Bioinformatik: Neue Paradigmen in der Forschung

Transkript

1 Bioinformatik: Neue Paradigmen in der Forschung Sommerakademie der Studienstiftung St. Johann, Leitung: Proff. Ernst W. Mayr & Rolf Backofen Thema 4: Paarweises und multiples (heuristisches) Alignment Tobias Thierer Universität Tübingen Paarweises & multiples Alignment - Folie 1 / 33

2 Überblick Aufgabenstellung und Motivation Paarweises Alignment Bewertungsfunktion, statistisches Modell Lösung mit dynamischem Programmieren Multiple Alignments Progressiver vs. globaler Ansatz Bewertungsfunktionen Maximum Weight Trace Progessive Verfahren: CLUSTALW, T-Coffee sonstige Verfahren: dyn. Progr., Branch&Bound Universität Tübingen Paarweises & multiples Alignment - Folie 2 / 33

3 Alignment: informelle Definition Gegeben: k Sequenzen & eine Bewertungsfunktion. Gesucht: optimales Alignment der Sequenzen, so dass ähnliche bzw. identische Bereiche übereinanderstehen und möglichst wenige Lücken (gaps, ) eingefügt werden müssen. Teilfragen: Wie bewertet man die Qualität von Alignments? Wie bestimmt man ein optimales Alignment? ALIGNMENT ALIMENTE ALIGNMENT- ALI--MENTE Universität Tübingen Paarweises & multiples Alignment - Folie 3 / 33

4 Motivation: Wozu Alignment? Identifikation homologer DNA-/Proteinbereiche Bewertung des Alignments als Maß für den evolutionären Abstand der Sequenzen. Sequenzähnlichkeit impliziert oft strukturelle und funktionelle Ähnlichkeit Rückschlüsse auf Funktion bestimmter Gene oder Proteine. Hochkonservierte Sequenzbereiche kennzeichnen funktionell kritische Stellen. Universität Tübingen Paarweises & multiples Alignment - Folie 4 / 33

5 Überblick Aufgabenstellung und Motivation Paarweises Alignment Bewertungsfunktion, statistisches Modell Lösung mit dynamischem Programmieren Multiple Alignments Progressiver vs. globaler Ansatz Bewertungsfunktionen Maximum Weight Trace Progessive Verfahren: CLUSTALW, T-Coffee sonstige Verfahren: dyn. Progr., Branch&Bound Universität Tübingen Paarweises & multiples Alignment - Folie 5 / 33

6 Bewertung paarweiser Alignments Modell: einzelne Positionen der Sequenzen evolvieren unabhängig Gesamtbewertung als Summe der Bewertung einzelner alignierter Zeichen. = S ( x, y) s( xi, yi) i x,y: zu alignierende Sequenzen i: Positionen (Indizes) x i, y i : Zeichen an Pos. i in alignierten Sequenzen Wähle z.b. s(a,a) > 0; s(a,-) und s(a,b) < 0 Universität Tübingen Paarweises & multiples Alignment - Folie 6 / 33

7 Gute Bewertungsfunktion: woher? Betrachte relative Wahrsch. für Zeichenpaarung bei Homologie bzw. zufälligem Modell. P(a,b homolog) s *( a, b) = = P(a,b zufällig) pab pap Gesamtbewertung müsste Produkt der Einzelverhältnisse (odd ratios sein). Statt dessen: Logarithmieren und Aufsummieren (vermeidet Unterlauf durch sehr kleine Zahlen). S( x, y) = log i p pxip xiy i y i = i b pxiyi log pxip = : s( xi, yi) y i Universität Tübingen Paarweises & multiples Alignment - Folie 7 / 33

8 Bewertungsfunktion s( a, b) = log pab pap b P( a, b Homologie) = log P( a, b Zufall) Woher bekommen wir die Parameter p ab, p a, p b? Wähle 0 p a 1 als Auftretenshäufigkeit des Zeichens a im Gesamtpool (z.b. relative Häufigkeit einer bestimmten Base in einer Gendatenbank), p b analog. Definiere p ab über manuell erzeugte Alignments: In welchem Anteil der Fälle ist a mit b gepaart? Beachte: p ab hängt vom evolutionären Abstand ab; darum aus 1 Zeiteinheit evolvierten Sequenzen bestimmen. Universität Tübingen Paarweises & multiples Alignment - Folie 8 / 33 p ab = num( ab) num( ac) c

