Modulhandbuch für die Bachelorstudiengänge. Mathematik Technomathematik Wirtschaftsmathematik Lehramt (vertieft) Lehramt (nicht vertieft) WS 2007/08

Transkript

1 WS 2007/08 Mathematik, Technomathematik, Wirtschaftsmathematik (FAU) 1 Modulhandbuch für die Bachelorstudiengänge Mathematik Technomathematik Wirtschaftsmathematik Lehramt (vertieft) Lehramt (nicht vertieft) WS 2007/08 Universität Erlangen-Nürnberg 4. Oktober 2007

2 WS 2007/08 Mathematik, Technomathematik, Wirtschaftsmathematik (FAU) 2 Inhaltsverzeichnis Die Bachelor-Studiengänge 3 Mathematik, Technomathematik und Wirtschaftsmathematik 4 Studieninhalte Orientierung und Betreuung Abschlussarbeit Prüfungsordnung Die Lehramtsstudiengänge 6 Lehramt an Gymnasien Lehrämter an Grund-, Haupt-, Real- und beruflichen Schulen Modulbeschreibungen der Bachelorstudiengänge 8 In Nürnberg angebotene Module 8 Elemente der Analysis Elemente der Linearen Algebra In Erlangen angebotene Module 11 Orientierungsseminar Analysis Lineare Algebra Oktober 2007

3 WS 2007/08 Mathematik, Technomathematik, Wirtschaftsmathematik (FAU) 3 Die Bachelor-Studiengänge Auf den folgenden Seiten werden zunächst die drei Studiengänge Mathematik, Technomathematik und Wirtschaftsmathematik vorgestellt. Allen gemeinsam sind die gleiche fundierte Grundausbildung in Analysis und Linearer Algebra im ersten Studienjahr, ein Orientierungsseminar im ersten Studienjahr, in dem verschiedene Basisqualifikationen für ein Mathematik-Studium vermittelt werden - z.b. der Umgang mit den Workstations im Department Mathematik, Grundlagen von Mathematik-Software, angemessene schriftliche und mündliche Präsentation mathematischer Inhalte, studiengangsspezifische Fragestellungen, Pflichtmodule zu mathematischer Software und in angewandter Mathematik, sowie die Erstellung einer Bachelor-Arbeit, deren Thema aus einem speziellen Bachelor- Seminar im dritten Studienjahr hervorgeht. Danach werden die Lehramtsstudiengänge vorgestellt. In Erlangen und Nürnberg werden zukünftige Mathematiklehrerinnen und -lehrer für alle Schularten ausgebildet, d.h. man kann hier Mathematik für das Lehramt an Gymnasien (vertieftes Lehramtsstudium, 10 Semester), Realschulen (nicht vertieftes Lehramtsstudium, 7 Semester) und Grund- und Hauptschulen (nicht vertieftes Lehramtsstudium, 7 Semester) studieren. Im vertieften Lehramtsstudium werden die meisten Module gemeinsam mit Studierenden der anderen oben aufgeführten Bachelor-Studiengänge in Erlangen absolviert. Die Lehrveranstaltungen für das nicht vertiefte Lehramtsstudium finden zum größten Teil an der Erziehungswissenschaftlichen Fakultät in Nürnberg statt. Im Rahmen aller drei Lehramtsstudiengänge wird in Zukunft auch ein Bachelor-Abschluss erworben. 4. Oktober 2007

