Einführung in Softwaretools zur nichtlinearen Optimierung (WS 2016/17)

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1 Technische Universität München Fakultät für Mathematik Lehrstuhl für Mathematische Optimierung, M1 Sebastian Garreis, M. Sc. (hons) Johannes Haubner, M. Sc. Einführung in Softwaretools zur nichtlinearen Optimierung (WS 2016/17) Übungsblatt 2 Laden Sie sich von der Webseite die Materialien für Tag 2 (blatt2.tar.gz) herunter und entpacken Sie die Datei mit tar xvfz blatt2.tar.gz -C P4. Installation von AMPL a) Installieren Sie das Programm AMPL in einem eigenen Verzeichnis Ihrer Wahl. Gehen Sie dazu auf und laden Sie sich die kostenlose Demoversion für Studenten (command line version!) herunter. Folgen Sie dabei der Anleitung zur Installation von AMPL. Bitte beachten Sie, dass Sie das Programm für das richtige Betriebssystem herunterladen müssen (Linux 32-bit passt hier). b) Setzen Sie den Suchpfad in Ihrem Terminal so, dass AMPL gefunden wird, z.b. export PATH=$HOME/packages/:$PATH falls Sie AMPL im Unterverzeichnis packages/ Ihres Homeverzeichnisses installiert haben. Um sehen, in welchem Verzeichnis Sie sich gerade befinden, können Sie den Befehl pwd verwenden. c) Bei der Demoversion sind bereits einige Löser mitgeliefert. Testen Sie die Installation indem Sie sich durch Aufruf der ausführbaren Dateien mit Option -v die Version anzeigen lassen, z.b. durch minos -v, snopt -v oder loqo -v. Wenn die Installation erfolgreich war, wird die aktuelle Versionsnummer angezeigt. Seite 1 von 7

2 P5. Durchhängendes Seil Es bezeichne x k für k = 1,..., n die senkrechten Ordinaten eines durch die Punkte ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) n 1 n n + 1,,,...,,, 0 0 x 1 x 2 gegebenen Polygonzuges, der den Verlauf eines Seils approximieren soll. Dieser Polygonzug soll so berechnet werden, dass er x n 1 oberhalb einer an der Stelle s stehenden Säule {(s, y) : y h} verläuft, höchstens die Länge L > 0 hat, minimale Höhenenergie besitzt. Der Polygonzug kann durch Lösen des Optimierungsproblems x n min f(x) u. d. N. g 1(x) 0, g 2 (x) 0 x R n ( ) berechnet werden, wobei n 1 f(x) = x x (x k + x k+1 ) 1 + (x k+1 x k ) 2 + x n 1 + x 2 n, g 1 (x) = g 2 (x) = h x s. 1 + x n 1 k=1 k=1 1 + (x k+1 x k ) x 2 n L, a) Das nichtlineare Optimierungsproblem ( ) soll für die Werte n = 30, L = 42, s = 10, h = 5 betrachtet werden. Mit AMPL und einem geeignetem Solver soll dieses Optimierungsproblem nun gelöst werden. Führen Sie dafür folgende Schritte durch: 1) Vergleichen Sie den Inhalt von seil.mod, seil.dat, seil.com und seil.run im Ordner p5 mit der Problemstellung. Sie können die Dateien mit gedit seil.mod & etc. öffnen. Was beinhaltet die Datei seil.com? Welche Höhe hat die Säule und an welcher Stelle steht diese? Welcher Solver wird für das Problem genutzt? 2) Starten Sie die Optimierung durch die Eingabe ampl seil.run Anhand der Textausgabe des Solvers erkennen Sie, ob der Löser erfolgreich war. Welche Informationen kann man noch ablesen? Außerdem wird die Lösung in eine externe Datei seil.out geschrieben, die im aktuellen Verzeichnis erzeugt wird. 3) Öffnen Sie die Datei seil.out in einem Editor und interpretieren Sie das Ergebnis. Um eine graphische Anschauung zu bekommen, kann man sich die Lösung über ein Grafikprogramm anzeigen lassen. Starten Sie dieses mit Hilfe des Befehls gnuplot im Terminal. Hier können Sie nun mit plot seil.out with lines den Polygonzug anzeigen lassen. Mit der Anweisung quit können Sie das Programm wieder verlassen. Seite 2 von 7

