werden worauf im Zuge dieser Arbeit jedoch nicht näher eingegangen werden soll. Definiert man lässt sich dies umformen zu x := S S P = S δ x S2 γ ( x) 2. Hängt unser Portfolio nun nicht nur von einer Marktvariable sonder von n Marktvariablen ab, wobei jedes Asset des Portfolios nur von einer Markvariable abhängt, folgt daraus P = n S i δ i x i + n 1 2 S2 i γ i ( x i ) 2. 14

16 Kann ein Asset des Portfolios auch von mehreren Marktvariablen abhängen, so gilt die allgemeinere Formel P = n S i δ i x i + n n 1 2 S i S j γ ij x i x j wobei γ ij für das so genannte Cross Gamma, definiert als γ ij = 2 P S i S j steht. Diese Gleichung kann jedoch nicht so leicht wie jene der Optionen im linearen Modell auf die Form P = n α i x i gebracht werden. Stattdessen kann sie benutzt werden, um die Momente von P zu berechnen. Die Cornish-Fisher- Entwicklung ermöglicht es dann, mithilfe der Momente das gewünschte Quantil zu berechnen, darauf soll im Zuge dieser Arbeit jedoch nicht näher eingegangen werden. [?, S. 570f] Monte-Carlo-Simulation Ein weiterer Modellbildungsansatz zur Value at Risk Berechnung ist es, die Wahrscheinlichkeitsverteilung von P mittels Monte-Carlo-Simulation zu erzeugen. Zur Berechnung des Eintages-Value at Risks wird dabei folgendermaßen vorgegangen[?, S. 571]: 1. Zu Beginn wird das Portfolio unter Verwendung der gegenwärtigen Werte der Marktvariablen bewertet. 2. Im nächsten Schritt wird ein Zufallsergebnis aus der mehrdimensionalen Normalverteilung der x i gezogen. 3. Diese Zufallswerte werden nun zur Bestimmung aller Marktvariablenwerte benutzt. 4. Auf Grundlage dieser Marktvariablen wird das Portfolio am Tagesende neu bewertet. 5. Die Differenz des Portfoliowerts im ersten Schritt und im vierten Schritt bildet nun einen möglichen Wert für P. 6. Die Schritte 2 bis 5 werden nun mehrfach wiederholt, womit man eine Wahrscheinlichkeitsverteilung von P erzeugt. Der Value at Risk ist nun das Quantil dieser Wahrscheinlichkeitsverteilung. Wurden die Schritte 2 bis 5 beispielsweise mal durchgeführt und möchte man den Eintages-Value at Risk zu einem Konfidenzniveau von 99 Prozent berechnen, wählt man den 100-schlechtesten Wert von P. Der N-Tages-Value at Risk kann mit der Wurzel-Zeit-Formel berechnet werden. 15

17 Ein Nachteil der Value at Risk-Berechnung mittels Monte-Carlo-Simulation ist, dass diese Methode sehr aufwändig ist, da das Portfolio bei jeder Wiederholung neu bewertet werden muss, dieses kann bei großen Unternehmen aus tausenden von Finanzinstrumenten bestehen.[?, S. 572] 3.3 Vergleich der Ansätze Wir haben nun also zwei Methoden kennengelernt, welche zur Value at Risk- Berechung verwendet werden können, den Modellbildungsansatz und die historische Simulation. Der Vorteil des Modellbildungsansatzes ist die schnelle Berechnung der Ergebnisse (mit Ausnahme der Monte-Carlo-Simulation), der Hauptnachteil hingegen, dass davon ausgegangen wird, dass die Marktvariablen eine mehrdimensionale Normalverteilung besitzen. In der Praxis weichen die Verteilungen der Änderungen der Marktvariablen oft stark von einer Normalverteilung ab.[?, S. 572] Die historische Simulation punktet im Gegensatz dazu damit, dass sie den Marktvariablen keine Normalverteilung unterstellt, sondern die historischen Daten zur Bestimmung der Wahrscheinlichkeitsverteilung herangezogen werden. Dafür schwächelt dieser Ansatz im Bezug auf die Aufwendigkeit und der beschränkten Aussagekraft bezüglich zukünftigen Werten von vergangenen Werten.[?, S. 572] 3.4 Zusammenfassen von Marktvariablen Die Berechnung des Value at Risks wird sehr aufwändig, wenn für jeden Zinssatz, Aktienkurs, Wechselkurs oder ähnlichem gegenüber welchem das Unternehmen ein Exposure aufweist eine eigene Marktvariable defineriert wird. Eine mögliche Vereinfachung ist die Annahme, dass in der Renditkurve ausschließlich Parallelverschiebungen auftreten, in diesem Fall müsste demnach nur eine Marktvariable definiert werden. Da diese Methode sehr ungenau ist, ist es nicht ratsam, sie zu verwenden.[?, S. 565] Eine genauere und daher auch üblichere Methode liefert der Ansatz, die Preise der Zerobonds mit Standardlauf zeiten (1 Monat, 3 Monate, 6 Monate, 1 Jahr, 2 Jahre, 5 Jahre, 7 Jahre, 10 Jahre und 30 Jahre) als Marktvariablen zu verwenden. Um den Value at Risk eines Portfolios zu berechnen werden die Cashflows der Wertpapiere dieses Portfolios analysiert und passenden standardisierten Zerobonds zugeordnet. [?, S. 565f] Befindet sich in unserem Portfolio beispielsweise ein Treasury Bond mit einer Laufzeit von einem Jahr und einem Nominalwert von e, welcher halbjährlich, und zwar nach 6 Monaten und nach einem Jahr, einen Kupon von 5 Prozent auszahlt, wird diese Position einem 6-Monats-Zerobond mit einem Nominalwert von 250 e und einem Zerobond mit einer Laufzeit von einem Jahr und einer Nominale von e zugeordnet. 16

