3.6 Prognosen mi ARMA-Modellen Opimale Prognosen mi ARMA-Modellen im Sinne eines minimalen Mean Squared Error (MSE sind durc die bedingen Erwarungswere von +, =,,..., uner Verwendung der zur Zei vorandenen Inormaionen gegeben. Als empirisce Äquivalene der bedingen Mielwere ergeben sic Prognoseunkionen, die ier ür olgende ARMA-Modelle augezeig werden: - AR(-Modell, - MA(-Modell, - ARMA(,-Modell. Als Prognoseelermaße werden der - Mean Absolue Error (MAE, - Mean Absolue Percenage Error (MAPE, - Mean Squared Error (MSE und Roo Mean Squared Error (RMSE, - Teilsce ngleiceiskoeizien ( vorgesell.
Prognosen mi einem AR(-Prozess AR(-Prozess:, < -Scri-Prognose Bedinger Erwarungswer von + uner Verwendung der Inormaionen zur Zei : E ( E ( E ( Ersez man die bedingen Erwarungswere E ( + und E ( +- durc ire empiriscen Äquivalene, d.. die Prognoseunkionen ˆ ( und ˆ ( -: ˆ ( ˆ Prognoseeler: ( - ˆ ( - ( Varianz des Prognoseelers: 95%-Konidenzinervall der -Scri-Prognose: ( Var( ˆ ( ˆ (,96 (
Ein-Scri-Prognose ˆ ( ˆ (0 Prognoseeler: ( - ˆ ( Varianz des Prognoseelers: ( Var( σ 95%-Konidenzinervall der Ein-Scri-Prognose: ˆ (,96 (, 96 3
4 Zwei-Scri-Prognose ( ( ( ˆ ˆ Prognoseeler: + in Abängigkei von : ( ( - ( ˆ Varianz des Prognoseelers: ( σ Var( ( 95%-Konidenzinervall der Zwei-Scri-Prognose:,96 (,96 ( ˆ
Beispiel: Kursprognose der DBC-Akie mi AR(-Modell Tageskurse: 4..988 30.5.994 50 40 30 0 0 00 90 80 70 Kursverlau der DBC DBC-Akie 60 988 989 990 99 99 993 994 5
Kleins-Quadrae-Scäzung im Süzzeiraum 4..988 30..994 Dependen Variable: DBC Meod: Leas Squares Sample (adjused: 5/0/988 30//994 Included observaions: 84 aer adjusmens Convergence acieved aer 3 ieraions Variable Coeicien Sd. Error -Saisic Prob. C 94.9903 8.37948.39 0.0000 AR( 0.994465 0.00453 405.367 0.0000 R-squared 0.98903 Mean dependen var 94.0483 Adjused R-squared 0.98905 S.D. dependen var 8.7934 S.E. o regression.968570 Akaike ino crierion 4.93588 Sum squared resid 7060.739 Scwarz crierion 4.9968 Log likeliood -38.55 Hannan-Quinn crier. 4.9586 F-saisic 6489.7 Durbin-Wason sa.997373 Prob(F-saisic 0.000000 Invered AR Roos.99 OLS-Scäzgleicung: ˆ 94, 99 0, 994-6
Ein-Scri-Prognose (saisce Vorersage ür den Zeiraum..995 30.5.995: 95 90 85 80 75 70 65 995M0 995M0 995M03 995M04 995M05 DBC DBCF_LOW DBCF DBCF_PPER 7
-Scri-Prognose (dynamisce Vorersage: =,,3, ür den Zeiraum..995 30.5.995: 0 0 00 90 80 70 60 50 995M0 995M0 995M03 995M04 995M05 DBC DBCF_LOW DBCF DBCF_PPER 8
Prognosen mi einem MA(-Prozess MA(-Prozess:, < -Scri-Prognose Bedinger Erwarungswer von + uner Verwendung der Inormaionen zur Zei : E ( E ( E E ( ( Das empirisce Äquivalen des bedingen Erwarungswers E ( + läss sic mi der Prognoseunkion ˆ ( berecnen: ür = ( is bekann, + is unbekann und wird gleic dem Erwarungswer 0 gesez: ˆ ( μ ür ( +, +, usw. sind unbekann und werden gleic dem Erwarungswer 0 gesez: ˆ ( 9
