Problem des Handwerkers

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1 Rheinische Friedrich-Wilhelms-Universität Bonn Institut für Informatik I Jörg Simonsmeier Problem des Handwerkers 9. Januar 009 Seminararbeit im Wintersemester 008/009

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3 Zusammenfassung Dieses Dokument ist eine Ausarbeitung zu der wissenschaftlichen Arbeit On Approximating A Geometric Prize-Collecting Traveling Salesman Problem With Time Windows, veröffentlicht in November 00 von den Autoren Reuven Bar-Yehuda, Guy Even und Shimon (Moni) Shahar. Das Problem TW-TSP, TimeWindow-TravelingSalesman- Problem, wird vorgestellt, und es werden mehrere approximative Algorithmen zu zwei verschiedenen Problemklassen präsentiert. Inhaltsverzeichnis Einleitung Problembeschreibung Der allgemeine Fall: Asymmetrisches TW-TSP. Asymmetrisches TW-TSP ist NP-Hart Das asymmetrische TW-TSP lösen Keine zick-zack s, keine Bearbeitungszeit und Einheitsprofit. 6.4 Beliebige Instanz-Dichte, keine Bearbeitungszeit und Einheitsprofit Bearbeitungszeiten Eine geometrische Interpretation: TW-TSP On A Line 0 4. Einheitszeitfenster und 8-Approximation Approximationsgüte Die Suche: Schwach/Stark polynomiell abhängig von der Eingabe Beliebige Zeitfenster und O(log L) Approximation Vorsortierung und O(log n) Approximation Literatur 5

4 Einleitung Behandelt wird das alltägliche Problem eines Handwerkers: Bestimmen einer Route mit maximalem Profit. Dazu seien gegeben eine bekannte Menge an verfügbaren Aufträgen, die jeweils an verschiedenen Orten liegen und vielleicht auch nach Bearbeitung unterschiedlich entlohnt werden. Hinzu kommen noch die individuellen Kunden-Zeitfenster, in denen der jeweilige Auftrag bearbeitet werden kann, und die Bearbeitungszeit des Auftrags. Gesucht ist nun eine Tagesroute für den Handwerker, der die Kombination aus Reisezeit, Zeitfenstern, Bearbeitungszeit und möglichem Profit so nutzt, dass der gesamte Verdienst des Handwerkers maximiert wird. Wegen der Ähnlichkeit zu TSP wird das Problem mit TW-TSP bezeichnet, Time Window - Traveling Salesman Problem. Es werden zwei verschiedene Varianten des TW-TSP betrachtet: Asymmetric TW-TSP und TW-TSP On A Line. Problembeschreibung Gegeben: Eine Menge V, in der jedes v V einen Ort/Job repräsentiert. Eine Liste l(v i, v j ), die Auskunft über die kürzeste Reisezeit von Ort v i zu Ort v j gibt, für alle v i, v j V disjunkt. Zu jedem Job v V vier Zuweisungen: release(v), deadline(v), handle(v) und prof it(v) Ein spezielles v 0 V, den Startpunkt. Dabei beschreibt release(v) den Beginn des Zeitfensters von v und deadline sein Ende. Daher wird im weiteren das Intervall I v = [release(v), deadline(v)] auch als das Zeitfenster von v bezeichnet, und es muss immer gelten: release(v) deadline(v). Die Länge des Zeitfensters von v lässt sich bezeichnen als der Betrag I v. Der Wert handle(v) entspricht der Bearbeitungszeit von v, und prof it(v) ist der Lohn, der nach Bearbeitung gezahlt wird. Für einen Ort/Job v gilt immer, dass sein Lohn prof it(v) höchstens ein einziges Mal gezahlt werden kann. Da v 0, der Startpunkt, keinen verfügbaren Auftrag beschreiben soll, sei immer release(v 0 ) = deadline(v 0 ) = handle(v 0 ) = profit(v 0 ) = 0.

5 Gesucht: Eine optimale Sequenz {(v i, t i )} k 0 mit 0 i k. Dabei beschreibt jedes (v i, t i ) einen Job der bearbeitet wird, wobei t i der Zeitpunkt ist, an dem der Handwerker an dem Ort v i eintrifft. Es muss also t i im Zeitfenster von v i liegen, und da der Handwerker an dem jeweiligen Ort bleiben muss, bis er den Auftrag beendet hat, gilt: t i + handle(v i ) t i+. Jede Instanz beginnt am Ort v 0 zum Zeitpunkt t 0 = 0, d.h. das erste Tupel der Sequenz muss immer sein: (v 0, 0) Als optimal wird eine Sequenz bezeichnet, wenn die Summe der erhaltenen Entlohnungen, k i=0 profit(v i ), maximal ist, verglichen mit allen anderen möglichen Sequenzen. Der allgemeine Fall: Asymmetrisches TW-TSP Die Liste l(, ) der Reisezeiten und die Menge V der Orte/Jobs lassen sich graphisch darstellen als ein vollständiger, gewichteter, gerichteter Graph, wobei V die Menge der Knoten ist und l(v i, v j ) das Gewicht der gerichteten Kante von v i nach v j angibt, für v i, v j V disjunkt. Dabei lassen sich im ganz allgemeinen Fall die Entfernungen so beliebig definieren, dass eine metrische Ordnung nicht möglich ist. Z.B. könnte man für drei Knoten v, v, v V definieren: l(v, v ) = 0 l(v, v ) = 0 l(v, v ) = 5 Diese Definition ist so allerdings noch unvollständig, da es sich um gerichtete Kanten handelt. Um die Möglichkeiten ganz auszunutzen definieren wir weiter: l(v, v ) = 7 l(v, v ) = 8 l(v, v ) = 9 Die einzige Einschränkung, die gemacht werden muss, ist, dass für alle v i, v j V gilt: l(v i, v j ) 0. Der Handwerker kann nicht rückwärts durch die Zeit reisen.

