Übung Algorithmen und Datenstrukturen

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1 Übung Algorithmen und Datenstrukturen Sommersemester 2017 Patrick Schäfer, Humboldt-Universität zu Berlin

2 Agenda: Blatt 6 Diese Woche: Vorrechnen Blatt 6 (first-come first-served) Gruppe 13-1 Uhr Gruppe Uhr Termin für Besprechung der Probeklausur: Voraussichtlich am ab 11:00, RUD 26, 0'307 Termine für betreutes Lernen: TBA Übung: Vorlesung: 2

3 Aufgabe 1: Kein Kind private boolean delete(node todelete) throws EmptyTreeException { // Knoten, der entfernt werden soll (Eingabeknoten oder // Symmetrischer Nachfolger Node y = (todelete.left == null todelete.right == null)? todelete : successor(todelete); // x ist das Kind von y Node x = (y.left!= null)? y.left : y.right; // Ausschneiden von y aus dem Baum if (x!= null) { x.parent = y.parent; // Randfall: Wurzel if (y.parent == null) { this.root = x; else if (y == y.parent.left) { // Hängt links y.parent.left = x; else if (y == y.parent.right) { // Hängt rechts y.parent.right = x; // Key kopieren if (y!= todelete) { todelete.element = y.element; return true; y = todelete x = null y.parent.right = null 3

4 Aufgabe 1: Ein Kind private boolean delete(node todelete) throws EmptyTreeException { // Knoten, der entfernt werden soll (Eingabeknoten oder // Symmetrischer Nachfolger Node y = (todelete.left == null todelete.right == null)? todelete : successor(todelete); // x ist das Kind von y Node x = (y.left!= null)? y.left : y.right; // Ausschneiden von y aus dem Baum if (x!= null) { x.parent = y.parent; // Randfall: Wurzel if (y.parent == null) { this.root = x; else if (y == y.parent.left) { // Hängt links y.parent.left = x; else if (y == y.parent.right) { // Hängt rechts y.parent.right = x; // Key kopieren if (y!= todelete) { todelete.element = y.element; return true; y = todelete 3 12 x x.parent = y.parent 3 12 x y.parent.left = x 4

5 Aufgabe 1: Symmetrische Nachfolger private boolean delete(node todelete) throws EmptyTreeException { // Knoten, der entfernt werden soll (Eingabeknoten oder // Symmetrischer Nachfolger Node y = (todelete.left == null todelete.right == null)? todelete : successor(todelete); // x ist das Kind von y Node x = (y.left!= null)? y.left : y.right; // Ausschneiden von y aus dem Baum if (x!= null) { x.parent = y.parent; todelete 3 // Randfall: Wurzel 12 if (y.parent == null) { this.root = x; else if (y == y.parent.left) { // Hängt links y y.parent.left = x; 6 else if (y == y.parent.right) { // Hängt rechts y.parent.right = x; x 7 // Key kopieren if (y!= todelete) { todelete.element = y.element; return true; y x.parent = y.parent 6 x Key kopieren y.parent.left = x

6 Aufgabe 2.2 remove(87) 10

7 Aufgabe 2.2 Nach Entfernen von 87 (keine Rotationen): remove(87) remove(70) Nach Entfernen von 70: 11

8 Aufgabe 2.2 Nach Entfernen von 70: remove(70) L Rotation in 72 Nach Linksrotation in 72: 12

9 Aufgabe 2.2 Nach L Rotation Linksrotation 72 in 72: L-R Rotation in L19, R33 13

10 Aufgabe 2.2 L-R Rotation in L19, R33 14

11 Aufgabe 3.1 Kosten: 1 auf niemanden achten, 2 auf eine Richtung achten, 3 auf zwei Richtungen achten d 1 e 1 h 1 i Beispiele: b->e->f : b->e->h : e->f->i : a 2 b f 2 c g 1

12 Aufgabe 3.1 Der modifizierte Dijkstra funktioniert nicht. Gegenbeispiel: b -> g Modifizierter Dijkstra: b -> e -> h -> i -> f ->g = 18 a 2 b 4 d 2 1 e f h i +1 Tatsächlicher kürzester Pfad: b -> c -> f -> g = 17 c +1 g 16

13 Aufgabe 4.1 Wähle beliebigen Knoten x Führe eine Breitensuche von x aus. y sei ein Blatt mit maximalem Abstand zu x. Führe Breitensuche von y aus. z sei ein Blatt mit maximalem Abstand zu y. y -> z ist ein längster Pfad. y v 3 x v 11 v 14 v 1 v 1 v 2 v 4 v 6 v 9 v v 7 v 12 v 13 v 8 v 10 y 20

14 Aufgabe 4.1 Wähle beliebigen Knoten x Führe eine Breitensuche von x aus y sei ein Blatt mit maximalem Abstand zu x Führe Breitensuche von y aus z sei ein Blatt mit maximalem Abstand zu y y -> z ist ein längster Pfad v 3 v 1 v 2 v 4 v 6 v 9 v 11 v 14 v 1 z v v 7 v 12 v10,v8,v7,v6,v9,v11,v14,v1 v 8 v 10 y v 13 21

15 Aufgabe 4.2 Der längste Pfad in einem Graphen gehört zu der Gruppe der NP-schweren Problemen. Diese bedeutet, dass es keine Lösung in polynomieller Laufzeit gibt (außer P=NP). Gegenbeispiel mit Zyklus: x v 1 v 2 v 3 v 4 y v v 6 v 7 v 8 23

16 Aufgabe 4.2 Der längste Pfad in einem Graphen gehört zu der Gruppe der NP-schweren Problemen. Diese bedeutet, dass es keine Lösung in polynomieller Laufzeit gibt (außer P=NP). Gegenbeispiel mit Zyklus: Gefunden: v, (v1, v2, v3,) v4 Tatsächlich: v4, (v3, v2, v1, v, v6, v7,) v8 z v 1 v 2 v 3 v 4 y v v 6 v 7 v 8 24