Rechnerpraktikum zu Grundlagen der Nichtlinearen Optimierung

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1 TU München Lehrstuhl Mathematische Optimierung Prof. Dr. Michael Ulbrich Dipl.-Math. Florian Lindemann Wintersemester 2008/09 Blatt 3 Rechnerpraktikum zu Grundlagen der Nichtlinearen Optimierung P9. Installation von Ipopt Wir wollen das Optimierungspaket Ipopt zur Lösung von Optimierungsproblemen der Form min f(x) u.d.n. g L g(x) g U (1) x R n x L x x U betrachten. Dabei sind f : R n R und g : R n R m zweimal stetig differenzierbare Funktionen und die Schranken g L,g U R m und x L,x U R n. Für die Komponenten von g L und x L sind zusätzlich und ebenso für x L und x U auch + zugelassen. Es können auch Gleichungsrestriktionen behandelt werden, indem in der entsprechenden Komponente g L und g U auf den gleichen Wert gesetzt werden. Wir wollen nun das Paket Ipopt installieren. Ipopt ist ein frei verfügbares open-source-optimierungspaket, welches insbesondere große Optimierungsprobleme lösen kann. Es nutzt insbesondere auch externe Pakete, die wir für eine Installation ebenfalls brauchen: BLAS (Basic Linear Algebra Subprograms) für grundlegende Vektor- und Matrixoperationen LAPACK (Linear Algebra PACKage), u.a. zum Lösen Linearer Gleichungssysteme mit dicht besetzter Koeffizientenmatrix ASL (AMPL Solver Library) für das Benutzen von Ipopt mit AMPL. Ma27 zum Lösen linearer Gleichungssysteme mit symmetrischer dünn besetzter Koeffizientenmatrix Mc19 zum Berechnen von Skalierungen für allgemeine dünn besetzte Matrizen a) Sie sollen nun Ipopt selbständig installieren. Dies können Sie über die Website tun, wo auch eine Installationsanleitung angegeben ist. Ipopt ist ein größeres Optimierungspaket und die Installation ist nicht unbedingt einfach. Es kann also gut sein, dass Sie auf Probleme stoßen. Lassen Sie sich dadurch nicht abschrecken. Hilfreich ist dabei, wenn Sie die Anleitung und die folgenden Instruktionen genau durchlesen und genau befolgen. Bitte beachten Sie bei der Installation folgendes: 1

2 1) Zum Punkt Download BLAS, LAPACK and ASL: Die Pakete BLAS und LAPACK sind bereits installiert und befinden sich in der Bibliothek Sunperf. Sie brauchen deshalb NICHT die get.blas und get.lapack Routinen aufrufen (siehe Anleitung), sondern können diese Schritte erstmal überspringen. Für die ASL brauchen Sie auch nicht die get.asl Methode aufrufen, sondern kopieren den Ordner solvers in /usr/local/applic/lib/ampl in das Unterverzeichnis ThirdParty/ASL/. 2) Die Pakete MUMPS, Paradiso, WSMP und Loader brauchen Sie nicht zu installieren. 3) Damit Ipopt weiß, wo es BLAS und LAPACK finden kann, müssen Sie, wenn Sie das configure Skript aufrufen, die Optionen --with-blas=-lsunperf --with-lapack=-lsunperf einfügen. Außerdem sollten Sie einen Ordner angeben, wohin Ipopt installiert wird. Ich empfehle Ihnen dafür im Ipopt-Ordner einen Unterordner build anzulegen. Sie müssen beim Aufruf von configure dazu außerdem noch die Option --prefix=ordner angeben, wobei in Ordner der Ordner anzugeben ist. Insgesamt könnte Ihr configure Aufruf im Terminal im Ipopt-Verzeichnis also so aussehen:./configure --with-blas=-lsunperf --with-lapack=-lsunperf --prefix=ordner b) Folgen Sie ansonsten der Installationsanleitung. Das Kompilieren mit make dauert eine ganze Zeit. Machen Sie sich in der Zwischenzeit schon mal mit Aufgabe P10 vertraut. c) Sie können die Installation testen, indem Sie ganz am Ende make test eingeben. d) Testen Sie Ipopt auch anhand des quadratischen Beispiels in P9.tar, welches wir schon bei OOQP betrachtet haben und hier im AMPL-Format vorliegt. Dafür muss das Unterverzeichnis bin Ihres Installationsverzeichnis Ordner in den Suchpfad PATH aufgenommen werden, damit Sie option solver ipopt verwenden können. Dabei können Sie auch gleich AMPL mit in den Suchpfad aufnehmen. P10. Ein Produktionsmodell In einem Stahlwerk soll die Produktion für die nächsten vier Wochen geplant werden. In die Walzstraße des Stahlwerks werden große unfertige Stahlplatten hineingegeben und es können zwei halbfertige Produkte hergestellt werden: Stahlrollen oder Stahlbänder. Dabei ist die Produktionsrate unterschiedlich: 2

