Kurzwiederholung p-n-übergang

Kurzwiederholung p-n-übergang Bandverlauf nach Zusammenfügen? 03.11.2016 Optoelektronische Halbleiterbauelemente, 1

Kurzwiederholung p-n-übergang: Bandverlauf keine äußere Spannung => thermodynamisches Gleichgewicht => E F = konstant p-hl n-hl => Bandkrümmung und Raumladung 2

Kurzwiederholung p-n-übergang: Raumladung p-hl n-hl 3

Kurzwiederholung p-n-übergang: Raumladung Raumladung = ortsfeste Ladungsträger, keine beweglichen Träger Raumladungszone = Verarmungszone = hoher Widerstand Ladung über Poisson-Gleichung mit Bandkrümmung verknüpft positive Ladung = Band linksgekrümmt ( positive Krümmung ) negative Ladung = Band rechtsgekrümmt ( negative Krümmung ) 4

Kurzwiederholung p-n-übergang: eingebautes Feld In jedem Bereich, wo E nicht konstant, gibt es ein eingebautes Feld elektrisches Feld Ε ist der Gradient der Energie E Eingebaute Feldstärken für p-n-übergang beträchtlich (10 4 V/cm) Eingebautes Feld zeigt vom n-dotiert nach p-dotiert 5

Kurzwiederholung p-n-übergang: Raumladungszone d n NA ND 2εε V N 2εε V N =, d = e N N e N N 0 D D 0 D A p A + D A + D Feld linear in x Potenzial quadratisch in x Elektronenenergie = -ev Schottky-Modell 6

Ladungsträgerkonzentration im Gleichgewicht Man beachte die logarithmische Skala Zwischen Minoritäts- und Majoritätsträgerkonzentration liegen viele Größenordnungen 7

Ströme im Gleichgewicht Diffusions- und Feldstrom addieren sich individuell für e - und h für jedes x zu Null! 8

Verarmungslänge unter Spannung dv ( ) = d + d = ( d(0) + d (0)) V V p n n p d Verarmungslänge wächst etwa mit Wurzel V (Sperrrichtung) Feld wächst auch mit Wurzel V (Sperrrichtung) In Vorwärtsrichtung wird die Verarmungslänge 0 bei V d (Flachbandfall) 9

Kennlinie für den idealen p-n-übergang ev kt gen gen I = I ( e 1), I = ( I + I ) S S n p 10

Kennlinie für den idealen p-n-übergang Quasineutralität in den Bahngebieten Schwache Injektion: - φ n, φ p konstant in der Raumladungszone - τ n,τ p konstant keine Rekombination/ Generation in der RLZ Shockley-Modell 11

Kennlinie für den idealen p-n-übergang Die Strom-Spannungs (I-V-) Charakteristik eines pn-übergangs wurde von W. Shockley hergeleitet und wird als Shockley-Gleichung bezeichnet. Für eine Diode mit der Querschnittsfläche A ergibt sich 2 2 D qv p ni Dn n i kt I = q A + e 1 τ p ND τn N A Wobei D n,p die e und h Diffusionskonstanten und τ n,p die Minoritätsladungsträgerlebensdauern sind. Unter Sperrbedingung sättigt der Diodenstrom und ist durch den Vorfaktor der Exponentialfunktion gegeben: qv I = I kt s e 1 mit I S D n D n = q A + τ N τ N 2 2 p i n i p D n A Shockley-Modell beschreibt nicht alle Dioden quantitativ gut, was vor allem an der Vernachlässigung des Rekombinationsstroms in der RLZ liegt. 12

Kennlinie für den realen p-n-übergang: Idealitätsfaktor Zur Beschreibung experimenteller I-V-Charakteristiken wird oft verwendet: qv ( nidealkt ) I = Is e 1 n ideal.. Idealitätsfaktor Theoretisch n ideal = 1 ohne Rekombination in der RLZ Theoretisch n ideal = 2 wenn Rekombinationsstrom dominant Experimentell findet man 1-2 für As- und P-Verbindungshalbleiter für Nitride auch bis 7 13

