Möglichkeiten und Grenzen der Verwendung von Modulen bei DGS Einsatz

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1 Gert KADUNZ, Klagenfurt Möglichkeiten und Grenzen der Verwendung von Modulen bei DGS Einsatz Zusammenfassung Neben Zugmodus und Ortslinie sind Module das dritte Kriterium, welches dynamische Software zur Geometrie festlegt. Dieser Beitrag beleuchtet die Rolle von Modulen bei DGS Einsatz und schlägt eine Einteilung von Modulen in Bezug auf ihre Verwendung vor. Gleichzeitig weist der Beitrag auf Grenzen der Verwendung von DGS-Modulen hin und präsentiert eine Sicht auf Module, die über DGS hinaus zeigen. DGS und Module 1 Kriterien von DGS Didaktische Literatur verwendet die Bezeichnung DGS (dynamische Geometriesoftware) zur Bestimmung einer Klasse von Computersoftware. In einem Zeitraum von nun mehr als zehn Jahren wurden von DidaktikerInnen, MathematikerInnen und SoftwareentwicklerInnen Vorschläge und Produkte entwickelt, die für das Lehren und Lernen von Geometrie zur Verfügung stehen (Cabri, Euklid, Thales, Geometers Sketchpad, Geolog etc.). Fragt man nach Kriterien, welche diese Programme auszeichnen, ihrer Beschreibung einen Rahmen geben, so schlägt die fachdidaktische Literatur den Zugmodus, die Ortslinie und die Konstruktion von Makros als kennzeichnende Merkmale vor. Wenngleich sich die gerade erwähnten Programme untereinander sowohl in begrifflicher als auch in ergonomischer Hinsicht unterscheiden, gemeinsam ist ihnen allen, dass sie - eine euklidisch geprägte Schulgeometrie und deren traditionellen Werkzeuge auf dynamische Weise modellieren ( Zugmodus ), - eine Sequenz von Konstruktionsbefehlen zu einem neuen Befehl zusammenfassen können ( Makro ), - auf Wunsch die Bahnbewegung von Punkten visualisieren, die in Abhängigkeit zu anderen Punkten stehen ( Ortslinie ). (vgl. Graumann u.a., 1996, S. 197) 1 Eine ausführlichere Zusammenschau von DGS und Überlegungen zur Verwendung von Bildern beim Lernen von Mathematik (Visualisierung) findet man in Kadunz,

2 Die folgenden Ausführungen konzentrieren sich auf die Bedeutung von Makros/Modulen (vgl. Sträßer, 2002; Kadunz, 2001). Auf die Verwendung von Zugmodus und Ortslinie sie auf die entsprechende Literatur verwiesen (vgl. Hölzl, 1994; Schumann, 1991; Sträßer, 1992). Um die Überlegungen zur Modulverwendung mit didaktischen Überlegungen zum Lernen von Geometrie in Beziehung setzen zu können, soll in einem ersten Abschnitt über Ziele des Unterrichts von Geometrie angestellt werden. Ziele des Geometrieunterrichts Blickt man auf die letzten drei Jahrzehnte geometriedidaktischer Diskussion, so zeigen sich in den einschlägigen Publikationen zahlreiche Umorientierungen in der Geometriedidaktik. Dies stellt der oben angeführte Übersichtsartikel von Graumann u.a. fest. Die Orientierung an der Fachwissenschaft, welche die Geometriedidaktik der sechziger und siebziger Jahre prägte (vgl. Graumann, 1996, S. 167), versuchte als Hintergrundtheorie von Lehrgängen mathematische Theorien zu verwenden. An dieser Theorie orientierte sich der Unterrichtsaufbau was Begriffsdefinition, Stoffanordnung und Beweisführung (vgl. Graumann, 1996, S. 167) betrifft. Auf passenden Grundbegriffen und Axiomen sollte ein Lehrgang aufbauen. Mit einer solchen fachwissenschaftlichen Orientierung und der dabei mitgedachten Strenge waren die Ausrichtung und der Aufbau der Lernziele verbunden. Aus allgemeinen Lernzielen sollten spezielle Lernziele und daraus konkrete Lerninhalte deduzierbar sind 2. Die in diesem Zusammenhang damals geführte didaktische Diskussion zeigte aber bald, dass ein solcher Ableitungsstandpunkt nicht erfolgreich ist. Graumann u.a. verweisen hier auf diese Diskussion zusammenfassende Beiträge von H.G. Bigalke (1974 und 1976). Daher wurde das Ziel der stringenten Ableitbarkeit von Lernzielen fallen gelassen und das weichere Aufzeigen der Zweckmäßigkeit von Lernzielen besprochen. Konkrete Unterrichtsinhalte müssen sich als zweckmäßig in Bezug auf bestimmte Lernziele erweisen. Der an einer strengen Axiomatik orientierte Aufbau des Geometrieunterrichts wurde in Folge durch inhaltlich-anschauliche Ansätze (vgl. Wittmann, 1987) oder anwendungs- 2 Allgemeine Lernziele sind im weitesten Sinne Anforderungen, die die Gesellschaft an die Schule richtet. Sie sind nicht fachgebunden. Spezielle Lernziele sind dagegen auf den Fachunterricht und seine Inhalte bezogen. (vgl. Graumann, 1996, S. 168) 2