3 8 x x Abbildung 1: Produktionskosten für Stahlbänder in û/t Abbildung 2: Produktionskosten für Stahlrollen in û/t Tonnen pro Stunde: Stahlbänder 200 Stahlrollen 140 Die Walzstraße kann in der Regel 40 Stunden pro Woche betrieben werden. In der dritten Woche ist allerdings ein Feiertag, so dass in dieser Woche die Walzstraße nur 32 Stunden laufen kann. Es kann aber auch im Voraus produziert werden, da im Lager fertige Stahlrollen oder Stahlbänder gelagert werden können. Dabei entstehen allerdings Lagerkosten: û pro Tonne und Woche: Stahlbänder 2,5 Stahlrollen 3 Die Produktionkosten pro Woche sind durch eine nichtlineare Funktion gegeben, welche von der Produktionsmenge, der Produktart (Stahlrollen oder Stahlbänder) und der Woche (lange oder kurze Woche) abhängen. Die Produktionskosten der Stahlrollen und Stahlbänder in der 40-Std.-Woche basieren auf nichtlinearen Funktionen K SB und K SR und sind in Abbildung (1) und (2) zu sehen. Die beiden Produkte werden zur Weiterverarbeitung an andere Firmen verkauft. Dabei erzielen Sie voraussichtlich folgende Stückpreise, die aufgrund von saisonalen Einflussfaktoren auch von der Verkaufs-Woche abhängen: û pro Tonne: Woche 1 Woche 2 Woche 3 Woche 4 Stahlbänder Stahlrollen Für den Absatz gibt es allerdings Obergrenzen, welche durch die Erfahrung der letzten Jahre geschätzt wurden: 3

4 Tonnen: Woche 1 Woche 2 Woche 3 Woche 4 Stahlbänder Stahlrollen Die Variablen des Problems sind die zu produzierenden Mengen eines Produkts pro Woche, sowie jeweils die zu verkaufenden und zu lagenden Mengen pro Woche. Zu berücksichtigen ist dabei ein vorgegebener Start-Lagerbestand an Stahlbändern und Stahlrollen. a) Laden Sie sich von der Homepage die Dateien stahl.mod und stahl.dat herunter. Die Daten des Problems sind in der seperaten Datei stahl.dat gespeichert, während das Optimierungsproblem in stahl.mod formuliert ist. b) Vergleichen Sie den Inhalt der Dateien mit der Problembeschreibung. Leiten Sie daraus die mathematische Formulierung des Optimierungsproblems her, indem Sie es in die Form min x f(x) u.d.n. g(x) 0, h(x) = 0 bringen. Sie können dabei abkürzend für die Produktionskostenfunktionen K SB und K SR schreiben. Überlegen Sie sich die Bedeutung der Zielfunktion und der Nebenbedingungen im Sinne der Problembeschreibung. c) Wir wollen dieses Problem nun mit Ipopt über das AMPL-Interface lösen. Erzeugen Sie dafür eine passende Datei stahl.com. Zuerst müssen wir noch den Suchpfad ändern, damit sowohl Ipopt als auch AMPL gefunden werden (siehe Grundlagen-Zettel). Starten Sie nun AMPL und laden Sie das Modell durch Eingabe von model stahl.mod; data stahl.dat; commands stahl.com; d) Über den display Befehl können Sie sich die Variablen Make, Inv und Sell anschauen, indem Sie beispielsweise display Make eingeben. Interpretieren Sie das Ergebnis. Warum werden die produzierten Mengen nicht immer sofort verkauft? e) Variieren Sie die Parameter des Systems. Ändern Sie beispielsweise die Lagerkosten der Stahlrollen, indem Sie diese auf 1.50 und 2 û/tonne und Woche setzen. Da die Daten in einer gesonderten Datei gespeichert sind, können Sie diese durch folgende Befehlskette verändern, ohne das Modell neu laden zu müssen: reset data; data stahl2.dat; commands stahl.com; Was verändert sich bei der Lösung und wie ist dies zu interpretieren? 4

