Ü B U N G M A S C H I N E N E L E M E N T E

Transkript

1 Ü B U N G M A S C H I N E N E L E M E N T E Schraubenverbindungen: Tragfähigkeitsnachweis nach VDI 2230 Stephan Voigt, M.Eng.

2 Agenda 1. Grundlagen der Berechnung 1.1 Geltungsbereich 1.2 Modellbildung 1.3 Geometrische Größen 1.4 Begleitendes Berechnungsbeispiel 2. Kraft- und Verformungsanalyse 2.1 Statische Betriebskraft, Kraftverhältnis 2.2 Dynamische Betriebskraft 2.3 Statische oder dynamische Querkraft

3 Agenda 3. Berechnungsgrößen 3.1 Nachgiebigkeiten 3.2 Krafteinleitungsfaktor 3.3 Vorspannkraftänderungen 4. Montage von Schraubenverbindungen 4.1 Montagevorspannkraft 4.2 Streuung der Montagevorspannkraft, Anziehfaktor 5. Festigkeitsnachweis 5.1 Montagebeanspruchung 5.2 Festigkeitsnachweis 6. Grobdimensionierung

4 1. Grundlagen der Berechnung 1.1 Geltungsbereich der VDI 2230 Stahlschrauben mit Flankenwinkel αα = 60 Hochbeanspruchte und hochfeste Schraubenverbindungen Festigkeitsklassen 8.8 bis 12.9 Belastung statisch oder dynamische Axialkraft (parallel zur Schraubenachse) Biegemomente und Querkräfte (nicht Inhalt der Veranstaltung) Keine stoßartigen oder stochastischen Belastungen Kein Korrosions- und nur bedingter Temperatureinfluss Stephan Voigt, M.Eng. 4

5 1.2 Modellbildung Modell für Schraube und Bauteile (verspannte Platten, Flansche): Elastische Federn Aus Festdrehen der Mutter (DSV) oder Festdrehen der Schraube in ein Gewinde (ESV) resultiert die Vorspannkraft FF V Schraube ohne äußere Kraft bereits belastet Vorgespannte Schraubenverbindung Schraube: elastische Dehnung Flansche: elastische Stauchung Stephan Voigt, M.Eng. 5

6 Verspannungsschaubild einer Schraubenverbindung Darstellung der Schraubendehnung und Flanschstauchung in einem Kraft-Verformungs-Diagramm Verformungen ausschließlich im elastischen Bereich (Hookesche Geraden) ff S ff P ff S ff P FF V = cc S ff S = cc P ff P Stephan Voigt, M.Eng. 6

7 Nicht vorgespannte Schraubenverbindungen Schraube ist unbelastet, d.h. nicht fest in ein Gewinde gedreht (z.b. Mutter) Vorkommen eher selten Beispiel: Spannschloss Stephan Voigt, M.Eng. 7

8 1.3 Geometrische Größen Gewinde- und Querschnittsgrößen dd S Bezugsgröße für Festigkeitsberechnungen Stephan Voigt, M.Eng. 8

9 Stephan Voigt, M.Eng. 9

10 Konstruktionsmaße für Verbindungen mit Sechskantschrauben: Schrauben, Scheiben und Muttern, Maße in mm Stephan Voigt, M.Eng. 10

11 Konstruktionsmaße für Verbindungen mit Sechskantschrauben: Bohrungen, Senkungen und Werkzeuge Maße in mm Stephan Voigt, M.Eng. 11

12 Konstruktionsmaße für Verbindungen mit Zylinderschrauben Maße in mm Stephan Voigt, M.Eng. 12

13 Konstruktionsmaße für Verbindungen mit Senkschrauben: Senkschrauben, Senkungen für Zylinder- und Senkschrauben Maße in mm Stephan Voigt, M.Eng. 13

14 1.4 Begleitendes Berechnungsbeispiel Hydraulikzylinder mit verschraubtem Kolben Der Hydraulikzylinder ist Teil einer Presse mit 300 Arbeitstakten pro Stunde. Der Innendruck beträgt maximal pp max = 5,5 N mm 2 Bei Entlastung der Schraube soll eine Restklemmkraft von FF KR min = 10 3 N wirken, um die Dichtfunktion sicherzustellen. Kolbenwerkstoff: 16MnCr5 Kolbenstange: C45 Oberflächenrauheiten: RR Z = 16 µm Reibungszahl im Gewinde: μμ G = 0,1 Anziehen mit anzeigendem Drehmomentenschlüssel LL g = 60 mm LL = 55 mm DD St = 25 mm DD Z = 80 mm Stephan Voigt, M.Eng. 14

15 2. Kraft- und Verformungsanalyse 2.1 Statische Betriebskraft, Kraftverhältnis Annahme: Die Betriebskräfte wirken zunächst an den Außenflächen der verspannten Teile. Zugbelastung Durch eine Zugkraft FF A wird die Schraube um ff A weiter gedehnt und die Stauchung der Platten wird um ff A verringert. Stephan Voigt, M.Eng. 15

16 Verspannungsschaubild bei Zuglast FF S = FF V + FF SA FF SA = FF A FF PA FF KR = FF V FF PA FF S Gesamtschraubenkraft FF SA Schraubenzusatzkraft (infolge FF A ) FF PA Plattenentlastungskraft FF KR Restklemmkraft Stephan Voigt, M.Eng. 16

17 Druckbelastung Durch eine Druckkraft FF A wird die Schraube um ff A entspannt und die Stauchung der Platten wird um ff A vergrößert. Es gelten dieselben Zusammenhänge wie bei Zugbelastung, nur dass nun FF A und deren Anteile FF SA und FF PA negativ eingehen. FF S = FF V FF SA FF SA = FF A FF PA FF KR = FF V + FF PA Stephan Voigt, M.Eng. 17

