PN Übergang Sebastian Schwerdhöfer der Shockley Hauptseminar zu Grundlagen der Experimentellen Physik im SS. 2012
Gliederung Ziel: Shockley der Diodenkennlinie ) ) U I U) = I S exp 1 n U T Weg: Dichte freier Ladungsträger im Halbleiter der Shockley
Rückblick: in der Parabelnäherung W = h2 k 2 2m e W L näherungsweise kontinuierliche n: der Shockley g L W ) = A W W L g = 2 dn V dw : Anzahl von Elektronenzuständen pro Energieintervall pro Volumen in Leitungsband)
intervall Anzahl von Elektronen im Leitungsband intervall pro Volumen = x Besetzungswahrscheinl. Fermiverteilung) ñw,t ) = g L W ) f W,T ) der Shockley
der freien Ladungsträger Anzahl von Elektronen im Leitungsband pro Volumen = Integral über ñ entlang des Leitungsbandes n = ñw,t )dw = LB Oberkante LB Unterkante LB g L W ) f W,T )dw der Shockley
Näherung der f W,T ) exp W W ) F, gw ) = A W W L }{{} Boltzmann Näherung LB gw) der Shockley n = g L W ) f W,T )dw g L W ) f W,T )dw LB W L
Berechnung des Integrals n = g L W ) f W,T )dw W L = A W W L exp W L W W ) F dw der freien Elektronen im Leitungsband: n = N L exp W ) L W F der Shockley Mit äquivalenter N L ) 3 /2
Anzahl der freien Löcher Analog ist die der freien Löcher im Valenzband: p = N V exp W ) F W V Mit äquivalenter N V ) 3 /2 der Shockley
Massenwirkungsgesetz im intrinsischen HL Der undotierten Halbleiter ist elektrisch neutral: n = p =: n i n i :intrinsische ) n 2 i = n p Massenwirkungsgesetz) Mit dem kann n i berechnet werden: mit n i = n p = N L N V exp W Gap := W L W V W ) Gap 2 der Shockley
Massenwirkungsgesetz im ndotierten HL Ladungsträgererzeugung mit konstanter Rate AT ) Rekombinationsrate Anzahl der Ladungsträger Veränderung der Elektronendichte also: = AT ) BT ) n p dn dt Im Gleichgewicht gilt: dn dt = 0 n p = AT ) BT ) Freie Elektronen: n n D Störstellenerschöpfung) Freie Löcher: p = AT ) BT ) 1 n = AT ) BT ) 1 = AT ) n i nd ni BT ) 1 n }{{} i =p i =n i 1 n D/n i = n2 i n D der Shockley n 2 i = n p
Massenwirkungsgesetz im pdotierten HL Analoge Überlegungen zeigen das Massenwirkungsgesetz auch im pdotierten Halbleiter. Das Massenwirkungsgesetz gilt im in undotierten und dotierten HL Die intrinsische beträgt somit n i = n p = N L N V exp W ) Gap 2 der Shockley
Unterschiedlich dotierte Halbleiter ohne Kontakt pdot ndot Eingezeichnet sind nur ionisierte) Störstellen. In Kästen: Ortsfeste Rümpfe In Kreisen: bewegliche Ladungsträger der Shockley
Diusionsstrom bei Kontakt pdot ndot der Shockley
Entgegengesetzter Feldstrom pdot ndot der Shockley
im pdot RLZone ndot der Shockley
dotierter Halbleiter ohne Kontakt) pdot ndot der Shockley
bei Kontakt Weit weg von der RLZone: n identisch zum kontaktlosen Fall. Abstände zw Ferminiveau und Bandkanten identisch zum kontaktlosen Fall! Überall: Im einheitliches Ferminiveau der Shockley
bei Kontakt Weit weg von der RLZone: Identische Bandstruktur. Überall: einheitliches Feriniveau der Shockley
Formeln zur Berechnung der e U D = W L ) W L ) n N = N L exp p P = N V exp W L ) W F W F W V ) ) ) der Shockley W Gap = W L ) W V )
