Critical Phenomena in the Entropy Formalism and Microcanonical Finite-Size Scaling

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1 Michael Kastner Critical Phenomena in the Entropy Formalism and Microcanonical Finite-Size Scaling Shaker Verlag

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3 Critical Phenomena in the Entropy Formalism and Microcanonical Finite-Size Scaling Den naturwissenschaftlichen Fakultaten der Friedrich-Alexander-Universitat Erlangen-Nurnberg zur Erlangung des Doktorgrades vorgelegt von Michael Kastner aus Nurnberg

4 Als Dissertation genehmigt von den naturwissenschaftlichen Fakultaten der Universitat Erlangen-Nurnberg Tag der mundlichen Prufung: 27. Marz 2000 Vorsitzender der Promotionskomission: Prof. Dr. Werner Buggisch Erstberichterstatter: Prof. Dr. Dr. h.c. Alfred Huller Zweitberichterstatter: Prof. Dr. Richard Bausch

5 Berichte aus der Physik Michael Kastner Critical Phenomena in the Entropy Formalism and Microcanonical Finite-Size Scaling. D 29 (Diss. Universität Erlangen-Nürnberg) Shaker Verlag Aachen 2000

6 Die Deutsche Bibliothek - CIP-Einheitsaufnahme Kastner, Michael: Critical Phenomena in the Entropy Formalism and Microcanonical Finite-Size Scaling / Michael Kastner. - Aachen : Shaker, 2000 (Berichte aus der Physik) Zugl.: Erlangen-Nürnberg, Univ., Diss., 2000 ISBN Copyright Shaker Verlag 2000 All rights reserved. No part of this publication may be reproduced, stored in a retrieval system, or transmitted, in any form or by any means, electronic, mechanical, photocopying, recording or otherwise, without the prior permission of the publishers. Printed in Germany. ISBN ISSN Shaker Verlag GmbH P.O. BOX 1290 D Aachen Phone: 0049/2407 / Telefax: 0049/2407/ Internet: info@shaker.de

7 Abstract Remarkable dierences between microcanonical and canonical quantities of nite systems which undergo a continuous phase transition in the thermodynamic limit can be found from numerical investigations. Some of the distinct features of the microcanonical quantities are (i) scaling of the nite-system transition point with the system size, (ii) power law behaviour of certain observables in the vicinity of the nite-system transition point, (iii) the nite-system exponents which describe these power laws do not depend on the system size and are not necessarily identical to the critical exponents of the innite system. Furthermore, mean-eld values are found for the nite-system exponents for the examples under investigation. From the starting point of a homogeneity relation for the microcanonical entropy of nite systems, a microcanonical nite-size scaling theory is formulated, and consistency with canonical nite-size scaling is shown. It is demonstrated by an example, that the microcanonical nite-size scaling theory can account for the features (i){(iii) stated above. The degrees of homogeneity a " and a m in the homogeneity relation of the innite-system entropy determine the values of the critical exponents. Astonishingly, although the homogeneity relation for the microcanonical entropy of nite systems is subject to identical degrees of homogeneity a " and a m,itnevertheless can account for power law behaviour of microcanonical quantities with nite-system exponents dierent from the critical exponents of the innite system. The system size independence of the nite-system exponents as observed experimentally also follows indispensably from the microcanonical nite-size scaling theory. Therefore, an extrapolation of the nite-system exponents towards the thermodynamic limit is not an appropriate procedure to determine the critical exponents of the in- nite system. However, microcanonical nite-size scaling can provide another approach to the critical exponents. Finite-size scaling laws, similar to the canonical ones in structure, have been found, which relate the system size dependence of the amplitudes of microcanonical observables of nite systems to the critical exponents of the innite system. A numerical investigation of the applicability of the microcanonical nite-size scaling laws versus the canonical ones as well as a comparison of the accuracy of the results was performed for the 3d- Ising model, in which the canonical results turned out to be of higher quality.