6 . Asymmetrisches TW-TSP ist NP-Hart Um zu zeigen, dass die asymmetrische Variante NP-Hart ist, benutzen wir das Rucksack-Problem. Das Rucksack-Problem Gegeben: Eine Menge V an Objekten. Zu jedem v V zwei Zuweisungen: weight(v) und profit(v) Eine obere Schranke B, die das maximale Gewicht definiert, das der Rucksack halten kann Gesucht: Eine Teilmenge V V, so dass die Summe weight(v) kleiner ist als die obere Schranke B. v V die Summe profit(v) maximal ist, verglichen mit allen anderen Teilmengen für die die erste Bedingung v V gilt. Theorem Das Rucksack-Problem lässt sich in polynomiell beschränkter Zeit reduzieren auf das asymmetrische TW-TSP. Beweis. Sei (V, B, weight(), prof it()) eine Instanz des Rucksack-Problems. Dann lässt sich daraus wie folgt eine Instanz des TW-TSP beschreiben: Aus V wird das Set der Orte/Jobs V := V {v 0 }. profit(v) beschreibt nun den Lohn von Job v. Für alle u, v V mit u v sei l(u, v) := weight(v). Für alle v V mit v v 0 sei release(v) := 0, deadline(v) := B und handle(v) := 0. Für v 0 gilt wie immer release(v 0 ) = deadline(v 0 ) = profit(v 0 ) = handle(v 0 ) = 0. 4

7 Nun wird nach einer Sequenz gesucht, so dass der Handwerker bis zum Zeitpunkt B seinen Profit maximiert hat. Ist so eine Sequenz gefunden, beschreibt die Menge der erledigten Jobs gleichzeitig auch eine Lösung der Rucksack-Problem - Instanz. Die Konstruktion der TW-TSP - Instanz ist offensichtlich deterministisch und polynomiell von V abhängig.. Das asymmetrische TW-TSP lösen Zum besseren Verständnis sei der bereits definierte Graph aus Orte/Jobs und Reisezeiten l(, ) im weiteren als Landkarte bezeichnet. Der hier vorgestellte Lösungsweg hält sich an folgendes Konzept:. Definiere für jeden Ort eine Menge von möglichen Ankunftszeiten.. Konstruiere daraus einen neuen gewichteten gerichteten azyklischen Graphen zu allen Paaren (v, t), wobei v ein Ort und t eine mögliche Ankunftszeit zu v. Das Gewicht einer Kante (v, t) (v, t ) entspricht dem Profit von v.. Suche in diesem Graphen einen schwersten Pfad, indem alle möglichen Pfade betrachtet werden und ein schwerster davon als Ergebnis genommen wird. In diesem Lösungsweg tauchen folgende Probleme auf:. Zu viele Knoten. Genau genommen ergeben sich pro Ort unendlich viele mögliche Ankunftszeiten, sobald das Zeitfenster mehr beinhaltet als einen einzigen Zeitpunkt. Dieses Problem wird gelöst, indem man zunächst release(v) als t definiert, aus einem Ort/Job v also den Knoten (v, release(v)) erhält, und je nach Bedarf t noch einmal ändert.. Der Graph Landkarte ist immernoch vollständig, also insbesondere nicht azyklisch. Ohne eine weitere Datenstruktur und zusätzliche Rechenarbeit kann der Algorithmus nicht wissen, ob der Lohn eines Knotens schon einmal gezahlt wurde, oder nicht. D.h. wenn innerhalb des Zeitfensters [release(v), deadline(v)] von v nach v und wieder zurück nach v gegangen wird (im weiteren als zick-zack-weg bezeichnet), dann wird der Profit von v doppelt gezählt. Dieses Problem wird hier nicht 5