3 b) Lösen Sie das Problem ( ) mit den Solvern LOQO und SNOPT. Verändern Sie dafür in der richtigen Datei die entsprechende Zeile und starten Sie die Optimierung. Vergleichen Sie die Lösung, die Iterationszahlen und die Funktionsauswertungszahlen mit dem vorigen Solver. c) Wir wollen nun das Problem mit abgewandelten Daten betrachten. Dafür wählen wir eine höhere Auflösung des Polygonzugs und teilen das Intervall nicht mehr in n = 30 Intervalle, sondern in n = 100 Intervalle auf. Entsprechend muss die Länge L des Seils angepasst werden. Dafür wählen wir L = 130. Für die Säule können wir auch eine andere Position und Höhe wählen, z.b. s = 60 und h = 20. Dies soll nun im Daten-File umgesetzt werden. Öffnen Sie dafür die Datei seil.dat und ändern Sie diese entsprechend. Stellen Sie den Löser wieder auf LOQO und starten Sie die Optimierung. Vergleichen Sie die Iterationszahlen mit den vorherigen Durchläufen. Lassen Sie sich das Ergebnis wieder mit dem Grafikprogramm anzeigen und überprüfen Sie so Ihre Veränderungen. d) Wenden Sie die Löser SNOPT und MINOS auf das Problem an. Was fällt Ihnen auf? e) Das Problem der fehlenden Konvergenz bei MINOS versuchen wir mit Änderungen an den Einstellungen der Parameter von MINOS zu lösen. Welche Fehlermeldung gibt der MINOS-Löser aus? Im User-Guide von MINOS auf der AMPL-Website sind genauere Informationen zu MINOS gegeben. Versuchen Sie hier herauszufinden, wie man Optionen von MINOS bei AMPL verändern kann und setzen Sie die Variable superbasics_limit auf 100. Testen Sie den Löser nun. f) Wir wollen nun noch eine zweite Säule hinzufügen. Erstellen Sie dafür in Ihrem Arbeitsverzeichnis eine Kopie von seil.mod mit dem Namen seil2.mod. Fügen Sie eine weitere Nebenbedingung zum Modell hinzu, welche eine zweite Säule modelliert. Nutzen Sie dafür die folgenden Daten: L = 170, s 1 = 60, s 2 = 20 und h 1 = h 2 = 20. Ändern Sie die Ausgabe der Lösung in die Datei seil2.out und auch die anderen Dateien, falls notwendig. Lösen Sie Ihr Modell mit LOQO, MINOS und SNOPT und vergleichen Sie die Ergebnisse. Seite 3 von 7

4 P6. Optimales Design eines Gebäudes Ein quaderförmiges Gebäude soll optimal dimensioniert werden. Bezeichne l die Länge, b die Breite, h die Höhe (über Grund) und t die Tiefe (unter Grund) des Gebäudes. Der Bauherr stellt folgende Anforderungen, wobei zur Vereinfachung die Dicke der Wände und der Böden bzw. Decken vernachlässigt wird: (1) Das Gebäude soll mindestens so lang, aber höchstens doppelt so lang wie breit sein. (2) Die Länge l des Gebäudes darf 40 m nicht überschreiten. (3) Die Höhe h des Gebäudes über Grund darf dessen Länge nicht unterschreiten. (4) Alle Stockwerke sollen eine einheitliche Höhe von mindestens 3,50 m haben. (5) Mindestens 10%, aber höchstens 25% des Gebäudes sollen unter der Erde liegen. (6) Der Boden des Erdgeschosses soll ebenerdig sein. (7) Die durch alle Stockwerke des Gebäudes bereitgestellte Bodenfläche soll in der Summe mindestens m 2 betragen. (8) Die durchschnittlichen jährlichen Heizkosten werden mit 100 Euro pro m 2 der über Grund liegenden Außenfläche des Gebäudes angesetzt. Die jährlichen Gesamtkosten für Heizung sollen Euro nicht überschreiten. Das Gebäude soll nun unter den angegebenen Bedingungen so dimensioniert werden, dass die Menge des für den Bau des Gebäudes auszuhebenden Erdreichs minimal ist (Optimierungsproblem (P)). a) Wechseln Sie in das Verzeichnis p6. Vergleichen Sie den Inhalt der Dateien optdes.mod und optdes.dat mit der Aufgabenstellung. b) Die Ganzzahligkeitsrestriktionen von n t (Anzahl der unterirdischen Stockwerke) und n h (Anzahl der oberirdischen Stockwerke) können von den Solvern so nicht behandelt werden. Ersetzen Sie diese daher recht willkürlich durch n t = 3 und n h = Fügen Sie der Datei optdes.mod zwei zusätzliche Restriktionen hinzu, die die Werte von nt und nh fest setzen. Starten Sie die Optimierung durch ampl optdes.run Schauen Sie sich die Ausgabe an: Verändert AMPL unser Problem? Kann man von der Lösung dieses Problems auf Eigenschaften der Lösung des Ursprungproblems schließen? c) Probieren Sie weitere Paare (n t, n h ) aus, indem Sie für diese feste Werte vorgeben und dann das Optimierungsproblem lösen. Versuchen Sie die optimale Lösung zu erraten. d) Betrachten Sie nun das sogenannte relaxierte Problem (P ). Dabei werden die Ganzzahligkeitsbedingungen einfach weggelassen und in diesem Fall durch n t 0 und n h 0 ersetzt. Setzen Sie dies in Ihrem Modell um und lösen Sie das relaxierte Problem mit LOQO, MINOS und SNOPT. Welche Meldungen kommen von den Lösern? 1 Das Nicht-Berücksichtigen der Ganzzahligkeitsrestriktionen hat einen guten Grund. Die installierten Solver SNOPT, MINOS und LOQO beinhalten nichtlineare Optimierungsverfahren, welche keine Ganzzahligkeitsnebenbedingungen behandeln können. Seite 4 von 7

