Daten suchen und durchsuchen. Programmieren und Problemlösen Daten suchen und durchsuchen, weiterführende Komplexitätstheorie

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1 Daten suchen und durchsuchen Lineare Suche Dennis Komm Programmieren und Problemlösen Daten suchen und durchsuchen, weiterführende Komplexitätstheorie Frühling April 2019 Lineare Suche Einfachste Möglichkeit der Suche Funktioniert auch in ungeordneten Daten Array von links nach rechts durchlaufen, jedes Element mit dem gesuchten Wert vergleichen Braucht bis zu n Vergleiche auf Array der Länge n, falls gesuchtes Element an letzter Stelle ist (oder nicht vorkommt) Daten suchen und durchsuchen Programmieren und Problemlösen Daten (durch)suchen, Komplexitätstheorie Frühling 2019 Dennis Komm 1 / 26

2 Beispiel Gegeben ein Array der ersten 8 Primzahlen, finde heraus, an welcher Position Primzahl 17 ist Idee Nutze aus, dass Daten sortiert sind Zwei int-variablen left and right Diese geben Suchraum an Betrachte Wert in der Mitte (Index current) Ist dieser der gesuchte, sind wir fertig Ist dieser zu klein, ist auch alles links von ihm zu klein left = current+1 Ist dieser zu gross, ist auch alles rechts von ihm zu gross right = current-1 Programmieren und Problemlösen Daten (durch)suchen, Komplexitätstheorie Frühling 2019 Dennis Komm 2 / 26 Programmieren und Problemlösen Daten (durch)suchen, Komplexitätstheorie Frühling 2019 Dennis Komm 3 / 26 Aufgabe Implementiere binäre Suche Benutze drei Zeiger left, right und current Verkleinere Suchraum in jedem Schritt wie beschrieben int left = 0; int right = data.length-1; while (left <= right) { int current = (left+right)/2; if (data[current] == searched) { System.out.println("Found at position " + current); return; else if (data[current] > searched) { right = current-1; else { left = current+1; System.out.println("Not found"); Programmieren und Problemlösen Daten (durch)suchen, Komplexitätstheorie Frühling 2019 Dennis Komm 4 / 26 Programmieren und Problemlösen Daten (durch)suchen, Komplexitätstheorie Frühling 2019 Dennis Komm 5 / 26

3 Zeitkomplexität binärer Suche Suchen Zeitkomplexität binärer Suche Am Anfang hat Array n Elemente Mit jeder Iteration wird der Suchraum auf die Hälfte reduziert Nach der ersten Iteration n/2 Elemente Nach der zweiten Iteration n/4 Elemente... Nach wie vielen Iterationen x ist nur noch ein Element übrig? n/2 x = 1 n = 2 x x = log 2 n Programmieren und Problemlösen Daten (durch)suchen, Komplexitätstheorie Frühling 2019 Dennis Komm 6 / 26 Zeitkomplexität binärer Suche 100 Vergleiche Lineare Suche Daten suchen und durchsuchen Teilarrays Eingabelänge n Programmieren und Problemlösen Daten (durch)suchen, Komplexitätstheorie Frühling 2019 Dennis Komm 7 / 26

4 Maximales Teilarray fester Länge Aufgabe Maximales Teilarray fester Länge Gegeben n positive ganze Zahlen Finde Teilarray der Länge k maximaler Summe Schreibe Methode, die ein int-array mit positiven Zahlen und einen int k erhält die Indizes zurückgibt, zwischen denen sich der Teilarray der Länge k mit der grössten Summe befindet lineare Laufzeit besitzt Programmieren und Problemlösen Daten (durch)suchen, Komplexitätstheorie Frühling 2019 Dennis Komm 8 / 26 Programmieren und Problemlösen Daten (durch)suchen, Komplexitätstheorie Frühling 2019 Dennis Komm 9 / 26 Maximales Teilarray fester Länge Maximales Teilarray private static int[] maxfixsub(int[] data, int len) { int sum = 0; int start = 0; int end = len-1; int[] result = {0,0,0; for (int i=0; i<len; ++i) { sum = sum + data[i]; int max = sum; for (int i=0; i<data.length-len; i++) { sum = sum - data[i] + data[i+len]; if(sum > max) { max = sum; start = i+1; end = i+len; result[0] = start; result[1] = end; result[2] = max; return result; Programmieren und Problemlösen Daten (durch)suchen, Komplexitätstheorie Frühling 2019 Dennis Komm 10 / 26 Gegeben n ganze Zahlen (positiv oder negativ) Finde Teilarray mit maximaler Summe Programmieren und Problemlösen Daten (durch)suchen, Komplexitätstheorie Frühling 2019 Dennis Komm 11 / 26

