HTL Saalfelden Fehlerrechnun in der Optik Seite von 6 Heinrich Schmidhuber heinrich_schmidh@hotmail.com Fehlerrechnun in der Optik Mathematische / Fachliche Inhalte in Stichworten: Fehlerarten, Fehlerfortplanzun, lin. Reression, Linsenleichun Kurzzusammenfassun Die Brennweite einer Sammellinse (mit Anabe der Fehlerrenzen) soll durch Messun der Geenstands- und Bildweite ermittelt werden. Dazu wird zu Beinn der Größtfehler und seine Abhänikeit vom zu wählenden Messbereich bestimmt. Um einen mölichen systematischen Fehler zu erkennen, wird die Brennweite danach auf zwei Arten errechnet. Zuletzt wird noch ein Verfahren vorestellt, wie möliche systematische Abweichunen eliminiert werden können. Didaktische Überleunen / Zeitaufwand: Die Schüler sollten sowohl mit den mathematischen (Fehlerfortpflanzun,..) als auch physikalischen (dünne/dicke Linsen,...) Inhalten vertraut sein. Zeitaufwand: inklusive Messun: 6UE Lehrplanbezu (bzw. Geenstand / Abteilun / Jahran): Optiklabor, 4.Jahran, Mechatronik; AM, Lineare Reression, Fehlerfortpflanzun 3.Jahran, Mechatronik Mathcad-Version: Mathcad 200i Literaturanaben: G. Schröder technische Optik Würzbur:Voel, 998 Anmerkunen bzw. Sonsties: Diese Arbeit wird von mir im Optiklabor verwendet. (4. Jahran, Mechatronik) Sicherlich auch im AHS-Bereich (Physik) einsetzbar. Ermittlun der Brennweite einer Sammellinse Die Brennweite wird aus Bildweite b und Geenstandsweite nach der Formel /f = / +/b errechnet. Vor Messbeinn wird der Größtfehler abeschätzt. fb (, ) b := Formel nach f aufelöst. + b Bei absoluten Fehlern (Messfehler in ) und b (Messfehler in b) ilt für f (Fehler in f): f( b,,, b) := d fb (, ) + d fb (, ) b eientlich partielle Ableitunen d db f( b,,, b) b ( + b) b ( + b) 2 + ( + b) b ( + b) 2 b symb. Erebnis
HTL Saalfelden Fehlerrechnun in der Optik Seite 2 von 6 Zur Bestimmun des optimalen Messbereiches eine raphische Darstellun des absoluten Fehlers ( f): Anzahl der Unterteilunen in -Richtun: N:= 20 i:= 0.. N min := 5cm max := 50cm Anzahl der Unterteilunen in b-richtun: M:= 20 j:= 0.. M b min := 0cm b max := 50cm Mit i, j...laufvariablen b min, b max... minimale, maximale Bildweite min, max... minimale, maximale Geenstandsweite i i := min + N max min j b j := b min + M b max b min errechnete Gitterpunkte Mit den Fehlern: b:= 4mm := 2mm folt für den absoluten Fehler in der Brennweite: ( eribt sich aus den Ablesefehlern von G ( mm) und L ( mm). Der Fehler ist bei der Bildweite rößer, da das subjektive Schärfeempfinden eine Rolle spielt ) Siehe unten (Messaufbau) Fehler absoluti := f, j i, b j,, b Ausabematrix für 3-D-Plot Fehler absolut Aus dem Diaramm ist ersichtlich, dass Erebnisse mit erinen Fehlern (dunkler Bereich) dann elinen, wenn b etwas kleiner als ist (in Abhänikeit von b und ).
HTL Saalfelden Fehlerrechnun in der Optik Seite 3 von 6 Zur Messun (schematischer Aufbau): Geenstand (G) Linse (L) Bild (B) optische Bank mit Messleiste = L - G b = B - L Messerebnisse (M) von Schülern aus einer Exceltabelle einelesen: Mess := schmh_messwerte.xls Lesebereich mit rechter Maustaste/ Eienschaften bestimmt werden 0 2 Mess = 0 2 6 30 46 6 29 46 6 28 48. Spalte...Ort des Geenstandes 2. Spalte...Ort der Linse 3 4 5 6 3 46 6 32 46 6 33 46 3. Spalte...Ort des Bildes alle Erebnisse in cm cm Mess := Mess 0 n b n f n := errechnete Brennweiten n + b n cm b Mess 2 := Mess n := 0.. läne( ) Anzahl der Messerebnisse mittelwert( f) = 74.2 mm F n := f n, b n,, b max( F) =.94 mm Mittelwert der Brennweiten Größtfehler jeder Messun max. Größtfehler der Messun Zur Kontrolle wird aus den Messpaaren (/b, /) die Reressionserade ermittelt, denn mit /b = -/ +/f /b...y /...x k...- d.../f folt, dass und a) die Steiun - sein soll (die Reressionserade ist enau jene Gerade, bei der die Abweichunen durch zufällie Fehler minimal sind); b) die aus /d bestimmte Brennweite dem Mittelwert(f) entsprechen sollte. Achtun: Gilt nur, wenn b und unefähr leich roß sind, da ansonsten die Abweichunen durch die Transformation (/ und /b) nicht mehr symmetrisch sind (scheinbarer systematischer Fehler).