Kennlinie für den idealen p-n-übergang: Vorwärtsrichtung Unter typischen Vorwärtsbedingen V >> kt/q und unter Verwendung von der Definition von V D erhält man für den Vorwärtsstrom: D D I = q A N + N e τ ( ) qv V D p n kt A D p τ n Die Spannung bei der der Strom stark zunimmt wird als Schwellspannung V th ~V D bezeichnet. 14

Vorwärtsrichtung Ströme Beachte: j ges =j p,d + j n,d +j p,f +j n,f = const. gilt überall 03.11.2016 Optoelektronische Halbleiterbauelemente, WS13/14 Prof. Dr. Dirk Reuter 15

Hohe Vorwärtsströme Shockley-Modell nicht mehr anwendbar Spannungsabfall über Diode geht asymptotisch gegen V D Widerstand in den Bahngebieten beeinflusst Kennlinie 16

Bahnwiderstand Für hohe Vorwärtsströme begrenzt der Widerstand der Bahngebiete den Strom! Bahnwiderstand sollte möglichst klein sein, damit wenig Leistung dissipiert 17

Reale Diode 18

Reale Diode I-V Kennlinie mit einem klar erkennbaren Einschaltverhalten unterhalb der Einschaltspannung. Dieser Effekt kann durch Defekte oder Oberflächenzustände bewirkt werden. Mit Serien- und Leckströmen: q( V IRS ) ( V I RS ) ( n kt ) ideal I = Is e 1 RP 19

Bestimmung des Serienwiderstandes R S q( V IRS ) ( nidealkt ) Für Dioden mit großen R P gilt I = Is e 1 dv n 1 Auflösen der Gleichung nach V und differenzieren nach I liefert: idealkt = RS + di q I Methoden zur Bestimmung des Serienwiderstandes: a) die Tangente für V > V th liefert R s (R s dominiert) b) die Gleichung im Inset ist gültig auch wenn die Kennlinie nicht linear ist 20

Kniespannung Kniespannung = Schwellspannung = Schleusenspannung = Fluss-Spannung =V K ab V K fließt nennenswerter Strom durch die Diode Kniespannung hängt von der Dotierung ab 21

Kniespannung Für hohe Dotierungen, wie bei LEDs, gilt V = V V th K D E q G 22

Kniespannung vs. Bandlücke Für hohe Dotierungen, wie bei LEDs, gilt V = V V th K D E q G 23

Lichterzeugung mit p-n-übergang: LED Die LED ist eine in Vorwärtsrichtung gepolte p-n-diode bei der Elektronen und Löcher in einen Bereich injiziert werden, wo sie rekombinieren. Im Allgemeinen kann jetzt dieser Elektron- Lochrekombinationsprozess strahlend oder nichtstrahlend erfolgen. Elektronen n Rekombinationsrate: R n p Löcher p Unter der Bedingung von Minoritätsladungsträgerrekombination können jetzt Lebendauern für die Ladungsträger definiert werden, und zwar τ r τ nr für strahlende Lebensdauer für nichtstrahlende Lebensdauer Die totale Rekombinationszeit τ n ergibt sich zu: 1 1 1 = R = + τ τ τ n r nr 24

strahlende-nichtstrahlende Rekombination nichtstrahlende strahlende via tiefe Störstellen via Augerprozess Die interne Quantenausbeute (internal quantum efficiency) η Qr für den strahlenden Prozess wird somit definiert durch η Qr 1 τ n 1 = = 1 1 τ r + 1+ τ τ τ r nr nr In direkten Halbleitern guter Qualität ist die interne Effizienz in der Nähe von 1. In indirekten Materialien ist die Ausbeute in der Größenordnung von 1/100 1/1000. 25

strahlende-nichtstrahlende Rekombination Für eine LED oder LD muss die strahlende Rekombination so weit wie möglich dominieren. Die Photonen müssen die LED verlassen können!! d 26

