Reihenherausgeber: Prof. Dr. Holger Dette Prof. Dr. Wolfgang Härdle

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1 Reihenherausgeber: Prof. Dr. Holger Dette Prof. Dr. Wolfgang Härdle

2 Statistik und ihre Anwendungen Weitere Bände dieser Reihe finden Sie unter

3 Edgar Brunner Ullrich Munzel Nichtparametrische Datenanalyse Unverbundene Stichproben 2., überarbeitete Auflage

4 Edgar Brunner Universität Göttingen Göttingen, Deutschland Ullrich Munzel MEDA Pharma GmbH & Co. KG Bad Homburg, Deutschland ISBN DOI / ISBN (ebook) Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über abrufbar. Mathematics Subject Classification (2010): 62-01, 62-07, 62G10, 62G20, 62G35, 62K15, 62K25, 05B20 Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2013 Dieses Werk einschließlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung, die nicht ausdrücklich vom Urheberrechtsgesetz zugelassen ist, bedarf der vorherigen Zustimmung des Verlags. Das gilt insbesondere für Vervielfältigungen, Bearbeitungen, Übersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen. Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, dass solche Namen im Sinne der Warenzeichen- und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten wären und daher von jedermann benutzt werden dürften. Gedruckt auf säurefreiem und chlorfrei gebleichtem Papier. Springer Spektrum ist eine Marke von Springer DE. Springer DE ist Teil der Fachverlagsgruppe Springer Science+Business Media

5 Danksagung Zu großem Dank verpflichtet sind wir einer Reihe von Kollegen aus der Human- und Veterinärmedizin, Biologie, Chemie, Pharmakologie und Forstwissenschaft, die in zahlreichen Diskussionen die Beispiele mit uns erörtert und freundlicherweise die Originaldaten zur Verfügung gestellt haben. Die betreffenden Kollegen und Einrichtungen sind nachfolgend bei den einzelnen Beispielen genannt. 1. Beispiele C.1 (Organgewichte),C.2 (Anzahl der Implantationen), C.3 (Lebergewichte), C.5 (γ-gt-studie), C.6 (O 2 -Verbrauch von Leukozyten), C.8 (Toxizitätsprüfung), C.10 (Anzahl der Corpora Lutea), C.12 (Nierengewichte), C.13 (Leukozyten- Migration ins Peritoneum) und C.14 (Anzahl der Implantationen / zwei Jahrgänge): Firma Schaper & Brümmer, Salzgitter-Ringelheim. 2. Beispiel C.4 (Schulter-Schmerz-Studie): Dr. T. Lumley und Internat. Biometric Society. Die Daten dieser Studie sind dem Artikel von T. Lumley, Generalized estimating equations for ordinal data: A note on working correlation structures, Biometrics 52, (1996), p , entnommen. Die Verwendung dieses Beispiels und die Reproduktion der Daten aus dem vorgenannten Artikel wurden uns freundlicherweise genehmigt. 3. Beispiel C.11 (Fichtenwald-Dachprojekt im Solling): Prof. Dr. A. Dohrenbusch (Institut für Waldbau I, Universität Göttingen). Literatur: Dohrenbusch, A. (1996). Das Dachprojekt - Ein Versuch, die Auswirkungen und Wirkungsmechanismen von Umweltveränderungen auf Waldökosysteme zu verstehen, Tagungsbericht der Jahrestagung des Deutschen Verbandes Forstlicher Forschunganstalten / Sektion Waldbau, Schopfheim-Wiechs, September, Beispiel C.7 (Oberflächen-VolumenVerhältnis): Prof. Dr. J. Richter (Abteilung Elektronenmikroskopie, Universität Göttingen). Literatur: Schnabel, Ph. A., Richter, J. Gebhard, M. M., Mall, G., Schmiedl, A., Clavien, H.-J. and Bretschneider, H. J. (1990). Ultrastructural effects induced by global ischaemia on the AV node compared with the working myocardium: A qualitative and morphometric investigation on the canine heart. Virchows Archiv A, Pathological Anatomy 416, Beispiel C.9 (Reizung der Nasen-Schleimhaut): Dr. E. Römer (Institut für Biologische Forschung, Köln). 6. Beispiel C.15 (Patienten mit Hämosiderose): Prof. Dr. M. Lakomek, (Abteilung Kinderheilkunde, Universität Göttingen).