9 Beispiel: PAM-Matrizen Definiere eine Zeiteinheit als die Zeit, in der 1% erwartete Substitutionen auftreten. Tabelle enthalte die Wahrscheinlichkeiten p ab /p a = P(b a, t=1), dass a b in Zeit 1. Zeilensumme 1 Mit diesen p ab erstellte score-tabelle: PAM1 P( b a, t = 2) = P( b c, t = 1) P( c a, t = 1) c Matrixprodukt; Potenzierung für größere Zeiträume PAM250 enthält s(a,b t=250) = log (P(b a,t=250) / p b ) Universität Tübingen Paarweises & multiples Alignment - Folie 9 / 33

10 Lösung mit dynam. Programmieren Wir betrachten optimale Alignments A opt (i,j) für Präfixe x 1,..,i und y 1,..,j von x und y. Ist in A opt (i,j) x i mit y j aligniert, so ist auch das Teilalignment von x 1,..,i-1 mit y 1,..,j-1 optimal. Ist ina opt (i,j) x i mit gap aligniert, so ist auch das Teilalignment von x 1,..,i-1 mit y 1,..,j optimal. Entsprechend mit vertauschtem x,y. Beobachtung: ein optimales Alignment ist auf eine von drei Möglichkeiten aus einem optimalen Teilalignment abgeleitet. Wert neu = Wert alt + Wert der neuen Zeichen TEST -AST TSET TSA- TSA- TSET Universität Tübingen Paarweises & multiples Alignment - Folie 10 / 33

11 Lösung mit dynam. Programmieren Sei F(i,j) := S(A opt (i,j)) der maximale Wert eines Alignments von x 1,..,i mit y 1,..,j. Nach Überlegung gilt: F( i, F( i 1, j 1) + s( xi, yj) j) = max F( i 1, j) d F( i, j 1) d wobei d die Gapkosten sind und F(0,j)=F(i,0)=0 TEST -AST TSET TSA- TSA- TSET F(i,j) kann ausgehend von F(i,0) und F(0,j) sukzessive für alle i,j in jeweils konstanter Zeit berechnet werden. Universität Tübingen Paarweises & multiples Alignment - Folie 11 / 33

12 Needleman-Wunsch: Beispiel Matchscore s(a,a) = 1 Mismatch-/Gap-Kosten s(a, ) = s(a,b) = -1 Sequenzen x = AATGC, y = AGGC A A T G C A G -2 G -3 C -4 A A T G C A G G C opt. Alignments: AATGC AATGC AATGC AG-GC A-GGC -AGGC Universität Tübingen Paarweises & multiples Alignment - Folie 12 / 33

13 Alignment-Rekonstruktion A A T G C A G G C AATGC -AGGC A A T G C A G G C AATGC AG-GC Pfeilrichtung spezifiziert Alignment oder gap: A A A - - A Universität Tübingen Paarweises & multiples Alignment - Folie 13 / 33

14 Needleman-Wunsch: Fazit Der Wert des optimalen Alignments zweier Sequenzen x und y der Längen n und m kann in Zeit O(n*m) und Platz O(n*m) berechnet werden. Platzbedarf kann auf O(n+m) reduziert werden. Merken wir uns, aus welchem Teilalignment jeweils ein optimaler Wert erzielt wurde (Rückwärtspfeile), so können wir das Alignment in Zeit O(n+m) rekonstruieren. Universität Tübingen Paarweises & multiples Alignment - Folie 14 / 33

15 Lokale Alignments AGGCTATAATGAGA TAT-ATCTTAG Ein lokales Alignment ist das Alignment von Teilsequenzen (Bewertung des Optimums stets 0). Der bisherige Algorithmus kann leicht zur Berechnung lokaler Alignments modifiziert werden. Anfang des Alignments wählbar: Bewertung kann nie < 0 werden (sonst Alignment neu beginnen). Ende wählbar: max. Bewertung in der ganzen Tabelle suchen, nicht nur rechts unten. Universität Tübingen Paarweises & multiples Alignment - Folie 15 / 33