18 Etwas komplizierter wird diese Zuordnung, wenn die Cashflows unseres Wertpapieres nicht zu Standardzeitpunkten stattfinden. Ein Beispiel hierfür wäre ein Treasury Bond mit einer Laufzeit von 1,3 Jahren und einer Nominale von e, welcher nach 0, 3, 0, 8 und 1, 3 Jahren einen Kupon in Höhe von 5 Prozent auszahlt. Dies könnte man einem Zerobonds mit Laufzeiten von 0, 3 und 0, 8 Jahren, jeweils mit einem Nominalwert von 250 eund einem Zerobond mit einer Laufzeit von 1,3 Jahren und einer Nominale von ezuordnen. Da es sich bei diesen Zeitpunkten nicht um Standardzeitpunkte handelt, müssen die gegeben Zerobonds nun noch passenden Standardzerobods zugeordnet werden. Die Position im Zerobond mit einer Laufzeit von 0,3 Jahren muss durch die äquivalente Position in Zerobonds mit Laufzeiten von 3 Monaten und 6 Monaten ersetzt werden, die Position im Zerobond mit einer Laufzeit von 0,8 Jahren durch die äquivalente Position in Zerobonds mit Laufzeiten von 6 Monaten und einem Jahr und die Position im Zerobonds mit einer Laufzeiten von 1,3 Jahren durch einen Zerobonds mit einer Laufzeit vom einem Jahr und zwei Jahen. Diese Methodik wird auch Cash F low Mapping und die Bestimmung der passenden Positionen in Standardzerobonds Mapping V erfahren genannt.[?, S. 566] Cahs Flow Mapping In diesem Abschnitt soll das Mapping Verfahren anhand des Beispiels aus dem vorherigen Abschnitt näher erläutert werden. Im ersten Schritt möchten wir also einem Zerobond mit einer Laufzeit von 0,3 Jahren und einem Nominalwert von 250 e durch die passenden Positionen in Zerobonds mit Laufzeiten von 3 Monaten und 6 Monaten ersetzen. Davor müssen noch einige Annahmen über die Spot Rates, also die Zerobond-Zinssätze, die täglichen Anleihepreis-Volatilitäten und die Korrelationskoeffizienten zwischen den Anleiherenditen getroffen werden, was den Tabellen?? und?? zu entnehmen ist. Laufzeit 3 Monate 6 Monate 1 Jahr 2 Jahre Spot Rate in % bei jährlicher 4,00 4,50 5,50 7,50 Verzinsung Anleihepreis-Volatilität in % pro Tag 0,05 0,09 0,15 0,26 Tabelle 3: Spot Rate und Anleihepreis-Volatilität Nun wird der 0,3-Jahres-Zins, also der 3,6-Monats-Zins mittels linearer Interpolation zwischen dem 3-Monats-Zins und dem 6-Monats Zins ermittelt. 4, , 6 4, 50 4, 00 3 = 4, 10 17

