Datenstrukturen 1. Sommersemester Basierend auf Folien von Prof. Georg Schnitger, Prof. Ulrich Meyer, Dr. Iganz Rutter 1 / 73

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1 Datenstrukturen 1 Sommersemester Basierend auf Folien von Prof. Georg Schnitger, Prof. Ulrich Meyer, Dr. Iganz Rutter 1 / 73

2 Datenstrukturen 1 Sommersemester 2017 Herzlich willkommen! 1 Basierend auf Folien von Prof. Georg Schnitger, Prof. Ulrich Meyer, Dr. Iganz Rutter 1 / 73

3 Wer ist wer? Wir: Martin Hoefer (Vorlesungen) R 115 RMS 11 15, mhoefer@cs.uni-frankfurt.de Einführung 2 / 73

4 Wer ist wer? Wir: Martin Hoefer (Vorlesungen) R 115 RMS 11 15, mhoefer@cs.uni-frankfurt.de Niklas Hahn (Übungskoordination) R106 RMS 11 15, ds17-support@cs.uni-frankfurt.de Einführung 2 / 73

5 Wer ist wer? Wir: Martin Hoefer (Vorlesungen) R 115 RMS 11 15, mhoefer@cs.uni-frankfurt.de Niklas Hahn (Übungskoordination) R106 RMS 11 15, ds17-support@cs.uni-frankfurt.de Pirmin Braun, Ngoc Minh Do, Stefan Franke, Sebastian Kriege, Helen Naumann, Martin Parnet, Conrad Schecker, Tim Schön, Joshua Sole (Tutoren) Einführung 2 / 73

6 Wer ist wer? Wir: Martin Hoefer (Vorlesungen) R 115 RMS 11 15, mhoefer@cs.uni-frankfurt.de Niklas Hahn (Übungskoordination) R106 RMS 11 15, ds17-support@cs.uni-frankfurt.de Pirmin Braun, Ngoc Minh Do, Stefan Franke, Sebastian Kriege, Helen Naumann, Martin Parnet, Conrad Schecker, Tim Schön, Joshua Sole (Tutoren) Wer sind Sie? Einführung 2 / 73

7 Worum geht s? Einführung 3 / 73

8 Abstrakte Datentypen und Datenstrukturen Ein abstrakten Datentyp ist eine Sammlung von Operationen (auf einer Menge von Objekten). Implementiere den abstrakten Datentyp durch eine Datenstruktur. Einführung Inhaltsangabe 4 / 73

9 Abstrakte Datentypen und Datenstrukturen Ein abstrakten Datentyp ist eine Sammlung von Operationen (auf einer Menge von Objekten). Implementiere den abstrakten Datentyp durch eine Datenstruktur. Ein Beispiel für häufig auftretende Operationen: das Einfügen und Entfernen von Schlüsseln nach ihrem Alter. Wenn der jüngste Schlüssel zu entfernen ist: Wähle die Datenstruktur Einführung Inhaltsangabe 4 / 73

10 Abstrakte Datentypen und Datenstrukturen Ein abstrakten Datentyp ist eine Sammlung von Operationen (auf einer Menge von Objekten). Implementiere den abstrakten Datentyp durch eine Datenstruktur. Ein Beispiel für häufig auftretende Operationen: das Einfügen und Entfernen von Schlüsseln nach ihrem Alter. Wenn der jüngste Schlüssel zu entfernen ist: Wähle die Datenstruktur Keller (engl. Stack ). Einführung Inhaltsangabe 4 / 73

11 Abstrakte Datentypen und Datenstrukturen Ein abstrakten Datentyp ist eine Sammlung von Operationen (auf einer Menge von Objekten). Implementiere den abstrakten Datentyp durch eine Datenstruktur. Ein Beispiel für häufig auftretende Operationen: das Einfügen und Entfernen von Schlüsseln nach ihrem Alter. Wenn der jüngste Schlüssel zu entfernen ist: Wähle die Datenstruktur Keller (engl. Stack ). Wenn der älteste Schlüssel zu entfernen ist: Wähle die Datenstruktur Einführung Inhaltsangabe 4 / 73

12 Abstrakte Datentypen und Datenstrukturen Ein abstrakten Datentyp ist eine Sammlung von Operationen (auf einer Menge von Objekten). Implementiere den abstrakten Datentyp durch eine Datenstruktur. Ein Beispiel für häufig auftretende Operationen: das Einfügen und Entfernen von Schlüsseln nach ihrem Alter. Wenn der jüngste Schlüssel zu entfernen ist: Wähle die Datenstruktur Keller (engl. Stack ). Wenn der älteste Schlüssel zu entfernen ist: Wähle die Datenstruktur Schlange (engl. Queue ). Einführung Inhaltsangabe 4 / 73

13 Abstrakte Datentypen und Datenstrukturen Ein abstrakten Datentyp ist eine Sammlung von Operationen (auf einer Menge von Objekten). Implementiere den abstrakten Datentyp durch eine Datenstruktur. Ein Beispiel für häufig auftretende Operationen: das Einfügen und Entfernen von Schlüsseln nach ihrem Alter. Wenn der jüngste Schlüssel zu entfernen ist: Wähle die Datenstruktur Keller (engl. Stack ). Wenn der älteste Schlüssel zu entfernen ist: Wähle die Datenstruktur Schlange (engl. Queue ). Wenn Schlüssel Prioritäten besitzen und der Schlüssel mit höchster Priorität zu entfernen ist: Wähle die Datenstruktur Einführung Inhaltsangabe 4 / 73

14 Abstrakte Datentypen und Datenstrukturen Ein abstrakten Datentyp ist eine Sammlung von Operationen (auf einer Menge von Objekten). Implementiere den abstrakten Datentyp durch eine Datenstruktur. Ein Beispiel für häufig auftretende Operationen: das Einfügen und Entfernen von Schlüsseln nach ihrem Alter. Wenn der jüngste Schlüssel zu entfernen ist: Wähle die Datenstruktur Keller (engl. Stack ). Wenn der älteste Schlüssel zu entfernen ist: Wähle die Datenstruktur Schlange (engl. Queue ). Wenn Schlüssel Prioritäten besitzen und der Schlüssel mit höchster Priorität zu entfernen ist: Wähle die Datenstruktur Heap. Einführung Inhaltsangabe 4 / 73

15 Worum geht s? - Gegeben ist ein abstrakter Datentyp. - Entwerfe eine möglichst effiziente Datenstruktur. Welche abstrakten Datentypen? Einführung Inhaltsangabe 5 / 73

16 Worum geht s? - Gegeben ist ein abstrakter Datentyp. - Entwerfe eine möglichst effiziente Datenstruktur. Welche abstrakten Datentypen? Keller: Einfügen und Entfernen des jüngsten Schlüssels. Warteschlangen: Einfügen und Entfernen des ältesten Schlüssels. Prioritätswarteschlangen: Einfügen und Entfernen des wichtigsten Schlüssels. Wörterbücher: Einfügen, Entfernen (eines beliebigen Schlüssels) und Suche. Einführung Inhaltsangabe 5 / 73

17 Worum geht s? - Gegeben ist ein abstrakter Datentyp. - Entwerfe eine möglichst effiziente Datenstruktur. Welche abstrakten Datentypen? Keller: Einfügen und Entfernen des jüngsten Schlüssels. Warteschlangen: Einfügen und Entfernen des ältesten Schlüssels. Prioritätswarteschlangen: Einfügen und Entfernen des wichtigsten Schlüssels. Wörterbücher: Einfügen, Entfernen (eines beliebigen Schlüssels) und Suche. Was heißt Effizienz? Einführung Inhaltsangabe 5 / 73

18 Worum geht s? - Gegeben ist ein abstrakter Datentyp. - Entwerfe eine möglichst effiziente Datenstruktur. Welche abstrakten Datentypen? Keller: Einfügen und Entfernen des jüngsten Schlüssels. Warteschlangen: Einfügen und Entfernen des ältesten Schlüssels. Prioritätswarteschlangen: Einfügen und Entfernen des wichtigsten Schlüssels. Wörterbücher: Einfügen, Entfernen (eines beliebigen Schlüssels) und Suche. Was heißt Effizienz? Minimiere Laufzeit und Speicherplatzverbrauch der einzelnen Operationen. Einführung Inhaltsangabe 5 / 73