16 lokale Alignments: Beispiel F( i, 0 F( i 1, j 1) + s( xi, yj) j) = max F( i 1, j) d F( i, j 1) d A A T G C T A G G C (neu beginnen) (alignieren) (gap in y) (gap in x) AATGCT AGGC Vom max. Wert den Pfeilen bis zur 0 folgen. Universität Tübingen Paarweises & multiples Alignment - Folie 16 / 33

17 Dynamische Programmierung Der Ansatz kann auf vielfältige Art erweitert werden: affine Lückenkosten (verschiedene Kosten für Eröffnung und Erweiterung einer Lücke). Nichtbestrafen von Lücken am Anfang oder Ende des Alignments. Finden aller lokalen Alignments mit einem bestimmten Mindestwert.... Universität Tübingen Paarweises & multiples Alignment - Folie 17 / 33

18 Überblick Aufgabenstellung und Motivation Paarweises Alignment Bewertungsfunktion, statistisches Modell Lösung mit dynamischem Programmieren Multiple Alignments Progressiver vs. globaler Ansatz Bewertungsfunktionen Maximum Weight Trace Progessive Verfahren: CLUSTALW, T-Coffee sonstige Verfahren: dyn. Progr., Branch&Bound Universität Tübingen Paarweises & multiples Alignment - Folie 18 / 33

19 Multiple Alignments (MAs) Progressiver Ansatz MA aus Folge paarweiser Alignments. Einfach, schnell. greedy; neigen zu frühen Fehlern. Übernahme der Bewertungsfunktion Qualitätsaussagen bzgl. statistischer Modelle schwierig. Paralleler Ansatz Alle Sequenzen gleichzeitig alignieren. Komplizierter, großer Suchraum! Vorausschauend. Neue Bewertungsfunktionen nötig. Deckt sich besser mit stat. Modellen. Universität Tübingen Paarweises & multiples Alignment - Folie 19 / 33

20 Bewertungsfunktionen für MAs Idee 1: in Analogie zum paarweisen A. Summe über Bewertung von Spalten (k-tupeln): schwer parametrisierbar für jedes k eigene Tabelle nötig Idee 2: Spaltenbewertung als Summe aller Paarbewertungen s(a,b) (sum-of-pairs, SP- Score); wird verwendet, aber: optimale Lösung: NP-hart statistisch nicht gut abgesichert Universität Tübingen Paarweises & multiples Alignment - Folie 20 / 33

21 Coffee Bewertungsfunktion für multiple Alignments. Parametrisiert über eine Bibliothek von paarweisen Alignments der Sequenzen. Hohe Bewertung für Alignments, die besonders stark von den paarweisen Alignments unterstützt werden (Anteil der der auch im paarw. Alignment alignierten Positionspaare). Paarweises Alignment wird gewichtet mit dem Anteil perfekter Matches darin. Universität Tübingen Paarweises & multiples Alignment - Folie 21 / 33

22 Coffee CoffeeScore( Sˆ) = 1 i< j k w( i,j) support( i,j) 1 i< j k w( i,j) len( i,j) support(i,j): Anteil alignierter Positionspaare im MA, die vom paarweisen Alignment unterstützt werden. w(i,j): Gewicht des Paaralignments (% Identität) len(i,j): Länge der Sequenzen i und j im MA. Hochkonservierte Positionen erhalten höheres Gewicht Mismatch dort wird stärker bestraft. Lückenkosten schon im paarw. Alignment enthalten. Universität Tübingen Paarweises & multiples Alignment - Folie 22 / 33

23 Maximum Weight Trace Problem des optimalen multiplen Alignments kann als Graphenproblem aufgefasst werden. k-partiter Graph; jede Position in einer Sequenz entspricht einem Knoten. Kanten zwischen Positionen unterschiedlicher Sequenzen beschriftet mit Alignierungsscore. Dieser hängt von den Positionen (Coffee) oder nur von den Zeichen (SP-Score) ab. Diese sind also Spezialfälle des Max. Weight Trace. T A G... T T A T A Universität Tübingen Paarweises & multiples Alignment - Folie 23 / 33

