Geometrie auf der Kugel

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1 Geometrie auf der Kugel

2 Mathematik Primarstufe und Sekundarstufe I + II Herausgegeben von Prof. Dr. Friedhelm Padberg, Universität Bielefeld, und Prof. Dr. Andreas Büchter, Universität Duisburg-Essen Bisher erschienene Bände (Auswahl): Didaktik der Mathematik P. Bardy: Mathematisch begabte Grundschulkinder Diagnostik und Förderung (P) C. Benz/A. Peter-Koop/M. Grüßing: Frühe mathematische Bildung (P) M. Franke/S. Reinhold: Didaktik der Geometrie (P) M. Franke/S. Ruwisch: Didaktik des Sachrechnens in der Grundschule (P) K. Hasemann/H. Gasteiger: Anfangsunterricht Mathematik (P) K. Heckmann/F. Padberg: Unterrichtsentwürfe Mathematik Primarstufe, Band 1 (P) K. Heckmann/F. Padberg: Unterrichtsentwürfe Mathematik Primarstufe, Band 2 (P) F. Käpnick: Mathematiklernen in der Grundschule (P) G. Krauthausen: Digitale Medien im Mathematikunterricht der Grundschule (P) G. Krauthausen/P. Scherer: Einführung in die Mathematikdidaktik (P) K. Krüger/H.-D. Sill/C. Sikora: Didaktik der Stochastik in der Sekundarstufe (S) G. Krummheuer/M. Fetzer: Der Alltag im Mathematikunterricht (P) F. Padberg/C. Benz: Didaktik der Arithmetik (P) P. Scherer/E. Moser Opitz: Fördern im Mathematikunterricht der Primarstufe (P) A.-S. Steinweg: Algebra in der Grundschule (P) G. Hinrichs: Modellierung im Mathematikunterricht (P/S) R. Danckwerts/D. Vogel: Analysis verständlich unterrichten (S) C. Geldermann/F. Padberg/U. Sprekelmeyer: Unterrichtsentwürfe Mathematik Sekundarstufe II (S) G. Greefrath: Didaktik des Sachrechnens in der Sekundarstufe (S) G. Greefrath/R. Oldenburg/H.-S. Siller/V. Ulm/H.-G. Weigand: Didaktik der Analysis für die Sekundarstufe II (S) K. Heckmann/F. Padberg: Unterrichtsentwürfe Mathematik Sekundarstufe I (S) F. Padberg: Didaktik der Bruchrechnung (S) H.-J. Vollrath/H.-G. Weigand: Algebra in der Sekundarstufe (S) H.-J. Vollrath/J. Roth: Grundlagen des Mathematikunterrichts in der Sekundarstufe (S) H.-G. Weigand/T. Weth: Computer im Mathematikunterricht (S) H.-G. Weigand et al.: Didaktik der Geometrie für die Sekundarstufe I (S) Mathematik M. Helmerich/K. Lengnink: Einführung Mathematik Primarstufe Geometrie (P) F. Padberg/A. Büchter: Einführung Mathematik Primarstufe Arithmetik (P) F. Padberg/A. Büchter: Vertiefung Mathematik Primarstufe Arithmetik/Zahlentheorie (P) K. Appell/J. Appell: Mengen Zahlen Zahlbereiche (P/S) A. Filler: Elementare Lineare Algebra (P/S) S. Krauter/C. Bescherer: Erlebnis Elementargeometrie (P/S) H. Kütting/M. Sauer: Elementare Stochastik (P/S) T. Leuders: Erlebnis Algebra (P/S) T. Leuders: Erlebnis Arithmetik (P/S) F. Padberg: Elementare Zahlentheorie (P/S) F. Padberg/R. Danckwerts/M. Stein: Zahlbereiche (P/S) A. Büchter/H.-W. Henn: Elementare Analysis (S) B. Schuppar: Geometrie auf der Kugel Alltägliche Phänomene rund um Erde und Himmel (S) B. Schuppar/H. Humenberger: Elementare Numerik für die Sekundarstufe (S) G. Wittmann: Elementare Funktionen und ihre Anwendungen (S) P: Schwerpunkt Primarstufe S: Schwerpunkt Sekundarstufe Weitere Bände in Vorbereitung

3 Berthold Schuppar Geometrie auf der Kugel Alltägliche Phänomene rund um Erde und Himmel

4 Berthold Schuppar Fakultät für Mathematik Technische Universität Dortmund Dortmund, Deutschland Mathematik Primarstufe und Sekundarstufe I + II ISBN ISBN (ebook) DOI / Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über abrufbar. Springer Spektrum Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2017 Das Werk einschließlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung, die nicht ausdrücklich vom Urheberrechtsgesetz zugelassen ist, bedarf der vorherigen Zustimmung des Verlags. Das gilt insbesondere für Vervielfältigungen, Bearbeitungen, Übersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen. Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, dass solche Namen im Sinne der Warenzeichen- und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten wären und daher von jedermann benutzt werden dürften. Der Verlag, die Autoren und die Herausgeber gehen davon aus, dass die Angaben und Informationen in diesem Werk zum Zeitpunkt der Veröffentlichung vollständig und korrekt sind. Weder der Verlag noch die Autoren oder die Herausgeber übernehmen, ausdrücklich oder implizit, Gewähr für den Inhalt des Werkes, etwaige Fehler oder Äußerungen. Planung: Ulrike Schmickler-Hirzebruch Abbildungen mit ( ): Created with GeoGebra ( Gedruckt auf säurefreiem und chlorfrei gebleichtem Papier Springer Spektrum ist Teil von Springer Nature Die eingetragene Gesellschaft ist Springer-Verlag GmbH Berlin Heidelberg

