Unentscheidbarkeit des Halteproblems: Unterprogrammtechnik

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1 Unentscheidbarkeit des Halteproblems: Unterprogrammtechnik Prof. Dr. Berthold Vöcking Lehrstuhl Informatik 1 Algorithmen und Komplexität RWTH Aachen Oktober 2011 Berthold Vöcking, Informatik 1 () Vorlesung Berechenbarkeit und Komplexität Oktober / 16

2 Wdh: Unentscheidbarkeit der Diagonalsprache Die Diagonalsprache: D = { w {0, 1} w = w i und M i akzeptiert w nicht}. Satz: Die Diagonalsprache D ist nicht rekursiv. Beweisansatz: Diagonalisierung Berthold Vöcking, Informatik 1 () Vorlesung Berechenbarkeit und Komplexität Oktober / 16

3 Unentscheidbarkeit des Komplements der Diagonalsprache Das Komplement zur Diagonalsprache ist Satz: D = { w {0, 1} w = w i und M i akzeptiert w} Das Komplement D der Diagonalsprache ist nicht rekursiv. Beweis: Zum Widerspruch nehmen wir an, es gibt eine TM M D, die die Sprache D entscheidet. Gemäß der Def rekursiver Sprachen hält M D auf jeder Eingabe w und akzeptiert genau dann, wenn w D. Wir konstruieren nun eine TM M, die M D als Unterprogramm verwendet: M startet M D auf der vorliegenden Eingabe und negiert anschließend die Ausgabe von M D. Die TM M entscheidet nun offensichtlich D. Ein Widerspruch zur Unentscheidbarkeit von D. Berthold Vöcking, Informatik 1 () Vorlesung Berechenbarkeit und Komplexität Oktober / 16

4 Unentscheidbarkeit des Komplements der Diagonalsprache Illustration: Aus M D konstruieren wir M D. M D w M D accept reject accept reject Aber die Existenz von M D steht im Widerspruch zur Unentscheidbarkeit von D. Damit kann es M D nicht geben, und D ist nicht entscheidbar. Berthold Vöcking, Informatik 1 () Vorlesung Berechenbarkeit und Komplexität Oktober / 16

5 Unterprogrammtechnik Die Beweistechnik aus diesem Satz lässt sich allgemein wie folgt zusammenfassen: Unterprogrammtechnik zum Nachweis von Unentscheidbarkeit Um nachzuweisen, dass eine Sprache L nicht rekursiv ist, genügt es zu zeigen, dass man durch Unterprogrammaufruf einer TM M L, die L entscheidet, ein anderes Problem L entscheiden kann, das bereits als nicht rekursiv bekannt ist. Im Folgenden üben wir die Unterprogrammtechnik an einigen Beispielsprachen, die auch das Halteproblem umfassen. Berthold Vöcking, Informatik 1 () Vorlesung Berechenbarkeit und Komplexität Oktober / 16

6 Das Halteproblem Das Halteproblem ist wie folgt definiert H = { M w M hält auf w}. Berthold Vöcking, Informatik 1 () Vorlesung Berechenbarkeit und Komplexität Oktober / 16

7 Unentscheidbarkeit des Halteproblems Satz: Das Halteproblem H ist nicht rekursiv. Beweis: Wir nutzen die Unterprogrammtechnik: Sei M H eine TM die H entscheidet, also eine TM, die auf jeder Eingabe hält, und nur Eingaben der Form M w akzeptiert, bei denen M auf w hält. Wir konstruieren eine TM M D mit M H als Unterprogramm, die D entscheidet, was im Widerspruch zur Nicht-Berechenbarkeit von D steht. Aus diesem Widerspruch ergibt sich die Unmöglichkeit der TM M H. Berthold Vöcking, Informatik 1 () Vorlesung Berechenbarkeit und Komplexität Oktober / 16

8 Unentscheidbarkeit des Halteproblems Forts. Beweis Algorithmus der TM M D mit Unterprogramm M H : 1) Auf Eingabe w, berechne i, so dass gilt w = w i. 2) Berechne nun die Gödelnummer der i-ten TM, also M i. 3) Jetzt starte M H als Unterprogramm mit Eingabe M i w. 3.1) Falls M H akzeptiert, so simuliere das Verhalten von M i auf w (genau wie die universelle TM U dies tun würde). 3.2) Falls M H verwirft, so verwirf die Eingabe. Berthold Vöcking, Informatik 1 () Vorlesung Berechenbarkeit und Komplexität Oktober / 16