Berechnen der 2 Formeln aus der Graphik: n N = N L exp W L ) W F W Gap = W L ) W V ); ) ; p P = N V exp W F W V ) e U D = W L ) W L ); Annahme: Störstellenerschöpfung: n N n D p P n A n D n A = n N p P = N L N V exp n D n A = N L N V exp W ) L ) W V ) W ) L ) W L ) W Gap e U D = N L N V exp W ) {}}{ Gap exp W L ) W L ) k }{{} B T =n 2 i ) der Shockley
Berechnen der 3 n D n A = n 2 i exp na n D U D = U T ln n 2 i e U ) D ), U T := k BT e der Shockley
Löcherdichte p 0 n am rechten Rand der RLZone im pn 0 := p n l n ) = N V exp = N V exp = N V exp W F ) W V l n ) W F ) W V ) e U D ) W F ) W V ))e U D ) ) ) der Shockley
Diode in Durchlassrichtung Qualitativ pdot ndot treibt Majoritätsträger in die RL Zone und auf die andere Seite wo es Minoritätsträger sind. Shockley: Innerhalb der RLZone keine Rekombination Eindringtiefe von Minoritätsträgern wird durch Rekombination beschränkt. Die Minoritätsdichte fällt nach auÿen ab. der Shockley
Überlegungen zum Angelegte U reduziert Potentialunterschied von U D auf U D U. Kein QuasiFerminiveaus Imrefs) zur Beschreibung der n. Auÿerhalb der RLZone: Majoritätsdichte unverändert. Abstand zwischen W F,Maj und entsprechenden Bandkanten wie im. An den Rändern: Minoritätsdichte unverändert begrenzte Eindringtiefe der Minoritäten). Abstand zwischen W F,Min und entsprechenden Bandkanten wie im. Nähert man sich der RLZone: Minoritätsdichte nimmt im VGL zum zu. Aufspaltung von W F in zwei QuasiFermiNiveaus für Minoritäten zu bzw abnehmend) und Majoritäten gleichbleibend). der Shockley
Ergebnis der Überlegungen El. Potentialunterschied: U D U. Am Rand: Dichten wie im. Auÿerhalb der RL Zone: W F,Maj W Maj.Bandkante wie im. Näher an der RLZone: W F,Min W Min.Bandkante abnehmend im VGL zum. der Shockley
Annahmen zur Näherung Annahme Näherung): Keine Rekombination von injizierten Minoritäten in der RL Zone. pdot ndot Weitere Näherung: Vernachlässigung von Feldströmen der Shockley Betrachtung reduziert sich auf Diusionsstrom der Minoritätsträger am Rand der RL Zone
Löcherdichte am rechten Rand der RLZone pl n ) = N V exp W F ) W V l n ) W V l n ) = W V ) e U D U) pl n ) = N V exp W ) ) F ) W V )) e U D e U exp }{{} =:p 0 n, Löcherdichte im nbereich ohne ) der Shockley ) e U pl n ) = pn 0 exp
Löchergradient am rechten Rand der RLZone Überschuss am rechten Rand der RL Zone: pl n ) = pl n ) p 0 n = p 0 n Formeln: pl n ) = p 0 n exp e U exp e U ) ) 1 Der Überschuss nimmt nach rechts durch Rekombination exponentiell ab: ) px) = pl n ) exp ln x L p e U px) = pn 0 exp ) ) 1) } {{ } pl n ) ) exp ln x L p ) der Shockley
Löcherstrom am rechten Rand der RLZone pn 0 exp e U j p,d l n ) = e D p p x x = l n) Formeln: px) ) = ) 1 Einsetzen von px) möglich, da x px) = x px) j p,d l n ) = e D ) ) p e U pn 0 exp 1 L p ) exp ln x L p der Shockley
Gesamter Diusionsstrom Analog zum Löcherstrom am rechten Rand der RLZone erhalten wir den Elektronenstrom am linken Rand der RLZone: j n,d l p ) = e D ) ) n e U np 0 exp 1 L n Die gesamte Diusionsstromdichte beträgt also: Dp j D = j p,d j n,d = e pn 0 D ) ) ) n e U np 0 exp 1 L p L n der Shockley
Shockley Dp I U) = j A = A pn 0 D ) n np 0 L p L n }{{} =:I S, Sperrstrom ) ) U I U) = I S exp 1 n U T ) ) e U exp 1 U T := k BT e der Shockley
Beispielkennlinie aus der Wikipedia ) ) U I U) = I S exp 1 n U T der Shockley Diodenkennlinie vom Typ 1N4001)