8 wirklich gelöst, es wird nur ein Dichte-Parameter definiert, der die obere Grenze der Anzahl der möglichen zick-zack-wege angibt. Der Dichte-Parameter: Orte/Jobs v V. Die Dichte σ(π) = max u,v Zunächst für den Fall: handle(v) = 0 für alle I u l(u,v)+l(v,u) gibt eine obere Grenze für die zickzack s in der TW-TSP-Instanz Π vor: Die Knoten u und v sind die beiden Orte/Jobs unserer Instanz Π, für die das Verhältnis Länge des Zeitfensters von u geteilt durch Reisezeit von u nach v und wieder zurück nach u maximal ist, verglichen mit allen anderen Orten. Befindet man sich also zu Anfang des Zeitfensters I u in u und reist dann immer zwischen u und v hin und her, so kann man sich sicher sein, dass man u öfter innerhalb seines Zeitfensters I u besucht, als es bei jedem anderen Orte-Paar möglich ist. Später mehr dazu. Wir betrachten zunächst Instanzen, die keine zick-zack-wege v v v innerhalb des Zeitfensters von v zulassen. Außerdem gelte Einheitsprofit und wieder handle(v) = 0 für alle Orte/Jobs v V.. Keine zick-zack s, keine Bearbeitungszeit und Einheitsprofit Der Algorithmus: Entsteht dynamisch. Bis zum Endergebnis werden sequenziell immer neue Layer definiert, und das Layer L i+ entsteht aus seinem Vorgänger L i. Zum intuitiven Verständnis betrachte man zunächst die Berechnung von L 0 bis L.. L 0 := (v 0, t 0 ) enthält nur den Startknoten, zusammengesetzt aus Start- Ort und Start-Zeit. (Im Falle des Handwerkers also z.b. seine Werkstatt um 8 uhr morgens.). L := (v, t neu),..., (v n, t nneu) mit den Eigenschaften für i n: v i ist ein anderer Ort als v 0. t ineu := max(l(v 0, v i ), release(v i )) ist kleiner als deadline(v i ) und minimal innerhalb der Menge aller t jneu mit j n. 6

9 L beschreibt also alle Orte um v 0 herum, deren Anreisezeit von v 0 aus minimal ist, und t repräsentiert den Zeitverlauf während der Reise. Analog geht es zu L, L,... Allgemein, für L j bereits bekannt: L j+ : Für Alle (v, t v ) L j Für Alle (u, t u ) mit: u V und u v t := max(release(u), (t v + l(v, u))) Wenn t deadline(u) und in L j+ existiert kein (u, t ) mit t < t Dann L j+ := L j+ (u, t ) EndFür EndFür Der Algorithmus stoppt, wenn das neu erstellte Layer L j+ leer ist. Also beschreibt L j eine Menge von Wegen, die außer dem Start-Ort noch j andere Orte während ihrer jeweiligen Zeitfenster passieren und, verglichen mit allen anderen möglichen Wegen der Länge j, minimale Reisezeit haben. Behauptung: Basierend auf dem Grundsatz, dass in jedem Szenario mindestens ein bester Pfad existieren muss, sei nun p ein bester Pfad, der die optimale Anzahl an Jobs k in kürzester Gesamtreisezeit erledigt, verglichen mit allen anderen besten Pfaden. Dann muss sich dieser Pfad in Layer L k befinden. Beweis. Durch induktive Betrachtung, beginnend beim Startpunkt: Pfadp startet in (v 0, t 0 ), dem einzigen Element von L 0. Sei p nun schon zur Zeit t an einem seiner Wegpunkte v angelangt, befinde sich also gerade an Knoten (v, t). Entsprechend Induktionsanfang gilt: (v, t) L j. Keine zick-zack-wege sind erlaubt, also kann man davon ausgehen, dass die optimale Tour direkt (über eine Kante in Landkarte) weitergeht zu Ort u, wo entweder das Zeitfenster von u sofort genutzt werden kann, oder nach der Anreise noch auf release(u) gewartet werden muss. Vor der Weiterreise befindet sich p also in Status (u, t ), an Ort u zu Zeitpunkt t, mit t = max(release(u), t + l(v, u)) - und natürlich t deadline(u), denn würde der optimale Pfad den Ort erst nach der deadline passieren, würde er überhaupt nicht über diesen Knoten verlaufen. Und so muss (u, t ) sicherlich in L j+ sein, denn die beschriebenen 7