5 e) Optimierungsverfahren haben meistens größere Erfolgschancen, wenn ein guter Startpunkt gewählt wird. In AMPL können Startpunkte bei der Deklaration der Variablen angegeben werden. Falls zum Beispiel ein Startpunkt b = 31.5 gewünscht ist, so ersetzt man in der Modell-Datei optdes.mod die Deklaration von b durch: var b >= 0 := 31.5; Setzen Sie dies nun für alle Variablen um. Probieren Sie beispielsweise: b = 31.5, h = 31.5, l = 31.5, n h = 9, n t = 3, s = 3.5, t = Lösen Sie das relaxierte Problem mit diesem Startpunkt mit LOQO, SNOPT und MINOS. Vergleichen Sie die Ergebnisse der Löser. Vergleichen Sie die Ergebnisse mit denen der vorigen Teilaufgabe. Kann man von diesen Lösungen auf die Lösung des Ausgangsproblems oder gewissen Eigenschaften schließen? f) Bis jetzt haben wir hauptsächlich die Löser LOQO, MINOS und SNOPT benutzt. Alternativ kann man natürlich auch andere Solver verwenden. Für die Lösung von (P) bietet sich ein Löser an, welcher nichtlineare Optimierungsprobleme mit mixed-integer Nebenbedingungen lösen kann. Ein solcher Löser ist BONMIN, welcher frei verfügbar ist. Allerdings ist das Installieren von BONMIN etwas komplizierter, da man den Code selbst kompilieren muss und zudem noch weitere Softwarepakete benötigt werden, welche man zuvor installieren muss. Alternativ kann man auf den Server NEOS ( zurückgreifen. NEOS ist ein Server, dem man seine Optimierungsprobleme zuschicken kann und welcher diese dann löst. Den Lösungsprozess kann man direkt verfolgen (wie auf einem Terminal) und sich die Lösung auch per zuschicken lassen. Dies hat mehrere Vorteile: Zum einen hat NEOS deutlich mehr Rechenkapazität als ein durchschnittlicher PC und zum anderen kann man mit NEOS auch Solver nutzen, die ansonsten nicht frei verfügbar sind. Außerdem kann man verschiedene Löser schnell nutzen ohne sie vorher lokal installieren zu müssen. Auf der Seite finden Sie eine Übersicht von Lösern, welche Sie über NEOS aufrufen können. In den eckigen Klammern stehen die Interfaces, mit denen eine Eingabe des Modells möglich ist ein Interface ist beispielsweise die Eingabe über AMPL-Model-Files. Im Bereich Mixed Integer Nonlinearly Constrained Optimization finden Sie den Löser BONMIN, welcher ein AMPL-Interface unterstützt. Auf der folgenden Seite haben Sie nun die Möglichkeit die beiden Dateien hochzuladen. Im Bereich Model File können Sie Ihre Datei optdes.mod, im Bereich Data File die Datei optdes.dat und im Bereich Commands File die Datei optdes.com auswählen. Geben Sie dann noch Ihre -Adresse ein, falls Sie die Lösung zugeschickt haben möchten und klicken Sie auf den Button Submit to NEOS. Daraufhin wird der Löser gestartet. Vergleichen Sie die Lösung mit Ihrer bisherigen Vermutung. Seite 5 von 7

