Algorithmen und Datenstrukturen 2. Stefan Florian Palkovits, BSc Juni 2016

Transkript

1 Algorithmen und Datenstrukturen Übung Stefan Florian Palkovits, BSc Juni 0

2 Aufgabe 9: Anwenden der Spanning Tree Heuristik auf symmetrisches TSP Bilden eines MST: Kanten im MST verdoppeln und Eulertour finden Eulertour: F = (,,,,,,,,,, ) aus Eulertour TSP-Tour generieren T = (,,,,,, )

3 Aufgabe 0: l j k h d f b e g a i c. Zyklus: Z = (,,, ). Zyklus: Z = (,,, ) Z = (,,,,,, ). Zyklus: Z = (,,,,,, ) Z = (,,,,,,,,,,,, ) deg(v) = 0 für alle v F = (,,,,,,,,,,,, )

4 Aufgabe : MaxCut-Problem optimale Lösung: Die Knoten sind so auf die Mengen A und B aufgeteilt, dass alle Kanten Schnittkanten sind. Eine bessere Lösung kann nicht existieren. Greedy-Lösung: r i ist die Anzahl der Kanten für die der Knoten v i verantwortlich ist. r i = E. Bei jeder Zuweisung von einem Knoten erhöht sich die i Anzahl der Schnittkanten um mindestens r i /. Anzahl der Schnittkanten r i = r i = E i i Daher hat die Greedy-Lösung immer mindestens halb so viele Schnittkanten wie die optimale Lösung.

5 Aufgabe : Lösen des Rucksackproblems durch dynamische Programmierung # Wert Gewicht G = Bilden eines (n + ) (G + )-Arrays: L = {,, } Wert = 9

6 Aufgabe : Version, die Angabe erfüllt. Verbesserte Version auf nächster Seite. Algorithm : MaxSum Input: Array mit Integerwerten A[] Result: Teilarray mit maximaler Summe R[] initialisiere Array T [] mit Größe von A + T [0] for i = to Größe von A do if T [i ] 0 then T [i] A[i ] else 7 T [i] T [i ] + A[i ] 8 end 9 end 0 max max index 0 for i = to Größe von T - do if T[i] > max then max T [i] max index i end 7 end 8 for i = max index - to 0 do 9 if T[i] 0 then 0 current start i + break end end R A[current start ] to A[max index ] return R Die Laufzeit liegt offensichtlich in O(n), der Speicherverbrauch liegt ebenfalls in O(n). Bei der verbesserten Version auf der nächsten Seite liegt der Speicherverbrauch nur in O() und auch die reale Laufzeit ist schneller, da statt Schleifen nur Schleife benötigt wird.

7 bessere Variante: Nutzen von globalen und lokalen Indizes Algorithm : MaxSum Input: Array mit Integerwerten A[] Result: Teilarray mit maximaler Summe R[] start 0 end 0 current start 0 sum current sum 0 for i = 0 to Größe von A - do 7 current sum current sum + A[i] 8 if current sum > sum then 9 sum current sum 0 end i start current start end if current sum < 0 then current start i + current sum 0 end 7 end 8 R A[start] to A[end] 9 return R

8 Aufgabe : Angabe: Im Problem MaxSat ist eine aussagenlogische Formel in konjunktiver Normalform gegeben und man sucht nach einer Wahrheitsbelegung der Variablen, die so viele Klauseln wie möglich erfüllt. Geben Sie einen polynomiellen Algorithmus zum Finden einer Wahrheitsbelegung an, die immer mindestens halb so viele Klauseln erfüllt, wie eine optimale Wahrheitsbelegung. Betrachten Sie als Eingabegröße n die Summe aller Klausellängen und geben Sie die Laufzeit Ihres Algorithmus an. Algorithm : MaxSat Input: aussagenlogsiche Formel in KNF Result: Wahrheitsbelegung für MaxSat /* es kann maximal n verschiedene Variablen geben, allgemein werden es vermutlich weniger sein */ /* initialisiere boolean Array result mit Anzahl an Variablen Elementen */ foreach Variable x i do count 0 0 count 0 foreach Klausel in der x i vorkommt, die noch nicht erfüllt ist do if Variable x i ist negiert then count 0 count else 8 count count + 9 end 0 end if count count 0 then result[x i ] true else result[x i ] false end end 7 return result Die Laufzeit des Algorithmus liegt in O(n ). Im Worst-Case (jede Klausel hat Länge und ( eine einzigartige Variable) haben die verschachtelten Schleifen die n ) ( ) n (n + ) Laufzeit O = O = O(n ). i i= 7

9 Aufgabe : (a) lokale Suche Man kann einen beliebigen Gegenstand in einem anderen Hubschrauber unterbringen. Dies ist als Lösung auf jeden Fall gültig, da es kein definiertes Maximalgewicht pro Hubschrauber gibt. Algorithm : lokale Suche mit next improvement Funktion Input: Geräte V mit Gewichten w,..., w n R Result: Lösung des Zuteilungsproblems, sodass Ladungen möglichst gleich verteilt best solution Startlösung do current solution NULL Z,..., Z m best solution for i = to m do foreach x Z i do 7 Z i Z i \ x 8 foreach j, j m and j i do 9 Z j Z j x 0 temp solution Z,..., Z m if current solution = NULL or Wert von current solution > Wert von temp solution then current solution temp solution end Z j Z j \ x end Z i Z i x 7 end 8 end 9 if Wert von best solution > Wert von current solution then 0 best solution current solution end while keine Verbesserung der Lösung or maximale Anzahl der Durchläufe erreicht return best solution (b) Man kann jedes der n Geräte in eine der anderen Mengen packen. Daher ist die Größe der Nachbarschaft n (m ) 8

10 Aufgabe : lokal optimal: global optimal: 9