3 orientierte und gleichzeitig wissenschaftstheoretisch fundierte Vorschläge (vgl. Bender, 1985) ergänzt und abgelöst. So schreibt E. Wittmann im Vorwort zu Elementargeometrie und Wirklichkeit, dass die Wissenschaft Mathematik nur als integraler Bestandteil der menschlichen Kultur einen Sinn hat und dass ihr Bildungswert nicht in ihr selbst, sondern in den Bezügen zu unserer Welt liegt. (vgl. Wittmann, 1987, S.VI) Diese Umorientierung zu neuen Inhalten, neuen Zielen und zusätzlichen Bezugsdisziplinen 3 wird in der Sicht auf Geometrie als Mittel zur Erreichung intellektueller Kompetenzen, zur praktischen Nutzung im Alltag, zur Entfaltung spielerischer Fähigkeiten und zur Entwicklung von Freude an der Mathematik, als Begriffsapparat, als Kulturgut, als Feld für charakteristisches mathematisches Arbeiten. (vgl. Graumann, 1996, S.169) angedeutet. Diesen allgemeinen Formulierungen ist die Sicht auf Geometrie, welche die nachfolgenden Ausführungen leitet, verpflichtet. Als Schwerpunkt aus dieser Liste wird für diese Arbeit das Beweisen als ein Merkmal mathematischen Arbeitens ausgewählt. Vermuten, Experimentieren und Beweisen im Geometrieunterricht Der Begriff Entdeckendes Lernen ist in der Mathematikdidaktik weit verbreitet ist. Für H. Winter steht es in diesem Zusammenhang außer Frage, dass das Lernen von Mathematik an Wirksamkeit gewinnt, falls Fortschritte im Wissen, Können und Urteilen auf eigenen, aktiven Erfahrungen der Lernenden aufbauen (vgl. Winter, 1991, S. 1). Wenn dieses didaktische Prinzip beschrieben und entdeckendes Lernen im Mathematikunterricht angewandt werden soll, so bietet die didaktische Literatur neben anderen Vorschlägen Überlegungen zu einem experimentellen Mathematikunterricht an. Der Begriff einer experimentellen Mathematik ist vielschichtig. Verwendet man ihn im Sinne des Problemlösens, so beschreibt H. Henning das heuristisch-experimentelle Lösen von Aufgaben. Heuristisch-experimentelles Lösen von Aufgaben beinhaltet Tätigkeiten, die sich in folgende Komplexe gliedern lassen: 3 Die extensive Verwendung von Bezugswissenschaften zusätzlich zur Mathematik in der Mathematikdidaktik zeigt sich nicht nur in der Geometrie, sondern in der gesamten Didaktik. 3

