Rechnerpraktikum zur Nichtlinearen Optimierung

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1 Rechnerpraktikum zur Nichtlinearen Optimierung 9. März März 2016 Sebastian Garreis, B. Sc. Philipp Jarde, M. Sc. Technische Universität München Fakultät für Mathematik Lehrstuhl für Mathematische Optimierung (M1) Garching, 11. März 2016

2 Kursplan Mittwoch, 9. März 2016: Optimierungsverfahren in der unrestringierten Optimierung Vergleich von Konvergenzverhalten einzelner Verfahren Matlab Donnerstag, 10. März 2016: Optimierungsverfahren in der restringierten Optimierung Vorstellen von externer Lösungs-Software Modellieren und Lösen mit AMPL NEOS Freitag, 11. März 2016: Innere-Punkte-Verfahren Installation und Kompilieren größerer Optimierungspakete AMPL und Ipopt

3 P4 - Installation von AMPL AMPL und Solver für das richtige Betriebssystem herunterladen. Ausführbare Dateien (ampl und die anderen Solver) werden nur gefunden, falls der Ordner in der PATH-Variable gelistet ist Umgebungsvariable PATH richtig setzen. Dateien ausführbar machen mit chmod +x.

4 P5 - Durchhängendes Seil Grundlegende AMPL-Modellierungsstruktur verstehen. Plotten von Ergebnissen mit gnuplot. Unterschiedliche Löser testen.

5 P5 - Durchhängendes Seil Ergebnisse mit verschiedenen Lösern: Solver f (x ) it eval f eval f time Verfahren MINOS s GRG LOQO s IP SNOPT s SQP Konvergenz ist abhängig vom Löser und vom Problem. Konvergenzgeschwindigkeit kann sehr unterschiedlich sein. Immer genau auf die Ausgabe der Löser achten! LOQO 6.06: optimal solution (27 iter, 27 eval) MINOS 5.51: the superbasics limit (50) is too small. Fehlende Konvergenz kann ggf. mit Veränderung von Parametern behoben werden (superbasics limit)

6 P5 - Durchhängendes Seil Verschiedene Löser können trotz gleichem Startpunkt verschiedene lokale Minima generieren.

7 P6 - Optimales Design eines Gebäudes MINLP-Problem, also mit Ganzzahligkeitsrestriktionen. Lösen von Probleminstanzen mit festem n h, n t : Variablen- und Restriktions-Eliminierung von AMPL: Presolve eliminates 2 constraints and 2 variables. Optimaler ZFW ist obere Schranke für optimalen ZFW des Ursprungsproblems. Lösen des relaxierten Optimierungsproblems: Optimaler ZFW ist untere Schranke für optimalen ZFW des Ursprungsproblems. Gute Startwerte sind wichtig.

8 Innere-Punkte-Verfahren Problemstellung Problem der Form min x R n f (x) u. d. N. g(x) 0 Die KKT-Bedingungen lauten dann x L( x, λ) = 0, g( x) 0 λ T g( x) = 0 λ 0 mit der Lagrangefunktion L(x, λ) = f (x) + g(x) T λ. Nach Einführung von Schlupfvariablen z und Umschreiben der dritten Gleichung haben die Bedingungen die Form x L(x, λ) F (x, λ, z) := g(x) + z Λ T Ze = 0 (1) mit Λ = diag(λ), Z = diag(z), e = (1, 1,..., 1) T. (λ, z) 0 (2)

9 Innere-Punkte-Verfahren Umschreiben des Problems Grundidee: abgewandeltes Newton-Verfahren auf die Gleichung F (x, λ, z) = 0 anwenden mit (λ k, z k ) > 0 k. Die dritte Komponente der Gleichung wird durch einen Term τ k e k gestört, welcher im Laufe des Verfahrens gegen 0 geht (τ k 0). In jeder Iteration Lösen eines Gleichungssystems der Form 2 xxl(x, λ) g(x) 0 g(x) T 0 I 0 Z Λ x λ = z x L(x, λ) g(x) + z Λ T Ze τe Schrittweite σ muss (λ + σ λ, z + σ z) > 0 garantieren Um ein global konvergentes, allgemein anwendbares Verfahren zu erhalten, sind noch einige Erweiterungen nötig.. (3)

10 Installation von IPOPT Hinweise: Installationsanleitung genau lesen! Externe Pakete müssen zusätzlich geladen werden. configure make

11 Los geht s! Heute gemeinsames Ende um... Uhr.

12 P8 - Installation von Ipopt Kampf durch Installationsanleitung. Mischung aus Genau lesen! und Unwichtiges überspringen. Externe Pakete für effizientes Lösen der Teilprobleme. configure und make. Für einige: Durchhalten!

13 P8+P9 - Minimale Oberfläche/Das Problem der Fässerrampe Diskretisierung durch Triangulierung. IPOPT mit Schnittstelle AMPL IPOPT mit Schnittstelle C++

14 Optical flow: Problemstellung

15 Optical flow: Beispiel Startbild

16 Optical flow: Beispiel Endbild

17 Optical flow: Beispiel Differenz der Bilder markiert

18 Optical flow: Beispiel Berechnetes Zwischenbild

19 Optical flow: Beispiel Differenz zum wahren Zwischenbild

20 Zusammenfassung Tag 2 Innere-Punkte-Verfahren Installation von IPOPT Zusammenfassung Tag 3 Niedrigrang-Approximation Garreis/Jarde Rechnerpraktikum zur Nichtlinearen Optimierung

21 Lösung parametrischer Optimierungsprobleme Lösungen eines parametrischen Hindernisproblems für verschiedene Parameter

22 Abschluss Danke für euer Interesse und Engagement! Bitte evaluiert uns! Gibt es jetzt noch Rückmeldungen oder Fragen?