6 vi Danksagung 7. Beispiel C.16 (Verschlusstechniken des Perikards): Priv.-Doz. Dr. C. Vicol, (Klinik für Herzchirurgie, Klinikum Augsburg). Dem Herausgeber, Herrn Prof. Dr. H. Dette möchten wir für die Aufnahme dieses Buches in die Reihe Statistik und ihre Anwendungen danken. Unser Dank gilt ebenfalls den Referenten, die uns auf eine Reihe von Schreibfehlern und Unzulänglichkeiten hingewiesen haben. Nicht vergessen möchten wir die Kollegen und Mitarbeiter, ohne deren Hilfe und Geduld dieses Buch nicht zustande gekommen wäre. Für die Konzeption und Programmierung der Makros, für die Durchrechnung der Beispiele und die mühevolle Erstellung der Grafiken sowie für zahlreiche inhaltliche und formale Verbesserungsvorschläge bedanken wir uns bei Sebastian Domhof, Andreas Oelerich, Benjamin Piske, Michael von Somnitz und ganz besonders bei Leif Boysen und Carola Werner.

7 Vorwort zur 2. Auflage Die 2. Auflage entstand aus einem Angebot des Springer Verlags, dieses Buch in die Online- Bibliothek des Verlags aufzunehmen, ein Angebot, das wir gerne angenommen haben. Dabei war es uns ein besonderes Anliegen, die bis dahin aufgefallenen Druckfehler und Unzulänglichkeiten zu beseitigen. Dabei haben wir gleichzeitig das Buch dahingehend überarbeitet, dass wir den mathematischen Anhang etwas gestrafft und auf das Wesentliche beschränkthaben. Bezüglich nähererausführungenhaben wir auf die Spezialliteratur verwiesen. Weiterhin war es uns wichtig, zwei Aspekte, die wir in der ersten Auflage ausgeklammert hatten, kurz zu diskutieren und wenigstens weiterführende Literatur anzugeben. Dies betrifft zum einen die Stichprobenplanung, die jetzt ganz kurz im Abschnitt behandelt wird. Zum anderen sind dies die paarweisen und multiplen Vergleiche, die im Abschnitt kurz diskutiert werden. Eine ausführliche Diskussion dieses wichtigen Aspektes hätte den Umfang eines eigenen Buches. Daher haben wir auf nähere Ausführungen verzichtet und im Wesentlichen auf die Literatur verwiesen. Darüber hinaus haben wir noch einige Anmerkungen zur Bedeutung und Interpretation des relativen Effektes in Abschnitt eingefügt. Dies geschah vor allem deshalb, weil der relative Effekt in der neueren Literatur - teilweise unter anderem Namen - zunehmend an Interesse gewinnt. Es war uns ein zusätzliches Anliegen, den Begriff der Rangtransformation genauer zu diskutieren. Dieser Begriff existiert seit etwa 40 Jahren in der Literatur. Leider haben einige neuere Arbeiten gezeigt, dass sich die Erkenntnis, wann diese heuristische Technik korrekte Ergebnisse liefert und wann nicht, noch nicht durchgesetzt hat, obwohl die Lösung seit über 20 Jahren bekannt ist. Daher haben wir die im Kapitel 4 eher unter theoretischen Aspekten geführte Diskussion auch zusätzlich mit in den eher angewandten Teil des Buches aufgenommen, nämlich in den Abschnitt (zwei Stichproben), den Abschnitt (mehrere Stichproben) und den Abschnitt (mehrfaktorielle Versuchspläne). Die eigentliche, theoretische Diskussion dieser Technik im Abschnitt konnte dann etwas kürzer geführt werden. Schließlich haben wir von der Möglichkeit Gebrauch gemacht, die beiden speziellen SAS-Makros TSP.SAS und OWL.SAS als Supplementary Material über den Springer Verlag zur Verfügung zu stellen. Weitgehend können aber die Rechnungen mit SAS-Standard- Prozeduren ausgeführt werden. Es soll einer völlig überarbeiteten neuen Auflage in englischer Sprache vorbehalten bleiben, auch in R Programme zur Verfügung zu stellen und deren Gebrauch anhand von Beispielen zu diskutieren. Wir möchten uns ganz besonders bei allen Lesern des Buches für Hinweise auf Fehler und Verbesserungsvorschläge bedanken. Göttingen, Frankfurt, im Januar Edgar Brunner Ullrich Munzel