Ladungsträgerinjektion Der Vorwärtsstrom einer p-n Diode besteht im Allgemeinen aus 3 Komponenten a) Minoritätsladungsträgerelektronendiffusionsstrom J n b) Minoritätsladungsträgerlöcherdiffusionsstrom J p c) Störstellenassistierter Rekombinationsstrom J GR in der Verarmungszone W. Dafür gelten folgende Beziehungen J J J n p GR e Dn np ev = exp 1 Ln kt B e Dp pn ev = exp 1 Lp kt B en i W ev = exp 1 2 τ 2kT B n i intrinsische Ladungsträgerkonzentration n p.. Elektronenkonzentration im p-gebiet p n.. Löcherkonzentration im n-gebiet D n,d p.. Diffusionskoeffizient der e und h e (Einsteinbeziehung µ np, = D np, ) kt B L n,l p Diffusionslänge der Minoritätsladungsträger ( Lnp, = Dnp, τ np, ) τ.die Rekombinationszeit in der Verarmungszone ist von der Störstellendichte abhängig ( 1 τ = ) NT vth σ W.. Verarmungszone Beachte: J GR ist zwar ein Rekombinationsstrom, aber er geht über nichtstrahlende Übergänge!! Er trägt nicht zur Lichtemission bei! 27

Ladungsträgerinjektion Minoritätsladungsträgerrekombination führt zur Emission von Photonen Entweder Elektronen im p-bereich oder Löcher im n-bereich Photonen, die tief im Halbleiter erzeugt werden haben eine sehr hohe Wahrscheinlichkeit wieder absorbiert zu werden. Nicht gut! Möglichst viel des Gesamtstroms in die obere Lage injizieren! Der Gesamtstrom durch die LED sollte möglichst nur aus einer Diffusionsstromsorte bestehen! Gewöhnlich ist die oberste Schicht einer LED p-typ, und für Photonen die aus dieser Schicht emittiert werden, ist erforderlich, dass der Diodenstrom vom Elektronendiffusionsstrom dominiert wird (dh. J n >> J p ) 28

Injektionseffizienz Gewöhnlich ist die oberste Schicht einer LED p-typ, und für Photonen die aus dieser Schicht emittiert werden, ist erforderlich, daß der Diodenstrom vom Elektronendiffusionsstrom dominiert wird (dh. J n >> J p ) Das Verhältnis von Elektronenstromdichte zur Gesamtstromdichte wird auch als Injektionseffizienz γ inj bezeichnet. γ = inj Jn J + J + J n p GR Für eine pn + -Diode gilt, daß n p >>p n und damit - wie aus obiger Gleichung ersichtlich ist ist J n >>J p. Ist zusätzlich das Material von hoher Qualität, dann ist auch der Rekombinationsstrom J GR klein und die interne Effizienz nähert sich eins! Sind die Minoritätsladungsträger (Elektronen) einmal in den dotierten neutralen Bereich injiziert, dann rekombinieren dort die Elektronen und Löcher und erzeugen Photonen oder rekombinieren nichtstrahlend (z. B. via Defekte). Im Prinzip könnte auch J p dominieren, aber i. d. R. D n > D p!! 29

Strahlende Rekombination Strahlende Prozesse sind im E-k-Phasenraum praktisch vertikale Übergänge, d.h. der k-wert (= Impuls) eines Elektrons im Leitungsband ist gleich dem k-wert des Loches im Valenzband. E Es gilt natürlich Energieerhaltung. Zusammenhang zwischen Photonenenergie und Elektronen- bzw. Löcherenergien: k k 1 1 k ω E g = + 2 m = m 2 m 2 2 2 2 * * * e h r wobei m r * die reduzierte effektive Masse ist mit 1 1 1 = + m m m * * * r e h 30