19 Worum geht s? - Gegeben ist ein abstrakter Datentyp. - Entwerfe eine möglichst effiziente Datenstruktur. Welche abstrakten Datentypen? Keller: Einfügen und Entfernen des jüngsten Schlüssels. Warteschlangen: Einfügen und Entfernen des ältesten Schlüssels. Prioritätswarteschlangen: Einfügen und Entfernen des wichtigsten Schlüssels. Wörterbücher: Einfügen, Entfernen (eines beliebigen Schlüssels) und Suche. Was heißt Effizienz? Minimiere Laufzeit und Speicherplatzverbrauch der einzelnen Operationen. Wie skalieren die Ressourcen mit wachsender Eingabelänge? Asymptotische Analyse von Laufzeit und Speicherplatzverbrauch Einführung Inhaltsangabe 5 / 73

20 Worauf wird aufgebaut? (1) Diskrete Modellierung (bzw. Vorkurs): Mengen, Relationen, Worte und Tupel Vollständige Induktion und allgemeine Beweismethoden. Siehe hierzu auch die Seite des Vorkurs Informatik mit Folien zu Beweistechniken, Induktion und Rekursion und Asymptotik und Laufzeitanalyse. (2) Grundlagen der Programmierung 1: Kenntnis der elementaren Datenstrukturen ist hilfreich, aber nicht notwendig. (3) Mathematik 1 (bzw. Vorkurs): - Logarithmen, - Grenzwerte und - asymptotische Notation. Einführung Vorwissen 6 / 73

21 Webseite der Veranstaltung Konsultieren Sie regelmäßig die Webseite Organisatorische Details zum Übungsbetrieb und zur Notengebung werden beschrieben. Unter Aktuelles finden Sie zum Beispiel: Anmerkungen zum Übungsbetrieb (wie melde ich mich an?) Gegebenenfalls Anmerkungen zu aktuellen Übungsaufgaben. Einführung Webseite 7 / 73

22 Webseite der Veranstaltung Konsultieren Sie regelmäßig die Webseite Organisatorische Details zum Übungsbetrieb und zur Notengebung werden beschrieben. Unter Aktuelles finden Sie zum Beispiel: Anmerkungen zum Übungsbetrieb (wie melde ich mich an?) Gegebenenfalls Anmerkungen zu aktuellen Übungsaufgaben. Nicht angemeldet? Sonstige organisatorische Fragen/Probleme? Mail an oder Im Logbuch finden Sie Informationen, Beamer-Folien, Videos, weitere Referenzen zu den einzelnen Vorlesungsstunden. Einführung Webseite 7 / 73

23 Literatur (1/2) - Skript und Folien zur Vorlesung finden Sie auf der Webseite der Veranstaltung. - Kapitel 3-5, und 18 in T.H. Cormen, C.E. Leiserson, R.L. Rivest, C. Stein, Introduction to Algorithms, second edition, M. T. Goodrich, R. Tamassia, D. M. Mount, Data Structures and Algorithms in C++, M. Dietzfelbinger, K. Mehlhorn, P. Sanders, Algorithmen und Datenstrukturen, die Grundwerkzeuge, Springer Vieweg, R. Sedgewick, Algorithmen in C++, Kapitel 1-7 im Grundlagenteil. - Kapitel 1-3 in J. Kleinberg, E. Tardos, Algorithm Design (GL-1 Textbuch), Pearson New International Edition, Für mathematische Grundlagen: N. Schweikardt, Diskrete Modellierung, eine Einführung in grundlegende Begriffe und Methoden der Theoretischen Informatik, (Kapitel 2,5) D. Grieser, Mathematisches Problemlösen und Beweisen, eine Entdeckungsreise in die Mathematik, Springer Vieweg Einführung Literatur 8 / 73

24 Literatur (2/2) Sämtliche Textbücher befinden sich auch in der Bibliothek im Semesterapparat der Veranstaltung Datenstrukturen. Die Bibliothek befindet sich im 1. Stock in der Robert-Mayer Strasse Einführung Literatur 9 / 73

25 Organisatorisches Einführung Organisatorisches 10 / 73

26 Klausur Hauptklausur: Donnerstag, 03. August 2017, ab 9:00 Uhr im H VI. Zweitklausur: Montag, 09. Oktober 2017, ab 9:00 Uhr im H VI. Die in den Übungen erreichten Punkte werden mit einem Maximalgewicht von 10% zu den Klausurpunkten hinzugezählt: Werden in der Klausur x% und in den Übungen y% erzielt, dann ist z = x + (y/10) die Gesamtpunktzahl. Die Note hängt nur von der Gesamtpunktzahl z ab. Die Veranstaltung ist bestanden, wenn z 50. Einführung Organisatorisches 11 / 73

27 Übungsbetrieb Übungsblätter werden im 2-Wochen Rhythmus auf die Webseite gestellt: Übungskalender auf der Webseite! Lösungen (zusammengetackert, mit vollem Namen, Matrikelnummer, und Nummer der Übungsgruppe versehen) sind nach 2-wöchiger Bearbeitungszeit abzugeben: Entweder im H VI vor Beginn der Vorlesung oder in den Briefkasten einwerfen zwischen Büros 114 und 115, Robert-Mayer-Str Einführung Organisatorisches 12 / 73

28 Übungsbetrieb Übungsblätter werden im 2-Wochen Rhythmus auf die Webseite gestellt: Übungskalender auf der Webseite! Lösungen (zusammengetackert, mit vollem Namen, Matrikelnummer, und Nummer der Übungsgruppe versehen) sind nach 2-wöchiger Bearbeitungszeit abzugeben: Entweder im H VI vor Beginn der Vorlesung oder in den Briefkasten einwerfen zwischen Büros 114 und 115, Robert-Mayer-Str Übungsgruppen treffen sich ab nächste Woche Dienstag, 25.4., um das umfangreiche Präsenzblatt zu besprechen. Erstes Übungsblatt erscheint heute, Abgabe am Einführung Organisatorisches 12 / 73

29 Übungsbetrieb Übungsblätter werden im 2-Wochen Rhythmus auf die Webseite gestellt: Übungskalender auf der Webseite! Lösungen (zusammengetackert, mit vollem Namen, Matrikelnummer, und Nummer der Übungsgruppe versehen) sind nach 2-wöchiger Bearbeitungszeit abzugeben: Entweder im H VI vor Beginn der Vorlesung oder in den Briefkasten einwerfen zwischen Büros 114 und 115, Robert-Mayer-Str Übungsgruppen treffen sich ab nächste Woche Dienstag, 25.4., um das umfangreiche Präsenzblatt zu besprechen. Erstes Übungsblatt erscheint heute, Abgabe am Übungsaufgaben sollten mit Anderen besprochen werden, aber Lösungen müssen eigenständig aufgeschrieben werden! 1. Verstoß: Nicht-Anrechnung aller Punkte des Blatts für ALLE Beteiligten. 2. Verstoß: ALLE Übungspunkte gestrichen. Einführung Organisatorisches 12 / 73

30 Bevor es losgeht... Vor- und Nachbereitung der Vorlesungen Unbedingt am Übungsbetrieb teilnehmen und Aufgaben bearbeiten! Von den Teilnehmern, die 50% der Übungspunkte erreichen, bestehen nahezu 100% auch die Klausur! Teamarbeit vs. Einzelkämpfer Studieren lernen der richtige Umgang mit den Freiheiten Einführung Organisatorisches 13 / 73

31 Bevor es losgeht... Vor- und Nachbereitung der Vorlesungen Unbedingt am Übungsbetrieb teilnehmen und Aufgaben bearbeiten! Von den Teilnehmern, die 50% der Übungspunkte erreichen, bestehen nahezu 100% auch die Klausur! Teamarbeit vs. Einzelkämpfer Studieren lernen der richtige Umgang mit den Freiheiten Meine Sprechstunde: Montags 14:00 16:00 Uhr. Oder versuchen Sie es auf gut Glück (Raum 115). Einführung Organisatorisches 13 / 73

32 Bevor es losgeht... Vor- und Nachbereitung der Vorlesungen Unbedingt am Übungsbetrieb teilnehmen und Aufgaben bearbeiten! Von den Teilnehmern, die 50% der Übungspunkte erreichen, bestehen nahezu 100% auch die Klausur! Teamarbeit vs. Einzelkämpfer Studieren lernen der richtige Umgang mit den Freiheiten Meine Sprechstunde: Montags 14:00 16:00 Uhr. Oder versuchen Sie es auf gut Glück (Raum 115). Helfen Sie uns durch ihre Fragen, Kommentare und Antworten! Die Veranstaltung kann nur durch Interaktion interessant werden. Einführung Organisatorisches 13 / 73