24 Maximum Weight Trace Ein Alignment entspricht einer Teilmenge der Kanten des Graphen. Aber: nicht jede Menge von Kanten entspricht einem Alignment (Alignierung mit zwei verschiedenen Positionen einer Sequenz unmöglich). Kantenmenge, die gültiges Alignment ist: Trace. Gesucht: Trace mit maximalem Kantengewicht. Lösungsansätze: später Universität Tübingen Paarweises & multiples Alignment - Folie 24 / 33

25 Progressiver Ansatz: CLUSTALW Berechne alle n(n-1)/2 Paardistanzen. Schätze die Anzahl der (unsichtbaren) Mehrfachmutationen und somit den tatsächlichen evolutionären Abstand aller Sequenzpaare. Fasse jeweils das Paar mit der geringsten Distanz zusammen. Es entsteht ein Leitbaum (guide tree). Führe die Alignments von den Blättern zur Wurzel des Baums durch. Universität Tübingen Paarweises & multiples Alignment - Folie 25 / 33

26 Progressiver Ansatz: CLUSTALW Verschmelzung von (i,j) zu k: k neue Distanzen sind d km := 1/2 (d im + d jm -d ij ) i j m Paarungen von Sequenz-Sequenz, Alignment- Sequenz und Alignment-Alignment. Alignment von Sequenz-Sequenz wie gehabt. Für Sequenz-Alignment und Alignment- Alignment: das Paaralignment mit der höchsten Wertung bestimmt das Alignment. Universität Tübingen Paarweises & multiples Alignment - Folie 26 / 33

27 zu gierig und kurzsichtig? Universität Tübingen Paarweises & multiples Alignment - Folie 27 / 33

28 Progressiver Ansatz: T-Coffee Ähnlich zu CLUSTALW, aber Parametrisiert über Bibliothek von globalen und lokalen paarweisen Alignments. Alignierungskosten positions-, nicht zeichenspezifisch (also wie bei Coffee). Alignierungskosten von Positionspaar hängen ab von der Unterstützung dieser Alignierung in der gesamten Bibliothek:» Unterstützung durch paarweises Alignment (a,b)» Unterstützung durch indirekte paarweise Alignments (a,c) (c,b) Universität Tübingen Paarweises & multiples Alignment - Folie 28 / 33

29 T-Coffee: Bibliothekserweiterung Universität Tübingen Paarweises & multiples Alignment - Folie 29 / 33

30 Dynamische Programmierung Ansatz mit dyn. Programmierung kann auf multiples Alignment verallgemeinert werden. Für jede Zahl k von Sequenzen eigene Bewertungsmatrix (Größe k²) nötig. k² Parameter müssen statistisch abgesichert geschätzt werden. Für k Sequenzen der Länge n: Laufzeit O(2 k n k ) Speicherbedarf O(n k ) Alles in allem nicht praktikabel. Universität Tübingen Paarweises & multiples Alignment - Folie 30 / 33

31 Branch&Bound für Max. Weight Trace Graph: Knoten entspricht Position, Kante Alignierung, Kantengewicht Alignierungsscore. Ziel: Alignment (Kantenmenge) mit maximalem Gesamtgewicht auswählen. Beschreibung als integer linear program: Für jede Kante eine Variable (Wert 0 oder 1). Ungleichungen, die ungültige Kantenmengen ausschließen. T A G... T T A T A Universität Tübingen Paarweises & multiples Alignment - Folie 31 / 33

32 Branch&Bound für Max. Weight Trace Menge der gültigen Kantenmengen ist konvexer Körper (trace polytope) im [0,1] k Jede Ungleichung ist Ebene; einige davon schränken den Lösungsraum ein möglichst wenige Ungleichungen auswählen, die noch reichen Test: verletzt unvollständige Lösung Ungleichungen? rekursive Lösung mit Branch&Bound nacheinander Variablenbelegungen probieren, jeweils Gleichungssystem zu lösen versuchen. Suchbaum beschneiden, soweit möglich Universität Tübingen Paarweises & multiples Alignment - Folie 32 / 33

33 Ende Danke fürs Zuhören! Universität Tübingen Paarweises & multiples Alignment - Folie 33 / 33