Rückblick: Längste gemeinsame Zeichenkette

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1 <latexit sha1_base64="mjichet3x/nr06pwvykpjqbwjfw=">aaadg3icdvjdb9mwfhuwbin8bcablxytanngm5rjbjogkvhcc9kq6dapjirhvu3donfmoxvbyn/gff4z/wyngrib48pjjs/98m25tgrbtqndx96kf2f17r21+8gdh48ep1nfehqizakyjjguup0lvipgoywmnwlocgu0swscjsspjf/0aptmmv9iqglijky5n3fgjammg55pforwywsw0xxqcvwkvtoomgxe20edkiyaucqsygsiy1m9pcehpn4148nfvi2pmbewm8qgjigu57bnry0bwnje0ulh+65zhyt4neyupstkagavokg6fneb3zfbs5imgpwyv4lithi4x2a8adg5vrhna1tx3228g6p/fju6qhqqcl/zdrkqxdo56u3wn8pe4ga/fhua/wvrl2xtc/gctxbszevjvliyg9wwqbuer2fhylfwccbafs41fjqtaqpjgha0abxbfgqgrlxx3q7mnamd23aanx7lmcmesewe3ocw/tvd0kzrkktczkoivulryft9izrlqxn97xxr+pjbxzri8errvtucyut9o1mz248tz4vsqm66rmelwebi5mrhkvfajkgcoexxjwvmc6oom+4cbqrntp2rdrv+mghlfu9/qvqtwhfott0x1mdxfuaype45wadunh/0x/8hj4nefpaiz3ubw/1urmgnvuav0rak0ds0rb/rmroh5i28794p76e/6u/4a3+vc13xrnkeowvmh/0gfb8bjw==</latexit> <latexit 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sha1_base64="esiqzxt4fx2vod47kwabwzcuhp0=">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</latexit> Rückblick: Längste gemeinsame Zeichenkette Die längste gemeinsame Zeichenkette zweier gegebenen Zeichenketten s und t lässt sich mit Hilfe dynamischer Programmierung berechnen lc str(s, t) = max 0ÆiÆ s 0ÆjÆ t lc suf(s[: i],t[: j]) lc suf(s[: i],t[: j]) = Y _] _[ 0 : i =0 j =0 0 : i, j > 0 s[i 1] = t[j 1] lc suf(s[: i 1],t[: j 1]) + 1 : i, j > 0 s[i 1] = t[j 1] 81

2 Rückblick: Längste gemeinsame Zeichenkette Beispiel: Längste gemeinsame Zeichenkette zwischen s = t e e r t = b e e r e _ b e e r e _ t e e r 82

3 <latexit sha1_base64="i58ftlconco3fbfx5w2dyd74iyk=">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</latexit> <latexit sha1_base64="i58ftlconco3fbfx5w2dyd74iyk=">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</latexit> <latexit sha1_base64="i58ftlconco3fbfx5w2dyd74iyk=">aaad83icfvjdb9mwfhvbprbwtqfvvfhmofwmnbkgtkmgsrzwgjqkuihvuew4t6lxj85sz1uw8kt4q7zyg+dx4crd2sy2kx8n995zfhkv41xwbylgd6fbu3hz1u2lze/o3xv3h6ysptztslamrkwkqb7gvipggywmnwk+5gpoggvyjxcf6vz+esjnzfbfldleku0ypuomghearhy0uzdbmznpsropjvqpwmqjwlb5ztf9n5vhumrmkrwckymgw2pdj3d4tghgowdrh7/drmdmeourgbke2uahsmxoywfbpzvns2kvf+dnmlv6ajmjahzqqnk5/suw3cg9+/gfdnfn3jja72vomuwtwhpcvzkvm67ltqvogjvrf8xu1/xevcugifhah1gfgotpq0cut+amf6ulkshhqsvvdm1ref5kzs3wn7e3glfb+h8q+kgz1oapubn23zgsmpwssceztfctx2gqm8jjgs4eoofcq07zgiywpkfoc1crtucmyfr5pu1grlpqkw1ot4wfucguz6ryd2zwez3lsdtvukxjv1k3sf/m1cflc7guc0njfw5/a/jiwxupkecxoqqsgysp9qwnzryvwz7lhygmtuznhcbg4voo4ylxwiwohabmcdckzozuuwbcgfdiq7sdkxzfg0umyl188kkcthixco3ua0ennaxsx5bad7dy3gj+9r9fdfy2/tdww8+v14zb7yzqenqcnqj1fkk3aig+ol00qqzzp4u6y12vv/s+9370fral3c4p5xe6t3q//gjh60ac</latexit> <latexit sha1_base64="x+e3fpu7x+tljrmgfgfwoe9rp5o=">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</latexit> Rückblick: Längste gemeinsame Zeichenfolge Die längste gemeinsame Zeichenfolge zweier gegebenen Zeichenketten s und t lässt sich mit Hilfe dynamischer Programmierung berechnen Y 0 : i =0 j =0 lc seq(s[: i],t[: j]) = _] _[ lc seq(s[: i 1],t[: j 1]) + 1 Q R : i, j > 0 s[i 1] = t[j 1] lc seq(s[: i],t[: j 1]), max c d a b lc seq(s[: i 1],t[: j]) : i, j > 0 s[i 1] = t[j 1] 83