10 Eigenschaften sind genau die, die im Algorithmus gefordert werden. Also befindet sich jeder am Startpunkt beginnende Teil-Pfad von p in dem Layer, das der Anzahl seiner erledigten Jobs entspricht, und da k die größte Anzahl an jobs ist, befinden sich in Layer L k alle schnellsten besten Pfade, und sonst nichts..4 Beliebige Instanz-Dichte, keine Bearbeitungszeit und Einheitsprofit Der nächste Schritt ist die Aufhebung der keine-zick-zack s - Einschränkung. Dadurch verändern sich die Eigenschaften wie folgt: Sei k wieder die maximale Anzahl an erledigten Aufträgen pro Tag und p wieder eine optimale Route. Der von dem bereits bekannten Algorithmus berechnete Pfad p könnte sowohl mehr Orte als p passieren (d.h. mehr als k Layer konstruieren), als auch weniger (echten) Profit einbringen als k. Allerdings kann zu Pfad p eine Abschätzung genannt werden: Behauptung: Bei der Berechnung von p werden höchstens k ( σ(π) +) Layer konstruiert, und die Approximationsgüte des Algorithmus beträgt σ(π) +. Beweis. Dass die Differenz k(p) k nicht noch größer sein kann, lässt sich einfach verdeutlichen. Wie bereits erwähnt, beschreibt σ(π) die absolute obere Grenze der möglichen Doppelzählungen, allerdings nicht zwangsläufig als ganze Zahl. Daher die Abrundung; wenn beispielsweise σ(π) = max u,v I u l(u,v)+l(v,u) =, 8, dann ist in Szenario Π kein einziger Pfad möglich, der über mehr als zwei zick-zack-wege läuft. Nun verallgemeinernd angenommen, in Szenario Π sei σ(π) = m, m IN und der Handwerker befinde sich genau zu release(u) in u, und reise so schnell wie möglich immer von u nach v und wieder zurück nach u. Dann trifft er zu den Zeitpunkten (l(u, v) + l(v, u)), (l(u, v) + l(v, u)),..., m (l(u, v) + l(v, u)) wieder in u ein, wobei das m-te Mal genau zum Zeitpunkt deadline(u) passiert. Er ist also um release(u) in u gestartet, hat dann v genau m -mal besucht und u genau n-mal, und befindet sich am Ende in u, zum Zeitpunkt deadline(u). Der Profit eines einzigen Ortes kann also allerhöchstens m + -mal in die 8

11 Profit-Rechnung gelangen. Da für σ(π) = immer k(p) = k gilt, wie bereits behandelt, folgt: k k(p) (n + )k und die Approximationsgüte ist bewiesen..5 Bearbeitungszeiten Angenommen, es sei nun nicht der Fall, dass ein Job erledigt ist, sobald der Handwerker eintrifft. Statt dessen besitze nun jeder Job eine Bearbeitungszeit, zu jedem Ort v wird also noch der Parameter handle(v) definiert. Die Abreise verzögert sich also; kommt der Handwerker z.b. zum Zeitpunkt release(v) in Ort v an, so wird er erst zum Zeitpunkt release(v) +handle(v) abreisen. Der vorgestelle Algorithmus kann auch unter diesem Umstand verwendet werden, allerdings müssen ein paar Eigenschaften angepasst werden: Die Konstruktion von L j+ : Für Alle (v, t v ) L j Für Alle (u, t u ) mit: u V und u v t := max(release(u), (t v + l(v, u)+handle(v))) Wenn t deadline(u) und in L j+ existiert kein (u, t ) mit t < t Dann L j+ := L j+ (u, t ) EndFür EndFür Die Definition der Instanz-Dichte: σ(π) = max u,v I u l(u,v)+handle(u)+l(v,u)+handle(v) 9

12 4 Eine geometrische Interpretation: TW-TSP On A Line In dieser Variante werden zusätzliche Einschränkungen vorgegeben: Die Bearbeitung der Aufträge braucht keine Zeit, sobald der Handwerker eintrifft, ist der Auftrag erledigt und er kann direkt zum Nächsten fahren. Es gilt also handle(v) = 0 für alle Orte/Jobs v V. Die regionalen Gegebenheiten lassen sich durch eine spezielle Metrik beschreiben: Für alle v i, v j, v k V mit l(v i, v j ) < l(v i, v k ) gilt l(v i, v k ) = l(v i, v j ) + l(v j, v k ). Daraus ergibt sich ein angenehmer Effekt: Es genügt, die verschiedenen Orte als Punkte auf einer Geraden zu repräsentieren. v 0 a b c Lage Abb. : Beispiel, drei Orte/Jobs a, b und c mit l(v 0, b) = l(v 0, a) + l(a, b) usw. 0

13 Da die Zeit ohnehin als Punkte auf einer Geraden verstanden werden kann, wird noch eine Zeit-Achse hinzugefügt. Wir ordnen die beiden Achsen, indem wir festlegen: Die Achse der Orte/Jobs bzw. der Reisezeiten liege horizontal in der Ebene und die Zeit-Achse vertikal. Mit Hilfe dieser beiden Achsen lassen sich nun die Zeitfenster und die maximale Reisegeschwindigkeit geometrisch darstellen: Die Zeitfenster der jeweiligen Orte werden einfach eingetragen, und die Zeitachse so skaliert, dass die maximale Reisegeschwindigkeit einer Geraden mit Steigung entspricht. t v 0 a b c Lage Abb : Gleiches Beispiel wie in Abb., allerdings erweitert um Zeitfenster. Die Diagonale repräsentiert die maximale Reisegeschwindigkeit, und die gestrichelte Linie zeigt eine mögliche, optimale Tour. Um das Problem zu lösen, wird wie folgt vorgegangen: Zunächst () wird die gegebene TW-TSP-Instanz reduziert auf eine Instanz des LON- GEST MONOTONE SUBSEQUENCE - PROBLEM. Dann () wird die Instanz des LONGEST MONOTONE SUBSEQUENCE - PROBLEM mit einem Algorithmus approximativ gelöst in O(log n), wobei n die Anzahl der verfügbaren Aufträge ist. Die Approximationsgüte hängt von verschiedenen Eigenschaften der Problem-Instanz ab.

