Gerald Hofmann Ingenieurmathematik für Studienanfänger
Gerald Hofmann Ingenieurmathematik für Studienanfänger Formeln Aufgaben Lösungen 2., überarbeitete und erweiterte Auflage STUDIUM
Bibliografische Information der Deutschen Nationalbibliothek Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über <http://dnb.d-nb.de> abrufbar. 1. Auflage 2003 2., überarbeitete und erweiterte Auflage 2011 Alle Rechte vorbehalten Vieweg+Teubner Verlag Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2011 Lektorat: Ulrich Sandten Kerstin Hoffmann Vieweg+Teubner Verlag ist eine Marke von Springer Fachmedien. Springer Fachmedien ist Teil der Fachverlagsgruppe Springer Science+Business Media. www.viewegteubner.de Das Werk einschließlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich ge schützt. Jede Verwertung außerhalb der engen Grenzen des Ur heber rechts ge set zes ist ohne Zustimmung des Verlags unzuläs sig und straf bar. Das gilt ins be sondere für Vervielfältigungen, Übersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen. Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, dass solche Namen im Sinne der Warenzeichen- und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten wären und daher von jedermann benutzt werden dürften. Umschlaggestaltung: KünkelLopka Medienentwicklung, Heidelberg Druck und buchbinderische Verarbeitung: MercedesDruck, Berlin Gedruckt auf säurefreiem und chlorfrei gebleichtem Papier Printed in Germany ISBN 978-3-8348-1002-1
Vorwort Als eines der wichtigsten Hilfsmittel im Ingenieurstudium gehört die Mathematik zu den Grundlagenfächern in der Ausbildung an Fachhochschulen, Berufsakademien und Universitäten. Bekanntlich bereitet die Mathematik aber vielen Studienanfängern erhebliche Schwierigkeiten. Das beruht besonders darauf, dass Kenntnisse aus der Schulzeit verloren gegangen sind oder dass einzelne Inhalte in der Schule nicht ausreichend geübt wurden und deshalb jetzt nicht mit der nötigen Sicherheit beherrscht werden. Dieses Teubner-Lehrbuch erleichtert den Übergang von der Schulmathematik zur anwendungsbezogenen Ingenieurmathematik und schlägt eine Brücke zwischen Gymnasium (bzw. anderen studienvorbereitenden Schulen) und Hochschule. Vom Studienanfänger werden neben gesichertem und stets anwendungsbereitem Grundlagenwissen vor allem Rechenfertigkeiten verlangt und erwartet. Deshalb werden in jedem Abschnitt dieses Buches zu Beginn die wichtigsten mathematischen Grundlagen übersichtlich bereitgestellt. Stets schließen sich daran typische und erprobte Aufgaben an. Die meisten dieser Aufgaben habe ich in den letzten Jahren in Vorbereitungskursen oder in Übungen und Klausuren im ersten Semester gestellt. Außerdem enthält das Buch sämtliche Lösungen der mehr als 180 Aufgaben. In den meisten Fällen sind die Lösungen sogar komplett ausformuliert, und es wird dabei großer Wert auf Lösungsschemata und Lösungsalgorithmen gelegt. Da mathematische Sachverhalte nur durch intensive Beschäftigung mit ihnen und insbesondere durch ihre Anwendung beim Lösen von Aufgaben zu verstehen und zu beherrschen sind, wird dem Leser empfohlen, die gestellten Aufgaben selbständig zu lösen. Erst dann sollte die erhaltene Lösung mit der im zugehörigen Lösungsabschnitt eines jeden Kapitels vergleichen werden. Nach zentralen Themen aus der Elementarmathematik (von der Bruchrechnung bis zum Lösen transzendenter Gleichungen) werden jene Inhalte der höheren Mathematik dargestellt, welche im Mittelpunkt des ersten Semesters der Mathematikausbildung für Ingenieure stehen. Behandelt werden: Rechnen