HTL Saalfelden Fehlerrechnun in der Optik Seite 4 von 6 x n := n y n := b n = 7. mm achsenabschn( x, y) neiun ( x, y) =.092 Die roßen Abweichunen deuten auf einen systematischen Fehler hin!!! enl. neiun = slope achsenabschn = intercept Möliche Erklärunen: a) Die Geenstandsweite bzw. die Bildweite b sind nur bei dünnen Linsen leich dem Abstand Geenstand-Linse bzw. Bild-Linse. Bei dicken Linsen muss der Abstand zwischen Geenstand (Bild) und der Hauptebene zur Bestimmun von bzw. b ermittelt werden. D.h., dass die emessenen Werte um x bzw. y von und b abweichen. und/oder b) Die Markierunen der opt. Reiter entsprechen nicht den wahren Orten von G, B, oder L (sytematischer Messfehler) ) Anmerkun:Dünne Linsen sind per Definition Linsen, bei denen die Strahlen durch den Mittelpunkt keine Brechun/Verschiebun erfahren. Bei dicken Linsen ist dies schon der Fall (siehe Parallelverschiebun durch eine planparallele Platte); diesen Effekt wird durch die Einführun der beiden Hauptebenen Rechnun etraen.oftmals wird die Läne Hauptebene-Brennpunkt auch Gauß sche Brennweite bezeichnet. Um dennoch für beide Fälle Lösunen zu erhalten, erfolt nun die folende Überleun : G H L H2 B wobei x = L - H und y = H2 -L ist. Jetzt sollen die neuen Geenstands- und Bildweiten bestimmt werden.und zwar mit: B neu = b alt - yy G neu = alt - xx Byy := b yy Gxx := xx xx := 0mm yy := 0mm CTOL := 0 8 Startwerte für die Abweichunen (für den Lösunsblock erforderlich) Damit wird die Güte der Lösun von minfehl() bestimmt. [Je kleiner CTOL desto enauer; muss hier so klein sein, weil Mathcad intern mit Meter rechnet und die Abweichunen sich in mm- bzw im mm^2-bereich (bei der Berechnun der Geraden) beween]
HTL Saalfelden Fehlerrechnun in der Optik Seite 5 von 6 Vorabe neiun, Gxx Byy = Die Steiun der Geraden soll den Wert - haben. x y := minfehl( xx, yy) Erebnisse der Abweichunen: x = 3.29 mm y = 3.24 mm Das Erebnis deutet auf einen sytematischen Messfehler hin, da bei symmetrischen Bi-Linsen (wie hier verwendet) die Hauptebenen ebenfalls symmetrisch lieen (und d.h., x = y)!! Um zu überprüfen, ob die von MATHCAD ermittelten Werte physikalisch sinnvoll sind, erfolt eine raphische Darstellun der korriierten Messwerte und der Reressionseraden im Verleich zur anfans bestimmten Brennweite: G n := n x X n := G n B n := b n y Y n := B n f auß := achsenabschn( X, Y) neiun ( X, Y) = 0.99999997295 Ist schon besser! Die blaue Linie sollte parallel zur Grünen sein. 9 8 Y 7 ( X neiun( X, Y) + achsenabschn( X, Y) ) X+ mittelwert() f 6 5 4 4 5 6 7 8 9 0 X
HTL Saalfelden Fehlerrechnun in der Optik Seite 6 von 6 Damit lautet das Erebnis für die (Gauß'sche) Brennweite: f auß = 74 mm f oben f unten f auß + max( F) := Bestimmun des Fehlerbereiches f auß max( F) Innerhalb des Bereiches: f oben f unten = 76 72 mm Mit dem systematischen Messfehler in : x = 3.3 mm Mit dem systematischen Messfehler in b: y = 3.2 mm Anmerkunen:In diesem Fall hat sich der systematische Messfehler nur erinfüi auf das Erebnis (Brennweite) ausewirkt. Die Ursache dürfte ein Messfehler in der Ortsbestimmun der Linse sein (weil: (x + y) ist unefähr leich 0). > Bei Messfehlern in G (bzw. B) ist x>>y (bzw. umekehrt). > Und bei einer dicken Bi-Linse mit beträchtlichem Hauptebenenabstand ilt: x ist unefähr leich y. > Die Lae der Hauptebenen wird in der Praxis mit "Methode nach BESSEL" bestimmt.