Strahlende Rekombinationsrate Die Elektronen- bzw. Löcherenergien können damit mit der Photonenenergie ω ausgedrückt werden durch k m 2 2 * e r E = Ec + = E * c + E * g 2 me me 2 2 * h k mr E = Ev = E * v ω E * g 2 mh mh ( ω ) ( ) Ist ein Elektron im Zustand k und ein Loch ebenfalls im Zustand k (d.h. die Besetzungs- oder Fermifunktion der Elektronen bzw. Löcher f e (k) = f h (k) =1), dann ist die strahlende Rekombinationsrate W em durch folgende Gleichung gegeben W em 1 e n ω = = τ 2 r 2 3 2 0 3π ε0 m0 c p CV 2 n r.brechungsindex m 0.. Elektronenmasse p CV..Impulsmatrixelement zwischen Leitungsband und Valenzband ε 0...Dielektrizitätskonstante 31

Strahlende Rekombinationsrate W em = strahlende Rekombinationsrate = strahlende Emissionsrate (gibt auch die Rate an mit er der Photonen emittiert werde) W em 1 e n ω = = τ 2 r 2 3 2 0 3π ε0 m0 c p CV 2 Für große Photonenenergien steigt W em aber alles in einer Größenordnung p CV variiert auch nur leicht Einheit ist s -1 32

Impulsmatrixelement p CV Es hat sich herausgestellt, das p CV nicht stark von unterschiedlichen Halbleitern abhängig ist und einen Wert hat, für den gilt 2 GaAs 2 pcv Ep = 22 ev m Aus der k.p-theorie folgt: m ( ) 0 Eg Eg + Ep = 1 * m 2 Eg + 2 1 1 2 p 3 CV mit + * m m E e 0 g E g Für verschiedene Halbleiter: HL E p (ev) GaAs 25.7 InP 20.4 InAs 22.2 CdTe 20.7 GaN 16.0 InN 12.0 33

Spontane Rekombinationsrate Für GaAs ergibt sich damit mit n r = 3.5 für die Emissionsrate W em ~ 1.14 10 9 ω (ev) [s -1 ] Und die Rekombinationszeit τ 0 ergibt sich zu τ 0 = 1 0.88 W = ω = em ( ) [ ns ] ev 0.62 ns GaAs ω=1.42 ev bei RT Die bis jetzt diskutierte Rekombinationszeit ist die kürzest mögliche spontane Emissionszeit, da wir angenommen haben, daß die Elektronen immer ein entsprechendes Loch beim selben k-wert finden. Tatsächlich wird aber die Besetzungswahrscheinlichkeit der Elektronen und Löcherzustände durch Quasi-Ferminiveaus beschrieben. Der e-h Rekombinationsprozess wird durch die spontane Emission bestimmt, der impliziert, dass die Photonendichte relativ niedrig ist, sodass stimulierte Emission vernachlässigt werden kann (emittierten Photonen verlassen das Volumen des aktiven Bauelements => die Photonendichte im e-h-rekombinationsbereich bleibt niedrig dies ist völlig anders bei der LD!). 34

Gesamtrate spontane strahlende Rekombination R spon Die gesamt Photonenemissionsrate (bzw. Rekombinationsrate) erhält man durch Integration der Emissionsrate W em über alle Elektronen-Loch-Paare, d. h. unter Berücksichtigung geeigneter Verteilungsfunktionen für Elektronen und Löcher. Die Rekombinationsrate R spon [cm -3 s -1 ] ergibt sich zu spon 2 3 2 e n 3 2 r ω 1 e h e e h h ( ω) 2 ( ( ) ( ) ) ( ( ) ( ( )) 2 3 2 if δ ω 3 ε0 m0 c 2π R = d d k p E k E k f E k f E k mögliche Energien Spin Energierhaltung Besetzungswahrscheinlichkeit der Elektronen bzw. der Löcher Das Integral über d( ω) fragt alle möglichen Photonenenergien ab. Die Integration über d 3 k fragt alle k-zustände ab, und nur bei endlicher Wahrscheinlichkeit eines Elektronen-Loch-Paares trägt der k-wert bei Der Faktor 2/3 kommt über die Mittelung über alle Polarisationen Es wird die Rate pro Kristallvolumen angegeben (kommt durch die auf das Kristallvolumen normierte Zustandsdichte rein) 35