19 Korrelation zwischen 3-monatige 6-monatige 1-jährige 2-jährige täglichen Erträgen Anleihe Anleihe Anleihe Anleihe 3-monatige Anleihe 1 0,9 0,6 0,3 6-monatige Anleihe 0,9 1 0,7 0,5 1-jährige Anleihe 0,6 0,7 1 0,6 2-jährige Anleihe 0,3 0,5 0,6 1 Tabelle 4: Korrelationskoeffizienten der täglichen Erträge Damit kann man nun den Barwert des 250 e Cash Flows, der in 0,3 Jahren anfallen wird, berechnen. 250 = 247, 00 e 1, 0410,3 Wie schon die Spot Rate wird nun auch die Volatilität interpoliert. 0, , 6 0, 09 0, 05 3 = 0, 058 Sei nun α der Anteil des Barwerts, welcher auf die Anleihe mit 3 Monaten Laufzeit entfällt, und demnach 1 α der Anteil des Barwerts, welcher dem 6-Monats Zerobond zugeordnet werden kann. Aus dem Abschnitt Allgemeine Formulierung des Linearen Modells wissen wir schon, dass für die Volatilität σ gilt σ 2 P = n n αi 2 σi ρ ij α i α j σ i σ j. j<i Angewendet auf unser Beispiel führt das zu 0, = 0, α 2 + 0, (1 α) , 9 0, , 0009 α (1 α). Diese quadratische Gleichung kann nun nach α aufgelöst werden. 0, = 0, α 2 + 0, (1 2 α + α 2 ) + 1, 8 0, , 0009 (α α 2 ) 0 = α 2 (0, , , 8 0, , 0009) + α ( 2 0, , 8 0, , 0009) + 0, , α 1 = 0, α 2 = 2, Es sollen also 76,56 Prozent des Wertes einem Zerobond mit einer Laufzeit von 3 Monaten zugeordnet werden. Somit wird die Anleihe mit einer Laufzeit von 0,3 18

20 Jahren und einem Wert von 247 e durch einen Zerobond mit einer Laufzeit von 3 Monaten und einem Wert von 247 0, = 189, 10 e und einem 6-Monats-Zerobond mit einem Wert von 247 (1 0, ) = 57, 90 e ersetzt. Analog kann bei den Zerobonds mit einer Laufzeit von 0,8 und 1,3 Jahren vorgegangen werden. 4 Stress Testing Unter Stress T esting versteht man die Erstellung von Schätzungen, wie sich das Portfolio bei den extremsten Marktbewegungen der letzten 10 bis 20 Jahren verhalten würde. Ein Beispiel für solch eine extreme Marktbewegung wäre die prozentuale Änderung der Marktvariablen in Großbritannien am 10. April 1992, als sich die Rendite für zehnjährige Anleihen um 7,7 Standardabweichungen bewegte. In manchen Fällen werden die zu verwendenden Szenarien auch von der Unternehmensführung vorgegeben. [?, S. 573] Stress Testing soll bezwecken, dass auch extreme Ereignisse, die von Zeit zu Zeit auftreten, gemäß der verwendeten Wahrscheinlichkeitsverteilung aber praktisch unmöglich sind, berücksichtigt werden. Ein Beispiel hierfür wäre eine Bewegung einer normalverteilten Marktvariable um fünf Standardabweichungen. Gemäß der Normalverteilung kommt es einmal in Jahren zu solche einem Ereignis, in der Realität lässt sich dies aber weitaus öfter, nämlich circa ein- bis zweimal in 10 Jahren, beobachten. [?, S. 566] 5 Back Testing Beim Back T esting wird überprüft, wie gut unsere Value at Risk Schätzer in der Vergangenheit waren. Möchte man beispielsweise die Berechnungsmethode der Eintages-Value at Risks zu einem Konfidenzniveau von 99 Prozent überprüfen, untersucht man, in wie vielen Prozent der Fälle der Verlust an einem Tag den berechneten Value at Risk überschritten hat. Geschah dies in circa 1 Prozent der Fälle, scheinen unsere Berechnungen einigermaßen richtig zu sein,ist der Prozentsatz jedoch höher, sollte man die Methodik dringend nochmals überdenken.[?, S. 566] 19