14 () TW-TSP LONGEST MONOTONE SUBSEQUENCE - Problem Die Instanz-Grafik wird um 45 gedreht. Damit liegt die Gerade der maximalen Reisegeschwindigkeit nun genau auf der horizontalen Reisezeiten- Achse, nun auch als x-achse bezeichnet, wodurch jeder mögliche Weg eine x-monotone Kurve sein muss. t 45 b v0 a b c Lage v0 a c Abb : Drehung um 45. Nun liegt eine Instanz des LONGEST MONOTONE SUBSEQUENCE - Problem vor: Gegeben eine Menge von schrägen Segmenten mit Steigung 45, gesucht ein x-monotoner Weg, der so viele Segmente wie möglich schneidet. () Algorithmen zum LONGEST MONOTONE SUBSEQUENCE - Problem: 4. Einheitszeitfenster und 8-Approximation Für den Fall, dass alle Zeitfenster gleich groß sind (O.B.d.A hier auf den Wert gesetzt), kann folgende Prozedur angewandt werden: Schritt. Es wird ein Gitter über das gesamte Szenario gelegt. Dabei enthält jeder Gitter-Block die Fläche, und das Gitter wird so gelegt,

15 dass nirgendwo ein Eckpunkt eines Segments auf den Gitterlinien liegt. (*) Abb 4: Das vorherige Beispiel nun modifiziert zu Einheitszeitfenster und eingebettet in ein passendes Gitter. Wie in Abb. 4 zu sehen, folgt aus den vorgegeben Eigenschaften: ( ) + ( ) = + = =, also entspricht die Länge jedes Segments genau der Länge der Diagonalen eines Gitter-Blocks, woraus nach (*) folgt, dass ein Segment in jeder Lage genau eine Horizontale und eine Vertikale des Gitters schneidet.

16 Schritt. Das Gitter wird zu einem gerichteten gewichteten Graphen. Die Richtung der Kanten wird einheitlich ausgerichtet, die Horizontalen nach rechts und die Vertikalen nach oben, wodurch der Graph zusätzlich azyklisch wird. Die Gewichte der Kanten entsprechen der Anzahl an Segmenten, die die entsprechende Kante schneiden (bei Einheitsprofit. Variiert der Profit pro Segment, so ist es nicht die Anzahl der Segmente, sondern die Summe deren Profits). Abb 5: Vom Gitter zum Graphen. Schritt. In dem so erhaltenen Graphen wird ein Pfad mit maximalem Gewicht gesucht. Der Algorithmus: Schritt.. Topologische Vorsortierung der Gitter-Knoten: Je weniger Kanten der kürzeste Pfad v 0 v i besitzt, umso früher wird v i betrachtet. In unserem Graphen entspricht die Ordnung immer der Reihenfolge der Diagonalen, siehe Abb. 6.. Die Vorsortierung lässt sich direkt in die Konstruktion des Gitter-Graphen einbetten und benötigt daher insgesamt nur O(n) zusätzliche Kosten. Schritt.. Bestimmen aller schwersten Pfade. Ausgehend vom Startknoten werden entsprechend der Vorsortierung alle Knoten und alle Kanten nacheinander betrachtet - jede Kante und jeder 4

17 Knoten genau ein Mal. Dabei wird bei jedem Knoten die letzte Kante seines schwersten Pfades, also sein direkter Vorgänger, gespeichert. Siehe Beispiel: 0 Abb 6: Beispiel. Zunächst ist ein Graph gegeben. Der schwerste Pfad zum ersten Knoten ist immer 0. 0 Abb 6.: Topologische Vorsortierung. 5

18 Abb 6.: Als erstes werden die schwersten Pfade zur ersten Diagonalen bestimmt, dann zur zweiten, dann zur dritten, dann zum letzten Knoten Abb 6.: Der schwerste aller Pfade wird rückwärts laufend berechnet, anhand der gespeicherten Vorgänger. 6

19 Die Laufzeit liegt offensichtlich bei Θ( Knoten + Kanten ). Nach einem Durchlauf ist der schwerste Pfad vom Startknoten zum Endknoten bekannt. 4.. Approximationsgüte Theorem Der summierte Profit der von dem Algorithmus berechneten Tour entspricht mindestens einem Achtel des summierten Profits einer wirklich optimalen Tour. Beweis. Gegeben einen nach dem vorgestellten Verfahren berechneten Graphen- Pfad p, sei k(p) die Anzahl an Segmenten, die p schneidet. Da p nur ein Pfad mit maximalem Gewicht ist, sei p ein tatsächlich optimaler Pfad im Graphen, also k(p ) der maximal erreichbare Wert. Beide Pfade besitzen ein Gewicht w(), und da p ein Pfad mit maximalem Gewicht ist, kann man w(p) w(p ) voraussetzen. Das Gewicht der Pfade hängt von den geschnittenen Segmenten ab, mit der Eigenschaft: Ein Segment erhöht das Gewicht eines Pfades mindestens um 0 und höchstens um, da ein Segment den Graph höchstens an zwei Stellen schneidet - einmal eine horizontale und einmal eine vertikale Kante. Daraus folgt: Zusammen mit w(p) k(p) w(p). w(p) w(p ) also und aus der Umformung k(p) w(p) w(p ) folgt also w(p ) k(p ) w(p ) k(p ) k(p) w(p) w(p ) k(p ) 7