18 Kraftverhältnis Es gilt nun zu ermitteln, welcher Anteil der Betriebskraft FF A auf die Schraube und welcher auf die Platten entfällt, d.h. gesucht sind FF SA und FF PA. Dazu wird das Kraftverhältnis ΦΦ K definiert: Φ K = FF SA FF A Die Anstiege der Geraden im Verspannungsschaubild sind die Steifigkeiten von Schraube bzw. Platten und damit der Kehrwert deren Nachgiebigkeiten δδ = 1/cc. Es gilt also: FF A = FF SA + FF PA FF SA = 1 ff δδ A FF FF A = PA = 1 ff ff S δδ A δδ S δδ A P P Und damit: ΦΦ K = FF SA FF A = 1 δδ S ff A = ff δδ S δδ A P 1 δδ S δδ S δδ P δδ S + δδ P = δδ P δδ S + δδ P Stephan Voigt, M.Eng. 18

19 Es folgt also: Schraubenzusatzkraft FF SA = ΦΦ K FF A Plattenentlastungskraft FF PA = (1 ΦΦ K ) FF A = FF A FF SA Verwendet man anstelle der Nachgiebigkeiten δδ die Steifigkeiten (bzw. Federkennraten) cc, so lässt sich das Kraftverhältnis darstellen als ΦΦ K = cc P ccs Stephan Voigt, M.Eng. 19

20 Mit Kenntnis des Kraftverhältnisses ΦΦ K und damit der Aufteilung der Betriebslast FF A lassen sich die maximale Schraubenkraft FF S und die Restklemmkraft FF KR ermitteln: FF S = FF V + ΦΦ K FF A FF KR = FF V 1 ΦΦ K FF A Damit gelten bei Zugbelastung folgende (Grenz-)Bedingungen: Einhaltung der zulässigen Schraubenkraft Schraube reißt! FF S,zul FF S FF S zul Einhaltung der minimalen Restklemmkraft (z.b. bei Verwendung einer Dichtung) FF KR,min FF KR FF KR min Verbindung undicht! Stephan Voigt, M.Eng. 20

21 Vergleich Dehn- und Starrschraube Gleiche Vorspannkraft Gleiche Betriebskraft Gleiche Platten Starrschraube weiche Dehnschraube Die Schraubenzusatzkraft FF SA ist bei Dehnschrauben geringer Weitere Möglichkeit der Reduzierung von FF SA : steife Platten Aber: Restklemmkraft beachten! Zuordnung Schadensfall: Starrschraube Reißen; Dehnschraube Undichtigkeit Stephan Voigt, M.Eng. 21

22 2.2 Dynamische Betriebskraft Grundlegendes Betriebskraft schwankt zwischen Oberlast FF Ao und F anstelle sigma Unterlast FF Au Mittellast FF Am = FF Ao + FF Au 2 Lastamplitude FF Aa = FF Ao FF Au 2 Schraubenzusatzkraft schwankt zwischen FF SAu und FF SAo (Zusammenhang zwischen Betriebslast und Schraubenzusatzkraft wie bei statischer Last über Kraftverhältnis) Mittlere Schraubenzusatzkraft Amplitude der Schraubenzusatzkraft FF SAm = ΦΦ K FF Am = ΦΦ K FF Ao + FF Au 2 FF SAa = ΦΦ K FF Aa = ΦΦ K FF Ao FF Au 2 Stephan Voigt, M.Eng. 22

23 Betriebskraft im Zugschwellbereich Betriebskraft schwankt zwischen FF Ao > 0 und FF Au = 0 Mittlere Schraubenkraft FF Sm = FF V + FF SAm Schraubenzusatzkraft schwankt zwischen FF SAo > 0 und FF SAu = 0 Klemmkraft schwankt zwischen FF V und FF KR Stephan Voigt, M.Eng. 23

24 Betriebskraft im Druckschwellbereich Betriebskraft schwankt zwischen FF Ao = 0 und FF Au < 0 Schraubenzusatzkraft schwankt zwischen FF SAo = 0 und FF SAu < 0 Klemmkraft schwankt zwischen FF KRmax und FF V Stephan Voigt, M.Eng. 24

25 Betriebskraft im Wechselbereich Betriebskraft schwankt zwischen FF Ao > 0 und FF Au < 0 mit FF Am = 0 Mittlere Schraubenzusatzkraft FF SAm = 0 Mittlere Schraubenkraft FF Sm FF Sm = FF V Schraubenzusatzkraft schwankt zwischen FF SAo > 0 und FF SAu < 0 Klemmkraft schwankt zwischen FF KRmax und FF KRmin Stephan Voigt, M.Eng. 25

26 Berechnungsbeispiel: Hydraulikzylinder Lastfall: schwellende Betriebslast FF Sm LL g = 60 mm LL = 55 mm DD St = 25 mm DD Z = 80 mm FF Ao = pp max AA wirk = pp max ππ 4 DD Z 2 2 DD St = 24,9 kn Stephan Voigt, M.Eng. 26

27 2.3 Statische oder dynamische Querkraft Kraftübertragung durch Reibschluss Anwendungsbeispiele Die Vorspannung der Schrauben muss so groß sein, dass die in der Trennfuge wirkende Reibkraft größer als die zu übertragende Querkraft ist. FF R = μμ Tr FF V > FF Q μμ Tr Haftreibung in der Trennfuge Stephan Voigt, M.Eng. 27

