Vorlesung 12 Minimax, Alpha-Beta. mit Prolog Spiele spielen

Transkript

1 Vorlesung 12 Minimax, Alpha-Beta mit Prolog Spiele spielen

2 Beispiel Spiel Sie wählen einen der drei Töpfe A,B,C Ich wähle eine Zahl aus dem Topf Sie sollen die gewählte Zahl maximieren A B 1 3 C -5 15

3 Spielbaum (Game tree) Jeder Knoten ist ein Entscheidungspunkt für einen Spieler Jeder Pfad von der Wurzel zu einem Blatt ist ein möglicher Ausgang des Spiels

4 Idee von Minimax Wir nehmen an der Gegner spielt den für ihn besten Zug Wir wählen dann den für uns besten Zug

5 Nullsummenspiel mit 2 Spielern Generische Beschreibung eines Spiels: start/1 : Startzustand oder Startzustände end/1: haben wir einen Endzustand erreicht utility/2: Wert eines Endzustands für Spieler1 player/2: Welcher Spieler ist am Zug move/3: für einen Zustand und einen Zug die möglichen Folgezustände

6 Beispiel A B 1 3 C start((max,[ a/[a1/(-50), a2/50], b/[b1/1, b2/3], c/[c1/(-5), c2/15]] )). % a player can choose a sub bin move((p1,list),act,(p2,s)) :- member(act/s,list), other_player(p1,p2). end((_,x)) :- number(x). utility((_,v),v). player((p,_),p).

7 Nim Spiel Man fängt mit N Stäben an Jeder Spieler kann entweder 1 oder 2 Stäbe entfernen Der Spieler der den letzten Stab nimmt hat verloren

8 Nim: Prolog Darstellung start((max,9)). % e.g., we start with 9 sticks % a player can either remove 1 or 2 sticks move((p1,m),take1,(p2,m1)) :- M>0, M1 is M-1, other_player(p1,p2). move((p1,m),take2,(p2,m1)) :- M>0, M1 is M-2, other_player(p1,p2). end((_,x)) :- X<1. % the game is over when no sticks are left utility((max,_),1). % other player took last stick; we won utility((min,_),-1). % max lost player((p,_),p).

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10 A*, usw Kann man nicht anwenden: unterschiedliche Spieler kontrollieren die Züge man kann nur einen Spieler steuern Andere Besonderheit hier: Wert (utility) ist nur im Endzustand bestimmt

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12 Halving Game Man kann die Anzahl der Stäbe halbieren (truncated division) oder einen Stab wegnehmen Wer auf die 0 kommt hat gewonnen

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14 Halving: Prolog start((max,9)). % e.g., we start with 9 sticks % a player can either remove 1 or halve the number of sticks move((p1,m),minus1,(p2,m1)) :- M>0, M1 is M-1, other_player(p1,p2). move((p1,m),halve,(p2,m1)) :- M>0, M1 is M//2, other_player(p1,p2). end((_,x)) :- X<1. % the game is over when no sticks are left utility((max,_),-1). % the other player reached 0 utility((min,_),1). player((p,_),p).

15 Andere Spiele Tic-Tac-Toe Schach Dame Mühle

16 Kompletter Minimax Algorithmus Minimierungs- und Maximierungsebenen wechseln sich ab Baum wird entfaltet bis Endzustand gefunden wird

17 Prolog Code value(position,value,action,nextposition) :- (end(position) -> utility(position,value), NextPosition = none /* no more moves possible */ ; player(position,player), findall(action/succ,move(position,action,succ),sl), player_worst_outcome(player,iv), /* init. accum. with worst outcome */ find_optimal_value(sl,player,iv,none/none,value,action/nextposition) ). % update accumulator value in case a better solution found upd_val(max,pval,ps,acc,as,upd,us) :- (PVal>=Acc -> Upd=PVal,US=PS ; Upd=Acc,US=AS). upd_val(min,pval,ps,acc,as,upd,us) :- (PVal=<Acc -> Upd=PVal,US=PS ; Upd=Acc,US=AS). % find optimal value and corresponding next position for this value find_optimal_value([],_,resvalue,resmove,resvalue,resmove). find_optimal_value([action/position T],Player,AccValue,AccMove,ResValue,ResMove) :- value(position,pval,_,_), upd_val(player,pval,action/position,accvalue,accmove,naccvalue,naccmove), find_optimal_value(t,player,naccvalue,naccmove,resvalue,resmove).

18 Eingeschaft von Minimax value(state,v,_,_) wenn der Gegner optimal spielt ist der Endzustand V wert wenn der Gegner eine andere Strategie spielt ist der Endwert V in dem Fall liefert Minimax nicht unbedingt die optimale Strategie; im einfachen Beispiel: was ist die beste Strategie wenn der Gegner zufällig spielt? A B 1 3 C -5 15

19 Tic-Tac-Toe Wikipedia: Naive counting leads to 19,683 possible board layouts (39 since each of the nine spaces can be X, O or blank), and 362,880 (i.e. 9!) possible games (different sequences for placing the Xs and Os on the board).

20 Tic-Tac-Toe Prolog start((max,[l,l,l])) :- L=[0,0,0]. move((p1,[a,b,c]),move,(p2,[a2,b2,c2])) :- other_player(p1,p2), move_row(a,b,c,p1,move,a2,b2,c2). move_row(a,b,c,p1,row1(n),a1,b,c) :- move_col(a,p1,n,a1). move_row(a,b,c,p1,row2(n),a,b1,c) :- move_col(b,p1,n,b1). move_row(a,b,c,p1,row3(n),a,b,c1) :- move_col(c,p1,n,c1). move_col([0 T],P,1,[P T]). move_col([h T],P,N,[H T2]) :- move_col(t,p,n1,t2), N is N1+1. end((p,x)) :- (win(x,_) -> true ; move((p,x),_,_) -> fail ; true). win(pos,pl) :- dif(pl,0),member([pl,pl,pl],pos). win([a,b,c],pl) :- dif(pl,0),nth1(i,a,pl), nth1(i,b,pl), nth1(i,c,pl). win([a,b,c],pl) :- dif(pl,0),nth1(1,a,pl), nth1(2,b,pl), nth1(3,c,pl). win([a,b,c],pl) :- dif(pl,0),nth1(3,a,pl), nth1(2,b,pl), nth1(1,c,pl). utility((_,p),val) :- win(p,pl),!,(pl=max -> Val = 1 ; Val = -1). utility((_,_),0).

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22 Schach

23 Schach Siehe Folien von Deep Blue Siehe Folien von Norvig On May 11, 1997, an IBM computer called IBM Deep Blue beat the world chess champion after a six-game match: two wins for IBM, one for the champion and three draws. The match lasted several days and received massive media coverage around the world. It was the classic plot line of man vs. machine. Behind the contest, however, was important computer science, pushing forward the ability of computers to handle the kinds of complex calculations needed to help discover new medical drugs; do the broad financial modeling needed to identify trends and do risk analysis; handle large database searches; and perform massive calculations needed in many fields of science.

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25 Folien Norvig Ply = Half-move Evaluationsfunktionen Minimax-Cutoff Alpha-Beta Pruning