20 k(p) k(p ). Der gefundene Pfad p schneidet also mindestens halbsoviele Segmente, wie ein optimaler Pfad im Graphen. Das genügt allerdings noch nicht für eine Aussage über die tatsächliche Güte des Algorithmus, da ein optimaler Pfad in der Ebene (also dem eigentlichen Szenario) vielleicht mehr Segmente schneiden könnte, als ein optimaler Pfad im Graphen. Auch hier lässt sich eine untere Schranke finden: Sei p wieder ein optimaler Pfad innerhalb des Gitter-Graphen. Sei weiter nun p ein optimaler Pfad in der Ebene. Pfad p verläuft also innerhalb des Gitter-Graphen, allerdings nicht zwangsläufig entlang der Kanten. Dennoch kann man p in passend zugeschnittenen Gitter-Blöcken komplett erfassen: Betrachtet man die Flächen innerhalb des Gitters als Zellen C ij, wobei i der horizontale Index und j der vertikale sei, lässt sich ein Gitter-Block bzgl. p wie folgt definieren: Der erste horizontale Block sei die Vereinigung aller Zellen der ersten Zeile, C bis C y, die von p geschnitten werden. Da p monoton steigend sein muss, folgt sofort, dass die nächste geschnittene Zelle C y oder C y+ sein muss. Dort beginnt der erste vertikale Block, und geht so weit steil nach oben, bis p die y-te (bzw. y+-te) Spalte verlässt. Sei dieser erste vertikale Block nun die Vereinigung der Zellen C y bis C xy, dann ist C xy+ oder C x+y+ die nächste von p geschnittene Zelle, und dort beginnt der zweite horizontale Block; und so fort, bis die letzte Zelle des Graphen, also oben rechts, erreicht ist. v 0 Abb 7: Ein optimaler Pfad p, eingebettet in Gitter-Blöcke. 8

21 Entweder die horizontalen, oder die vertikalen Blöcke beinhalten mindestens die Hälfte aller Zellen, die von p geschnitten werden. Da sich die weitere Betrachtung analog auf den anderen Fall übertragen lässt, sei nun die Menge der horizontalen Blöcke die mit der Mehrheit der Zellen. Für jeden horizontalen Block gilt: (a) Noch immer gelten die zu Anfang gemachten Bedingungen, im Besonderen bedeutet das, dass jedes von p im Bereich des Blocks geschnittene Segment entweder die obere, oder die untere horizontale Linie des Blocks schneidet. (b) Es existieren mindestens zwei Graph-Pfade von der Block-Ecke unten links zur Ecke oben rechts: Der Eine beginnt mit einer vertikalen Kante und folgt dann der oberen horizontalen Begrenzung, der andere beginnt mit der unteren horizontalen Begrenzung und steigt am Ende die letzte vertikale Kante hinauf. Aus (a) und (b) folgt: Egal wie der optimale Pfad p innerhalb des Blocks verläuft, es existiert immer ein Pfad im Gitter-Graphen, der mindestens die Hälfte der Segmente schneidet, die p schneidet. Dieser Pfad ist einer der in (b) beschriebenen, und da der Algorithmus den Pfad mit dem größten Gewicht wählt, wird mit Sicherheit der bessere der beiden Pfade genommen - oder ein noch besserer. Für die Approximationsgüte ergibt sich also: Die horizontalen (bzw. vertikalen) Blöcke beinhalten mindestens die Hälfte der von p geschnittenen Zellen, und in jedem einzelnen horizontalen (bzw. vertikalen) Block schneidet der Graphen-Pfad mindestens die Hälfte der Segmente, die p schneidet. Ein optimaler Pfad im Graphen p schneidet mindestens 4 so viele Segmente, wie ein optimaler Pfad in der Ebene p. Es gilt Zusammen mit k(p ) k(p ) 4. k(p) k(p ) ergibt sich die Approximationsgüte 8: k(p) k(p ) 8 9