5 Vorwort Seit wann weiß man, dass die Erde eine Kugel ist? Wie hat man das überhaupt festgestellt? Heute kann man mit Smartphones, Kameras usw. auf Knopfdruck die geografischen Koordinaten des Standorts ermitteln. Aber was bedeuten diese ominösen Zahlen eigentlich? Angenommen, man möchte von A nach B reisen. Wie weit ist B entfernt? In welcher Richtung liegt B von A aus gesehen? Wie verläuft der kürzeste Weg? Bei Fernreisen ist das besonders interessant (und manchmal überraschend), aber auch bei kurzen Entfernungen nicht unproblematisch. Apropos Fernreisen: Häufig muss man am Zielort die Uhr vor- oder zurückstellen. Die Ortszeit wird zwar vom Piloten angesagt, aber warum gibt es verschiedene Zeiten? Wie kann man den Zeitunterschied vorweg ermitteln? In der Entwicklung der Seefahrt spielten Schiffschronometer eine sehr wichtige Rolle. Wofür braucht der Seemann eine genaue Uhr? Man weiß: Die Sonne geht im Osten auf und im Westen unter aber das stimmt nur ungefähr. Wo und wann geht sie denn genau auf bzw. unter? Wie lange dauert der helle Tag? Wie ändert sich die Tageslänge im Laufe eines Jahres? Wie ändert sie sich, wenn man verreist? Ist es am Zielort abends länger hell oder nicht? Bei uns läuft die Sonne von links nach rechts auf ihrer täglichen Bahn am Himmel, also im Uhrzeigersinn. Auf der Südhalbkugel ist es aber umgekehrt! Wieso? Solche und ähnliche Fragen gehören zweifellos zu unserem Alltag zwar kann man überleben, ohne viel darüber nachzudenken, aber wer neugierig ist und solche Phänomene verstehen möchte, benötigt unweigerlich ein wenig Mathematik hierfür. In der kulturellen und wissenschaftlichen Entwicklung spielten derartige Probleme seit jeher eine entscheidende Rolle: Schon in prähistorischer Zeit war es lebenswichtig, über die Jahreszeiten Bescheid zu wissen; in der griechischen Antike war die Himmelsbeobachtung ein Motor für die Geometrie, und in der Neuzeit bildete die Analyse der Planetenbewegung die Grundlage für die Newtonsche Mechanik (das sind nur drei kleine Beispiele). Heutzuta- V

6 VI Vorwort ge können Neugierige reichhaltige Informationen zu den eingangs genannten Themen aus dem Internet abrufen, aber um sie zu verstehen und zu hinterfragen, benötigt man mehr. Es handelt sich um geometrische Probleme, die nicht im Zentrum des schulischen Curriculums stehen, aber auch nicht unverbunden daneben. Der Titel Geometrie auf der Kugel ist absichtlich so gewählt: Es soll nicht der Eindruck entstehen, dass eine ganz andere Art von Geometrie präsentiert wird. Im Gegenteil: Die Elementargeometrie kann durch die speziellen Aspekte, die die Kugel mit sich bringt, reflektiert, ergänzt und vertieft werden; schließlich ist die Kugel kein exotisches Objekt. Zudem wird mit der intendierten Konzentration auf die Erd- und Himmelskugel die Anwendung der Mathematik in den Vordergrund gerückt, verbunden mit zahlreichen Bezügen zu Nachbarwissenschaften. In der momentan intensiv geführten Diskussion um realitätsnahen Mathematikunterricht und Modellierung kann das Thema wertvolle Beiträge leisten. Dabei stellt dieses Teilgebiet für die Schule kein Novum dar: Bis in die 1960er-Jahre hinein gehörte die sphärische Trigonometrie zum Standardstoff der gymnasialen Oberstufe; danach wurde sie zugunsten neuer Inhalte aufgegeben, u. a. wegen des großen Rechenaufwandes. Mit modernen Werkzeugen sind komplexe Berechnungen jedoch kein Problem mehr. Außerdem spielt die sphärische Trigonometrie in diesem Buch nicht die zentrale Rolle wie damals; stattdessen werden die Probleme nach Möglichkeitmit Methoden der ebenen Geometrie gelöst (natürlich funktioniert das nicht immer), und zwar nicht nur rechnerisch, sondern auch konstruktiv, wobei digitale Werkzeuge wie DGS eine gute Hilfe bieten. Grundbegriffe der Kugelgeometrie sind gleichwohl unverzichtbar. Die Hauptzielgruppen des Buchs sind Studierende von Lehrämtern für die Sekundarstufe I und ihre Dozentinnen und Dozenten; durch den gestärkten Schulbezug dürfte das Buch aber auch eine gute fachliche Grundlage für die Ausbildung, das Selbststudium und die Fortbildung im Referendariat und in der Schulpraxis darstellen. Im Bereich des Lehramtes für die Primarstufe ist es für eine fachliche Vertiefung geeignet. Weiterhin ist es auch für Schüler/innen der gymnasialen Oberstufe interessant, u. a. als Ergänzung des normalen Curriculums, für Arbeitsgemeinschaften oder als Basis für Facharbeiten. Voraussetzungen sind Grundkenntnisse der ebenen Geometrie und Trigonometrie, also im Wesentlichen Stoff der Sekundarstufe I; weitere Voraussetzungen (Analysis o. Ä.) werden nur in geringem Umfang verwendet. Das Buch basiert auf einer Veranstaltung für Lehramtsstudierende der Primarstufe und Sekundarstufe I, die jahrzehntelang regelmäßig an der TU Dortmund angeboten wurde. Jede Veranstaltung wurde ergänzt durch einen Vortrag über Astronomie und die Geometrie der Himmelskugel im Planetarium der Sternwarte Recklinghausen (herzlichen Dank an Burkard Steinrücken, den Leiter der Sternwarte, für seine fundierten Ausführungen).