p-n-übergang: elektrische Eigenschaften Die Rekombinationsrate R spon [cm -3 s -1 ] spon 2 3 2 e n 3 2 r ω 1 e h e e h h ( ω) 2 ( ( ) ( ) ) ( ( ) ( ( )) 2 3 2 if δ ω 3 ε0 m0 c 2π R = d d k p E k E k f E k f E k Mit k 1 1 k ω Eg = + = 2 m m 2 m 2 2 2 2 * * * e h r und 3 2 d k 4π k dk und der joint density of state (gemeinsamen Zustandsdichte Leistungsband/Valenzband) N CV ( ω) = ( m ) 2 0 0 ( ω E ) 1 g 3 * 2 2 r π 2 3 lässt sich das Intergral wie folgt schreiben: 1 e e h h Rspon = d( ω) NCV { f ( E )} { f ( E )) } τ 36

Spontane Emissionsrate: geringe Dotierung Für den Fall geringer Dotierung (nicht entarteter Halbleiter) in dem die Anzahl der Elektronen und Löcher klein ist, kann die Fermi-Verteilung durch die Boltzmannverteilung angenähert werden. Da * e e e mr Ec * me ( Eg) f ( E ) = f ( + ω ) * h h h mr E V * mh ( Eg) f ( E ) = f ( ω ) f f e 1 E E ( E ) = exp( ) e E E kt F n B 1+ exp( ) kt e e F n h h E E h F p ( E ) exp( ) kt B B wird das Produkt zu ( ( ) ( ) e h EC E E Fn Fp EV ω Eg f f f( E) = exp exp exp kt B kt B kt B Einsetzen der Definitionen von den freien Ladungsträgern n und p ermöglicht jetzt die Rekombinationsrate durch die Ladungsträgerkonzentrationen auszudrücken. 37

Spontane Emissionsrate: geringe Dotierung Es gilt (entarteter Halbleiter) 1 * 2 * 3 3 e e 1 2 me ( E E) 2 c mkt e B E 2 F EC 2 2 2 2π E EF 2π kt E B n = Ne( E) f ( E ) de = ( ) de = 2( ) exp( ) Ec c exp( ) + 1 kt B EF E * C n= NC exp( ) mkt 3 e B wobei N 2( ) 2 kt C = 2 B 2π analog ergibt sich für die Löcherkonzentration: p = N V EV EF exp( ) kt B wobei N V * mkt h B = 2( ) 2 2π 3 2 Und die spontane Emissionsrate ergibt sich damit zu: 3 1 2π 2 m * 2 r * * τ 0 kbtmemh Rspon = n p = B n p 2 38

Spontane Lebensdauer: geringe Dotierung Aus der spontane Emissionsrate: 3 1 2π 2 m * 2 r * * τ 0 kbtmemh Rspon = n p = B n p 2 Können wir jetzt die Lebensdauer eines einzelnen Elektrons bestimmen, das in einen leicht dotierten p-typ Bereich kommt (N A < 10 17 cm -3 ). Wir erhalten folgende Beziehung: 1 R 2 * spon 1 2π m r = = p B p * * = τr n 2 τ0 kbtmemh 3 2 Die Lebensdauer τ r ist umgekehrt proportional zur Konzentration der Majoritätsladungsträger Die Lebensdauer τ r ist unabhängig von der Konzentration der Minoritätsladungsträger 39

strahlende Lebensdauer vs. Dotierung Die Lebensdauer τ r kann bei geringer Dotierung sehr lang werden (hunderte von ns). τ r ~ 4.τ 0 Hohe Injektion 40