22 4.. Die Suche: Schwach/Stark polynomiell abhängig von der Eingabe Abb 8: Zusammenhang zwischen Segmente und der Größe des Gitters zunächst nur schwach polynomiell. Für die Laufzeit des Algorithmus ergibt sich zunächst nur eine schwache polynomielle Abhängigkeit von der Eingabegröße: Betrachtet man die beiden Eingabe-Sets in Abb. 8, so wird deutlich, dass die Berechnungszeit nicht direkt von der Anzahl der Segmente abhängt, sondern von deren Eigenschaften, den Minimum/Maximum - Differenzen auf den beiden Achsen. Allerdings kann man das Gitter, und damit den Graphen, auf einfache Weise dahin verändern, dass viele unnötige Berechnungen wegfallen. Dazu unterteilt man die Menge der Gitter-Linien in zwei Gruppen: Als interessant werden alle Linien bezeichnet, die ein oder mehr Segmente schneiden. Der Rest, also alle Linien die kein einziges Segment schneiden, wird als uninteressant bezeichnet. Vergleicht man nun das komplette Gitter mit dem Teil-Gitter bestehend nur aus den interessanten Linien, so lassen sich folgende Eigenschaften leicht zeigen:. Die Linien-Anzahl im interessanten Gitter hängt linear von der Anzahl der Segmente ab. Das folgt direkt aus der gegebenen Segment-Länge und den Gitter-Maßen. Oben wurde schon behandelt, dass ein Segment ein vollständiges Gitter immer nur einmal horizontal und einmal vertikal schneidet - für ein Teil-Gitter muss dies natürlich auch gelten, und damit existieren höchstens doppelt so viele interessante Linien wie Segmente.. Für zwei beliebige Segmente a und b gilt: Existiert im vollständigen 0

23 Gitter-Graphen ein Pfad von a nach b, so existiert auch im interessanten Gitter-Graphen ein Pfad von a nach b. Beweis. Es existiert eine horizontale Linie, die a schneidet, und eine Vertikale, die b schneidet. Diese beiden Linien haben einen gemeinsamen Schnittpunkt, da sie orthogonal zueinander verlaufen. Da der Pfad von a nach b im vollständigen Gitter-Graph existiert, und die Kanten im interessanten Gitter-Graph gleich ausgerichtet sind, muss auch dort ein Pfad von a nach b existieren. Das genügt, um sicher zu sein, dass der Algorithmus angewandt auf den interessanten Gitter-Graphen kein schlechteres Ergebnis bringen wird, als beim vollständigen Gitter-Graphen. Nur die Berechnungs-Komplexität verringert sich, da die Anzahl der Knoten und Kanten auf O(n) sinkt. (Die Konstruktion des interessanten Graphen verschlechtert diese Schranke nicht.) 4. Beliebige Zeitfenster und O(log L) - Approximation Dabei beschreibt L das Verhältnis des größten Zeitfensters zum kleinsten, L = Länge des größten Zeitfensters Länge des kleinsten Zeitfensters, und die genaue untere Schranke der Approximationsgüte beträgt 6 log L. Zur Verdeutlichung an dem noch begrenzten Zeitfenster [, ): Wendet man wieder den bereits vorgestellten Algorithmus an, so kann nun jedes Segment höchstens zwei vertikale und zwei horizontale Gitter-Linien schneiden. Ein Segment kann nun also das Gewicht des schwersten Pfades nicht nur um, sondern um 4 erhöhen - wodurch sich die untere Schranke noch einmal um den Faktor verschlechtert. Es ist also nicht mehr eine 8-, sondern eine 6-Approximation. Für beliebige Zeitfenster ändert sich nun folgendes: Man unterteilt die Segmente entsprechend der Größe ihrer Zeitfenster, und zwar in die Intervalle [ i, i+ ). Sei z.b. das kürzeste Segment von der Länge S kürzestes=, und das Längste von der Länge S längstes, dann werden alle Segmente auf die drei Intervalle [, 4 ), [ 4, 5 ) und [ 5, 6 ) verteilt. Die Anzahl der benötigten Intervalle hängt also logarithmisch von L ab, und bei insgesamt n Segmenten muss das Intervall mit den meisten Segmenten mindestens n + enthalten, bzw. allgemein n L +. Für jedes Intervall lässt man den Algorithmus einmal laufen, wobei die Größe des Gitters so skaliert wird, dass als untere Grenze der Approximationsgüte wieder 6 angegeben werden kann, d.h. die Gitter-fenster werden also jeweils