4 WS 2007/08 Mathematik, Technomathematik, Wirtschaftsmathematik (FAU) 4 Mathematik, Technomathematik und Wirtschaftsmathematik In den Bachelor-Studiengängen Mathematik, Technomathematik und Wirtschaftsmathematik werden innerhalb von drei Jahren grundlegende Kenntnisse und Fähigkeiten zum Einsatz mathematischer Techniken vermittelt. Mit diesen Abschlüssen kann man direkt in den Beruf einsteigen oder sich um einen Studienplatz in einem der chancenreichen Masterstudiengänge in Erlangen und Nürnberg oder an anderen Hochschulen bewerben. Studienbeginn ist jeweils im Wintersemester. Studieninhalte In allen drei Bachelor-Studiengängen steht das erste Studienjahr im Zeichen der Grundmodule Analysis und Lineare Algebra, in denen die aus der Schule bekannten Differenzial- und Integralrechnung bzw. Vektor- und Matrizenrechnung auf eine begrifflich klare axiomatische Grundlage gestellt und stark verallgemeinert wird. Begleitet werden diese Module durch Orientierungsseminare, in denen Grundfertigkeiten für ein erfolgreiches Studium am Department Mathematik in Erlangen vermittelt werden. Auch die einführenden Module zur angewandten Mathematik - das sind die Numerik I und die Stochastische Modellbildung im zweiten Studienjahr sowie eine Einführung in das Programmieren mit C - gehören zum Pflichtprogramm aller drei Studiengänge. Der Bachelorstudiengang Mathematik Im Studiengang Mathematik wird immer auch ein Nebenfach studiert (z.b. Physik, Informatik, Betriebswirtschaft, Volkswirtschaft, Information und Kommunikation oder Philosophie), das einen Anteil von ca. 20% am gesamten Studium einnimmt. Der Schwerpunkt liegt jedoch auf einer breiten mathematisch-theoretischen Ausbildung. Dazu wird man schon im mathematischen Proseminar im zweiten Studienjahr an die selbstständige Durchdringung und anschließende ausführliche Präsentation mathematischer Fachliteratur herangeführt. Schließlich werden in weiteren Modulen aus allen Bereichen der Mathematik (größtenteils nach Wahl) erste Einblicke in verschiedene Spezialisierungsrichtungen der Mathematik geboten. Der Bachelorstudiengang Technomathematik Im Studiengang Technomathematik stehen die Anwendungen der Mathematik auf technische Fragestellungen im Vordergrund. Das heißt fast immer, dass mathematische Erkenntnisse schließlich in ein Computer-Programm umgesetzt werden müssen, mit dem dann die 4. Oktober 2007

5 WS 2007/08 Mathematik, Technomathematik, Wirtschaftsmathematik (FAU) 5 konkreten Rechnungen zur Lösung eines Problems durchgeführt werden. Deshalb gehört neben einem ingenieurwissenschaftlichen Nebenfach (Elektrotechnik, Maschinenbau oder Chemieingenieurwesen) auch eine Reihe von Informatik-Modulen zum Umfang der Ausbildung. Der Bachelorstudiengang Wirtschaftsmathematik Im Studiengang Wirtschaftsmathematik stehen die Anwendungen der Mathematik auf ökonomische Fragestellungen im Vordergrund. Für den dazu nötigen Background sorgen eine Grundausbildung sowohl in Betriebs- als auch in Volkswirtschaft. Das weitere mathematische Rüstzeug wird in mathematischen Modulen mit spezifischem Anwendungspotential, wie z.b. Optimierung oder Statistik, erworben. Orientierung und Betreuung Die unterschiedlichen Schwerpunkte der drei Studiengänge werden auch in zwei weiteren Modulen berücksichtigt, in denen studiengangsspezifische Fragestellungen in überschaubaren Gruppen bearbeitet werden. Im ersten Studienjahr ist es das Orientierungsseminar, in dem, begleitet durch einen Dozenten oder eine Dozentin der Mathematik, erste Erfahrungen mit selbstständiger, in Kleingruppen organisierter wissenschaftlicher Arbeit gemacht werden. Die Betreuer sind gleichzeitig auch die persönlichen Mentoren ihrer Studierenden während des ersten Studienjahres, das für alle mit der Grundlagen- und Orientierungsprüfung abgeschlossen wird. Abschlussarbeit Im sechsten Semester steht die Anfertigung einer Abschlussarbeit im Vordergrund. Das dazu nötige Spezialwissen wird in Vertiefungs- und Spezialisierungsmodulen und in einem Bachelor-Seminar vermittelt. Prüfungsordnung Die Prüfungsmodalitäten aller drei Bachelor-Studiengänge sind in einer gemeinsamen Prüfungsordnung ( prbama/po-bama.pdf) geregelt. 4. Oktober 2007