4 - Finden einer Lösungsidee (Hypothesenbildung und Ableitung experimentell überprüfbarer Folgeaussagen) - Realisierung der Lösungsidee (Durchführung des Experiments) - Ermitteln und Werten der Lösung (Aussagen über den Wahrheitswert der Hypothese). (vgl. Henning, 1994, S.177f) Eine solche Sicht auf Experimente in der Mathematik ist sehr auf den Entwurf und den Einsatz heuristischer Methoden angewiesen (vgl. Polya, 1995, Innenseite des Einbands). Einen für den Unterricht leichter fassbaren und vom Problemlösen distanzierteren Ansatz bietet die Orientierung dieses Begriffs an seine Verwendung in Naturwissenschaften. Die Mathematik wird auf diesem Weg keine empirische Wissenschaft, erlaubt aber die Erkundung von mathematisch relevanten Fragestellungen auf anschaulichem Niveau. H. Kautschitsch schlägt eine Reihe von Tätigkeiten vor, welche einen experimentellen Zugang zur Mathematik bestimmen können. Er steht mit diesen Ausführungen in der Tradition des operativen Prinzips (vgl. Wittmann, 1985)? Vertraut machen mit der Situation, (Bildliche) Darstellung der Problemstellung. Was kann überhaupt verändert werden?? Betrachten spezieller aufeinander folgender oder simultaner Bilder (Situationen). Was ändert sich, bleibt gleich?? Qualitatives Feststellen einer Beziehung (je mehr..., desto..., immer größer, bleibt gleich). Was ändert sich wie?? Sammeln von Daten durch Messungen. Rechnerische Verknüpfung von gemessenen Daten (eventuell auch willkürliche)? ( Kontinuierliches ) Abändern von einzelnen Bedingungen (in der Vorstellung oder am Computer), Prüfen der Auswirkungen, Aufstellen von Tabellen. Was bleibt invariant?? Feststellen einer funktionalen Abhängigkeit (Beziehung): Induktion.? Überprüfen am Klassenbegriff: Deduktion. Warum ist die spezielle Handlung so durchführbar? Warum immer?? Verallgemeinern und Spezialisieren der neuen Erkenntnis. Für welche Situationen (Lagen) gilt die Beziehung noch? Was gilt in einer speziellen Situation (Lage)? (Vgl. Kautschitsch, 1994, S. 191.) Von diesen Punkten unterstützt DGS durch Einsatz des Zugmodus besonders die Suche nach Invarianten im Geometrieunterricht. Durch beinahe beliebige Veränderung einer geometrischen Konstruktion verschärft die Verwendung des Zugmodus gleichzeitig zwei Fragen beim Lernen von Mathematik. Wie können Lernende eine geometrische Invariante erkennen und wie können Lernende in einem nächsten Schritt diese Invarian- 4

5 te für sich plausibel begründen? Blendet man die erste Frage, die mindestens genauso schwierig zu beantworten 4 ist aus, so sind als Antwort auf die zweite Frage didaktische Vorschläge für geometrisches Begründen zu skizzieren. In scharfer Abgrenzung von abbildungsgeometrischen Methoden eröffnet P. Bender mit stetigen Bewegungen und Verformungen einen Zugang zum anschaulichen Beweisen im Geometrieunterricht der SI (vgl. Bender, 1989). Begründungen von geometrischen Vermutungen, die unter Verwendung solcher Bewegungen und Verformungen durchgeführt werden, sind für Bender anschaulich, weil sie geometrische Argumentationen mit aus dem Alltag bekannten kinematischen Vorstellungen verknüpfen. Bender sieht sieben Funktionen von Bewegungen bei der Durchführung von Beweisen. A. Sie liefern den Beweis selbst (z.b. Existenznachweis mit Stetigkeitsargumenten). B. Sie vertiefen den Glauben an den Beweis, indem sie ihn plausibel bzw. plausibler machen... C. Sie unterstützen die Einsicht in die Allgemeingültigkeit einer Behauptung, indem sie viele Fälle zeigen, Sonderfälle in allgemeine Fälle einbetten (und sie so hervorheben) und überhaupt Übergänge zwischen den Fällen demonstrieren. D. Sie erzeugen Vermutungen, Sätze, Beweisideen, indem sie Veränderungen und Invarianten zeigen... E. Sie visualisieren den Ablauf eines Beweises und strukturieren ihn, indem sie einzelne Beweis stationen verbinden und die Umstrukturierungsoperationen leiten... F. Sie stehen für Handlungen und machen die geometrischen Operationen dadurch zugänglicher, plausibler. G. Sie regen eine allgemeine Sichtweise geometrischer Figuren als beweglich bzw. veränderlich an, die grundsätzlich geometrischen und außergeometrischen Denkweisen förderlich ist. (vgl. Bender, 1989, S. 129) Die Punkte C, D und E werden als Vorbereitung auf die Ausführungen zu DGS unter Berücksichtigung des vorgeschlagenen Visualisierungsbegriffs besprochen. In C meint Bender, dass durch Bewegungen die Einsicht in die Allgemeingültigkeit einer Behauptung unterstützt wird. Verwendet man im Geometrieunterricht DGS, so wird diese Ansicht als eine der Folgen des Zugmodus verstärkt, weil mit dem Zugmodus stetige Bewegungen und Verformungen leicht durchgeführt werden können. Diese 4 Man kann die Lernenden anleiten, Inzidenzen und Parallelitäten zu beobachten. Für komplexere Eigenschaften können Messdaten in Tabellenform und deren Verknüpfungen herangezogen werden. Entsprechende Hinweise und müssen im Unterricht von den Lehrenden angeboten werden, da Invariante für Lernende vorerst nicht sichtbar sind. 5