5 Maximales Teilarray Aufgabe Maximales Teilarray Kadanes Algorithmus Jedes Teilarray (auch ein maximales) hat eine Endposition x Betrachte alle Möglichkeiten Für jedes x 1 Betrachte das maximale Teilarray A x 1 mit Endposition x 1 Entweder ist dieses Teil des maximalen Teilarrays A x mit Endposition x Oder nicht (dann ist A x Teilarray der Länge 1) Summe(A x ) = max{summe(a x 1 ) + Wert von x, Wert von x Implementiere Kadanes Algorithmus Speichere aktuelles Maximum Entscheide, ob das maximale Teilarray, das eine Position früher endet, Teil davon sein sollte Das Maximum von zwei Zahlen kann mit Math.max berechnet werden Programmieren und Problemlösen Daten (durch)suchen, Komplexitätstheorie Frühling 2019 Dennis Komm 12 / 26 Programmieren und Problemlösen Daten (durch)suchen, Komplexitätstheorie Frühling 2019 Dennis Komm 13 / 26 Aufgabe Maximales Teilarray static int maxsub(int data[]) { int maxendhere = data[0]; int max = maxendhere; for (int i = 1; i < data.length; ++i) { maxendhere = Math.max(data[i], maxendhere+data[i]); max = Math.max(max,maxEndHere); return max; Weiterführende Komplexitätstheorie Programmieren und Problemlösen Daten (durch)suchen, Komplexitätstheorie Frühling 2019 Dennis Komm 14 / 26

6 Klassifizierung von Problemen Alan Cobham (*1927), Jack Edmonds (*1934) Probleme erlauben unterschiedliche Laufzeiten Naiver Primzahltest (Lösung des Problems PRIMES) hat Komplexität in O(2 n ) Es existiert Algorithmus mit Komplexität in O(n 7 ) Mergesort besitzt Komplexität in O(n log n) Kadanes Algorithmus besitzt Komplexität in O(n) Diese Probleme sind in Polynomzeit lösbar These von C. und E. Effiziente Algorithmen sind solche, die in polynomieller Zeit laufen Laufzeit ist in O(n k ) für k N O(n 3 ) O(n 10 ) aber nicht O(1.41 n ) Programmieren und Problemlösen Daten (durch)suchen, Komplexitätstheorie Frühling 2019 Dennis Komm 15 / 26 Programmieren und Problemlösen Daten (durch)suchen, Komplexitätstheorie Frühling 2019 Dennis Komm 16 / 26 Effiziente Algorithmen Effiziente Algorithmen Der Begriff ist unabhängig vom jeweiligen Berechnungsmodell Wenn ein Algorithmus in Java etwas in Polynomzeit berechnen kann, kann ein Algorithmus in Python es auch und umgekehrt Wir nennen die Klasse der Polynome deswegen robust Probleme, die effizient gelöst werden können Die Klasse P enthält Probleme, die effizient gelöst werden können PRIMES P Was ist mit Problemen, die nicht in P liegen? Andersrum: Für welche Probleme lohnt es sich überhaupt, effiziente Algorithmen zu suchen? Sicher ist es für das Halteproblem aussichtslos (denn das können wir gar nicht lösen) Aber was sind gute Kandidaten? Programmieren und Problemlösen Daten (durch)suchen, Komplexitätstheorie Frühling 2019 Dennis Komm 17 / 26 Programmieren und Problemlösen Daten (durch)suchen, Komplexitätstheorie Frühling 2019 Dennis Komm 18 / 26