6 Vorwort mit reellen Zahlen, Lösen von Bestimmungsgleichungen, Mengenlehre und mathematische Logik, Ungleichungen und Gleichungssysteme, Vektorrechnung, analytische Geometrie, Matrizen und Determinanten. Der Band ist sowohl für die Vorbereitung auf ein Studium als auch als studienbegleitende Literatur für das Selbststudium und für die Klausurvorbereitung am Ende des ersten Mathematiksemesters geeignet. Mein besonderer Dank gilt Herrn Dr. K. Luig für das sorgfältige Lesen des Manuskriptes und für viele wertvolle Hinweise und Anregungen. Schließlich möchte ich mich beim Teubner-Verlag und insbesondere bei Herrn J. Weiß für die entgegenkommende und konstruktive Zusammenarbeit bedanken. Leipzig, im September 2003 G. Hofmann Vorwort zur 2. Auflage In dieser zweiten, überarbeiteten und erweiterten Auflage wurden inhaltliche Ergänzungen und Druckfehlerberichtigungen vorgenommen. Für die dazu von Studenten und Kollegen ergangenen freundlichen Hinweise bedanke ich mich sehr herzlich. Leipzig, im September 2009 G. Hofmann ghofmann@imn.htwk-leipzig.de
Inhaltsverzeichnis 1 Rechnen mit reellen Zahlen 9 1.1 Die Zahlbereiche... 9 1.2 Die vier Grundrechenarten... 11 1.3 Potenz- und Wurzelrechnung... 18 1.4 Logarithmen... 22 1.5 Lösungen der Aufgaben aus Kapitel 1............... 23 2 Lösen von Bestimmungsgleichungen 33 2.1 Das Auflösen algebraischer Gleichungen... 34 2.2 Exponentialgleichungen u. logarithmische Gleichungen... 41 2.3 Goniometrie... 43 2.4 Lösungen der Aufgaben aus Kapitel 2............... 48 3 Mengenlehre, mathematische Logik u. Beweismethoden 61 3.1 Grundbegriffe der Mengenlehre... 61 3.2 Reelle Funktionen... 68 3.3 Grundbegriffe der mathematischen Logik............. 72 3.4 Beweismethoden in der Mathematik... 75 3.5 Kombinatorik... 79 3.6 Lösungen der Aufgaben aus Kapitel 3............... 80 4 Ungleichungen und nichtlineare Gleichungssysteme 91 4.1 Ungleichungen... 91 4.2 Ungleichungen mit Beträgen... 95 4.3 Nichtlineare Gleichungssysteme... 98 4.4 Lösungen der Aufgaben aus Kapitel 4............... 101 5 Lineare Gleichungssysteme 115 5.1 Begriffserklärungen...115 5.2 Der Gaußsche Algorithmus...116 5.3 Zur Struktur der Lösungsmenge...123 7
8 Inhaltsverzeichnis 5.4 Lösungen der Aufgaben aus Kapitel 5............... 126 6 Vektorrechnung 131 6.1 Der Begriff des Vektors u. Grundoperationen mit Vektoren... 131 6.2 Die Komponentenzerlegung...134 6.3 Skalarprodukt, Vektorprodukt und Spatprodukt...136 6.4 Anwendungen in Geometrie und Physik...142 6.5 Lösungen der Aufgaben aus Kapitel 6............... 145 7 Analytische Geometrie 153 7.1 Punkte und Geraden in der Ebene...153 7.2 Kegelschnitte...158 7.3 Punkte, Ebenen und Geraden im Raum... 166 7.4 Lösungen der Aufgaben aus Kapitel 7............... 177 8 Matrizen und Determinanten 197 8.1 Begriff der Matrix...197 8.2 Matrizenalgebra...199 8.3 Determinante einer quadratischen Matrix...205 8.4 Inverse Matrix...211 8.5 Lineare Matrizengleichungen...216 8.6 Lösungen der Aufgaben aus Kapitel 8...219