8 viii Vorwort Vorwort Die parametrische Statistik beschäftigt sich mit der Modellierung, Darstellung und Analyse von Daten, von denen man annimmt, dass sie aus bekannten Verteilungsklassen stammen, wie zum Beispiel aus der Klasse der Normal-, Exponential- oder Poissonverteilungen. Unterschiede zwischen den Modellen, aus denen die Stichproben stammen, werden dann z.b. durch Differenzen oder Quotienten der Parameter beschrieben, welche die einzelnen Verteilungen innerhalb ihrer Klasse festlegen. Die Aussagen, die auf den daraus resultierenden Verfahren beruhen, hängen dann mehr oder weniger stark davon ab, wie gut die beobachteten Daten durch diese parametrischen Modelle beschrieben werden bzw. ob die verwendete parametrische Klasse überhauptzur Modellierung infrage kommt. Einen ersten Schritt zur Lösung von der Annahme einer bestimmten Verteilungsklasse stellen die so genannten Lokationsmodelle dar, bei denen angenommen wird, dass die einzelnen Verteilungen, die den Stichproben zugrunde liegen, durch Verschiebung einer stetigen Verteilung entstehen. Unterschiede zwischen den Verteilungen werden dann wieder durch Differenzender künstlich eingeführtenlokationsparameterbeschrieben. Daherheißen die für diese Modelle entwickelten Verfahren auch semi-parametrisch. Dabei schränkt nicht nur die Stetigkeit der Verteilungen die Anwendung dieser Modelle für die Praxis ein, sondern auch die Tatsache, dass sich die Form der Verteilung nicht ändern darf, ist für die Anwendung im Bereich der Biologie, Medizin, Psychologie oder Soziologie unrealistisch. Hier ändern sich in der Regel unter verschiedenen Bedingungen oder Behandlungen auch die Formen der Verteilungen. Zur Beschreibung eines Unterschiedes zwischen zwei Verteilungen mit verschiedener Form bieten sich beispielsweise Funktionale dieser Verteilungen an, wie der Maximalabstand oder das Mann-Whitney-Funktional, das eine Maßzahl für die Tendenz zu größeren oder kleineren Messwerten in den Stichproben ist. Diese anschaulich gut zu interpretierende Maßzahl kann auch auf unstetige Verteilungen und mehrere Stichproben verallgemeinert werden. Die Ansätze hierzu findet man bereits 1952 bei Kruskal. Der besondere Reiz in der Anwendung dieses Funktionals besteht darin, dass es über die Rangmittelwerte der Beobachtungen geschätzt werden kann, d.h. durch Einsetzen der Ränge in eine bekannte Statistik. Allerdings hat diese Technik, nämlich die Beobachtungen einfach durch ihre Ränge zu ersetzen, zu einer Loslösung von den zugrunde liegenden Modellierungen geführt. Die Formulierung von Hypothesen blieb dabei auf Lokationsmodelle beschränkt, was in der Kombination mit den Rängen vielfach zu fehlerhaften Anwendungen dieser Technik in der Praxis führte. Bei der Bildung von Rängen kam das Problem der Behandlung von gleichen Messwerten, so genannten Bindungen, hinzu. In der eher theoretisch orientierten Literatur wurden Bindungen dadurch ausgeschlossen, dass stetige Verteilungen angenommen wurden, während in den Anwendungen meist nur kurz erwähnt wurde, dass man im Falle von Bindungen Mittelränge verwenden sollte. Dazu wurde für einige Verfahren eine so genannte Bindungskorrektur der Varianz hergeleitet. Das Problem von Bindungen wurde eher marginal behandelt anstatt nichtstetige Verteilungen in natürlicher Weise in die übergeordnete Theorie zu integrieren.