6 intuitive Einsicht in die Allgemeingültigkeit hat zur Folge, dass eine der Aufgaben eines Beweises, die Sicherung der Gültigkeit einer Behauptung durch Deduktion, an Bedeutung verliert. Im Geometrieunterricht der Zirkel und Lineal verwendet, wird ein geometrischer Satz vorgestellt und meist an wenigen Konstruktionen erkundet. Gilt dieser Satz für beliebige Konfigurationen, welche die Voraussetzung des Satzes erfüllen? Ein Beweis beantwortet diese Frage. Die von Bender angesprochenen stetigen Bewegungen und Verformungen entbinden hier in gewisser Weise die Aufgabe eines Beweises von einer solchen vermeintlich vordringlichen Aufgabe, von der Sicherung der Richtigkeit. Insofern wird dieses Motiv zur Durchführung eines Beweises schwächer. Bei Einsatz von Bewegungen wird an einer Vielzahl von Situationen der Satz beobachtet und seine Aussage sichtbar überprüft. Als Bender 1989 seine Vorschläge formulierte, dachte er an den Einsatz von Filmen, an die Verwendung von Modellen und an die Vorstellungskraft von Lehrenden und Lernenden (vgl. Bender, 1989, S. 129ff). Die Leistungsfähigkeit von aktueller DGS übertrifft in beinahe allen Fällen zumindest Film und Modell und schmälert so das Motiv der Gewissheitssicherung entscheidend. Gleichzeitig eröffnet sich damit aber ein anderes, im Gegensatz zur defensiven Sicherung der Gewissheit, offensiveres Motiv zur Durchführung von Beweisen im Geometrieunterricht. Die Aufdeckung der Ursachen für eine Beobachtung kann als Motiv stärker betont werden. Nicht die Frage, ob die Behauptung gilt, sondern warum sie gilt, wird in den Vordergrund gestellt. Die aktive Einbettung der Beobachtung in eine Theorie wird zum Ziel eines Beweises (vgl. Kadunz, 1996, S. 161; Kautschitsch, 1994, S. 192). Die Punkte D und E beschreiben zwei Phasen im Ablauf eines Beweises. Aus der Spannung von Bewegung und Stillstand (Invarianz) erzeugen Lernende Vermutungen und Beweisideen. Sie konstruieren damit Argumentationen, welche die Ursachen einer Invarianten aufzeigen. Aber wie findet man solche Beweisideen, um zu argumentieren? Verbleibt man auf einer methodischen Ebene, so kann man sich an die oben erwähnten Vorschläge Polyas halten. Als Mathematikdidaktiker zeigt Bender hier einen weiterführenden Weg, wenn er im Punkt E von Darstellung und Strukturierung eines Beweises durch Bewegungen spricht. Bewegungen verbinden einzelne Beweisschritte (Stationen) und Bewegungen können Umstrukturierungen erleichtern. Bei der Durchführung solcher Bewegungen können besondere Lagen hergestellt werden. Soll der Thalessatz begründet werden und wird dazu jener Punkt am Kreis, der als Scheitel eines rechten 6

