Stufen des Begriffsverständnisses (vgl. van-hiele-schema)

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1 Stufen des Begriffsverständnisses (vgl. van-hiele-schema) intuitives Begriffsverständnis: Kenntnis einfacher Beispiele, Vergleich auf der Ebene von Formulierungen wie sieht aus wie inhaltliches Begriffsverständnis: Angabe von Beispielen, Möglichkeit der Zuordnung (trifft zu/trifft nicht zu) aufgrund begriffsbestimmender Eigenschaften integriertes Begriffsverständnis: Angabe von Unter-/Oberbegriffen, Sätzen, Zusammenhängen, definierende Eigenschaften kennen und anwenden formales Begriffsverständnis: Angabe (verschiedener) formaler Definitionen im Rahmen einer axiomatisierten Theorie Nachweis der Äquivalenz u.ä.

2 Definitionen (1) Allgemein unterscheidet man zwischen Realdefinition: Definition durch Oberbegriff und spezifisches (aussonderndes) Merkmal (oder Verfahren). Bsp.: Ein Trapez ist ein Viereck, das mindestens ein Paar parallele Seiten hat. Konventionaldefinition: Angabe einer oder mehrerer Bedingungen. Bsp.: Wenn eine Figur vier Seiten hat, so ist sie ein Viereck. genetische Definition: Beschreibung der Entstehung oder Konstruktion eines Repräsentanten. Bsp.: Zeichnet man alle Punkte, die von einem festen Punkt gleich weit entfernt sind, so entsteht ein Kreis.

3 Definitionen (2) Bei mathematischen Definitionen (in denen meist ist durch heißt ersetzt wird) gibt es darüber hinaus folgende Unterscheidung (vgl. Holland, S. 167): Informelle Definition: Bezugnahme auf außermathematische Begriffe bzw. Verfahren Bsp.: Ein Vieleck heißt konvex, falls es keine einspringenden Ecken hat. Formale Definition: Bezugnahme auf ausschließlich mathematische Begriffe bzw. Verfahren Bsp.: Ein Vieleck heißt konvex, falls es keine überstumpfen Innenwinkel besitzt.

4 Arten des Begriffserwerbs (1) Begriffserwerb durch Spezifikation aus einem Oberbegriff a) aufgrund einer Definition (s.o.): Definition wird an vorgelegten Figuren getestet (trifft zu/trifft nicht zu), so dass die Menge gültiger Repräsentanten schrittweise erweitert wird. b) durch Auswahl aus einer vorgelegten Menge von Repräsentanten des Oberbegriffs (Beispiele und Gegenbeispiele): Das Ziel besteht darin, dass die Schüler selber durch (extensionale) Abstraktion das (die) entscheidende(n) Merkmal(e) für eine eventuelle Definition herausfinden. [Zur Beachtung: Franke (2000) versteht hierunter nur das Verfahren unter a), b) bezeichnet sie als Begriffserwerb durch Abstrahieren!] Vorteile: Schulung auch des sprachlichen Wissens im Hinblick auf die Einübung von Begriffshierarchien. Die Variante b) betont hierbei das entdeckende Lernen, während a) sehr stark formal ansetzt. Beide Vorgehensweisen sollten nicht in Reinform angewendet werden; in der Regel wird man sie mischen, ggf. mit Schwerpunktsetzung.

5 Arten des Begriffserwerbs (2) Konstruktiver Begriffserwerb Wenn kein geeigneter Oberbegriff zur Verfügung steht, bietet sich der konstruktive Zugang an. In der Grundschule kann er gewählt werden, weil die der Begriffshierarchie zugrundeliegende Denkfähigkeit die Kinder noch überfordert. Hierbei wird durch Handlung (Herstellung) eine Vorstellung des Objekts erzeugt. Beispiele: Lege mit 4 Stäbchen, von denen jeweils 2 gleichlang sind, ein Viereck. ; aus der Sekundarstufe: Konstruktion von Strecken als Verbindungsstrecke zweier Punkte, Konstruktion eines Kreises mit dem Zirkel aus gegebenem Mittelpunkt und Radius. Vorteile: Eigenschaften werden dauerhaft als Wissen aufgenommen, da handelnd erworben.

6 Arten des Begriffserwerbs (3) Begriffserwerb durch intensionale Abstraktion Bei fehlendem Oberbegriff und schlechter Konstruierbarkeit (zumindest im Rahmen des Schulunterrichts) bleibt nur noch diese Möglichkeit. Es wird dabei evtl. eine informelle Definition gegeben sowie Beispiele und Gegenbeispiele, anhand derer die spezifischen Merkmale klargemacht werden. Bsp.: Pyramide. Die formale Definition ( Ein Polyeder, dessen Grundfläche ein Vieleck ist und dessen Seitenflächen Dreiecke sind, die in einem Punkt, der Spitze, zusammenlaufen, heißt Pyramide. ) muss Schülern nicht unbedingt zugemutet werden. Trotzdem kann die Vorgehensweise klargemacht werden, bei der eine Pyramide entsteht. Typischerweise entstehen Alltagsbegriffe (Stuhl, Tisch, Haus) durch intensionale Abstraktion.

7 Arten des Begriffserwerbs (4) Begriffserwerb durch Idealisierung und Komplettierung Diese Art des Begriffserwerbs spielt in der Grundschule kaum eine Rolle, da sie sehr abstrakt ist. Man kann jedoch zu Beginn der Sekundarstufe I erste Annäherungen daran anstreben. Bsp.: Punkt, Gerade, Ebene Ein Punkt wird idealisiert als ausdehnungslos, Gerade und Ebene werden komplettiert als ins Unendliche ausgedehnt. Diese Begriffsbildung findet statt im Rahmen der axiomatischen Vorgehensweise der Geometrie. Dort spricht man von Punkten, Geraden und Ebenen, ohne vorher explizit festzustellen, was man darunter verstehen will. Die Angabe der Relationen zwischen den Objekten (den Axiomen, z.b. Durch zwei verschiedene Punkte verläuft genau eine Gerade. ) legt diese implizit so weit fest, wie es für die Zwecke der Theorie (bzw. des Mathematikers) nötig ist.