6 WS 2007/08 Mathematik, Technomathematik, Wirtschaftsmathematik (FAU) 6 Die Lehramtsstudiengänge Lehramt an Gymnasien Dieser Studiengang beinhaltet das Studium von zwei Unterrichtsfächern, je im Umfang von ca. 70 SWS (inklusive der Fachdidaktik), in einer Regelstudienzeit von 9 Semestern. Mathematik kann mit Deutsch, Englisch, Informatik, Latein, Musik (nicht in Erlangen), Physik, (evang.) Religionslehre, Sport, Psychologie (in Kooperation mit der Universität Bamberg) und Wirtschaftswissenschaften kombiniert werden. Hauptmerkmal der staatlichen Ersten Lehramtsprüfung ist die Erste Staatsprüfung. Der Studiengang ist in den ersten sechs Semestern als ein Bachelor-Studiengang konzipiert, welcher bereits zwei Drittel der für den Lehramtsstudiengang zu erbringenden Leistungspunkte umfasst; dieser Bachelor kann danach zu einem Master of Education ausgebaut werden (Regelstudienzeit vier Semester). Der Erwerb des Mastergrads ist auch bei nicht bestandener Erster Staatsprüfung möglich. Diese Hochschulabschlüsse (Bachelor bzw. Master) sollen Beschäftigungschancen außerhalb des öffentlichen Schulwesens eröffnen. Die Lehrveranstaltungen in Mathematik im ersten Studienjahr sind identisch mit denen für den Bachelorstudiengang Mathematik, die auf den vorhergehenden Seiten beschrieben sind. Lehrämter an Grund-, Haupt-, Real- und beruflichen Schulen Auch diese Lehramtsstudiengänge sind als Bachelor-Studiengänge konzipiert (Regelstudienzeit 6 Semester). Sie führen zum Erwerb eines Bachelor of Education und beanspruchen dafür bereits 180 der insgesamt 210 im jeweiligen Lehramtsstudium zu erwerbenden Leistungspunkte; die Bachelorarbeit dient dabei zugleich als Zulassungsarbeit zur Ersten Staatsprüfung, die das Hauptmerkmal der Ersten Lehramtsprüfung ist. Die Regelstudienzeit für die Lehrämter an Grund-, Haupt- und Realschulen beträgt 7 Semester, fürs Lehramt an beruflichen Schulen 9 Semester. Im Studiengang Lehramt Realschule ist ein zweites Unterrichtsfach zu wählen; mit Mathematik kombinierbar sind Chemie, Deutsch, Englisch, Informatik, Kunst, Musik, Physik, Religionslehre, Sport und Wirtschaftswissenschaften. Im Studiengang Lehramt an beruflichen Schulen kann an der Universität Erlangen-Nürnberg das Fach Mathematik nur mit der (vertieft zu studierenden) beruflichen Fachrichtung Elektro- und Informationstechnik gekoppelt werden. Das Studium des Unterrichtsfachs Mathematik für Grund- und Hauptschulen beginnt mit eigenständigen Veranstaltungen am Standort Nürnberg (Regensburger Str. 160) und umfasst (inklusive der Fachdidaktik) zumindest 45 SWS; die genaue SWS-Zahl hängt auch vom gewählten Lehramtsstudiengang ab. Im ersten Studienjahr sind in Nürnberg das Mathematik-Modul Elemente der Linearen Algebra (10 SWS) sowie - im zweiten Semester 4. Oktober 2007

7 WS 2007/08 Mathematik, Technomathematik, Wirtschaftsmathematik (FAU) 7 - der erste Teil des Mathematik-Moduls Elemente der Analysis (4 SWS) zu hören. 4. Oktober 2007

8 WS 2007/08 Mathematik, Technomathematik, Wirtschaftsmathematik (FAU) 8 Modulbeschreibungen der Bachelorstudiengänge Auf den folgenden Seiten sind alle Module für die Bachelorstudiengänge Mathematik, Technomathematik Wirtschaftsmathematik sowie für das vertiefte und das nicht vertiefte Lehramtsstudium aufgeführt, die von der Lehreinheit Mathematik angeboten werden und von denen zumindest ein Teil im WS 2007/08 stattfindet. Abkürzungen ECTS LP P PS S SS SWS Ü V WS European Credit Transfer System Leistungspunkte (nach ECTS) Praktikum Proseminar Seminar Sommersemester Semesterwochenstunde Übung Vorlesung Wintersemester (die darauf folgende Jahresangabe gibt immer das Jahr an, in dem das Semester beginnt) 4. Oktober 2007

