Geometrie in der Sekundarstufe

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1 Gerhard Holland Geometrie in der Sekundarstufe Didaktische und methodische Fragen 2. Auflage Spektrum Akademischer Verlag Heidelberg Berlin Oxford

2 Inhaltsverzeichnis Einleitung 1 Ziele, Inhalte und Stoffanordnung 1.1 Inhaltsziele und Prozeßziele Verschiedene Aspekte von Geometrie Geometrie als Lehre vom Anschauungsraum Geometrie als Beispiel einer deduktiven Theorie Geometrie als Übungsfeld für Problemlösen Geometrie als Vorrat mathematischer Strukturen Bedeutung der Aspekte für den Geometrieunterricht Inhalte des Geometrieunterrichtes Orientierung des Geometriecurriculums an einer Hintergrundstheorie Lehrstoffanalyse und Lehrzielauswahl Operationalisierung von Lehrzielen ' Zur technischen Durchführung einer Lehrstoffanalyse Kriterien zur Auswahl von Lehrzielen Strukturierung des Lehrstoffs Strukturierung des Curriculums als Sequenz von Lerneinheiten Systemorientierte Lehrstoffsequentierung Am Lernprozeß orientierte Lehrstoffsequentierung Strukturierung mit Hilfe von Lernhierarchien Beispiele für verschiedene Sequentierungen eines Themenblocks Spiralige Lehrstoffstrukturierung 32 2 Beweisen 2.1 Beweis und Beweisdarstellung 33.1 Darstellung eines Beweises als Sequenz von Beweisschritten 33.2 Beweisgraph eines Beweises 35.3 Lücken in einem Beweis 35.4 Beispiel für einen fehlerhaften Beweis 37.5 Güte eines Beweises 38.6 Ausführlichkeit eines Beweises 41.7 Beweisdarstellung bei Wenn-Dann-Aussagen Lokales Ordnen Beweisanalyse Äquivalenz zweier Definitionen Reduktion eines Satzsystems 45

3 2.3 Motive zum Beweisen im Geometrieunterricht Beweisen unter dem Anwendungsaspekt der Geometrie Beweisen unter dem deduktiven Aspekt der Geometrie Beweisen unter dem strukturellen Aspekt der Geometrie Beweisen unter dem Aspekt des Problemlösens Motivieren zum Beweisen Niveaustufen des Beweisens und des Beweisverständnisses Stufe des Argumentierens Stufe des inhaltlichen Schließens Stufe des formalen Schließens Bewertung der Niveaustufen des Beweisens Spezielle Beweismethoden, Indirekte Beweise Kongruenzmethode und Abbildungsmethode Spiegelungsmethode Vektormethode 65 3 Konstruieren 3.1 Geometrische Konstruktionen und ihre Darstellung Beispiel einer Konstruktionsaufgabe Anfangs- und Zielkonfiguration einer Konstruktionsaufgabe Lösungen einer Konstruktionsaufgabe Konstruktionsbeschreibung Durchführbarkeit einer Konstruktion Richtigkeit einer Konstruktion Fallunterscheidungen Geometrische Konstruktionen als Existenzbeweise Die didaktische Bedeutung von Konstruktionsaufgaben Grundkonstruktionen Merkmale einer Grundkonstruktion Grundkonstruktionen mit Zirkel und Lineal Grundkonstruktionen mit dem Geodreieck Schnittpunkte und Punktauswahl Einschränkung der Konstruktionsmittel auf Zirkel und Lineal Konstruieren mit dem Computer Der Computer als Medium zum Konstruieren Vorteile des Mediums Computer Beispiel einer Lernsequenz mit GEOLOG 85

4 4 Problemlösen Klassifikation geometrischer Problemaufgaben Berechnungsprobleme Lösungen eines Berechnungsproblems Weitere Beispiele für Berechnungsprobleme Nur mit Gleichungen lösbare Berechnungsprobleme Lösungsfindung durch Vorwärtsarbeiten Lösungsfindung durch Rückwärtsarbeiten Lösungsfindung durch Lösen eines Gleichungssystems Aufgabenklassen für das Problemlösetraining Voraussetzungen für die erfolgreiche Problemlösung Beweisprobleme Beispiel eines Beweisproblems Beweisfindung durch Vorwärtsarbeiten Vorwärtsarbeiten mit Umstrukturieren Beweisfindung durch Rückwärtsarbeiten Beweisfindung durch Lösen eines^berechnungsproblems Beweisfindung durch Lösen eines Spezialfalles Aufgabenklassen für das Lösen von Beweisproblemen Konstruktionsprobleme Problemanalyse Lösungsfindung durch Fortlassen einer Bedingung Lösungsfindung durch Konstruktion einer Teilfigur Lösungsfindung durch Reduktion auf ein Berechnungsproblem Konstruktionsprobleme im Geometrieunterricht der Sek I Computerunterstützung bei geometrischen Problemaufgaben Aufgabenorientierte tutorielle Systeme Lösen von Beweis-und Berechnungsaufgaben mit GEOBEWEIS Lösen von Konstruktionsaufgaben mit GEOKON Lehrerschnittstelle zur Erzeugung von Aufgabensequenzen Zum Einsatz tutorieller Systeme im Unterricht Entdeckendes Lernen 5.1 Lernsequenzen zum entdeckenden Lernen Darbietendes und entdeckendes Lernen Vergleich der beiden Unterrichtsformen Weitere Beispiele für Lernsequenzen zum entdeckenden Lernen Zusammenfassende Charakterisierung 146

5 5.2 Methoden zur Satz-und Beweisfindung Induktive Satzfindung Analyse einer Konfiguration Lösen eines Konstruktionsproblems Lösen eines Berechnungsproblems Vergleich und Bewertung der vier Methoden Begriffserwerb 6.1 Einteilung geometrischer B egriffe Inhaltliche Gesichtspunkte Logische Gesichtspunkte Axiomatische Gesichtspunkte Strukturelle Gesichtspunkte Figurenbegriffe Figuren als Punktmengen Repräsentation geometrischer Figurenbegriffe Begriffserwerb durch Spezifikation aus einem Oberbegriff Konstruktiver Begriffserwerb Begriffserwerb durch intensionale Abstraktion Begriffserwerb durch Idealisierung und Komplettierung Stufen des Begriffsverständnisses Abbildungsbegriffe Abbildungen als Punkt-Punkt-Zuordnungen der Ebene Repräsentation geometrischer Abbildungsbegriffe Konstruktiver Begriffserwerb Begriffserwerb durch Verketten von Abbildungen Begriffserwerb durch Spezifikation aus einem Oberbegriff Deduktiver Begriffserwerb Stufen des Begriffsveständnisses Maßbegriffe Funktionscharakter der Maßbegriffe Stufe des Zählens und Messens Stufen des Begriffsverständnisses 192