33 Weitere Links und nützliche Informationen Im treffen Sie ihre KommilitonInnen. Ingo-Wegener Lernzentrum Frau Düffel hilft mit Rat in allen Lebenslagen, nicht nur bei Fragen zu Datenstrukturen. Informationen nur für Erstsemester: Einführung Organisatorisches 14 / 73

34 Mathematische Grundlagen Mathematische Grundlagen 15 / 73

35 Vollständige Induktion Ziel: Zeige die Aussage A(n) für alle natürlichen Zahlen n n 0. Mathematische Grundlagen Vollständige Induktion 16 / 73

36 Vollständige Induktion Ziel: Zeige die Aussage A(n) für alle natürlichen Zahlen n n 0. Die Methode der vollständigen Induktion 1. Zeige im INDUKTIONSANFANG die Aussage A(n 0 ) und Mathematische Grundlagen Vollständige Induktion 16 / 73

37 Vollständige Induktion Ziel: Zeige die Aussage A(n) für alle natürlichen Zahlen n n 0. Die Methode der vollständigen Induktion 1. Zeige im INDUKTIONSANFANG die Aussage A(n 0 ) und 2. im INDUKTIONSSCHRITT die Implikation (A(n 0 ) A(n 0 + 1) A(n)) A(n + 1) für jede Zahl n mit n n 0. A(n 0 ) A(n 0 + 1) A(n) heißt Induktionsannahme. Mathematische Grundlagen Vollständige Induktion 16 / 73

38 Vollständige Induktion Ziel: Zeige die Aussage A(n) für alle natürlichen Zahlen n n 0. Die Methode der vollständigen Induktion 1. Zeige im INDUKTIONSANFANG die Aussage A(n 0 ) und 2. im INDUKTIONSSCHRITT die Implikation (A(n 0 ) A(n 0 + 1) A(n)) A(n + 1) für jede Zahl n mit n n 0. A(n 0 ) A(n 0 + 1) A(n) heißt Induktionsannahme. Häufig nimmt man nur die Aussage A(n) in der Induktionsannahme an. Beachte aber das folgende Beispiel der Fibonacci-Zahlen. Mathematische Grundlagen Vollständige Induktion 16 / 73

39 Die Summe der ersten n Zahlen n i = n = i=1 Mathematische Grundlagen Vollständige Induktion 17 / 73

40 Die Summe der ersten n Zahlen n i = n = i=1 n (n + 1) 2. Mathematische Grundlagen Vollständige Induktion 17 / 73

41 Die Summe der ersten n Zahlen n i = n = i=1 n (n + 1) 2 Vollständige Induktion nach n:. Mathematische Grundlagen Vollständige Induktion 17 / 73

42 Die Summe der ersten n Zahlen n i = n = i=1 n (n + 1) 2. Vollständige Induktion nach n: Induktionsanfang für n = 1: Mathematische Grundlagen Vollständige Induktion 17 / 73

43 Die Summe der ersten n Zahlen n i = n = i=1 n (n + 1) 2. Vollständige Induktion nach n: Induktionsanfang für n = 1: 1 i=1 i = 1 Mathematische Grundlagen Vollständige Induktion 17 / 73

44 Die Summe der ersten n Zahlen n i = n = i=1 n (n + 1) 2. Vollständige Induktion nach n: Induktionsanfang für n = 1: 1 1 (1+1) i=1 i = 1 und = 1. 2 Mathematische Grundlagen Vollständige Induktion 17 / 73

45 Die Summe der ersten n Zahlen n i = n = i=1 n (n + 1) 2. Vollständige Induktion nach n: Induktionsanfang für n = 1: 1 1 (1+1) i=1 i = 1 und = 1. 2 Mathematische Grundlagen Vollständige Induktion 17 / 73

46 Die Summe der ersten n Zahlen n i = n = i=1 n (n + 1) 2 Vollständige Induktion nach n: Induktionsanfang für n = 1: 1 i=1 Induktionsschritt von n auf n + 1:. i = 1 und 1 (1+1) 2 = 1. Mathematische Grundlagen Vollständige Induktion 17 / 73

47 Die Summe der ersten n Zahlen n i = n = i=1 n (n + 1) 2 Vollständige Induktion nach n: Induktionsanfang für n = 1: 1 1 (1+1) i=1 i = 1 und = 1. 2 Induktionsschritt von n auf n + 1: Wir nehmen an, dass n i=1 i = n (n+1) gilt. 2. Mathematische Grundlagen Vollständige Induktion 17 / 73

48 Die Summe der ersten n Zahlen n i = n = i=1 n (n + 1) 2 Vollständige Induktion nach n: Induktionsanfang für n = 1: 1 i=1 Induktionsschritt von n auf n + 1: Wir nehmen an, dass n i=1 i = n (n+1) gilt. 2 n+1 i=1 i =. i = 1 und 1 (1+1) 2 = 1. Mathematische Grundlagen Vollständige Induktion 17 / 73

49 Die Summe der ersten n Zahlen n i = n = i=1 n (n + 1) 2 Vollständige Induktion nach n: Induktionsanfang für n = 1: 1 1 (1+1) i=1 i = 1 und = 1. 2 Induktionsschritt von n auf n + 1: Wir nehmen an, dass n i=1 i = n (n+1) gilt. 2 n+1 i=1 i = n i=1 i + (n + 1) =. Mathematische Grundlagen Vollständige Induktion 17 / 73

50 Die Summe der ersten n Zahlen n i = n = i=1 n (n + 1) 2 Vollständige Induktion nach n: Induktionsanfang für n = 1: 1 1 (1+1) i=1 i = 1 und = 1. 2 Induktionsschritt von n auf n + 1: Wir nehmen an, dass n i=1 i = n (n+1) gilt. 2 n+1 i=1 i = n n (n+1) i=1 i + (n + 1) = + (n + 1) = 2. Mathematische Grundlagen Vollständige Induktion 17 / 73

51 Die Summe der ersten n Zahlen n i = n = i=1 n (n + 1) 2 Vollständige Induktion nach n:. Induktionsanfang für n = 1: 1 1 (1+1) i=1 i = 1 und = 1. 2 Induktionsschritt von n auf n + 1: Wir nehmen an, dass n i=1 i = n (n+1) gilt. 2 n+1 i=1 i = n n (n+1) i=1 i + (n + 1) = + (n + 1) = n (n+1)+2 (n+1) = 2 2 Mathematische Grundlagen Vollständige Induktion 17 / 73

52 Die Summe der ersten n Zahlen n i = n = i=1 n (n + 1) 2 Vollständige Induktion nach n:. Induktionsanfang für n = 1: 1 1 (1+1) i=1 i = 1 und = 1. 2 Induktionsschritt von n auf n + 1: Wir nehmen an, dass n i=1 i = n (n+1) gilt. 2 n+1 i=1 i = n n (n+1) i=1 i + (n + 1) = + (n + 1) = n (n+1)+2 (n+1) = 2 2 (n+2) (n+1) = 2 Mathematische Grundlagen Vollständige Induktion 17 / 73

53 Die Summe der ersten n Zahlen n i = n = i=1 n (n + 1) 2 Vollständige Induktion nach n:. Induktionsanfang für n = 1: 1 1 (1+1) i=1 i = 1 und = 1. 2 Induktionsschritt von n auf n + 1: Wir nehmen an, dass n i=1 i = n (n+1) gilt. 2 n+1 i=1 i = n n (n+1) i=1 i + (n + 1) = + (n + 1) = n (n+1)+2 (n+1) = 2 2 (n+2) (n+1) = (n+1) (n+2) 2 2 Mathematische Grundlagen Vollständige Induktion 17 / 73

54 Die Summe der ersten n Zahlen n i = n = i=1 n (n + 1) 2 Vollständige Induktion nach n:. Induktionsanfang für n = 1: 1 1 (1+1) i=1 i = 1 und = 1. 2 Induktionsschritt von n auf n + 1: Wir nehmen an, dass n i=1 i = n (n+1) gilt. 2 n+1 i=1 i = n n (n+1) i=1 i + (n + 1) = + (n + 1) = n (n+1)+2 (n+1) = 2 2 (n+2) (n+1) = (n+1) (n+2) und das war zu zeigen. 2 2 Mathematische Grundlagen Vollständige Induktion 17 / 73