9 WS 2007/08 Mathematik, Technomathematik, Wirtschaftsmathematik (FAU) 9 Modulbezeichnung Elemente der Analysis ( 15 LP ) EAna Lehrveranstaltungen Sommersemester - V/Ü: El. Analysis I (4 SWS) 6 LP Wintersemester - V: El. Analysis II (4 SWS) 6 LP - Ü: zu El. Analysis II (2 SWS) 3 LP Dozent, Sprechstunde Y. Sanderson Anmeldung Ort und Zeit SS 08: WS 08/09: Modulverantwortliche G. Martens, Y. Sanderson Inhalt Elemente der Analysis I: - Funktionsbegriff (injektiv, surjektiv, Graph, Umkehrabbildung) - Grundeigenschaften der natürlichen, der rationalen und der reellen Zahlen, Axiome für die rationalen und die reellen Zahlen - Zahlenfolgen und Reihen: Rechenregeln und Konvergenzkriterien; beschränkte und monotone Folgen; absolute Konvergenz; alternierende Reihen; Beispiele für Reihen (u.a. die geometrische, die harmonische und die Exponentialreihe) - Funktionen einer reellen Veränderlichen: Grenzwerte und Stetigkeit Elemente der Analysis II: - der Graph stetiger Funktionen (Zwischenwertsatz usw.) und Stetigkeit der Umkehrfunktion - Komplexe Zahlen - die elementaren Funktionen: rationale Funktionen, allgemeine Exponentialfunktion und allgemeine Potenz, Logarithmus, Hyperbel- und Kreisfunktionen - Differentialrechnung in einer reellen Veränderlichen: Differenzierbarkeit und der Graph differenzierbarer Funktionen (Mittelwertsatz, Extremwerte, Monotonie), Differenzierbarkeit der Umkehrfunktion - reell-analytische Funktionen: Funktionenkonvergenz; Potenzreihen; Taylorformel und Taylorreihen; Leibnizsche Reihe - Integralrechnung in einer reellen Veränderlichen: Riemann-Integral; Rechenregeln; Integrationstechniken; unbestimmtes Integral und Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung; Keplersche Fassregel und der Rauminhalt von Rotationskörpern; ebene Kurven und ihre Bogenlänge (auch in ebenen Polarkoordinaten) Lernziele und Kompetenzen - Einführung in die Analysis von Funktionen einer reellen Veränderlichen, bei Beschränkung auf die in der Lehramtsprüfungsordnung I geforderten Lehrinhalte Modul-ElemAnalysis.tex 4. Oktober 2007

10 WS 2007/08 Mathematik, Technomathematik, Wirtschaftsmathematik (FAU) 10 - nebenher: Erwerb analytischen Denkvermögens Voraussetzungen für die Teilnahme Es werden keine anderen Module vorausgesetzt, wohl aber ein solider Kenntnisstand in gymnasialer Schulmathematik Einpassung in Musterstudienplan - Grundmodul im 2. und 3. Studiensemester für die Lehramtsstudiengänge Grund-, Haupt-, Realschulen und berufliche Schulen mit Unterrichtsfach Mathematik - Grundmodul im 4. und 5. Studiendemester für das Doppelwahlpflichtfach Mathematik im Bachelorstudiengang Wirtschaftswissenschaften mit Schwerpunkt Wirtschaftsund Betriebspädagogik Verwendbarkeit des Moduls - Pflichtmodul für die Lehramtsstudiengänge Grund-, Haupt-, Realschulen und berufliche Schulen mit Unterrichtsfach Mathematik - Pflichtmodul für den oben genannten Bachelorstudiengang Wirtschaftspädagogik mit dem Doppelwahlpflichtfach Mathematik Studien- und Prüfungsleistungen - Studienleistung: Erwerb der Übungsscheine in beiden Semestern durch regelmäßige Teilnahme und regelmässige und gewissenhafte Bearbeitung von Übungsaufgaben; der Übungsschein zu El. der Analysis I beinhaltet eine Klausur. - Prüfungsleistung: 90-minütige Abschlussklausur über den Stoff beider Vorlesungen Berechnung Modulnote Abschlussklausur: 100 % Turnus des Angebots Jährlich Arbeitsaufwand - Präsenzzeit: 146 h - Eigenstudium: 304 h Dauer des Moduls Unterrichtssprache 2 Semester Deutsch Literatur. Forster: Analysis I. Vieweg. Königsberger: Analysis I. Springer. Heuser: Lehrbuch der Analysis, Teil I. Teubner Modul-ElemAnalysis.tex 4. Oktober 2007