28 Es wirken keine Kräfte in Schraubenlängsrichtung, d.h. keine Betriebskräfte statische Schraubenbelastung FF A = 0 Vorspannkraft entspricht Restklemmkraft FF V = FF KR Aus der Forderung FF R = μμ Tr FF V > FF Q folgt: FF V = FF KR = FF Q SS H min μμ Tr zz zz Anzahl der Schrauben SS H min Mindestsicherheit Stephan Voigt, M.Eng. 28

29 Kraftübertragung durch Formschluss Alternativ zum Reibschluss kann eine Querkraft auch über Formschlusselemente übertragen werden. Passschraube Spannhülse Scherbuchse Die Auslegung erfolgt dann gegen Scherung: ττ a = FF Q AA ττ a zul Eine Kombination aus Form- und Reibschluss ist zu vermeiden Stephan Voigt, M.Eng. 29

30 3 Berechnungsgrößen 3.1 Nachgiebigkeiten Hookesches Gesetz: ff = εε ll = σσ EE ll = FF ll EE AA ff FF = 1 cc = δδ = ll EE AA Nachgiebigkeit δδ ist Kehrwert der Dehnsteifigkeit E-Modul der Schraube: EE S = 2, N mm 2 FF = 1 δδ ff Gesucht Nachgiebigkeit der Schraube δδ S Nachgiebigkeit der verspannten Platten δδ P Stephan Voigt, M.Eng. 30

31 Nachgiebigkeit der Schraube Reihenschaltung unterschiedlicher Steifigkeiten δδ S = δδ Kopf + δδ Schaft + δδ Dehnschaft + δδ freiesgewinde + δδ Gewindeeinschraubbereich Abschnitte der Schraube / Feder innerhalb der Klemmlänge ll K δδ Schaft = ll 1 EE S AA N δδ Dehnschaft = ll 2 EE S AA T δδ freiesgewinde = ll 3 EE S AA 3 AA N = ππ 4 dd2 Nennquerschnitt AA T = ππ 4 dd T 2 Taillenquerschnitt AA 3 = ππ 4 dd 3 2 Kernquerschnitt dd T 0,9 dd 3 Stephan Voigt, M.Eng. 31

32 Auch die Bereiche außerhalb der Klemmlänge beeinflussen die Nachgiebigkeit der Schraube! Erfahrungswerte / Versuchswerte Kopf ll Ko δδ Ko = EE S AA N 0,5 dd für Sechskantschrauben ll Ko = 0,4 dd für Innensechskantschrauben Gewindeeinschraubbereich: δδ GM = δδ eingeschraubtesgewinde + δδ Mutter/Gewindebohrung = δδ G + δδ M ll G δδ G = EE S AA 3 ll M δδ M = EE M AA N ll G = 0,5 dd 0,4 dd für DSV ll M = 0,33 dd für ESV EE S für DSV EE M = EE P für ESV Insgesamt δδ S = ii ll ii EE ii AA ii = 1 EE S ll K AA N + ll 1 AA N + ll 2 AA T + ll 3 AA K + ll G AA K + ll M EE M AA N Stephan Voigt, M.Eng. 32

33 Berechnungsbeispiel: Hydraulikzylinder Wahl der Schraube: ISO 4762 M12 x Erläuterung später! Geometrische Größen LL g = 60 mm LL = 55 mm DD St = 25 mm DD Z = 80 mm Stephan Voigt, M.Eng. 33

34 Nachgiebigkeit der Schraube δδ S = δδ Kopf + δδ Schaft + δδ freiesgewinde + δδ eingeschraubtesgewinde + δδ Gewindebohrung Kopf 0,4 dd δδ K = EE S AA N Schaft δδ 1 = ll 1 EE S AA N Freies Gewinde ll Gew δδ 3 = EE S AA 3 Eingeschraubtes Gewinde + Gewindebohrung δδ GM = δδ G + δδ M = 0,5 dd 0,33 dd + EE S AA 3 EE S AA N Gesamte Schraube δδ S = 2, mm N 1 Stephan Voigt, M.Eng. 34

35 Nachgiebigkeit der verspannten Platten Analog zur Schraube ist δδ P = ll k EE P AA P EE PP E-Modul Plattenwerkstoff Im folgenden ist DD A Außendurchmesser der verspannten Platten bzgl. Trennfuge DDD A Außendurchmesser der verspannten Platte bzgl. Grundköper DD A und DDD A einzeichnen! dd w Außendurchmesser der Kopf- bzw. Mutterauflage ss (Schlüsselweite) dd h Bohrungsdurchmesser nach DIN EN Bei DSV: in der Regel 2 Platten Bei ESV: in der Regel 1 Platte Stephan Voigt, M.Eng. 35

36 Einfacher Fall: verspannte Hülsen AA P = AA H = ππ 4 DD A 2 dd h 2 Nachgiebigkeit der Hülsen δδ P = 4 ll K EE P ππ DD A 2 dd h 2 Bei Hülsen aus unterschiedlichem Werkstoff δδ P = δδ 1 + δδ 2 = 4 ππ DD A 2 dd h 2 ll K1 EE P1 + ll K2 EE P2 Stephan Voigt, M.Eng. 36

37 Allgemeiner Fall: Abmessungen der verspannten Teile sind wesentlich größer als die Kopfauflagefläche Druckspannungsverteilung bzw. Verformung besitzt Form eines Rotationsparaboloiden Definition eines Ersatz-Verformungskegels Es gilt zz=ll K δδ P = zz=0 dzz EE zz AA(zz) Spezialfall der Hülse folgt mit EE = const und AA = const = ππ 4 dd w 2 Stephan Voigt, M.Eng. 37