7 Betrachte alternatives Modell Polynomzeit-Verifizierer Ein Polynomzeit-Verifizierer (PV) muss die Lösung eines Problems nicht selber berechnen Er erhält mit der Eingabe einen (potentiellen) Zeugen Der Zeuge ist ein String Beispielsweise ein potentieller Teiler, wenn berechnet werden soll, ob die Eingabe keine Primzahl ist Zeuge ist enorme Hilfe bei der Berechnung der Ausgabe Hamiltonkreisproblem HK Besitzt Graph G einen Hamiltonkreis? (Traveling-Salesman-Problem) Algorithmus erhält Eingabe v 6 v 5 v 5 v 4 v 1 v 2 v 3 und muss Ausgabe JA oder NEIN berechnen nicht effizient PV erhält Eingabe v 6 v 4 v 1 v 2 v 3 und Zeugen v 1, v 3, v 5, v 4, v 6, v 2, v 1 und muss diesen mit JA oder NEIN verifizieren effizient Programmieren und Problemlösen Daten (durch)suchen, Komplexitätstheorie Frühling 2019 Dennis Komm 19 / 26 Programmieren und Problemlösen Daten (durch)suchen, Komplexitätstheorie Frühling 2019 Dennis Komm 20 / 26 P versus N P P versus N P Probleme, die effizient verifiziert werden können Die Klasse N P enthält alle Probleme, die effizient von PV gelöst werden können N steht für nichtdeterministisch PV haben gegenüber Algorithmen einen offensichtlichen Vorteil Wenn es für ein Problem keinen PV gibt, dann sicher auch keinen effizienten Algorithmus Suche nach effizienten Algorithmen für Probleme in N P Wenn wir etwas mit einem Algorithmus effizient berechnen können, dann auch mit einem PV P N P Aber was ist mit der anderen Richtung? Wir wissen bis heute nicht, ob P = N P oder P N P Es wird vermutet, dass P N P Es gibt vermutlich Probleme in N P, für die keine effizienten Algorithmen existieren Seit Jahrzehnten ist es offen, ein solches zu finden Programmieren und Problemlösen Daten (durch)suchen, Komplexitätstheorie Frühling 2019 Dennis Komm 21 / 26 Programmieren und Problemlösen Daten (durch)suchen, Komplexitätstheorie Frühling 2019 Dennis Komm 22 / 26

8 P versus N P Stephen A. Cook (*1939) Was können wir tun? Identifiziere schwerste Probleme in N P N P-Vollständigkeit Ein Problem A in N P wird als N P-vollständig bezeichnet, wenn die effiziente Lösbarkeit von A die effiziente Lösbarkeit aller Probleme in N P erlaubt Satz von Cook Es existiert ein N P-vollständiges Problem Wird effizienter Algorithmus für ein N P-vollständiges Problem gefunden, dann gibt es effiziente Algorithmen für alle Probleme in N P P = N P Wikimedia, Creative Commons Programmieren und Problemlösen Daten (durch)suchen, Komplexitätstheorie Frühling 2019 Dennis Komm 23 / 26 Programmieren und Problemlösen Daten (durch)suchen, Komplexitätstheorie Frühling 2019 Dennis Komm 24 / 26 Richard M. Karp (*1935) P versus N P Karps 21 Probleme Es existieren 21 weitere N P-vollständige Probleme Es konnten Tausende N P-vollständige Probleme identifiziert werden Wird jemals für eines von ihnen ein effizienter Algorithmus gefunden, existieren effiziente Algorithmen für sie alle P = N P Derzeit gehen wir von folgender Beziehung aus Wikimedia, Creative Commons Heute kennen wir Tausende, und doch können wir für keines zeigen, dass es keinen effiziente Algorithmus gibt P N P N P-vollständig Programmieren und Problemlösen Daten (durch)suchen, Komplexitätstheorie Frühling 2019 Dennis Komm 25 / 26 Programmieren und Problemlösen Daten (durch)suchen, Komplexitätstheorie Frühling 2019 Dennis Komm 26 / 26