11 WS 2007/08 Mathematik, Technomathematik, Wirtschaftsmathematik (FAU) 11 Modulbezeichnung Elemente der Linearen Algebra ( 15 LP ) ELA Lehrveranstaltungen Dozent, Sprechstunde Anmeldung Ort und Zeit Wintersemester - V: El. Lin. Alg. I (2 SWS) 3 LP - Ü: zu El. Lin. Alg. I (2 SWS) 3 LP Sommersemester - V: El. Lin. Alg. II (4 SWS) 6 LP - Ü: zu El. Lin. Alg. II (2 SWS) 3 LP G. Martens WS 07/08: Di, Do Uhr, Nuernberg SS 08: Modulverantwortlicher G. Martens Inhalt Elemente der Linearen Algebra I: - Mengen - der n-dimensionale Zahlenraum: Lineare Gleichungssysteme und ihre Lösbarkeit; Vektorrechnung; lineare und affine Unterräume, lineare Unabhängigkeit, Rang und Dimension; euklidisches Skalarprodukt, Orthonormalisierung, Orthogonalprojektion, Bewegungen, Isometrien und deren Linearität Elemente der Linearen Algebra II: - Lineare Abbildungen: Beschreibung durch Matrizen; Matrizenrechnung; Basiswechsel; Kern und Bild linearer Abbildungen; Determinanten (Permutationen, Leibnizformel, Cramersche Regel, Multiplikationssatz,Laplace-Entwicklung) - Algebraische Grundstrukturen: Gruppen aus der lin. Algebra; Ringe und Körper (komplexe Zahlen in Matrizendarstellung); Vektorräume - Eigenwerte: charakteristisches Polynom; Eigenräume; Triangulierbarkeit und Diagonalisierbarkeit; Normalform für Isometrien des zwei- und des dreidimensionalen Zahlenraums; symmetrische Matrizen und Hauptachsentransformation; quadratische Formen Lernziele und Kompetenzen Elemente der Linearen Algebra I: ertrautheit mit dem Gauss-Algorithmus zur Lösung linearer Gleichungssysteme; strukturelles Verständnis derartiger Systeme (Lösungsraum, Dimension, affiner Unterraum); Grundzüge der euklidischen Geometrie Elemente der Linearen Algebra II: Qualitatives Verständnis linearer Abbildungen (Matrizenrechnung; Determinanten; Eigenwerte); Kenntnisse über mathematische Grundstrukturen und über quadratische Geometrie nebenher: Erwerb analytischen Denkvermögens Modul-ElemLineareAlgebra.tex 4. Oktober 2007

12 WS 2007/08 Mathematik, Technomathematik, Wirtschaftsmathematik (FAU) 12 Voraussetzungen für die Teilnahme Es werden keine anderen Module vorausgesetzt, wohl aber ein solider Kenntnisstand in gymnasialer Schulmathematik Einpassung in Musterstudienplan - Grundmodul im 1. und 2. Studiensemester für die Lehramtsstudiengänge Grund-, Haupt-, Realschulen und berufliche Schulen mit Unterrichtsfach Mathematik - Grundmodul für das Doppelwahlpflichtfach Mathematik im Master-Studiengang (M.Sc.) Business and Human Resource Education der WiSo-Fakultät Verwendbarkeit des Moduls - Pflichtmodul (GOP-Modul) für die Lehramtsstudiengänge Grund-,Haupt-, Realschulen und berufliche Schulen mit Unterrichtsfach Mathematik - Pflichtmodul für den oben genannten Masterstudiengang der WiSo-Fakultät mit dem Doppelwahlpflichtfach Mathematik Studien- und Prüfungsleistungen - Prüfungsleistung: 30-minütige mündliche Prüfung zum Inhalt beider Vorlesungen Studienleistungen: Erwerb der Übungsscheine mit Klausur in beiden Semestern durch regelmässige Teilnahme und regelmässige und gewissenhafte Bearbeitung von Übungsaufgaben Berechnung Modulnote Mündliche Prüfung: 100 % Turnus des Angebots Jährlich Arbeitsaufwand - Präsenzzeit: 144 h - Eigenstudium: 306 h Dauer des Moduls Unterrichtssprache 2 Semester Deutsch Literatur. Anton: Lineare Algebra. Spektrum. Fischer: Lineare Algebra. Vieweg. Jaenich: Lineare Algebra. Springer. Lorenz: Lineare Algebra I, II. BI Modul-ElemLineareAlgebra.tex 4. Oktober 2007