38 Zu klären: Kann sich der Verspannungskegel voll ausbilden? Grenzdurchmesser DD A,Gr = dd w + ww ll K tan φφ Verbindungskoeffizient 1 für DSV ww = 2 für ESV DD A DD A,Gr DD A < DD A,Gr DD A DD A,Gr φφ Kegelwinkel Stephan Voigt, M.Eng. 38

39 Nachgiebigkeit der verspannten Teile bei DD A DD A,Gr Nachgiebigkeit der verspannten Teile bei (dd w <) DD A < DD A,Gr Stephan Voigt, M.Eng. 39

40 Für den Kegelwinkel φφ gilt ESV: tan φφ = 0, ,013 ln ββ L + 0,193 ln yy DSV: tan φφ = 0, ,032 ln ββ L 2 + 0,153 ln yy ββ L = ll K dd w yy = DD A dd w Stephan Voigt, M.Eng. 40

41 Im Falle (dd w <) DD A < DD A,Gr können Verformungskegel und Verformungshülse auch einzeln berechnet werden: Zunächst Kegelhöhe ll V ll V = DD A dd w 2 tan φφ Höhe der Hülse ll H ll H = ll K 2 ll V ww Stephan Voigt, M.Eng. 41

42 Nachgiebigkeit des Verformungskegels Nachgiebigkeit der Verformungshülse Gesamtnachgiebigkeit ww = 1 für DSV 2 für ESV Stephan Voigt, M.Eng. 42

43 Werden Bauteile mit unterschiedlichen E-Moduli verspannt, so ist der gesamt Verformungskörper in entsprechende Teil-Verformungskörper (Kegel und Hülsen) mit gleichem E-Modul zu zerlegen. Die Summe der Einzelklemmlängen ist die Gesamtklemmlänge: ll ii = ll K Der Auflagedurchmesser dd w ergibt sich aus den Teil-Verformungskegels der vorhergehenden Abschnitte: dd w,j = dd w + 2 tan φφ jj ii=2 ll i 1 Die Gesamtnachgiebigkeit ist dann die Summe aller Teilnachgiebigkeiten: jj δδ P = ii=1 mm δδ V Pi + ii=jj+1 H δδ Pi Stephan Voigt, M.Eng. 43

44 Zusammenfassung möglicher Verspannungen (idealisierte Zustände) DSV ESV DD A DD A,Gr DD A < DD A,Gr DD A DD A,Gr DD A < DD A,Gr Merke: Der Verbindungskoeffizient ist gerade nicht die Anzahl der Kegel! ww = 1 für DSV 2 für ESV Stephan Voigt, M.Eng. 44

45 Berechnungsbeispiel: Hydraulikzylinder Wegen dem geringen Auflagedurchmesser DD St in der Trennfuge kann die Verbindung als DSV betrachtet werden. Dazu wird vereinfacht der mittlere Auflagedurchmesser verwendet: dd wm = dd w + DD St 2 = 21,11 mm Mit dem Durchmesser der Kopfauflagefläche dd w = 17,23 mm Zunächst ist die Gestalt des Verformungskörpers mithilfe des Grenzdurchmessers DD A,Gr zu ermitteln: DD A,Gr = dd w + ww ll K tan φφ Verbindungskoeffizient ww = 1 für DSV LL g = 60 mm LL = 55 mm DD St = 25 mm DD Z = 80 mm Kegelwinkel φφ mit ββ L = ll K = 1,99 und yy = DD A = 3,79 dd wm dd wm DD A = DD A = DD Z tan φφ = 0, ,032 ln ββ L 2 + 0,153 ln yy = 0,566 Stephan Voigt, M.Eng. 45

46 Es folgt: DD A,Gr = 44,9 mm < 80 mm = DD A Damit kann sich der Verformungskörper voll ausbilden und es liegen zwei rotationssymmetrische Verformungskegel vor. Virtuelle Trennfuge Mit EE P = 2, N mm 2 ergibt sich die Nachgiebigkeit des verspannten Teils zu δδ P = 2 ln dd wm + dd h (dd wm + ww ll K tan φφ dd h ) dd wm dd h (dd wm + ww ll K tan φφ + dd h ) ww EE P ππ dd h tan φφ = 0, mm N 1 Kraftverhältnis ΦΦ K = FF SA = δδ P = 0,11 FF A δδ S + δδ P D.h. ca. 10% der Betriebskraft belasten die Schraube Stephan Voigt, M.Eng. 46

47 3.3 Krafteinleitung Bislang wurde die Einleitung der axialen Betriebskraft FF A direkt unter der Kopf- bzw. Mutterauflage angenommen. Entlastung der Platten und Belastung der Schraube über die gesamte Klemmlänge ll K Krafteinleitungsfaktor nn = 1 Stephan Voigt, M.Eng. 47

48 In der Realität erfolgt die Krafteinleitung jedoch irgendwo zwischen Kopf- bzw. Mutterauflage und Trennfuge. Dann gilt für den Krafteinleitungsfaktor nn = LL A LL K < 1 Stephan Voigt, M.Eng. 48

49 Man stelle sich nun das verspannte Bauteil in zwei Teilstücke A und B zerlegt vor. Die Trennung erfolgt genau dort, wo die Betriebskraft FF A angreift. Auf das Teil B wirkt nun FF S = FF V + FF SA, während auf Teil A nur noch FF KR = FF V FF PA wirkt. D.h. die Schraubenzusatzkraft FF SA wirkt auf die Schraube und auf Teil B Schraube erscheint nachgiebiger. Die Plattenentlastungskraft FF PA wirkt nur auf Teil A (nicht auf das vollständige Bauteil) Platten erscheinen steifer. Stephan Voigt, M.Eng. 49