7 Winkels vermutet wird, so bewegt, dass die Strecken zu den Endpunkten des Durchmessers gleich lang erscheinen, so können in die entstandene Situation gleichschenklige Dreiecke oder auch ein halbes Quadrat hinein gesehen werden. Man könnte in dieser Situation vom Erkennen oder von der Verwendung von Teilen der geometrischen Konstruktion als figurative image schema sprechen, wie es Dörfler vorschlägt. (vgl. Dörfler, 1991). Here the main activity relating the individual to the concrete carrier, and such constituting the image schema, is of a perceptive character. The carrier often shows distinctive features, properties and relations which guide or attract the attention and perceptive activity if the learner such that there is a good chance for developing the appropriate image schema. (vgl. Dörfler, 1991, S. 23). Um aber dieses halbe Quadrat argumentativ verwenden zu können, ist nach der ersten Verwendung als figurative image schema eine neue Verwendung des halben Quadrats notwendig. Mit Dörfler könnte die nächste Verwendung als Konstruktion eines relational image schema beschrieben werden. I have chosen this term to point to those cases where the essential content of the image schema consist of relations constructed at the concrete carrier. Consider the circle whose defining relationship among others - corresponds to rotating a drawing of it in itself by an arbitrary angle or to rotating a line segment which is fixed at one endpoint. It is by these image schemata that a purely figurative understanding of circle is transcended. (vgl. Dörfler, 1991, S. 27) Die durch Bewegungen verursachten Veränderungen einer Konfiguration können für Lernende eine erfolgreiche Hilfe für das Sehen einer Beweisstation sein, die dann im Verweis auf einen bekannten Satz, eine Definition besteht. Bewegungen ermöglichen, sofern auf die Konstruktion Rücksicht 5 genommen wird, die Beobachtung derselben Invarianten in einer neuen Lage, einer neuen Position. Werden im Dreieck besondere Punkte untersucht, so kann bei Bewegung eine Inzidenz in beliebigen Ausprägungen des Dreiecks beobachtet werden. In anderen Zusammenhängen können Geraden als Tangenten an Kurven oder die Gleichheit von Flächeninhalten festgestellt werden. Allerdings wird die Bewegung meist angehalten werden müssen, um die Konfiguration in der jeweiligen Lage beschreiben zu können. Wird ein Satz in eine geometrische Konstruktion gesehen, dann kann ein Teil der Konstruktion mit Hilfe dieses Satzes be- 5 Eine Bewegung oder Verformung darf das Relationengefüge einer geometrischen Konstruktion nicht zerstören. 7

8 schrieben werden. Auf diesem Weg kann sich die Komplexität der Gesamtkonstruktion reduzieren. In der Folge kann mit weiteren Bewegungen nach zusätzlichen Stationen gesucht werden. Bewegungen sind ein Teil einer geometrischen Argumentation, die festgehaltenen geometrischen Teilkonstruktionen sind als geometrische Sätze ein anderer Teil. Allerdings betont Bender, dass der eigentliche Beweis verbal anhand statisch gesehener Zusammenhänge geführt wird. (vgl. Bender 6, 1989, S. 129). Wenn man von Vorschlägen zum Einsatz von Filmen zur Realisierung solcher Bewegungen absieht, wenn man vom spärlichen Einsatz von beweglichen Modellen absieht, so verblieb bei Bender zum Zeitpunkt der Erstellung des Beitrages, aus Mangel an vorhandenen technischer Hilfsmittel, vor allem die gedankliche Vorstellung der stetigen Bewegung bei geometrischen Beweisen. Im Vordergrund stand die physisch unbewegte Darstellung. Durch das Aufkommen von DGS hat das Pendel in die andere Richtung ausgeschlagen. Die Verfügbarkeit von Bewegungen ist durch den Zugmodus in geometrischen Konstruktionen stets vorhanden. Bei Bender war die oft nur gedanklich vorstellbare Bewegung das didaktische Korrektiv zur statischen Darstellung, das den Lernfortgang kaum unterstützt. Die Verwendung des Zugmodus benötigt nun eine komplementäre didaktische Ergänzung. Es ist dies das unbewegte Bild, das Standbild. Es eröffnet die Möglichkeit der Formulierung von Argumenten in Beweisen. Man sieht einen geometrischen Satz. DGS bietet solche Standbilder den Lernenden auf mehrfache Weise an. Im einfachsten Fall wird der Zugmodus angehalten. Darüber hinaus bietet DGS die Zusammenfassung von Konstruktionsschritten zu einem Modul, welches in die Konstruktion eingesetzt wird und die Aufgabe eines zumindest vorläufig festen Bildes übernimmt. Solche Module unterstützen gleichzeitig die Vorstellung, dass geometrische Sätze in eine Konstruktion gesehen werden können. Mit ihnen wird in geometrischen Konfigurationen argumentiert. Darüber berichten die nächsten Abschnitte. Dazu kehren die Ausführungen wieder zur Beschreibung von DGS zurück. 6 Bender folgt hier einer Argumentation K. Boeckmanns, der über die Bedeutung des Standbildes im Verhältnis zum bewegten Bild schreibt. Nach dieser Auffassung wird eine Sache erst dann der Erkenntnis zugänglich, wenn sie aus dem Strom des Geschehens herausgegliedert wird. Eine Reihe basaler Er- 8