6 P7. Portfolio-Optimierung Hinweis: Diese Aufgabe erfordert verstärkt selbstständiges Programmieren und ist als fakultative Zusatzaufgabe gedacht. In dieser Aufgabe soll ein optimales Portfolio nach gewissen gegebenen Gesichtspunkten berechnet werden. Dazu soll ein gewisser Geldbetrag g R >0 in Aktien von n = 25 verschiedenen Unternehmen (aus dem DAX30) investiert werden. a) Wechseln Sie in das Verzeichnis p7 und starten Sie MATLAB. Führen Sie das Skript rendite.m aus. Nun sollten die monatlichen Kurswerte der letzten 10 Jahre von 25 verschiedenen DAX30-Aktien als Vektoren adidas, allianz, etc. in Ihrem Workspace erscheinen. Diese Kurswerte sind außerdem in der Matrix AllStocks zusammengefasst. b) Um sich ein wenig mit den Daten vertraut zu machen, können Sie den Kursverlauf der k-ten Aktie mit plotten. plot(dates, AllStocks(:,k), DatetimeTickFormat, yyyy-mm ); title(stocknames{k}); c) Das Skript rendite.m erzeugt außerdem einen Vektor mu (ab jetzt µ R 25 ) des geschätzten Wertzuwachses pro Monat der 25 Aktien und eine zugehörige Kovarianzmatrix C (ab jetzt C R ). Die Daten welches Zeitraumes werden dafür verwendet? Öffnen Sie beide Variablen im Variable Editor und speichern Sie den Inhalt als mu.txt bzw. cov.txt. d) Sei nun x R n 0 der Vektor, der angibt, wie der Geldbetrag g investiert wird. Es werden also jeweils Aktien im Wert g x k des k-ten Unternehmens gekauft. Der erwartete Gewinn des durch x definierten Portfolios berechnet sich dann als g (µ x), die zugehörige Varianz als g 2 (x Cx). Ab jetzt soll g = 1 angenommen werden. Welcher erwartete Gewinn ist maximal möglich, wenn x beliebig (aber nicht negativ) gewählt werden kann? Speichern Sie diesen als Variable gewmax. e) Nun soll ein möglichst risikoarmes Portfolio berechnet werden, dessen erwarteter Gewinn mindestens dem η-fachen des maximal möglichen Gewinns entspricht, falls gewmax > 0 gilt. Dabei ist η [0, 1] ein Parameter. Formulieren Sie ein quadratisches Optimierungsproblem (Optimierungsproblem mit quadratischer Zielfunktion und linearen Nebenbedingungen), genannt (QP), sodass die Varianz des Portfolios unter der Gewinnbedingung minimiert wird. Achten Sie dabei auf zusätzliche, nötige Bedingungen an x. f) Lösen Sie (QP) für η = 0.5 mit AMPL. Sie können sich dabei an Aufgabe P5 orientieren. Mögliche Löser sind z. B. minos, cplex und gurobi. Vergleichen Sie die Ergebnisse der Löser. In welche Unternehmen sollten Sie laut minos-lösung investieren? Hinweis: Sie können die in der mod-datei mit param C {1..n,1..n}; angelegte Kovarianzmatrix in der dat-datei mit read {k in 1..n, l in 1..n} C[k,l] <cov.txt; einlesen. Analog verfahren Sie für den Erwartungsvektor mu. Legen Sie vorher die Parameter n und eta an und legen Sie deren Werte fest. Seite 6 von 7

7 g) Es ist auch möglich, quadratische Optimierungsprobleme dieser Größe mit MATLAB lösen. Machen Sie sich mit dem MATLAB-Löser quadprog vertraut und lösen Sie (QP) mit diesem. Vergleichen Sie die MATLAB-Lösung mit den Lösungen aus Teil f). Was stellen Sie fest? Verbessern Sie die MATLAB-Lösung, indem Sie die OptimalityTolerance von quadprog verringern (Tipp: optimoptions verwenden!). h) Lösen Sie (QP) in MATLAB für verschiedene Werte von η und visualisieren Sie sich die berechneten Portfolios. Seite 7 von 7