50 Für die Nachgiebigkeiten der Teile A und B folgt also δδ PA = LL A LL K δδ P = nn δδ P δδ PB = LL B δδ LL P = LL K LL A δδ K LL P = 1 nn δδ P K Für der Verformungen gilt ff SA + ff PB = FF SA δδ S + δδ PB ff PB ff PA = FF PA δδ PA FF PA = FF SA δδ S + 1 nn δδ P ff SA = FF A FF SA nn δδ P ff PA Wegen ff SA + ff PB = ff PA ist schließlich FF SA δδ S + 1 nn δδ P = FF A FF SA nn δδ P FF SA = nn δδ P δδ P + δδ S FF A = nn ΦΦ K FF A = ΦΦ n FF A Stephan Voigt, M.Eng. 50

51 Zusammenfassung Greift die Betriebskraft FF A nicht wie die Vorspannkraft FF V direkt unter Kopf- bzw. Mutterauflage an, so erscheinen die Schraube nachgiebiger und die Platten steifer, wodurch die Schraubenzusatzkraft reduziert wird. Tatsächliches Kraftverhältnis: ΦΦ n = nn ΦΦ K Beim theoretischen Idealfall erfolgt der Kraftangriff direkt in der Trennfuge. unendlich steife Platten nn = 0 FF SA = 0 Stephan Voigt, M.Eng. 51

52 Die Ermittlung des Krafteinleitungsfaktors ist sehr aufwändig und kann mithilfe numerischer Berechnungen (z.b. FEM) erfolgen. In der Praxis wird er häufig anhand von Referenzfällen abgeschätzt. Stephan Voigt, M.Eng. 52

53 Neben der Verwendung von Dehnschrauben zur Reduzierung der Schraubenzusatzkraft FF SA ist also auch die konstruktive Gestaltung der Schraubenverbindung eine Stellschraube des Konstrukteurs, die Belastung der Schraube zu minimieren. Bei unveränderlichem Ort der Krafteinleitung erhöht eine Hülse die Klemmlänge und führt automatisch zu einer Verringerung des Krafteinleitungsfaktors nn. Stephan Voigt, M.Eng. 53

54 Berechnungsbeispiel: Hydraulikzylinder Wegen der fugennahen Krafteinleitung wird ein günstiger Krafteinleitungsfaktor festgelegt. Mit folgt nn = 0,3 ΦΦ n = nn ΦΦ K = 0,033 Stephan Voigt, M.Eng. 54

55 3.4 Vorspannkraftänderungen Die Vorspannkraft FF V einer Schraube kann sich gegenüber der Montagevorspannkraft FF M durch folgende Ursachen ändern: Anziehen weiterer Schrauben in der Umgebung Selbsttätiges Losdrehen Relaxation der Werkstoffe Setzen der Kontaktflächen Temperaturänderungen Überlastung der Verbindung Setzen: Verringerung der Vorspannung durch Plastisches Einebnen der Oberflächenrauigkeiten in den Auflageflächen Stephan Voigt, M.Eng. 55

56 Vorspannkraftverlust durch Setzen Die Montagevorspannkraft FF M wird durch die nach abgeschlossener Montage auftretenden Verformungen ff Z um den Betrag FF Z verringert. ff Z Setzbetrag FF Z Vorspannkraftverlust durch Setzen ff Z ist abhängig von - Belastungsart - Oberfläche der Platten - Anzahl der Trennfugen Aufgrund der Ähnlichkeit der Dreiecke gilt: FF Z FF M = ff Z ff S + ff P = ff Z δδ S FF M + δδ P FF M FF Z = ff Z δδ S + δδ P = ff Z ΦΦ K δδ P = ff Z (1 ΦΦ K ) δδ S Stephan Voigt, M.Eng. 56

57 Ermittlung des Setzbetrages ff Z Nach VDI 2230 Tabelle gilt für verspannte Teile aus Stahl und massive zylindrische Verbindungen Näherungsweise gilt: ff Z 3,29 ll k dd 0, mm für Starrschrauben ff Z 3,16 ll k δδ S EE S 0, mm für Dehnschrauben Stephan Voigt, M.Eng. 57

58 Temperaturbedingte Vorspannkraftänderung Für das thermische Ausdehnungsverhalten einer Schraubenverbindung gilt: ll SMT = ll PMT ll SMT = ll S + ff ST + ff SMT ll PMT = ll P + ff PT ff PMT Index S: Schraube Index P: Platte Index M: Montage Index T: Temperatureinfluss ll P ll S = ff SM + ff PM Stephan Voigt, M.Eng. 58

59 Einsetzen und Umstellen liefert: ll P ll S = ff SM + ff PM ff ST + ff PT = ll P ll S + ff PMT ff SMT = ff SM + ff PM + ff PMT ff SMT Unter der Voraussetzung von temperaturunabhängigen Nachgiebigkeiten (d.h. insbesondere EE(TT) = const) folgt mit ff = FF δδ und ff TT = αα ll 0 ΔTT FF MT δδ S + δδ P = FF M δδ S + δδ P + αα P ll PMT ΔTT P αα S ll SMT ΔTT S Wegen ll PMT = ll SMT = ll K und unter der Annahme, dass sowohl Schraube als auch Platten der gleichen Temperaturänderung ausgesetzt sind (ΔTT P = ΔTT S = ΔTT), ergibt sich für die Montagevorspannkraft unter Temperatureinfluss: FF MT = FF M δδ S + δδ P ll K ΔTT (αα S αα P ) δδ S + δδ P Stephan Voigt, M.Eng. 59