4 Rückblick: Längste gemeinsame Zeichenfolge Beispiel: Längste gemeinsame Zeichenfolge zwischen s = b a u m t = b l u e m _ b l u e m _ b a u m 84

5 6.4 Suche in Zeichenketten Wie können wir feststellen, ob eine Zeichenkette p (Muster, Englisch: pattern) in einer anderen Zeichenkette t (Text, Englisch: text) enthalten ist? Dieses Problem hat zahlreiche Anwendungen z. B. in Applikationen wie Editoren, IDEs, Browsern und Werkzeugen (z. B. grep in UNIX) 85

6 Suche in Zeichenketten Uns sind das Muster p und der Text t gegeben kommt das Muster im Text vor, geben wir einen Index i zurück, so dass t[i:i+ p ] = p gilt kommt das Muster nicht im Text vor, geben wir -1 zurück Beispiel: p = aabaa t = axabaabaay Ergebnis: 4 p = aabaa t = aabaxaabab Ergebnis: -1 86

7 Naïver Algorithmus Ein naïver Algorithmus überprüft für jeden möglichen Index i, ob t[i:i+ p ] = p gilt, d. h. er vergleicht das Muster ausgehend von jeder Stelle im Text Beispiel: t = ababacababcabc ababc ababc ababc ababc ababc ababc Zeichen stimmt überein Zeichen stimmt nicht überein Zeichen nicht verglichen 87

8 Naïver Algorithmus 1 public class PatternMatcherNaive { 2 3 public int search(char[] t, char[] p) { 4 5 // Alle Indizes des Texts betrachten 6 for ( int i = 0; i < t.length; i++) { 7 // Muster vergleichen 8 int j = 0; 9 while (j < p.length && t[i + j] == p[j]) { 10 j++; 11 } 12 // Muster gefunden? 13 if (j == p.length) { 14 return i; 15 } 16 } 17 return -1; 18 } 19 } 88

9 Zeit- und Platzkomplexität Im schlechtesten Fall findet der naïve Algorithmus alle bis auf das letzte Zeichen des Musters ausgehend von jedem Index des Texts Beispiel: p = aaaab t = aaaaaaaaaaaaaaaaa Die innere Schleife wird in solch einem Fall bis zu t p Mal durchlaufen und die Zeitkomplexität liegt damit in O( t p ) Die Platzkomplexität liegt in O(1) 89

10 Verschiebungen Müssen wir wirklich für jeden Index das Muster von seinem Anfang an mit dem Text vergleichen? Beispiel: t = ababacababcabc ababc Wir wissen, dass vor dem nicht übereinstimmenden Zeichen c die Zeichen ab bereits gefunden wurde, welche auch am Anfang des Musters stehen 90

11 Verschiebungen Müssen wir wirklich für jeden Index das Muster von seinem Anfang an mit dem Text vergleichen? Beispiel: t = ababacababcabc ababc ababc Es wäre damit in diesem Fall sicher, das Muster um zwei Positionen zu verschieben und erst ab dem dritten Zeichen mit dem Text zu vergleichen 91