55 Die Summe der ersten n Zahlen n i = n = i=1 n (n + 1) 2 Vollständige Induktion nach n: Induktionsanfang für n = 1: 1 1 (1+1) i=1 i = 1 und = 1. 2 Induktionsschritt von n auf n + 1: Wir nehmen an, dass n i=1 i = n (n+1) gilt. 2 n+1 i=1 i = n n (n+1) i=1 i + (n + 1) = + (n + 1) = n (n+1)+2 (n+1) = 2 2 (n+2) (n+1) = (n+1) (n+2) und das war zu zeigen. 2 2 Ein direkter Beweis:. Mathematische Grundlagen Vollständige Induktion 17 / 73

56 Die Summe der ersten n Zahlen n i = n = i=1 n (n + 1) 2 Vollständige Induktion nach n: Induktionsanfang für n = 1: 1 1 (1+1) i=1 i = 1 und = 1. 2 Induktionsschritt von n auf n + 1: Wir nehmen an, dass n i=1 i = n (n+1) gilt. 2 n+1 i=1 i = n n (n+1) i=1 i + (n + 1) = + (n + 1) = n (n+1)+2 (n+1) = 2 2 (n+2) (n+1) = (n+1) (n+2) und das war zu zeigen. 2 2 Ein direkter Beweis: Betrachte ein Gitter mit n Zeilen und n Spalten:. Mathematische Grundlagen Vollständige Induktion 17 / 73

57 Die Summe der ersten n Zahlen n i = n = i=1 n (n + 1) 2 Vollständige Induktion nach n: Induktionsanfang für n = 1: 1 1 (1+1) i=1 i = 1 und = 1. 2 Induktionsschritt von n auf n + 1: Wir nehmen an, dass n i=1 i = n (n+1) gilt. 2 n+1 i=1 i = n n (n+1) i=1 i + (n + 1) = + (n + 1) = n (n+1)+2 (n+1) = 2 2 (n+2) (n+1) = (n+1) (n+2) und das war zu zeigen. 2 2 Ein direkter Beweis: Betrachte ein Gitter mit n Zeilen und n Spalten: n 2 Gitterpunkte.. Mathematische Grundlagen Vollständige Induktion 17 / 73

58 Die Summe der ersten n Zahlen n i = n = i=1 n (n + 1) 2 Vollständige Induktion nach n:. Induktionsanfang für n = 1: 1 1 (1+1) i=1 i = 1 und = 1. 2 Induktionsschritt von n auf n + 1: Wir nehmen an, dass n i=1 i = n (n+1) gilt. 2 n+1 i=1 i = n n (n+1) i=1 i + (n + 1) = + (n + 1) = n (n+1)+2 (n+1) = 2 2 (n+2) (n+1) = (n+1) (n+2) und das war zu zeigen. 2 2 Ein direkter Beweis: Betrachte ein Gitter mit n Zeilen und n Spalten: n 2 Gitterpunkte. Wir müssen die Gitterpunkte unterhalb der Hauptdiagonale und auf der Hauptdiagonale zählen. Mathematische Grundlagen Vollständige Induktion 17 / 73

59 Die Summe der ersten n Zahlen n i = n = i=1 n (n + 1) 2 Vollständige Induktion nach n:. Induktionsanfang für n = 1: 1 1 (1+1) i=1 i = 1 und = 1. 2 Induktionsschritt von n auf n + 1: Wir nehmen an, dass n i=1 i = n (n+1) gilt. 2 n+1 i=1 i = n n (n+1) i=1 i + (n + 1) = + (n + 1) = n (n+1)+2 (n+1) = 2 2 (n+2) (n+1) = (n+1) (n+2) und das war zu zeigen. 2 2 Ein direkter Beweis: Betrachte ein Gitter mit n Zeilen und n Spalten: n 2 Gitterpunkte. Wir müssen die Gitterpunkte unterhalb der Hauptdiagonale und auf der Hauptdiagonale zählen. Die Hauptdiagonale besitzt n Gitterpunkte Mathematische Grundlagen Vollständige Induktion 17 / 73

60 Die Summe der ersten n Zahlen n i = n = i=1 n (n + 1) 2 Vollständige Induktion nach n:. Induktionsanfang für n = 1: 1 1 (1+1) i=1 i = 1 und = 1. 2 Induktionsschritt von n auf n + 1: Wir nehmen an, dass n i=1 i = n (n+1) gilt. 2 n+1 i=1 i = n n (n+1) i=1 i + (n + 1) = + (n + 1) = n (n+1)+2 (n+1) = 2 2 (n+2) (n+1) = (n+1) (n+2) und das war zu zeigen. 2 2 Ein direkter Beweis: Betrachte ein Gitter mit n Zeilen und n Spalten: n 2 Gitterpunkte. Wir müssen die Gitterpunkte unterhalb der Hauptdiagonale und auf der Hauptdiagonale zählen. Die Hauptdiagonale besitzt n Gitterpunkte und unterhalb der Hauptdiagonale befindet sich die Hälfte der verbleibenden n 2 n Gitterpunkte. Mathematische Grundlagen Vollständige Induktion 17 / 73

61 Die Summe der ersten n Zahlen n i = n = i=1 n (n + 1) 2 Vollständige Induktion nach n:. Induktionsanfang für n = 1: 1 1 (1+1) i=1 i = 1 und = 1. 2 Induktionsschritt von n auf n + 1: Wir nehmen an, dass n i=1 i = n (n+1) gilt. 2 n+1 i=1 i = n n (n+1) i=1 i + (n + 1) = + (n + 1) = n (n+1)+2 (n+1) = 2 2 (n+2) (n+1) = (n+1) (n+2) und das war zu zeigen. 2 2 Ein direkter Beweis: Betrachte ein Gitter mit n Zeilen und n Spalten: n 2 Gitterpunkte. Wir müssen die Gitterpunkte unterhalb der Hauptdiagonale und auf der Hauptdiagonale zählen. Die Hauptdiagonale besitzt n Gitterpunkte und unterhalb der Hauptdiagonale befindet sich die Hälfte der verbleibenden n 2 n Gitterpunkte. Also folgt n i=1 i = Mathematische Grundlagen Vollständige Induktion 17 / 73

62 Die Summe der ersten n Zahlen n i = n = i=1 n (n + 1) 2 Vollständige Induktion nach n:. Induktionsanfang für n = 1: 1 1 (1+1) i=1 i = 1 und = 1. 2 Induktionsschritt von n auf n + 1: Wir nehmen an, dass n i=1 i = n (n+1) gilt. 2 n+1 i=1 i = n n (n+1) i=1 i + (n + 1) = + (n + 1) = n (n+1)+2 (n+1) = 2 2 (n+2) (n+1) = (n+1) (n+2) und das war zu zeigen. 2 2 Ein direkter Beweis: Betrachte ein Gitter mit n Zeilen und n Spalten: n 2 Gitterpunkte. Wir müssen die Gitterpunkte unterhalb der Hauptdiagonale und auf der Hauptdiagonale zählen. Die Hauptdiagonale besitzt n Gitterpunkte und unterhalb der Hauptdiagonale befindet sich die Hälfte der verbleibenden n 2 n Gitterpunkte. Also folgt n i=1 i = n + Mathematische Grundlagen Vollständige Induktion 17 / 73

63 Die Summe der ersten n Zahlen n i = n = i=1 n (n + 1) 2 Vollständige Induktion nach n:. Induktionsanfang für n = 1: 1 1 (1+1) i=1 i = 1 und = 1. 2 Induktionsschritt von n auf n + 1: Wir nehmen an, dass n i=1 i = n (n+1) gilt. 2 n+1 i=1 i = n n (n+1) i=1 i + (n + 1) = + (n + 1) = n (n+1)+2 (n+1) = 2 2 (n+2) (n+1) = (n+1) (n+2) und das war zu zeigen. 2 2 Ein direkter Beweis: Betrachte ein Gitter mit n Zeilen und n Spalten: n 2 Gitterpunkte. Wir müssen die Gitterpunkte unterhalb der Hauptdiagonale und auf der Hauptdiagonale zählen. Die Hauptdiagonale besitzt n Gitterpunkte und unterhalb der Hauptdiagonale befindet sich die Hälfte der verbleibenden n 2 n Gitterpunkte. Also folgt n i=1 i = n + n2 n 2 Mathematische Grundlagen Vollständige Induktion 17 / 73