60 Für die (Montage-)Vorspannkraftänderung infolge Temperatureinfluss folgt schließlich: ΔFF M th = FF M FF MT = ll K ΔTT (αα S αα P ) δδ S + δδ P Sofort ersichtlich ist, dass ΔFF M > 0 für αα S > αα P Vorspannkraftverlust ΔFF M = FF MRT FF MT Ansatz über Ähnlichkeit der Dreiecke Stephan Voigt, M.Eng. 60

61 Mindestmontagevorspannkraft Nach Ermittlung der Vorspannkraftänderungen kann die erforderliche Mindestmontagevorspannkraft unter Annahme der größten Entlastung der Verbindung berechnet werden: FF M min = FF KR min + 1 ΦΦ n FF A + FF Z + ΔFF M th Stephan Voigt, M.Eng. 61

62 Bei der temperaturbedingten Vorspannkraftänderung sind folgende Fälle zu unterscheiden: 1) Die Schraubenbelastung FF A tritt erst nach der (zumeist konstanten) Temperaturänderung ein. ΔFF M th wird als statische Vorspannkraftänderung aufgefasst und fließt in die obige Formel ein. FF M min = FF KR min + 1 ΦΦ nn FF A + FF Z + ΔFF M th 2) Die Temperaturänderung tritt erst auf, nachdem die Schraubenbelastung FF A bereits wirkt. ΔFF M th wird als (statische oder dynamische) Komponente der Betriebslast FF A aufgefasst. In diesem Fall gilt für die Berechnung der Mindestvorspannkraft: Wenn ΔFF M th < 0, setze ΔFF M th = 0 D.h. eine Vorspannkrafterhöhung infolge Temperaturänderungen wird bei der Mindestmontagevorspannung nicht berücksichtigt, sofern diese Temperaturänderung erst eintritt, nachdem die Schraube belastet ist. Stephan Voigt, M.Eng. 62

63 Berechnungsbeispiel: Hydraulikzylinder Setzbetrag bei RR Z = 16 µm: ff Z = mm Vorspannkraftverlust durch Setzen: FF Z = ff Z δδ S + δδ P = 2, N Mindestmontagevorspannkraft: FF M min = FF KR min + 1 ΦΦ nn FF A + FF Z = 1 kn + 1 0,033 24,9 kn + 2,475 kn = 27,6 kn Stephan Voigt, M.Eng. 63

64 4. Montage von Schraubenverbindungen 4.1 Anziehdrehmoment Das Anziehdrehmoment zur Erzeugung der (Montage-)Vorspannkraft FF M setzt sich aus Gewindemoment und Kopfbzw. Mutterreibungsmoment zusammen: MM A = MM G + MM R Gewindemoment für metrisches ISO-Gewinde mit 60 Flankenwinkel: Flankendurchmesser dd 2 MM G = FF M dd 2 2 tan φφ + ρρ = FF M dd 2 2 PP ππ dd 2 + 1,155 μμ G Herleitung: Siehe Vorlesungsskript Steigungswinkel des Gewindes φφ = PP/(ππ dd 2 ) mit Gewindesteigung PP Reibungswinkel ρρ Reibungszahl im Gewinde μμ G Flankenwinkel αα = 60 tan ρρρ = μμ G cos(αα/2) Stephan Voigt, M.Eng. 64

65 Kopf- bzw. Mutterreibungsmoment MM R = μμ K FF M DD Km 2 Reibungszahl der Kopf- bzw. Mutterauflageflächen μμ K Mittlerer Reibdurchmesser DD Km = dd w + DD Ki 2 DD Ki = max(dd a, dd ha, dd h, dd a ) DD a... Fasendurchmesser der Mutter dd ha Fasendurchmesser der verspannten Teile dd a Innendurchmesser der ebenen Kopfauflage Damit gilt für das Anziehmoment: MM A = FF M dd 2 2 PP ππ dd 2 + 1,155 μμ G + DD Km dd 2 μμ K = FF M 0,16 PP + 0,58 dd 2 μμ G + DD Km 2 μμ K Stephan Voigt, M.Eng. 65

66 Reibungszahl im Gewinde μμ G Stephan Voigt, M.Eng. 66

67 Reibungszahl in der Kopf bzw. Mutterauflage μμ K Stephan Voigt, M.Eng. 67

68 4.2 Streuung der Montagevorspannkraft, Anziehfaktor In Abhängigkeit des Montageverfahrens und den vorhandenen Reibungsverhältnissen schwankt die Montagevorspannkraft FF M zwischen den Extremwerten FF M max und FF M min. Das Verhältnis dieser beiden Werte ist der Anziehfaktor αα A : αα A = FF M max FF M min > 1 Stephan Voigt, M.Eng. 68

69 Richtwerte für den Anziehfaktor Stephan Voigt, M.Eng. 69

70 Berechnungsbeispiel: Hydraulikzylinder Anziehen mit anzeigendem Drehmomentenschlüssel αα A 1,7 Maximalmontagevorspannkraft FF M max = αα A FF M min = 46,9 kn Stephan Voigt, M.Eng. 70