7 Vorwort VII Mein besonderer Dank gilt Gerhard N. Müller: Er hat mich bereits Ende der 1970er- Jahre mit der Faszination dieses Themas infiziert, die mich seitdem nicht mehr losgelassen hat. Ebenso danke ich den Dozenten, Mitarbeitern und zahlreichen Studierenden am IEEM der TU Dortmund, die mit ihren Diskussionen und Anregungen wesentliche Beiträge geleistet haben. Nicht zuletzt danke ich vielmals dem Team des Springer-Verlages, insbesondere Stella Schmoll für die kompetente Unterstützung bei der Realisierung dieses Projektes. Dortmund, im Mai 2016 Berthold Schuppar

8 Inhaltsverzeichnis 1 Die Erde ist keine Scheibe sondern eine Kugel! Die Bestimmung des Erdumfangs nach Eratosthenes Entfernungen des Mondes und der Sonne Orientierung auf der Erde Der schiefe Mond Aufgaben Anhang: Antike Texte Literatur Geometrie auf der Kugel: Grundbegriffe Groß- und Kleinkreise Kugelzweiecke und -dreiecke Das Polardreieck Aufgaben Erdkugel I: Koordinaten, Entfernungen, Kurswinkel Geografische Koordinaten Entfernungen auf der Erdkugel Orte mit gleicher geografischer Länge Weg auf einem Breitenkreis Geringe Entfernungen Orte mit gleicher geografischer Breite Entfernung beliebiger Orte auf dem Globus Deutschlandkarten Schätzen von Flächen Himmelsrichtungen, Kurswinkel Der Kompass Berechnungsprobleme mit Kurswinkeln IX

9 X Inhaltsverzeichnis 3.6 Auswirkungen der Erdkrümmung Sichtweite von erhöhten Standpunkten Aufwölbung eines Sees Aufgaben Anhang: Tabellen geografischer Koordinaten Literatur Sphärische Trigonometrie Die zentralen Sätze Seitenkosinussatz Winkelkosinussatz Sinussatz Rechtwinklige Dreiecke, Neper sche Formeln Räumliche Ecken Aufgaben Erdkugel II: Kürzeste Wege Grundaufgaben Länge der Orthodrome, Abfahrts- und Ankunftswinkel Richtungen Nördlichster Punkt der Orthodrome Weitere Berechnungsprobleme Die Zentralprojektion Weitere Probleme Kürzester Weg mit Nebenbedingung Fremdpeilung Aufgaben Erdkugel III: Konstanter Kurs Erste Erkundungen Die Gleichung der Loxodrome Die Mercator-Karte Weitere Probleme Aufgaben Himmelskugel I: Koordinaten Das Horizontsystem Das Äquatorsystem Ortszeit, Weltzeit, Zonenzeit Das Nautische Dreieck Aufgaben Literatur

10 Inhaltsverzeichnis XI 8 Himmelskugel II: Der Sonnenlauf Sonnenaufgang und -untergang, Tageslänge, Mittag Analyse von Daten Konstruktive Bestimmung Berechnungen SA/SU auf Reisen Zum Azimut der Sonne bei SA/SU Die Tageslänge als Funktion Variation des Ortes Variation des Datums Mittags- und Mitternachtshöhe der Sonne Sonnenscheindauer auf einem Balkon Die Sonne im Jahreslauf Die Ekliptik Sonnenzeit Sternzeit Zur Zeitgleichung Aufgaben Literatur Kartografie Zylinderprojektionen Azimutalprojektionen Kegelprojektionen Ausklang Planetenbahnen Epizykloiden Synodische und siderische Umlaufzeit Die Keplerschen Gesetze Schattenkurven Horizontale Auffangebenen Vertikale Auffangebenen Literatur Nachwort Sachverzeichnis