21 6 Kritik The [Value at Risk model] was like a faulty speedometer, which is arguably worse than no speedometer at all. If you place too much faith in the broken speedometer, you will be oblivious to other signs that your speed is unsafe. In contrast, if there is no speedometer at all, you have no choice but to look around for clues as to how fast you are really going. 2 Der Value at Risk ist ein in der Praxis sehr beliebtes Risikomaß, da er durchaus einfach zu verstehen ist und mit einem Wert das gesamte Risiko beschrieben wird. Man sollte sich dennoch die Frage stellen, ob der Value at Risk die beste Wahl des Risikomaßes ist, oder ob es andere, bessere Risikomaße gibt und einen Blick auf die Schwachstellen des Value at Risks werfen. 6.1 Verlust im (100-x)%-Quantil Ä 99% Value-at-Risk calculation does not evaluate what happens in the last one percent. This is like an airbag that works all the time, except when you have a car accident. 3 Wie schon in der Definition erwähnt, möchte man mit der Berechnung des Value at Risks eine Antwort auf die Frage In den nächsten N Tagen werden wir zu x% nicht mehr als V Euro verlieren. finden. Infragesteller des Value at Risk kritisieren, dass nicht berücksichtigt wird, wie hoch die potentiellen Verluste im (100-x) %-Quantil sind. Dies soll anhand des folgenden Beispiels verdeutlicht werden.[?, S. 558] Wir betrachten zwei Portfolios A und B von Finanzinstrumenten, deren Verlustverteilungsfunktionen in Abbildung?? bzw. Abbildung?? dargestellt werden. Abbildung 4: Verlustverteilungsfunktion von Portfolio A [?, S. 557] 2 Zitat von Charles Wheelan, Naked Statistics: Stripping the Dread from the Data 3 Zitat von David Einhorn 20

22 Abbildung 5: Verlustverteilungsfunktion von Portfolio B [?, S. 558] Die beiden Portfolios haben den selben Value at Risk, dennoch ist Portfolio B um einiges riskanter, da der zu erwartende tail loss, also der Verlust am linken Rand, oder etwas exakter ausgedrückt, der zu erwartende Verlust im (100-X)% Quantil der Wertänderungsverteilungsfunktion wesentlich höher ist als bei Portfolio A. Kritiker sind der Meinung, dass dies Händler dazu treiben kann, vermehrt in riskantere Portfolios, wie zum Beispiel Portfolio B, zu investieren.[?, S. 557f] Expected Shortfall Ein Risikomaß, welches auf diese Problematik eingeht, ist der Expected Shortfall, auch bekannt unter dem Namen Conditional V alue at Risk (C V ar) oder T ail Loss. Mit der Berechnung dieses Maßes möchte man eine Antwort auf die Frage Mit welchem Verlust kann ich rechnen, wenn der Fall eintritt, dass der Verlust den Value at Risk überschreitet? finden.[?, S. 558] In Abbildung?? wird der Expected Shortfall veranschaulicht, wobei ein Konfidenzniveau von 95 Prozent gewählt wurde. Trotz seiner Schwächen ist der Value at Risk sowohl bei Aufsichtsbehörden als Abbildung 6: Expected Shortfall [?] auch im Managementbereich das beliebteste Risikomaß zur Bestimmung des Gesamtrisikos. [?, S. 558] 21