Spontane Emission: hohe Dotierung Für den Fall das Elektronen in ein hoch dotiertes p-gebiet oder Löcher in ein hoch dotiertes n-gebiet injiziert werden, kann für f h bzw. f e eins angenommen werden. Die spontane Rekombinationsrate ist dann dies ergibt bzw. 3 1 * 2 e e 1 m r e e spon = ( ω) CV ( ω) C * τ = 0 τ 0 0 m 0 e R d N f ( E )) d N f ( E )) R R spon spon 3 2 1 m * r = n * τ 0 me 3 2 1 m * r = p * τ 0 mh für Elektroneninjektion für Löcherinjektion Die Minoritätsladungsträgerlebensdauer τ r wird damit von der Dotierungsdichte unabhängig, da immer ein Loch oder Elektron zur Rekombination vorhanden ist. 1 R * spon 1 m r = = * τrn n τ0 me 3 2 Die Lebensdauer ist nun im wesentlichen τ 0! 41

Spontane Emission: sehr Dotierung/Inversion Ein weiterer wichtiger Fall ist der Fall sehr hoher Injektion. Hier ist n = p so hoch, dass für alle Fälle f h = f e = 1 angenommen werden kann. Die spontane Rekombinationsrate ist dann 1 Rspon = d( ω) N τ 0 0 Fall der Inversion: CV R spon n τ p τ 0 0 Ein Bereich der für Laseroperation besonders wichtig ist, ist der Bereich wo genügend Elektronen und Löcher in den Halbleiter injiziert werden, sodaß Inversion auftritt. Wie wir später sehen werden ist dies der Fall wenn f h + f e >= 1. Unter der Näherung f h ~ f e ~ ½ für alle Elektronen und Löcher bei Inversion ergibt sich somit n Rspon 4 τ 0 womit die strahlende Lebensdauer bei Inversion τr = 4 τ 0 Dieser Wert ist ein vernünftiger Wert um die spontane Emissionsrate beim Laserschwellwert zu berechnen. τr = τ 0 42

Spontane Rekombinationsrate vs. Löcherkonzentration in GaN 43

Interne Quanteneffizienz Die Effektivität der Rekombination hängt von der strahlenden Lebensdauer τ r und der nichtstrahlenden Lebensdauer τ nr ab. Um die Effizienz der Photonenemission zu erhöhen, benötigt man deshalb einen möglichst kleinen Wert für τ r und einen möglichst großen Wert für τ nr 1 ( τ = ). nr N T v th σ Zur Vergrößerung von τ nr muss man deshalb die Anzahl der Materialdefekte (tiefe Störstellen) reduzieren. Dies schließt natürlich Oberflächen- und Grenzflächenqualitätsverbesserungen ein. Bzgl. der Dotierung haben wir bereits diskutiert, dass τ r durch Erhöhung der p- Dotierung in dem Bereich wo Elektronen injiziert werden und mit Löchern rekombinieren, verringert werden kann. Dies reduziert jedoch die Injektionseffizienz γ inj da in dem Fall n p und damit auch J n abnimmt und somit J p +J GR relative mehr beiträgt. 44

Interne Quanteneffizienz Die gesamte interne Quanteneffizienz η int : ηint = γinj ηqr ist damit ein Produkt aus der Injektionseffizienz γ inj des Elektronenstroms und der internen Quantenausbeute η Qr für strahlende Prozesse. γ = inj Jn J + J + J n p GR η Qr = 1 τ 1+ r τ nr Um die interne Quanteneffizienz zu maximieren, muss jetzt die p-dotierung so optimiert werden, dass sie nicht zu niedrig ist um η Qr zu verschlechtern aber auch nicht zu hoch ist um γ inj zu erniedrigen. Auch da günstig Elektronen und nicht Löcher zu injizieren. 45