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9 Zusammenfassung Mikrokanonische und kanonische Groen endlicher Systeme, welche im thermodynamischen Limes einen kontinuierlichen Phasenubergang zeigen, weisen im numerischen Vergleich bemerkenswerte Unterschiede auf. Dabei zeigen die mikrokanonischen Groen unter anderem folgende Eigenschaften: (i) der Ubergangspunkt des endlichen Systems skaliert mit der Systemgroe, (ii) gewisse Observablen verhalten sich in der Umgebung des Ubergangspunktes des endlichen Systems gema Potenzgesetzen, (iii) die Exponenten, welche diese Potenzgesetze im endlichen System beschreiben, hangen nicht von der Systemgroe ab und sind nicht notwendigerweise gleich den kritischen Exponenten des unendlichgroen Systems. Weiterhin wurden zumindest fur die in dieser Arbeit betrachteten Beispiele Mean-Field-Werte fur die Exponenten des endlichen Systems gefunden. Ausgehend von einer Homogenitatseigenschaft der mikrokanonischen Entropie endlicher Systeme wurde eine mikrokanonische Finite- Size Scaling Theorie formuliert, deren Konsistenz mit der herkommlichen kanonischen Finite-Size Scaling Theorie explizit bewiesen wird. Anhand einer exemplarischen Funktion kann weiterhin gezeigt werden, dass das Auftreten der obengenannten Eigenschaften (i){(iii) mit solch einer mikrokanonischen Finite-Size Scaling Theorie in Einklang zu bringen ist. Die sogenannten Homogenitatsgrade a " und a m,welche die Homogenitatseigenschaften der Entropie des unendlichgroen Systems festlegen, bestimmen ebenfalls die Werte der kritischen Exponenten. Auch die Homogenitatseigenschaften der mikrokanonischen Entropie endlicher Systeme werden von den Homogenitatsgraden a " und a m mitbestimmt. Erstaunlicherweise konnen die aus dieser Entropie abgeleiteten mikrokanonischen Groen endlicher Systeme dennoch Potenzgesetzverhalten mit Exponenten ungleich den kritischen Exponenten des unendlichgroen Systems zeigen. Die experimentell beobachtete Systemgroenunabhangigkeit der Exponenten des endlichen Systems folgt unweigerlich aus der mikrokanonischen Finite-Size Scaling Theorie. Damit wird klar, dass ein Extrapolieren von aus endlichen Systemen gewonnenen Exponenten hin zum thermodynamischen Limes keine Vorgehensweise darstellt, welche eine Bestimmung der kritischen Exponenten des unendlichgroen Systems erlaubt. Mikrokanonisches Finite-Size Scaling ermoglicht jedoch einen anderen Zugang zu den kritischen Exponenten. Mikrokanonische

10 Skalengesetze, welche in der Struktur denen der kanonischen Theorie entsprechen, stellen eine Beziehung zwischen der Systemgroenabhangigkeit der Amplituden der mikrokanonischen Observablen des endlichen Systems sowie den kritischen Exponenten des unendlichen Systems her. Anhand des 3d-Ising Modells wurde ein numerischer Vergleich durchgefuhrt mit dem Ziel, Aussagen uber die Genauigkeit zu erhalten, mit welcher die kritischen Exponenten einerseits aus der mikrokanonischen Finite-Size Scaling Theorie, andererseits aus deren kanonischen Gegenstuck, bestimmt werden konnen. Hierbei weisen die durch kanonisches Finite-Size Scaling ermittelten Resultate eine hohere Genauigkeit auf.

11 Contents 1 Introduction 11 2 Statistical Ensembles and Connections Generalized Ensembles Equivalence of Ensembles Microcanonical and Canonical Approach Thermodynamic Limit Finite Systems Microcanonical and Canonical Thermodynamic Observables The (Canonical) Gibbs Free Energy Formalism Thermodynamic Limit Finite Systems The (Microcanonical) Entropy Formalism Dierences between Microcanonical and Canonical Observables of Finite Systems The 1d-Ising Model The 3d-Ising Model Scaling and Critical Exponents in the Entropy Formalism Critical Exponents Scaling Relations Finite-System Exponents Microcanonical Finite-Size Scaling Canonical Finite-Size Scaling: A Short Review Interrelation between the Microcanonical and the Canonical Finite-Size Scaling Assumption Microcanonical Finite-Size Scaling Laws Connecting Microcanonical Finite-Size Scaling with Empirical Results Explicit Asymptotic Form of the Microcanonical Entropy Numerical Investigation of the Finite-Size Scaling Behaviour of the 3d-Ising Model Conclusions 65

12 10 APPENDICES: A Reduced Characteristic Functions 67 B Response Functions in the Entropy Formalism 69 B.1 Constant-Field Specic Heat B.2 Isothermal Magnetic Susceptibility C Derivation of the Scaling Laws in the Entropy Formalism 72 C.1 Zero-Field Magnetization, Critical Exponent " C.2 Zero-Field Magnetic Susceptibility, Critical Exponent " C.3 Zero-Field Specic Heat, Critical Exponent " C.4 Critical Isoenergetic Line, Critical Exponent m D Derivation of Microcanonical Finite-Size Scaling Laws 75 E Connection Between the Degrees of Homogeneity 76 F Connecting Microcanonical and Canonical Finite-Size Scaling Assumptions 78 G Finite 1d-Ising Systems 80 H Data Generation and Processing 82 H.1 Monte Carlo Simulations H.2 Gaussian Smoothing H.3 Polynomial Fits References 85 Symbols 91