3.7 Linsengesetze 339

3.7 Linsengesetze 339 3.7. Linsengesetze Ziel Ziel des Versuches ist ein besseres Verständnis der optischen Abbildung durch Linsen, insbesondere durch zusammengesetzte Linsensysteme. Wesentlich ist dabei das Konzept der Hauptebenen von Linsen(systemen), hier am Beispiel eines einachen Teleobjektivs. Im Versuch werden die Brennweiten einzelner Linsen und eines Teleobjektivs, sowie die Lage der Hauptebenen des Teleobjektivs bestimmt. Dazu wird das sog. Bessel-Verahren angewendet. Es sollte unbedingt klar werden, welchen Vorteil der Einsatz eines Teleobjektivs im Vergleich zu einachen Linsen ür den Einsatz in einem Fotoapparat oder einer Videokamera bringt. Hinweise zur Vorbereitung Die Antworten au diese Fragen sollten Sie vor der Versuchdurchührung wissen. Sie sind die Grundlage ür das Gespräch mit Ihrer Tutorin/Ihrem Tutor vor dem Versuch. Inormationen zu diesen Themen erhalten Sie in der unten angegebenen Literatur. Was ist Brechung? Wie unktioniert die Abbildung mit Hile einer Linse? Was ist die Hauptebene einer Linse? Wie lauten die Linsenormeln? Wie unterscheiden sich dicke Linsen von dünnen Linsen im Abbildungsverhalten? Welche Linsenehler gibt es? Wie unktioniert das Bessel-Verahren zur Brennweitenbestimmung? Zubehör optische Bank mit Reitern, davon zwei in variablem Abstand koppelbar Lampe Kondensorlinse Diapositiv Projektionsschirm einache Konvexlinsen mit 1 = +100 mm und 2 = +200 mm Telezoomobjektiv mit variabler Brennweite +80 mm +200 mm

340 3. Versuche zur Optik Grundlagen Abbildungsgleichung Gegenstand dünne Linse Bild G B g b g Abbildung 3.7.1.: Strahlengang bei einer dünnen Linse. Es bedeuten: G Gegenstandsgröße, B Bildgröße, g Gegenstandsweite, b Bildweite, Brennweite. Die Abstände g und b kommenindernewtonschen Form der Abbildungsgleichung vor. b Als Abbildungsgleichung bei Linsen bezeichnet man üblicherweise den Zusammenhang zwischen Brenn-, Gegenstands- und Bildweite (siehe auch Abbildung 3.7.1): 1 = 1 g + 1 b (3.7.1) mit = Brennweite, g = Gegenstandsweite, b = Bildweite. Diese Gleichung wird auch ot in einer etwas anderen Form geschrieben und heißt dann newtonsche Abbildungsgleichung: 2 = g b (3.7.2) mit = Brennweite, g = Abstand vom Gegenstand zum gegenstandsseitigen Brennpunkt, b = Abstand vom bildseitigen Brennpunkt zum Bild. Hauptebenen Betrachtetmannichtmehrausschließlichdünne Einzellinsen, sondern z. B. dicke Linsen (siehe Abbildung 3.7.2) oder Linsenkombinationen, so stellt sich die Frage, ob die recht

3.7 Linsengesetze 341 praktische Abbildungsgleichung (3.7.1), also 1 = 1 g + 1 b,nochinirgendeinerweisegültig bleibt. Es stellt sich heraus, dass man durchaus mit der Formel weiter arbeiten kann, soern man die Bedeutung der Größen Gegenstandsweite g und Bildweite b allgemeiner deiniert. Und zwar dar man g und b nichtmehrvondermittederlinseausmessen, sondern von zwei geeignet deinierten Ebenen aus, die man als Hauptebenen bezeichnet (ür dünne Linsen allen diese mit der Mitte der Linse zusammen). Dann ist g der Abstand vom Gegenstand zur sog. gegenstandsseitigen Hauptebene H G, b derjenige von der sog. bildseitigen Hauptebene H B zum Bild. Die beiden Hauptebenen haben voneinander den Abstand h. Diese Ebenen müssen nicht notwendigerweise innerhalb der Linse oder des Linsensystems liegen, sie können sich verwirrenderweise sogar beide au der gleichen Seite des Linsensystems beinden (z. B. liegen beim Teleobjektiv beide Hauptebenen au der Gegenstandsseite). Abbildung 3.7.3 zeigt beispielhat ür einige Linsen die Lage der Hauptebenen. Gegenstand dicke Linse H G H B Bild G B g b g Abbildung 3.7.2.: Wirklicher und vereinachter Strahlengang bei einer dicken Linse. Es bedeuten: G Gegenstandsgröße, B Bildgröße, g Gegenstandsweite, b Bildweite, Brennweite, H G gegenstandsseitige Hauptebene, H B bildseitige Hauptebene, h Hauptebenenabstand. Die Abstände g und b kommen in der newtonschen Form der Abbildungsgleichung vor. h b Das Bessel-Verahren Bei dünnen Linsen eignet sich Gleichung (3.7.1) zur Bestimmung der Brennweite, denn g und b können einach von der Mitte der Linse (hier identisch mit beiden Hauptebenen) aus gemessen werden. Bei dicken Linsen und Linsenkombinationen ist die Lage der Hauptebenen nicht ohne weiteres erkennbar. Die Bestimmung der Brennweite muss dann au eine andere Weise erolgen. Geeignet ist z. B. das olgende im Jahr 1840 von F. W. Bessel angegebene Verahren:

342 3. Versuche zur Optik Abbildung 3.7.3.: Beispiele ür die Lage der Hauptebenen bei verschiedenen Linsenormen (schematisch). Kondensor Dia Lampe Linse Schirm Kondensor Dia Lampe Schirm Linsensystem a x a x Abbildung 3.7.4.: Skizze zur Brennweitenbestimmung nach Bessel. Links ist der Fall einer einachen dünnen Sammellinse dargestellt, rechts der eines Teleobjektivs. Dabei ist a der Abstand zwischen Dia und Schirm, x derjenige zwischen den beiden Positionen, in denen sich ein schares Bild ergibt. Beim Teleobjektiv sind auch die beiden Hauptebenen mit eingezeichnet. Die Darstellung ist allerdings nur schematisch, der wirkliche Aubau eines Telezoomobjektivs ist meist komplizierter. Beträgt der Abstand a zwischen Gegenstand und Schirm mehr als die vierache Brennweite plus den Hauptebenenabstand h,alsoa>4 + h,danngibteszwei Stellungen der Linse bzw. Linsenkombination, bei denen ein schares reelles Bild au dem Schirm sichtbar ist. Man kann nämlich die Werte von g und b in der Abbildungsgleichung vertauschen und erhält so in einem Fall ein vergrößertes, im anderen Fall ein verkleinertes Bild des Gegenstandes. Bezeichnet man mit a den Abstand zwischen Gegenstand und Schirm, mit x den Abstand zwischen den beiden Linsenpositionen, in denen ein schares Bild entsteht, und mit h den Hauptebenenabstand, so erhält man (siehe Augabenteil) = (a h)2 x 2 4(a h). (3.7.3) Der noch unbekannte Hauptebenenabstand h kann ebenalls au diese Weise ermittelt werden, wenn man die Messung ür einen anderen Abstand zwischen Gegenstand und Schirm wiederholt. Für zwei Wertepaare (a 1,x 1 ) und (a 2,x 2 ) mit verschiedenen Abständen

3.7 Linsengesetze 343 zwischen Dia und Schirm (Gegenstand und Bild) gilt dann nämlich (a 1 h) 2 x 2 1 4(a 1 h) = = (a 2 h) 2 x 2 2 4(a 2 h). (3.7.4) Durch Umormen ergibt sich eine quadratische Gleichung ür h (a 1 a 2 ) h 2 +( a 2 1 + a 2 2 + x 2 1 x 2 2) h +(a 2 1a 2 a 1 a 2 2 + a 1 x 2 2 a 2 x 2 1) = 0 (3.7.5) mit den zwei Lösungen h 1,2 = v ± v 2 4uw 2u, (3.7.6) wobei u := a 1 a 2 v := a 2 1 + a 2 2 + x 2 1 x 2 2 w := a 2 1a 2 a 1 a 2 2 + a 1 x 2 2 a 2 x 2 1. Ausgeschrieben (wenn auch wenig übersichtlich) lautet das Ergebnis: (a 2 1 a2 2 x2 1 + x2 2 (a ) ± 2 1 a2 2 x2 1 + x2 2 )2 4(a 1 a 2 )(a 2 1 a 2 a 1 a 2 2 + a 1x 2 2 a 2x 2 1 ) h 1,2 = 2(a 1 a 2 ). Eine der Lösungen ür h kann als unphysikalisch ausgeschlossen werden, da ja au dem Schirm ein reelles Bild sichtbar ist, so dass der Abstand zwischen Dia und Schirm wie oben bereits erwähnt mindestens viermal die Brennweite der Linse plus den Hauptebenenabstand betragen muss (a 4 + h). Mit dieser Zusatzbedingung lässt sich der Hauptebenenabstand schließlich eindeutig bestimmen. Versuchsdurchührung Grundaubau: 1. Leuchten Sie das Dia mit der Kondensorlinse möglichst gleichmäßig aus. Brennweitenbestimmung ür Einzellinsen nach dem Bessel-Verahren: 2. Untersuchen Sie zunächst die einache Linse mit 1 = +100 mm. 3. Wählen Sie einen Abstand zwischen Dia und Schirm, der groß genug ist, dass es zwei unterschiedliche Positionen der Linse gibt, in denen ein schares Bild au dem Schirm sichtbar ist. 4. Bestimmen Sie mehrmals(!) den Abstand zwischen diesen beiden Linsenpositionen. 5. Ändern Sie den Abstand zwischen Dia und Schirm und wiederholen Sie die Messung ür mindestens einen anderen Abstand (es ist auch kein Fehler, insgesamt drei oder vier Abstände zu vermessen...).