9 Vorwort ix Die Nachteile der auf der Basis dieser Modelle entwickelten nichtparametrischen Verfahren bei der praktischen Anwendung sind offensichtlich: Zum Einen waren nur Modelle mit reinen Verschiebungseffektenzugelassen, also keine Modelle mit ungleichen Varianzen oder gar Formänderungen der Verteilungen in den einzelnen Stichproben. Zum Anderen waren alle Modelle mit diskreten oder gar geordnet kategorialen Daten ausgeschlossen. Eine Ausnahme bildeten hier lediglich der Fall zweier Stichproben (Wilcoxon-Mann-Whitney Test) und die unmittelbare Erweiterung auf mehrere Stichproben (Kruskal-Wallis Test). Leider setzte sich daher in der Anwendung immer mehr der Eindruck durch, dass nichtparametrische Verfahren zur Analyse von Daten, denen ein etwas komplizierteres Design zugrunde liegt, nicht geeignet oder erst gar nicht vorhanden sind. Dies trifft insbesondere für die in der Anwendung häufig vorkommenden Zähldaten oder geordnet kategorialen Daten zu. Es waren also im wesentlichen drei Probleme zu lösen, um nichtparametrische Verfahren zu entwickeln, die für eine große Klasse von Verteilungen anwendbar sind. 1. Bindungen müssen in natürlicher Weise mit in die Theorie aufgenommen werden, sodass sich der Fall ohne Bindungen als Sonderfall daraus ergibt. 2. Verteilungsunterschiede sollten über nichtparametrische Größen definiert sein und ohne weitere Modellannahmen aus den Daten geschätzt werden können. 3. Hypothesen, insbesondere in mehrfaktoriellen Versuchsanlagen, sollten ebenfalls über nichtparametrische Größen formuliert werden und in sinnvoller Beziehung zu den Hypothesen der bekannten parametrischen Modelle stehen. Die grundlegende Idee zur Lösung des ersten Problems, nämlich die Verwendung der normalisierten Version der Verteilungsfunktion, wurde 1980 von Ruymgaart publiziert, wurde aber leider kaum beachtet. Das zweite Problem war eigentlich von Beginn an durch Mann und Whitney gelöst, trat aber durch die fast ausschließliche Betrachtung der semiparametrischen Lokationsmodelle wieder in den Hintergrund. Obwohl die Lösung des dritten Problems unmittelbar auf der Hand lag, hatten erst Akritas und Arnold (1994) die Idee, nichtparametrische Hypothesen in mehrfaktoriellen Versuchsanlagen einfach über eine additive Zerlegung der Verteilungsfunktionen zu formulieren. Diese einfache Idee ermöglicht es, den engen Rahmen der semi-parametrischen Lokationsmodelle zu verlassen und die ursprüngliche Idee zu realisieren, in einem nichtparametrischen Modell keine bestimmten Verteilungsklassen anzunehmen, sondern eine breite Klasse von Modellen zuzulassen, die auch diskrete Daten, ja sogar den Extremfall der {0, 1}-Daten einschließt. Auf dieser Basis konnten Verfahren entwickelt werden, die als Sonderfälle die bekannten Rangverfahren der nichtparametrischen Statistik enthalten, die für stetige Verteilungen hergeleitet wurden. Ziel des Buches Die systematische Anwendung der oben beschriebenen Gedanken führt zu einem anderen Zugang zur nichtparametrischen Statistik als man ihn üblicherweise aus den Lehrbüchern kennt. Wir möchten unter dem Begriff nichtparametrische Datenanalyse nicht die Analyse von semi-parametrischen Modellen mithilfe von Rangverfahren verstehen, sondern wir möchten ohne jegliche Parameter - seien es natürliche oder künstlich eingeführte - auskommen und das Wort nichtparametrisch in seinem eigentlichen Sinn