13 WS 2007/08 Mathematik, Technomathematik, Wirtschaftsmathematik (FAU) 13 Modulbezeichnung Orientierungsseminar ( 5 LP ) OrSe Lehrveranstaltungen Dozent, Sprechstunde Anmeldung Ort und Zeit Wintersemester: - PS: Orientierungsseminar Teil 1 (3 SWS) Sommersemester: - PS: Orientierungsseminar Teil 2 (2 SWS) Modulverantwortliche G. Keller, G. Leugering, Y. Sanderson Inhalt - Einführung in die EDV des Departments Mathematik - Einführung in die mathematische Software MAPLE - Behandlung diverser elementar oder experimentell zugänglicher mathematischer Fragestellungen, insbesondere auch solcher Beispiele, die für die verschiedenen Bachelor- Studiengänge von spezifischem Interesse sind. - Hilfestellungen für die Vorbereitung auf die Grundlagen- und Orientierungsprüfung Lernziele und Kompetenzen Vermittelt werden: - Basisfertigkeiten im Umgang mit mathematischer Software - Erste Erfahrungen mit der Erarbeitung von Problemlösungsstrategien in Kleingruppen sowie der Präsentation der Ergebnisse - Techniken zur mündlichen und schriftlichen Präsentation mathematischer Inhalte - Selbstorganisation in einer Phase der Prüfungsvorbereitung Voraussetzungen für die Teilnahme Keine Einpassung in Musterstudienplan Im 1. und 2. Studiensemester der Studiengänge Mathematik, Technomathematik und Wirtschaftsmathematik sowie im vertieften Lehramtsstudium. Verwendbarkeit des Moduls Pflichtmodul in den Studiengängen Mathematik, Technomathematik und Wirtschaftsmathematik sowie im vertieften Lehramtsstudium. Kontrollierte regelmäßige Teilnahme, Präsenta- Studien- und Prüfungsleistungen tion von Arbeitsergebnissen Das Modul wird nicht benotet, es muss nur bestanden wer- Berechnung Modulnote den. Turnus des Angebots Jährlich Arbeitsaufwand Modul-Orientierungsseminar.tex 4. Oktober 2007

14 WS 2007/08 Mathematik, Technomathematik, Wirtschaftsmathematik (FAU) 14 - Präsenzzeit: 73 h - Eigenstudium: 77 h Dauer des Moduls Unterrichtssprache 2 Semester Deutsch Vorbereitende Literatur Keine Modul-Orientierungsseminar.tex 4. Oktober 2007

15 WS 2007/08 Mathematik, Technomathematik, Wirtschaftsmathematik (FAU) 15 Modulbezeichnung Analysis ( 17,5 LP ) Ana Lehrveranstaltungen Wintersemester - V: Analysis I (4 SWS) 5,5 LP - Ü: zur Analysis I (2 SWS) 3 LP Sommersemester - V: Analysis II (4 SWS) 6 LP - Ü: zur Analysis II (2 SWS) 3 LP Dozent, Sprechstunde A. Gastel Anmeldung Ort und Zeit Mi, Fr 12-14, Großer Hörsaal Henkestr. 42 Modulverantwortliche F. Duzaar, A. Gastel, A. Knauf Inhalt Analysis I: - Naive Mengenlehre und Logik - Grundeigenschaften der natürlichen, rationalen und reellen Zahlen: Vollständige Induktion, Körper- und Anordnungsaxiome, Vollständigkeit, untere / obere Grenzen, Dichtheit von Q in R, abzählbare und überabzählbare Mengen - Komplexe Zahlen: Rechenregeln und ihre geometrische Interpretation, quadratische Gleichungen - Metrische und normierte Räume: Konvergenz, Cauchy-Folgen, Vollständigkeit - Zahlenfolgen und Reihen: Konvergenzkriterien und Rechenregeln, absolute Konvergenz, Potenzreihen, unendliche Produkte - Elementare Funktionen, rationale Funktionen, Potenzen mit reellen Exponenten, Exponentialfunktion, Hyperbelfunktionen, trigonometrische Funktionen, Monotonie und Umkehrfunktion, Logarithmus - Stetige reellwertige Funktionen: Zwischenwertsatz, Existenz von Minimum und Maximum auf kompakten Mengen, stetige Bilder von Intervallen und Umkehrbarkeit, gleichmäßige Stetigkeit, gleichmäßige Konvergenz - Differential- und Integralrechnung in einer reellen Veränderlichen: Rechenregeln für Differentiation, Mittelwertsatz der Differentialrechnung, Taylorformel, Extremwerte und Kurvendiskussion, Definition des Integrals und Rechenregeln, gliedweise Differentiation, Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung, Mittelwertsatz der Integralrechnung. Analysis II: - Fourier-Reihen - Metrische Räume: Topologie metrischer Räume, stetige Abbildungen zwischen metrischen Räumen Kompaktheit, Vollständigkeit, Fixpunktsatz von Banach, Satz von Arzela-Ascoli Modul-Analysis.tex 4. Oktober 2007