12 Algorithmus von Knuth, Morris und Pratt Der Algorithmus von Knuth, Morris und Pratt (kurz: KMP) nutzt solche sicheren Verschiebungen aus und vermeidet so, dass das Muster von seinem Anfang an mit dem Text verglichen werden muss Als Vorberechnung analysiert der Algorithmus das Muster und berechnet eine Verschiebungstabelle 92

13 <latexit sha1_base64="0jvbskktq8a37fdspgqzkk9iwm8=">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</latexit> <latexit 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14 Verschiebungstabelle Beispiel: p = a b a b c s = Wir sehen aus der Verschiebungstabelle z. B., dass bei einer Nichtübereinstimmung des Zeichens p[4] = c mit dem aktuellen Zeichen des Texts bereits die ersten s[4] = 2 des Musters gefunden wurden, so dass wir als nächstes das Zeichen p[2] = a mit dem aktuellen Zeichen des Texts vergleichen müssen 94

15 Algorithmus von Knuth, Morris und Pratt 1 public class PatternMatcherKMP { 2 3 public int search(char[] t, char[] p) { 4 // Verschiebungstabelle berechnen 5 int[] s = computeshifts(p); 6 7 // Indizes für Text und Muster 8 int i = 0; 9 int j = 0; while (i < t.length) { 12 // Muster gemäß Verschiebungen zurücksetzen? 13 while (j >= 0 && p[j]!= t[i]) { 14 j = s[j]; 15 } 16 i++; 17 j++; // Wurde das Muster gefunden? 20 if (j == p.length) { 21 return i - p.length; 22 } 23 } return -1; 26 } 27 } 95

16 Algorithmus von Knuth, Morris und Pratt Beispiel: t = abaxababyababb ababc i = 3 j = 3 s[3] = 1 ababc i = 3 j = 1 s[1] = 0 ababc i = 3 j = 0 s[0] = -1 ababc i = 8 j = 4 s[4] = 2 ababc i = 8 j = 2 s[2] = 0 ababc i = 8 j = 0 s[0] = -1 ababc Muster nicht gefunden! Zeichen nicht verglichen aufgrund von Verschiebung p = a b a b c s =

17 Berechnung der Verschiebungstabelle Die Verschiebungstabelle lässt sich durch einen Vergleich des Musters mit sich selbst effizient berechnen Beispiel: p = ababc s = -1 0 ababc s = ababc s = ababc s = ababc s = Der bereits berechnete Teil der Verschiebungstabelle wird hier analog zum KMP-Algorithmus ausgenutzt 97

18 Berechnung der Verschiebungstabelle 1 public class PatternMatcherKMP { private int[] computeshifts(char[] p) { 6 int[] s = new int[p.length + 1]; 7 int i = 0; 8 int j = -1; 9 s[0] = -1; while (i < p.length) { 12 while (j >= 0 && p[i]!= p[j]) { 13 j = s[j]; 14 } 15 i++; 16 j++; 17 s[i] = j; 18 } 19 return s; 20 } } 98

19 Zeit- und Platzkomplexität Bei der Berechnung der Verschiebungstabelle werden die äußere Schleife sowie die innere Schleife in Summe höchstens 2 p Mal durchlaufen mit Laufzeit in O( p ) Beim KMP-Algorithmus werden die äußere Schleife und die innere Schleife in Summe höchstens 2 t Mal durchlaufen mit Laufzeit in O( t ) Insgesamt liegt die Laufzeit also in O( p + t ) Die Platzkomplexität liegt in O( p ) 99

20 Zusammenfassung Naïve Suche in Zeichenketten hat Laufzeit in O( p t ), da das Muster ausgehend von jeder Stelle des Textes verglichen wird Algorithmus von Knuth, Morris und Pratt analysiert das Muster vorab und berechnet eine Verschiebungstabelle; damit kann ein Muster mit Laufzeit in O( p + t ) gesucht werden 100

21 Literatur [1] T. H. Cormen, C. E. Leiserson, R. Rivest und C. Stein: Algorithmen Eine Einführung, Oldenbourg Verlag, 2009 (Kapitel 32) [2] G. Saake und K.-U. Sattler: Algorithmen und Datenstrukturen, dpunkt.verlag, 2013 (Kapitel 17) 101