10 x Vorwort verwenden. Dabei werden Unterschiede zwischen den Verteilungen nur über die Verteilungen definiert und rein nichtparametrische Hypothesen nur mithilfe von Funktionalen der Verteilungen formuliert. Die Ränge ergeben sich dabei als technisch einfaches Hilfsmittel zur Schätzung dieser Unterschiede, die sich dann zur anschaulichen Darstellung der Versuchsergebnisse verwenden lassen. Die asymptotische Verteilung der daraus resultierenden Rangstatistiken wird dann unter den nichtparametrischen Hypothesen hergeleitet, wobei sich auch Konfidenzintervalle für die nichtparametrischen Effekte konstruieren lassen. Damit gelingt es, nichtparametrische Verfahren sowohl für einfache als auch kompliziertere Versuchsanlagen in einheitlicher Sichtweise herzuleiten. Wir haben besonders darauf Wert gelegt, eine Verbindung zwischen Praxis und Theorie herzustellen. So kann einerseits der eher praktisch orientierte Leser sehen, wie Daten aus einfachen und komplexen Versuchsanlagen mit nichtparametrischen Methoden analysiert werden können. Andererseits sollen für den theoretisch interessierten Leser die notwendigenherleitungenderergebnissesowiediedazubenutztentechnikenzurverfügung gestellt werden. Es werden dabei nur grundlegende Techniken der Analysis, der Matrizenrechnung und der Wahrscheinlichkeitstheorie verwendet. Die dabei benutzten Begriffe und Ergebnisse sind in einem Anhang zusammengestellt. Wir haben uns in diesem Buch auf Modelle für unabhängige Beobachtungen (unverbundene Stichproben) beschränkt. Die Untersuchung von Modellen und Herleitung von Verfahren für Daten mit Messwiederholungen (repeated measures) oder für gemischte Modelle sind erheblich komplizierter und sollen an anderer Stelle separat behandelt werden. Aufbau des Buches In der Einleitung werden anhand von Beispielen zunächst die Strukturen und Messskalen von Daten erklärt sowie die zugrundeliegendenverteilungendiskutiert. Dann werden systematisch die wichtigsten Versuchsanlagen mit festen Faktoren beschrieben und mithilfe von Beispielen anschaulich erläutert. Dabei werden der Vollständigkeit halber auch einige gemischte Modelle erklärt und systematisch eingeordnet. Weiterhin werden im ersten Abschnitt nichtparametrische Effekte definiert, die dann mithilfe von Rängen geschätzt werden. Die Eigenschaften von Rängen werden ausführlich am Ende des ersten Kapitels behandelt. Im zweiten Kapitel werden einfaktorielle Versuchsanlagen betrachtet, wobei zuerst zwei und dann mehrere Stichproben behandelt werden. Der wesentliche Schritt von der einfaktoriellen zur mehrfaktoriellen Versuchsanlage, der durch die FormulierungnichtparametrischerHypothesen erst ermöglicht wurde, ist im dritten Kapitel ausführlichanhandderzweiweg-kreuzklassifikationdargestellt. Die dabei benutzte Matrizentechnik wird im Anhang separat beschrieben. Die Verallgemeinerung auf drei und mehr Faktoren wird im letzten Teil des dritten Kapitels behandelt. Jedes Modell in diesen Kapiteln wird anhand eines konkreten Beispiels motiviert. Die Verfahren zur Beschreibung und Analyse eines speziellen Modells werden jeweils aus allgemeinen Resultaten abgeleitet. Diese sind, um den Fluss der ersten drei Kapitel nicht zu stören, separat im vierten Kapitel zusammengestellt, wobei auch die Beweise angegeben sind. Die einzelnen speziellen Verfahren werden dann auf Beispiele angewendet und diskutiert. Jeder Abschnitt schließt mit einer Zusammenstellung der wichtigsten Definitionen, Modelle und Formeln für die jeweilige Versuchsanlage. Sowohl praktische als auch