64 Die Summe der ersten n Zahlen n i = n = i=1 n (n + 1) 2 Vollständige Induktion nach n:. Induktionsanfang für n = 1: 1 1 (1+1) i=1 i = 1 und = 1. 2 Induktionsschritt von n auf n + 1: Wir nehmen an, dass n i=1 i = n (n+1) gilt. 2 n+1 i=1 i = n n (n+1) i=1 i + (n + 1) = + (n + 1) = n (n+1)+2 (n+1) = 2 2 (n+2) (n+1) = (n+1) (n+2) und das war zu zeigen. 2 2 Ein direkter Beweis: Betrachte ein Gitter mit n Zeilen und n Spalten: n 2 Gitterpunkte. Wir müssen die Gitterpunkte unterhalb der Hauptdiagonale und auf der Hauptdiagonale zählen. Die Hauptdiagonale besitzt n Gitterpunkte und unterhalb der Hauptdiagonale befindet sich die Hälfte der verbleibenden n 2 n Gitterpunkte. Also folgt n i=1 i = n + n2 n = n (n+1). 2 2 Mathematische Grundlagen Vollständige Induktion 17 / 73

65 Karnickel (1/3) Ein Bauer züchtet Kaninchen. Jedes weibliche Kaninchen bringt im Alter von zwei Monaten ein weibliches Kaninchen zur Welt und danach jeden Monat ein weiteres. Wie groß ist die Anzahl fib(n) der weiblichen Kaninchen am Ende des n-ten Monats, wenn der Bauer mit einem neu geborenen weiblichen Kaninchen im ersten Monat startet? Mathematische Grundlagen Vollständige Induktion 18 / 73

66 Karnickel (1/3) Ein Bauer züchtet Kaninchen. Jedes weibliche Kaninchen bringt im Alter von zwei Monaten ein weibliches Kaninchen zur Welt und danach jeden Monat ein weiteres. Wie groß ist die Anzahl fib(n) der weiblichen Kaninchen am Ende des n-ten Monats, wenn der Bauer mit einem neu geborenen weiblichen Kaninchen im ersten Monat startet? Antwort: fib(n) ist rekursiv wie folgt definiert: Rekursionsanfang: fib(1) := Mathematische Grundlagen Vollständige Induktion 18 / 73

67 Karnickel (1/3) Ein Bauer züchtet Kaninchen. Jedes weibliche Kaninchen bringt im Alter von zwei Monaten ein weibliches Kaninchen zur Welt und danach jeden Monat ein weiteres. Wie groß ist die Anzahl fib(n) der weiblichen Kaninchen am Ende des n-ten Monats, wenn der Bauer mit einem neu geborenen weiblichen Kaninchen im ersten Monat startet? Antwort: fib(n) ist rekursiv wie folgt definiert: Rekursionsanfang: fib(1) := 1 und fib(2) := Mathematische Grundlagen Vollständige Induktion 18 / 73

68 Karnickel (1/3) Ein Bauer züchtet Kaninchen. Jedes weibliche Kaninchen bringt im Alter von zwei Monaten ein weibliches Kaninchen zur Welt und danach jeden Monat ein weiteres. Wie groß ist die Anzahl fib(n) der weiblichen Kaninchen am Ende des n-ten Monats, wenn der Bauer mit einem neu geborenen weiblichen Kaninchen im ersten Monat startet? Antwort: fib(n) ist rekursiv wie folgt definiert: Rekursionsanfang: fib(1) := 1 und fib(2) := 1, Rekursionsschritt: fib(n + 1) := Mathematische Grundlagen Vollständige Induktion 18 / 73

69 Karnickel (1/3) Ein Bauer züchtet Kaninchen. Jedes weibliche Kaninchen bringt im Alter von zwei Monaten ein weibliches Kaninchen zur Welt und danach jeden Monat ein weiteres. Wie groß ist die Anzahl fib(n) der weiblichen Kaninchen am Ende des n-ten Monats, wenn der Bauer mit einem neu geborenen weiblichen Kaninchen im ersten Monat startet? Antwort: fib(n) ist rekursiv wie folgt definiert: Rekursionsanfang: fib(1) := 1 und fib(2) := 1, Rekursionsschritt: fib(n + 1) := fib(n) + Mathematische Grundlagen Vollständige Induktion 18 / 73

70 Karnickel (1/3) Ein Bauer züchtet Kaninchen. Jedes weibliche Kaninchen bringt im Alter von zwei Monaten ein weibliches Kaninchen zur Welt und danach jeden Monat ein weiteres. Wie groß ist die Anzahl fib(n) der weiblichen Kaninchen am Ende des n-ten Monats, wenn der Bauer mit einem neu geborenen weiblichen Kaninchen im ersten Monat startet? Antwort: fib(n) ist rekursiv wie folgt definiert: Rekursionsanfang: fib(1) := 1 und fib(2) := 1, Rekursionsschritt: fib(n + 1) := fib(n) + fib(n 1) für alle n N mit n 2. Die Funktion fib wird Fibonacci-Folge a genannt, die Zahl fib(n) heißt n-te Fibonacci-Zahl. a Zu Ehren von Leonardo Fibonacci (13. Jh.), einem italienischen Mathematiker Mathematische Grundlagen Vollständige Induktion 18 / 73

71 Karnickel (2/3) Zur Erinnerung: Es ist fib(1) := 1 und fib(2) := 1 und fib(n + 1) := fib(n) + fib(n 1) f.a. n N mit n 2. Somit gilt: n fib(n) Mathematische Grundlagen Vollständige Induktion 19 / 73

72 Karnickel (2/3) Zur Erinnerung: Es ist fib(1) := 1 und fib(2) := 1 und fib(n + 1) := fib(n) + fib(n 1) f.a. n N mit n 2. Somit gilt: n fib(n) Wie stark wächst die Folge fib(n)? Zeige, fib(n) 2 n mit der erweiterten Induktionsannahme und n 0 = 1. Zeige 2 n/2 fib(n) gilt für n 6 mit der erweiterten Induktionsannahme und n 0 = 6. Mathematische Grundlagen Vollständige Induktion 19 / 73

73 Karnickel (3/3) Es gibt auch einen expliziten Ausdruck für die n-te Fibonacci-Zahl. F.a. n N >0 gilt nämlich: (( fib(n) = ) n ( ) n ) 5. 2 Man zeigt die Bemerkung durch vollständige Induktion nach n. Die zentrale Beobachtung: Sowohl wie auch erfüllen die quadratische Gleichung x 2 = x + 1. Mathematische Grundlagen Vollständige Induktion 20 / 73

74 Analyse rekursiver Programme Mathematische Grundlagen Rekursionsbäume 21 / 73

75 Rekursive Programme und ihre Rekursionsbäume Sei x eine Eingabe für ein rekursives Programm R( p) (mit den Parametern p). Wir führen einen Rekursionsbaum nach den folgenden Regeln ein. 1. Beschrifte die Wurzel von B mit den Parametern p des Erstaufrufs. Innerhalb von R( p) keine rekursiven Aufrufe getätigt Wurzel wird zu Blatt. Sonst: Wurzel erhält Kind für jeden rekursiven Aufruf innerhalb von R( p). Kind wird mit Parametern des rekursiven Aufrufs beschriftet. Mathematische Grundlagen Rekursionsbäume 22 / 73

76 Rekursive Programme und ihre Rekursionsbäume Sei x eine Eingabe für ein rekursives Programm R( p) (mit den Parametern p). Wir führen einen Rekursionsbaum nach den folgenden Regeln ein. 1. Beschrifte die Wurzel von B mit den Parametern p des Erstaufrufs. Innerhalb von R( p) keine rekursiven Aufrufe getätigt Wurzel wird zu Blatt. Sonst: Wurzel erhält Kind für jeden rekursiven Aufruf innerhalb von R( p). Kind wird mit Parametern des rekursiven Aufrufs beschriftet. 2. Behandle Knoten v von B, beschriftet mit Parametern q, genau wie Wurzel. Innerhalb von R( q) keine rekursiven Aufrufe getätigt v wird zu Blatt. Sonst: Knoten v erhält Kind für jeden rekursiven Aufruf in R( q). Kind wird mit Parametern des rekursiven Aufrufs beschriftet. Mathematische Grundlagen Rekursionsbäume 22 / 73