9 Module Ein Vorschlag, um über Module sprechen zu können, liegt im Aufzeigen ihrer Verwendung. Dieser Linie folgen die verbleibenden Ausführungen. Module werden dabei in ihrer Verwendung zur Konstruktion und zur Analyse von geometrischen Konfigurationen untersucht. Es wird nun argumentiert, dass Module, die von DGS zur Verfügung gestellt werden, überwiegend zur Konstruktion eingesetzt werden (synthetischer Aspekt). Im Ergänzung dazu scheinen auf dem Felde des Beweisens und Argumentierens Module geeignet, die sich kaum mit DGS realisieren lassen. Module synthetisch Bei der Bearbeitung von geometrischen Fragestellungen kommt Modulen bei ersten Überlegungen die Aufgabe der Reduktion des konstruktiven Aufwandes zu. Eine handwerklich anspruchsvolle Konstruktion wird durch Einsatz von Modulen überblickbarer. Abb. 1 zeigt eine Parkettierung der Ebene. Die Konstruktion im linken Teilbild wurde mit Modulen durchgeführt. Das rechte Teilbild zeigt alle Konstruktionsschritte. Diese Verwendung von Modulen zur Reduktion des Aufwandes verlangt, dass Lehrende und Lernende Planung und Durchführung von Lernen neu organisieren. Nicht die aufwändige Durchführung der Konstruktion wird zum Ziel des Unterrichts, sondern Kenntnisse Abb. 1 um die verwendbaren Module, die zu Werkzeugen der Geometrie werden....die Verfügbarkeit von Moduln am Computer erfordert eine Reorganisation der mathematischen Tätigkeit. (vgl. Dörfler, 1991, S. 73). Die Verwendung von Modulen zur bequemeren und damit auch fehlerfreieren Durchführung einer Konstruktion kann als synthetische Aufgabe von Modulen bezeichnet werden. Wenn überhaupt nur die mechanische Ausführung einer Konstruktion gefragt ist, dann werden solche synthetischen Module unter dem Aspekt der Quantität gesehen. Über den quantitativen Aspekt hinaus geht die Verwendung von Modulen, kenntnisleistungen zeichnet sich gerade dadurch aus, dass sie der Veränderung, der Bewegung, der zeitlichen Komponente entkleidet werden. (vgl. Boeckmann, 1984, S. 20f) 9

10 wenn diese in Konstruktionen eingesetzt werden, die unter Verwendung des Zugmodus die experimentelle Erkundung von Begriffen unterstützen. Dies kann bei Erkundung Abb. 2 und Verwendung von Abbildungen beobachtet werden. Untersuchen Lernenden mit DGS die Spiegelung am Kreis, so können sie sukzessive Punkt, Gerade und Kreis am Inversionskreis spiegeln und entsprechende Module mit der Software erzeugen. Diese stehen dann innerhalb der Software zur Verfügung und erlauben die Beobachtung zentraler Eigenschaften der Inversion. Dabei soll auf einen didaktisch wichtigen Punkt bei der Verwendung von Modulen hingewiesen werden. Zur erfolgreichen Verwendung von Modulen muss der innere Aufbau des Moduls nicht bekannt sein. Von Interesse sind vor allem Kenntnisse über die Schnittstellen des Moduls, im speziellen ist Wissen über die Wirkung des Moduls von Bedeutung. So berichtet W. Lindner (vgl. Lindner, 1999) in einem Beitrag über 17 Bildkonstruktionen zur Inversion am Kreis. Diese überraschende Zahl hat aber auch zur Folge, dass eine einzelne Konstruktion an Bedeutung verliert. Lernende benötigen i.a. detaillierte Kenntnis über die Herstellung der Bildpunktkonstruktion nicht. Sie sollen die Inversion als Abbildung kennen lernen und dabei die Abbildung und nicht die Konstruktion der Abbildung an einer Anzahl interessanter geometrischer Objekte erkunden. Dann können mit entsprechenden Inversionsmodulen (Inversion eines Punktes, Kreises, Geraden ) auch Kurven invertiert werden. Abb. 2 zeigt Inversionsbilder (Pascalsche Schnecken) von Kegelschnitten. Der Inversionskreis besitzt seinen Mittelpunkt im Brennpunkt des Kegelschnitts. Im Fall der Inversion der Hyperbel entsteht ein Doppelpunkt, in welchem die Asymptoten der Hyperbel zu Tangenten an die Bildkurve wer- 10