5 f) Insiderberichten zufolge, könnte es sein, dass Sie einen Großauftrag bekommen, der dafür sorgt dass Sie ab der zweiten Woche 2000 Tonnen/Woche mehr Stahlrollen absetzen könnten als bisher angenommen. Wie würde sich der Produktionsplan ändern? Wir würde er sich ändern, wenn Sie davon erst nach der ersten Woche erfahren würden? P11. Minimale Oberfläche Wir wollen ein Problem für Minimalflächen betrachten. Dabei betrachten wir ein rechteckiges Gebiet Ω = [0,n] [0,m] R 2, welches durch eine gleichmäßige Triangulierung Ω = t k=1 T k mit Maschenweite h n und h m diskretisiert wurde. Gegeben sei außerdem eine Funktion r : Γ R auf dem Rand Γ von Ω. Gesucht ist eine Funktion q : Ω R, die auf dem Rand von Ω mit r übereinstimmt und deren Graph minimale Oberfläche hat. Dabei wird die Funktion q durch eine stetige Funktion q T : Ω R, die linear über jedem Dreieck ist, approximiert. Diese ist durch die Knoten der Triangulation eindeutig bestimmt und soll auf den Randknoten die Werte von r annehmen. Den Flächeninhalt über einem Dreieck T k mit Knoten x a k,x b k,x c k ist (vergleiche Skript) gegeben durch A k (y) = 1 2 ( x b k x a k y bk y ak ) ( x c k x a k y ck y ak Mit der Gesamtoberfläche A(y) := t k=1 A k(y) ergibt sich schließlich das Optimierungsproblem min A(y) y R t ) u.d.n. y i = r(x i ) für i {j x j ist Randknoten} a) Laden Sie sich von der Website die Datei P11.tar herunter und entpacken Sie sie in Ihrem Arbeitsverzeichnis. b) Öffnen Sie die Dateien minsurf.mod in einem Editor. Vergleichen Sie den Inhalt mit der Problemstellung und lesen Sie insbesondere folgende Dinge ab: Die Grenzen des rechteckigen Gebiets Ω Die Maschenweite für die Triangulierung Die vorgegebenen Randfunktionen Das Modell ist komplett in eine Datei geschrieben. Schreiben Sie es um, indem Sie es in die drei Teile minsurf.mod, minsurf.dat, und minsurf.com aufteilen. c) Lösen Sie das Problem mit dem Solver Ipopt und AMPL. d) Die Lösung wird eine Datei height.dat geschrieben. Sie können sich diese grafisch visualisieren lassen. Starten Sie dafür MATLAB (durch den Befehl /usr/local/applic/bin/matlab &), wechseln Sie in Ihr Arbeitsverzeichnis und geben Sie folgendes ein A = load( height.dat ); surf(a); 5

6 e) Variieren Sie die Maschenweite des Problems, indem Sie den Parameter n 0 verändern. Beachten Sie dabei, dass die Studentenversion von AMPL maximal 300 Variablen und 300 Nebenbedingungen erlaubt. f) Testen Sie aber auch sehr feine Maschenweiten (n 0 = 100 ergibt schon ein Problem mit Variablen), indem Sie das Problem über NEOS ( lösen. Da Sie über NEOS keine Dateien erstellen können, ersetzen Sie in der Commands- Datei die Dateiausgabe durch die Zeile print {y in Y}: {x in X} z[x,y]; Lösen die das Problem mit Ipopt über NEOS. Kopieren Sie dann die Ausgabe der Lösung (nur die Matrixzeilen) in eine leere Datei im Editor und speichern Sie diese unter dem Namen height.dat. Das Ergebnis können Sie sich wieder mit MATLAB anzeigen lassen. g) Variieren Sie die Randdaten, indem Sie andere Funktionen vorgeben. Wie sieht die Lösung aus, wenn Sie auf dem Rand γ 3 die Nullfunktion wählen? Testen Sie auch die auskommentierten Randdaten und eigene Beispiele. 6