77 Rekursive Programme und ihre Rekursionsbäume Sei x eine Eingabe für ein rekursives Programm R( p) (mit den Parametern p). Wir führen einen Rekursionsbaum nach den folgenden Regeln ein. 1. Beschrifte die Wurzel von B mit den Parametern p des Erstaufrufs. Innerhalb von R( p) keine rekursiven Aufrufe getätigt Wurzel wird zu Blatt. Sonst: Wurzel erhält Kind für jeden rekursiven Aufruf innerhalb von R( p). Kind wird mit Parametern des rekursiven Aufrufs beschriftet. 2. Behandle Knoten v von B, beschriftet mit Parametern q, genau wie Wurzel. Innerhalb von R( q) keine rekursiven Aufrufe getätigt v wird zu Blatt. Sonst: Knoten v erhält Kind für jeden rekursiven Aufruf in R( q). Kind wird mit Parametern des rekursiven Aufrufs beschriftet. Was erzählt uns der Rekursionsbaum? Zum Beispiel ist die Anzahl der Knoten von B gleich der Anzahl aller rekursiven Aufrufe für Eingabe x (und Parameter p). Mathematische Grundlagen Rekursionsbäume 22 / 73

78 Eine Berechnung der Fibonacci-Zahlen auf die grausame Art Mathematische Grundlagen Rekursionsbäume 23 / 73

79 Eine rekursive Berechnung der Fibonacci-Zahlen Algo(n): 1. Falls n = 1, dann return Algo(1) := Falls n = 2, dann return Algo(2) := Falls n 3, dann return Algo(n) := Algo(n 1) + Algo(n 2). Mathematische Grundlagen Rekursionsbäume 24 / 73

80 Eine rekursive Berechnung der Fibonacci-Zahlen Algo(n): 1. Falls n = 1, dann return Algo(1) := Falls n = 2, dann return Algo(2) := Falls n 3, dann return Algo(n) := Algo(n 1) + Algo(n 2). Zähle jede Addition, jeden Vergleich, und jede Ergebnis-Rückgabe als einen Schritt. Für die Anzahl g(n) benötigter Schritte gilt: g(1) = Mathematische Grundlagen Rekursionsbäume 24 / 73

81 Eine rekursive Berechnung der Fibonacci-Zahlen Algo(n): 1. Falls n = 1, dann return Algo(1) := Falls n = 2, dann return Algo(2) := Falls n 3, dann return Algo(n) := Algo(n 1) + Algo(n 2). Zähle jede Addition, jeden Vergleich, und jede Ergebnis-Rückgabe als einen Schritt. Für die Anzahl g(n) benötigter Schritte gilt: g(1) = 2, g(2) = Mathematische Grundlagen Rekursionsbäume 24 / 73

82 Eine rekursive Berechnung der Fibonacci-Zahlen Algo(n): 1. Falls n = 1, dann return Algo(1) := Falls n = 2, dann return Algo(2) := Falls n 3, dann return Algo(n) := Algo(n 1) + Algo(n 2). Zähle jede Addition, jeden Vergleich, und jede Ergebnis-Rückgabe als einen Schritt. Für die Anzahl g(n) benötigter Schritte gilt: g(1) = 2, g(2) = 3 und g(n) = Mathematische Grundlagen Rekursionsbäume 24 / 73

83 Eine rekursive Berechnung der Fibonacci-Zahlen Algo(n): 1. Falls n = 1, dann return Algo(1) := Falls n = 2, dann return Algo(2) := Falls n 3, dann return Algo(n) := Algo(n 1) + Algo(n 2). Zähle jede Addition, jeden Vergleich, und jede Ergebnis-Rückgabe als einen Schritt. Für die Anzahl g(n) benötigter Schritte gilt: g(1) = 2, g(2) = 3 und g(n) = 3 + Mathematische Grundlagen Rekursionsbäume 24 / 73

84 Eine rekursive Berechnung der Fibonacci-Zahlen Algo(n): 1. Falls n = 1, dann return Algo(1) := Falls n = 2, dann return Algo(2) := Falls n 3, dann return Algo(n) := Algo(n 1) + Algo(n 2). Zähle jede Addition, jeden Vergleich, und jede Ergebnis-Rückgabe als einen Schritt. Für die Anzahl g(n) benötigter Schritte gilt: g(1) = 2, g(2) = 3 und g(n) = 3 + g(n 1) + Mathematische Grundlagen Rekursionsbäume 24 / 73

85 Eine rekursive Berechnung der Fibonacci-Zahlen Algo(n): 1. Falls n = 1, dann return Algo(1) := Falls n = 2, dann return Algo(2) := Falls n 3, dann return Algo(n) := Algo(n 1) + Algo(n 2). Zähle jede Addition, jeden Vergleich, und jede Ergebnis-Rückgabe als einen Schritt. Für die Anzahl g(n) benötigter Schritte gilt: g(1) = 2, g(2) = 3 und g(n) = 3 + g(n 1) + g(n 2) + Mathematische Grundlagen Rekursionsbäume 24 / 73

86 Eine rekursive Berechnung der Fibonacci-Zahlen Algo(n): 1. Falls n = 1, dann return Algo(1) := Falls n = 2, dann return Algo(2) := Falls n 3, dann return Algo(n) := Algo(n 1) + Algo(n 2). Zähle jede Addition, jeden Vergleich, und jede Ergebnis-Rückgabe als einen Schritt. Für die Anzahl g(n) benötigter Schritte gilt: g(1) = 2, g(2) = 3 und g(n) = 3 + g(n 1) + g(n 2) + 2 = Mathematische Grundlagen Rekursionsbäume 24 / 73

87 Eine rekursive Berechnung der Fibonacci-Zahlen Algo(n): 1. Falls n = 1, dann return Algo(1) := Falls n = 2, dann return Algo(2) := Falls n 3, dann return Algo(n) := Algo(n 1) + Algo(n 2). Zähle jede Addition, jeden Vergleich, und jede Ergebnis-Rückgabe als einen Schritt. Für die Anzahl g(n) benötigter Schritte gilt: g(1) = 2, g(2) = 3 und g(n) = 3 + g(n 1) + g(n 2) + 2 = 5 + g(n 1) + g(n 2) Mathematische Grundlagen Rekursionsbäume 24 / 73

88 Eine rekursive Berechnung der Fibonacci-Zahlen Algo(n): 1. Falls n = 1, dann return Algo(1) := Falls n = 2, dann return Algo(2) := Falls n 3, dann return Algo(n) := Algo(n 1) + Algo(n 2). Zähle jede Addition, jeden Vergleich, und jede Ergebnis-Rückgabe als einen Schritt. Für die Anzahl g(n) benötigter Schritte gilt: g(1) = 2, g(2) = 3 und g(n) = 3 + g(n 1) + g(n 2) + 2 = 5 + g(n 1) + g(n 2) Um Himmels willen, für n 6 ist g(n) Mathematische Grundlagen Rekursionsbäume 24 / 73

89 Eine rekursive Berechnung der Fibonacci-Zahlen Algo(n): 1. Falls n = 1, dann return Algo(1) := Falls n = 2, dann return Algo(2) := Falls n 3, dann return Algo(n) := Algo(n 1) + Algo(n 2). Zähle jede Addition, jeden Vergleich, und jede Ergebnis-Rückgabe als einen Schritt. Für die Anzahl g(n) benötigter Schritte gilt: g(1) = 2, g(2) = 3 und g(n) = 3 + g(n 1) + g(n 2) + 2 = 5 + g(n 1) + g(n 2) Um Himmels willen, für n 6 ist g(n) fib(n) Mathematische Grundlagen Rekursionsbäume 24 / 73

90 Eine rekursive Berechnung der Fibonacci-Zahlen Algo(n): 1. Falls n = 1, dann return Algo(1) := Falls n = 2, dann return Algo(2) := Falls n 3, dann return Algo(n) := Algo(n 1) + Algo(n 2). Zähle jede Addition, jeden Vergleich, und jede Ergebnis-Rückgabe als einen Schritt. Für die Anzahl g(n) benötigter Schritte gilt: g(1) = 2, g(2) = 3 und g(n) = 3 + g(n 1) + g(n 2) + 2 = 5 + g(n 1) + g(n 2) Um Himmels willen, für n 6 ist g(n) fib(n) 2 n/2, die Laufzeit ist exponentiell Das geht doch viel, viel schneller, oder!?! Mathematische Grundlagen Rekursionsbäume 24 / 73