0 95%-Konidenzinervall der -Scri-Prognose: (,96 ( ˆ Prognoseeler: ( - ( ˆ Varianz des Prognoseelers: ( - Var( ( ˆ ür =: ( - ( ˆ σ Var( ( σ,96 μ (,96 ( ˆ ür : ( - ( ˆ ( σ - Var( ( - σ,96 μ (,96 ( ˆ
Prognosen mi einem ARMA(,-Prozess ARMA(,-Prozess:, <, < -Scri-Prognose Bedinger Erwarungswer von + uner Verwendung der Inormaionen zur Zei : E ( E E ( ( E ( E ( Das empirisce Äquivalen des bedingen Erwarungswers E ( + läss sic mi der Prognoseunkionen ˆ ( berecnen: Prognoseeler: ( - ˆ ( Varianz des Prognoseelers: ( Var( - ˆ ( 95%-Konidenzinervall der -Scri-Prognose: ˆ (,96 (
Ein-Scri-Prognose Für = is bekann, wärend + unbekann is und gleic 0 gesez wird: ˆ ( ˆ (0 = Prognoseeler: ( - ˆ ( Varianz des Prognoseelers: ( Var( σ 95%-Konidenzinervall der Ein-Scri-Prognose: ˆ (,96 (, 96
3 Zwei-Scri-Prognose Prognoseeler: + in Abängigkei von : Varianz des Prognoseelers: 95%-Konidenzinervall der Zwei-Scri-Prognose: Für = sind + und + unbekann und werden gleic 0 gesez: ( ( ( - ( ( ˆ ] ( [ ( ( σ ] Var[ ( (,96 (,96 ( ˆ ( ( ˆ ( ˆ
Evaluaion von Prognosen Scäzung eines ARIMA-Modells: Süzzeiraum =,,...,n Ex-pos-Prognosen (Prognosen ür einen Zeiraum, ür den Zeireienwere verügbar sind: Zeiraum =n+, n+,..., n+ Ex-ane-Prognosen erolgen ür einen Zeiraum, ür den keine Zeireiendaen verügbar sind. Eine Evaluaion der ARIMA-Prognosen kann daer nur bei Ex-pos-Prognosen vorgenommen werden. Im Folgenden werden Felermaße ür Ein-Scri-Prognosen deinier. Milerer absoluer Feler (mean absolue error, MAE MAE j xn j xˆ n j( n j-( j Milerer absoluer prozenualer Feler (mean absolue percenage error, MAPE MAPE j x j xˆ j( x j 00% n j-( j x j 00% 4
Milerer quadraiscer Feler (mean squared error, MSE MSE j x xˆ ( j Roo Mean Squared Error (RMSE n j- n j n j ( RMSE MSE Teilscer ngleiceiskoezien j j x n j n j x ( n j Vergleic der Prognose mi der naiver Vorersage Nenner: Prognoseeler bei naiver Vorersage xˆ n j( xn j (Ein-Scri-Prognosewer enspric Vorperiodenwer =: Prognose is so gu wie die naive Prognose <: Prognose is besser als die naive Prognose 5
Beispiel: Kursprognose der DBC-Akie mi AR(-Modell - bei saiscer Prognose (Ein-Scri-Prognose: 95 90 85 80 75 70 Forecas: DBCF Acual: DBC Forecas sample: /0/995 9/03/999 Adjused sample: /0/995 3/05/995 Included observaions: 07 Roo Mean Squared Error.3847 Mean Absolue Error.0053 Mean Abs. Percen Error.5577 Teil Inequaliy Coeicien 0.00853 Bias Proporion 0.0078 Variance Proporion 0.00083 Covariance Proporion 0.997035 65 995M0 995M0 995M03 995M04 995M05 DBCF ± S.E. 6
- bei dynamiscer Prognose (-Scri-Prognose, =,,3,...: 0 0 00 90 80 70 Forecas: DBCF Acual: DBC Forecas sample: /0/995 30/05/995 Included observaions: 07 Roo Mean Squared Error 4.07635 Mean Absolue Error 3.4003 Mean Abs. Percen Error 4.0086 Teil Inequaliy Coeicien 0.04760 Bias Proporion 0.3859 Variance Proporion 0.4045 Covariance Proporion 0.5390 60 50 995M0 995M0 995M03 995M04 995M05 DBCF ± S.E. 7