11 den. Hier eignet sich die Inversion, um den für Lernende schwer zu fassenden Begriff eines Fernpunktes eine Bedeutung zu verleihen. Das Bild des Fernpunktes wird zum Zentrum der Betrachtungen. Variiert man die Ausgangskurve, dann können Änderungen an der Bildkurve beobachtet werden. Die dabei verwendeten Module sind mit dem Zugmodus Ursache für eine neue Sicht auf die Konstruktion. Die Konstruktion erhält aus der Sicht der Lernenden eine neue Qualität 7. In diesem Sinne kann die Verwendung synthetischer Module einen qualitativen Aspekt zugesprochen werden. Module analytisch Im Sinne von W. Dörfler zeichnen sich kognitive Leistungen durch die Verfügbarkeit eines hochgradig strukturierten Wissens (großer Breite) aus, in dem gewisse große Wissenseinheiten ( chunks ) global und direkt zugänglich und operativ einsetzbar sind. (vgl. Dörfler, 1991, S.71). Abb. 3 Kann die Idee der synthetisch zu nutzenden DGS Module in diesem Sinne gesehen werden? Oder anders gefragt, kann die mathematische Tätigkeit des Beweisens, welche im wesentlichen Aussagen auf bekannte Sätze zurückführt, mit synthetischen Modulen geleistet werden? In Einzelfällen kann dies möglich sein. Im Regelfall ist aber die Führung eines Beweises eher die Zerlegung einer Konfiguration in Teilfiguren, eine Analyse der Konfiguration. Dazu eignen sich DGS Module weniger, zumal sie nicht als geometrische Figuren, sondern als Menüeinträge vorhanden sind. Darüber hinaus besteht die Suche nach Teilfiguren vor allem in der Suche nach einschlägigen Sätzen in Konfigurationen. Und solche Sätze werden kaum bei der Durchführung einer Konstruktionsaufgabe verwendet, also auch keine Module in synthetischem Gebrauch sein. Man kann aber, motiviert durch die Idee des Moduls, Lernenden geometrische Sätze in Form von besonderen Figuren zur Verfügung stellen. Dies ist dann eine Sammlung von Modulen, von geometrischen Zeichen, die jeweils einen geometrischen Satz darstellen. Mit einem solchen Vorrat an Zeichen ist es möglich, geo 7 Ein weiteres Kriterium zeichnet DGS Module in synthetischer Verwendung aus. Sie sind Konstruktionsbefehle innerhalb der DGS. Aus einem Menüsystem können sie per Namen eventuell in Verbindung 11

12 Definitionen Die Streckensymmetrale einer Strecke AB ist die Menge aller Punkte, die von A und B den gleichen Abstand besitzen. Satz In jedem Dreieck beträgt die Summe der Maße der Innenwinkel 180?. Die Winkelsymmetrale ist die Menge aller Punkte eines Winkels, die von den Schenkeln des Winkels den gleichen Abstand haben. Kehrsatz Beträgt in einem beliebigen n- Eck die Summe der Maße der Innenwinkel 180?, so ist n gleich 3. Wenn in einem Dreieck zwei Winkel gleich weit sind, dann sind die beiden gegenüber liegenden Seiten gleich lang. Wenn in einem Dreieck zwei Seiten gleich lang sind, dann sind die gegenüber liegenden Winkel gleich weit. Abb. 4 metrische Konfigurationen zu untersuchen und Sätze zu beweisen. Abb. 4 zeigt beispielhaft eine Sammlung von geometrischen Sätzen, die von Lernenden zur Analyse von geometrischen Konfigurationen verwendet werden können. Dieser Vorrat wurde im Rahmen einer Untersuchung 8 mit Lernenden erprobt. Ein Beispiel der Schulgeometrie, welches im Unterricht meist nur mit Mitteln der Linearen Algebra bearbeitet wird, liegt vor, wenn der Höhenschnittpunkt eines Dreieckes an mit einem Menüzeichen aufgerufen werden. Damit sind Lernende gleichsam gezwungen, Konstruktionsschritte mit Namen zu versehen. 8 Im Jahr 2001 veranstaltete die Universität Klagenfurt gemeinsam mit dem Landesschulrat für Kärnten und dem Pädagogischen Institut des Bundes in Kärnten ein Talente-Camp. Im Kurs Experimentelle 12