91 Der Rekursionsbaum (1/2) Die Rekursionsbäume B n für Algo(n) sind rekursiv definiert: - Rekursionsanfang: Die Bäume B 1 und B 2 bestehen nur aus einem einzigen Knoten der jeweils mit 1, bzw. 2 markiert ist. Mathematische Grundlagen Rekursionsbäume 25 / 73

92 Der Rekursionsbaum (1/2) Die Rekursionsbäume B n für Algo(n) sind rekursiv definiert: - Rekursionsanfang: Die Bäume B 1 und B 2 bestehen nur aus einem einzigen Knoten der jeweils mit 1, bzw. 2 markiert ist. - Rekursionsschritt: Die Wurzel r von B n ist mit n markiert, die Wurzel von B n 2 ist linkes Kind von r und die Wurzel von B n 1 rechtes Kind von r. n n 2 n 1 B n 2 n 3 n 2 B n 3 B n 2 Abbildung : Die rekursive Definition des Baums B n Mathematische Grundlagen Rekursionsbäume 25 / 73

93 Der Rekursionsbaum (2/2) Abbildung : Die Fibonacci-Bäume B 1, B 2, B 3, B 4, B 5 und B Die Wurzel von B n berechnet die n-te Fibonacci-Zahl. 2. Die Fibonacci-Zahl fib(4) wird 2-mal in B 6 berechnet, fib(3) wird 3-mal berechnet. Mathematische Grundlagen Rekursionsbäume 26 / 73

94 Der Rekursionsbaum (2/2) Abbildung : Die Fibonacci-Bäume B 1, B 2, B 3, B 4, B 5 und B Die Wurzel von B n berechnet die n-te Fibonacci-Zahl. 2. Die Fibonacci-Zahl fib(4) wird 2-mal in B 6 berechnet, fib(3) wird 3-mal berechnet. WARUM? Und Mathematische wie berechnet Grundlagen man B pfeilschnell? Rekursionsbäume 26 / 73

95 Binärsuche Mathematische Grundlagen Rekursionsbäume 27 / 73

96 Binärsuche Ein Array von n Zahlen und eine Zahl A = (A[1],..., A[n]) ist gegeben: Wir möchten wissen, ob und wenn ja wo die Zahl x in A vorkommt. x Mathematische Grundlagen Rekursionsbäume 28 / 73

97 Binärsuche Ein Array von n Zahlen und eine Zahl A = (A[1],..., A[n]) ist gegeben: Wir möchten wissen, ob und wenn ja wo die Zahl x in A vorkommt. x Wenn A nicht sortiert ist, dann wird die lineare Suche bis zu n Zellen des Arrays inspizieren. Wenn das Array aber aufsteigend sortiert ist, dann können wir Binärsuche anwenden. Mathematische Grundlagen Rekursionsbäume 28 / 73

98 Binärsuche: Das Programm void Binärsuche( int unten, int oben){ if (oben < unten) std::cout «x «wurde nicht gefunden. «std::endl; Mathematische Grundlagen Rekursionsbäume 29 / 73

99 Binärsuche: Das Programm void Binärsuche( int unten, int oben){ if (oben < unten) std::cout «x «wurde nicht gefunden. «std::endl; int mitte = (unten+oben)/2; if (A[mitte] == x) std::cout «x «wurde in Position «mitte «gefunden. «std::endl; Mathematische Grundlagen Rekursionsbäume 29 / 73

100 Binärsuche: Das Programm void Binärsuche( int unten, int oben){ if (oben < unten) std::cout «x «wurde nicht gefunden. «std::endl; int mitte = (unten+oben)/2; if (A[mitte] == x) std::cout «x «wurde in Position «mitte «gefunden. «std::endl; else { if (x < A[mitte]) Binärsuche(unten, mitte-1); else Binärsuche(mitte+1,oben);}} Wir sagen, dass Zelle im ersten Aufruf inspiziert wird. A[mitte] Mathematische Grundlagen Rekursionsbäume 29 / 73

101 Binärsuche: Korrektheit Wir zeigen durch vollständige Induktion nach n = oben unten + 1, dass Binärsuche(unten,oben) korrekt ist. (a) INDUKTIONSANFANG für n = 0: Mathematische Grundlagen Rekursionsbäume 30 / 73

102 Binärsuche: Korrektheit Wir zeigen durch vollständige Induktion nach n = oben unten + 1, dass Binärsuche(unten,oben) korrekt ist. (a) INDUKTIONSANFANG für n = 0: Es ist n = oben unten + 1 = 0 oben < unten. Binärsuche(unten, oben) bricht mit der Antwort x wurde nicht gefunden ab. Mathematische Grundlagen Rekursionsbäume 30 / 73

103 Binärsuche: Korrektheit Wir zeigen durch vollständige Induktion nach n = oben unten + 1, dass Binärsuche(unten,oben) korrekt ist. (a) INDUKTIONSANFANG für n = 0: Es ist n = oben unten + 1 = 0 oben < unten. Binärsuche(unten, oben) bricht mit der Antwort x wurde nicht gefunden ab. (b) INDUKTIONSSCHRITT n n + 1: Es ist oben unten + 1 = n + 1. Mathematische Grundlagen Rekursionsbäume 30 / 73

104 Binärsuche: Korrektheit Wir zeigen durch vollständige Induktion nach n = oben unten + 1, dass Binärsuche(unten,oben) korrekt ist. (a) INDUKTIONSANFANG für n = 0: Es ist n = oben unten + 1 = 0 oben < unten. Binärsuche(unten, oben) bricht mit der Antwort x wurde nicht gefunden ab. (b) INDUKTIONSSCHRITT n n + 1: Es ist oben unten + 1 = n + 1. Wenn A(mitte) = x, dann Mathematische Grundlagen Rekursionsbäume 30 / 73

105 Binärsuche: Korrektheit Wir zeigen durch vollständige Induktion nach n = oben unten + 1, dass Binärsuche(unten,oben) korrekt ist. (a) INDUKTIONSANFANG für n = 0: Es ist n = oben unten + 1 = 0 oben < unten. Binärsuche(unten, oben) bricht mit der Antwort x wurde nicht gefunden ab. (b) INDUKTIONSSCHRITT n n + 1: Es ist oben unten + 1 = n + 1. Wenn A(mitte) = x, dann wird mit Erfolgsmeldung abgebrochen. Ansonsten, wenn x < A[mitte], Mathematische Grundlagen Rekursionsbäume 30 / 73

106 Binärsuche: Korrektheit Wir zeigen durch vollständige Induktion nach n = oben unten + 1, dass Binärsuche(unten,oben) korrekt ist. (a) INDUKTIONSANFANG für n = 0: Es ist n = oben unten + 1 = 0 oben < unten. Binärsuche(unten, oben) bricht mit der Antwort x wurde nicht gefunden ab. (b) INDUKTIONSSCHRITT n n + 1: Es ist oben unten + 1 = n + 1. Wenn A(mitte) = x, dann wird mit Erfolgsmeldung abgebrochen. Ansonsten, wenn x < A[mitte], sucht Binärsuche richtigerweise in der linken Hälfte und sonst in der rechten Hälfte. Die rekursive Suche in der linken bzw. rechten Hälfte verläuft aber nach Induktionsannahme korrekt. Mathematische Grundlagen Rekursionsbäume 30 / 73

107 Binärsuche: Die Laufzeit Wie groß ist T (n) := maximale Anzahl inspizierter Zellen für ein Array mit n Zellen, für n = 2 k 1? Hier ist eine rekursive Definition von T (n): - Rekursionsanfang: T (0) := Mathematische Grundlagen Rekursionsbäume 31 / 73

108 Binärsuche: Die Laufzeit Wie groß ist T (n) := maximale Anzahl inspizierter Zellen für ein Array mit n Zellen, für n = 2 k 1? Hier ist eine rekursive Definition von T (n): - Rekursionsanfang: T (0) := 0. - Rekursionsschritt: T (n) := Mathematische Grundlagen Rekursionsbäume 31 / 73

109 Binärsuche: Die Laufzeit Wie groß ist T (n) := maximale Anzahl inspizierter Zellen für ein Array mit n Zellen, für n = 2 k 1? Hier ist eine rekursive Definition von T (n): - Rekursionsanfang: T (0) := 0. - Rekursionsschritt: T (n) := T ( n 1 2 ) + 1. Mathematische Grundlagen Rekursionsbäume 31 / 73