344 3. Versuche zur Optik 6. Wiederholen Sie die Schritte 3 bis 5 ür die einache Linse mit 2 = +200mm. Messungen am Teleobjektiv: 7. Wiederholen Sie die Schritte 3 bis 5 ür zwei verschiedene Brennweiteneinstellungen des Telezoomobjektivs. Notieren Sie jeweils, welche Brennweite und welche Enternungseinstellung am Objektiv eingestellt sind, sowie die Einbaurichtung des Objektivs. 8. Bestimmen Sie den Abstand zwischen Dia und Schirm, ür den sich eine 1:1- Abbildung ergibt. Bei dieser Stellung beträgt der Abstand zwischen Dia und gegenstandsseitiger Hauptebene gerade die doppelte Brennweite. Gleiches gilt ür den Abstand zwischen bildseitiger Hauptebene und Schirm. Notieren Sie die Position des Teleobjektivs (z. B. der Stativstange oder des hinteren Endes) in Bezug au Dia und Schirm, um später nach Berechnung der Brennweite des Linsensystems die Position der Hauptebenen relativ zum Objektiv zeichnen zu können. Auswertung Einzellinsen: 1. Berechnen Sie die Brennweiten der beiden Sammellinsen nach der Bessel-Methode (die im Anleitungstext bzw. au den Linsen angegebenen Brennweiten sollen dabei als Literaturwerte zum Vergleich herangezogen werden). Teleobjektiv: 2. Berechnen Sie ür alle untersuchten Abstände der beiden Linsen jeweils die Brennweite und den Hauptebenenabstand. Hinweis: Falls Sie bei ein und demselben Linsenabstand Messungen ür drei oder mehr Abstände zwischen Dia und Schirm durchgeührt haben, können Sie auch eine mathematisch etwas anspruchsvollere Form der Auswertung wählen. Zwar lassen sich aus beliebigen Kombinationen von jeweils zwei Wertepaaren (a, x) Ergebnisse ür und h berechnen, doch ist es besser, alle Wertepaare au einmal in die Rechnung mit einzubeziehen, um den Fehler möglichst klein zu machen. Man ormt dazu Gleichung (3.7.3) etwas um und erhält x 2 = a 2 + α a + β mit den Abkürzungen α := (2h +4) und β := h 2 +4h. Man kann durch Variieren von α und β eine Anpassung dieser Funktion an die Wertepaare (a, x) bestimmen ( nichtlinearer Kurvenit ) und dann aus den geundenen Bestwerten nach h = α± α 2 4β und = (α+2h) = β h2 diebestwerteür die Brennweite und den Hauptebenenabstand 2 4 4h berechnen. Die so geundenen Werte enthalten dann die Inormation aller Messdaten. 3. Zeichnen Sie eine maßstabsgetreue Skizze des Strahlengangs mit der Lage der Hauptebenen. Dabei braucht nicht unbedingt der wirkliche Strahlenverlau eingezeichnet zu werden, es reicht der idealisierte, bei dem die gesamte Brechung scheinbar an den beiden Hauptebenen stattindet. Fragen und Augaben 1. Leiten Sie Gleichung (3.7.4) und ihre Lösung her.