9 Unentscheidbarkeit des Halteproblems Illustration: Aus M H konstruieren wir M D. w M D <M i> w i w=w i M H <M i> w i accept U accept reject reject Aber die Existenz von M D steht im Widerspruch zur Unentscheidbarkeit von D. Damit kann es M H nicht geben, und das Halteproblem H ist nicht entscheidbar. Berthold Vöcking, Informatik 1 () Vorlesung Berechenbarkeit und Komplexität Oktober / 16

10 Unentscheidbarkeit des Halteproblems Forts. Beweis Wir müssen zeigen, dass M D korrekt arbeitet. Für die Korrektheit ist zu zeigen: 1 w D M D akzeptiert w 2 w D M D verwirft w Berthold Vöcking, Informatik 1 () Vorlesung Berechenbarkeit und Komplexität Oktober / 16

11 Unentscheidbarkeit des Halteproblems Forts. Beweis Sei w = w i. Es gilt w D M i akzeptiert w i M H und U akzeptieren M i w i M D akzeptiert w. w D M i akzeptiert w i nicht ( M i hält nicht auf w i ) oder ( M i verwirft w i ) ( M H verwirft M i w i ) oder ( M H akzeptiert und U verwirft M i w i ) M D verwirft w. Berthold Vöcking, Informatik 1 () Vorlesung Berechenbarkeit und Komplexität Oktober / 16

12 Unentscheidbarkeit des speziellen Halteproblems Das spezielle Halteproblem ist definiert durch H ɛ = { M M hält auf Eingabe ɛ}. Satz: Das spezielle Halteproblem H ɛ ist nicht rekursiv. Beweis: Wir nutzen die Unterprogrammtechnik. Aus einer TM M ɛ, die H ɛ entscheidet, konstruieren wir eine TM M H, die das nicht rekursive Halteproblem entscheiden würde. Berthold Vöcking, Informatik 1 () Vorlesung Berechenbarkeit und Komplexität Oktober / 16

13 Unentscheidbarkeit des speziellen Halteproblems Beweis Die TM M H mit Unterprogramm M ɛ arbeitet wie folgt 1) Falls die Eingabe nicht mit einer korrekten Gödelnummer beginnt, verwirft M H die Eingabe. 2) Sonst, also auf Eingaben der Form M w, berechnet M H die Gödelnummer einer TM M w mit den folgenden Eigenschaften. Eigenschaften von M w Falls M w die Eingabe ɛ erhält, so schreibt sie das Wort w aufs Band und simuliert die TM M mit der Eingabe w. Bei anderen Eingaben kann sich M w beliebig verhalten. 3) M H startet nun M ɛ mit der Eingabe M w und akzeptiert (verwirft) genau dann, wenn M ɛ akzeptiert (verwirft). Berthold Vöcking, Informatik 1 () Vorlesung Berechenbarkeit und Komplexität Oktober / 16

14 Unentscheidbarkeit des speziellen Halteproblems Illustration: Aus M ɛ konstruieren wir M H. M H x <M> w accept <M * w > M ε accept reject reject (Syntax) Aber die Existenz von M H steht im Widerspruch zur Unentscheidbarkeit von H. Damit kann es M ɛ nicht geben, und das spezielle Halteproblem H ɛ ist nicht entscheidbar. Berthold Vöcking, Informatik 1 () Vorlesung Berechenbarkeit und Komplexität Oktober / 16

15 Unentscheidbarkeit des speziellen Halteproblems Beweis Wir müssen zeigen, dass M H korrekt arbeitet. Falls die Eingabe x nicht von der Form x = M w ist, so verwirft M H die Eingabe. Wir gehen nun davon aus, dass eine Eingabe der Form x = M w vorliegt. Für die Korrektheit ist somit noch zu zeigen: 1 M w H M H akzeptiert M w 2 M w H M H verwirft M w Berthold Vöcking, Informatik 1 () Vorlesung Berechenbarkeit und Komplexität Oktober / 16

16 Unentscheidbarkeit des speziellen Halteproblems Beweis M w H M hält mit Eingabe w Mw hält mit der Eingabe ɛ M ɛ akzeptiert Mw M H akzeptiert M w. M w H M hält nicht mit Eingabe w Mw hält nicht mit der Eingabe ɛ M ɛ verwirft Mw M H verwirft M w. Berthold Vöcking, Informatik 1 () Vorlesung Berechenbarkeit und Komplexität Oktober / 16