11 Vorwort xi theoretische Übungsaufgaben von unterschiedlichem Schwierigkeitsgrad findet man am Ende eines jeden Kapitels. Die benötigten Beispiele und Datensätze werden im Anhang zur Verfügung gestellt. Zur Durchführung der umfangreichen Rechnungen werden die notwendigen Prozeduren und Programmschritte zur Verwendung von SAS-Standard Programmen erläutert. Es werden auch Makros in SAS-IML zur Verfügung gestellt, deren Handhabung in dem jeweiligen Kapitel beschrieben ist, in dem die betreffende Versuchsanlage diskutiert wird. Wir sind uns dessen bewusst, dass wir mit der Festlegung auf SAS als verwendete Software sicher etwas einseitig sind. Allerdings scheiden die meisten gängigen statistischen Softwarepakete schon deshalb aus, weil sie nicht flexibel genug sind, die notwendigen Rechnungen mit Standard Programmen auszuführen. Durch eine Mischung aus Theorie und Praxis hoffen wir, mit diesem Buch sowohl dem Anwender einige Anregungen zur Auswertung seiner Daten geben zu können als auch dem eher an den theoretischen Grundlagen interessierten Leser eine zusammenhängende Darstellung der bisher auf viele Einzelpublikationen verteilten Gedanken zu bieten. Für Verbesserungsvorschläge und Hinweise auf Fehler sind wir jederzeit dankbar. Göttingen, Frankfurt, im Mai 2002 Edgar Brunner Ullrich Munzel

12 Inhaltsverzeichnis 1 Datenstrukturen und Verteilungen ArtenvonDaten GenauigkeiteinerSkala AbständeaufeinerSkala VersuchspläneundFaktoren Faktoren und ihre Anordnung Indizierung VersuchsplänemitfestenFaktoren Gemischte Versuchspläne Verteilungsfunktionen RelativeEffekte Zwei Verteilungen Mehrere Verteilungen Definition des relativen Effektes Relative Effekte und Efron s paradoxe Würfel Unabhängige Messwiederholungen Empirische Verteilungen und Ränge Empirische Verteilungsfunktionen Ränge Schätzer fürdierelativeneffekte Übungen

13 xiv Inhaltsverzeichnis 2 Einfaktorielle Versuchspläne ZweiStichproben Modelle, Effekte und Hypothesen Normalverteilungsmodell Lokationsmodell NichtparametrischesModell Wilcoxon-Mann-Whitney Test Permutationsverteilung AsymptotischeVerfahren DieRangtransformation Anwendung auf dichotome Daten Zusammenfassung Anwendung auf Beispiele NichtparametrischesBehrens-FisherProblem AsymptotischesVerfahren ApproximativesVerfahren Zusammenfassung Anwendung auf ein Beispiel Stichprobenplanung Konfidenzintervalle RelativerEffekt Verschiebungseffekt im Lokationsmodell Zusammenfassung Anwendung auf Beispiele Software Übungen MehrereStichproben Einleitung und Fragestellungen Modelle und Hypothesen Normalverteilungsmodell NichtparametrischesModell Statistiken Kruskal-Wallis-Test AsymptotischesVerfahren