110 Binärsuche: Die Laufzeit Wie groß ist T (n) := maximale Anzahl inspizierter Zellen für ein Array mit n Zellen, für n = 2 k 1? Hier ist eine rekursive Definition von T (n): - Rekursionsanfang: T (0) := 0. - Rekursionsschritt: T (n) := T ( n 1 2 ) Wir haben n = 2 k 1 gefordert. Beachte, dass n 1 2 = 2k 2 2 = 2 k 1 1 gilt. 2. Wir zeigen T (2 k 1) = Mathematische Grundlagen Rekursionsbäume 31 / 73

111 Binärsuche: Die Laufzeit Wie groß ist T (n) := maximale Anzahl inspizierter Zellen für ein Array mit n Zellen, für n = 2 k 1? Hier ist eine rekursive Definition von T (n): - Rekursionsanfang: T (0) := 0. - Rekursionsschritt: T (n) := T ( n 1 2 ) Wir haben n = 2 k 1 gefordert. Beachte, dass n 1 2 = 2k 2 2 = 2 k 1 1 gilt. 2. Wir zeigen T (2 k 1) = k mit vollständiger Induktion nach k. (a) INDUKTIONSANFANG: T (2 0 1) = T (0) = 0. Mathematische Grundlagen Rekursionsbäume 31 / 73

112 Binärsuche: Die Laufzeit Wie groß ist T (n) := maximale Anzahl inspizierter Zellen für ein Array mit n Zellen, für n = 2 k 1? Hier ist eine rekursive Definition von T (n): - Rekursionsanfang: T (0) := 0. - Rekursionsschritt: T (n) := T ( n 1 2 ) Wir haben n = 2 k 1 gefordert. Beachte, dass n 1 2 = 2k 2 2 = 2 k 1 1 gilt. 2. Wir zeigen T (2 k 1) = k mit vollständiger Induktion nach k. (a) INDUKTIONSANFANG: T (2 0 1) = T (0) = 0. (b) INDUKTIONSSCHRITT: T (2 k+1 1) = Mathematische Grundlagen Rekursionsbäume 31 / 73

113 Binärsuche: Die Laufzeit Wie groß ist T (n) := maximale Anzahl inspizierter Zellen für ein Array mit n Zellen, für n = 2 k 1? Hier ist eine rekursive Definition von T (n): - Rekursionsanfang: T (0) := 0. - Rekursionsschritt: T (n) := T ( n 1 2 ) Wir haben n = 2 k 1 gefordert. Beachte, dass n 1 2 = 2k 2 2 = 2 k 1 1 gilt. 2. Wir zeigen T (2 k 1) = k mit vollständiger Induktion nach k. (a) INDUKTIONSANFANG: T (2 0 1) = T (0) = 0. (b) INDUKTIONSSCHRITT: T (2 k+1 1) = T (2 k 1) + 1 Mathematische Grundlagen Rekursionsbäume 31 / 73

114 Binärsuche: Die Laufzeit Wie groß ist T (n) := maximale Anzahl inspizierter Zellen für ein Array mit n Zellen, für n = 2 k 1? Hier ist eine rekursive Definition von T (n): - Rekursionsanfang: T (0) := 0. - Rekursionsschritt: T (n) := T ( n 1 2 ) Wir haben n = 2 k 1 gefordert. Beachte, dass n 1 2 = 2k 2 2 = 2 k 1 1 gilt. 2. Wir zeigen T (2 k 1) = k mit vollständiger Induktion nach k. (a) INDUKTIONSANFANG: T (2 0 1) = T (0) = 0. (b) INDUKTIONSSCHRITT: T (2 k+1 1) = T (2 k 1) + 1 Induktionsannahme = k + 1. Mathematische Grundlagen Rekursionsbäume 31 / 73

115 Binärsuche: Die Laufzeit Wie groß ist T (n) := maximale Anzahl inspizierter Zellen für ein Array mit n Zellen, für n = 2 k 1? Hier ist eine rekursive Definition von T (n): - Rekursionsanfang: T (0) := 0. - Rekursionsschritt: T (n) := T ( n 1 2 ) Wir haben n = 2 k 1 gefordert. Beachte, dass n 1 2 = 2k 2 2 = 2 k 1 1 gilt. 2. Wir zeigen T (2 k 1) = k mit vollständiger Induktion nach k. (a) INDUKTIONSANFANG: T (2 0 1) = T (0) = 0. (b) INDUKTIONSSCHRITT: T (2 k+1 1) = T (2 k 1) + 1 Induktionsannahme = k + 1. Binärsuche muss höchstens k Zahlen inspizieren gegenüber 2 k 1 Zahlen für die lineare Suche: Die lineare Suche ist exponentiell langsamer als Binärsuche. Mathematische Grundlagen Rekursionsbäume 31 / 73

116 Binärsuche: Der Rekursionsbaum Wie sieht der Rekursionsbaum B für ein Array A und einen Schlüssel y aus, der nicht in A vorkommt? Mathematische Grundlagen Rekursionsbäume 32 / 73

117 Binärsuche: Der Rekursionsbaum Wie sieht der Rekursionsbaum B für ein Array A und einen Schlüssel y aus, der nicht in A vorkommt? 1. Der Rekursionsbaum B besitzt den Aus-Grad Eins: Ein Knoten von B ist entweder ein Blatt oder verursacht genau einen rekursiven Aufruf. Mathematische Grundlagen Rekursionsbäume 32 / 73

118 Binärsuche: Der Rekursionsbaum Wie sieht der Rekursionsbaum B für ein Array A und einen Schlüssel y aus, der nicht in A vorkommt? 1. Der Rekursionsbaum B besitzt den Aus-Grad Eins: Ein Knoten von B ist entweder ein Blatt oder verursacht genau einen rekursiven Aufruf. 2. Das Array A besitze genau n = 2 k 1 Schlüssel. Wir wissen: Im schlimmsten Fall werden genau k Zellen inspiziert. y kommt nicht in A vor: Der schlimmste Fall tritt ein. Mathematische Grundlagen Rekursionsbäume 32 / 73

119 Binärsuche: Der Rekursionsbaum Wie sieht der Rekursionsbaum B für ein Array A und einen Schlüssel y aus, der nicht in A vorkommt? 1. Der Rekursionsbaum B besitzt den Aus-Grad Eins: Ein Knoten von B ist entweder ein Blatt oder verursacht genau einen rekursiven Aufruf. 2. Das Array A besitze genau n = 2 k 1 Schlüssel. Wir wissen: Im schlimmsten Fall werden genau k Zellen inspiziert. y kommt nicht in A vor: Der schlimmste Fall tritt ein. In jedem rekursiven Aufruf wird nur eine Zelle des Arrays inspiziert: Der Rekursionsbaum B ist also ein Weg der Länge k. Mathematische Grundlagen Rekursionsbäume 32 / 73

120 Binärsuche: Der Rekursionsbaum Wie sieht der Rekursionsbaum B für ein Array A und einen Schlüssel y aus, der nicht in A vorkommt? 1. Der Rekursionsbaum B besitzt den Aus-Grad Eins: Ein Knoten von B ist entweder ein Blatt oder verursacht genau einen rekursiven Aufruf. 2. Das Array A besitze genau n = 2 k 1 Schlüssel. Wir wissen: Im schlimmsten Fall werden genau k Zellen inspiziert. y kommt nicht in A vor: Der schlimmste Fall tritt ein. In jedem rekursiven Aufruf wird nur eine Zelle des Arrays inspiziert: Der Rekursionsbaum B ist also ein Weg der Länge k. Binärsuche ist schnell, weil stets höchstens ein rekursiver Aufruf getätigt wird und weil die Länge des Array-Abschnitts in dem gesucht wird, mindestens halbiert wird. Mathematische Grundlagen Rekursionsbäume 32 / 73

121 Unser Freund, der Logarithmus Mathematische Grundlagen Rechnen mit Logarithmen 33 / 73

122 Rechnen mit Logarithmen Seien a > 1 und x > 0 reelle Zahlen. log a (x) ist der Logarithmus von x zur Basis a und stimmt mit z genau dann überein, wenn Mathematische Grundlagen Rechnen mit Logarithmen 34 / 73

123 Rechnen mit Logarithmen Seien a > 1 und x > 0 reelle Zahlen. log a (x) ist der Logarithmus von x zur Basis a und stimmt mit z genau dann überein, wenn a z = x. Mathematische Grundlagen Rechnen mit Logarithmen 34 / 73