3.7 Linsengesetze 345 2. Erklären Sie, warum es bei einem Fotoapparat viel praktischer ist, zur Abbildung weit enternter Gegenstände keine normale Linse mit großer Brennweite zu verwenden, sondern eine Linsenkombination, bei der beide Hauptebenen au der Gegenstandsseite liegen (Letzteres ist die gängige Deinition eines Teleobjektivs). 3. ür Physiker(innen): Bei der Abbildung durch Linsen nutzt man die Brechung des Lichts im Linsenmaterial. Wie kann man stattdessen die Beugung des Lichts zur Abbildung nutzen? Was ist eine resnelsche Zonenplatte (nicht zu verwechseln mit der im Jahr 1820 von F. W. Fresnel erundenen sog. resnelschen Stuenlinse!) und was hat diese mit der Holographie gemeinsam? Welche dritte Möglichkeit gibt es neben Brechung und Beugung zur Erzeugung optischer Abbildungen? Ergänzende Inormationen Simulationsprogramme Thomas Lettner von der Universität Erlangen hat ein einach zu bedienendes Programm geschrieben, das es ermöglicht, Strahlengänge durch verschiedene Linsen und Linsensysteme unter Windows zu simulieren. Es ist zu inden unter http://www.didaktik.physik.uni-erlangen.de/download/windown.htm oder alternativ lokal au dem AP-Server unter http://ap.physik.uni-konstanz.de/sotware/strahlenoptik/opticom und eignet sich gut zum spielerischen Umgang mit geometrischer Optik. Eine recht anschauliche Simulation der Wirkung verschiedener Linsen indet sich auch au der Webseite des Konstanzer Lehrstuhls von Pro. Dr. Peter Nielaba unter http://www.uni-konstanz.de/nielaba/ bzw. genauer http: //www.uni-konstanz.de/nielaba/edynjava/strahlengang/strahlengang.html. Erstellt wurde die Simulation von Philipp Koch im Rahmen seiner Staatsexamensarbeit. Achtung: leider sind nicht alle Web-Browser in der Lage, die Simulationen richtig wiederzugeben. Linsenehler Der Begri Linsenehler ist eigentlich irreührend, denn Linsen machen bzw. haben natürlich keine Fehler, wenn man ihnen die richtige Form gibt. Es ist nur so, dass die üblicherweise verwendeten (weil einach und billig herzustellenden) Linsen mit kugelörmig gekrümmten Oberlächen nicht genau die völlig unverzerrten Abbildungen lieern, die man gerne hätte. Man unterscheidet eine ganze Reihe von Linsenehlern, wobei die Unterteilung eine gewisse Willkür beinhaltet. Eine häuig betrachtete Fehlerart betrit die unterschiedliche Abbildung verschiedener Wellenlängen. Die sogenannten Farbehler sind bei einachen Linsen nicht zu vermeiden, es gibt allerdings etwas kompliziertere Linsen und Linsensysteme, bei denen diese sog. chromatische Aberration ür zwei Farben (meist Rot und Blau) korrigiert ist. Diese als Achromate bezeichneten Linsen bestehen meist aus der Kombination einer Sammellinse aus Kronglas und einer Zerstreuungslinse aus Flintglas. Die ersten Linsen dieser Art wurden im Jahr 1757 von J. Dollond hergestellt. Bei Verwendung spezieller Gläser und zweier Linsen ist auch eine Korrektur ür drei Farben (z. B. Rot, Gelb und Blau) möglich, so dass Farberscheinungen praktisch beseitigt sind. Man spricht dann von apochromatischer Korrektion. Unter Verwendung von mehr als zwei Linsen ist es schließlich möglich, ür Mikroskopobjektive die Farbehler vollständig auzuheben. Man bezeichnet solche Systeme nach Abbe als Apochromate. Brechkrat einer Linse Im täglichen Leben wird man selten mit dem Begri der Brennweite einer Linse zu tun haben, obwohl Linsen ja insbesondere als Brillengläser allgegenwärtig sind. Optiker geben nämlich statt der Brennweite lieber die sog. Brechkrat 1 einer Linse an. Sie wird in Dioptrien (1 Dioptrie = 1 dp = 1 m 1 ) gemessen. Eine Linse mit der Brennweite 1 = 400 mm hat also z. B. eine Brechkrat von = 1 =2.5 dp. Die Angabe der 400 mm 0.4m

346 3. Versuche zur Optik Brechkrat ist besonders praktisch, wenn mehrere dünne Linsen dicht hintereinander gestellt werden. In diesem Fall ist nämlich die Gesamtbrechkrat der Anordnung in guter Näherung gerade die Summe der einzelnen Brechkräte: Literaturhinweise 1 gesamt = 1 1 + 1 2 + 1 3 +.... (3.7.7) Viele Erklärungen und Bilder inden sich z. B. in [GGG78] und [Hec94]. Ein sehr ausührliches Buch ür den (ortgeschrittenen) praktischen Umgang mit geometrischer Optik ist [MM97]. Es geht zwar weit über den Sto hinaus, der im Anängerpraktikum relevant ist, ist dabei aber trotzdem gut verständlich. Literaturverzeichnis [GGG78] Gobrecht, Heinrich, Jens H. Gobrecht und Klaus H. Gobrecht (Herausgeber): Bergmann-Schaeer Lehrbuch der Experimentalphysik, Band III: Optik. Walter de Gruyter, Berlin, 7. Aulage, 1978. [Hec94] [MM97] Hecht, Eugene: Optik. Addison-Wesley (Deutschland) GmbH, 2. Aulage, 1989, 1994. 3. korrigierter Nachdruck. Mouroulis, Pantazis and John Macdonald: Geometrical Optics and Optical Design. Oxord University Press, New York, Oxord, 1997.