14 Inhaltsverzeichnis xv Permutationsverteilung DieRangtransformation Anwendung auf dichotome Daten Zusammenfassung Anwendung auf ein Beispiel GemusterteAlternativen DasVerfahrenvonHettmansperger-Norton DasVerfahrenvonJonckheere-Terpstra Zusammenfassung Anwendung auf ein Beispiel Paarweise und multiple Vergleiche Konfidenzintervalle fürrelativeeffekte Direkte Anwendung des Zentralen Grenzwertsatzes Anwendung der δ-methode Zusammenfassung Anwendung auf ein Beispiel und Software Übungen Mehrfaktorielle Versuchspläne ZweifesteFaktoren Kreuzklassifikation (a b-versuchspläne) Modelle und Hypothesen Teststatistiken Tests fürdiehaupteffekte Tests für die Wechselwirkungen Tests für gemusterte Alternativen bei den Haupteffekten Zusammenfassung Anwendung auf ein Beispiel RangtransformationundSoftware Konfidenzintervalle fürdierelativeneffekte Kreuzklassifikation (2 2-Versuchsplan) Anwendung auf ein Beispiel Hierarchische Versuchspläne Test fürdenkategorie-effekt Test für den Subkategorie-Effekt

15 xvi Inhaltsverzeichnis Übungen DreiundmehrfesteFaktoren Kreuzklassifikation (a b c-versuchspläne) Modelle und Hypothesen RelativeEffekte Teststatistiken Test für den Haupteffekt A Tests für die Wechselwirkungen AB und ABC Anwendung auf ein Beispiel und Software Verallgemeinerung auf höher-faktorielle Versuchspläne Übungen AndereVerfahren Theorie Modelle, Effekte und Hypothesen AllgemeinesnichtparametrischesModell NichtparametrischeEffekte Hypothesen Schätzer fürdierelativeneffekte Empirische Verteilungsfunktion Rang-SchätzerundderenEigenschaften Spezielle Resultate füru.i.v.zufallsvariable Permutationsverfahren GrenzenderPermutationsverfahren Erwartungswert und Kovarianzmatrix des Rangvektors AllgemeineasymptotischeResultate Asymptotische Äquivalenz Asymptotische Normalität unter H0 F Statistiken QuadratischeFormen StatistikenvomWald-Typ StatistikenvomANOVA-Typ Vergleich der Statistiken vom Wald-Typ und vom ANOVA- Typ DiskussionderRangtransformation

16 Inhaltsverzeichnis xvii LineareRangstatistiken Asymptotische Normalitätunter Alternativen LineareRang-StatistikenunterfestenAlternativen BenachbarteAlternativen Relative Effekte und harmonische Ränge Einpunkt-Verteilungen Score-Funktionen Übungen A Ergebnisse aus der Analysis und Wahrscheinlichkeitstheorie 231 A.1 Ungleichungen A.2 Grenzwertsätze A.2.1 Konvergenzen A.2.2 Zentrale Grenzwertsätze A.2.3 Die δ-methode A.3 VerteilungquadratischerFormen B Matrizenrechnung 237 B.1 Nomenklatur B.2 FunktionenvonquadratischenMatrizen B.3 Blockmatrizen B.3.1 Direkte Summe und Kronecker-Produkt B.4 SpezielleResultate B.5 VerallgemeinerteInverse B.6 Matrizentechnik für faktorielle Pläne C Beispiele und Originaldaten 249 D Symbolverzeichnis und Abkürzungen 261 E Software und Makros 265 E.1 ZweiStichproben E.2 MehrereStichproben E.2.1 Globale Hypothese H0 F : F 1 = = F a E.2.2 GeordneteAlternativen Literatur 268 Index 281