24 so groß gemacht, dass ein längestes Segment des aktuell betrachteten Intervalls das Gitter auch wirklich nur an höchstens 4 Stellen schneiden kann. Ist der Algorithmus schließlich einmal pro Längen-Intervall gelaufen, wird das beste Ergebnis aller Berechnungen als Endergebnis genommen. Insgesamt liegt die Approximationsgüte also in O(log L). 4. Vorsortierung und O(log n) - Approximation Nun wird ein anderer Ansatz betrachtet, wobei der Unterschied einzig in der Entwicklung des Gitters besteht. Ist das Gitter dann fertig, wird der gleiche Pfad-Such-Algorithmus wie bisher verwendet. Das Gitter: Gegeben sei ein Startpunkt und ein Set von Segmenten, die wie bisher mit 45 Neigung in der Ebene liegen. Zunächst wird eine Vertikale durch den Startpunkt gelegt, und die weiteren Vertikalen des Gitters werden rekursiv wie folgt eingefügt: Eine vertikale Linie werde so eingefügt, dass der Raum der Segmente in zwei Teile unterteilt wird. Dabei wird die Vertikale entweder so gelegt, dass sie alle Segmente schneidet, oder, falls das nicht möglich ist (und es ist natürlich nur sehr selten möglich), die Vertikale ein paar Segmente schneidet und sich die Menge der nicht geschnittenen Segmente relativ gleichmäßig auf die beiden Teilgebiete verteilt. Für die beiden Teilgebiete wiederholt man die Prozedur mit neuen Vertikalen, und so fort bis jedes Segment von einer Vertikalen geschnitten wird. Dann hat man die Menge der Segmente durch die Binärbaum-Struktur der Vertikalen geordnet, wobei natürlich die erste eingefüge Vertikale die Wurzel des Baumes ist, die beiden gleich danach eingefügten Vertikalen deren Söhne sind, und so weiter. Es kann natürlich (oft) vorkommen, dass ein Segment von mehreren Vertikalen geschnitten wird, zugeordnet ist es aber immer nur der einen Vertikalen, die das Segment bei der Entstehung des Baumes als erste geschnitten hat. Es ist klar, dass der Baum bei n Segmenten die Tiefe log n erreicht. Die Menge der Gitter-Horizontalen entsteht, indem man horizontale Linien durch jeden Endpunkt jedes Segmentes legt, also zwei Horizontale pro Segment.

25 Der Algorithmus: Der Rest ist schon bekannt: Die Gitter-Kreuze werden zu Knoten, die Gitter-Linien dazwischen zu Kanten, die Horizontalen wieder nach rechts gerichtet und die Vertikalen nach oben. Jeder Kante wird das Gewicht zugewiesen, das der Anzahl der geschnittenen Segmente entspricht (bzw. die Summe der Profite, wenn unterschiedliche Profite existieren). Dabei darf die Baum-Struktur allerdings nicht vergessen werden, da der Algorithmus nur für Segment-Mengen mit einer besonderen zusätzlichen Eigenschaft ausgelegt ist: Ist das Set der vertikalen Linien (und damit die Baum-Struktur) bestimmt, so muss gelten: Jedes Segment wird nur von genau einer Vertikalen geschnitten. Um das zu erreichen, und außerdem auch noch eine gute Route als Ergebnis zu erhalten, lässt man den Algorithmus wieder auf verschiedenen Teilmengen der Menge aller Segmente laufen. Dabei entspricht eine solche Teilmenge immer der Menge der Segmente, die von allen Vertikalen einer bestimmten Tiefe geschnitten werden. Eine solche Teilmenge ist also die Menge der Segmente, die von der ersten Vertikalen, der Wurzel des Baumes, geschnitten werden. Eine weitere Teilmenge ergibt sich durch die beiden Söhne der Wurzel, und so fort. Daraus folgt sofort, dass es log n Teilmengen gibt, der Algorithmus also log n mal laufen muss, und zwar immer auf einem anderen Gitter; einer anderen Einschränkung des gesamten Gitters. Demnach müsste Approximationsgüte also mindestens O(log n) liegen. Dass die Approximationsgüte tatsächlich in O(log n) liegt, zeigt sich bei Betrachtung der anderen Komponente, der oben beschriebenen Gitter-Konstruktion. Dazu betrachtet man, wie schon in.., die Werte k(p), k(p ) und k(p ). Wieder ist p der vom Algorithmus berechnete Pfad, p ein optimaler Pfad im Graphen und p ein optimaler Pfad in der Ebene. Es wurde schon vermerkt, dass jedes Segment nur von einer einzigen Vertikalen geschnitten wird. Betrachtet man die Räume zwischen den Vertikalen, so kann man also festhalten, dass sich jedes Segment höchstens in der linken und rechten Spalte seiner zugewiesenen Vertikalen befindet. Bedenkt man die azyklische Ausrichtung der Kanten, insbesondere die Rechtsausrichtung der Horizontalen, so ist auch klar: Jede Spalte kann nur ein einziges Mal von einem Pfad passiert werden. Daraus folgt, dass ein Segment das Gewicht des Pfades p höchstens um erhöhen kann (bei Einheitsprofit). Nämlich, wenn der Pfad das Segment einmal in der linken Spalte und einmal in der rechten Spalte der zugehörigen Vertikalen schneidet, und noch ein drittes Mal während er die Vertikale hochläuft.

26 Daraus folgt k(p) w(p ), und zusammen mit der trivialen Eigenschaft w(p ) k(p ) ergibt sich k(p) k(p ). Für p und p gilt immernoch k(p ) k(p ) 4, woraus sich also O(), ergibt. k(p) k(p ), Damit ist gezeigt, dass die Approximationsgüte tatsächlich bei O(log n) liegt. 4

27 5 Literatur Reuven Bar-Yehuda, Guy Even, Shimon (Moni) Shahar: On Approximating A Geometric Prize-Collecting Traveling Salesman Problem With Time Windows, 00 Thomas H. Cormen, Charles E. Leiserson, Ronald L. Rivest: Introduction to Algorithms, MIT Press/McGraw Hill, 990 5