71 5. Beanspruchungen und Festigkeitsnachweis 5.1 Montagebeanspruchung Zumeist wird die (Montage-)Vorspannkraft FF M durch Drehen der Schraube relativ zur Mutter bzw. zum Innengewinde aufgebracht. Zugspannung infolge Vorspannkraft und Torsionsspannung infolge Gewindemoment σσ vgeh = σσ red M = σσ M ττ M 2 Dabei ist und mit und σσ M = FF M ττ AA M = MM G AA WW 0 WW p = ππ p 16 dd = ππ 4 dd 0 2 Für den relevanten Durchmesser dd 0 gilt: dd min dd min < dd S schwächster Querschnitt im Schaft dd 0 = dd S dd SS > dd schwächster Querschnitt im Gewinde dd T dd TT < dd 3 Taillenschraube Stephan Voigt, M.Eng. 71

72 Die Montagebeanspruchung σσ red M darf nicht größer sein als σσ red M zul : σσ red M σσ red M zul = νν RR p0,2 min RR p0,2 min Mindeststreck- bzw. dehngrenze des Schraubenwerkstoffes νν Ausnutzungsgrad, in der Regel ist νν = 0,9 Einsetzen von Zug- und Torsionsspannung in die Gleichung zur Berechnung der Vergleichsspannung σσ red M liefert die zulässige Montagezugspannung: σσ M zul = dd 2 dd 0 νν RR p0,2 min PP ππ dd 2 + 1,155 μμ G min 2 Für Anziehverfahren ohne Torsionsbeanspruchung (z.b. thermisches Anziehen) gilt σσ red M σσ M zul = νν RR p0,2 min Stephan Voigt, M.Eng. 72

73 Aus der zulässigen Montagezugspannung σσ M zul lässt sich die zulässige Montagevorspannkraft FF M zul ermitteln: FF M zul = σσ M zul AA 0 = dd 2 dd 0 νν RR p0,2 min AA 0 PP ππ dd 2 + 1,155 μμ G min 2 Damit hängt die zulässige Montagevorspannkraft von folgenden Einflussgrößen ab: Schrauben- bzw. Gewindegeometrie (Steigung PP, Flankendurchmesser dd 2, relevanter Durchmesser dd 0 ) Festigkeitskennwert des Schraubenwerkstoffes RR p0,2 min Reibungszahl im Gewinde μμ G min Tabelliert in der VDI 2230 FF M Tab und MM A Tab (für Dehnschrauben mit dd T = 0,9 dd 3 ) Stephan Voigt, M.Eng. 73

74 Stephan Voigt, M.Eng. 74

75 Festigkeitsklassen Bei Festigkeitsklassen geringer als 8.8 kann die zulässige Montagevorspannkraft über folgende Verhältnisgleichung ermittelt werden: FF M Tab (. ) FF M Tab (8.8) = RR e (. ) RR p0,2 (8.8) Bei Nutzung der tabellierten Montagevorspannkraftwerte ist der Festigkeitsnachweis für den Montagezustand erbracht. Stephan Voigt, M.Eng. 75

76 Berechnungsbeispiel: Hydraulikzylinder Gewählte Schraube: ISO 4762 M12 x Zulässige Montagevorspannkraft laut Tabelle bei μμ G = 0,1: FF M zul 12.9 = 71 kn FF M zul 10.9 = 61 kn Maximalmontagevorspannkraft FF M max = 46,9 kn Wahl wird von 12.9 auf 10.9 korrigiert werden! FF M max < FF M zul 10.9 Stephan Voigt, M.Eng. 76

77 5.2 Festigkeitsnachweis Statische Festigkeit bei Betriebsbeanspruchung Beim Nachweis der statischen Festigkeit einer Schraubenverbindung während des Betriebs existieren zwei Berechnungswege: 1) Man betrachtet nur die größte Schraubenzusatzkraft und fordert: ΦΦ n FF A max AA 0 = FF SA max AA 0 = σσ sa (1 νν) RR p0,2 Hier ist σσ sa die sogenannte Spannungsdifferenz. Mit νν = 0,9 gilt: σσ sa 0,1 RR p0,2 In der Regel ist FF A max = FF Ao, es sei denn, im Betrieb treten Stöße auf: FF A max = KK A dyn FF Ao Die Schraubenbelastung durch Vorspannung ist implizit enthalten, da als Festigkeit (rechte Seite der Ungleichung) nur das (1 νν)-fache der Streck- bzw. Dehngrenze des Schraubenwerkstoffes eingeht. Temperaturbedingt Belastungen werden nicht berücksichtigt! Stephan Voigt, M.Eng. 77

78 2) Man betrachtet Vorspannung und größte Schraubenzusatzkraft und fordert: σσ red B = 2 σσ z max + 3 kk τ ττ 2 M RR p0,2 Dabei ist kk τ = 0,5 der Reduktionskoeffizent zur Berücksichtigung der sich im Betrieb abbauenden Torsionsspannungen. Weiter ist σσ z max = FF S max AA 0 = FF M zul + FF SA max ΔFF M th AA 0 mit dem relevanten Schraubenquerschnitt AA 0 die größtmögliche Schraubenzugspannung unter Berücksichtigung von Montage, Betriebsbelastung und eventuellen Temperaturänderungen. Falls ΔFF M th > 0, dann ist ΔFF M th = 0 zu setzen, falls die Temperaturänderung erst nach dem Einsetzen der Betriebslast FF A eintritt. Man beachte den Unterschied zur Montagebeanspruchung: σσ red M = σσ M ττ M 2 νν RR p0,2 Stephan Voigt, M.Eng. 78