23 7 Zusammenfassung Zusammenfassend ist zu sagen, dass der Value at Risk ein Risikomaß zur Bestimmung des Gesamtrisiko eines Portfolios von Finanzinstrumenten ist. Mit der Berechnung des Value at Risks wird eine Antwort auf die Frage In den nächsten N Tagen werden wir zu x% nicht mehr als V Euro verlieren. gegben, wobei N für den Zeithorizont, x für das Konfidenzniveau und V für den Value at Risk steht. Im Bezug auf den Zeithorizont ist die Wurzel-Zeit-Formel zu erwähnen, welche es ermöglicht, vom Eintages-VaR auf den N-Tages-VaR zu schließen. Eine Möglichkeit zur Berechnung des Value at Risks ist die historische Simulation, welche auf historischen Daten basiert. Alle beeinflussenden Marktvariablen werden auf Basis der vergangenen Wertänderungen neu bewertet, dies wird für jedes der vergangenen Szenarien wiederholt. Für jedes Szenario wird der neue Portfoliowert bestimmt, was zu einer Wahrscheinlichkeitsverteilung der Portfoliowertänderungen führt. Um den Value at Risk zu bestimmen, muss man im letzten Schritt das passende Quantil dieser Wahrscheinlichkeitsverteilung bestimmen. Eine Alternative dazu ist der Modellbildungsansatz, bei welchem die Volatilität, also die Standardabweichung der prozentualen Änderung des Assetpreises, von großer Bedeutung ist. Bei dieser Methode wird von einer Normalverteilung der Portfoliowertänderung ausgegangen. Auf deren Basis kann das gewünschte Quantil bestimmt werden. Zu erwähnen ist hierbei der Diversifikationseffekt, welcher die Rendite pro Einheit an eingegangenem Risiko erhöht. Das lineare Modell ist am besten geeignet für Portfolios, welche ausschließlich aus Aktien, Anleihen, Währungen und Rohstoffen bestehen, aber auch einige wenige Derivate, wie zum Beispiel Forward-Kontrakte, sind gut modellierbar. Generell liefert das lineare Modell für Optionen aber nur eine Näherung, da das Options-Gamma außer Acht gelassen wird. Ein genaueres Ergebnis liefert das quadratische Modell, welches neben dem Options-Delta auch das Options-Gamma berücksichtigt. Den Abschluss der behandelten Modellbildungsansätze bildet die Erzeugung einer Wahrscheinlichkeitsverteilung der Portfoliowertänderung mittels Monte-Carlo- Simulation. Hierbei werden Zufallsergebnisse aus der mehrdimensionalen Normalverteilung der Wertänderung der Marktvariablen gezogen, auf Basis derer das Portfolio neu bewertet wird. Mehrfache Wiederholung führt zu einer Wahrscheinlichkeitsverteilung der Portfoliowertänderung, anhand welcher das passende Quantil bestimmt werden kann. Um die Zahl der beeinflussenden Marktvariablen in Grenzen zu halten, können Marktvariablen zusammengefasst werden. Ein sehr ungenaues Ergebnis liefert die Annahme, dass in der Renditkurve ausschließlich Parallelverschiebungen auftreten. Besser geeignet ist es, die Zerobonds mit Standardlaufzeiten als Marktvariablen zu verwenden und die Cashflows des betrachteten Portfolios den passenden Zerobonds mit Standardlaufzeiten zuzuordnen (Cash Flow Mapping). 22

24 Um herauszufinden, wie gut die Value at Risk Schätzer in der Vergangenheit waren, greifen Unternehmen auf das so genannte Back Testing zurück. Hierbei wird überprüft, ob der Prozentsatz der Fälle, in welchen der Verlust höher als der Value at Risk war, dem Konfidenzniveau entspricht. Zusätzlich wird auch Stress Testing durchgeführt, wobei eine Schätzung Portfoliowertänderung bei extremen Marktbewegungen (reale, vergangene Marktbewegungen oder von der Unternehmensführung vorgegebene Schock-Szenarien) erstellt wird. Ein Schwachpunkt des Value at Risks ist, dass der potentielle Verlust im (100- x)%-quantil nicht berücksichtigt wird und Händler dadurch möglicherweise zum Investieren in Portfolios mit höheren tail losses ermutigt werden. Abhilfe bei diesem Problem verschafft der Expectet Shortfall, ein Risikomaß, welches den erwarteten Verlust im (100-x)%-Quantil widerspiegelt. 23

25 Abbildungsverzeichnis 1 Value at Risk bei normalverteilten Portfoliowertänderungen [?, S. 557] Portfoliowert-Wahrscheinlichkeitsverteilung für (a) positives Gamma (b) negatives Gamma [?, S. 569] Wahrscheinlichkeitsverteilung eines Long Calls bei normalverteiltem Underlying [?, S. 569] Verlustverteilungsfunktion von Portfolio A [?, S. 557] Verlustverteilungsfunktion von Portfolio B [?, S. 558] Expected Shortfall [?] Tabellenverzeichnis 1 Historische Daten der letzten 501 Tage Szenarien für die Marktwerte bzw. Portfoliowerte am Tag Spot Rate und Anleihepreis-Volatilität Korrelationskoeffizienten der täglichen Erträge Literatur [1] John C. Hull. Optionen, Futures und andere Derivate. Pearson Studium, Martin-Kollar-Straße 10-12, D München/Germany, 7., aktualisierte edition, Übersetzt von Hendrik Hoffmann, fachl. Betreuung der dt. Übers. durch Manfred Steiner, Wolfgang Mader, Marc Wagner und Martin Wennger. [2] Group Bank/Volatilitaet-Rendite, abgefragt am um 21:50. [3] abgefragt am um 22:00. [4] abgefragt am um 20:00. 24