16 WS 2007/08 Mathematik, Technomathematik, Wirtschaftsmathematik (FAU) 16 - Differentialrechnung in mehreren Veränderlichen: Partielle Ableitung und Jacobi- Matrix, Satz von Schwarz, totale Ableitung und Linearisierung, lineare Differentialoperatoren (Gradient, Divergenz, Rotation), Lipschitz-Stetigkeit und Schrankensatz, Extremwerte, Extrema mit Nebenbedingungen, Taylorformel, Sätze über implizite und inverse Funktionen, Untermannigfaltigkeiten Lernziele und Kompetenzen - Einführung in die Analysis von Funktionen einer reellen Variablen, - analytisches Denken, strukturierte Darstellung mathematischer Sachverhalte, grundlegende Beweistechniken, - kreatives Problemlösen Voraussetzungen für die Teilnahme Es werden keine anderen Module vorausgesetzt, wohl aber ein solider Kenntnisstand in Mathematik, wie er in einem Mathematik- Grundkurs der Kollegstufe vermittelt wird. Einpassung in Musterstudienplan Grundmodul im 1. und 2. Studiensemester der Studiengänge Mathematik, Technomathematik und Wirtschaftsmathematik Verwendbarkeit des Moduls Pflichtmodul für die Studiengänge Mathematik, Technomathematik, Wirtschaftsmathematik und für das vertiefte Lehramtsstudium Studien- und Prüfungsleistungen - V: Prüfungsleistung: 30-minütige mündliche Prüfung - Ü: Studienleistungen: Bestehen je einer Klausur in beiden Semestern. Zur Teilnahme an den Klausuren ist die Zulassung durch den Dozenten oder die Dozentin erforderlich. Zugelassen wird, wer regelmäßig an den Übungen teilgenommen und mindestens 50% der durch die Hausarbeiten erreichbaren Punkte erreicht hat. In Ausnahmefällen kann die Zulassung zur Klausur aufgrund anders nachgewiesener gleichwertiger Kenntnisse erfolgen. Berechnung Modulnote - V: 100% Turnus des Angebots Jährlich Arbeitsaufwand - Präsenzzeit: 174 h - Eigenstudium: 351 h Dauer des Moduls Unterrichtssprache 2 Semester Deutsch Modul-Analysis.tex 4. Oktober 2007

17 WS 2007/08 Mathematik, Technomathematik, Wirtschaftsmathematik (FAU) 17 Literatur. Forster: Analysis, Bd. 1. und 2., Vieweg. Hildebrandt: Analysis 1. und 2., Springer. Königsberger: Analysis 1. und 2., Springer. Spivak: Calculus, Benjamin. Duzaar: Skript, MI. Knauf: Skript, MI Modul-Analysis.tex 4. Oktober 2007

18 WS 2007/08 Mathematik, Technomathematik, Wirtschaftsmathematik (FAU) 18 Modulbezeichnung Lineare Algebra ( 17,5 LP ) LA Lehrveranstaltungen Wintersemester: - V: L.A. und A.G. I (4 SWS) 5,5 LP - Ü: zur L.A. und A.G. I (2 SWS) 3 LP Sommersemester: - V: L.A. und A.G. II (4 SWS) 6 LP - Ü: zur L.A. und A.G. II (2 SWS) 3 LP Dozent, Sprechstunde F. Knop Anmeldung Ort und Zeit Mo 12-14, Do 10-12, Großer Hörsaal Henkestr. 42 Modulverantwortliche W.P. Barth, F. Knop Inhalt Lineare Algebra und analytische Geometrie I: - Der n-dimensionale Zahlenraum: Lineare Gleichungssysteme, Gauß-Elimination, Vektorrechnung, Geraden, lineare Unterräume, lineare Unabhängigkeit, Dimension, Skalarprodukt, Gram-Schmidt-Orthonormalisierung, Orthogonalprojektion - Matrizen und Determinanten: Bewegungen im Rn, Lineare Abbildungen und Matrizen, Invertierbarkeit, Permutationen und Signum, Determinanten, Leibnizformel, Laplace-Entwicklung, Cramersche Regel - Algebraische Grundstrukturen: Gruppen (GL(n,R), O(n,R), Permutationsgruppen), Körper (Q,R,C,Fp), Vektorräume, Untervektorraum, Quotientenvektorraum, lineare Abbildungen, Kern und Bild, Dualraum - Koordinatentransformationen: Basiswechsel, Ähnlichkeit von Matrizen, Eigenwerte Diagonalisierbarkeit, Trigonalisierbarkeit, Cayley-Hamilton, Jordan Normalform, Hauptachsentransformation für symmetrische reelle Matrizen. Lineare Algebra und analytische Geometrie II: - Multilinearformen: Bilinearformen, symmetrische, alternierende, quadratische Formen, Definitheit, hermitesche Formen, Skalarprodukte, adjungierte und normale Operatoren, alternierende Multilinearformen, Grassmann-Algebra, Koordinatisierung der linearen Unterräume - Affine Geometrie: Affine Unterräume, affine und baryzentrische Koordinaten, Teilverhältnis, Dreiecksgeometrie, Quadriken - Konvexe Geometrie: Polyeder, Seiten, Stützhyperebenen, Extremalpunkte, Problem und duales Problem Lernziele und Kompetenzen Erkennen linearer und nicht-linearer Zusammenhänge sowie die Fähigkeit sie quantitativ und qualitativ zu behandeln. Insbesondere: LINEARE ALGEBRA I: Vertrautheit mit dem Gauß-Algorithmus zum Lösen linearer Gleichungssysteme; die Fähigkeit, diesen Algorithmus von Hand zu verwenden Modul-Lineare-Algebra.tex 4. Oktober 2007