79 Schwingfestigkeit, Dauerhaltbarkeit Wird die Schraube dynamisch belastet, d.h. bei Lastwechselzahlen größer als 10 6, dann wird die Amplitude FF Aa = 1 2 FF Ao FF Au der Betriebskraft FF A = FF Am ± FF Aa schadensfrei ertragen, sofern gilt: σσ a = Φ FF Aa AA 3 = FF SAa AA 3 σσ A Dabei ist σσ A die Ausschlagsfestigkeit der Schraube. Nur 10 bis 25% der Dauerfestigkeit σσ D des glatten Probestabes mit gleicher Querschnittsfläche (Kerbwirkung!) Größe von FF Am (Mittellast der Betriebskraft) spielt für σσ A keine Rolle (kein Mittelspannungseinfluss) Größter Einflussfaktor ist die Art der Schraubenherstellung: schlussvergütet (SV) oder schlussgewalzt (SG) Stephan Voigt, M.Eng. 79

80 Smith-Diagramme von Schrauben, Ermittlung der Ausschlagsfestigkeit für 0,3 FF Sm /FF 0,2 min < 1 Schlussvergütete Schrauben dd in mm σσ A SV = 0, dd + 45 Schlussgewalzte Schrauben σσ A SG = 2 FF Sm σσ FF A SV FF Sm = FF SAo FF SAu + FF 0,2 min 2 M zul Erforderliche dynamische Sicherheit SS D = σσ A σσ a 1,2 1,5 Stephan Voigt, M.Eng. 80

81 Flächenpressung Sowohl während der Montage als auch im Betrieb darf die Flächenpressung zwischen Schraubenkopf / verspannte Platten Mutter / verspannte Platten die zulässigen Werte nicht überschreiten, da sonst Kriechvorgänge einsetzen, die die Vorspannung verringern. Montagezustand: pp M max = FF M zul AA p min pp G Betriebszustand: pp B max = FF V max + FF SA ΔFF M th AA p min pp G Bei druckbelasteten Verbindungen mit FF SA < 0 setze FF SA = 0 Stephan Voigt, M.Eng. 81

82 Für die ebene Kreisringauflagefläche gilt: DD Ki = max(dd a, dd ha, dd h, dd a ) AA p min = ππ 4 dd w 2 2 DD Ki DD a... Fasendurchmesser der Mutter dd ha Fasendurchmesser der verspannten Teile dd h Bohrungsdurchmesser dd a Innendurchmesser der ebenen Kopfauflage dd w Außendurchmesser der ebene Kopfauflage Grenzflächenpressungen pp G Stephan Voigt, M.Eng. 82

83 Scherfestigkeit Betrifft Tragfähigkeit des Innengewindes der Mutter bzw. der Gewindebohrung Bei Verwendung genormter Mutter ist die Verbindung tragfähig, wenn die Festigkeitsklasse der Mutter mindestens der der Schraube entspricht, bspw. Schraube 10.9 und Mutter 10. Beim Einschrauben in Gewindebohrungen relativ geringer Festigkeit, muss ein Abscheren des Muttergewindes ausgeschlossen werden Mindesteinschraubtiefe mm erf Stephan Voigt, M.Eng. 83

84 Berechnungsbeispiel: Hydraulikzylinder Nachweis der statischen Festigkeit Mit FF S max = FF M zul + ΦΦ n FF A max = 61, 8 kn folgt: σσ z max = FF S max AA S = 733 N mm 2 Die Torsionsbeanspruchung ergibt sich zu ττ M = MM G Nmm = WW p 218 mm 3 = 253,2 N mm 2 MM G = FF M dd 2 2 PP + 1,155 μμ ππ dd G 2 Damit ist WW p = ππ 16 dd S 2 = ππ 16 dd 2 + dd σσ red B = 2 σσ z max + 3 kk τ ττ 2 M = 766 N mm 2 < RR p02 = 940 N mm 2 Stephan Voigt, M.Eng. 84

85 Nachweis der Schwingfestigkeit Mit FF SAa = ΦΦ n (FF Ao FF Au )/2 = 410 N folgt: σσ a = FF SAa AA 3 = 5,3 N mm 2 Die Dauerhaltbarkeit (schlussvergütet) ergibt sich zu σσ A = 0, dd + 45 = 48,9 N mm 2 Dauerfest, da σσ a σσ A AA 3 = ππ 4 dd 3 2 = 76,2 mm 2 Nachweis der Flächenpressung im Montagezustand AA p min = ππ 4 dd w 2 dd h 2 = 90 mm 2 pp M max = FF M zul AA p min = 720 N mm N mm 2 = pp G pp GG für vergüteten Stahl Der Nachweis im Betriebszustand kann wegen FF Z 2,5 kn FF SAo 0,4 kn entfallen. Stephan Voigt, M.Eng. 85

86 Nachweis der Scherfestigkeit, Mindesteinschraubtiefe Mit PP = 1,75 mm ergibt sich eine Gewindefeinheit von dd PP = 6,86 Damit ist mm erf = 0,9 dd = 10,8 mm. Die vorhandene Einschraubtiefe ergibt sich zu: mm vorh = ll SS ll KK dd dd 3 2 = 16,9 mm Damit gilt mm vorh > mm erf Stephan Voigt, M.Eng. 86

87 6. Grobdimensionierung Nach VDI 2230 Berechnungsbeispiel: Hydraulikzylinder FF A max = 24,9 kn Zeile 11 Dynamische und zentrisch wirkende Axialkraft +1 Zeile Anziehen mit anzeigendem Drehmomentenschlüssel +1 Zeile Zeile Gesamt: Zeile 13 mit FF = 63 kn M12 bei Festigkeitsklasse 12.9 ISO 4762 M12 x Stephan Voigt, M.Eng. 87