13 den Dreieckseiten gespiegelt wird. Die Bilder des Höhenschnittpunktes liegen auf dem Umkreis des Dreieckes. Abb. 3 zeigt den Höhenschnittpunkt H und die Punkte H a, H b und H c. Sie liegen auf dem Umkreis. Zumindest bietet das mit DGS erzeugte Bild diesen Anschein. Variiert man das Dreieck ABC, so ist in allen Konfigurationen dieser Sachverhalt zu bemerken. Wie kann diese Beobachtung in einen geometrischen Kontext eingefügt werden. Weil der Höhenschnittpunkt an allen drei Seiten in gleicher Weise gespiegelt wurde, genügt es, einen dieser gespiegelten Punkte zu betrachten und zu besprechen. Damit gewinnt die Konfiguration soviel an Übersicht, dass die Punkte H H a und C als Eckpunkte Abb. 5 eines Dreiecks sichtbar werden (vgl. Abb. 5). Nun weiß man aber nicht, ob H a auf dem Umkreis liegt. In dieser Situation bleibt nichts anderes übrig, als einen Punkt zu konstruieren, der auf dem Umkreis liegt. Allerdings kann man nicht sicher sein, dass er das Spiegelbild von H an der Seite BC ist. Wenn aber die Höhe durch A mit dem Umkreis zum Schnitt bringen, dann entstehen sicher zwei Punkte, die auf dem Umkreis liegen, nämlich A und H a. Wenn man zeigen kann, dass H a mit dem Punkt H a identisch ist, dann ist die Behauptung gezeigt. Die erste geometrische Figur aus einem Zeichenvorrat, die dem Lernenden hilft, ist das Dreieck HH a C. Ist es gleichschenklig? In der Figur eines gleichschenkligen Dreiecks sind die Basiswinkel gleich. Um eine Idee zur Prüfung der Winkel zu erhalten, kann nochmals mit dem Zugmodus das Dreieck variiert werden. Dabei wird ausdrücklich das Dreieck HH a C beobachtet. Wird die Ecke B bewegt, so bleibt H a auf dem Umkreis, genauer auf einem Bogen des Umkreises. Die geometrische Figur die einen Zusammenhang zwischen Winkel und Bogen beschreibt, ist die Figur des Randwinkelsatzes aus dem Zeichenvorrat, der wie ein geometrisches Formelheft Lernenden zu Verfügung steht. Betrachtet man Abb. 6, so liegt auch der Eckpunkt B gemeinsam mit H a auf einem Bogen über dem Bogen AB. Nach dem Satz vom Umfangswinkel muss also? ABC =?AH a C gelten. Zur Bestimmung der Gleichheit der Winkel? CHF a und? ABC helfen rechtwinkelige Dreiecke, die unter Verwendung der Höhen in der Konstruktion gesehen Computergeometrie (H. Kautschitsch, G. Kadunz) konnten Lernende geometrische Fragestellungen mit DGS und solchen Sammlungen geometrischer Sätze bearbeiten. 13

14 werden. Damit ist die Behauptung gezeigt. Die Bearbeitung dieses Beispiels zeichnet sich durch ein Wechselspiel zwischen Zugmodus und Modulverwendung aus. Die Variation der Figur erzeugt Situationen, die an spezielle geometrische Sätze erinnern können. H a CH erinnert an ein gleichschenkliges Dreieck, die Bewegung von H a auf dem Umkreis erinnert mit den Punkten A und C an den Satz vom Umfangswinkel. Durch den Gebrauch dieser Figuren wird die Beschreibung der Konfiguration gelenkt und eine Begründung geleistet. Dabei verringert sich die Komplexität der Konfiguration durch die geometrischen Zeichen, während der Zugmodus die Figur so Abb. 6 beweglich macht, dass weitere geometrische Zeichen gesehen werden. Lernende sehen die Figur immer unter neuen Gesichtspunkten. Sie halten Teilbeziehungen fest, wenn sie ein geometrisches Zeichen erkennen, sie variieren, wenn sie nach einem Zeichen, einem Modul suchen. Dieser Perspektivenwechsel ist auch Kennzeichen für eine spezielle Sicht von Visualisierung (vgl. Kadunz, 2000). Zusammenfassung Insgesamt scheinen aus dieser Sicht Zugmodus und Module eng miteinander verzahnt zu sein. Auf der Ebene der synthetischen Modulverwendung ist der Zugmodus unverzichtbarer Bestandteil der Vermutungsfindung. Module helfen bei der Erstellung von komplexen Konfigurationen und unterstützen damit deren Untersuchung. In Beweisen werden Module als geometrische Zeichen auch in anderer Weise verwendet. Der Zugmodus, der eine Konstruktion variiert, erzeugt Konfigurationen, welche zur Verwendung spezieller geometrischer Sätze (vgl. den oben vorgestellten Vorrat an geometrischen Sätzen) motivieren. Damit kann eine vorerst noch unbekannte geometrische Situation Schritt für Schritt beschrieben werden. Insgesamt kann man feststellen, dass Zugmodus und Modulverwendung einander ergänzen. 14

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