19 WS 2007/08 Mathematik, Technomathematik, Wirtschaftsmathematik (FAU) 19 und ihn auf dem Computer zu implementieren; strukturelles Verständnis derartiger Gleichungssysteme (Lösungsraum, Dimension, lineare Abbildung); Fähigkeit mathematische Grundstrukturen (Gruppe, Körper, Vektorraum) zu erkennen und mit ihnen umzugehen; Beherrschung der Matrizenrechnung und des Determinantenkalküls; qualitatives Verständnis linearer Abbildungen (Eigenwerte, Diagonalisierbarkeit); LINEARE ALGEBRA II: Vertrautheit mit quadratischen Formen als den einfachsten nicht-linearen Funktionen; Fähigkeit sie qualitativ zu untersuchen (Definitheit); Kenntnis der Diagonalisierungsmethoden (quadratische Ergänzung, Hauptachsentransformation, adjungierte, selbstadjungierte und normale Operatoren). Kenntnis der elementaren affinen und konvexen Geometrie; Fähigkeit, geometrische Probleme algebraisch zu formulieren und zu behandeln; speziell Kenntnis der Theorie der Polyeder; Kenntnisse von Grundlagen der linearen Optimierung; Voraussetzungen für die Teilnahme Es werden keine anderen Module vorausgesetzt, wohl aber ein solider Kenntnisstand in Mathematik, wie er in einem Mathematik- Grundkurs der Kollegstufe vermittelt wird. Einpassung in Musterstudienplan Grundmodul im 1. und 2. Studiensemester der Studiengänge Mathematik, Technomathematik und Wirtschaftsmathematik Verwendbarkeit des Moduls Pflichtmodul für die Studiengänge Mathematik, Technomathematik, Wirtschaftsmathematik und für das vertiefte Lehramtsstudium Studien- und Prüfungsleistungen - V: Prüfungsleistung: 30-minütige mündliche Prüfung - Ü: Studienleistungen: Bestehen je einer Klausur in beiden Semestern. Zur Teilnahme an den Klausuren ist die Zulassung durch den Dozenten oder die Dozentin erforderlich. Zugelassen wird, wer regelmäßig an den Übungen teilgenommen und mindestens 50% der durch die Hausarbeiten erreichbaren Punkte erreicht hat. In Ausnahmefällen kann die Zulassung zur Klausur aufgrund anders nachgewiesener gleichwertiger Kenntnisse erfolgen. Berechnung Modulnote - V: 100% Turnus des Angebots Jährlich Arbeitsaufwand - Präsenzzeit: 174 h - Eigenstudium: 351 h Dauer des Moduls Unterrichtssprache 2 Semester Deutsch Literatur - E. Brieskorn: Lineare Algebra und analytische Geometrie 1, 2, Vieweg 1983, 1985 Modul-Lineare-Algebra.tex 4. Oktober 2007

20 WS 2007/08 Mathematik, Technomathematik, Wirtschaftsmathematik (FAU) 20 - G. Fischer: Lineare Algebra, Vieweg G. Fischer: Analytische Geometrie, Vieweg W. Graeub: Lineare Algebra, Springer H.J. Kowalsky: Lineare Algebra, de Gruyter F. Lorenz, Lineare Algebra I, II, BI 1981, Vorlesungsskriptum auf der Homepage des Mathematischen Instituts, ständig neu an die Vorlesung angepasst, letzte Version von W. Barth, Oktober 2005 Modul-Lineare-Algebra.tex 4. Oktober 2007